高中数学第一章集合与函数概念单元测评3新人教A版1!
人教新课标A版必修一第一章集合与函数的概念单元测试(带答案)
新课标人教A 版第一章集合与函数的概念单元测试一、单选题(每小题5分)1. 已知集合和集合2{}B y y x ==，则A B 等于（ ）A.(0,1)B.[0,1]C.(0,+∞)D.{(0,1),(1,0)}2.函数()f x =的定义域为（ ） A.[3，+∞） B.[3，4）∪（4，+∞） C.（3，+∞） D.[3，4）3. （2018•卷Ⅰ）已知集合2{20}A x x x =--＞，则∁R A=（ ） A.{12}x x -<< B.{12}x x -≤≤ C.{1}{2}x x x x <-> D.{1}{2}x x x x ≤-≥4. 函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）A.[3，+∞） B.（﹣∞，2）（4，+∞） C.（2，3）（4，+∞） D.（﹣∞，2][3，4]5. （2018•卷Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2},则A ∩B=（ ）A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}6. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA ）∩B=( )A.{4，5}B.{1，2，3，4，5，6}C.{2，4，5}D.{3，4，5}7. 若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）=3x ﹣1，则f （x ）等于（ ） A.x+1 B.x ﹣1 C.2x+1 D.3x+38. 已知函数21,2()22,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩，则f[f （1）]=（ ） A.12- B.2 C.4 D.11 9. 已知集合A={x ∈N *|x ﹣3＜0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为（ ）A.2B.3C.4D.810. 函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A.-3B.13C.7D.511. 已知函数22,1()2,1a x f x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.[﹣1，+∞）B.（﹣1，+∞） .[﹣1，0） D.（﹣1，0）12. 下列有关集合的写法正确的是（ ）A.{0}{0,1,2}∈B.{0}∅=C.0∈∅D.{}∅∈∅二、填空题（每题5分）13. 非空数集A 与B 之间定义长度(,)d x y ，使得()1212d y y y y -=-，其中1y A ∈，2y B ∈，若所有的(,)d x y 中存在最小值()12','d y y ，则称()12','d y y 为集合A 与B 之间的距离，现已知集合11{21}A y a y a =≤≤-，222111{1,}B y y y y y A ==++∈，且()12','d y y =4，则a 的值为_______.14. 已知f(x)为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=,则f(2)=__________．15. 设集合A ＝{x|－1<x<2}，集合B ＝{x|1<x<3}，则A ∪B 等于________16. 若集合{12}M x x =-<<，2{1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N =___三、解答题（17-22题，12分+12分+12分+12分+12分+12分+10分）17. 设集合2{40,}A x x x x R =+=∈，22{2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈.（1）若A B B =，求实数a 的值;（2）若A B B =，求实数a 的范围.18. 已知函数239,2()1,211,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+>⎩.（1）做出函数图象；（2）说明函数()f x 的单调区间（不需要证明）；（3）若函数()y f x =的图象与函数y m =的图象有四个交点，求实数m 的取值范围.19. 已知函数21 ()1xf xx+=+．（1）判断函数()f x在区间[1,+)∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20. 已知函数f(x)对任意的实数m,n都有：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x ＞0时，有f(x)＞1.（1）求f(0)．（2）求证：f(x)在R上为增函数．（3）若f(1)＝2，且关于x的不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜3对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．21. 已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且f（1）=2．（1）若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围．（2）设函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x，其中t∈R，求h（x）在区间[0，1]上的最小值g （t）．22. 若集合A={x|x2+5x﹣6=0}，B={x|x2+2（m+1）x+m2﹣3=0}．（1）若m=0，写出A∪B的子集；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．答案：1-5.BBBCA 6-10.AACCB 11-12.CD13. a=214. 615. {x|-1＜x ＜3}16. [1,3)17. (1)a=1 (2)a=1或a ≤-118. （2）单调增区间（-∞，-2）和（0,1）单调减区间（-2,0）和（1，+∞） （3）(1,0)m ∈-19. (1)函数f(x)在[1,+∞)上是增函数 （2）最小值f(1)=32 最大值9(4)5f =20. （1）f(0)=1(2)略 （3）(1)-∞21. （1）5(1,]4a ∈ (2) 0(5)4t g ≤=时， 201()4t g t t<<=-时， 1()52t g t t ≥=-时， 22. (1){6,3,1}A B =--{-6}{-3}{1}{-6-3}{-6,1}{-3,A B ∅的子集：，，，，，，，，， (2)∞（-,-2]。
高中人教A版数学必修1单元测试：第一章 集合与函数概念Word版含解析
高中人教A版数学必修1单元测试第一章集合与函数概念(一)(集合)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}2．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式错误的是()A．0∈A B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}5．满足条件{1,2}∪A＝{1,2}的所有非空集合A的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个6．若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．{x＝3，y＝－1} B．{(x，y)|x＝3或y＝－1}C．∅D．{(3，－1)}8．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()A．2 B．3 C．4 D．169．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x ≥3或x <1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}10．如果集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}中只有一个元素，则a 的值是( ) A ．0 B ．0或1 C ．1 D ．不能确定11．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．1212．设a ，b 都是非零实数，则y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合为( ) A ．{3} B ．{3,2,1} C ．{3，－2,1}D ．{3，－1}第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．若集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝a ＋16，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝b 2－13，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝c 2＋16，c ∈Z ，则A ，B ，C 之间的关系是________．15．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，则m 的取值集合为________．16．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c ，满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”．若集合M ＝{x ||x |≤2014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 的个数为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}． 求：A ∪B ，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B .18．(本小题满分12分)(1)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}，求(∁U M )∩N ； (2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}，求A ∪(∁U B )．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若a＝－2，求A∩∁R B；(2)若A⊆B，求a的取值范围．21．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，判断集合A 与B 的关系； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 组成的集合C .22．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．详解答案第一章 集合与函数概念(一)(集 合)1．D 解析：选项D 中Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，所以方程x 2－x ＋1＝0无实数根．2．D 解析：∵集合A ＝{x ∈N |x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A .故选D. 3．D 解析：∵U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，∴∁U A ＝{3,9}．故选D. 4．D 解析：∵A ∩B ＝{1,2}，C ＝{2,3,4}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}． 5．C 解析：∵{1,2}∪A ＝{1,2}∴集合A 可取集合{1,2}的非空子集．∴集合A 有3个．故选C.6．C 解析：∵A ∪B ＝{1,4，x }，∴x 2＝4或x 2＝x .解得x ＝±2或x ＝1或x＝0.检验当x ＝1时，A ＝{1,4,1}不符合集合的性质，∴x ＝2或x ＝－2或x ＝0.故选C.7．C 解析：∵集合M 的代表元素是实数，集合N 的代表元素是点，∴M ∩N ＝∅.故选C.8．C 解析：∵A ∩B ＝{1,3}，∴A ∩B 的子集分别是∅，{1}，{3}，{1,3}．故选C.解题技巧：本题主要考查了列举法表示两个集合的交集，考查了子集的求法，解决本题的关键是确定出A ∩B 所含元素的个数n ，因此所有子集的个数为2n 个．9．A 解析：∵图中阴影部分表示：x ∈N 且x ∉M ，∴x ∈N ∩∁U M .∴∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴N ∩∁U M ＝{x |－2≤x <1}．故选A.10．B 解析：∵集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}中只有一个元素，∴①当a ＝0时，集合A ＝{x |2x ＋1＝0}只有一个元素，符合题意；②当a ≠0时，一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一解，∴Δ＝0，即4－4a ＝0，∴a ＝1.故选B.11．B 解析：∵x ∈N *，12x ∈Z ，∴x ＝1时，12x ＝12∈Z ；x ＝2时，12x ＝6∈Z ；x ＝3时，12x ＝4∈Z ；x ＝4时，12x ＝3∈Z ；x ＝6时，12x ＝2∈Z ；x ＝12时，12x ＝1∈Z .12．D 解析：①当a ＞0，b ＞0时，y ＝3；②当a ＞0，b ＜0时，y ＝－1；③当a ＜0，b ＞0时，y ＝－1；④当a ＜0，b ＜0时，y ＝－1.13．a ≥－1 解析：如图：∵A ∩B ≠∅，且A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，∴a ≥－1. 14．AB ＝C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝a ＋16，a ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(6a ＋1)，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝b 2－13，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(3b －2)，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16[3(b ＋1)－2]，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝c 2＋16，c ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(3c ＋1)，c ∈Z .∴A B ＝C .15．m ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，13 解析：集合A ＝{2，－3}，又∵B ⊆A ，∴B ＝∅，{－3}，{2}．∴m ＝0或m ＝－12或m ＝13.16．1 006 解析：因为若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c 且a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c ＝4b ，因此满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，符合条件的b 的值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006个．解题技巧：本题主要考查了以集合为背景的新概念题，解决本题的关键是弄清楚新概念、新运算、新方法的含义，转化为集合问题求解．17．解：∵全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， ∴A ∪B ＝{x |2<x <10}，A ∩B ＝{x |3≤x <7}， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x ≥7或x <3}． ∵∁R A ＝{x |x ≥7或x <3}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．18．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(∁U M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥0}． ∴A ∪(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥0}．19．解：∵A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴b ＝3， 又A ∪B ＝{x |x ＞－2}， ∴－2＜a ≤－1， 又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}， ∴－1≤a ＜1， ∴a ＝－1.20．解：(1)当a ＝－2时，集合A ＝{x |x ≤1}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∴A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．(2)∵A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，A ⊆B ， ∴a ＋3<－1，∴ a <－4.解题技巧：本题主要考查了描述法表示的集合的运算，集合间的关系，解决本题的关键是借助于数轴求出符合题意的值．在解决(2)时，特别注意参数a 是否取到不等式的端点值．21．解：A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． (1)若a ＝15，则B ＝{5}，所以B A . (2)若A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，所以1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15；综上所述，实数a 组成的集合C 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.22．解：(1)①当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23≠∅；②当a ≠1时，Δ≥0，即a ≥－18且a ≠1，综上，a ≥－18；(2)∵B ＝{1,2}，A ∩B ＝A ，∴A ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． ①A ＝∅，Δ<0，即a <－18；②当A ＝{1}或{2}时，Δ＝0，即a ＝0且a ＝－18，不存在这样的实数； ③当A ＝{1,2}，Δ>0，即a >－18且a ≠1，解得a ＝0. 综上，a <－18或a ＝0.第一章集合与函数概念(二)(函数的概念与基本性质)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝(x－1)2B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lgx 1002．已知f：x→x2是集合A到集合B＝{0,1,4}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A．3个B．4个C．5个D．6个3．函数f(x)＝x＋1x－1的定义域是()A．－1,1) B．－1,1)∪(1，＋∞) C．－1，＋∞) D．(1，＋∞)4．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．－2,2] B．1,2]C．0,2] D．－2， 2 ] 5．已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为()A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤1－x －2，1<x ≤2B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x ＋2，1<x ≤2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x －2，1<x ≤2D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1－x ＋2，1<x ≤26．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x2)－2的解析式为( )A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2]7．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( ) A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称8．设f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)9．若奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在－3，－1]上( ) A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值010．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 D ．(0,3)11．若f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，则当不等式|f (x ＋t )－1|<3的解集为(－1,2)时，t 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．212．已知函数y ＝f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在1，＋∞)上为增函数．若x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，则f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系是( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)<f (－x 2)C ．f (－x 1)＝f (－x 2)D ．无法确定第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝ax 7＋bx －2，且f (2 014)＝10，则f (－2 014)的值为________． 14．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1，记f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＝m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝n ，则m ＋n ＝________. 16．设a 为常数且a <0，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋a 2x －2.若f (x )≥a 2－1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知f (x －2)＝3x －5，求f (x )；(2)若f (f (f (x )))＝27x ＋26，求一次函数f (x )的解析式．18．(本小题满分12分) 已知f (x )＝1x －1，x ∈2,6]．(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；(2)当月产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)若y＝f(x)在区间－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b∈R)，若f(1)＝－1且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在k，k＋1](k≥1)上的最大值为8，求实数k的值．22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值74.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间0,1]上的最小值，其中t∈R；(3)在区间－1,3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．详解答案第一章集合与函数概念(二)(函数的概念与基本性质)1．D解析：∵y＝x－1与y＝(x－1)2＝|x－1|的对应关系不同，∴它们不是同一函数；y＝x－1(x≥1)与y＝x－1x－1(x>1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y＝4lg x(x>0)与y＝2lg x2(x≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y＝lg x－2(x>0)与y＝lg x100＝lg x－2(x>0)有相同的定义域、值域与对应关系，因此它们是同一函数．2．C解析：令x2＝0,1,4，解得x＝0，±1，±2.故选C.3．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.4．C 解析：令t ＝－x 2＋4x ，x ∈0,4]，∴t ∈0,4]．又∵y 1＝x ，x ∈0，＋∞)是增函数∴ t ∈0,2]，－t ∈－2,0]，∴y ∈0,2]．故选C.5．C 解析：当0≤x ≤1时，f (x )＝－1；当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1，－1)，(2,0)代入f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )＝x －2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.故选C. 6．D 解析：f (x )＝2⊕x (x2)－2＝22－x 2(x －2)2－2＝4－x 2|x －2|－2.由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|－2≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )＝－4－x 2x .7．A 解析：函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称．8．D 解析：∵f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．9．D 解析：因为奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x )在－3，－1]上是增函数，且有最大值0.10．A 解析：由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，所以该函数为R 上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤a 0，解得0<a ≤14.解题技巧：本题主要考查了分段函数的单调性，解决本题的关键是利用好该函数为R 上的减函数这一条件．应特别注意隐含条件“a 0≥4a ”．11．C 解析：由不等式|f (x ＋t )－1|<3，得－3＜f (x ＋t )－1＜3，即－2＜f (x ＋t )＜4.又因为f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，所以f (0)＝4，f (3)＝－2，所以f (3)＜f (x ＋t )＜f (0)．又f (x )在R 上为减函数，则3＞x ＋t ＞0，即－t ＜x ＜3－t ，解集为(－t,3－t )．∵不等式的解集为(－1,2)，∴－t ＝－1,3－t ＝2，解得t ＝1.故选C.12．A 解析：由y ＝f (x ＋1)是偶函数且把y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，即f (2＋x )＝f (－x )．因为x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，所以2＜2＋x 2＜－x 1.因为函数在1，＋∞)上为增函数，所以f (2＋x 2)＜f (－x 1)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故选A.13．－14 解析：设g (x )＝ax 7＋bx ，则g (x )是奇函数，g (－2 014)＝－g (2 014)．∵f (2 014)＝10且f (2 014)＝g (2 014)－2，∴g (2 014)＝12，∴g (－2 014)＝－12，∴f (－2 014)＝g (－2 014)－2，∴f (－2 014)＝－14.14．a <12 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2.∵y ＝1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上是减函数，∴1－2a >0，∴a <12.15．18 解析：因为函数f (x )＝x ＋3x ＋1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋3xx ＋1.又因为f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4(x ＋1)x ＋1＝4，f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116 ＝f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (8)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (1)＋4×4＝18， 所以m ＋n ＝18.解题技巧：本题主要考查了学生的观察、归纳、推理的能力，解决本题的关键是挖掘出题目中隐含的规律f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4.16．－1≤a <0 解析：当x ＝0时，f (x )＝0，则0≥a 2－1，解得－1≤a ≤1，所以－1≤a <0.当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋a 2－x －2，则f (x )＝－f (－x )＝x ＋a 2x ＋2.由对数函数的图象可知，当x ＝a 2＝|a |＝－a 时，有f (x )min ＝－2a ＋2， 所以－2a ＋2≥a 2－1，即a 2＋2a －3≤0，解得－3≤a ≤1.又a <0， 所以－3≤a <0. 综上所述，－1≤a <0.17．解：(1)令t ＝x －2，则x ＝t ＋2，t ∈R ，由已知有f (t )＝3(t ＋2)－5＝3t ＋1，故f (x )＝3x ＋1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (f (x ))＝a 2x ＋ab ＋b ， f (f (f (x )))＝a (a 2x ＋ab ＋b )＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝27，a 2b ＋ab ＋b ＝26，解得a ＝3，b ＝2.则f (x )＝3x ＋2.18．(1)证明：设2≤x 1<x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )是定义域上的减函数．(2)由(1)的结论可得，f (x )min ＝f (6)＝15，f (x )max ＝f (2)＝1. 19．解：(1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000. 当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000； 当x ＝300时，f (x )max ＝25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000； 所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当月产量x 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25 000元． 20．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 又因为x ∈－5,5]．所以函数的最大值为37，最小值为1. (2)若y ＝f (x )在区间－5,5]上是单调函数， 则有－a ≤－5或－a ≥5解得a ≤－5或a ≥5.解题技巧：本题主要考查了二次函数在给定区间上的最值与单调性．解决本题的关键是确定对称轴和区间端点的关系．注意分类讨论．21．解：(1)由题意可得f (1)＝a ＋b ＝－1且－b2a ＝1， 解得a ＝1，b ＝－2. (2)f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.因为k ≥1，所以f (x )在k ，k ＋1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (k ＋1)＝(k ＋1)2－2(k ＋1)＝8， 解得k ＝±3. 又k ≥1，所以k ＝3.22．解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，则可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74(a ≠0)， 又图象过点(0,4)，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋74＝4，解得a ＝1. ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4；②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，t ≤0，4－t 2，0<t <1，5－2t ，t ≥1.(3)由已知：f (x )>2x ＋m 对x ∈－1,3]恒成立，∴m <x 2－5x ＋4对x ∈－1,3]恒成立．∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈－1,3])．∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈－1,3]上的最小值为－94， ∴m <－94.。
【师说】高中数学 第一章 集合与函数概念质量评估检测 新人教A版必修1
【师说】2015-2016学年高中数学第一章集合与函数概念质量评估检测新人教A版必修1时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2C．0 D．0或4解析：当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.答案：A2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．答案：A3.衡水高一检测下列各组中的两个函数是同一函数的为( )(1)y＝x＋x－x＋3，y＝x－5.(2)y＝x＋1x－1，y＝x＋x－.(3)y＝x，y＝x2.(4)y＝x，y＝3x3.(5)y＝(2x－5)2，y＝2x－5. A．(1)，(2) B．(2)，(3) C．(3)，(5) D．(4)解析：(1)中的y＝x＋x－x＋3与y＝x－5定义域不同．(2)中两个函数的定义域不同．(3)中第1个函数的定义域、值域都为R，而第2个函数的定义域是R，但值域是{y|y≥0}．(5)中两个函数的定义域不同，值域也不同．(4)中显然是同一函数．答案：D4.福州高一检测下列函数是偶函数的是( )A．y＝2x2－3 B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x解析：由函数奇偶性定义可知B、D均为奇函数，C定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A为偶函数．答案：A5.洛阳高一检测若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4解析：令3x＋2＝t，则3x＝t－2，故f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2.答案：B 6.大庆高一检测设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：∵x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－1)＝2－(－1)＝3.又f (x )为R 上的奇函数，故f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝－3.答案：A7．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )A ．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞)C ．[－4,1]D ．(－2,1]解析：S ∩T ＝{x |x ＞－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝{x |－2＜x ≤1}．答案：D8．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( ) A ．[－1，∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．R解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥0，x ≠0，即x ≥－1且x ≠0，故选C.答案：C9．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．又g (x )是偶函数，∴g (－1)＝g (1)．∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2.①又f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4.②由①②，得g (1)＝3.答案：B 10.浏阳高一检测已知偶函数y ＝f (x )在[0,4]上是增函数，则一定有( )A ．f (－3)＞f (π)B ．f (－3)＜f (π)C ．f (3)＞f (－π)D ．f (－3)＞f (－π)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－π)＝f (π)．又f (x )在[0,4]上是增函数，∴f (3)＜f (π)．∴f (－3)＜f (π)．答案：B11．(2014·昆明高一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x －x 2，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．x －x 2B ．－x －x 2C ．－x ＋x 2D ．x ＋x 2解析：当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝－x －(－x )2＝－x －x 2，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )＝x ＋x 2.答案：D 12.安阳高一检测一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝__________.解析：因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10.答案：1014．用列举法表示集合：A ＝{x |2x ＋1∈Z ，x ∈Z }＝__________. 解析：因为x ∈Z ，所以当x ＝－3时，有－1∈Z ；当x ＝－2时，有－2∈Z ；当x ＝0时，有2∈Z ；当x ＝1时，有1∈Z ，所以A ＝{－3，－2,0,1}．答案：{－3，－2,0,1}15．函数f (x )＝－x 2＋b 在[－3，－1]上的最大值是4，则它的最小值是__________．解析：函数f (x )＝－x 2＋b 在[－3，－1]上是增函数，当x ＝－1时取最大值，所以b＝5，当x ＝－3时，取最小值f (－3)＝－9＋5＝－4.答案：－416．已知函数y ＝f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f (－2)＝0，则不等式x ·f (x )＜0的解集为________．解析：根据题意画出f (x )由图象可知－2＜x ＜0或0＜x 答案：(－2,0)∪(0,2)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.2014·武昌高一检测，10分已知函数f (x )＝x ＋m x ，且f (1)＝3.(1)求m ；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解析：(1)∵f (1)＝3，即1＋m ＝3，∴m ＝2.4分(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x，其定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，7分 又f (－x )＝－x ＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，所以此函数是奇函数.10分 18.杭州高一检测，12分已知集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}． (1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵A ∩B ＝{x |3≤x ＜6}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ＜3或x ≥6}，∵∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x ＜6或x ≥9}．6分(2)∵C ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，a ＋1≤9，∴2≤a ≤8.∴实数a 的取值范围为：2≤a ≤8.12分 19.郑州高一检测，12分已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1，当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.6分(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a .∵f (x )在[－5,5]上是单调的，∴－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.12分 20.德州高一检测，12分设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)， (1)证明：f (x )是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．解析：(1)∵f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.3分(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2，0≤x ≤3，x ＋2－2，－3≤x ＜0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．6分(3)函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)，[1,3]上为增函数.9分(4)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值f (3)＝2；当x ＜0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值f (－3)＝2.故函数f (x )的值域为[－2,2].12分 21.临沂高一检测，12分已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53. (1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．解析：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．即mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n， 比较得n ＝－n ，n ＝0，又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，m ＝2， 即实数m 和n 的值分别是2和0.6分(2)函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数．证明如下：由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x， 设x 1＜x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2 ＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2， 23(x 1－x 2)＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数.12分 22.济宁高一检测，12分函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解析：(1)∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax ＋b 1＋x 2＝－ax －b 1＋x 2. ∴b ＝－b ，b ＝0.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，∴12a 1＋14＝25， ∴a ＝1.3分∴函数解析式为f (x )＝x1＋x 2(－1＜x ＜1)． (2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 2－x 1x 2＋x 21＋x 22， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2＞0，(1＋x 21)(1＋x 22)＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f (x )在(－1,1)上为增函数.6分(3)∵f (t －1)＋f (t )＜0，∴f (t －1)＜－f (t )．∵f (－t )＝－f (t )，∴f (t －1)＜f (－t )．∴f (x )为(－1,1)上的增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜t －1＜1，－1＜－t ＜1，t －1＜－t .解得0＜t ＜12.∴不等式的解集为{t |0＜t ＜12}.12分。
高中数学第一章集合与函数概念本章测评4新人教A版必修1
第一章集合与函数概念自主建构本章测评1. 下列几组对象可以构成集合的是( )A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C． A校高一(1)班所有聪明的学生D． B单位所有身高在1．75 cm以上的人思路解析：因A、B、C不具备元素的确定性．答案：D2. 集合{1，2，3}的真子集共有( )A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个思路解析：可使用穷举法,注意到不含集合本身.或使用所总结的规律n=23-1=7.答案：C3. 设A、B是全集U的两个子集，且A⊆B，则下列式子成立的是( )A. U A⊆U BB. U A∪U B=UC. A∩U B=∅D. U A∩B=∅思路解析：使用韦恩图.答案：C4. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，那么a的值是( )A．0B．0或1C．1D．不能确定思路解析：注意到a=0满足题意,此时x=-21;而当a ≠0时,要使得此二次方程的判别式为零,即4-4a=0,可解出a=1.答案：B5. 对于定义在R 上的任何奇函数f(x)，下列结论不正确的是( )A. f(x)+f(-x)=0B. f(x)-f(-x)=2f(x)C. f(x)·f(-x)≤0D. )()(x f x f -=-1思路解析：利用奇函数定义f(-x)=-f(x)容易证明A 、B 、C ；而常函数f(x)=0，既是奇函数又是偶函数，但其不符合D.答案：D6. 已知A={1，2，a 2-3a-1},B={1,3},A ∩B={3,1}，则a 等于( )A ．-4或1B ．-1或4C ．-1D ．4思路解析：因为A ∩B={3,1},所以a 2-3a-1=3,解得a=-1或4.答案：B7. 已知I 为全集，集合M 、N I ，若M ∩N=N ，则 …( )A. M ⊇NB. N ⊆MC. M ⊆ND. M ⊇N思路解析：由M ∩N ⊆M 及已知M ∩N=N 知N ⊆M ，从而有M ⊆N .故选C.答案：C8. 若y=f(a)为偶函数，则下列点的坐标在函数图象上的是( )A. (-a,-f(a))B. (a,-f(a))C. (-a, f(a))D. (-a,-f(-a))思路解析：考查偶函数定义：f(-a)=f(a).答案：C9. 偶函数y=f(x)在区间［0,4］上单调递减,则有( )A. f(-1)>f(3π)>f(-π)B. f(3π)>f(-1)>f(-π)C. f(-π)>f(-1)>f(3π) D. f(-1)>f(-π)>f(3π) 答案：A10.设U={1，2，3，4，5}，A 、B 为U 的子集，若A ∩B={2}，（U A ）∩B={4}，（U A ）∩（U B ）={1，5}，则下列结论正确的是( )A. 3∉A, 3∉BB. 3∉A, 3∈BC. 3∈A, 3∉BD. 3∈A, 3∈B思路解析：可结合韦恩图法.答案： C11. 设A={x ∈Z|x 2-px+15=0},B={x ∈Z|x 2-5x+q=0},若A ∪B={2,3,5},A 、B 分别为( )A ． {3，5}、{2，3}B ． {2，3}、{3，5}C ． {2，5}、{3，5}D ． {3，5}、{2，5}思路解析：验证可知当3∈A 时,可解出p=8,此时A={3,5},则2∈B,可解出q=6,此时,集合B={2,3}.答案：A12. 设※是集合A 中元素的一种运算,如果对于任意的x 、y ∈A,都有x ※y ∈A,则称运算※对集合A 是封闭的,若M={x|x=a+2b,a 、b ∈Z),则对集合M 不封闭的运算是…( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法思路解析：设x 1=a 1+2b 1,x 2=a 2+2b 2,有a 1+2b 1+a 2+2b 2=(a 1+a 2)+(a 1+a 2)2满足上述定义,同理可知对减法、乘法也是封闭的.答案：D13. 若f(x)为定义在区间［-6,6］上的偶函数，且f(3)>f(1)，下列各式中一定成立的是( )A. f(-1)<f(3)B. f(0)<f(6)C. f(3)>f(2)D. f(2)>f(0)思路解析：考查数形结合思想或转化思想，画图观察，或由f(-1)=f(1)<f(3).答案：A14. 若一数集中的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该集合为“可倒数集”，试写出一个含三个元素的可倒数集 ．（只需写出一个集合） 思路解析：因为是三个元素,显然有1,在其中另一个数可选择非零的整数.答案：{1,2,21}(答案不唯一) 15. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1＋x 2＞0，则( )A ． f （－x 1）＞f （－x 2）B ． f （－x 1）＝f （－x 2）C ． f （－x 1）＜f （－x 2）D ． f （－x 1）与f （－x 2）大小不确定思路解析：x 2＞－x 1＞0，f （x ）是R 上的偶函数，∴f （-x 1）＝f （x 1）．又f （x ）在（0，＋∞）上是减函数，∴f （-x 2）＝f （x 2）＜f （-x 1）． 答案：A16. 设全集为U ，用集合A 、B 、C 的交、并、补集符号表示图中的阴影部分．（1） ;（2） ;（3） .思路解析：利用韦恩图这个重要工具，体现了数形结合思想，要认真领会，熟练应用. 答案：（1）（A ∪B ）∩U (A ∩B)（2）［（U A ）∪（U B ）］∩C（3）（A ∩B ）∩（U C ）17. 若f(x 1)=xx -1,则f(x)= . 思路解析：求函数的解析式，要从观察题目的特点入手，此题的特点是“分式”，所以联想到换元法.但是所给的“解析式”并不能直接换元，所以还要做适当的变形. （换元法）令t=x 1,则x=t1(t ≠0). ∴f(t)=tt 111-=11-t . ∴f(x)= 11-x (x ≠0且x ≠1).答案：11-x (x ≠0且x ≠1) 18. 已知函数y=f(x)是奇函数，在(0,+∞)内是减函数，且f(x)<0，试问F(x)=)(1x f 在(-∞,0)内是增函数还是减函数？并证明之.思路解析：设x 1<x 2<0,则-x 1>-x 2>0.而f(x)为奇函数，则f(-x 1)=-f(x 1),f(-x 2)=-f(x 2). 又∵f(x)在(0,+∞)内为减函数,∴f(-x 1)<f(-x 2).∴f(x 2)-f(x 1)<0.由已知f(x)<0,得f(-x 1)<0,f(-x 2)<0.∴f(x 1)f(x 2)=f(-x 1)f(-x 2)>0.∴F(x 1)-F(x 2)=)()()()(2112x f x f x f x f -<0. ∴F(x)在(-∞,0)上是增函数.答案：F(x)在(-∞,0)上是增函数.19. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在［0,+∞)上为减函数，若f(22--a a )>f(2a-1)，求实数a 的取值范围.思路解析：本题的解题关键是如何使用已知条件f(22--a a )>f(2a-1),即如何把这个已知条件转化成关于a 的不等式，也就是把自变量“部分”化到一个单调区间内，才能根据函数的单调性达到转化的目的.这时我们想到了“若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=f(|x|)．”于是f(2a-1)=f(|2a-1|)．解：由f(x)是偶函数,且f(22--a a )>f(2a-1)等价于f(22--a a )>f(|2a-1|). 又f(x)在［0,+∞)上是减函数,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<--≥--22)12(2202a a a a a 解之，得a ≤-1或a ≥2.20. 已知集合A={x|x 2＋4x=0，x ∈R}，B={x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1=0，x ∈R}，若A ∪B=A ，求实数a 的取值范围．思路解析：本题主要考查集合的运算和包含关系，解题过程中运用了分类讨论思想，分类时易漏掉B 为空集的情况，应引起重视．解：因为A={x|x(x ＋4)=0}={0，－4}，B={x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1=0，x ∈R}，且B ⊆A ，所以B=∅，或{0}，或{－4}，或{0，－4}．（1）当B=∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1=0无实根，即Δ＜0，解得a ＜－1．（2）当B={0}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1=0有唯一根0，所以⎩⎨⎧=∆=-002a a 解得a=－1．（3）当B={－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1=0有唯一根－4，所以⎩⎨⎧=∆=-++-001)1(8162a a .解得a 无解． （4）当B={0，－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1=0有两根0，－4，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=->∆01)1(2402a a .解之，得a=1．综合（1）（2）（3）（4），可知a ≤－1或a=1．21. 已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3，（1）当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，其值为负，求a 、b 的值及f(x)的表达式;（2）设F(x)=-x k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k 为何值时，函数F(x)的值恒为负值. 思路解析：（1）由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-++==-+-=-02636)6(0224)2(3222a b a a f a b a a f . 解得32a+8a 2=0（a<0）.∴a=-4.从而b=-8.∴f(x)=-4x 2+16x+48.（2）F(x)=-4k (-4x 2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx 2+4x-2. 欲F(x)<0,则⎩⎨⎧<+=∆<,0816,0k k 即k<-2.答案：（1）a=-4，b=-8,f(x)=-4x 2+16x+48.（2）k<-2.22. 已知函数f(x)=x 2+2ax+1在区间［-1，2］上的最大值是4，求a 的值.思路解析：考查分类讨论的数学思想. 若是已知最小值，此种分类同样适用，也可分-a 在(-∞,-1］,(-1,2］,(2,+∞)三个区间.但本题亦可将1°、2°和3°、4°分别合并成两个区间讨论.抛物线对称轴为x=-a,区间［-1，2］中点为21. 解：（1）当2≥-a,即a ≤-2时，由题设：f(-1)=4,即1-2a+1=4,a=-1（不合）.（2）当21≤-a<2,即-2<a ≤1时，由题设f(-1)=4,即a=-1. （3）当-1≤-a<21,即-21<a ≤1时，由题设f(2)=4,即4+4a+1=4,a=-41. （4）当-a<-1,即a>1时，由题设f(2)=4,即4+4a+1=4,a=-41（不合题意）. 23. 已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),（1）求证：f(x)是奇函数.（2）若f(-3)=a ，试用a 表示f(24).（3）如果x>0时，f(x)>0且f(1)<0，试求f(x)在区间［-2，6］上的最大值与最小值.思路解析：（1）令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x ，得f(0)=f(x)+f(-x). ∴f(x)=f(-x).∴f(x)为奇函数.（2）由f(-3)=a,得f(3)=-f(-3)=-a.f(24)=f( 38333个+++)=8f(3)=-8f(-3)=-8a.（3）设x 1<x 2,则f(x 2)=f(x 1+x 2-x 1)=f(x 1)+f(x 2-x 1)<f(x 1)，∵x 2-x 1>0,f(x 2-x 1)<0,∴f(x)在区间［-2，6］上是减函数.∴f(x) max =f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(x) min =f(6)=6f(1)=-3.答案：（1）f(x)=f(-x),∴f(x)为奇函数.（2）-8a.（3）f(x) max =1,f(x) min =-3.。
高中数学 第1章 集合与函数概念单元测试 新人教A版必
第1章 集合与函数概念章末检测（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知2{|4,},{|24}M y y x x P x x ==-∈=≤≤R ，则M 与P 的关系是A ．M P =B ．M P ∈C ．M P =∅ID ．M P ⊇2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x =D ．y x x = 3．已知全集U 和集合A ，B 如图所示，则()U A B =I ðA ．{}5,6B ．{}3,5,6C ．{}3D ．{}0,4,5,6,7,84．已知集合{}|1A x x =∈≤N ，{}|B x x A =⊆，{}|C x x B =⊆，则集合C 中元素的个数为A ．4B ．8C ．16D ．205．若函数()f x 满足()1+2()3f x f x x =，则()2f =A ．0B ．1C ．1-D ．26．下列四组中表示相等函数的是A ．x x x g t t t f -+=-+=11)(11)(与C 7．设函数3,10()((5)),10x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(6)f 的值为A ．5B ．6C ．7D ．88．已知函数21()1x f x x +=-，其定义域是 [8,4)--，则下列说法正确的是 A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 有最大值2，最小值759．已知函数(2)f x +的定义域为[2,2]-，则(1)(1)f x f x -++的定义域为A ．[1,1]-B ．[1,5]-C ．[1,3]D ．[1,5]10．若()f x 是偶函数，其定义域为(),-∞+∞，且在[)0,+∞上是减函数，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与2522f a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的大小关系是 A ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-≤++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上是单调减函数，且(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为A ．{|31}x x -<<-B ．{|1113}x x x -<<<<或C ．{|3013}x x x -<<<<或D ．{|312}x x x -<<>或12．已知函数()a f x x x=+（0a >）在(上是减函数，在)+∞上是增函数，若函数()25f x x x =+在[),m +∞（0m >）上的最小值为10，则m 的取值范围是 A ．(]0,5 B ．()0,5C ．[)5,+∞D ．()5,+∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y =的定义域是____________.（用区间形式表示） 14．若函数2(),(,)(2,)21x a f x x b b x +=∈-∞++∞-U 是奇函数,则a b +=____________. 15．已知集合2{20|}A x x px =--=，2{0}|B x x qx r =++=，且{2,1,5}A B =-U ，{2}A B =-I ，则p q r ++=____________.16．已知函数2()1f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是____________.三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知全集为R ，集合{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-,{|}C x x a =<.（1）求A B I ；（2）求()A B R U ð；（3）若A C ⊆，求a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）画出函数()f x 的图象，写出它的单调区间；（2）当12x -<<时，求()f x 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()x x g f x m =+，且(())165f f x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若()g x 在(1,)+∞上单调递增，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分12分）若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=，且当0x <时，()1f x >.（1）求证：()0f x >；（2）求证：()f x 为减函数；（321．（本小题满分12分）某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：单位是万元).图1 图2（1）分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数，写出它们的函数关系式；（2）现企业有20万元资金全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这20万元资金，能使获得的利润最大，其最大利润是多少万元？22．（本小题满分12分） 已知()3,[]1,2f x xx b x =∈-+． （1）当2b =时，求()f x 的值域；（2）若b 为正实数，()f x 的最大值为M ，最小值为m ，且满足4M m -≥，求b 的取值范围．。
高一数学人教A版必修1单元测评第一章集合与函数的概念
B 卷本试卷满分：100分；考试时间：90分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.下列函数中与函数y =x -1相同的是（ ） A ．y =(1-x )2 B ．y =2)1(-xC ．y =1123++-x x xD ．y =112+-x x2.下列函数表示偶函数的是（ ） A ．y =2x B ．y =x 3 C ．y =x +1D ．y =x 2(-1<x ≤1)3.函数y =242x x ---的定义域是（ ） A ．{2} B ．{1，2} C ．{x |x ≤-2} D ．∅4.已知符号函数：sgn （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>).0(1),0(0),0(1x x x 不等式sgn （x -2）<1的解集是（ ）A ．x ≤2B ．x <2C ．x ≥2D ．x <3 5.已知f （x ）是奇函数，且当x >0时，f （x ）=x （1-x ），则x <0时，f （x ）为（ ） A ．-x （1-x ） B ．x （1-x ） C ．x （1+x ） D ．-x （1+x ）6.已知集合A ={（x ,y ）|2x -y =0}，集合B ={（x ，y ）|x -y =3}，则集合A ∩B 是（ ） A ．{-6，-3} B ．{（-3，-6）} C ．{3，6} D ．（-3，-6）7.函数f (x )=xx x -+-||1212的定义域是（ ） A ．{x |x ≤0}B ．{x |x ≤-1）C ．{x |x ≥1）D ．{x |x ≤-1或x ≥1）8.已知狄利克雷函数的定义为：则D （x ）的图象是（ ）A ．两条平行直线B ．两条平行直线上稠密的点C ．两条相交直线D ．两条相交直线上稠密的点 9.函数y =2x +x1（x ≥1）的值域是（ ） A ．{y |y ≥3} B ．{y |y ≥22} C ．{y |y ≥4} D ．{y |22≤y ≤3} 10.函数y =x1-x 的大致图象是（ ）答案：1．C 2．A 3．A 4．A 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11.在给定A →B 的映射f ：（x ，y ）→（x +y ，x -y ）下，集合A 中的元素（2，1）对应着B 中的元素__________． 答案：（3，1）12.函数y -||x -3|的递减区间是__________． 答案：（-∞，3] 13.函数f （x ）对于任意的x 1，x 2∈R +恒有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）成立，且f （1）=41，则f （2 008）=__________． 答案：50214.要修一个面积为800 m 2的长方形的网球场，并且四周修前后l m ，左右2 m 的小路（如图），则占地面积的最小值是__________m 2．答案：968三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）15.甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地：速率不超过c km ／h ．已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速率钞km ／h 的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全部运输成本y 元表示成速率v km ／h 的函数，指出函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速率行驶? 答案：（1）y =v s (bv 2+a )=bsv +vsa（0<a ≤c ） （2）（i ）若c b a ≤，即a ≤c 2b ，当v =b a 时，y m in =2s ab ;（ii ）若c ba >，即a > c 2b ,当v =c 时，y m in =csa+bsc 16.函数y =f (x )的图象如图所示．（1）函数y =f （x ）的定义域可能是什么? （2）函数y =f （x ）的值域可能是什么? （3）y 的哪些值只与x 的一个值对应?答案：（1）定义域{x |-7≤x ≤0或2<x <6} （2）值域{y |0<y <+∞}（3）{y |0<y <2或5<y <+∞） 17.先用定义判断函数f （x ）=1+12-x 在区间[2，6]上的单调性，再求函数f (x )在区间[2，6]上的最大值和最小值．答案：易证f （x ）在[2，6]上是减函数，∴f （x ）max =3，f （x ）max =57 18.（1）求下列函数的定义域： ①1231)(2-++-=x x x x f ；②03)1(1312)(-+++-=x x x x f .（2）已知函数f （x ）= 213+++x x . ①求f （-3）、f (32)的值； ②当m >0时，求f （m -1）的值． 答案：（1）①{x |x >1且x ≠2}；②{x |x ≥21且x ≠1） （2）①f （-3）=-1,f (32)=333+83;②f (m -1)=112+++m m19.设某公民的月所得（工资、薪金所得）x 元，每月纳所得税f （x ）元是x 的函数．当前国家制定的《个人所得税率表》如下：（1）在表中填写函数f （x ）表达式；（2）某人在某月缴纳个人所得税是240元，他那个月的工资、薪金收入是多少元?（结果保留整数）答案：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-≤<-≤<-216006600,6952.0,66003600,36515.0,36002100,1851.0,21001600,8005.0)(x x x x x x x x x f（2）0.15x -365=240，解之得x ≈4033页。
(新课程)高中数学《第一章 集合与函数的概念》素质测评 新人教A版必修1
第一章 素质测评一、选择题1．下列关系式中，正确的是( )A ．Ø∈{0}B ．0⊆{0}C ．0∈{0}D ．0{0} 答案：C2．满足A ∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A 共有( )A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个解析：由题意知A ＝{0}或A ＝{0，－1}或A ＝{0,1}或A ＝{－1,0,1}，共4个．故选B. 答案：B3．如下图所示，阴影部分表示的集合是( )A ．(∁UB )∩A B ．(∁U A )∩BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：因为阴影部分在集合∁U B 中又在集合A 中，所以阴影部分是(∁U B )∩A .故选A. 答案：A4．如下图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )解析：B 、C 中的集合A 中都有剩余元素，故B 、C 不是映射；A 中有一对多的情况，故A 不是映射．故选D.答案：D5．设集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2－6x ＋9＝0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．M PD ．M ∪P ＝R解析：P ＝{3}，∵3>1，∴3∈M .∴P ⊆M .但是2∈M,2∉P ，∴P M . 答案：B6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >0)2(x ＝0)0 (x <0)，则f {f [f (－2)]}的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．8 解析：∵－2<0， ∴f (－2)＝0，∴f [f (－2)]＝f (0)＝2>0，f {f [f (－2)]}＝f (2)＝4.故选C. 答案：C7．对任意两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“”为：(a ，b )(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“”为：(a ，b )(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p 、q ∈R，若(1,2)(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)(p ，q )＝( )A ．(0，－4)B ．(0,2)C ．(4,0)D ．(2,0)解析：∵(1,2)(p ，q )＝(p －2q,2p ＋q )＝(5,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.∴(1,2) (p ，q )＝(1＋p,2＋q )＝(2,0)，故选D.答案：D8．函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的值域是( )A ．RB ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2，＋∞) 解析：画出函数的图象，如右图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]， 所以值域是[2,6]． 答案：C9．函数f (x )＝x 2－2ax ，x ∈[1，＋∞)是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析：f (x )＝x 2－2ax 的对称轴是直线x ＝a ，则a ≤1. 答案：C10．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f (7)＝6，则f (x )( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6解析：由f (x )是偶函数，得f (x )关于y 轴对称，其图象可以用下图简单地表示，则f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6. 答案：B11．已知函数f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的部分图象如右图所示，则不等式xf (x )<0的解集是( )A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)解析：根据奇函数图象关于原点对称，作出函数图象，则不等式xf (x )<0的解为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0.故选D.答案：D12．已知函数f (x )在[－1,2]上是减函数，且点A (－1,3)和点B (2，－1)在函数f (x )的图象上，则满足条件－1≤f (x －2)≤3的x 的集合是( )A ．{x |1≤x ≤4}B ．{x |－3≤x ≤0}C ．{x |x ∈R}D ．{x |x ∈Ø} 解析：∵f (－1)＝3，f (2)＝－1， 又∵－1≤f (x －2)≤3， ∴f (2)≤f (x －2)≤f (－1)． 又∵f (x )在[－1,2]上单调递减， ∴－1≤x －2≤2， ∴1≤x ≤4.故选A. 答案：A 二、填空题13．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}中仅有一个元素1，则a ＝________，b ＝________. 答案：－2 114．函数f (x )＝5＋4x －x 2的值域是________．解析：∵y ＝5＋4x －x 2＝－(x －2)2＋9，且0≤－(x －2)2＋9≤9，∴函数y ＝5＋4x －x 2的值域为[0,3]．答案：[0,3]15．某粮店销售大米，若一次购买大米不超过50 kg 时，单价为m 元；若一次购买大米超过50 kg 时，其超出部分按原价的90%计算，某人一次购买了x kg 大米，其费用为y 元，则y 与x 的函数关系式y ＝________.解析：当0≤x ≤50时，y ＝mx ；当x >50时，y ＝50m ＋(x －50)×90%·m ＝0.9mx ＋5m .答案：⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤50，0.9mx ＋5m ，x >5016．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|(0<x <2)，2－|x －1|(x ≤0或x ≥2)，则函数y ＝f (x )与y ＝12的交点个数是________．解析：函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则两函数y ＝f (x )与y ＝12的交点个数是4.答案：4 三、解答题 17．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≤3}，N ＝{x |x <1}，求M ∪N ，(∁U M )∩N ，(∁U M )∪(∁U N )． 解：由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}， 则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝Ø，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．18．已知a 、x ∈R，集合A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}．(1)使A ＝{2,3,4}的x 的值； (2)使2∈B ，B A 的a 、x 的值．解：(1)由集合相等的定义知x 2－5x ＋9＝3，解之得x 2－5x ＋6＝0，x ＝2或x ＝3. 经检验，x ＝2或3都符合题意． (2)∵2∈B ，B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝x 2＋ax ＋a ，①x 2－5x ＋9＝3，②解②得x ＝2或x ＝3. 把x ＝2代入①得a ＝－23；把x ＝3代入①得a ＝－74.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，x ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－74，x ＝3.都适合题意．19．已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x，其中k 1k 2≠0，则k 1×1＝1，k 21＝2，∴k 1＝1，k 2＝2.则f (x )＝x ，g (x )＝2x. (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x，∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．h (－x )＝－x ＋2－x ＝－(x ＋2x)＝－h (x )，∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数．20．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1＝－x －1.(1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[2,6]上的最大值和最小值．解：(1)令t ＝x －1x ＋1，则x ＝－t －1t －1，∴f (t )＝2t －1，∴f (x )＝2x －1(x ≠1)．(2)任取x 1，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，∵2≤x 1<x 2≤6，∴(x 1－1)(x 2－1)>0,2(x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[2,6]上单调递减， ∴当x ＝2时，f (x )max ＝2，当x ＝6时，f (x )min ＝25.21．扬州某公司生产的新产品的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，它们的关系如下表：(1)求y 与x (2)如果利润＝销售总额－成本费－广告费，试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式；并求出当广告费x 为多少万元时，年利润S 最大．解：(1)由于y 是x 的二次函数，所以可设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(x ≥0)；由于点(1,1.5)、(2,1.8)、(5,1.5)在函数图象上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1.5＝a ＋b ＋c ，1.8＝4a ＋2b ＋c ，1.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－110，b ＝35，c ＝1.所以所求函数的解析式为y ＝－110x 2＋35x ＋1，(x ≥0)．(2)当投入广告费x 万元时，产品的销量是10y 万件，成本2元/件，售价3元/件，每件获得利润1元，共获利10y (3－2)＝10y 万元，由题意得S ＝10y (3－2)－x ＝10(－110x 2＋35x ＋1)－x＝－x 2＋5x ＋10＝－(x －52)2＋654(x ≥0)．当x ＝52时，S max ＝654.即当投入2.5万元广告费时，年利润最大．22．函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (12)＝25.(1)求实数a 、b ，并确定函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即－ax ＋b x 2＋1＝－ax ＋b x 2＋1，－ax ＋b ＝－ax －b ，∴b ＝0，∴f (x )＝ax x 2＋1，又f (12)＝25，∴12a 14＋1＝25，∴a ＝1，∴f (x )＝x x 2＋1. (2)f (x )在(－1,1)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ∵－1<x 1<x 2<1，∴－1<x 1x 2<1，x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0，x 21＋1>0，x 22＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数．。
人教新课标版数学高一A版必修1单元检测 第一章集合与函数概念
数学人教A 必修1第一章 集合与函数概念单元检测(时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则A ∪B ＝( )．A ．{2}B ．{1,2,2,4}C ．{1,2,4}D ．∅2．2010年11月，第16届亚运会在广州举行，在这次亚运会中，下列能构成集合的是( )．A ．所有著名运动员B ．所有志愿者C ．所有喜欢中国的运动员D ．参加开幕式表演的所有高个子演员 3．给出下列集合A 到集合B 的几种对应：其中，是从A 到B 的映射的有( )．A ．(1)(2)B ．(1)(2)(3)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(∁U B )＝( )． A ．{2} B ．{x |x ≤1}C.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．{x |x ≤1，或x ＝2}5．函数f (x )( )． A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞) C ．[－1,0)∪(0，＋∞) D ．R6．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x ∈N *|x ＜7}，Q ＝{x |x －3＞0}，那么图中阴影表示的集合是( )．A ．{1,2,3,4,5,6}B ．{x |x ＞3}C ．{4,5,6}D ．{x |3＜x ＜7}7．设集合M ＝{x |x ＞1}，P ＝{x |x 2－6x ＋9＝0}，则下列关系中正确的是( )． A ．M ＝P B ．P M C ．M P D ．M ∪P ＝R8．函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的值域是( )． A ．R B ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，f (7)＝6，则f (x )( )．A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是610．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有2121()()x x f x f x --＞0，则( )．A ．f (－5)＜f (4)＜f (6)B ．f (4)＜f (－5)＜f (6)C ．f (6)＜f (－5)＜f (4)D ．f (6)＜f (4)＜f (－5)第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．定义在[－2,4]上的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是__________，单调递减区间是__________．12．已知函数f (x )＝31,3,,3,x x x x +<⎧⎪⎨>⎪⎩则f [f (1)]＝__________.13．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，A ∩B ＝B ，设实数m 所能取的一切值构成的集合为P ，则用列举法表示P ＝__________.14．已知函数f (x )＝2x ＋3，g (x )＝3x －5，如果f [g (x 0)]＝1，则x 0＝__________. 15．如图是偶函数y ＝f (x )的局部图象，根据图象所给信息，有以下结论：①函数一定有最小值； ②f (－1)－f (2)＞0；③f (－1)－f (2)＝0； ④f (－1)－f (2)＜0； ⑤f (－1)＋f (2)＞0.其中正确的结论有__________．(填序号)三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数． (1)求证：函数f (x )在R 上是减函数；(2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．17．(15分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2， (1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性．(3)求函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值．参考答案1. 答案：C2. 答案：B3. 答案：A 根据映射的定义知，(3)中集合A 中的元素a 对应集合B 中的两个元素x ，y ，则此对应不是映射；(4)中集合A 中的元素b 在集合B 中没有对应元素，则此对应也不是映射．仅有(1)(2)符合映射的定义，则(1)(2)是映射．4. 答案：C A ＝1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |x ≤1}， 则A (B )＝12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.5. 答案：C 要使函数有意义，x 的取值需满足10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩解得x ≥－1，且x ≠0，则函数的定义域是[－1,0)(0，＋)．6. 答案：C P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{x |x ＞3}，则阴影表示的集合是P Q ＝{4,5,6}．7. 答案：B ∵P ＝{3}，∴PM .8. 答案：C 画出函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的图象，如图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．9. 答案：B ∵f (x )是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.10. 答案：C ∵对任意x 1，x 2(－，0](x 1≠x 2)，都有2121()()x x f x f x --＞0，∴对任意x 1，x 2∈(－，0]，若x 1＜x 2，总有f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－，0]上是增函数．∴f (－4)＞f (－5)＞f (－6)． 又∵函数f (x )是偶函数， ∴f (－6)＝f (6)，f (－4)＝f (4)， ∴f (6)＜f (－5)＜f (4)．11. 答案：(－1,1) [－2，－1]，[1,4]12. 答案：2 f (1)＝3＋1＝4，f [f (1)]＝f (4)＝4＝2. 13. 答案：11,0,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭由题意得A ＝{－3,2}，集合B 是关于x 的方程mx ＋1＝0的解集．由A B ＝B 得BA ，∴B ＝或B ≠.当B ＝时，m ＝0；当B ≠时，m ≠0，则x ＝1m-A ，则1m-＝－3或1m -＝2，解得m ＝13或12-.综上，m ＝0或13或12-，则P ＝11,0,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 14. 答案：43因为g (x 0)＝3x 0－5，所以f [g (x 0)]＝f (3x 0－5)＝2(3x 0－5)＋3＝6x 0－7＝1，解得x 0＝43.15. 答案：④⑤ ∵所给图象为函数的局部图象，∴不能确定函数一定有最小值；由图象知函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是增函数，则f (1)－f (2)＜0，又函数y ＝f (x )是偶函数，则f (－1)＝f (1)，则f (－1)－f (2)＜0.∵f (－1)＝f (1)＞0，f (2)＞0， ∴f (－1)＋f (2)＞0.16. 答案：(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋m )－(－2x 2＋m )＝2(x 2－x 1)， ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是减函数． (2)解：∵函数f (x )是奇函数， ∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝－f (x )． ∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m )．∴m ＝0. 17. 答案：解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝2k x，其中k 1k 2≠0. ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，2k x＝2， ∴k 1＝1，k 2＝2.∴f (x )＝x ，g (x )＝2x . (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x， ∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋22x x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭＝－h (x )， ∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数． (3)由(2)知h (x )＝x ＋2x，设x 1，x 2是(0]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则h (x 1)－h (x 2)＝121222x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(x 1－x 2)＋1222x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(x 1－x 2)12121212()(2)21x x x x x x x x ⎛⎫---=⎪⎝⎭， ∵x 1，x 2(02，且x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜2.∴x 1x 2－2＜0，(x 1－x 2)(x 1x 2－2)＞0. ∴h (x 1)＞h (x 2)．∴函数h (x )在(02]上是减函数，函数h (x )在(02]上的最小值是h 2)＝22 即函数f (x )＋g (x )在(02]上的最小值是22.。
高中数学人教版必修1第一章集合与函数概念单元测试卷(A)(含答案)
第一章 集合与函数概念 单元测试卷（A ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,2,4} C ．{1,2,4}D ．∅2．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝x 2＋2，x ∈U }，集合N ＝{y |y ＝3x ，x ∈U }，则M ∩N 等于( ) A ．{1,3,2,6} B ．{(1,3)，(2,6)} C ．MD ．{3,6}3．如图1所示，阴影部分表示的集合是( ) A ．(∁U B )∩A B ．(∁U A )∩B C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )图14．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈Z }，A ，B 是U 的两个真子集，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,9}，A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4,6,8}，则( )A ．5∈A ，且5∉B B ．5∉A ，且5∉B C ．5∈A ，且5∈BD ．5∉A ，且5∈B5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )6．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5] C ．(0,20)D ．N7．图中给出的对应是从A 到B 的映射的是( )8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0，则f [f (－2)]的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－49．函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的值域是( )A ．RB ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)10．已知函数f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的部分图象如图4所示，则不等式xf (x )<0的解集是( )图4A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)11．定义在R 上的偶函数f (x )在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，f (7)＝6，则f (x )( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是612．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0，则( )A ．f (－5)<f (4)<f (6)B ．f (4)<f (－5)<f (6)C ．f (6)<f (－5)<f (4)D ．f (6)<f (4)<f (－5)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________.14．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是________．15．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|(0<x <2)，2－|x －1|(x ≤0，或x ≥2)，则函数y ＝f (x )与y ＝12的图象的交点个数是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．18．(12分)设A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ＝{x |x (x ＋4)(x －12)＝0，x ∈Z }．若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．19．(12分)已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数． (1)求证：函数f (x )在R 上是减函数； (2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．20．(12分)某公司生产的水笔上年度销售单价为0.8元，年销售量为1亿支．本年度计划将销售单价调至0.55～0.75元(含端点值)，经调查，若销售单价调至x元，则本年度新增销售量y(亿支)与x－0.4成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x的函数关系式；(2)若每支水笔的成本价为0.3元，则水笔销售单价调至多少时，本年度该公司的收益比上年度增加20%?21．(12分)已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2，(1)求函数f(x)和g(x)；(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性．(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2]上的最小值．22．(12分)函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在(－1,1)上为增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.第一章集合与函数概念单元综合测试一答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．答案：C2．解析：M＝[2，＋∞)，N＝R.答案：C3．解析：因为阴影部分既在集合∁U B中又在集合A中，所以阴影部分为(∁B)∩A.U答案：A4．解析：可借助V enn图(如图2)解决，数形结合．图2答案：A5．解析：根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”对应才能构成函数关系．答案：A6．答案：B7．解析：根据映射定义，A中每一个元素在B中仅有1个元素与之对应，仅D适合．答案：D8．解析：∵x ＝－2，而－2<0， ∴f (－2)＝(－2)2＝4. 又4>0，∴f [f (－2)]＝f (4)＝4. 答案：C9．解析：画出函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的图象，如图3所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．图3答案：C10．解析：xf (x )<0⇔x 与f (x )异号，由函数图象及奇偶性易得结论． 答案：D11．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6. 答案：B12．解析：∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0，∴对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，若x 1<x 2，总有f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数．∴f (－4)>f (－5)>f (－6)．又∵函数f (x )是偶函数，∴f (－6)＝f (6), f (－4)＝f (4)，∴f (6)<f (－5)<f (4)． 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．解析：因为x ∉Q ，所以x ∈∁R Q ，又Q ＝{x |－12≤x <72}， 故∁R Q ＝{x |x <－12，或x ≥72}，故P －Q ＝{4}． 答案：{4}14．解析：由x 2＋2x －3≥0，得x ≥1或x ≤－3， ∴函数减区间为(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3]15．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )． ∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]16．解析：函数y ＝f (x )的图象如图5所示，则函数y ＝f (x )与y ＝12的图象的交点个数是4.图5答案：4三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}． ∁U A ＝{x |x <2或x >8}． ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}． (2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8.18．解：由B ＝{x |x (x ＋4)(x －12)＝0，x ∈Z }，得B ＝{－4,0}．由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .于是，A 有四种可能，即A ＝∅，A ＝{－4}，A ＝{0}，A ＝{－4,0}．以下对A 分类讨论：(1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＋4＝8a ＋8<0，解得a <－1； (2)若A ＝{－4}，则Δ＝8a ＋8＝0，解得a ＝－1.此时x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0可化为x 2＝0，所以x ＝0，这与x ＝－4是矛盾的；(3)若A ＝{0}，则由(2)可知，a ＝－1； (4)若A ＝{－4,0}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a ＋8>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上可知，a 的取值范围是{a |a ≤－1，或a ＝1}．19．解：(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋m )－(－2x 2＋m )＝2(x 2－x 1)，∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在R 上是减函数． (2)∵函数f (x )是奇函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝－f (x )． ∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m )．∴m ＝0.20．解：(1)设y ＝kx －0.4，由x ＝0.65，y ＝0.8，得k ＝0.2，所以y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，解得x ＝0.6或x ＝0.5(舍去)，所以水笔销售单价应调至0.6元． 21．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，其中k 1k 2≠0. ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，k 21＝2. ∴k 1＝1，k 2＝2.∴f (x )＝x ，g (x )＝2x . (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x ， ∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋2－x＝－(x ＋2x )＝－h (x )，∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数．(3)由(2)知h (x )＝x ＋2x ，设x 1，x 2是(0，2]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则h (x 1)－h (x 2)＝(x 1＋2x 1)－(x 2＋2x 2)＝(x 1－x 2)＋(2x 1－2x 2)＝(x 1－x 2)(1－2x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2，∵x 1，x 2∈(0，2]，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<2. ∴x 1x 2－2<0，(x 1－x 2)(x 1x 2－2)>0. ∴h (x 1)>h (x 2)．∴函数h (x )在(0，2]上是减函数，函数h (x )在(0，2]上的最小值是h (2)＝2 2.即函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值是2 2.22．解：(1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝0，f (12)＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f (x )＝x 1＋x 2. (2)证明：任取两数x 1，x 2，且－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22).因为－1<x 1<x 2<1，所以x 1－x 2<0，x 1x 2<1，故1－x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)因为f (x )是奇函数，所以由f (t －1)＋f (t )<0，得f (t －1)<－f (t )＝f (－t )．由(2)知， f (x )在(－1,1)上是增函数，所以－1<t －1<－t <1，解得0<t <12，所以原不等式的解集为{t |0<t <12}．。
2021年高中数学 第一章 集合与函数概念单元检测(3)新人教A版必修1
2021年高中数学 第一章 集合与函数概念单元检测（3）新人教A 版必修1班级 姓名 分数一、选择题：（每小题5分，共30分）。
1．在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程的实数解”中，能够表示成集合的是( )（A ）② （B ）③ （C ）②③ （D ）①②③2．若，则（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．设M={菱形}，N={平行四边形}，P={四边形}，Q={正方形}，则这些集合之间的关系为（）（A ） （B ）（C ） （D ）4．3.设，给出的4个图形中能表示集合到集合的映射的是（ ）5．有下列函数：①；②；③；④，其中是偶函数的有：（ ）（A ）① （B ）①③ （C ）①② （D ）②④6．f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)＞f[8(x-2)]的解集是（ ）(A)(0 ,+∞) (B)(0 , 2) (C) (2 ,+∞) (D) (2 ,)二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.7．若，则 .8．已知集合，则集合A 的真子集的个数是9．，的最大值是10．已知一次函数满足关系式，则___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共50分).11．（16分）设A={x ∈Z| ，，求：（1）；（2）B.12．（16分）已知函数f（x）＝x＋，且f（1）＝2．（1）求m；（2）判断f（x）的奇偶性；13．（18分）已知函数.（1）证明:在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.集合与函数概念单元检测（B卷）班级姓名分数一、选择题：（每小题5分，共30分）。
1．若，则 ( )（A）（B）（C）（D）2．已知，则（）A．5 B．－1 C．－7D．23．函数y＝＝x2－6x＋10在区间（2，4）上是（）A．递减函数B．递增函数 C．先递减再递增D．先递增再递减．4．函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（）A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤－55．若，则的值为 ( )（A）0 （B）1 （C）（D）1或6．已知定义在R上的奇函数满足，则的值为（）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）7．函数的定义域是8．已知，则9．已知函数是偶函数，的图象与x 轴有四个交点，则的所有实根之和为________10．函数对于任意实数满足条件，若 则f ( 5 ) = ___三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共50分).11．（16分）若集合{}{}2|60,|(2)()0M x x x N x x x a =+-==--=，且，求实数的值。
高中数学 第一章 集合与函数概念单元检测3 新人教A版
第一章 集合与函数概念单元检测参考完成时间：120分钟 实际完成时间：_____分钟 总分：150分 得分：______一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．给出以下五个对象，其中能构成集合的个数为( )①你所在班中身高超过1.75 m 的同学；②所有平行四边形；③某数学教辅书中的所有习题；④所有有理数；⑤2012年高考试卷中的所有难题．A ．1B ．2C ．3D ．42．设全集U ＝Z ，集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,3,5}B ．{1,2,3,4,5}C ．{7,9}D ．{2,4}3．如果全集U ＝{x |x 是小于9的正整数}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，则(U A )I (U B )为( )A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{5,6}D ．{7,8}4．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．f (x )2x g (x )＝x 2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0C ．,0,(),0,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝211x x -- 5．已知函数221,2,()3,2,x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩则f (－1)＋f (4)的值为( ) A ．－7 B ．3C ．－8D ．46．已知函数2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9C ．11D ．107．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．221y x x =-+B ．21x y x +=+(x ∈(0，＋∞))C ．2121y x x =++(x ∈N )D ．1|1|y x =+ 8．函数f (x )＝2911x x-++是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A I B ＝{1}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±110．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．R11．若函数f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，则F (x )在区间(－∞，0)上( )A ．有最小值－5B ．有最大值－5C ．有最小值－1D ．有最大值－312．函数f (x )对于任意实数x 满足f (x ＋2)＝1()f x ，若f (1)＝－5，则f (f (5))等于( )A ．2B ．5C ．－5D ．15- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数4x y -=的定义域为__________(用区间表示)． 14．若函数f (x )＝(1)(2)x x x a +-为奇函数，则a ＝__________． 15．设函数221,1,()22,1,x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围为__________． 16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，则解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{5,19}的“孪生函数”共有__________个．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U ＝R ，若集合A ＝{}310x x ≤<，B ＝{x |2＜x ≤7}．(1)求A I B ，A U B ，(U A )I (U B )；(2)若集合C ＝{x |x ＞a }，A ⊆C ，求a 的取值范围．(结果用区间或集合表示)18．(12分)已知函数35,0,()5,01,28, 1.x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩(1)求32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1πf ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (－1)的值； (2)画出这个函数的图象；(3)求f (x )的最大值．19．(12分)奇函数f (x )是定义在区间(－2,2)上的减函数，且满足f (m －1)＋f (2m －1)＞0，求实数m 的取值范围．20．(12分)利用函数的单调性定义证明函数f (x )＝1x x -，x ∈[2,4]是单调递减函数，并求该函数的值域．21．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x， (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)判断函数f (x )在区间(0,1)和(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明； (3)当x ∈(－∞，0)时，写出函数f (x )＝x ＋1x 的单调区间(不必证明)． 22．(12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3．(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．参考答案1．D 点拨：由于①②③④项中的对象具备确定性，故①②③④能构成集合．⑤项不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．2．D 点拨：题图中所示阴影表示的集合是(U A )I B ＝{2,4}．3．D 点拨：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，U A ＝{5,6,7,8}，U B ＝{1,2,7,8}，故(U A )I (U B )＝{5,6,7,8}I {1,2,7,8}＝{7,8}．4．C 点拨：选项A ，B ，D 中两函数定义域不同，只有C 项符合．5．B 点拨：f (－1)＋f (4)＝－(－1)2＋3×(－1)＋2×4－1＝3．6．C 点拨：∵2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴f (3)＝9＋2＝11．7．D 点拨：在选项A 中y 可等于零，选项B 中y 显然大于1，选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|＞0，即y ＞0．8．B 点拨：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]，且f (－x )＝f (x )，∴该函数为偶函数．9．C 点拨：由A I B ＝{1}，知1∈A ，则a 2＝1，解得a ＝±1，由于当a ＝1时，B ＝{1,1}，与元素的互异性不符，故a ＝1不合题意舍去．因此a ＝－1．10．A 点拨：二次函数的对称轴是直线2m x =-，则由题意可得－1≤2m ≤1，所以－2≤m ≤2． 11．C 点拨：∵当x ＞0时，F (x )≤5，即af (x )＋bg (x )＋2≤5，∴af (x )＋bg (x )≤3． 设x ＜0，则－x ＞0，∴af (－x )＋bg (－x )≤3，即af (x )＋bg (x )≥－3．∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2≥－1．12．D 点拨：f (5)＝1(3)f ＝f (1)＝－5， f (－5)＝1(3)f -＝f (－1)＝1(1)f ＝15-． 13．[4,5)U (5，＋∞) 点拨：由4050x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，解得x ≥4且x ≠5． 14．2 点拨：由题意知x ≠－1且x ≠2a ．因为函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称．故x ≠1，即2a ＝1，a ＝2． 15．(－∞，－1)U [1，＋∞) 点拨：f (x 0)＞1⇒001211x x ≥⎧⎨+>⎩，或02001221x x x <⎧⎪⎨-->⎪⎩，⇒x 0≥1或x 0＜－1．16．9 点拨：令2x 2＋1＝5，解得x ＝2±，令2x 2＋1＝19，解得x ＝±3．如果函数f (x )＝2x 2＋1的值域为{5,19}，则函数f (x )的定义域中最多含有4个元素2±和±3，且至少含有一个绝对值为2的实数，和至少含有一个绝对值为3的实数，所以函数f (x )的定义域可能是{2-，－3}，{2-，3}，{2，－3}，{2，3}，{2-，2，－3}，{2-，2，3}，{－3,3，2-}，{－3,3，2}，{－3，2-，2，3}．故所求“孪生函数”共有9个．17．解：(1)A I B ＝[3,7]，A U B ＝(2,10)，(U A )I (U B )＝(－∞，2]U [10，＋∞)．(2){a |a ＜3}．18．解：(1)32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(－2)×32＋8＝5，11ππf ⎛⎫= ⎪⎝⎭＋5＝5π1π+，f (－1)＝－3＋5＝2．(2)作出函数f (x )的图象如图所示．(3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )的最大值为6．19．解：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，由f (m －1)＋f (2m －1)＞0，得f (m －1)＞－f (2m －1)，即f (m －1)＞f (1－2m )．∵f (x )是定义在区间(－2,2)上的减函数， ∴2122122112m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，，，解得12-＜m ＜23． 20．证明：在区间[2,4]上任取x 1，x 2且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1221121211()(1)x x x x x x x x x --=----． ∵2≤x 1＜x 2≤4，∴x 2－x 1＞0，x 1－1＞0，x 2－1＞0．∴f (x 1)－f (x 2)＞0．∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在区间[2,4]上是减函数．∴f (x )min ＝f (4)＝43，f (x )max ＝f (2)＝2． 因此，所求函数的值域为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 21．解：(1)∵函数f (x )＝x ＋1x的定义域是(－∞，0)U (0，＋∞)，关于原点对称， 又f (－x )＝－x －1x＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x ＋1x 为奇函数． (2)证明：在区间(0,1)上任取两个数x 1和x 2，且设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)12121x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∵0＜x 1＜x 2＜1，∴0＜x 1x 2＜1，x 1－x 2＜0．∴f (x 1)－f (x 2)＞0．∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在区间(0,1)上是减函数．同理，在区间(1，＋∞)上任取两个数x 1和x 2，且设x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 1x 2＞1，x 1－x2＜0．∴f(x1)＜f(x2)．因此函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．(3)由(1)(2)知当x∈(－∞，0)时，函数f(x)＝x＋1x在区间(－∞，－1)上是增函数，在区间(－1,0)上是减函数．22．解：(1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)关于直线x＝1对称，又函数f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，由f(0)＝3，得a＝2．故f(x)＝2x2－4x＋3．(2)要使函数不单调，则2a＜1＜a＋1，则0＜a＜12．(3)由已知，即2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1，化简得x2－3x＋1－m＞0，设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min＞0，∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，得m＜－1．。
2021年高中数学 第一章 集合与函数概念单元测试 新人教A版必修1
2021年高中数学第一章集合与函数概念单元测试新人教A版必修1一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析M＝{x|x(x＋2)＝0.，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x(x－2)＝0，x∈R}＝{0,2}，所以M∪N＝{－2,0,2}．答案D2．设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A＝{－2,0,2}，则A∩B＝( )A．{0} B．{2}C．{0,2} D．{－2,0}解析依题意，得B＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}．答案 C3．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( ) A．(3，－2) B．(3,2)C．(－3，－2) D．(2，－3)解析∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．又f(－3)＝2，∴f(3)＝－2，∴点(3，－2)在函数f(x)的图象上．答案 A4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D．9解析逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案 C5．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2 C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析 ∵f (3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2，∴f (x )＝3x ＋2. 答案 B 6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 x >10，fx ＋5 x ≤10，则f (5)的值为( ) A ．16 B ．18 C ．21D ．24解析 f (5)＝f (5＋5)＝f (10)＝f (15)＝15＋3＝18. 答案 B7．设T ＝{(x ，y )|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y )|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{(2,1)}，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝－1解析 依题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1－3＝0，2－1－b ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.答案 C8．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 B9．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析 当f (0)＝1时，f (1)的值为0或－1都能满足f (0)>f (1)；当f (0)＝0时，只有f (1)＝－1满足f (0)>f (1)；当f (0)＝－1时，没有f (1)的值满足f (0)>f (1)，故有3个．答案 A10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )解析 由题设知，f (x )在(－∞，0]上是增函数，又f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数． ∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)． 又f (－n )＝f (n )，∴f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)． 答案 C11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列说法：①f (0)＝0； ②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值为－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值为1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确说法的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 ①f (0)＝0正确；②也正确；③不正确，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④正确．答案 C12．f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2014f 2013＝( ) A ．1006 B ．xx C ．xxD ．1007解析 因为对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，由f (2)＝f (1)·f (1)，得f 2f 1＝f (1)＝2，由f (4)＝f (3)·f (1)，得f 4f 3＝f (1)＝2，……由f (xx)＝f (xx)·f (1)， 得f 2014f 2013＝f (1)＝2，∴f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2014f 2013＝1007×2＝xx. 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥1，x ≠0得函数的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠0}．答案 {x |x ≥－1，且x ≠0}14．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ≤0，－2x x >0，若f (x )＝10，则x ＝________.解析 当x ≤0时，x 2＋1＝10，∴x 2＝9，∴x ＝－3. 当x >0时，－2x ＝10，x ＝－5(不合题意，舍去)． ∴x ＝－3. 答案 －315．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2为偶函数，则2a ＋ab ＝0，∴a ＝0，或b ＝－2.又f (x )的值域为(－∞，4]，∴a ≠0，b ＝－2，∴2a 2＝4. ∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案 －2x 2＋416．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买xx 吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．解析 设一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝800，y ＝1000，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝700，y ＝2000，代入求得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝9000.∴y ＝－10x ＋9000，于是当y ＝400时，x ＝860. 答案 860三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R .(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6} ＝{x |1<x ≤8}． ∁U A ＝{x |x <2，或x >8}． ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}． (2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1＋x21－x 2.(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.解 (1)由解析式知，函数应满足1－x 2≠0，即x ≠±1. ∴函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠±1}． (2)由(1)知定义域关于原点对称， f (－x )＝1＋－x 21－－x2＝1＋x 21－x2＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．(3)证明：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1， f (x )＝1＋x 21－x2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x 2＋1x 2－1＋1＋x 21－x 2 ＝x 2＋1x 2－1－x 2＋1x 2－1＝0. 19．(本小题满分12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间． 解 (1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝x 2＋2x .(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ≥0，x 2＋2xx <0.作出f (x )的图象如图所示：由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，－1]，[0,1]．f (x )的递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1， (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 解 (1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )为增函数，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )；(2)若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求a 的取值范围．解 (1)证明：∵f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x y ·y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫xy＋f (y )，(y ≠0) ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )．(2)∵f (3)＝1，∴f (9)＝f (3·3)＝f (3)＋f (3)＝2.∴f (a )>f (a －1)＋2＝f (a －1)＋f (9)＝f [9(a －1)]． 又f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1>0，a >9a －1，∴1<a <98.22．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x (元)与日销售量y (件)之间有如下表所示的关系：x 30 40 45 50 y603015(1)(x ，y )的对应点，并确定y 与x 的一个函数关系式．(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系，写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于直线y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50，且x ∈N *)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上． ∴所求函数解析式为y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50，且x ∈N *)． (2)依题意P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300.∴当x ＝40时，P 有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．€L3502788D3 裓33856 8440 葀)z33241 81D9 臙38683 971B 霛26266 669A 暚30115 75A3 疣^}37706 934A 鍊21716 54D4 哔29669 73E5 珥。
人教A版数学必修一第一章 《集合与函数概念》单元测试题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 《集合与函数概念》单元测试题姓名： 班别： 学号：一、选择题：每小题4分，共40分1、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是( )（A ）② （B ）③（C ）②③ （D ）①②③2、若{}{}|02,|12A x x B x x =<<=≤<，则A B ⋃= ( ) （A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|2x x ≥（C ）{}02x ≤≤ （D ）{}|02x x << 3、若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ⋂= ( )（A ）{}1,2 （B ）{}0,1（C ）{}0,3 （D ）{}34、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（） （A ）)1,3(- （B ）)3,1( （C ）)3,1(-- （D ）)1,3(5、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ）（A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f（C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）⎩⎨⎧-==xx x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 6、是定义在上的增函数,则不等式的解集是（ ）(A)(0 ,+∞) (B)(0 , 2) (C) (2 ,+∞) (D) (2 ,716) 7、若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ）A .是减函数，有最小值0B .是增函数，有最小值0C .是减函数，有最大值0D .是增函数，有最大值08、如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数()H h ≤≤0。
高中数学人教a版高一必修一_第一章_集合与函数概念_学业分层测评3
学业分层测评(三) 集合间的基本关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·漳州高一检测)已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则有( )A ．1∉AB ．0⊆AC ．∅⊆AD ．{0}⊆A【解析】 由已知，A ＝{1，－1}，所以选项A ，B ，D 都错误，因为∅是任何非空集合的真子集，所以C 正确．【答案】 C2．(2016·普洱高一检测)已知集合N ＝{1,3,5}，则集合N 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 ∵集合N ＝{1,3,5}，∴集合N 的真子集个数是23－1＝7个，故选C.【答案】 C3．集合A ＝{2，－1}，B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m ＝( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．4【解析】 ∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，即m 2－m －2＝0，∴m ＝2或－1.【答案】 C4．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1【解析】 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.【答案】 D5．(2016·南阳高一检测)集合M ＝x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋13，k ∈Z ，N ＝x ⎪⎪⎪x ＝k ＋13，k ∈Z ，则( ) 【导学号：97030012】A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ∅ 【解析】 ∵M 中：x ＝k 2＋13＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋13，k ＝2n ，n ∈Z n ＋56，k ＝2n ＋1，n ∈Z .N 中：x ＝k ＋13＝n ＋13，k ＝n ∈Z ，∴N ⊆M .【答案】 C二、填空题6．设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，则a ＋2b ＝________. 【解析】∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，而a ≠0，∴a ＋b ＝0，b a ＝－1，从而b ＝1，a ＝－1， 可得a ＋2b ＝1.【答案】 17．已知集合A ＝{x |1＜x －1≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.【解析】 ∵A ＝(2,5]，A ⊆B ，∴5＜a ，又a ∈(c ，＋∞)，∴c ＝5.【答案】 58．(2016·保定高一检测)设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，则满足B ⊆A 的实数m 的取值集合为________．【解析】 ∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，又∵B ⊆A ，当m ＝0，mx ＋1＝0无解，故B＝∅，满足条件，若B ≠∅，则B ＝{－3}，或B ＝{2}，即m ＝13，或m ＝－12，故满足条件的实数m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12 三、解答题9．(2016·菏泽高一检测)已知A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }．(1)若B ⊆A ，求a 的取值范围；(2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．【解】 (1)因为B ⊆A ，B 是A 的子集，由图(1)得a ≤3.(1)(2)因为A ⊆B ，A 是B 的子集，由图(2)得a ≥3.(2)10．已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎨⎧ Δ＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. (3)当B ＝{－4}时，有⎩⎨⎧Δ＝0a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.[能力提升]1．(2016·石家庄高一检测)已知集合A 满足{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4}，则集合A 的个数为( )A ．8B ．2C ．3D ．4 【解析】 由题意，集合A 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.【答案】 D2．(2016·达州高一检测)下列四个集合中，是空集的是( )A ．{x |x ＋3＝3}B ．{(x ，y )|y 2＝－x 2，x ，y ∈R }C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R }【解析】 根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0；对于选项B ，(0,0)是集合中的元素；对于选项C ，由于x ＝0成立；对于选项D ，方程无解．故选D.【答案】 D3．(2016·衡水高一检测)若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a 、b 、c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a 、b 、c 是等差的．若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”．若集合M ＝{x ||x |≤2 016，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M .则：(1)“好集”P 中的元素最大值为__________________；(2)“好集”P 的个数为______________________．【解析】 (1)∵1a ＋1b ＝2c ，且a ＋c ＝2b ，∴(a －b )(a ＋2b )＝0，∴a ＝b (舍)，或a ＝－2b ，∴c ＝4b ，令－2 016≤4b ≤2 016，得－504≤b ≤504，∴P 中最大元素为4b ＝4×504＝2 016.(2)由(1)知P ＝{－2b ，b,4b }且－504≤b ≤504，∴“好集”P 的个数为2×504＝1 008.【答案】 (1)2 016 (2)1 0084．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |m －2＜x ＜2m －3}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．【导学号：97030013】【解】 ∵集合A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |m －2＜x ＜2m －3}，且B ⊆A ，∴当B ≠∅时，应有⎩⎨⎧ m －2≥－32m －3≤5m －2<2m －3，解得1＜m ≤4. 当B ＝∅时，应有m －2≥2m －3，解得m ≤1.综上可得，实数m 的取值范围为(－∞，4].。
高中数学 第一章 集合与函数概念本章测评 新人教A版必修1
第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩(∁U B)=()A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}解析:∵∁U B={2,5},A={2,3,5},∴A∩(∁U B)={2,5}.故选B.答案:B2.(2016·福建福州长乐一中高一月考)在映射f:A→B中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且f:(x,y)→(x-y,x+y),则与A中的元素(-1,2)对应的B中的元素为()A.(-3,1)B.(1,3)C.(-1,-3)D.(3,1)解析:∵x-y=-1-2=-3,x+y=-1+2=1,∴与A中的元素(-1,2)对应的B中的元素为(-3,1).答案:A3.已知全集U=R,集合P={x∈N*|x<7},Q={x|x-3>0},则图中阴影部分表示的集合是()A.{1,2,3,4,5,6}B.{x|x>3}C.{4,5,6}D.{x|3<x<7}解析:由题意知P={1,2,3,4,5,6},Q={x|x>3},则阴影部分表示的集合是P∩Q={4,5,6}.答案:C4.函数f(x)=的图象是()解析:由于f(x)=故选C.答案:C5.函数f(x)=的定义域为()A.[-1,2)∪(2,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,2)D.[-1,+∞)解析:由解得x≥-1,且x≠2.答案:A6.若函数f(x)=x2-x-3,则f(f(2))的值为()A.-1B.-3C.0D.-8解析:f(2)=22-2-3=-1,f(f(2))=f(-1)=(-1)2-(-1)-3=1+1-3=-1.答案:A7.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则()A.函数f(x2)是奇函数B.函数[f(x)]2是奇函数C.函数f(x)·x2是奇函数D.函数f(x)+x2是奇函数解析:f((-x)2)=f(x2),则函数f(x2)是偶函数,故A错误;[f(-x)]2=[-f(x)]2=[f(x)]2,则函数[f(x)]2是偶函数,故B错误;函数f(-x)·(-x)2=-f(x)·x2,则函数f(x)·x2是奇函数,故C正确;f(-x)+(-x)2≠f(x)+x2,且f(-x)+(-x)2≠-f(x)-x2,则函数f(x)+x2既不是奇函数又不是偶函数,故D错误.答案:C8.(2016·湖南岳阳一中高一月考)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f 的x的取值范围是()A. B.C. D.解析:∵函数f(x)是偶函数,∴f(2x-1)<f等价于f(|2x-1|)<f.又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴|2x-1|<,解得<x<.答案:A9.若函数f(x)=满足f(f(x))=x,则常数c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3解析:f(f(x))==x,即x[(2c+6)x+9-c2]=0,所以解得c=-3.故选B.答案:B10.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为()A.31B.17C.-17D.15解析:令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数.因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.答案:A11.若f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是()A. B.C. D.解析:由题意可得解得≤a<,故选A.答案:A12.导学号29900060定义运算a b=则函数f(x)=x2 |x|的图象是()解析:根据运算a b=得f(x)=x2 |x|=由此可得图象如图所示.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=则f(f(1))的值为.解析:f(1)=5-1=4,f(f(1))=f(4)=42+7×4=44.答案:4414.若函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是.解析:f(x)==a+.∵y=在区间(-2,+∞)上是减函数,∴1-2a>0,∴a<.答案:a<15.已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={y|0≤y≤2},从A到B的对应关系f分别为:①f:x→x;②f:x→x-2;③f:x→;④f:x→|x-2|.其中表示函数关系的是.(只填序号)解析:由函数的定义可判定①③④正确.对于②,由于当0≤x≤4时,-2≤x-2≤2.显然不满足函数的定义.答案:①③④16.导学号29900061已知函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2.当x1≠x2时,恒有<0,则称函数f(x)为“理想函数”.在下列三个函数中:(1)f(x)=,(2)f(x)=x2,(3)f(x)=“理想函数”有(只填序号).解析:由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上是减函数.函数f(x)=是奇函数,其虽然在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但不能说其在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,所以f(x)=不是“理想函数”;函数f(x)=x2是偶函数,且其在定义域R上先减后增,也不是“理想函数”;函数f(x)=是“理想函数”.答案:(3)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知A={1,2,x},B={1,x2},且A∩B=B,求x的值.解:∵A∩B=B,∴x2=2或x2=x,即x=±或x=0或x=1.当x=时,A={1,2,},B={1,2},符合题意;当x=-时,A={1,2,-},B={1,2},符合题意;当x=0时,A={1,2,0},B={1,0},符合题意;当x=1时,A={1,2,1},B={1,1},由集合中元素的互异性知x=1不符合题意,应舍去.故x=±或x=0.18.(本小题满分12分)已知f(x)=,x∈[2,6].(1)证明f(x)是定义域上的减函数;(2)求f(x)的最大值和最小值.解:(1)设2≤x1<x2≤6,则f(x1)-f(x2)=.因为x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)是定义域上的减函数.(2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=,f(x)max=f(2)=1.19.(本小题满分12分)(2016·河北正定中学高一月考)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设F(x)=(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小.解:(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.由f(x)≥0恒成立知,a>0,且Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1.从而f(x)=x2+2x+1.故F(x)=(2)由(1)知,f(x)=x2+2x+1,∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1.由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6.故k的取值范围为k≤-2或k≥6.(3)∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,b=0.∵a>0,∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数.对于F(x),当x>0时,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x);当x<0时,-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),∴F(-x)=-F(x),且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数.由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0,由m>-n>0,知F(m)>F(-n)=-F(n),∴F(m)+F(n)>0.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.(1)求m,n的值;(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.解:(1)由题意知f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴将上式联立方程组解得(2)f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.证明如下:设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+=(x1-x2)=(x1-x2).∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2>2>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.故x的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).21本小题满分12分)已知f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求f(0);(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.(1)解:令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1.(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上为增函数.(3)解:∵f(ax-2)+f(x-x2)<3,即f(ax-2)+f(x-x2)-1<2,∴f(ax-2+x-x2)<2.∵f(1)=2,∴f(ax-2+x-x2)<f(1).又f(x)在R上为增函数,∴ax-2+x-x2<1.∴x2-(a+1)x+3>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=x2-(a+1)x+3,当≤1,即a≤1时,由g(1)>0,得a<3,∴a≤1;当>1,即a>1时,由Δ<0,即(a+1)2-3×4<0,得-2-1<a<2-1,∴1<a<2-1.综上,实数a的取值范围为(-∞,2-1).22本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;(3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.解:(1)由题意知二次函数图象的对称轴为x=,最小值为,可设f(x)=a(a≠0).因为f(x)的图象过点(0,4),则a=4,解得a=1,所以f(x)==x2-3x+4.(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其图象的对称轴为x=t.当t≤0时,函数h(x)在区间[0,1]上是增函数,所以h(x)的最小值为h(0)=4;当0<t<1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;当t≥1时,函数h(x)在区间[0,1]上是减函数,所以h(x)的最小值为h(1)=5-2t.所以h(x)min=(3)由已知得f(x)>2x+m在区间[-1,3]上恒成立,∴m<x2-5x+4在区间[-1,3]上恒成立,∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).令g(x)=x2-5x+4,∵g(x)=x2-5x+4在区间[-1,3]上的最小值为-,∴m<-.故实数m的取值范围为m<-.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 集合与函数概念本章知识结构本章测试1.下列四个命题：其中正确的有（ ）①∅=｛0｝ ②空集没有子集 ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集 ④空集是任何一个集合的子集.A.0个B.1个C.2个D.3个思路解析：∅是不含有任何元素的集合，而｛0｝是含有元素0的集合，所以①是错误的；任何一个集合都是它本身的子集，空集只有它本身一个子集，同时空集也是任何一个集合的子集，因此②③是错误的，④是正确的.故答案应选B. 答案：B2.在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A.f （x ）=x-1，g （x ）=112+-x xB.f （x ）=｜x+1｜，g （x ）=⎩⎨⎧-<---≥+.1,1,1,1x x x xC.f （x ）=x+1，x ∈R ，g （x ）=x+1，x ∈ZD.f （x ）=x ，g （x ）=（x ）2思路解析：选项A 、C 、D 两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，应选B. 答案：B3.已知M=｛x 2，2x-1，-x-1｝，N=｛x 2+1，-3，x+1｝，且M ∩N=｛0，-3｝，则x 的值为（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2思路解析：∵M ∩N=｛0，-3｝，可知N 中有元素0，由于x 2+1≠0，故只能是x+1=0，解得x=-1，此时M={1,-3,0},N={2,-3,0}，符合题意.应选A. 答案：A 4.y=f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则它的图象必经过点（ ） A.（-a ，-f （-a ）） B.（a ，-f （a ）） C.（a ，f （1a ）） D.（-a ，-f （a ））思路解析：由函数解析式的含义可知函数f （x ）的图象经过点（a ，f （a ）），又因为y=f （x ）（x ∈R ）是奇函数，所以有f （-a ）=-f （a ），即函数图象经过点 （-a ，-f （a ）），应选D. 答案：D5.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）=1.06×（0.5·［m ］+1）（元）决定，其中m ＞0，［m ］是小于或等于m 的最大整数，则从甲地到乙地通话时间为6.5分钟的电话费为（ ）A.3.71元B.3.97元C.4.24元D.4.77元 思路解析：根据题意知m=6.5，［m ］=6， 所以f （m ）=1.06×（0.5·［m ］+1）=1.06×4=4.24元，应选C. 答案：C6.已知集合M 、P 、S ，满足M ∪P=M ∪S ，则（ ） A.P=S B.M ∩P=M ∩SC.M ∩（P ∪S ）=M ∩（P ∩S ）D.（S ∪M ）∩P=（P ∪M ）∩S思路解析：特例法，举M={1,2}，P={3}，S={1,2,3},满足M ∪P=M ∪S ，而P ≠S ，M ∩P ≠M ∩S ，M ∩（P ∪S ）={1,2}，M ∩（P ∩S ）=∅，所以A 、B 、C 均是错误的，故正确答案应该为D.答案：D7.已知集合P={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q={x ∈R |x 2+x-6≤0},则P ∩Q 等于( )A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3} 思路解析：P=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,Q=｛-3,2｝,P ∩Q=｛2｝. 答案：A8.函数y=ax 2+a 与y=xa（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）思路解析：从A 中的反比例图象可以看出a>0，此时y=ax 2+a 应是开口向上，且与x 轴没有交点的抛物线，故A 、B 、C 均是错误的；而对于D 可知a ＜0，y=ax 2+a 应是开口向下，且与x 轴没有交点的抛物线，所以D 是正确的. 答案：D9.已知集合M=｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝，N=｛x ｜x —a ≤0｝，若M ∩N ≠∅，则a 的取值范围是（ ）A.（-∞，2）B.（-1，+∞）C.(-∞，1) D(-∞，1] 思路解析：由题意知M=｛x ｜-1＜x ＜2=，N={x ｜x ≤-a}，若M ∩N ≠∅，根据数轴，可得-a>-1即a ＜1，故选C. 答案：C 10.函数y=2)1(20++--x x x 的定义域为( )A.（-1， 2）B.（-1，1）∪（1，2）C.(-∞，1)∪（1，+∞）D.［-1，1］∪（1，2] 思路解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧>++-≠.02,12x x x 解得（-1，1）∪（1，2）.答案：B11.函数f （x ）=-x 2+2（a-1）x+3在（-∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A.a ≥5 B.a ≥3 C.a ≤3 D.a ≤-5思路解析：本题作出函数f （x ）=-x 2+2（a-1）x+3的图象，可知此函数图象的对称轴是x=a-1，由图象可知，当a-1≥4，即当a ≥5时，函数f （x ）=-x 2+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是增函数． 答案：A12.已知集合A=｛x ｜y=x 2-2x-3，x ∈R ｝，B=｛y ｜y=x 2-2x+2，x ∈R ｝，则A ∩B=_________.思路解析：集合A=｛x ｜y=x 2-2x-3，x ∈R ｝表示函数y=x 2?x-3的定义域，所以A=R ；而B=｛y ｜y=x 2-2x+2，x ∈R ｝表示函数y=x 2-2x+2的值域，应有B=｛y ｜y ≥1｝，因此A ∩B=｛y ｜y ≥1｝. 答案：｛y ｜y ≥1｝13.如右图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____________，这个函数的定义域为___________________.思路解析：围成的几何体是一个长方体，它的底面积为(a-2x)2,高为x ，所以体积V=x(a-2x)2，而x 满足a-2x ＞0且x ＞0，所以0＜x ＜2a. 答案：V=x （a-2x ）2{x|0＜x ＜2a } 14.给定映射f ：（x ，y ）→（x ，x+y ），在映射f 下象（2，12）的原象是（a ，b ），则函数f （x ）=ax 2+bx 的顶点坐标是____________________. 思路解析：根据题意有a=2，a+b=12，解得a=4，b=8，所以函数f(x)=4x 2+8x=4(x+1)2-4，其顶点坐标为(-1,-4). 答案：(-1,-4)15.函数f （x ）=x 2-2｜x ｜的单调减区间是____________________.思路解析：因为f （-x ）=x 2-2｜x ｜=f （x ），所以f(x)是偶函数，我们可先考虑x ＞0的情况，当x ＞0时，f(x)=x 2-2x ，函数在(0,1)上为减函数，在［1,+∞)上为增函数；由于偶函数的图象关于y 轴对称，故函数在(-1,0)上为增函数，在(-∞,-1)上为减函数. 答案：(0,1)和(-∞,-1]16.设A={x|x 2-x-12=0} ，B={x|x 2-2ax+b=0}，若B ≠∅,且A ∪B=A,求a 、b 的值. 思路解析：分别将每一个集合化简，再利用集合的运算进行求解.解：∵A={x|x 2-x-12=0}={-3,4}, 若B ≠∅,且A ∪B=A ，则B ⊆A, 当A=B 时，a=21,b=-12； 当B={-3}时，a=-3,b=9； 当B={4}时，a=4,b=16. 因此，a=21,b=-12或A=-3,b=9或 a=4,b=16. 17.设g(x)=⎩⎨⎧>≤,0,ln ,0,x x x e x 则g ［g(21)］=__________________.解：依题可知g(21)=ln 21=-ln2＜0 所以,g ［g （21）］=g(-ln2)=21ln e =21.18.已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(0＜a ＜3＝,若x 1＜x 2,x 1+x 2=1-a,则（ ）A.f(x 1)＜f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)＞f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定思路解析：由f(x)=ax 2+2ax+4(0＜a ＜3＝，得f(x)为二次函数，且对称轴为x 0=-1, ∵x 1+x 2=1-a,∴221x x +=21a -,即x 1,x 2中点横坐标为21a -,又∵0＜a ＜3,∴21a-＞-1.∵x 1＜x 2, 如右图∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离，∴f(x 1)＜f(x 2). 答案：A19.快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，各沿箭头方向航行，如右图所示，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC=150千米，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？思路解析：解决有关函数的应用题，关键在于审清题意，正确列出函数模型. 解：设经过x 小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为y ，y=22)15()45150(x x +-（0＜x ≤310）, 可求得当x=3时，y 有最小值．答：经过3小时后，快艇和轮船之间的距离最短.20.设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （3）=1，求解不等式f （x ）+f （x-2）＞1.思路解析：对抽象不等式，常把常数看成某些变量的函数值，再利用函数的性质去“外层包装”，取出x ，化成一元一次或二次不等式求解. 解：由条件可得f （x ）+f （x-2）=f ［x （x-2）］，1=f （3）． 所以f ［x （x-2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数， 所以有x （x-2）＞3，可解得x ＞3或x ＜-1． 答案：x ＞3或x ＜-1 21.已知函数f （x ）=x+xm，且f （1）=2. （1）求m ；（2）判断f （x ）的奇偶性；（3）判断函数f （x ）在［1，2］上的单调性，并求函数f （x ）在［1，2］上的最值. 思路解析：判断函数的奇偶性，首先观察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 f （-x ）与f(x)的关系；而证明在某一区间上的单调性，常用定义进行证明，由于单调函数在闭区间内肯定有最值，可根据单调性求出最值. 解：（1）f （1）=1+m=2，解得m=1． （2）f （x ）=x+x 1，f （-x ）=-x-x1=-f （x ）， ∴f （x ）是奇函数．（3）设x 1、x 2是［1，2］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则 f （x 1）-f （x 2）=x 1+11x -（x 2+21x ）=x 1-x 2+（11x -21x ）=x 1-x 2-2121x x x x -=（x 1-x 2）21211x x x x -． 当1≤x 1＜x 2≤2时，x 1x 2＞1，x 1x 2-1＞0，从而f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴函数f （x ）=x 1+x 在［1，2］上为增函数，其最小值为 f （1）=2，最大值为f （2）=25.。