2非周期信号和随机信号的频谱

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g.时域卷积定理
如果
h(t) FT H ( );
x(t) FT X ( );
则
h(t) * x(t) FT H ( ) X ();
h(t) * x(t) FT H ( f ) X ( f )
时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数 频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频 域中频谱中相乘。
方差：描述信号的波动分量2x
lim
1 T
T 0
(
x(t
)

x
)2
d
t
T
百度文库关系：
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4．概率密度函数 p(x)
定义：以随幅机信值号大的瞬小时为值横落在坐指标定区，间以（每x，个x+Δ幅x）值内间的隔概率内对 出Δ x现的比的值概的率极限为值纵。坐标进行统计分析的方法。它
反况映。p(了x信) 号落xli m在不0 同p(x幅x值(t)x强x度x区) 域内的概率情
特点：1 非周期信号的频谱是连续谱
测试技术基23 幅时础值域谱有是限单，位频频谱宽无上限的幅值
例1． 求矩形窗函数 t 的频谱
由欧拉公式： sin 2f0t

j 1 (e j2f0t 2
e j2f0 t )
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sinc 函数
波形
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傅立叶变换的主要性质
a. 线性叠加性 若 x1(t) ←→ X1(f)，x2(t) ←→ X2(f) 则：ax1(t)+bx2(t) ←→ aX1(f)+bX2(f)
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例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
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b.对称性
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c.时间展缩性质 若 x(t) ←→ X(f)， 则 x(kt) ←→ 1/k[X(f/k)]
测试技术基础 第一章 信号及其描述
第三节 非周期信号的频域描述 一．傅里叶变换
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信
号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手
段是傅立叶变换。




x(t) X(f
)

X


(f x(t
)e )e
j2ft df j2ft dt

, t 0 0, t 0

(t)dt 1
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特性：1）筛选性
2）卷积特性
2.1 信号的分类与描述 测试技术基础
3）傅氏变换
( f ) (t )e j2ft dt 1
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3) 正余弦函数
sin 2f0t

j ( f
2

f0) ( f

f0 )
c os 2f 0 t

1 ( f
2

f0) ( f

f0 )
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4) 采样函数（周期单位脉冲序列）
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1
G( f ) Ts

(f
k
kfs )
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第四节 随机信号的描述 一、概述
样本函数：对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录 样本记录：样本函数在有限时间区间上的部分 随机过程：同一实验条件下，全部样本函数的集合（总体） 随机过程的平均值（均值、方差、均方值、均方根值等）按集合平均计算 集合平均：随机过程中所有所有样本函数对同一时刻的观测值的平均 时间平均：单个样本时间历程的平均计算 各态历经随机过程：单个样本函数的时间平均统计特征=集合平均统计特征
x
t1 t2 t3 t
t1 Δt2
一个周期内出现两个Δt，n个周期内：
Tx 2 t n
t3
t
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p(x)
1
x0
x0
x0
x
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本章小结
时域信号如何转换为频域信号； 随机信号：4个统计特征参量； 时域、频域一一对应； 典型信号的频谱（窗函数、δ函数、正弦余 弦函数、采样函数）
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第三节 典型信号的频谱
矩形窗函数 单位脉冲函数 正余弦信号 采样函数（周期单位脉冲）
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1) 矩形窗函数的频谱
结论：若在时域中截取信号的一段长度，则相当于原信 号和矩形窗函数之乘积，所得频谱为两者卷积。
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2) 函数: 是一个理想函数，是物理不可实现 信号。

(t)
1）概率密度函数曲线影线下的面积是幅值落在 （x,x+Δx)区间的概率。
2）p(x)曲线与x轴的面积反映信号幅值上出现的 总概率，

p(x)dx 1
3）不同的函数有不同的概率密度函数。
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例：求正弦函数的概率密度函数
xt x0 sin 0t xx
解：

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二．非周期信号的频谱
与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量 的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期T∞，基频fdf， 它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df， 这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数 描述。
另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的 各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。
X ( f ) X ( f ) e j ( f )
X ( f ) Re2[X ( f )] Im2[X ( f )]
(
f
)

arctg
Im[X Re[ X
( (
f f
)] )]
或
x(t)

1 2

X ()
X ()e jt d

x(t)e jt dt
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在观察时间T内，随机信号x（t）的瞬时值落在（x，x+Δx）内总时间和为
n
Tx t1 t2 tn ti
i 1
随机信号x（t）的瞬时值落在（x，x+Δx）内的概率为
P(x x(t) x x) lim Tx
T T
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总结：
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二、随机信号的主要特征参数
1）均值、方差、均方值 2）概率密度函数 3）自相关函数 4）功率谱密度函数
均值：表示信号的直流 （常值）分量
x

lim
1 T
T
x(t)dt
0
T
均方值：描述信号的强度 均方根值（有效值）：

2 x

lim
1 T
T x2 (t)dt
0
T
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本章作业
2.1、2.2、2.5