对数函数习题课
对数函数习题和的答案解析
习题课——对数函数及其性质的应用一、A组1.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析:由题意可知y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.答案:D2.已知a=,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.答案:D3.函数f(x)=的定义域为()A.(3,5]B.[-3,5]C.[-5,3)D.[-5,-3]解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.答案:C4.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以y=lo(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.答案:D5.已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)解析:由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,所以y=log a t在定义域内是增函数,且t min>0.因此故1<a<2.答案:B6.导学号29900104已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a≤1.答案:(0,1]7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是.解析:由题意可知,f(log4x)<0⇔-<log4x<⇔log4<log4x<log4<x<2.答案:8.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=log a(4-2x).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,则解得-1<x<2.故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即log a(x+1)>log a(4-2x).当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).9.导学号29900105若-3≤lo x≤-,求f(x)=的最值.解:f(x)==(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.令log2x=t,∵-3≤lo x≤-,∴-3≤-log2x≤-,∴≤log2x≤3.∴t∈.∴f(x)=g(t)=t2-3t+2=.∴当t=时,g(t)取最小值-;此时,log2x=,x=2;当t=3时,g(t)取最大值2,此时,log2x=3,x=8.综上,当x=2时,f(x)取最小值-;当x=8时,f(x)取最大值2.二、B组1.(2016·江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln |x|的大致图象是()解析:函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x|=-x·ln|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0<x<1时,f(x)<0,排除选项A,C.故选D.答案:D2.(2016·河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.a≤4B.a≤2C.-4<a≤4D.-2≤a≤4解析:∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于零且单调递增,故有解得-4<a≤4,故选C.答案:C3.已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x的取值范围是()A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)解析:因为g(lg x)>g(1),所以f(|lg x|)<f(1).又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以0≤|lg x|<1,解得<x<10.答案:A4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为.解析:∵b=log23.2=log2,c=log23.6=log2,又函数y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,3.6>,∴log23.6>log2>log2,∴a>c>b.答案:a>c>b5.已知函数y=log a x,当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是.解析:当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是增函数,由log a2≥1,得1<a≤2;当0<a<1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是减函数,且log a2≤-1,得≤a<1.故a的取值范围是∪(1,2].答案:∪(1,2]6.导学号29900106若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.解析:当0<a<1时,f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a(2a),最大值为log a a,∴log a a=3log a(2a),∴log a(2a)=,即=2a,a=8a3,∴a2=,a=.当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a a,最大值为log a(2a),∴log a(2a)=3log a a,∴log a(2a)=3,即a3=2a,∴a2=2,a=.故a的值为.答案:7.已知函数f(x)=lg(3x-3).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无实数解,求实数t的取值范围.解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定义域为(1,+∞).因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg=lg的定义域为(1,+∞),且h(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 所以函数h(x)的值域为(-∞,0).若不等式h(x)>t无实数解,则t的取值范围为t≥0.8.导学号29900107已知函数f(x-1)=lg.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).解:(1)令t=x-1,则x=t+1.由题意知>0,即0<x<2,则-1<t<1.所以f(t)=lg=lg.故f(x)=lg(-1<x<1).(2)lg≥lg(3x+1)⇔≥3x+1>0.由3x+1>0,得x>-.因为-1<x<1,所以1-x>0.由≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x),即3x2-x≥0,x(3x-1)≥0,解得x≥或x≤0.又x>-,-1<x<1,所以-<x≤0或≤x<1.故不等式的解集为.。
2 第2课时 对数函数及其性质的应用(习题课) 纯答案
第2课时 对数函数及其性质的应用(习题课)答案比较对数值的大小【解】 (1)因为函数y ＝ln x 是增函数，且0.3＜2， 所以ln 0.3＜ln 2.(2)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数． 又3.1＜5.2， 所以log a 3.1＞log a 5.2. (3)因为0＞log 0.23＞log 0.24， 所以1log 0.23＜1log 0.24，即log 30.2＜log 40.2.(4)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1，同理，1＝log ππ＞log π3，即log 3π＞log π3.1．解析：选D.因为log 0.4x 为减函数，故log 0.44>log 0.46，故A 错；因为1.01x 为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B 错；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C 错．2．解析：选A.因为a ＝30.5>1，b ＝log 312<0，0<c ＝log 32<1，所以a >c >b .解对数不等式【解】 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，4－x ＞0，x ＜4－x ，解得0＜x ＜2.所以原不等式的解集为(0，2)． (2)当x ＞1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＜12，此时不等式无解．当0＜x ＜1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＞12，所以12＜x ＜1.综上所述，原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛1,21. (3)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＞x －1，解得x ＞4.当0＜a ＜1时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＜x －1， 解得52＜x ＜4.综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＞4}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52＜x ＜4.1．解析：因为函数y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以由log 0.22x <log 0.2(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1，即x的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)2．解：由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1. 当a >1时，y ＝log a x 是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>1，3a －1>0，解得a >23，所以a >1；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1，3a －1>0，解得13<a <23.所以13<a <23.综上所述，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛3231，∪(1，＋∞)．对数型函数的单调性【解】 (1)由4x －1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1， 因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)， 即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(3)因为f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增，又f ⎪⎭⎫⎝⎛21＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的值域为[0，log 415]．解：因为1－2x ＞0，所以x ＜12.又设u ＝1－2x ，则y ＝f (u )是(0，＋∞)上的增函数．又u ＝1－2x ，则x ∈()⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12，无单调递增区间．与对数函数有关的值域与最值问题【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3.所以f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )]＝log a (－x 2＋2x ＋3) ＝log a [－(x －1)2＋4]，－1<x <3，若0<a <1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， 所以log a 4＝－2，即a －2＝4，又0<a <1，所以a ＝12.若a >1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4，f (x )无最小值． 综上可知，a ＝12.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （2）＝log 212，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －b ）＝1，log 2（a 2－b 2）＝log 212， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝6，所以a ＝4，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝log 2(4x －2x )，设t ＝2x ，因为x ∈[1，3]，所以t ∈[2，8]． 令u ＝4x－2x＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当t ＝8，即x ＝3时，u 最大，u max ＝56， 故f (x )的最大值为log 256.1．解析：选C.因为x ≥2，所以log 2x ≥1，所以y ≥3. 2．解析：选B.易知函数y ＝lg|x |是偶函数．当x >0时，y ＝lg|x |＝lg x ，所以在区间(0，＋∞)上单调递增．由偶函数的性质知，函数在区间(－∞，0)上单调递减．3．解析：选C.由题意知，f (x )＝log a x (0<a <1)为减函数，则f (x )max ＝f (a )＝1，f (x )min ＝f (2a )＝1＋log a 2，所以1＝3(1＋log a 2)，即log a 2＝－23，解得a －23＝2，即a ＝24，故选C.4．解析：因为y ＝log 5x 与y ＝2x ＋1均为增函数，故函数f (x )＝log 5(2x ＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f (x ) 的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 5．解：设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)>f (x )⇒log 2(2x －3)>log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，x >0，2x －3>x ⇒x >3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．[A 基础达标]1．解析：选C.由指数函数的性质可知，函数y ＝0.75x 为单调递减函数，又因为－0.1<0.1，所以0.75－0.1>0.750.1.2．解析：选D.f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．3．解析：选D.由函数f (x )的解析式知定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，61，设t ＝2x －13(t >0)，t 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，61上是增函数，y ＝21log t在(0，＋∞)上是减函数，由复合函数的单调性可知f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，61上是减函数，故选D. 4．解析：选B.因为a x ≥1＝a 0的解集为{x |x ≤0}，所以0<a <1，所以x 2＋2≥2. 又因为函数y ＝log a (x 2＋2)的最大值为－1，则a ＝12.5．解析：选B.因为f (x )＝log 3x ， 所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又因为2>12>14，所以f (2)>f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21>f ⎪⎭⎫ ⎝⎛41.6．解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3>1，解得a >2. 答案：(2，＋∞)7．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3＞0，5x －6＞0，2x ＋3＞5x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－32，x ＞65，x ＜3，即65＜x ＜3，故不等式的解集为{x |65＜x ＜3}． 答案：{x |65＜x ＜3}8．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4.答案：4 9．解：(1)因为y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 3.10.5>log 3.10.2. (2)法一：因为y ＝21log x 在(0，＋∞)上是减函数，所以21log 8<21log 4.法二：21log 8＝－3，21log 4＝－2，由－3<－2知21log 8<21log 4.(3)因为log 56>log 55＝1，log 65<log 66＝1，所以log 56>log 65. 10．解：要使y ＝21log (1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，所以x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1，1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1，1)．当x ∈(－1，0]时，x 增大，t 增大，y ＝21log t 减小，所以当x ∈(－1，0]时，y ＝21log (1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0，1)时，y ＝21log (1－x 2)是增函数．故函数y ＝21log (1－x 2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值y min ＝21log (1－02)＝0.[B 能力提升]11．解析：选D.因为0<12<1，21log m <21log n <0，所以m >n >1，故选D.12．解析：选C.当－1<x <0时，0<x ＋1<1. 因为log a |x ＋1|>0，所以0<a <1，所以函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减． 13．解：(1)因为g (9)＝log a 9＝2，解得a ＝3，所以g (x )＝log 3x .因为函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log 3x 的图象关于x 轴对称，所以f (x )＝31log x .(2)因为f (3x －1)>f (－x ＋5)，所以31log (3x －1)>31log (－x ＋5)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －1>0，－x ＋5>0，3x －1<－x ＋5， 解得13<x <32，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，32.14．解：设t ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2. 当x ∈R 时，t 有最小值2. 所以lg(x 2－2x ＋3)的最小值为lg 2.又因为y ＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，所以0<a <1. 由f (x )＝log a (3－2x )，得其定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，32. 设u (x )＝3－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32， 则f (x )＝log a u (x )．因为u (x )＝3－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数， 所以f (x )＝log a u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数． 所以f (x )＝log a (3－2x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，32. [C 拓展探究]15．解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1.设g (x )＝3－ax ， 则g (x )在[0，2]上为减函数， 所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0， 所以a <32.所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1， 即log a (3－a )＝1，所以a ＝32.此时f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 233log 23 但x ＝2时，f (x )＝0log 23无意义．故这样的实数a 不存在．。
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
(罗益龙)对数函数习题课教案
对数函数习题课教案一、教学目标知识目标使学生掌握对数函数性质并能熟练应用，加深学生对函数性质的理解。
过程与方法渗透分类讨论，归纳总结等方法，引导学生运用已学知识解决问题。
情感目标培养学生对数学的兴趣，激发学生探索解题的积极性。
二、重点难点教学重点对数函数及其性质的应用教学重点对数函数及其性质的综合应用三、教学过程：(一)知识回顾1.对数函数的性质2.指数函数与对数函数的关系1.指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数.2. 指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图象在同一坐标平面内关于直线y=x对称.(二)典型范例分析例1 设f(x)=log2x.若f(2x-x2)<f(3-2x2),求x的取值范围.解：∵f(x)的定义域是(0,+∞),且是增函数，∴222220 320 232x x x x x x ⎧->⎪->⎨⎪-<-⎩22(2)0302+230x x x x x -<⎧⎪⎪⇒-<⎨⎪-<⎪⎩0231x x x <<⎧⎪⎪⇒<<⎨⎪⎪-<<⎩∴0＜x ＜1 即x 的取值范围是(0,1).例2 若f (x )=log (2a -1)x ，且f (5)<1,求a 的取值范围. 解：f (5)<1⇔ log (2a -1)5< log (2a -1)(2a -1) (1)当0<2a -1<1，即12<a <1时，521112a a >-⎧⎪⎨<<⎪⎩3112a a <⎧⎪⇒⎨<<⎪⎩, 即12<a <1. (2)当2a -1>1，即a >1时，5211a a <-⎧⎨>⎩31a a >⎧⇒⎨>⎩，即a >3. 综上可知，a 的取值范围是(12,1)∪(3,+∞).复合函数的概念若函数y =f (u )与u =g (x )是两个函数，则称函数y =f (g (x ))是函数y =f (u )与u =g (x )的复合函数. 复合函数单调性判断法则同增异减例3 已知函数f (x )=12log (2x -x 2),试求出f (x )的单调区间.解：∵2x -x 2＞0，∴0<x <2,即f (x )的定义域为(0,2).又∵y =2x -x 2在区间(0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减，且函数y=12log x 是减函数，∴函数f (x )在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2)上单调递增. 例4已知函数f (x )求f (x )的定义域和值域.解：∵222(lg )lg 300 0x x x x ⎧-++≥⎪>⎨⎪>⎩∴(lg 1)(lg 3)00 x x x +-≤⎧⎨>⎩即1lg 30x x -≤≤⎧⎨>⎩ 1100010x ⇒≤≤∴f (x )的定义域为[110,1000].又∵0≤-(lg x )2+lg x 2+3=-(lg x -1)2+4≤4∴f (x )的值域为[0,2].例5 已知函数f (x )=212log >0log () <0x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩.若f (a ) ＞f (-a ),试求a 的取值范围.解：f (x )=212log >0log () <0x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩=22log >01log () <0x x x x ⎧⎪-⎨⎪⎩. (1)当a >0时，-a <0,所以f (a )= 2log a > f (-a )= 21log ()a-- ∴10a a a ⎧>⎪⎨⎪>⎩ 210a a ⎧>⇒⎨>⎩ 110 a a a ><-⎧⇒⎨>⎩或，∴a >1 (2)当a <0时，-a >0,所以f (a )= 21log ()a-> f (-a )= 2log ()a - ∴1aa a -⎧>-⎪⎨⎪<⎩ 210a a ⎧<⇒⎨<⎩ 110a a -<<⎧⇒⎨<⎩ ∴-1<a <0综上可知，a 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).(三)小结作业1.解答与对数函数相关的问题时，首先要保证在定义域范围内解题；注意数形结合的方法在解题中的应用；对数函数的底数如果是变量，要注意对底数(a>1,0<a<1)进行两种讨论.2.复合函数的单调性的判断:设函数y=f(u)和u=g(x)是两个函数，则称y=f(g(x))是f与g的复合函数.若y=f(u)与u=g(x)都是增函数或者都是减函数时，y=f(g(x))是增函数；若y=f(u)与u=g(x)一个是增函数，另一个是减函数，则y=f(g(x))是减函数.作业：P75 习题2.2 B组2,3,4。
数学教案 人教a版必修第一册 同步备课第4章第4小节 对数函数练习题
4．4 对数函数最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a ＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一 对数函数的概念函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 状元随笔 形如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二 对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图 象性 质定义域(0，＋∞)值域R过点(1,0)，即当x ＝1时，y ＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数状元随笔 底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三 反函数一般地，指数函数y ＝a x(a ＞0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． [教材解难] 1．教材P 130思考根据指数与对数的关系，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x(x≥0)得到x ＝log 573012y(0＜y≤1)．如图，过y 轴正半轴上任意一点(0，y 0)(0＜y 0≤1)作x 轴的平行线，与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x (x≥0)的图象有且只有一个交点(x 0，y 0)．这就说明，对于任意一个y∈(0,1]，通过对应关系x＝log573012y，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数x＝log573012y，y∈(0,1]刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．2．教材P132思考利用换底公式，可以得到y＝log12x＝－log2x.因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)都在y＝log12x的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log2x的图象画出y＝log12x的图象．3．教材P138思考一般地，虽然对数函数y＝log a x(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x(a ＞1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x 的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.4．4.1 对数函数的概念[基础自测]1．下列函数中是对数函数的是( ) A ．y ＝log 14x B ．y ＝log 14 (x ＋1)C ．y ＝2log 14xD ．y ＝log 14x ＋1 解析：形如y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A 是对数函数． 答案：A2．函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，1－x ＞0，解得0≤x＜1；故函数y ＝xln(1－x)的定义域为[0,1)．答案：B3．函数y ＝log a (x －1)(0＜a ＜1)的图象大致是( )解析：∵0＜a ＜1，∴y＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，故A ，B 可能正确；又函数y ＝log a (x －1)的图象是由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到，故A 正确． 答案：A4．若f(x)＝log 2x ，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________． 解析：因为f(x)＝log 2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以log 22≤log 2x≤log 23，即1≤log 2x≤log 23. 答案：[1，log 23]题型一 对数函数的概念例1 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)； (2)y ＝log 2x ＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝log x6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【解析】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x(a＞0且a≠1)来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1 若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.答案：1对数函数y＝log a x系数为1.题型二求函数的定义域[教材P130例1]例2 求下列函数的定义域：(1)y＝log3x2；(2)y＝log a(4－x)(a＞0，且a≠1)．【解析】(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝log a(4－x)的定义域是{x|x＜4}.真数大于0.教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2 求下列函数的定义域： (1)y ＝lg(x ＋1)＋3x21－x； (2)y ＝log (x －2)(5－x)． 解析：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ＞2，x≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f(x)＝3x＋b 的图象上，则f(log 32)＝________.(3)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．【解析】 (1)A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f(x)＝3x－109，f(log 32)＝33log 2－109＝2－109＝89. (3)由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1,0＜d ＜1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c.【答案】 (1)C (2)89(3)b ＞a ＞1＞d ＞c状元随笔 (1)由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围． (2)依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．(3)沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a ＞1，还是0＜a ＜1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.跟踪训练3(1)如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35(2)函数y ＝log a |x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：(1)方法一 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A.方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110.故选A.增函数底数a ＞1， 减函数底数0＜a ＜1.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A.先去绝对值，再利用单调性判断. 答案：(1)A (2)A课时作业 23一、选择题1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a)(a ＞0，且a≠1)C ．y ＝log a x 2(a ＞0，且a≠1) D ．y ＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A ，B ，C 全错，D 正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2log 4x C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x D ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x(a ＞0，且a≠1，x ＞0)，则2＝log a 4即a 2＝4得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x.答案：A3．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x)的定义域为B ，则A∩B＝( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(－2,1) D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x|－2≤x≤2}，B ＝{x|x ＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}． 答案：D4．已知a ＞0，且a≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象只能是下图中的( )解析：由函数y ＝log a (－x)有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C.又当a ＞1时，y ＝a x为增函数，所以图象B 适合．答案：B 二、填空题5．若f(x)＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________. 解析：由对数函数的定义可知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0a ＞0a≠1，∴a＝5.答案：56．已知函数f(x)＝log 3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f(15)＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f(15)＝log 395＋log 315＝log 327＝3. 答案：37．函数f(x)＝log a (2x －3)(a ＞0且a≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________．解析：令2x －3＝1，解得x ＝2，且f(2)＝log a 1＝0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2,0)． 答案：(2,0) 三、解答题8．求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3(1－x)； (2)y ＝1log 2x ；(3)y ＝log 711－3x. 解析：(1)由1－x ＞0，得x ＜1，∴函数y ＝log 3(1－x)的定义域为(－∞，1)． (2)由log 2x≠0，得x ＞0且x≠1. ∴函数y ＝1log 2x的定义域为{x|x ＞0且x≠1}． (3)由11－3x ＞0，得x ＜13.∴函数y ＝log 711－3x 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.9．已知f(x)＝log 3x. (1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a 的取值范围． 解析：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示(2)令f(x)＝f(2)，即log 3x ＝log 32， 解得x ＝2.由图象知，当0＜a ＜2时，恒有f(a)＜f(2)．∴所求a 的取值范围为0＜a ＜2. [尖子生题库]10．已知函数y ＝log 2x 的图象，如何得到y ＝log 2(x ＋1)的图象？y ＝log 2(x ＋1)的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？解析：y ＝log 2x ――――――→左移1个单位y ＝log 2(x ＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R ，与x 轴的交点是(0,0)．4.4.2 对数函数的图象和性质4.4.3 不同函数增长的差异 [基础自测]1．函数y ＝e x的图象与函数y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称，则( ) A ．f(x)＝lg x B ．f(x)＝log 2x C ．f(x)＝ln x D ．f(x)＝x e解析：易知y ＝f(x)是y ＝e x 的反函数，所以f(x)＝ln x. 答案：C2．若log 3a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＞1，则( ) A ．a ＞1，b ＞0 B ．0＜a ＜1，b ＞0 C ．a ＞1，b ＜0 D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：由函数y ＝log 3x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象知，0＜a ＜1，b ＜0.答案：D3．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝3xB ．y ＝103x C ．y ＝log 2x D ．y ＝x 3解析：指数函数模型增长速度最快，故选A. 答案：A4．函数f(x)＝log 3(4x －x 2)的递增区间是________． 解析：由4x －x 2＞0得0＜x ＜4， 函数y ＝log 3(4x －x 2)的定义域为(0,4)． 令u ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4， 当x∈(0,2]时，u ＝4x －x 2是增函数， 当x∈(2,4]时，u ＝4x －x 2是减函数． 又∵y＝log 3u 是增函数，∴函数y ＝log 3(4x －x 2)的增区间为(0,2]． 答案：(0,2]题型一 比较大小[教材P 133例3]例1 比较下列各题中两个值的大小： (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7；(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0，且a≠1)．【解析】 (1)log 23.4和log 28.5可看作函数y ＝log 2x 的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y ＝log 2x 是增函数，且3.4＜8.5，所以log 23.4＜log 28.5.(2)log 0.31.8和log 0.32.7可看作函数y ＝log 0.3x 的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y ＝log 0.3x 是减函数，且1.8＜2.7，所以log 0.31.8＞log 0.32.7.(3)log a 5.1和log a 5.9可看作函数y ＝log a x 的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a 是大于1还是小于1，因此需要对底数a 进行讨论．当a ＞1时，因为函数y ＝log a x 是增函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＜log a 5.9； 当0＜a ＜1时，因为函数y ＝log a x 是减函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＞log a 5.9. 构造对数函数，利用函数单调性比较大小． 教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a (2)比较下列各组值的大小：①log230.5，log 230.6. ②log 1.51.6，log 1.51.4.③log 0.57，log 0.67. ④log 3π，log 20.8.【解析】 (1)a ＝log 2π＞1，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0,1)，所以a ＞c ＞b.(2)①因为函数y ＝log23x 是减函数，且0.5＜0.6，所以log 230.5＞log 230.6.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6＞1.4，所以log 1.51.6＞log 1.51.4. ③因为0＞log 70.6＞log 70.5，所以1log 70.6＜1log 70.5，即log 0.67＜log 0.57.两类对数不等式的解法(1)形如log a f(x)＜log a g(x)的不等式． ①当0＜a ＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0； ②当a ＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如log a f(x)＜b 的不等式可变形为log a f(x)＜b ＝log a a b. ①当0＜a ＜1时，可转化为f(x)＞a b； ②当a ＞1时，可转化为0＜f(x)＜a b .跟踪训练2 (1)满足不等式log 3x ＜1的x 的取值集合为________； (2)根据下列各式，确定实数a 的取值范围： ①log 1.5(2a)＞log 1.5(a －1)； ②log 0.5(a ＋1)＞log 0.5(3－a)． 解析：(1)因为log 3x ＜1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 3x ＜log 33，即0＜x ＜3.所以x 的取值集合为{x|0＜x ＜3}． (2)①函数y ＝log 1.5x 在(0，＋∞)上是增函数．因为log 1.5(2a)＞log 1.5(a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞a －1，a －1＞0，解得a ＞1，即实数a 的取值范围是a ＞1.②函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，因为log 0.5(a ＋1)＞log 0.5(3－a)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－a ＞0，a ＋1＜3－a ，解得－1＜a ＜1.即实数a 的取值范围是－1＜a ＜1.答案：(1){x|0＜x ＜3} (2)①(1，＋∞) ②(－1,1) (1)log 33＝1.(2)由对数函数的单调性求解． 题型三 对数函数性质的综合应用例3 已知函数f(x)＝log a (1＋x)＋log a (3－x)(a ＞0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a 的值．【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．状元随笔 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x和y ＝log 2x 的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：课时作业 24一、选择题1．设a ＝log 0.50.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b解析：因为0＝log 0.51＜a ＝log 0.50.9＜log 0.50.5＝1， b ＝log 1.10.9＜log 1.11＝0，c ＝1.10.9＞1.10＝1， 所以b ＜a ＜c ，故选B. 答案：B2．y 1＝2x，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2 D ．y 2＞y 3＞y 1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3.答案：B3．若log a 34＜1(a ＞0，且a≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D．(0,1)若f(x)，g(x)均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：(1,2) 三、解答题8．比较下列各组对数值的大小： (1)log 151.6与log 152.9；(2)log 21.7与log 23.5； (3)log 123与log 153；(4)log 130.3与log 20.8.解析：(1)∵y＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵y＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5， ∴log 21.7＜log 23.5.(3)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方， ∴log 123＜log 153.(4)由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8.9．已知log a (2a ＋3)＜log a 3a ，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3.(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1.综上所述，a 的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．第21 页共21 页。
对数函数习题课(1)
崂山一中2012--13学年度第一学期高一数学对数函数习题课（1） 2013-10-29一、复习：1.对数函数的图象和性质2.比较下列各组数中两个数的大小(1) log 0.31.8, ______ log 0.32.7 (2) log 0.34, ______log 0.60.5;(3)log a 5.1______,log a 5.9. (4)log 56, ______log 763. 已知1122log log 0m n << 则 ( )（A ）n ＜m ＜1 （B ）m ＜n ＜1 （C ）1＜m ＜n （D ）1＜n ＜m 二、 常见题型 1、方程与不等式：（1）解关于x 的不等式<-)23(log 2x )2(log 2+x（2）已知3log a <1求a 的取值范围。
a ＞1 0＜a ＜1图 象性 质(1)定义域：_______ (2)值域：____________(3)过点__________，即x =___时，y =______(4)在_____上是单调____函数 (4)在______上是单调____函数练习：已知32log a <1求a 的取值范围.2、求定义域 （1）221log (3)y x =- （2）)34(log 2-=x y（3）24log =-y x3、单调性例1：求函数的单调递增.减区间。
（1）22()log (2)f x x =+ （2）)2(log )(22-+=x x x f（3）2()|log |f x x =练习：求下列函数及的单调区间：（1）)2(log )(221x x x f -=（2）2()log ||f x x =三、课后练习：1. 如图，函数1log a y x =，2log b y x =，3log c y x =，4log d y x =所表示的图象分别为4321,,,c c c c ，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系为( )A ．d c b a <<<<1B ．d c b a >>>>1C ．c d a b >>>>1D ．d c a b >>>>12.函数()|lg |f x x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．3.若2log 13a >，则实数a 的取值范围是_________________.4.已知32log 9=a ，3log 8=b ，则a 、b 的大小关系是_______________.5.函数()()log (8)90,1=-+>≠a f x x a a 图像横过定点____________6.设,0.()ln ,0.x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则g[g(0.5)]=____________7.计算：21log 6328110.25lg162lg 52722--⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。
对数函数的性质及其应用.习题课2.2
2
5
如图所示，在(1,+∞)内，前者在后者的下方，
∴ log 1 3 log 1 3 .
2
5
（3）由对数函数的性质知，log 1 0.3 >0, log20.8 <0,
3
∴ log 1 0.3 > log2 0.8 .
3
【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：
（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比 较；
• 2．对数函数的图象与底数大小的比较 • 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函 数图象交点的横坐标为相应的底数． • 故 0<c<d<1<a<b. • 由此我们可得到以下规律： • 在第一象限内从左到右底数逐渐增大． • 底大图低
学点一 比较大小
比较大小：
（1）log 1
2
4
5 ，log 1 2
当0<x<1时，y>0； 当x>1时，_y_<_0_
在(0，＋∞)上为增__函__数__ 在(0，＋∞)上为_减__函__数__
【常用结论】 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝log1ba； (2)logambn＝mn logab. 其中 a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1，m，n∈R.
6 7
；
（2）log 1 3,
log 3; 1
2
5
（3）log 1 0.3, log 2 0.8 .
3
【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.
【解析】（1）∵函数y= log 1 x
在(0,+∞)上递减，又∵ 4 6
2
,
57
∴
log 1
对数函数及性质-习题课课件
目录
• 对数函数的基本性质 • 对数函数的习题解析 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 总结与回顾
01 对数函数的基本性质
定义与性质
01
02
03
定义
对数函数是指数函数的反 函数，记作y=logₐx （a>0，a≠1）。
性质
对数函数在其定义域内是 单调递增或递减的，其值 域为全体实数R。
运算性质
01
换底公式
logₐb=log₰b/log₰a（a>0，a≠1，b>0）。
02 03
性质
对数函数具有加减乘除运算性质，即logₐm+logₐn=logₐmn、logₐmlogₐn=logₐm/n、logₐm×logₐn=logₐm+logₐn、logₐm/n=logₐmlogₐn（m>0，n>0）。
鼓励学生在实际生活中运用对数知识，通过解决实际问题提高自己 的应用能力。
拓展知识面和视野
建议学生阅读相关资料和文献，了解对数函数在其他领域的应用和 发展趋势，拓展自己的知识面和视野。
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感谢您的观看
对数不等式的求解
掌握如何求解对数不等式，以及对数 不等式的性质。
综合习题
实际应用问题
结合实际问题，例如增长率、复利等，来求解对数方程或不 等式。
与其他知识点的综合
例如与指数函数、幂函数的综合应用，以及对数在实际问题 中的应用。
03 对数函数的应用
在数学中的应用
求解对数方程
概率论与统计学
对数函数在数学中常用于求解对数方 程，如求解$log_b(x) = c$的形式。
对数函数单调性的习题课
《对数函数单调性的习题课》教学设计牡丹江一中数学组 王玉刚 教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。
教学重点：对数函数单调性的应用教学难点：底数a 对对数函数的影响（Ⅰ）设置情景复习回顾师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？ 生1：当1>a 时，对数函数x y a log =在),0(+∞内是增函数；当10<<a 时，对数函数x y a log =在),0(+∞内是减函数师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。
（Ⅱ）探求与研究问题1：（幻灯片1）mn p D p n m C n p m B n m p A b p b n b m ab b a b a a <<<<<<<<===>><<....)(1log 1log log ,11,10则下列各式中成立的是，，若且已知 师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。
生2：首先观察p n m 、、三个式子，可以判断出01,0,0<-=><p n m ，然后再判断p m 与的大小。
p 可以写成a p a 1log =，此时p m 与同底，然后比较ab 1与的大小，因为1,0,0>>>ab b a ，所以a b 1>，因此p m <，答案应为B 。
全体同学异口同声说：好！师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。
我们来看第二题问题2：（幻灯片2）的单调区间求函数)54(log 22.0++-=x x y 生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令542++-=x x u ，则u y 2.0log =在),0(+∞内是减函数，现在我们来求函数542++-=x x u 的单调区间，易得u 在)2,1(-是增函数，u 在)5,2(是减函数，所以，函数)54(log 22.0++-=x x y 在]2,1(-是减函数，在)5,2[是增函数。
第二章 2.2.2对数函数及其性质(2)
答案：A
返回
3．不等式 log 1 (2x＋1)>log 1 (3－x)的解集为_____________．
2 2
2x＋1>0， 解析：由题意3－x>0， 2x＋1<3－x 1 2 ⇒－2<x<3.
1 2 答案：{x|－2<x<3}
1 x>－2， ⇒x<3， 2 x< 3
－
1 3
.
返回
取得最小值时 x＝ 2
1 － 3 － 2 3
＝ 2<2，
这时 x [2,8]，舍去． 32 1 1 若2loga8＋2 －8＝1， 1 则 a＝2，此时取得最小值时
1－ 3 x＝2 2 ＝2
2∈[2,8]符合题意，
1 ∴a＝2.
＝(log2x－1)(log2x－2)
返回
＝(log2x)2－3log2x＋2，(6 分) 令 t＝log2x. ∵x∈[ 2，8]，
1 ∴t∈2，3，(8
分)
利用换元法解决问题时， 一定要求出换元后的变 量的取值范围，即新 函数的定义域.
求此类函数的最值，应 借助函数的图象求解， 此处极易将两端点处的 函数值作为最值，从 而导致解题错误.
返回
[随堂即时演练]
1．设 a＝log54，b＝log53，c＝log45，则 A．a＜c＜b C．a＜b＜c B．b＜c＜a D．b＜a＜c ( )
解析：由于 b＝log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故 b＜ a＜c.
答案：D
返回
2．函数
f(x)＝lg
1 的奇偶性是 2 x ＋1＋x
《对数和对数函数习题课》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
y log2 x 符合．将表中数据代入 验证，数据基本相符．所以选D．
习题讲解
12．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远 的角度看，更为有前途的生意的序号是_____①_______．
① y 3 1.04x ；
③ y 40 lg x 1 ；
② y 20 x10 ； ④ y 80．
解：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．
习题讲解
13．
解：A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与（4）对应；B容 器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都 是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗， 故溶液高度的变化为C容器快，与（3）对应，D容器慢，与（2）对 应．
am
2 an 32 9 ．
2．已知 log2 log4 log3 x log3 log4 log2 y 0 ，则x y __9_7___．
解：由题意可知 log4 log3 x 1 ，所以 log3 x 4 ，所以 x 34 81 ；
同理可得 y 24 16 ，所以 x y 97 ．
loga (x
1) 2
为增函数，
没有符合的选项．所以答案为D．
习题讲解
9．
解：因为对数函数 y log6 x 在其定义域上是增函数，所以 a log6 5 log6 1 0且 a log6 5 log6 6 1 ．因为指数函数 y x 在其定义域上是增函数，所以 b 0.3 0 1．因为 在其定义域上是 增函数，所以 c ln 1 ln1 0 ．综上，c＜0＜a＜1＜b，即c＜a＜b ，
则x，y最合适的函数是（ ）
A．y 2x
B．y x2 1
第2课时 对数函数的图象及性质的应用(习题课) 课件(40张)
数学
方法总结
() > ,
(1)loga f(x)<loga g(x),a>1 与不等式组 () > , 同解.
() < ()
() > ,
(2)loga f(x)<loga g(x),0<a<1 与不等式组 () > , 同解.
() > ()
(3)特别地:当底数的取值范围不确定时,通常需要对底数按a>1及0<a<1
数学
法二
设 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,
则 f(x1)-f(x2)=log2
-
+
-log2
-
+
(- )(+ )
- + -
(+ )(- )
- + -
=log2
=log2
=log2(
-
+
-
2
当 x<-1 时,u=x -1 单调递减.
2
f(x)=log2(x -1)的减区间为(-∞,-1).
数学
方法总结
解决对数型复合函数单调性问题的思路
(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数,即
y=logaf(x)型;另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)型.
①对于y=logaf(x)型复合函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的
递减,
所以 f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,- )上单调递减.
2
当 0<a<1 时,y=logat 为减函数,t=2x -3x-2 在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,- )上单
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第2课时)对数函数及其性质的应用(习题课)应用
高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（第2课时）对数函数及其性质的应用（习题课）应用案巩固提升新人教A 版必修1[A 基础达标]1．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1， 故a ＞c ＞b .2．(2019·衡阳高一检测)函数y ＝log 15(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为3x＞0，所以－3x＜0， 所以1－3x＜1.又y ＝log 15t (t ＝1－3x)是关于t 的减函数，所以y ＝log 15t ＞log 151＝0.选C.3．(2019·聊城高一检测)关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是减函数 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是减函数 解析：选C.由1－2x >0，得x <12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.由于底数12∈(0，1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数，故选C. 4．(2019·六安高一检测)若a >1，且log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 3<x 1C ．x 3<x 2<x 1D ．x 3<x 1<x 2解析：选C.因为log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，所以lg x 1lg 1a＝lg x 2lg a ＝lg x 3lg （a ＋1）<0，因为a >1，则lg 1a<0，lg(a ＋1)>lg a >0，所以lg x 1>0，lg x 2<0，lg x 3<0，且lg x 2>lgx 3，所以x 1>1，0<x 3<x 2<1，所以x 3<x 2<x 1.5．下列函数为奇函数的是( )A ．f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12xB ．f (x )＝|lg x |C ．f (x )＝lg |x |D ．f (x )＝lg 1－x1＋x解析：选D.对于选项A 中的函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ，函数定义域为R ，f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋12－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝f (x )，故选项A 中的函数为偶函数；对于选项B 中的函数f (x )＝|lg x |，由于函数定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故选项B 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；对于选项C 中的函数f (x )＝lg|x |，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，故选项C 中的函数为偶函数；对于选项D 中的函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，由于函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，故选项D 中的函数为奇函数．故选D.6．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是________． 解析：由lg(2x －4)≤1得lg(2x －4)≤lg 10， 所以0＜2x －4≤10， 解得2＜x ≤7. 答案：(2，7]7．(2019·凉州高一检测)已知函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，则其定义域是________．解析：因为函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，所以0<1－x <1，即－1<x －1<0，解得0<x <1，所以该函数的定义域为(0，1)．答案：(0，1)8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4.答案：49．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求f (x )的解析式； (2)解关于x 的不等式f (x )≤12.解：(1)设x <0，则－x >0， 因为当x >0时，f (x )＝log 2x ， 所以f (－x )＝log 2(－x )， 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )． 当x ＝0时，f (0)＝0，综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.(2)由(1)得不等式f (x )≤12可化为x >0时，log 2x ≤12，解得0<x ≤ 2.x ＝0时，0≤12满足条件．x <0时，－log 2(－x )≤12，解得x ≤－22. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤－22或0≤x ≤2.10．已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)．求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)设x 1，x 2为(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x 21)－log 2(1＋x 22)＝log 21＋x 211＋x 22.因为0<x 1<x 2，所以0<x 21<x 22，0<1＋x 21<1＋x 22，所以0<1＋x 211＋x 22<1.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 21＋x 211＋x 22<0.所以f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．log 12(a 2＋a ＋1)与log 1234的大小关系为( )A ．log 12(a 2＋a ＋1)≥log 1234B ．log 12(a 2＋a ＋1)>log 1234C ．log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234D ．log 12(a 2＋a ＋1)<log 1234解析：选C.因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，而a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34≥34，所以log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234.12．(2019·大庆高一检测)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ．则a ，b 满足的关系式是( )A ．a >1且b >1B ．a >1且0<b <1C ．b >1且0<a <1D ．0<a <1且0<b <1解析：选C.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ，所以log a 14>0，log b a <0，即0<a <1，b >1.13．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4，又0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12.14．(选做题)已知函数f (x )＝log a (3－ax )，(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1.设g (x )＝3－ax ， 则g (x )在[0，2]上为减函数，所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，所以a <32.所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1， 即log a (3－a )＝1，所以a ＝32.此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x . 但x ＝2时，f (x )＝log 320无意义．故这样的实数a 不存在．。
第二章 对数函数 习题课
学习目标 1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题.知识点一 对数概念及其运算1.由指数式对数式互化可得恒等式：⎭⎪⎬⎪⎫a b ＝Nlog a N ＝b ⇒log a N a ＝N (a >0，且a ≠1). 2.对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N >0； (2)log a 1＝0； (3)log a a ＝1. 3.运算公式已知a >0，且a ≠1，M 、N >0. (1)log a M ＋log a N ＝log a (MN )； (2)log a M －log a N ＝log a MN ；(3)log a n M m ＝mnlog a M ；(4)log a M ＝log c Mlog c a ＝1log Ma(c >0，且c ≠1).知识点二 对数函数及其图象、性质 函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数.(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R ； (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(1,0)； (3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减；(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象交点为(a,1). (5)y ＝log a x 与y ＝a x 的图象关于y ＝x 对称. y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于x 轴对称.类型一 对数式的化简与求值 例1 (1)计算：(2log (2－3)；(2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y，求(3log -xy .解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解： log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(2)由已知得lg(x －y2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(xy )＋1＝0. ∴xy ＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴xy＝3＋22，∴log (3－22)xy ＝log (3－22)(3＋22)＝log (3－22)13－22＝－1.反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化.跟踪训练1 (1)(lg 3)2－lg 9＋1(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 答案 (1)－32 (2)2解析 (1)∵(lg 3)2－lg 9＋1＝(lg 3)2－2lg 3＋1＝1－lg 3，lg 27＋lg 8－lg 1 000＝32lg 3＋3lg 2－32＝32(lg 3－1)＋3lg 2＝32(lg 3＋2lg 2－1)， lg 0.3·lg 1.2＝lg310·lg 1210＝(lg 3－1)(lg 12－1) ＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)， ∴原式＝－32.(2)∵f (ab )＝lg(ab )＝1.∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2. 类型二 对数函数图象的应用例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围.解 f (x )的图象如图：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ， 不妨设a <b <c ，则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ， 由图象易知0<a <1<b <e<c <e 2， ∴f (a )＝|ln a |＝－ln a ，f (b )＝|ln b |＝ln b .∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0，ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1. ∴abc ＝c ∈(e ，e 2).反思与感悟 函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化.跟踪训练2 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围.解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图.由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞).类型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上. (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围. 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x ). (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x )，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可.∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求.跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(－1,1)，对于任意的x ，y ∈(－1,1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ＜0时，f (x )＞0. (1)验证函数g (x )＝ln 1－x1＋x，x ∈(－1,1)是否满足上述这些条件；(2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明.解 (1)因为g (x )＋g (y )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1－y1＋y＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝ln 1－x －y ＋xy1＋x ＋y ＋xy ， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝ln 1－x ＋y1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝ln 1－x －y ＋xy1＋x ＋y ＋xy ，所以g (x )＋g (y )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立.又当x ＜0时，1－x ＞1＋x ＞0，所以1－x1＋x ＞1，所以g (x )＝ln 1－x1＋x ＞0成立，综上g (x )＝ln 1－x1＋x满足这些条件.(2)发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是奇函数. 因为x ＝y ＝0代入条件，得f (0)＋f (0)＝f (0)， 所以f (0)＝0.将y ＝－x 代入条件得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0⇒f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是奇函数. 又发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是减函数.因为f (x )－f (y )＝f (x )＋f (－y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当－1＜x ＜y ＜1时，x －y1－xy ＜0，由条件知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ＞0，即f (x )－f (y )＞0⇒f (x )＞f (y )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数.1.若log x 7y ＝z ，则( ) A.y 7＝x z B.y ＝x 7z C.y ＝7x z D.y ＝z 7x答案 B解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴⎝⎛⎭⎫7y 7＝(x z )7，即y ＝x 7z .2.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C.(1，2)D.(2，2)答案 B解析 a >1时，当0<x ≤12时，log a x <0，不合题意.0<a <1时，只需124<log a 12，即log a a 2<log a 12，解得a >22，又a ∈(0,1)，∴a ∈⎝⎛⎭⎫22，1.3.已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A.[－1,1] B.[12，2] C.[1,2] D.[2，4]答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]，即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.4.函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C.2 D.4 答案 B解析 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上， y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减. 因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0) ＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.5.已知23a ＝49(a >0)，则23log a ＝________.答案 3解析 设23log a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x，又23a ＝49，∴2323x⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝⎝⎛⎭⎫232，即2323x ⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，解得x ＝3.1.指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式log a m b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a 在解题中的灵活应用.4.在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数).5.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.课时作业一、选择题1.已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b D.c >b >a答案 B解析 ∵y ＝log 0.6x 在(0，＋∞)上为减函数. ∴log 0.60.6<log 0.60.5，即a >1. 同理，ln 0.5<ln 1＝0，即b <0.0<0.60.5<0.60，即0<c <1. ∴a >c >b .2.已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( ) A.160 B.60 C.2003 D.3200答案 B解析 由已知得log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，即log z m ＝60.3.函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案 A解析 ∵a >1时，y ＝log a u ，u ＝(a －1)x ＋1都是增函数. 0<a <1时，y ＝log a u ，u ＝(a －1)x ＋1都是减函数. ∴f (x )在定义域上为增函数.4.函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知f (x )＝f (－x )，即函数为偶函数，排除C ；由函数过(0,0)点，排除B 、D.5.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A.[－1,2]B.[0,2]C.[1，＋∞)D.[0，＋∞)答案 D解析 f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，解得0≤x ≤1或x >1. ∴x 的取值范围是[0，＋∞).6.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数： f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )， 则是“同形”函数的是( ) A.f 2(x )与f 4(x ) B.f 1(x )与f 3(x ) C.f 1(x )与f 4(x ) D.f 3(x )与f 4(x )答案 A解析 因为f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，所以f 2(x )＝log 2(x ＋2)，沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，根据“同形”函数的定义，f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数.f 3(x )＝log 2x 2＝2log 2|x |与f 1(x )＝2log 2(x ＋1)不“同形”，故选A. 二、填空题7.函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________. 答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时，x ＝1，当f (x )＝1时，x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23.8.(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 答案 2解析 原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2. 9.已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，下列五个关系式：①a >b >1；②0<b <a <1；③b >a >1；④0<a <b <1；⑤a ＝b . 其中可能成立的关系式序号为________. 答案 ②③⑤解析 由图易知，12log a ＝13log b 有且仅有3种情形：0<b <a <1或1<a <b 或a ＝b ＝1.10.已知0<a <1,0<b <1，若a log b (x －3)<1，则x 的取值范围是__________.答案 (3,4)解析 ∵0<a <1，∴a log b (x －3)<1＝a 0等价于log b (x －3)>0＝log b 1.∵0<b <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3<1，解得3<x <4. 三、解答题11.已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f (1)>f (lg 1x)，求x 的取值范围.解 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在区间(－∞，0)上是单调增函数，所以不等式f (1)>f (lg 1x)可化为 lg 1x >1或lg 1x<－1， 所以lg 1x >lg 10或lg 1x <lg 110， 所以1x >10或0<1x <110， 所以0<x <110或x >10. 所以x 的取值范围为(0，110)∪(10，＋∞). 12.已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,4].(1)求函数f (x )的值域；(2)设g (x )＝[f (x )]2－f (x 2)，求g (x )的最值及相应的x 的值.解 (1)∵f (x )＝2＋log 2x 在[1,4]上是增函数，又f (1)＝2＋log 21＝2，f (4)＝2＋log 24＝2＋2＝4.∴函数f (x )的值域是[2,4].(2)g (x )＝[f (x )]2－f (x 2)＝4＋4log 2x ＋(log 2x )2－(2＋log 2x 2)＝(log 2x )2＋2log 2x ＋2＝(log 2x ＋1)2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤x 2≤4，得1≤x ≤2， ∴g (x )的定义域是[1,2].∴0≤log 2x ≤1.∴当log 2x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝2；当log 2x ＝1，即x ＝2时，g (x )有最大值g (2)＝5.13.已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0).(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.解 (1)由a x －b x ＞0，得(a b)x ＞1，且a ＞1＞b ＞0， 得a b＞1，所以x ＞0， 即f (x )的定义域为(0，＋∞).(2)任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则ax 1＞ax 2＞1,0<bx 1＜bx 2<1，所以ax 1－bx 1＞ax 2－bx 2＞0，即lg(ax 1－bx 1)＞lg(ax 2－bx 2).故f (x 1)＞f (x 2).所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数.假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾.故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴.(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)，这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.四、探究与拓展14.函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________.答案 －14解析 由题意得x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 15.已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1).(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围.(1)证明 因为函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1， 因为x 1<x 2，所以0<2x 1＋12x 2＋1<1， 所以log 22x 1＋12x 2＋1<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增.(2)解 g (x )＝m ＋f (x )，即g (x )－f (x )＝m .设h (x )＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1. 设1≤x 1<x 2≤2.则3≤2x 1＋1<2x 2＋1≤5， 13≥12x 1＋1>12x 2＋1≥15， －23≤－22x 1＋1<－22x 2＋1≤－25， ∴13≤1－22x 1＋1<1－22x 2＋1≤35， ∴log 213≤h (x 1)<h (x 2)≤log 235， 即h (x )在[1,2]上为增函数且值域为[log 213，log 235]. 要使g (x )－f (x )＝m 有解，需m ∈[log 213，log 235].。
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数33第2课时对数函数图象及性质的应用(习题课)课件北师大版
当 log2x＝0，即 x＝1 时，f(x)取得最大值为 2，
∴函数 f(x)的值域是－14，2.
求函数值域的方法 (1)求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范 围求解； (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性 求解，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化．
（2）[解] 设 u(x)＝x2－2ax－a. ∵f(x)在(－∞，－3)上是减函数， ∴u(x)在(－∞，－3)上是减函数， 且 u(x)>0 在(－∞，－3)上恒成立． 又 u(x)＝(x－a)2－a－a2 在(－∞，a)上是减函数． ∴au≥（－－33，）≥0，∴a≥－95. ∴满足条件的实数 a 的取值范围是－95，＋∞.
[跟踪训练] 1．若 y＝log(2a－3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围为________．
解析：由 y＝log(2a－3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以 2a－3＞1，解得 a＞2. 答案：(2，＋∞)
2．讨论函数 y＝loga(3x－1)的单调性． 解：由 3x－1>0，得函数的定义域为xx>13. 当 a>1，x>13时， 函数 y＝f(x)＝loga(3x－1)为增函数； 当 0<a<1，x>13时， 函数 y＝f(x)＝loga(3x－1)为减函数.
[问题探究] 1．已知函数 f(x)＝log2( x2＋1＋x)，试判断其奇偶性．
提示：由 f(x)知 x∈R ，
又 f(－x)＋f(x)＝log2( x2＋1－x)＋log2( x2＋1＋x) ＝log21＝0.∴f(x)为奇函数． 2．探究 1 中函数若变为 f(x)＝log2( x2＋1－x)，f(x)还是奇函数吗？ 提示：是．
对数函数 高中数学例题课后习题详解
第四章指数函数与对数函数4．4对数函数4.4例1求下列函数的定义域：（1）23log y x =；（2）log (4)a y x =-（0a >，且1a ≠）.解：（1）因为20x >，即0x ≠，所以函数23log y x =的定义域是{}|0x x ≠.（2）因为40x ->，即4x <，所以函数log (4)a y x =-的定义域是{}|4x x <.例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y 年后的物价为x .（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.物价x 12345678910年数y解：（1）由题意可知，经过y 年后物价x 为(15%)y x =+，即 1.05y x =（[0,)y ∈+∞）.由对数与指数间的关系，可得 1.05log y x =，[1,)x ∈+∞.由计算工具可得，当2x =时，14y ≈.所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.（2）根据函数 1.05log y x =，[1,)x ∈+∞，利用计算工具，可得下表：物价x 12345678910年数y142328333740434547由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.例3比较下列各题中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log 1.8，0.3log 2.7；（3）log 5.1a ，log 5.9a （0a >，且1a ≠）.解：（1）2log 3.4和2log 8.5可看作函数2log y x =的两个函数值.因为底数21>，对数函数2log y x =是增函数，且3.48.5<，所以22log 3.4log 8.5<.（2）0.3log 1.8和0.3log 2.7可看作函数0.3log y x =的两个函数值.因为底数0.31<，对数函数0.3log y x =是减函数，且1.8 2.7<，所以0.30.3log 1.8log 2.7>.（3）log 5.1a 和log 5.9a 可看作函数log a x 的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a 是大于1还是小于1，因此需要对底数a 进行讨论.当1a >时，因为函数log a y x =是增函数，且5.1 5.9<，所以log 5.1log 5.9a a <；当01a <<时，因为函数log a y x =是减函数，且5.1 5.9<，所以log 5.1log 5.9a a >.例4溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH 计量的.pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为7H 10+-⎡⎤=⎣⎦摩尔/升，计算纯净水的pH .解：（1）根据对数的运算性质，有11pH lg H lg H lgH -+++⎡⎤⎡⎤=-==⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦.在(0,)+∞上，随着H +⎡⎤⎣⎦的增大，1H +⎡⎤⎣⎦减小，相应地，1lg H +⎡⎤⎣⎦也减小，即pH 减小.所以，随着H +⎡⎤⎣⎦的增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.（2）当7H 10+-⎡⎤=⎣⎦时，7pH lg107-=-=.所以，纯净水的pH 是7.练习1.求下列函数的定义域：（1）()ln 1y x =-；（2）1lg y x=；（3）71log 13y x=-；（4）()log 0,1a y a x a =>≠．【答案】（1）(),1-∞（2）()()0,11,+∞ （3）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（4）()(),00,-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；（2）利用对数的真数大于零、分母不为零可求得原函数的定义域；（3）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；（4）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【小问1详解】解：对于函数()ln 1y x =-，有10x ->，解得1x <，故函数()ln 1y x =-的定义域为(),1-∞.【小问2详解】解：对于函数1lg y x =，有0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，故函数1lg y x=的定义域为()()0,11,+∞ .【小问3详解】解：对于函数71log 13y x=-，有1013x >-，解得13x <，故函数71log 13y x =-的定义域为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【小问4详解】解：对于函数()log 0,1a y a x a =>≠，有0x >，解得0x ≠，故函数()log 0,1a y a x a =>≠的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.2.画出下列函数的图象：（1）lg10x y =；（2）lg 10x y =.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）化简为y x =，x ∈R ，再作图．（2）化简为y x =，0x >，再作图．【详解】（1）lg10x y x ==，图象如图（2）()lg 010xy x x =>=，图象如图.【点睛】本题考查作函数图象，解题时需先化简函数解析式，同时要注意函数的定义域．3.已知集合{1,2,3,4,}A = ，集合{2,4,8,16,}B = ，下列函数能体现集合A 与集合B 一一对应关系的是__________.①2x y =；②2y x =；③2log y x =；④2y x =.【答案】①③【解析】【分析】验证按照这个函数关系A 是定义域，B 是值域，或B 是定义域，A 是值域．还有就是一对一，两个不同的自变量对应的函数值不相同．【详解】①当x A ∈时，2x y =的值域为B.②当3x =时，3A ∈，但29x B =∉.③当x B ∈时，2log y x =的值域为A.④当3x =时，26y x B ==∉.∴能体现A ，B 对应关系的是①③.故答案为：①③【点睛】本题考查函数的概念，考查一一对应的概念．属于基础题．4．4．2对数函数的图象和性质练习4.在同一直角坐标系中画出函数3log y x =和13log y x =的图象，并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】由x 取同一个值时，对应的y 值是相反数说明两函数图象关于x 轴对称．【详解】图象如图.相同点：两图象都位于y 轴的右侧，都经过点()1,0，这说明两函数的定义域都是(0,)+∞；两函数的值域都是R .不同点：3log y x =的图象是上升曲线，13log y x =的图象是下降曲线，这说明前者在定义域(0,)+∞上是增函数，后者在定义域(0,)+∞上是减函数.由于133log log x x =-，所以两函数图象关于x 轴对称．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质．属于基础题．5.比较下列各题中两个值的大小：（1）lg 0.6,lg 0.8；（2）0.50.5log 6,log 4；（3）log 5,log 7m m .【答案】（1）lg 0.6lg 0.8<；（2）0.50.5log 6log 4<；（3）当1m >时，log 5log 7m m <，当01m <<时，log 5log 7m m >．【解析】【分析】（1）由函数lg y x =的单调性确定；（2）由函数0.5log y x =的单调性确定；（3）分类讨论，分1m >和01m <<．【详解】（1）lg y x =为增函数，0.60.8,lg 0.6lg 0.8<∴< .（2）0.5log y x =为减函数，0.50.564,log 6log 4>∴< .（3）当1m >时，log m y x =为增函数.57,log 5log 7m m <∴< .当01m <<时，log m y x =为减函数.57,log 5log 7m m <∴> .【点睛】本题考查对数函数的单调性，掌握对数函数单调性是解题基础．6.某地去年的GDP （国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.（1）设经过x 年达到的年GDP 为y 亿元，试写出未来5年内，y 关于x 的函数解析式；（2）经过几年该地GDP 能达到3900亿元人民币？【答案】（1）3000(1 6.8%)(05)x y x =+≤≤；（2）约经过4年该地GDP 能达到3900亿元人民币.【解析】【分析】（1）根据平均增长率问题得函数解析式，注意定义域；（2）由3900y =，求x ，可取对数计算．【详解】（1）由题意3000(1 6.8%)(05)x y x =+ .（2）令3900y =，得39003000 1.068,1.068 1.3x x =⨯=，lg1.34lg1.068x =≈∴约经过4年该地GDP 能达到3900亿元人民币.【点睛】本题考查指数函数的应用．在指数式中已知幂要求指数时，可取对数计算．4．4．3不同函数增长的差异练习7.三个变量123,,y y y 随变量x 变化的数据如下表：x0510152025301y 513050511302005313045052y 59016202916052488094478401700611203y 5305580105130155其中关于x 呈指数增长的变量是_____【答案】2y 【解析】【分析】根据指数函数的性质得到答案.【详解】指数型函数呈“爆炸式”增长.从表格中可以看出，三个变量，1y ，2y ，3y 的值随着x 的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量2y 的增长速度最快，可知变量2y 关于x 呈指数型函数变化.故答案为：2y 8.（1）（2）（3）分别是函数3x y =和5y x =在不同范围的图象，借助计算工具估算出使35x x >的x 的取值范围（精确到0.01）.（1）（2）（3）【答案】(,0.27)(2.19,)-∞+∞ 【解析】【分析】从图象可以看出，350x x -=有两个解，一个在(0,0.3)上，一个在(2,3)上，可用二分法求解．【详解】记()35x f x x =-，计算(0)10=>f ，(0.3)0.110f =-<，(0.15)0.4290f =>，(0.225)0.1550f =>，(0.263)0.020f =>，(0.282)0.0470f =-<，(0.272)0.0110f =-<，0.2720.2630.090.1-=<，近似解取0.27，(2)10,(3)120,f f =-<=>(2.5) 3.0880f =>，(2.25)0.5950f =>，(2.125)0.3000f =-<，(2.188)0.1250f =>，2.125 2.1880.0070.01-=<，近似解取2.19，故估算范围是(,0.27)(2.19,)-∞+∞ 【点睛】本题考查指数函数的图象，考查二分法求近似解．属于基础题．9.如图，对数函数lg y x =的图象与一次函数()y f x =的图象有A ，B 两个公共点，求一次函数()y f x =的解析式.【答案】()(lg 2)(1)f x x =-【解析】【分析】由对数函数求出,A B 两点的坐标，然后设()f x ax b =+，代入,A B 两点的坐标，可得()f x ．【详解】由题意(1,0),(2,lg 2)A B .设()f x ax b =+，则0lg 2lg 22lg 2a ba ab b ⎧=+=⎧⇒⎨⎨=+=-⎩⎩.()(lg 2)lg 2(lg 2)(1)f x x x ∴=-=-【点睛】本题考查对数函数，考查待定系数法求函数解析式．属于基础题．10.函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =可能是（）A.11,(0,)y x x -=-∈+∞B.31,(0,)22xy x ⎛⎫=-∈+∞ ⎪⎝⎭C.ln y x=D.1,(0,)y x x =-∈+∞【答案】C 【解析】【分析】用排除法，由函数值如(1)0f =，排除B ，(3)1f >排除A ，D 是一次函数也排除，只有C 符合．【详解】由图象过()1,0知B 不正确，由()31f >知A 不正确，由图象为曲线知D 不正确，所以应选C.故答案为：C【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题方法是排除法，由图象提供的信息，如函数的性质，特殊的函数值等，验证各函数式进行排除．习题4．4复习巩固11.求下列函数的定义域:(1)y =;(2)y =.【答案】(1)(0,)+∞.(2)3,14⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】(1)根据对数中真数大于0求解即可.(2)根据根号下大于等于0与对数的定义域求解即可.【详解】解:(1)由条件知0x >,故定义域为(0,)+∞.(2)由条件知0.51log (43)0,431,34304304x x x x x x ⎧⎧⎧--⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨->->>⎪⎪⎪⎩⎩⎩ ,即314x < .故此函数的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了定义域的运算与对数不等式的求解,属于基础题.12.比较满足下列条件的两个正数m ,n 的大小:(1)33log log m n <;(2)0.30.3log log m n <;(3)log log (01)a a m n a <<<;(4)log log (1)a a m n a >>.【答案】(1)m n <;(2)m n >;(3)m n >;(4)m n >.【解析】【分析】(1)根据3log y x =为增函数判定即可.(2)根据0.3log y x =为减函数判定即可.(3)根据()log ,01a y x a =<<为减函数判定即可.(4)根据()log ,1a y x a =>为增函数判定即可.【详解】(1)因为3log y x =为增函数,故m n <；(2)因为0.3log y x =为减函数,故m n >；(3)因为()log ,01a y x a =<<为减函数,故m n >；(4)因为()log ,1a y x a =>为增函数,故m n >；【点睛】本题主要考查了根据对数函数的单调性判断大小关系的方法,属于基础题.13.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：m /s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系表达式为2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12km /s 【答案】61e -【解析】【分析】由12000v =即可解出．【详解】令2000ln 112000Mv m ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以61M e m =-，即燃料质量是火箭质量的61e -倍．14.函数2log y x =，5log y x =，lg y x =的图象如图所示，（1）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；（2）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出12log y x =，15log y x =，110log y x =的图象；（3）从（2）的图中你发现了什么？【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据当底数大于1时，在直线1x =的右侧，底数越大，函数图象越靠近x 轴判断即可；（2）根据122log log x x y =-=可知12log y x =与2log y x =关于x 轴对称，同理画出11510log ,log y x y x ==的图象即可；（3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可.【小问1详解】当底数大于1时，在直线1x =的右侧，底数越大，函数图象越靠近x 轴，所以①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =.【小问2详解】.【小问3详解】从（2）的图中发现25log ,log ,lg y x y x y x ===的图象分别与1112510log ,log ,log y x y x y x ===的图象关于x 轴对称.15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m ,游回产地产卵,研究链鱼的科学家发现链鱼的游速,(单位:/m s )可以表示为31log 2100O v =,其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.【答案】(1)3/2m s (2)100【解析】【分析】(1)代入2700O =计算即可.(2)静止时0v =,再代入公式计算即可.【详解】解:(1)当2700O =时,331270013log log 27(/)210022v m s ===.(2)当0v =时,331log 0,log 01,1002100100100O O OO =∴=∴=∴=.【点睛】本题主要考查了对数函数的实际模型与计算等,属于基础题.16.在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据在2h 内，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．【详解】解：在在2h 内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A ，D ，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C ．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是B ．故选：B ．综合运用17.判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:(1)ln ,x y x y e ==;(2)1log ,xa y x y a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【答案】(1)互为反函数.ln y x =的定义域为(0)+∞，,值域为R .x y e =的定义域为R ,值域为(0)+∞，.(2)互为反函数.log y x =-的定义域为(0,)+∞,值域为R .1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ,值域为(0,)+∞.【解析】【分析】根据反函数的求解方法判断分析即可.【详解】(1)求ln y x =的反函数有ln x x y y e =⇒=.故ln ,x y x y e ==,且互为反函数.ln y x =的定义域为(0)+∞，,值域为R .x y e =的定义域为R ,值域为(0)+∞，.(2)求log a y x =-的反函数有1log x x a x y y a a -⎛⎫=-⇒== ⎪⎝⎭.故1log ,xa y x y a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭互为反函数.log y x =-的定义域为(0,)+∞,值域为R .1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ,值域为(0,)+∞.【点睛】本题主要考查了指对数的反函数的求解与定义域值域的判定,属于基础题.18.设()y f x =表示某学校男生身高为x cm 时平均体重为y kg ,(1)如果函数()y f x =的反函数是()y g x =,那么()y g x =表示什么?(2)如果(170)55f =,那么求(55)g ,并说明其实际意义.【答案】(1)()y g x =表示该校男生体重为x kg 时,平均身高为y cm .(2)(55)170g =.(170)55f =说明该校某男生身高为170cm 时,体重为55kg .(55)170g =说明该校某男生体重为55kg 时,身高为170cm .【解析】【分析】(1)根据()y f x =表示某学校男生身高为x cm 时平均体重为y kg ,反过来判定反函数表达的意义即可.(2)根据(1)中的函数意义辨析即可.【详解】(1)因为()y f x =表示某学校男生身高为x cm 时平均体重为y kg ,则其反函数自变量与因变量交换,即()y g x =表示该校男生体重为x kg 时,平均身高为y cm .(2)由(1)可得(55)170g =.且(170)55f =说明该校某男生身高为170cm 时,体重为55kg .(55)170g =说明该校某男生体重为55kg 时,身高为170cm .【点睛】本题主要考查了反函数的实际意义辨析,属于基础题.19.某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低,要将当前的患病率降低一半,需要多少年?【答案】4年【解析】【分析】根据题意设今年的患病率为a ,经x 年后的患病率为当前的一半.则1(115%)2x a a -=,再求解即可.【详解】解:设今年的患病率为a ,经x 年后的患病率为当前的一半.则1(115%)2xa a -=,即0.85lg 0.50.850.5,log 0.54lg 0.85xx ===≈.∴大约需要4年.【点睛】本题主要考查了指数函数的模型运用与对数的运算,属于基础题.20.声强级1L (单位:dB )由公式11210lg 10IL -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出,其中I 为声强(单位:2/W m ).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为21/W m ,能听到的最低声强为12210/W m -.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为6210/W m -,求其声强级.【答案】(1)0120dB dB -(2)60dB 【解析】【分析】(1)分别代入1I =与1210I -=求解即可.(2)代入610I -=求解即可.【详解】解:(1)1212110lg 10lg10120()10dB -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.12121010lg 10lg10()10dB --⎛⎫== ⎪⎝⎭.因此人听觉的声强级范围为0120dB dB -.(2)661121010lg 10lg1010660()10L dB --==⨯=⨯=.【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.21.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中1P 是按直线上升的房价，2P 是按指数增长的房价，t 是2002年以来经过的年数.t 051015201/P 万元20402/P 万元2040（1）求函数1()P f t =的解析式;（2）求函数2()P f t =的解析式；（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.【答案】（1）1220,0P t t =+≥（2）1120202,0t P t =⨯≥（3）详见解析【解析】【分析】（1）因为1P 是按直线上升的房价,设(),0f t kt b t =+≥,由表格可知()020f =,()1040f =,进而求解即可；（2）因为2P 是按指数增长的房价,设0(),0tg t a a t =≥,由表格可知()020g =,()1040g =,进而求解即可；（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可【详解】（1）因为1P 是按直线上升的房价,设(),0f t kt b t =+≥,由(0)020f k b =⨯+=,(10)1040f k b =⨯+=,可得2,2k b ==,即1220,0P t t =+≥.（2）因为2P 是按指数增长的房价,设0(),0tg t a a t =≥,由01000(0)20,(10)40g a a g a a ====,可得110020,2a a ==,即1120202,0tP t =⨯≥.（3）由（1）和（2）,当5t =时,1230,P P ==；当15t =时,1250,P P ==20t =时,1260,80P P ==,则表格如下:则图像为:根据表格和图像可知:房价按函数1()P f t =呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数2()P g t =呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力拓广探索22.已知1log 12a<，112a⎛⎫< ⎪⎝⎭，121a <求实数a 的取值范围.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．【详解】解:11log 1log log 22a a a a <⇔< ,当1a >时1log log 2aa a <成立；②当01a <<时，解得102a <<．又011110222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,121101a a <⇔<⇔≤<∴a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．23.比较下列各题中三个值的大小:(1)0.20.30.4log 6,log 6,log 6;(2)234log 3,log 4,log 5.【答案】(1)0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)234log 3log 4log 5>>【解析】【分析】(1)利用换底公式分析即可.(2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可.【详解】解:(1)因为0.20.30.4lg 6lg 6lg 6log 6,log 6,log 6lg 0.2lg 0.3lg 0.4===,lg 60>且lg 0.2lg 0.3lg 0.40<<<,故0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)223lg3lg 4(lg3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg3lg 2lg3--=-= 222222lg 2lg 4lg8lg 9(lg 3)(lg 3)(lg 3)2220lg 2lg 3lg 2lg 3lg 2lg 3+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭>=>=,23log 3log 4∴>同理可证35234log 4log 5,log 3log 4log 5>∴>>.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题.。