湖南省岳阳市2017届高三1月联考试题数学(理) Word版含答案

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【数学】湖南省岳阳市1月2017届高三联考试题(理)

湖南省岳阳市1月2017届高三联考试题（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}2016,2015{=A ，非空集合B 满足}2016,2015{=B A ，则满足条件的集合B 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 2.函数y=xx --2)1(log 2的定义域是（）A ．(]2,1B ．（1，2）C ．（2，+∞）D ．(-∞,2) 3.已知空间中两点(123)A ，，，),24(a B ，，且||AB =10，则a 的值是（） A ．2 B ．4 C ．0 D ． 2或4 4.某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是（）A ．56125+B ．60125+C ．3065+D ．2865+5.直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线124x y-=平行，则直线l 的方程是（）A ．240x y --=B ．230x y +-=C ．20x y -=D ．230x y -+=6.设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<7.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若//,//,αβαγ则//βγ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③若,//m m αβ⊥，则αβ⊥④若//,m n n α⊂，则//m α其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8.函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f (x ＋1)为奇函数，当x >1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )图象的所有交点的横坐标之和是 ( )A ．1B ．2C ．4D ．5 9.若1x 满足225x x +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，则1x +2x =（） A ．25 B ．3 C ．27D ．4 10.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 11.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是 ( )A ．（9，49）B ．（13，49）C ．（9，25）D ．（3，7） 12.将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A ．3263+ B ． 2+263 C ． 4+263 D ．43263+二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数log (1)8a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f =___________．14.直线()()2132150m x m y m ++-+-=被圆2216x y +=截得弦长的最小值为.15.已知函数22, 0,()3, 0xa x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 16.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =.有下列结论：①AC BE ⊥； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等. 其中正确的有.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设U R =,}{}{13,24A x x B x x =≤≤=<<，}{1C x a x a =≤≤+（a 为实数）（1）分别求A B ，()U A C B ；（2）（2）若B C C = ，求a 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知△ABC 的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=． ⑴求顶点C 的坐标； ⑵求直线BC 的方程．19.（本小题满分12分）已知如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，且AB AC ⊥，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线11A B 上.（1）若P 为11A B 中点，求证：//NP 平面11ACC A ；（2）证明：PN AM ⊥20.（本小题满分12分）已知圆O 的直径AB=4，定直线l 到圆心的距离为4，且直线l ⊥直线AB. 点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交l 与M 、N 点. 如图，以AB 为x 轴，圆心O 为原点建立平面直角坐标系xOy . （1）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程；（2）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点.21. （本小题满分12分）如图甲，⊙O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使4C AB π∠=，3DAB π∠=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．P 为AC 上的动点，根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥ABC D -的体积．（2）求证：不论点P 在何位置，都有DE ⊥BP ；（3）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG ∥平面A C D ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．22. （本小题满分12分）设函数2()log (124)x x f x a =+⋅+，其中a 为常数（1）当(2)(1)2f f =+时，求a 的值；（2）当[1,)x ∈+∞时，关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，试求a 的取值范围；（3）若a R ∈，试求函数()y f x =的定义域.参考答案一、选择题1-5 CBDCC 6-10 AADCA 11-12 AC 二、填空题13.27 14、214 15、491a <≤ 16、①②③.三、解答题17.（本小题满分10分）解：(1) A∩B={x |2<x ≤3}，…………2分U B={x |x ≤2或x ≥4}A ∪(U B)= {x |x ≤3或x ≥4}……………….5分(2)∵B∩C=C∴C ⊆B……………………….7分 ∴2<a <a +1<4……………….9分 ∴2<a <3∴a 的取值范围为（2,3）……………………..10分 18.（本小题满分12分）⑴解：由题意可知，直线AC 的斜率为2-，又(5,1)A ，∴直线AC 的方程为2110x y +-=. ………3分且点C 在直线方程为250x y --=上， ………4分联立可求(4,3)C . ………6分⑵由题意可知，点B 在直线方程为250x y --=上，不妨设(25,)B t t +，所以AB 的中点M 的坐标为1(5,)2t t ++，且点M 在直线250x y --=上，代入可求3t =-。

2017年湖南省岳阳市高考一模数学理

6.已知函数 f(x)=sin(2ωx解析：∵函数 f(x)的最小正周期为 4π， ∴T
)
2 1 4 ，即， 2 4
则函数 f x sin 2

1 1 x sin x ， sin sin 0 ，且 f 1 ， 6 2 6 6 12 6
y 2 5.若变量 x，y 满足不等式组 x y 1 ，且 z=3x-y 的最大值为 7，则实数 a 的值为( x y a
A.1 B.7 C.-1 D.-7
)
y 2 解析：作出不等式组 x y 1 所对应可行域，如图， x y a
故 S sin 答案：D.

3
sin
2 2016 =336×0=0， sin sin 3 3
10.已知圆 C：(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆上存在点 P 使得 PA PB ＝0，则 m 的取值范围是( ) A.(-∞，4] B.(6，+∞) C.(4，6) D.[4，6] 解析：∵圆 C：(x-3)2+(y-4)2=1， ∴圆心 C(3，4)，半径 r=1；设点 P(a，b)在圆 C 上，则 AP =(a+m，b)， BP =(a-m，b)； ∵ PA PB ＝0 ∴(a+m)(a-m)+b2=0；即 m2=a2+b2； ∴ OP
x 2 2 x 3
x 2 2 x 3
1} ，则 A∩B=(
)
1} ={x|-1＜x＜3}，
∴A∩B={0，2}. 答案：C. 2.已知复数 z 满足 z i 2 i (i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：由 z i 2 i ，得 z＝

【湖南省岳阳县第一中学】2017届高三上学期开学考试理科数学试卷

湖南省岳阳县第一中学2017届高三上学期开学考试理科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,7A =，(){}2log 1,B x x a a A ==+∈，则A B =I （） A ．{}1,3B ．{}5,6C ．{}4,5,6D ．{}4,5,6,72．已知命题,p q 是简单命题，则“p ⌝是假命题”是“p q ∨是真命题”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（） A ．110B ．15C ．25D ．124．已知121333211,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．函数()()sin 0f x x ωω=>的图像向右平移π12个单位得到函数()y g x =的图像，并且函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的值为（）A ．74B ．32C ．2D ．546．已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为（） A ．8-B ．8C ．8±D ．98±7．已知实数x ，y 满足21y x x y a x ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，其中()3201a x dx =-⎰，则实数1y x +的最小值为（）A ．32B ．52C ．23D ．438．若,x y 满足1ln0x y-=，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为（）A ．1021-B ．102C ．1031-D ．10310．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A．23B ．43C ．83D ．411．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PB QF kk 的取值范围是（）A ．33,0,44⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．()3,00,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭UC ．()(),10,1-∞-UD ．()(),00,1-∞U12．若关于x 的不等式e 20x x ax a -+<的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．221,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1e ,3e 4e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,e3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．e ,e 4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若函数()()e e sin x xf x a x -=+为奇函数，则y ________．14．在ABC △中，4AB =，30ABC ∠=o，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC •=•u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD AB •u u u r u u u r的值为_________．15．在平面直角坐标系()0,0B 中，将直线y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积13100πππ33V xdx x ===⎰圆锥．据此类比：将曲线2ln y x =与直线1y =及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n n =+，()1cos 1πn n n b a a n +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2n T tn ≥对*n ∈N 恒成立，则实数t 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为锐角ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=- （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若()2cos cos 222xx xf x •+，求()f B 的取值范围． 18．（本小题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M ；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为,x y ．若10x y -≥，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率1P ；（Ⅲ）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，120BCD ∠o ＝，四边形BFED 是以BD 为直角腰的直角梯形，22DE BF ==，平面BFED ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ；（Ⅱ）在线段EF 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面ADE ．若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 1：()222210x y a b a b+=>>，()2,1P -是1C 上一点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设A 、B 、Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 与1C 相交于不同于P 、Q 的两点C 、D ，点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数()()ln f x x a x =+-，曲线()y f x =与x 轴相切．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数m 使得()()1e x f x m x>-恒成立？若存在，求实数m 的值；若不存在，说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫•- ⎪⎝⎭（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 切线，切点为,A B ，求四边形AMBC 面积的最小值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式32x x m m --≥＋的解集为R ．（Ⅰ）求m 的最大值；（Ⅱ）已知0a >，0b >，0c >，且a b c m ++=，求22249a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值．。

岳阳市2017届高三教学质量检测试卷(一)(理科)数学试题含答案

岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（一）数学（理工类）第Ⅰ卷本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分，共23题，时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合}2,0,2{-=A ，3222|{--=x xx B ≤}1，则=B A （）A ．}0{B ．}2{C ．}2,0{D ． }0,2{-2．已知复数z 满足i i z -=⋅2（i 为虚数单位），则z 在复平面对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“m ⊥β”是 “α⊥β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数ax x f =)(满足4)2(=f ，那么函数)1(log )(+=x x g a 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若变量y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤a y x y x y 12，且y x z -=3的最大值7，则实数a 的值为（）A ． 1B ． 7C ．1-D ． 7-6．已知函数()()sin 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则（）A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．函数()f x 的图象在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 7．将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A ．14B ．15C ．16D ．178．某四面体的三视图如图2，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（） A ． 12π B ．C ．48π D．9．某一算法框图如图3，输出的结果S 的值为（）A ．B． CD ． 010．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点)0,(m A -，)0,(m B )0(>m ，若圆上存在点P ，使得0=⋅PB PA ，则m 的取值范围是（）A ．]4,(-∞B ．),6(+∞C ． )6,4(D ． ]6,4[11．在平面直角坐标系xoy 中，双曲线:1C 12222=-by a x)0,0(>>b a 的渐近线与抛物线2C ：px y 22=)0(>p 交于点O若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 A ．23B ．5C ．553D ．2512．定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在),(,2121b x x a x x <<<满足1()()()f b f a f x b a-'=-，2()()()f b f a f x b a -'=-，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“中值函数”. 已知函数m x x x f +-=232131)(是],0[m 上“中值函数”，则实数m 的取值范围是（）A ．)1,43(B ．)23,43(C ．)23,1( D ． ),23(+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题–第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题–第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13． ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60=A ，4=b14．若二项式n xx )(-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 .15．矩形OABC 的四个顶点坐标依次为)0,0(O ，)0,2(πA ，)1,2(πB ，)1,0(C ，线段OA ， OC 及x y cos =0(≤x ≤)2π的图象围成的区域为Ω，若矩形OABC 内任投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率是 .16．定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足：①当)2,1[∈x 时，2321)(--=x x f ； ②),0[+∞∈∀x ，都有)(2)2(x f x f =.设关于x 的函数a x f x F -=)()(的零点从小到大依次为 ,,,,21n x x x .若)1,21(∈a ，则=+++n x x x 221 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：21n n S a +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设133log log 2+⋅=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：2<n T .根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/ 立方米）的监测数据，数据统计如右表： (Ⅰ)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制的样本频率分布直方图如图4．（ⅰ）求图4中a 的值；（ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境空气质量是否需要改善？说明理由；(Ⅱ) 将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图5，已知长方形ABCD中，AB =AD =M 为DC 的中点．将ADM∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． (Ⅰ)求证：AD BM ⊥；(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --．的两个焦点为1F ，2F ，离心率为，点A ，B 在椭圆上，1F 在线段AB 上，且2ABF ∆的周长等于（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M ，N ，求PMN ∆面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数22)1()1ln()(x xax x x f ++-+=． (Ⅰ)当1=a 时，求函数)(x f 在1-=e x 处的切线方程；(Ⅱ)当a <23≤2时，讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅲ)若0>x ，求函数x xx xx g 1)1()11()(++=的最大值．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。

湖南省2017届高三摸底联考(全国卷)理数试题 Word版含答案

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 0M x x =≥，{}2|4N x x =≤，则MN =（）A ．[]1,2B ．[]0,2C ．[]1,1-D ．()0,2 2.已知i 为虚数单位，设复数11iz i i-=-++，则z 的虚部为（） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．-23.已知双曲线()22210x y a a-=>的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =± B．y = C ．14y x =±D ．12y x =± 4.在等比数列{}n a 中，218,a a 是方程2640x x ++=的两根，则41610a a a +=（） A ．6 B ．2 C.2或6 D ．-2 5.设实数2log 3a =，131log 2b =，01sin c xdxπ=⎰，则（）A ．a b c >>B ．a c b >> C.b a c >> D ．b c a >> 6.执行如下程序，输出S 的值为（）A ．10072015 B ．10082017 C.20162017 D ．201540327.函数()221x x e x f x e =+的大致图象是（）A ．B ． C.D ．8.如图，边长为1的网格上为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．213π+B ．4233π+ C. 433π+ D ．43π+ 9.2016年11月16日〜18日，备受世界瞩目的第三届世界互联网大会在浙江乌镇召开，会议期间，组委会将,,,,,A B C D E F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求A B 、必须相同，且每组至少2人，则不同的分配方法有（） A ．18种 B ．20种 C. 22种 D ．以上都不对10.设抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上的一点，且PA l ⊥，A 为垂足，若直线AF 的倾斜角为135︒，则PF =（）A ．1B ．11.已知P ABC -是正三棱椎，其外接球O 的表面积为16π，且30APO BPO CPO ∠=∠=∠=︒，则三棱锥的体积为（）A B C.．12.若函数()11sin cos 3cos 422f x x x a x a x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(],0-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式()3nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，则展开式中含x 项的系数为．14.已知菱形ABCD 的中心为O ，3BAD π∠=，1AB =，则()()OA OBAD AB -+等于．15.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，…，即()1F x =，()()()()123,F n F n F n n n N *=-+-≥∈，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2017b = ．16.已知,x y 满足约束条件,4,1,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若不等式()()222m x y x y +≤+恒成立，则实数m 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2b是2sin cos a A C 与sin 2c A 的等差中项.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥于点O ，E 为线段PC 上一点，且AC BE ⊥.（Ⅰ）求证：OE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若//BC AD ，BC =AD =3PA =，且A B C D =，求二面角C PD A--的余弦值.19.（本小题满分12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值85μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于3μσ-或车速大于2μσ+是需矫正速度. （Ⅰ）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；（Ⅱ）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；（Ⅲ）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ε，求ε的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为()0,1，离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 是椭圆C 上的动点（不在x 轴上），过右焦点2F 作直线2PF 的垂线交直线:2l x =于点Q .判断点P 运动时，直线PQ 与椭圆C 的位置关系，并证明你的结论. 21.（本小题满分12分）已知函数()()ln ,a xf x b a b R x=+∈的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-. （Ⅰ）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当()()()1212f x f x x x =≠时，比较12x x +与2e （e 为自然对数的底数）的大小. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线:10l x y --=，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ-=.（Ⅰ）将直线l 写成参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，[)0,απ∈）的形式，并求曲线的直角坐C 标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点,A B （点A 在第一象限）两点，若点M 的直角坐标为()1,0，求OMA ∆的面积.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-m R ∈. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若2m =，解不等式()3f x ≥.试卷答案一、选择题1.A 【解析】集合{}{}2|log 0|1M x x x x =≥=≥，{}{}2|4|22N x x x x =≤=-≤≤，因此MN[]1,2=.故选A .2.C 【解析】121iz i i i i i-=-+=--=-+，故2z i =，其虚部为2.故选C . 3.D 【解析】实轴长24a ==，故2a =，因此渐近线方程为12b y x x a =±=±，故选D .4.B 【解析】因为218,a a 是方程2640x x ++=的两根，所以2186a a +=-，2184a a =，所以20a <，180a <，又数列{}n a 为等比数列，所以100a <，所以102a ==-，所以24161010102a a a a a +=+=，故选B .5.A 【解析】2log 31a =>，13311log log 22b =>=，且33log 2log 31b =<=，易求得01cos |c x π=- 11cos cos 02π==-+，故a b c >>，故选A . 6.B 【解析】依题意可得1111111111133520152017233520152017S ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ (1008)2017=，故选B . 7.C 【解析】由题得，()()222211x x xxe x e xf x f x e e ---===++，所以不选,A D 项.当0x =时，0y =，故排除B 项.故选C .8.B 【解析】依据三视图，知所求几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥和一个半圆锥的组合体，故其体积为21111422222322333V ππ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+⎪⎝⎭，故选B . 9.C 【解析】分组的方案有2、4和3、3两类.第一类有()2242114C A +=种不同的分配方法；第二类有1324328C C A =种不同的分配方法，故共有14822N =+=种不同的分配方法，故选C . 10.C 【解析】PAF ∆中，PF PA =，抛物线焦点到准线的距离2p =，故2sin 45p AF ==︒.所以AF =，又45PAF PFA ∠=∠=︒，所以cos452PA AF =︒=，故选C .11.B 【解析】如图，设ABC ∆的中心为S ，易知球O 的半径2R =，设ABC ∆的边长为2a ，APO BPO CPO ∠=∠=∠30=︒，2OB OP ==，BS R ==∴1OS =，3PS OS OP =+=，OSB ∆∴中，32SB R ===32a =，23a =∴，三棱锥P ABC -的体积2113sin 6032V ⎛⎫=⨯⨯⨯︒ ⎪⎝⎭3⨯=故选B . 12.D 【解析】()()()1cos 23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-.()()sin 23cos sin f x x a x x =-++′ 41a +-，依题意，函数()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()()()2sin cos +3sin cos f x x x a x x =-++′40a -≤恒成立，因此()()2sin cos 3sin cos 40x x a x x a +-+-≥在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令sin t x =[]cos 0,14x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，因此()[]234,0,1g t t at a t =--∈，若()0g t ≥对[]0,1t ∈恒成立，即()234t a a ≥+，因为340t +>，故234t a t ≤+恒成立，即2min34t a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭，设()234t t t ϕ=+，则()t ϕ=′()2238034t tt +≥+，故()t ϕ在区间[]0,1上单调递增，所以()()min 00t ϕϕ==，所以0a ≤.故选D .二、填空题13.90 【解析】依题意知5n =，53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()52153r rr r T C x -+=-，令521r -=，得2r =，故含x 项的系数为()2235390T C =-=.14.32-【解析】()()()313cos 62OA OB AD AB BA AC ACB ππ-+==⨯-∠==-. 15.1 【解析】斐波那契数列的前几项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，…，则数列{}n b 的前几项为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，因此数列{}n b 是周期数列，其周期为8，因此201711b b ==.16.85【解析】作出不等式组表示的可行域，如图.令00y y t x x -==-，可知t 为点()0,0与可行域内点的连线的斜率，由图知t 的取值范围是[]1,3，即y t x =[]1,3∈.()()222m x y x y +≤+恒成立()222minx y m x y ⎡⎤+⇔≤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，又()222222211x y xy x y x y x y y x +=+=++++211t t=++，而当[]1,3y t x =∈时，11012,3t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故281,215t t⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+，因此85m ≤.所以实数m 的最大值是85. 三、解答题()0,B π∈，sin 0B ≠∴.1sin 2A =∴. 又A 为锐角，6A π=∴.（Ⅱ）222222cos 2a b c b A b c bc =+-=+≥，(42bc ≤=+∴，当且仅当2b c ==时，取等号.ABC ∆∴的面积(111sin 422222S bc A =≤⨯⨯=+即ABC ∆面积的最大值为22b c ==时，等号成立）. 18.解：（Ⅰ）AC BD ⊥，AC BE ⊥，BD BE B =，AC ⊥∴平面BDE ， OE ⊂平面BDE ， AC OE ⊥∴.又PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PA ⊥∴.又,OE PA 都是平面PAC 中的直线，//OE PA ∴.又PA ⊥平面ABCD ，OE ⊥∴平面ABCD .（Ⅱ）//BC AD ，BC =AD =且AB CD =，ABC DCB ∆≅∆∴，ACB DBC ∠=∠∴，又AC BD ⊥，∴在OBC ∆中，1OB OC ==，同理，2OA OD ==.由（Ⅰ），知OE ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OC OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()2,0,0D -，()0,2,3P -. 则()2,1,0CD =--，()0,3,3PC =-. 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CD n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20,330,x y y z --=⎧⎨-=⎩，取1x =，则2y z ==-，即()1,2,2n =--. 取棱BC 的中点M ，连接OM . 易证得OM ⊥平面PAD .∴平面PAD 的一个法向量为11,,022OM ⎛⎫= ⎪⎝⎭.易知二面角C PD A --所成的平面角为锐角，2cos ,6OM n OM n OM n<>==∴， ∴二面角C PD A --的余弦值为6. 19.解：（Ⅰ）记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”. 因为378.4μσ-=，289.4μσ+=，由样本条形图可知，所求的概率为()()()()()3278.489.4P A P x P x P x P x μσμσ=<-+>+=<+>14110010020=+=. （Ⅱ）记事件B 为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，故所求概率为()2521001495C P B C ==.（Ⅲ）需矫正速度的个数ε服从二项分布，即12,20B ε⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()020211936102020400P C ε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴， ()11121191912020200P C ε⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()222119122020400P C ε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此ε的分布列为由12,20B ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，知数学期望()1122010E ε=⨯=. 20.解：（Ⅰ）由题意得1b =，所以22222112c b e a a ==-=，因此22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （Ⅱ）易知()21,0F .设点()()000,0P x y y ≠，()2,Q t ，则2222000011122x y y x +=⇒=-，由220F P F Q =，得()()001,1,0x y t -=，所以()001x t y --=，所以直线PQ 的方程为0000001212x y y x x x y y -+-=--+，即()2000002112x y y x y x x -+-=+--，将2200112y x =-代入化简，得0012x x y y +=，即0022x xy y -=，代入椭圆方程2222x y +=，得()2222000024440x y x x x y +--+=，即22002420x x x x -+=，即220020x x x x -+=，其判别式()2200240x x ∆=--=，所以直线PQ 与椭圆相切.21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()21ln a x f x x-=′，因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，所以()()11,ln110,1f a a f b ==⎧⎪⎨=+=⎪⎩′，解得1a =，0b =. 所以()ln xf x x =. 所以()21ln xf x x-=′.令()0f x =′，得x e =，当0x e <<时，()0f x >′，()f x 单调递增；当x e >时，()0f x <′，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞. （Ⅱ）当()()()1212f x f x x x =≠时，122x x e +>. 证明如下：因为x e >时()f x 单调递减，且()ln 0xf x x=>，又()10f =，当1x e <<时，()f x 单调递增，且()0f x >.若()()()1212f x f x x x =≠，则12,x x 必都大于1，且必有一个小于e ，一个大于e .不防设121x e x <<<，当22x e ≥时，必有122x x e +>.当22e x e <<时，()()()()()22122222ln 2ln 222e x x f x f e x f x f e x x e x ---=--=--，设()()ln 2ln 2e x x g x x e x -=--，2e x e <<，则()()()221ln 21ln 2e x x g x x e x -+--=--′ ()()()()2222241ln ln 222e e x x x x ex x x e x ----++=-()()(){}()2222241ln 2ln 2e e x x x x e e x e x ⎡⎤--+---+⎣⎦=-.因为2e x e <<，所以()()2220,e x e e--∈.故()222ln 0x e e ⎡⎤---+>⎣⎦.又()()41ln 0e e x x -->，所以()0g x >′.所以()f x 在区间(),2e e 内单调递增. 所以()()110g x g e e e>=-=. 所以()()122f x f e x >-.因为11x e <<，22e x e <<，所以202e x e <-<，又因为()f x 在区间()0,e 内单调递增，所以122x e x >-，即122x x e +>.综上，当()()()1212f x f x x x =≠时，122x x e +>.22.解：（Ⅰ）直线:10l x y --=的倾斜角为4π，因此写成参数方程的形式为1cos ,4sin .4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由24sin 5ρρθ-=，得曲线C 的直角坐标方程为()2229x y +-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得240t -=，设12,t t 是方程的两根，解得1t =2t =又点A 在第一象限，故点A对应1t = 代入到sin 4y t π=，得到点A 纵坐标2A y =，因此1112122OMA A S OM y ∆==⨯⨯=. 23.解：（Ⅰ）当1m =时，()()()11112f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()110x x +--≤，即11x -≤≤时，取等号. 故函数()f x 的值域为[)2,+∞.（Ⅱ）当2m =时，()121f x x x =++-.()31213f x x x ≥⇒++-≥.当1x ≤-时，12133x x x ++-=-≥，得1x ≤-，此时解集为{}|1x x ≤-；当112x -<≤时，12123x x x ++-=-≥，得1x ≤-，此时解集为∅；当12x >时，12133x x x ++-=≥，得1x ≥，此时解集为{}|1x x ≥. 综上所述，不等式的解集为(][),11,-∞-+∞.。

精选2017届高三数学第一次联考试题理(含解析)(1)

湖南省2017届高三·十三校联考第一次考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，,所以，故选D.2. 记复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则复数的模（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】由，得，，故选A.3. 在等差数列中，，则数列的前11项和（）A. 24B. 48C. 66D. 132【答案】C【解析】试题分析：设等差数列公差为，则，所以有，整理得，，，故选C．考点：等差数列的定义与性质．4. 已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】，故，故选B.5. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设：“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则，依题意得：，解得，故选C.6. 如下图，是一个算法流程图，当输入的时，那么运行算法流程图输出的结果是（）A. 10B. 20C. 25D. 35【答案】D【解析】当输入的时，；；；；；否，输出，故选D.7. 二项式展开式中，项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】二项式展开式的通项为，令，系数为，故选C.8. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为60°的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】抛物线的焦点，准线为，设，则，由则，即有 .故选C.9. 已知函数的定义域为，且，又函数的导函数的图象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由导函数图象，可知函数在上为单调增函数，正数满足，。

湖南省岳阳县第一中学高三上学期开学考试理科数学试卷有答案

第一中学2017届高三上学期开学考试理科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,7A =，(){}2log 1,B x x a a A ==+∈，则A B =（）A ．{}1,3B ．{}5,6C ．{}4,5,6D ．{}4,5,6,72．已知命题,p q 是简单命题，则“p ⌝是假命题”是“p q ∨是真命题”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（） A ．110B ．15C ．25D ．124．已知121333211,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．函数()()sin 0f x x ωω=>的图像向右平移π12个单位得到函数()y g x =的图像，并且函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的值为（）A ．74B ．32C ．2D ．546．已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为（） A ．8-B ．8C ．8±D ．98±7．已知实数x ，y 满足21y x x y a x ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，其中()3201a x dx =-⎰，则实数1y x +的最小值为（）A ．32B ．52C ．23D ．438．若,x y 满足1ln0x y-=，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为（）A ．1021-B ．102C ．1031-D ．10310．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．23B ．43C ．83D ．411．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PB QF kk 的取值范围是（）A ．33,0,44⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．()3,00,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()(),10,1-∞-D ．()(),00,1-∞12．若关于x 的不等式e 20x x ax a -+<的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．221,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,e3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎤⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若函数()()e e sin x xf x a x -=+为奇函数，则y ________．14．在ABC △中，4AB =，30ABC ∠=，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC ∙=∙，则AD AB ∙的值为_________．15．在平面直角坐标系()0B 中，将直线y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积13100πππ33V xdx x ===⎰圆锥．据此类比：将曲线2ln y x =与直线1y =及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n n =+，()1cos 1πn n n b a a n +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2n T tn ≥对*n ∈N 恒成立，则实数t 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为锐角ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=- （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若()2cos cos 222x x xf x ∙+，求()f B 的取值范围． 18．（本小题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M ；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为,x y ．若10x y -≥，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率1P ；（Ⅲ）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，120BCD ∠＝，四边形BFED 是以BD 为直角腰的直角梯形，22DE BF ==，平面BFED ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ；（Ⅱ）在线段EF 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面ADE ．若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 1：()222210x y a b a b+=>>，()2,1P -是1C 上一点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设A 、B 、Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 与1C 相交于不同于P 、Q 的两点C 、D ，点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD 、PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．21．（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数()()ln f x x a x =+-，曲线()y f x =与x 轴相切．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数m 使得()()1e x f x m x>-恒成立？若存在，求实数m 的值；若不存在，说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫∙-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 切线，切点为,A B ，求四边形AMBC 面积的最小值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式32x x m m --≥＋的解集为R ．（Ⅰ）求m 的最大值；（Ⅱ）已知0a >，0b >，0c >，且a b c m ++=，求22249a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值．岳阳县一中2017年上学期高三开学考试理科数学试题答案1~5．AACAC 6~10．BDBDB 11~12．DB 13．1 14．4 15．()πe 1- 16．(],5-∞-17．解：（1）因为()()()sin sin sin a b A B c b C +-=- 由正弦定理有()()().a b a b c b c +-=-即有222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，60A ∴=…………6分（2）由题，()2cos 1π1cos cos sin 222262B B B B B f B B ++⎛⎫+==++ ⎪⎝⎭，且在锐角ABC △中，ππ62B <<，ππ2π363B <+<πsin 16B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()f B ∴的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.…………12分18．解：第六组有4人，频率为0.005100.05⨯=，故共有考生80人. 第一组频率为0.20，第二组频率为0.15，第三组频率为0.35，第一、二、三组人数分别为16，12，28所以第四五组共有20人，又第四、五、六组的人数依次成等差数列所以第四组有12人，第五组有8人，第四组频率为0.15，第五组频率为0.10950.21050.151150.351250.151350.11450.05114.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）依题意的四组人数为0.00154120.005⨯=，故11124121625C C P C == （3）依题意样本总人数为4800.05=，成绩不低于120分人数为()800.050.100.1524⨯++=，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率为2438010=，又已知ξ的可能值为0，1，2，3 ()3334301101000P ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()2113334411110101000P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1223331892*********P C ξ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33273101000P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故ξ的分布列如下依题意3~3,10B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故3931010E ξ=⨯=.19．解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC CB ===，120BCD ∠=,∴故2AB =，2222cos603BD AB AD AB AD ∴∙∙=+-=，222AB AD BD ∴=+BD AD ∴⊥，平面BFED ⊥平面ABCD ,平面BFED平面ABCD BD =，AD ∴⊥平面BFED .（Ⅱ）AD ⊥平面BFED AD DE ∴⊥，以D为原点，分别以DA ，DE ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1,0,0A ，()0,0B ，()0,0,2E，()0,F()1=-，()0=-，()1,0,2=-设()()0,, 01λλλ==≤≤－, 则(),2λλ=+=--取平面EAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m ∙=，0m ∙=得：()020x x y z λ⎧-+=⎪⎨-++-=⎪⎩令2y λ=-，得()23,2m λ=-，二面角A PD C --为锐二面角，57cos ,m n m n m n∙∴==，解得13λ=，即P 为线段EF 靠近点E 的三等分点. 20．解：（Ⅰ）由题意可得2222314411b a ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2282a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为22182x y +=．（Ⅱ）由题设可知()2,1A --、()2,1B 因此直线l 的斜率为12，设直线l 的方程为：12y x t =+. 由得22240x tx t +-+=．（0∆>）设()11,C x y ，()22,D x y ，则122x x t +=-，21224x x t =-∙…7分21211122PD PE y y k k x x ---∴++-=++()()()()()()212121122122y x x y x x ---++=+- 而()()()()2121122 1y x x y -+--+()()2112211224y y x y x y x x --++--= ()211212124x x x x t x x x x ---++-∙-= ()12124x x t x x =∙-+--222424t t +=-+-0=即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形． 21．解：（Ⅰ）设切点为()0,0x ，()1'1f x x a=-+，依题意()()000'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩即()000ln 0110x a x x a ⎧+-=⎪⎨-=⎪+⎩解得010a x =⎧⎨=⎩ 3分所以()()ln 1f x x x =+-，()'1xf x x -=+．当x 变化时，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以f x 在上单调递增，在0,+∞上单调递减．（Ⅱ）存在12m =，理由如下： 6分()()1e xf x m x >-等价于()()01e x x f x mx <⎧⎪⎨<-⎪⎩或()()01e x x f x mx >⎧⎪⎨>-⎪⎩令()()()()()1e ln 11e x xg x f x mx x x mx =--=+---，()1,x ∈-+∞，则()()1'11e 1x g x m m x x =--+++，()()()21''2e 1x g x m x x =-+++， ①若12m =，当10x -<<时，()2111x -<-+，()2e 1x m x +<，所以()''0g x <；当0x >时，()2111x ->-+，()2e 1x m x +>，所以()''0g x >，所以()'g x 在单调递减区间为()1,0-，单调递增为()0,+∞，又()'00g =，所以()'0g x ≥，当且仅当0x =时，()'0g x =，从而()g x 在()1,-+∞上单调递增，又()00g =，所以()00x g x <⎧⎪⎨<⎪⎩或()0x g x >⎧⎪⎨>⎪⎩即()()1e x f x m x >-成立．②若12m >，因为()''0210g m =->，11222111''141e 410222m g m m m m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++<-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以存在111,02x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()1''0g x =，因为()''g x 在()1,0-单调递增，所以当()1,0x x ∈时，()''0g x >，()'g x 在()1,0x 上递增，又()'00g =，所以当()1,0x x ∈时，()'0g x <，从而()g x 在()1,0x 上递减，又()00g =，所以当()1,0x x ∈时，()0g x >，此时()()1e x f x m x>-不恒成立；③若12m <，同理可得()()1e x f x m x>-不恒成立．综上所述，存在实数12m =．22．解：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），所以圆C 的普通方程为()()22344x y -++=，由πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）圆心()3,4C -到直线l ：20x y +-=的距离为d ==，由于M 是直线l 上任意一点，则2MC d ≥=，∴四边形AMBC 面积122S AC MA AC =⨯⨯⨯===∴四边形AMBC .23．解：（Ⅰ）因为()()||333x x m x x m m -+-≥-=--- 当3x m ≤≤,或3m x ≤≤时取等号，令32m m -≥，所以32m m -≥，或32m m -≤-．解得：3m ≤-或1m ≤ m ∴的最大值为1（Ⅱ）由（Ⅰ）1a b c ++=．由柯西不等式，()()222211491491a b c a b c ⎛⎫+++≥+++= ⎪⎝⎭，222364949a b c ++∴≥，等号当且仅当49a b c ==，且1a b c ++=时成立．即当且仅当949a =，449b =，3649c =时，22249a b c ++的最小值为3649．。

【湖南省岳阳】2017届高三一模模拟考试理科数学年试题

湖南省岳阳县第一中学2017届高三上学期开学考试文科数学试卷答案1~5．DDACA6~10．DBCBA 11~12．CB13．1-14．215．516117．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩解得131a d =⎧⎨=⎩……………………4分所以()112n a a n d n =+-=+……………………6分（Ⅱ）2n a n =+，()()111112323n n n b a a n n n n +===-++++∴……………9分 121011111111103445121331339b b b +++=-+-++-=-=∴…………………12分 18．解：（Ⅰ）150.00350100x x⨯=∴=，15401010035y y +++=∴=……2分 400.00810050=⨯，350.00710050=⨯，100.00210050=⨯ 频率分布直方图如图所示…5分（Ⅱ）在空气污染指数为50~100和150~200的监测点中分别抽取4个和1个监测点．设空气污染指数为50~100的4个监测点分别记为a ，b ，c ，d ；空气污染指数为150~200的1个监测点记为E ．从中任取2个的基本事件分别为2215115155a a m a m a a a a a--∴<=-∴<=-，(),a c ，(),a d ，(),a E ，(),b c ，(),b d ，(),b E ，(),c d ，(),c E ，(),d E 共10种，…8分其中事件A “两个都为良”包含的基本事件为0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距（）(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，……10分所以事件A “两个都为良”发生的概率是()63105P A ==．……12分 19．解（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO PB ∥．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（Ⅱ）16V PA AB AD AB =∙∙=．由V 32AB =．作AH PB ⊥交PB 于H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ．又13PA AB AH PB ∙==．所以A 到平面PBC的距离为13．20．解：（1）双曲线221x y -=，∴椭圆M的离心率为c e a ==椭圆M 内切于圆224x y += 得：6,17()410,1274,2x g x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩…………………………4分圆224x y +=的直径为4，则24a =所求椭圆M 的方程为22142y x +=．……………………5分（2）椭圆M的上焦点为(10,F ，由椭圆的定义得：114,4PF PF PF PF +=∴=-AFP △的周长为11446PA PF AF PA PF AF ++=-++++=+当且仅当点P 在线段1AF 的延长线上时取等号．∴在椭圆M 上存在点P ，使AFP △的周长取得最大值6+9分直线1AF的方程为y22142y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩点P 在线段1AF 的延长线上，∴点P的坐标为(1,P ，…………………11分 AFP △的面积111322AFP S AP FF ==⨯⨯△…………………12分 21．解：（1）由已知得()f x 的定义域为()0,+∞，且()1'f x a x=-，…………2分当0a <时，()10f x a x =->， ()f x ∴在()0,+∞单调增，()f x 无极值；…………3分当0a >时，由()1'0f x a x =->得：10x a <<由()1'0f x a x =-<得：1x a> ∴()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减…………4分 ()f x ∴的极大值()1ln 4f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，无极小值．…………………5分综上：当0a <时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值()1ln 4f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，无极小值．…………6分（2）()()2332'22x m g x x m af x x a x x ⎛⎫=+⎡-⎤=++- ⎪⎣⎦⎝⎭()()2'321g x x m a x ∴=++- ()g x ∴在区间(),3a 上有最值，()g x ∴在区间(),3a 上有极值，即方程()'0g x =在(),3a 上有一个或两个不等实根，又()()()'0'01'30g a g g ⎧<⎪=-∴⎨>⎪⎩…………………………9分由题意知：对任意[]()()221,2,'321510a g a a m a a a ma ∈=++∙-=+-<恒成立，21515a m a a a-∴<=- 因为[]1,2a ∈192m ∴<-对任意[]1,2a ∈，()'326360g m a =++>恒成立62626233a m a --∴>=--[]1,2a ∈323m ∴>- 321932m ∴-<<-………………………………12分 22、解：（1）()πππ4cos ,4cos cos sin sin 2cos 333ρθρθθθθ⎛⎫⎛⎫=-∴=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…3分()2222cos sin ,2x y x ρρθθ=∴+=+∴， ∴曲线C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=．………………………5分（2）当90α=时，:2l x =，AB =∴≠90α∴=舍…………6分当90α≠时，设tan k α=，则():2l y k x -，即20kx y k --， ∴圆心(1,C到直线20kx y k --的距离d == 由2242AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：2213414k k +=+，解得：k =tan α∴=()0,πα∈，π3α∴=或2π3……………………………10分 23．解：(Ⅰ)由()f x x ≤得271x x -+≤，270271x x x -≥-+≤⎧∴⎨⎩或270271x x x-<⎧⎨-++≤⎩解得：762x ≤≤或8732x ≤< ∴不等式()f x x ≤的解集为863x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭………………………………4分 (Ⅱ)令()()2127211g x f x x x x =--=---+则()6,17410,1274,2x g x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，()min 4g x ∴=-…………………………8分存在x 使不等式()21f x x a --≤成立，()min ,4g x a a ∴≤∴≥-…………10分。

【湖南省岳阳】2017届高三一模模拟考试理科数学年试题答案

sin

x

π 4

的图像的一条对称轴方程是（
）
A． x π 4
B． x π 2
C． x π 4
5．设
f

x

1, x 0 0, x 0 1, x 0
，
g

x

1, x为有理数
0,
x为无理数
，若
f

g
a

0
，则（
A． a 为无理数
C． 7 2
D． 1 2
10．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正三角形，俯视图是直径为 2 的圆，则此几何体
的外接球的表面积为（）
A． 16 π 3
B． 4 π 3
C． 16 π 9
D． 4 π 9
2x y 2 0
11．已知满足

x

2y
1
0
的 x,
y
使
x2
建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为

4 cos

π 3

，直线 l
与曲线 C
相交于
A,
B
两点；
（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若 AB 13 ，求直线 l 的倾斜角的值。
23．选修 4-5：不等式选讲
设函数 f x 2x 7 1。
（1）求不等式 f x x 的解集；

保护问题．当空气污染指数（单位： g / m3 ）为 0 ~ 50 时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于
优；当空气污染指数为 50 ~ 100 时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为 100 ~ 150 时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150 ~ 200 时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为 200 ~ 300 时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为 300 以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015 年 8 月某日某省 x 个监测点数据统计如下：

湖南省2017届高三十二校联考第一次考试(理数)(含答案)word版

湖南省2017届高三·十二校联考第一次考试理科数学试卷总分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.若复数a －i2＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a 的值为A.－2B.12C.－12D.22.“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车.据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A.2160B.2880C.4320D.86404.若下列程序框图中输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于A.720B.360C.240D.120 5.已知{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝1，则a 6－a 5的值为 A.0 B.18 C.96 D.6006.设双曲线M ：x 2a2－y 2＝1，点C (0,1)，若直线212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且BC ＝2AC ，则双曲线的离心率为A.52 B.103C. 5D.10 7.已知a ＝∫π0(si n t －cos t )d t ，则(x －1ax)6的展开式中的常数项为A.20B.－20C.52D.－528.设点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ＝m AB ＋n AC (m ，n ∈R)，则(m ＋1)2＋(n －1)2的取值范围是A.(0,2)B.(0,5)C.(1,2)D.(1,5).9.在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数.为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是.10.某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号，若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是.11.如下图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC＝1，AB＝3，则AD ＝.12.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.13.在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-11yyxyx表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＋f(x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(log18125)＝.15.已知函数f(x)＝(x2－x－1a)e ax(a≠0).(1)曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切线方程为；(2)当a>0时，若不等式f(x)＋3a≥0对x∈[－3a，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，m ＝(cos A ，cos C )， n ＝(3c －2b ，3a )且m ⊥n . (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积.2011年1月，某校就如何落实“湖南省教育厅《关于停止普通高中学校组织三年级学生节假日补课的通知》”，举办了一次座谈会，共邀请50名代表参加，他们分别是家长20人，学生15人，教师15人.(1)从这50名代表中随机选出2名首先发言，问这2人是教师的概率是多少？(2)从这50名代表中随机选出3名谈假期安排，若选出3名代表是学生或家长，求恰有1人是家长的概率是多少？(3)若随机选出的2名代表是学生或家长，求其中是家长的人数为ξ的分布列和数学期望.如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P＝λA1B1(λ∈R).(1)证明：PN⊥AM；(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；(3)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置.19.(本小题满分13分)[来源:GksTk]随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R 型车前n 个月的销售总量T n 大致满足关系式：T n ＝228a (1.012n－1)(n ≤24，n ∈N *).(1)求Q 型车前n 个月的销售总量S n 的表达式；(2)比较两款车前n 个月的销售总量S n 与T n 的大小关系；(3)试问从第几个月开始Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%，并说明理由.(参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切.过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|PA |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴.如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程.已知常数a 为正实数，曲线C n ：y ＝nx 在其上一点P n (x n ，y n )的切线l n 总经过定点(－a,0)(n ∈N *). (1)求证：点列：P 1，P 2，…，P n 在同一直线上； (2)求证：∑=<<+ni in y an 12)1ln( (n ∈N *).。

【湖南省岳阳县第一中学年】2017届高三上学年期开学年考试文科数学年试题

湖南省岳阳市2017年高考一模理科数学试卷答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．）1~5．CBACA 6~10．ADCCD 11~12．AB 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．） 13．14．1515．2π16．6(2n 1)⨯-三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程．） 17．（12分）解：（1）21n n S a +=，2111n n S a +++=， ∴211n n n a a a +++=， ∴31n n a a +=，又1121S a +=， ∴113a =， ∴{}n a 是以13为首项，以13为公比的等比数列， ∴1()n 3n a =；（2）证明：133222112()()[(1)](1)1log log n n n a a b n n n n n n +====---+++∴1111112[(1)()()]2(1)222311n T n n n =-+-++-=-++＜． 18．（12分）解：（1）①0.004a =．②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度1250.1537.50.662.50.1587.50.1425=⨯+⨯+⨯+⨯=．．（微克/立方米），∵42535．＞，∴2016年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民取的环境需要改进．（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X 的可能取值为0，1，2，3．33(0.1)P()(0.9)k k k X k C -==，可P(0)0.001X ==，P(1)0.027X ==，P(2)0.243X ==，P(3)0.729X ==．X 的分布列为：()00.00110.02720.24330.72927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．，或()30.927E X =⨯=．．19．（12分）（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB =，AD =M 为DC 的中点， ∴2AM BM ==，∴BM AM ⊥． ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM 平面ABCM AM =，BM ⊂平面ABCM∴BM ⊥平面ADM∵AD ⊂平面ADM ∴AD BM ⊥；（2）建立如图所示的直角坐标系，设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n =，1,(2,1)ME MD DB λλλλ--=+=，(2),0,0AM =-，设平面AME 的一个法向量为π(,,)x y z =，则20(1)2(1)0m AM x m ME x y z λλλ⎧=-=⎪⎨=-++-=⎪⎩，取1y =，得0x =，21z λλ=-，则π(0,1,1)2λλ=-， ∵5|||π5,|m n n os m c n ==＞＜，∴求得12λ=，故E 为BD 的中点．20.（12分）解：（1）∵2ABF △的周长等于，且1F 在边AB 上，∴1212()()BF BF AF AF +++=∴22a a +=，即a =，又∵c e a ==c∴1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2213x y +=；（2）依题意，设00(,)P x y ，设过P 点的直线为00()y y k x x -=-，记00b kx y =-+，整理得：y kx b =+，并代入椭圆方程，得：222236330x k x kbx b +++-=，令0∆=，得222222939930k b b k b k --++=， ∴229330k b -+=，即22310k b -+=，又∵00b kx y =-+，∴222200003210k k x kx y y -+-+=， ∵2200330y x ∆=+-＞， ∴20122013y k k x -+=-，又∵22004x y +=，即22004y x =-， ∴201220(4)113x k k x --+==--，∴过圆O ：224x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线均垂直， ∴MN 为圆O 的直径，∴当P 点为(0,2)±时，PMN △面积的最大，最大值为14242⨯⨯=． 21．解：（1）1a =时，函数()ln(1)1xf x x x=+-+， 2211()1(1)(1)x f x x x x '=-=+++，2e 1(e 1)ef -'-=，又1(e 1)ef -=， ∴1a =时，函数()f x 在e 1x =-处的切线方程是：21e 1(e 1)e ey x --=-+；（2）由题意得：函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，且3(23)()(1)x x a f x x -+'=+，322a ≤＜时，则230a -＞，若10x -＜＜或23x a -＞，则()0f x '＞，若023x a -＜＜，则()0f x '＜， ∴()f x 在区间(1,0)(23,)a --+∞递增，在(0,23)a -递减；（3）显然1()()g x g x=，令()ln ()x g x ϕ=，因此()x ϕ在(0,)+∞上的最大值等于其在(0,1)上的最大值，2111()(1)ln(1)()ln 11x x x x x x x ϕ'=-+++--+，设2111()(1)ln(1)()ln 11h x x x x x x x=-+++--+，2223222(1)[ln(1)](1)()(1)x xx x x h x x x +++-+'=+，由（2）得，当2a =时，()f x 在区间(0,1]递减，则222()ln 1(0)0(1)x xf x x f x +=+=+（）-＜，()0h x '＜，故函数()h x 在区间(0,1]递减，于是()(1)0h x h ≥=，从而函数()x ϕ在区间(0,1]递增，进而()(1)2ln2x ϕϕ≤= ， ∵()ln ()xg x ϕ=， ∴函数()g x 的最大值是4．22．（10分）解：（1）曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=，即26s i n ρρθ=，化为直角坐标方程：226x y y +=，配方为：2(y 3)29x +-=，圆心C (0,3)，半径3r =．直线l 的参数方程为11x at y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 可得：10x ay a -++=.（2）由直线l 经过定点(1,1)P -，此点在圆的内部，因此当CP l ⊥时，||BD 取到最小值，则1113110CP k k k -=⨯=---，解得112k =-． ∴12a =-，解得2a =-．23．解：（1）∵函数()2||f x x a a =-+，故不等式()6f x ≤，即60626a a x a a -≥⎧⎨-≤-≤-⎩，求得33a x -≤≤．再根据不等式的解集为3{|}2x x ≤≤-，可得32a -=-， ∴实数1a =．（2）在（1）的条件下，()21||1f x x =-+，∴(n)21||1f n =-+，存在实数n 使(n)()f m f n ≤--成立，即()()f n f n m +-≤，即21||21|2|n n m -+++≤．由于|21||21||(21)(21)|2n n n n -++≥--+=， ∴21||21||n n -++的最小值为2， ∴4m ≥，．故实数m的取值范围是[4,)湖南省岳阳市2017年高考一模理科数学试卷解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集性质能求出A∩B．解：∵集合A={﹣2，0，2}，B={x|2x2﹣2x﹣3≤1}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={0，2}．故选：C．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】由z•i=2﹣i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．解：由z•i=2﹣i，得=，则，则在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，2），位于第二象限．故选：B．3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直和面面垂直的性质进行判断即可．解：根据面面垂直的判定定理得若m⊥β则α⊥β成立，即充分性成立，若α⊥β则m⊥β不一定成立，即必要性不成立，故m⊥β是α⊥β的充分不必要条件，故选：A4．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．5．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得z的最值，可得a的方程，解方程可得．解：作出不等式组所对应可行域，如图，变形目标函数z=3x﹣y可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知：当直线经过点A时，直线截距最小值，z取最大值，由解得A（a+2，2）代值可得3a+6﹣2=7，解得a=1，故选：A．6．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】函数思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的周期性求出ω，结合三角函数的图象和性质进行判断即可．解：∵函数f（x）的最小正周期为4π，∴T==4π，即ω=，则函数f（x）=sin（2×x﹣）=sin（x﹣），则f（）=sin（×﹣）=sin（﹣）≠0，且f（）≠±1，则函数f（x）的图象关于点（，0）不对称，且关于直线x=不对称，当＜x＜π时，＜x＜，＜x﹣＜，此时函数f（x）为增函数，故选：D．7．【考点】系统抽样方法．【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定分段间隔，根据随机抽得的号码为003，分别计算从001到200，从201到355，可得结论．解：系统抽样的分段间隔为=10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，则被抽中的人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20人，在201至355号中共有16人．故选：C．8．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．9．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sin+sin+sinπ+…+sin的值，由于y=sin的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S=sin+sin+sinπ+…+sin=336×0=0，故选：D．10．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设点P（a，b）在圆C上，表示出=（a+m，b），=（a﹣m，b），利用，求出m2，根据|OP|表示的几何意义，得出m的取值范围．解：∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，∴圆心C（3，4），半径r=1；设点P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b）；∵∴（a+m）（a﹣m）+b2=0；即m2=a2+b2；∴|OP|=，∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|﹣r=5﹣1=4；∴m的取值范围是[4，6]．故选D．11．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出A的坐标，可得kAH==，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．解：双曲线的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则kAH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故选A．12．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=，即方程x2﹣x=在区间（0，m）有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围解：由题意可知，在区间[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f′（x2）==，∵，∴f′（x）=x2﹣x，∴方程x2﹣x=在区间（0，m）有两个解．令g（x）=x2﹣x﹣，（0＜x＜m）则解得＜m＜，∴实数m的取值范围是（，）．故选：B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值．解：∵=bcsinA=，∴解得：c=2，∴由余弦定理可得：a===2．故答案为：2．14．【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；定义法；二项式定理．【分析】根据题意求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中常数项的值．解：二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，则展开式中的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x6﹣r．令6﹣r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（﹣1）4•=15．故答案为：15．15．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；定义法．【分析】根据题意，求解出线段OA，OC及的图象围成的区域面积Ω和矩形OABC 的面积可得点M落在区域内Ω的概率．解：由题意：线段OA，OC及的图象围成的区域面积Ω===1，矩形OABC的面积S=．点M落在区域内Ω的概率为：1．故答案为：．16．【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．解：∵①当x∈[1，2）时，；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．当x∈[2，4）时，∈[1，2），f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4），f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6，依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．∴当时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），故答案为：6×（2n﹣1）．17．（12分）【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{an}的通项公式，（2）利用裂项求和即可求出数列{bn}的前n项和Tn，再放缩证明即可．18．（12分）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】数形结合；转化思想；概率与统计．【分析】（1）①a=0.004．②2016年该居民区PM2．5的年平均浓度=12．5×0.15+37．5×0.6+62．5×0.15+87．5×0.1，与35比较即可判断出结论．（2）由题意可得：PM2．5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=．19．（12分）【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．20.（12分）【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4，可知a=，利用e=，可知c=，通过b=可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0，y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣1），f（e﹣1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据a的范围求出函数的单调区间即可；（3）令φ（x）=lng（x），根据φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，求出φ（x）的最大值，从而求出g（x）的最大值即可．22．（10分）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）由直线l经过定点P（﹣1，1），此点在圆的内部，因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，利用kCP•kl=﹣1，解得kl，即可得出．23．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．。

2017年十三校联考卷一,理数(答案完整)

由湖南省2017届高三十三校联考第一次考试理科数学试题总分: 150分时量:120分钟 2017年3月×日长郡中学;衡阳八中;永州四中;岳阳县一中;湘潭县一中;湘西州民中石门一中;澧县一中;郴州一中;益阳市一中;桃源县一中;株洲市二中一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案) 1.已知集合{}{}213,230A x Z x B x x x =∈-<=+-<,则A B = ( D ) A. ()2,1-B. ()1,4C. {}2,3D. {}1,0-2.记复数z 的共轭复数为z ,若()12z i i -=,则复数z 的模||z =( A )B. 1C.D. 23.在等差数列{}n a 中,912132a a =+,则数列{}n a 的前11项和11S =( C ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．1324.已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数,][)(x x g =为取整函数,02()ln x f x x x=-是函数的零点,则)(0x g 等于( B )A ．1B ．2C ．3D ．45.甲.乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲.乙两人射击的命中率分别为35和P ,且甲.乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲.乙两人射击互不影响,则P 值为( C ) A.35B.45C.ξD.(6)1P P ξ=-≤6.如下图,是一个算法流程图,当输入的5x =时,那么算法流程图运行输出的结果是( D )A. 10B. 20C. 25D. 357.二项式912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中,3x 项的系数为( C )麓山国际联合命题A.52-B.52C. 212-D.2128.设F 为抛物线 2:2C y px =的焦点,过F 且倾斜角为060的直线交曲线C 于,A B 两点(B 点在第一象限,A 点在第四象限),O 为坐标原点,过A 作C 的准线的垂线,垂足为M , 则||OB 与||OM 的比为( C )AB ．2C ．3D ．49.已知函数)(x f 的定义域为R ,且(2)2f =,又函数)(x f 的导函数)(x f y '=的图象如图所示,若两个正数a b 、满足(2)2f a b +<,则22++a b 的取值范围是( A )A. 2(,2)3B. 2(,)(2,)3-∞+∞C. (2,)+∞D. 2(,)3-∞10.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点,则PA PB ⋅的取值范围是( B )A ．[0,6]B ．[2,6]-C ．[0,2]D ．[2,2]- 11.三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示,则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为( B)A ．32πB ．1123π C ．283π D ．643π 12.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数,其导函数为()f x ',且有2()3()x f x x f x '>+, 则不等式38(2014)(2014)(2)0f x x f +++->的解集为( D ) A ．(－∞,－2016) B ．(－2018,－2016) C ．(－2018,0) D ．(－∞,－2018)二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 13.函数(,)32ππα∈-是奇函数,则5(0,)36ππα+∈等于正视图侧视图ABSC14.已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的体积为V =球,则OA 与平面ABCD 15.双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是E 左支上一点,且112PF F F =,直线2PF 与圆222x y a +=相切,则E 的离心率为 53． 16.已知函数2()cos2xf x x π=,数列{}n a 中,()(1)n a f n f n =++(*n N ∈),则数列{}n a 的前100项之和100S 10200【解答】依题意,有1002222221001()2468981004(3799)n T f n ===-+-+--+=+++∑39942551002+=⨯⨯=． ∴ 1001002(1)(101)251000010200S T f f =-+=⨯-+=．三．解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．) 17.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且满足sin sin [cos cos()]sin A B A B C π+=--⋅．(Ⅰ) 试判断ABC ∆的形状,并说明理由;(Ⅱ) 若1a b c ++=试求ABC ∆面积的最大值．【解析1】(Ⅰ) sin A +sin B =(cos A +cos B )sin C , 由正、余弦定理,得:222222()22b c a c a b a b c bc ca+-+-+=+⋅ 化简整理得:222()()()a b a b a b c ++=+a +b ＞0,所以a 2+b 2=c 2故 ΔABC 为直角三角形, 且∠C =90° ………………………………………………6分(Ⅱ) a +b +c a 2+b 2=c 2,∴ a +b 2（当且仅当a =b 时,上式等号成立 2故 2111224ABC S ab ∆=≤⨯= 即ΔABC面积的最大值为14……………………………………………………12分【解析2】(Ⅰ) 由已知:sin sin (cos cos )sin A B A B C +=+又 s i ns i n ()s i n c o s c o s B A C A C A C =+=+ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+∴ (s i ns i n )c o s A B C += 而 0A B C π<<、、 s i ns i n 0A B ∴+> ∴ c o s0C = 故090C = , ∴ ΔABC 为直角三角形 ……………………………………6分(Ⅱ) 由(1) 090C =,∴ sin ,cos a c A b c A ==1a b c ++= ∴c =∴ 221111sin cos ()sin cos 2221sin cos ABCS ab c A A A A A A∆+===⋅⋅++令 sin cos A A t +=, 02A π<<∴1t <≤∴ 22111321222()(1)2124141ABC t t S t t t ∆+-+-+=⋅⋅==⋅-+++而 2()(1)1f t t -+ 在(1,上单调递增∴ m a x 1())4ABC S f ∆== ………………………………………12分18.(本小题满分10分)为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3, 其中第2组的频数为12．(Ⅰ) 求该校报考飞行员的总人数;(Ⅱ) 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设X 表示体重超过60公斤的学生人数,求X 的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ) 设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为123,,p p p ,则由条件可得:213112323(0.0370.013)51p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩,解得,1230.125,0.25,0.375.p p p === 又因为2120.25p n==,故n 48=． (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得,估计一个报考学生体重超过60公斤的概率为12510.7568P +=-⨯=; 依题有5(3,)8X B ,故3353()()(),0,1,2,388kk k P x k C k -===.∴ 随机变量X 的分布列为:则 271352251251501235125125125128EX =⨯+⨯+⨯+⨯=, 或 515388EX np ==⨯=．19.(本小题满分12分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,12AC AA ==,AB BC ==,01160AAC ∠=,平面1ABC ^⊥平面11AA C C ,≤与≥相交于点1.(Ⅰ) 求证:1BC ⊥平面11AA C C ; (Ⅱ) 求二面角1C AB C --的余弦值. 【解析】(Ⅰ) 证明:设AC 的中点为M,连BM 、C 1M,∵ 12AC AA ==,01160AAC ∠=,∴ 四边形11AA C C 为菱形,且1ACA ∆为正三角形 ∴ AB BC == 又 1AC C M ⊥,∴AC BM ⊥而 1B M C MM =∴ AC ⊥面1BC M ∴ AC ⊥1BC ∵ 四边形11AA C C 为菱形,则有1CD AC ⊥又平面1ABC ^⊥平面11AA C C ,平面1ABC ^平面11AA C C 1AC = C 1B 1ACA 1BDM∴ CD ⊥ 平面1ABC ^ ∴ CD ⊥1BC又∵ AC CD C = ∴1BC ⊥平面11AA C C ………………………6分 (Ⅱ) 如图,∵ 1AC C M ⊥,∴ 111AC C M ⊥以1C 为原点,以C 1A 1、C 1M 、C 1B 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.∵ 12AC AA ==,01160AAC ∠=,AB BC == ∴ 12BC =从而,有(1,(002)A M B ，，，1(2,0,0),(1A C -∴(1,0,0),2)AM BM =-=- ,设面ABC 的法向量为(,,1)n x y =则020n AM x n n BM ⎧⋅=-=⎪⇒=⎨⋅=-=⎪⎩又面1ABC的法向量为1(AC =-设二面角1C AB C --的大小为θ,由图知θ为锐角则. ………………………12分20.(本小题满分10分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点到右焦点F1,F 到上顶点的距离为2,点)0,(m C 是线段OF 上的一个动点. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得⊥+)(,并说明理由.【解析】(Ⅰ)由题意可知1a c -==,解得1,2===c b a ,∴椭圆的方程为1222=+y x ; (4)B分(Ⅱ) 由(1)得)0,1(F ,所以10≤≤m .假设存在满足题意的直线l ,设l 的方程为 )1(-=x k y ,代入1222=+y x ,得0224)12(2222=-+-+k x k x k , 设),(),,(2211y x B y x A ,则1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x ①122)2(22121+-=-+=+∴k kx x k y y , …………………………6分)122,2124(),(),(2222211+--+=-+-=+∴k k m k k y m x y m x ,,)(⊥+ 而AB 的方向向量为),1(k ,mk m k k km k k =-⇔=⨯+-+--∴2222)21(01222124∴当210<≤m 时,mm k 21-±=,即存在这样的直线l ; 当121≤≤m 时,k 不存在,即不存在这样的直线l (12)分21.(本小题满分12分)已知函数2()2ln (0)f x x x a x a =-+>.(Ⅰ) 当2a =时,试求函数图像在点(1(1))f ，的切线方程; (Ⅱ) 当1a =时,若关于x 的方程()f x x b =+有唯一实数解,试求实数b 的取值范围; (III)若函数()f x 有两个极值点1212()x x x x <、,且不等式12()f x m x ≥⋅恒成立,试求实数m的取值范围. 【解析】(Ⅰ) 当2a =时,有2()22ln f x x x x =-+222(1)()22x x f x x x x-+'=-+= ∴ (1)2f '=∴ 在点(1(1))f ，的切线方程为:12(1)y x +=- 即 230x y --= …………………………3分(Ⅱ) 当1a =时,有2()2ln f x x x x =-+ 其定义域为:{x|0}x >从而方程()f x x b =+ 可化为:23ln b x x x =-+令 2()3l n g x x x x =-+,则 21231()23x x g x x x x-+'=-+=由 1()0102g x x x '>⇒><<或, 1()012g x x '<⇒<< ∴ ()g x 在1(0,)(1)2+∞和，上单调递增,在1(,1)2上单调递减又 15()ln 2,(1)224g g =--=-,且当0x →时,()g x →-∞ ,当x →+∞时,()g x →+∞关于x 的方程()f x x b =+有唯一实数解∴ 实数b 的取值范围是:52ln 24b b <->--或 ………………………7分(III) ()f x 的定义域为:{x|0}x >, 222()22a x x af x x x x-+'=-+=令 ()0f x '= 2220x x a ⇒-+= 又函数()f x 有两个极值点1212()x x x x <、,∴ 2220x x a -+=有两个不等实数根1212()x x x x <、 ∴ 1002a ∆>⇒<<且12121,2ax x x x +== 从而 121012x x <<<< ………………………9分由不等式12()f x m x ≥⋅恒成立 ⇒ 2111122()2ln f x x x a x m x x -+≤=恒成立 21111111221()2l n 1(1)2l n 1f x x x a xx x x x x x -+==--+- 令 11()12ln (0)12h t t t t t t =--+<<- ∴ 21()12l n 0(1)h t t t '=-+<-当102t <<时恒成立 ∴ 函数()h t 在1(0,)2上单调递减, ∴ 13()()ln 222h t h >=--故实数m 的取值范围是:3ln 22m ≤-- ………………………12分 (二)选做题:(请考生在下列2题中选做一题,若两题都做,则按第1题给分．) 22.(本小题满分10分)选修4—4:极坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy 中,过点P (－1,－2)的直线l 的参数方程为01cos452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为sin tan 2(0)a a ρθθ⋅⋅=>,直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ,N .(Ⅰ)求曲线C 和直线l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM |＝|MN |,求实数a 的值．解:(Ⅰ)∵01cos452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩ (t 为参数)． ∴ 直线l 的普通方程为x －y －1＝0, ∵ ρsin θtan θ＝2a ,∴ρ2sin 2θ＝2aρcos θ, 由 ñèñèx cos y sin ⎧⎫⎨⎪⎩⎭得:曲线C 的普通方程为y 2＝2ax ………5分(Ⅱ)∵ y 2＝2ax , ∴ x ≥0,设直线l 上点M ,N 对应的参数分别是t 1,t 2(t 1>0,t 2>0), 则 |PM |＝t 1,|PN |＝t 2,∵ |PM |＝|MN |,∴|PM |＝12|PN |,∴t 2＝2t 1, 将 01cos452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩, 代入y 2＝2ax 得:t 2－(a ＋2)t ＋4(a ＋2)＝0, ∴12122)4(2)t t a t t a ⎧+=+⎪⎨⋅=+⎪⎩又∵ t 2＝2t 1, ∴ 14a =. ………10分23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设函数()313f x x ax =-++. (Ⅰ) 若1a =,解不等式()4f x ≤;(Ⅱ) 若()f x 有最小值,求实数a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)1a =,()3134f x x x =-++≤,即:311x x -≤-1311x x x -≤-≤-,解得:102x ≤≤,所以解集为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦………5分(Ⅱ) 1(3)2,3()1(3)4,3a x x f x a x x ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩,()f x 有最小值的充要条件为:3030a a +≥⎧⎨-≤⎩, 即:33a -≤≤ ………10分。

2017年湖南省岳阳市高考数学一模试卷(理科)

2017年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|2x2﹣2x﹣3≤1}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{﹣2，0}2．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）若变量x，y满足不等式组，且z=3x﹣y的最大值为7，则实数a的值为（）A．1 B．7 C．﹣1 D．﹣76．（5分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称B．函数f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）的图象在（，π）上单调递减D．函数f（x）的图象在（，π）上单调递增7．（5分）将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A．14 B．15 C．16 D．178．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π9．（5分）某一算法框图如图，输出的S值为（）A．B．C．D．010．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆上存在点P使得，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（6，+∞）C．（4，6） D．[4，6]11．（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则a=．14．（5分）若二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．15．（5分）矩形OABC的四个顶点坐标依次为，线段OA，OC及的图象围成的区域为Ω，若矩形OABC内任投一点M，则点M落在区域内Ω的概率为．16．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x n，…，若，则x1+x2+…+x2n=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜2．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图4中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣．（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程；（2）当＜a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；（3）若x＞0，求函数g（x）=（1+）x（1+x）的最大值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．2017年湖南省岳阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|2x2﹣2x﹣3≤1}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{﹣2，0}【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集性质能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣2，0，2}，B={x|2x2﹣2x﹣3≤1}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={0，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由z•i=2﹣i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z•i=2﹣i，得=，则，则在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，2），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直和面面垂直的性质进行判断即可．【解答】解：根据面面垂直的判定定理得若m⊥β则α⊥β成立，即充分性成立，若α⊥β则m⊥β不一定成立，即必要性不成立，故m⊥β是α⊥β的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和平面的垂直的位置关系是解决本题的关键．4．（5分）函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选：C．【点评】本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．5．（5分）若变量x，y满足不等式组，且z=3x﹣y的最大值为7，则实数a的值为（）A．1 B．7 C．﹣1 D．﹣7【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得z的最值，可得a的方程，解方程可得．【解答】解：作出不等式组所对应可行域，如图，变形目标函数z=3x﹣y可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知：当直线经过点A时，直线截距最小值，z取最大值，由解得A（a+2，2）代值可得3a+6﹣2=7，解得a=1，故选：A．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称B．函数f（x）的图象关于直线x=对称C．函数f（x）的图象在（，π）上单调递减D．函数f（x）的图象在（，π）上单调递增【分析】根据三角函数的周期性求出ω，结合三角函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为4π，∴T==4π，即ω=，则函数f（x）=sin（2×x﹣）=sin（x﹣），则f（）=sin（×﹣）=sin（﹣）≠0，且f（）≠±1，则函数f（x）的图象关于点（，0）不对称，且关于直线x=不对称，当＜x＜π时，＜x＜，＜x﹣＜，此时函数f（x）为增函数，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的周期的应用，根据条件求出ω是解决本题的关键．结合三角函数的单调性和对称性进行求解是解决本题的关键．7．（5分）将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定分段间隔，根据随机抽得的号码为003，分别计算从001到200，从201到355，可得结论．【解答】解：系统抽样的分段间隔为=10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，则被抽中的人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20人，在201至355号中共有16人．故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件建立等差数列关系是解决本题的关键．8．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查四面体的外接球的体积，确定三视图对应直观图的形状是关键．9．（5分）某一算法框图如图，输出的S值为（）A．B．C．D．0【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sin+sin+sinπ+…+sin的值，由于y=sin的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S=sin+sin+sinπ+…+sin=336×0=0，故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆上存在点P使得，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（6，+∞）C．（4，6） D．[4，6]【分析】根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设点P（a，b）在圆C上，表示出=（a+m，b），=（a﹣m，b），利用，求出m2，根据|OP|表示的几何意义，得出m的取值范围．【解答】解：∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，∴圆心C（3，4），半径r=1；设点P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b）；∵∴（a+m）（a﹣m）+b2=0；即m2=a2+b2；∴|OP|=，∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|﹣r=5﹣1=4；∴m的取值范围是[4，6]．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．11．（5分）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出A的坐标，可得k AH=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（，0），则k AH=，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．12．（5分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【分析】由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=，即方程x2﹣x=在区间（0，m）有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围【解答】解：由题意可知，在区间[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f′（x2）==，∵，∴f′（x）=x2﹣x，∴方程x2﹣x=在区间（0，m）有两个解．令g（x）=x2﹣x﹣，（0＜x＜m）则解得＜m＜，∴实数m的取值范围是（，）．故选：B．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则a=2．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值．【解答】解：∵=bcsinA=，∴解得：c=2，∴由余弦定理可得：a===2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14．（5分）若二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为15．【分析】根据题意求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中常数项的值．【解答】解：由二项式展开式中只有第4项的二项式系数最大，即展开式有7项，∴n=6；∴展开式中的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x6﹣r；令6﹣r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（﹣1）4•=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．（5分）矩形OABC的四个顶点坐标依次为，线段OA，OC及的图象围成的区域为Ω，若矩形OABC内任投一点M，则点M落在区域内Ω的概率为．【分析】根据题意，求解出线段OA，OC及的图象围成的区域面积Ω和矩形OABC的面积可得点M落在区域内Ω的概率．【解答】解：由题意：线段OA，OC及的图象围成的区域面积Ω===1，矩形OABC的面积S=．点M落在区域内Ω的概率为：1．故答案为：．【点评】本题考查了古典型概率问题，利用了定积分求面积．属于基础题．16．（5分）定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x n，…，若，则x1+x2+…+x2n=6×（2n ﹣1）．【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵①当x∈[1，2）时，；②∀x∈[0，+∞）都有f （2x）=2f（x）．当x∈[2，4）时，∈[1，2），f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4），f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6，依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．∴当时，x1+x2+ (x2)﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），故答案为：6×（2n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n 项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜2．【分析】（1）根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列{a n}的通项公式，（2）利用裂项求和即可求出数列{b n}的前n项和T n，再放缩证明即可．【解答】解：（1）2S n+a n=1，2S n+1+a n+1=1，∴2a n+1+a n+1=a n，∴3a n+1=a n，又2S1+a1=1，∴a1=，∴{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n=（）n；（2）证明：===2（﹣）∴T n=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2（1﹣）＜2．【点评】本题考查了数列的递推公式和裂项求和，属于中档题．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图4中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）①a=0.004．②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1，与35比较即可判断出结论．（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=．【解答】解：（1）①a=0.004．②2016年该居民区PM2.5的年平均浓度=12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米），∵42.5＞35，∴2016年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民取的环境需要改进．（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729．X的分布列为：E（X）=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7，或E（X）=3×0.9=2.7．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM （Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．【点评】本题主要考查空间线面垂直性质以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4，可知a=，利用e=，【分析】可知c=，通过b=可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0，y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．【解答】解：（1）∵△ABF2的周长等于4，且F1在边AB上，∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4，∴2a+2a=4，即a=，又∵e=，∴c=，∴b=，∴椭圆C的标准方程为：；（2）依题意，设P（x0，y0），设过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），记b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，又∵b=﹣kx0+y0，∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，∵△=3y02+x02﹣3＞0，∴k1•k2=，又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，∴k1•k2==﹣1，∴过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，∴MN为圆O的直径，∴当P点为（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为×4×2=4．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣．（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程；（2）当＜a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；（3）若x＞0，求函数g（x）=（1+）x（1+x）的最大值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣1），f（e﹣1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据a的范围求出函数的单调区间即可；（3）令φ（x）=lng（x），根据φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，求出φ（x）的最大值，从而求出g（x）的最大值即可．【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=ln（1+x）﹣，f′（x）=﹣=，f′（e﹣1）=，又f（e﹣1）=，∴a=1时，函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程是：y﹣=（x﹣e+1）；（2）由题意得：函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），且f′（x）=，＜a≤2时，则2a﹣3＞0，若﹣1＜x＜0或x＞2a﹣3，则f′（x）＞0，若0＜x＜2a﹣3，则f′（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣1，0）（2a﹣3，+∞）递增，在（0，2a﹣3）递减；（3）显然g（x）=g（），令φ（x）=lng（x），因此φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，φ′（x）=（1﹣）ln（1+x）+（x+）•﹣lnx﹣1，设h（x）=（1﹣）ln（1+x）+（x+）•﹣lnx﹣1，h′（x）=，由（2）得，当a=2时，f（x）在区间（0，1]递减，则f（x）=ln（1+x）﹣＜f（0）=0，h′（x）＜0，故函数h（x）在区间（0，1]递减，于是h（x）≥h（1）=0，从而函数φ（x）在区间（0，1]递增，进而φ（x）≤φ（1）=2ln2，∵φ（x）=lng（x），∴函数g（x）的最大值是4．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）由直线l经过定点P（﹣1，1），此点在圆的内部，因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，利用k CP•k l=﹣1，解得k l，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=6y，配方为：x2+（y﹣3）2=9，圆心C（0，3），半径r=3．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x﹣ay+a+1=0．（2）由直线l经过定点P（﹣1，1），此点在圆的内部，因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，则k CP•k l=×k l=﹣1，解得k l=﹣．∴=﹣，解得a=﹣2．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。

湖南省岳阳县第一中学2017届高三第一次月考数学(理)试卷(有答案)AKPPHH

岳阳县一中2017届高三第一次月考数学试卷（理）时量：120分钟满分：150分命题：彭志龙审题：周军才一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1.函数lg(2)y x =-的定义域是（）A. [0,2)B. [0,1)(1,2)UC. (1,2)D. [0,1) 2. “1a =”是“函数2()2f x x ax b =-+在区间[)+∞,1上为增函数”的 ( )A ．既不充分也不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．充分不必要条件3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180 件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x ，设此次抽样中，某件产品A 被抽到的概率为y ，则x ，y 的值分别为（）.A 25，16 .B 20，16 .C 25，1600 .D 25，14 4. 设向量(1,cos )a θ=r ，b r =（1-， 2cos θ），且a b ⊥r r ，则cos2θ等于（）A ．2 B. 12C . 0 D. 1-5 . 若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积为（） A ．63cm B ．123cm C ． 183cm D ．363cm6. 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增7．若函数()1sin f x x x =+-在区间[6,6]-上的值域是[,]n m ，则n m +＝（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 68．函数||2x y =的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象是（）（第5题）图图1 俯视图Y结束输出s 开始s=0,n=2,i=1 s=s+n n=n+2 i=i+1 N5?i > ()2cos 3sin 323θ+θ=x x ⎥⎦⎤⎣⎡π65，()值范围是 ( )A ．[3,6]B ．[3,43]+C ．[43,6]-D ．]34,34[+-．10．已知R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x -=-, 且[0,1]x ∈时，()21xf x x =+-. 若方程()1f x =在区间[6,4]-上有m 个不同的根12,,,m x x x L ，则1mii x==∑( )A ． 6-B ． 6C ． 0D ．4-11. 定义在D 上的函数()f x 满足：对任意x D ∈, 存在常数0M >, 都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的界. 已知函数()f x =124x x a --+⋅+在区间[]0,1上是以3为界的有界函数，则实数a 的范围( )A ． []5,1-B ．75,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]4,1-D ．17,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()xf x e =，1()ln 22xg x =+的图象分别与直线y m =交于,A B 两点，则AB 的最小值为（） A ．2B ．32ln2e - C ．212e + D ．2ln 2+ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数2log log )(32++=x b x a xf ，且1()42016f =，则(2016)f 的值为．14. 执行右图所示的程序框图，输出结果S 的值是． 15. 设ABC ∆中，3B =π，23AC =, 则ABC ∆的面积的最大值为．AC B D16. 已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，（1）a 的取值范围是；（2）若关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+．（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值． 18.（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足43x -<.（Ⅰ）若1,a = 且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：332n n S a n =+-. （Ⅰ）求证：数列{}1n a -是等比数列；（Ⅱ）令31323log (1)log (1)log (1)n n c a a a =-+-++-L ，对任意*n N ∈，是否存在正整数m ，使121113n mc c c +++≥L 都成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（Ⅰ）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程；（Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.21．（本小题满分12分）已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数1()ln()f x x ax a=+-, 其中a R ∈且0a ≠. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()f x ax <恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）若方程()0f x =存在两个异号实根12,x x ，求证：120x x +>. 参考答案BDAC BBCB ADAD1312313.0;14.30;15.16.(1),;(2),34334⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭U (3分) 17.解:（1）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< 当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<. 由43x -<, 得17x <<若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是13x <<.(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p 是q 的充分不必要条件，当0a >时，:(,3)P a a ，1a ≥且37a ≤，713a ≤≤ 当0a =时，不等式的解为空集，符合题意；当0a <时，不合题意。

(全优试卷)湖南省高三十三校联考第一次考试理数试题 Word版含答案

湖南省2017届高三·十三校联考第一次考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|13,|230A x Z x B x x x =∈-<=+-<，则A B =（）A ．()2,1-B ．()1,4C ．{}2,3D ．{}1,0-2.记复数z 的共轭复数为z ，若()12z i i -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z = （）A B ．1 C ．．2 3.在等差数列{}n a 中，912132a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S = （） A ． 24 B ．48 C ．66 D ． 1324.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（） A ． 1 B ． 2 C. 3 D ．45.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（） A ．35 B ．45 C. 34 D ．146.如下图，是一个算法流程图，当输入的5x =时，那么运行算法流程图输出的结果是（）A ． 10B ．20 C. 25 D ．357.二项式912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（）A ．52-B ．52 C. 212- D ．2128. 设F 为抛物线2:2C y px =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交曲线C 于,A B 两点（B 点在第一象限，A 点在第四象限），O 为坐标原点，过A 作C 的准线的垂线，垂足为M ，则OB 与OM 的比为（）A ．B ．2 C. 3 D ．49.已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f =，又函数()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，若两个正数a b 、满足()22f a b +<，则22b a ++的取值范围是（）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C. ()2,+∞ D ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA PB 的取值范围是（）A ．[]0,6B ．[]2,6- C. []0,2 D ．[]2,2-11.三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ． 32πB ．1123π C. 283π D ．643π 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()23xf x x f x '>+，则不等式()()()382014201420f x x f +++->的解集为（）A ．(),2016-∞-B ．()2018,2016-- C. ()2018,0- D ．(),2018-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.函数()()()3sin 3f x x x θθ=---是奇函数，则tan θ等于． 14.已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积为V =球，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为． 15.双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、是E 左支上一点，且112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为．16.已知函数()2cos2xf x x π=，数列{}n a 中，()()()*1n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足()sin sin cos cos sin A B A B C π+=--⎡⎤⎣⎦，（1）试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若1a b c ++=+，试求ABC ∆面积的最大值.18.为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中第2组的频数为12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，12,AC AA AB BC ====，01160AAC ∠=，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，1AC 与1AC 相交于点D .（1）求证：1BC ⊥平面11AAC C ；（2）求二面角1C AB C --的余弦值.20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点到右焦点F 1，F 到上顶点，点(),0C m 是线段OF 上的一个动点. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A B 、两点，使得()CA CB BA +⊥？并说明理由.21. 已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+>.（1）当2a =时，试求函数图像过点()()1,1f 的切线方程；（2）当1a =时，若关于x 的方程()f x x b =+有唯一实数解，试求实数b 的取值范围；（3）若函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，且不等式()12f x m x ≥恒成立，试求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为01cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩（t为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ=>，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N .（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若PM MN =，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()313f x x ax =-++. （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACBC 6-10: DCCAB 11、12：BA 二、填空题13. 5316. 10200 三、解答题17.【解析1】（1）∵()sin sin cos cos sin A B A B C +=+，由正、余弦定理，得22222222b c a c a b a b c bc ca ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，化简整理得：()()()222a b a b a b c ++=+， ∵0a b +>，所以222a b c +=，故ABC ∆为直角三角形，且090C ∠=；（2）∵2221a b c a b c ++=++=，∴(12a b +=++≥=+，当且仅当a b =≤.故2111224ABC S ab ∆=≤⨯=，即ABC S ∆面积的最大值为14.【解析2】（1）由已知：()sin sin cos cos sin A B A B C +=+，又∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，∴()sin sin cos 0A B C +=，而0A B C π<<、、，∴sin sin 0A B +>， ∴cos 0C =，故090C =，∴ABC ∆为直角三角形.（2）由（1）090C =，∴sin ,cos a c A b c A ==.∵1a b c ++=+c =∴2211112sin cos sin cos 2221sin cos ABC S ab c A A A A A A ∆⎛⎫+=== ⎪ ⎪++⎝⎭，令sin cos A A t +=，∵02A π<<，∴1t <≤，∴2211213221322212124141ABCt t S t t t ∆⎛⎫+-+-+⎛⎫===-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 而()211f t t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在(上单调递增， ∴()max 14ABC S f∆==. 18.【解析】（1）设该校报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为123,,p p p ，则由条件可得：()2131123230.0370.01351p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩，解得，1230.125,0.25,0.375p p p ===，又因为2120.25p n==，故48n =. 所以该校报考飞行员的人数为48人.（2）由（1）可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60公斤的概率为12510.7568P +=-⨯=；依题有53,8XB ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3353,0,1,2,388k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴随机变量X 的分布列为：则1251501235125125125128EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，或515388EX np ==⨯=.19.【解析】（1）证明：设AC 的中点为M ，连1BM C M 、.∵01112,60AC AA AAC ==∠=， ∴四边形11AAC C 为菱形，且1ACC ∆为正三角形，∴1C M AC ⊥.∵AB BC ==BM AC ⊥. 而1BMC M M =，∴AC ⊥平面1BC M ，∴1AC BC ⊥. ∵四边形11AAC C 为菱形，则有1CD AC ⊥，又平面1ABC ⊥平面11AAC C ，平面1ABC 平面111AAC C AC =，∴CD ⊥平面1ABC ， ∴1CD BC ⊥，又∵AC CD C =，∴1BC ⊥平面11AAC C .（2）如图，∵1AC C M ⊥，∴111AC C M ⊥，以1C 为原点，以1111C A C M C B 、、所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵01112,60,AC AA AAC AB BC ==∠===， ∴12BC =.从而，有()()(),,0,0,2A M B ，()()12,0,0,A C -. ∴()()1,0,0,2AM BM =-=-. 设面ABC 的法向量为(),,1n x y =，则0320n AM x n n BM y ⎧=-=⎛⎫⎪⇒=⎨ ⎪⎝⎭=-=⎪⎩，又面1ABC 的法向量为()1A C =-，设二面角1C AB C --的大小为θ，由图知θ为锐角，则1117cos cos ,7n AC n AC n AC θ===. 20.【解析】（1）由题意可知1a c -=-=，解得1a b c ===，∴椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得()1,0F ，所以01m ≤≤.假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为()1y k x =-，代入2212x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，①∴()121222221ky y k x x k -+=+-=+， ∴()()211222242,,2,2121k k CA CB x m y x m y m k k ⎛⎫-+=-+-=- ⎪++⎝⎭. ∵()CA CB AB +⊥，且AB 的方向向量为()1,k ，∴()22224220122121k k m k m k m k k --+⨯=⇔-=++，① 当102m ≤<时，k =l ；②当112m ≤≤时，k 不存在，即不存在这样的直线l . 21.【解析】（1）当2a =时，有()222ln f x x x x =-+.∵()()221222x x f x x x x-+'=-+=，∴()12f '=， ∴过点()()1,1f 的切线方程为：()121y x +=-，即230x y --=.（2）当1a =时，有()22ln f x x x x =-+，其定义域为：{}|0x x >，从而方程()f x x b =+可化为：23ln b x x x =-+，令()23ln g x x x x =-+，则()2123123x x g x x x x-+'=-+=，由()01g x x '>⇒>或102x <<；()1012g x x '<⇒<<. ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且()15ln 2,1224g g ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，又当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∵关于x 的方程23ln b x x x =-+有唯一实数解， ∴实数b 的取值范围是：2b <-或5ln 24b >--. （3）∵()f x 的定义域为：{}()222|0,22a x x ax x f x x x x-+'>=-+=.令()20220f x x x a '=⇒-+=.又∵函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，∴2220x x a -+=有两个不等实数根()1212x x x x <、， ∴1002a ∆>⇒<<，且212111,22x x a x x +==-，从而121012x x <<<<. 由不等式()12f x m x ≥恒成立()21111222ln f x x x a x m x x -+⇒≤=恒成立， ∵()()()22111111111221222ln 112ln 1x x x x x f x x x x x x x -+-==--+-，令()1112ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭， ∴()()2112ln 01h t t t '=-+<-，当102t <<时恒成立， ∴函数()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()13ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，故实数m 的取值范围是：3ln 22m ≤--. 22.【解析】（1）∵001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩（t 为参数）， ∴直线l 的普通方程为10x y --=.∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin2cos a ρθρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =. （2）∵22y ax =，∴0x ≥，设直线l 上的点,M N 对应的参数分别是()1212,0,0t t t t >>，则12,PM t PN t ==， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =，将001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=，∴)()1212242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨=+⎪⎩，又∵212t t =，∴14a =. 23.【解析】（1）1a =时，()3134f x x x =-++≤，即311x x -≤-， 1311x x x -≤-≤-，解得102x ≤≤，所以解集为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）因为()()()132,3134,3a x x f x a x x ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，所以()f x 有最小值的充要条件为3030a a +≥⎧⎨-≤⎩，即33a -≤≤。

湖南省岳阳市2017届高三教学质量检测试卷(二)理数试题Word版含解析

岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，则，应选答案D。

2. 已知为虚数单位，复数满足，则的值为（）A. 2B. 3C.D. 5【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。

3. 设数列是等差数列，为其前项和，若，则（）A. 4B. -22C. 22D. 80【答案】C【解析】由题意可知，解之得，故，应选答案C。

4. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设可知，所以函数是奇函数，依据图像排除A，C，应选答案B，D，由于，即，故排除答案D，应选答案B。

5. 已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】A考点：球的内接多面体；球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体，球的表面积公式的应用，其中根据已知条件求出球的直径（半径）是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及空间想象能力，本题的解答中由平面，，转化为四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，从而求解球的半径，即可求解球的表面积.6. 若直线与抛物线相交于两点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设将直线代入可得，则，则，应选答案C。

7. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可知该几何体是一个四棱锥与直三棱柱的组合体如图，其表面面积，应选答案A。

8. 执行如下图所示的程序框图，输出的值为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】由题设中提供的算法流程图可以看出：当结束运算程序，所以此时输出，应选答案B。