可降解的高阶微分方程
第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
5.3可降阶的高阶微分方程
2x 解 : y′′ = − y′ (右端不显含变量 y ) 2 1+ x
2x 令y′ = P(x) 则 y′′ = P′( x) = − P 2 1+ 1+ x
2x dP 即 =− dx 2 1+ x P
两边积分, 得 ln | P |= − ln(1 + x 2 ) + ln C1
C1 即, P = 1+ x2
对方程连续积分三次,得 对方程连续积分三次 得
′ y′ = ∫ xsin xdx = −xcos x+sin x+C 1
y′ = ∫(−xcos x+sin x+C )dx 1 = −xsin x−2cos x+C x+C 1 2 y = ∫ (− x sin x − 2 cos x + C1 x + C2 )dx
P = y 2 + C1
由y (0) = −1, y′(0) = 1得C1 = 0
dy dy 1 2 ⇒ = y ⇒ ∫ 2 = ∫ dx ⇒ − = x + C2 dx y y
1 ⇒ y=− x + C2
由y (0) = −1, 得C2 = 1
1 所以y = − 为所求. x +1
C1 5 C2 3 C3 2 y= x + x + x + C 4 x + C5 , 120 6 2
或y = C1 x + C2 x + C3 x + C4 x + C5 ,
5 3 2
例5.3.9设函数y ( x)在区间[0, ∞)上具有 连续的导数, 并且满足关系式 y ( x) = −1 + x + 2∫ ( x − t ) y (t ) y′(t )dt , 求y ( x).
高数同济六版课件D75可降阶高阶微分方程
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给 出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方 程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的 正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、 波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似 解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解 的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶 数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降 低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化 为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换， 简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择 合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能 显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为 新变量的微分方程，进而求解得 到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代 换t = y'，可将其转化为一阶线 性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
可降阶的高阶微分方程
主讲教师 杨文杰可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程1．高阶微分方程的定义 '''()(,,,,)0 n F x y y y = K 2．可降阶的高阶微分方程类型及其解法 (1) 型()() n yf x = (2) 型 (,) y f x y¢¢¢ = 解法：逐次积分，降为一阶微分方程.解法：设y ¢=p (x )，则y ¢¢=p ¢，代入方程中得 p ¢ =f (x , p ) ， 降为一阶微分方程.(3) 型 (,) y f y y¢¢¢ = 二、可降阶的高阶微分方程的解题方法可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微 分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解. 解题方法见流程图．解法：设y ¢=p (y )，则 , dp dy dpy p dy dx dy¢¢ =×= 代入方程中得 降为一阶微分方程. (,), dpp f y p dy=解题方法流程图逐次积分), ( y x f y ¢ = ¢ ¢ 解一阶微分方程解一阶微分方程), ( y y f y ¢ = ¢ ¢ 可降阶的高阶微分方程)( ) ( x f y n = 转化为一阶方程) , ( p x f p = ¢ ), , , , ( n c c c x y K 2 1 j = 通解 Yes令 y p ¢ = 转化为一阶方程(,) pp f y p ¢= No特点:不显含 y特点:不显含 x 令 y p ¢ =三、典型例题【例1】求方程 的通解.2xy y x ¢¢¢ -= 解：由于不显含 ，令 ，则 y () y p x ¢ = y p¢¢¢ = 代入原方程整理得 1p p x x¢-= 为一阶线性方程，21 y p C x x¢ ==+ 再积分，得原方程的通解为23 12 11 23y C x x C =++ 32 121 3 x C x C =++ 代入求解公式得解：由于不显含 () y p y ¢ = y pp¢¢¢ = x ,令 ,则 代入原方程得 2ypp p ¢+= 所以0 p = 或 0yp p ¢+= 当 0 yp p ¢+= 时，此方程为可分离变量的方程， 分离变量得：dp dyp y=- 【例2】求方程 2()0 y y y¢¢¢ += 满足初始条件 0 12x y = ¢ = 的特解. 0 1, x y = =积分得：ln ||ln || p y C=-+ 所以 1 1 () C C p C e y==± 即 1 C y y ¢= 将 00 1 1, 2 x x y y == ¢ == 代入得 11 2C = ，从而 1 2 y y ¢ = 分离变量后积分得 22 , y x C =+ 将 01 x y = = 代入得2 1 C = 所求方程的特解为：21y x =+ 特解为 1 y = ，含在 内.2 1 y x =+ 当 时，即 0 y ¢= 积分得 , y C = 0 p =。
第五节可降阶的高阶微分方程
第五节可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程y( n)f ( x ) 型的方程y f ( x, y ) 型的方程y f ( y, y ) 型的方程小结1一、y( n)f ( x ) 型的方程特点左端是未知函数y 的n 阶导数,右端是自变量x的一个已知函数, 且不含未知函数y 及其导数y . 两边积分再积分y ( n 1) f ( x )dx C1y ( n 2 ) [ f ( x )dx C1 ]dx C 2 。
接连积分n次, 得到含有n 个任意常数的通解.3x y e cos x 例求解方程解将方程积分三次, 得1 3x y e sin x C1 3 1 3x y e cos x C1 x C 2 9 1 3x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 27 最后得到的就是方程的通解.3二、y f ( x, y ) 型的方程dp p . 将p作为新的解法设y p, y dx 则方程变为p f ( x , p ) 未知函数，如果其通解为p p( x,C1 ),则由y p( x, C1 ) 再积分一次, 可求出原方程的通解特点方程缺y.y p( x , C1 )dx C 243 x 2 y y 1 x 3 例解方程解因方程中不含未知函数y, 令y p, y p ,y x 0 1, y x 0 4p 1 x p C1 (1 x 3 ) 由初始条件y x 0 43 y 4 ( 1 x ) 知C1=4, 所以3 x2 p 代入原方程, 得p 3 1 x dp 3 x2 3 d x ln p ln( 1 x ) ln C1 33 x 2 y y 1 x 3y x 0 1, y x 0 44 dy 4(1 x 3 )dx y x 4 x C2再由初始条件y x 0 1, 知C2 = 1故所求解为y x 4x 14三、y f ( y, y ) 型的方程特点方程缺自变量x dy p p( y ) p( y( x )) p 解法设y dx 2 d p dp d y d p d y 则y 2 p , 方程变成d x dy d x dy dx dp p f ( y , p). dy 设它的通解为y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为( y , C1 )7属y f ( y, y )型1 y 2 例求方程y 的通解. 2y 解设y p, 则y p dp , 代入原方程dy 2 dp 1 p p 可分离变量方程dy 2y 2pdp dy 2 ln( 1 p ) ln y ln C1 2 y 1 p 1 p2 C1 y p C1 y 1dy 即C1 y 1 dx可分离变量方程dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx2 C1 y 1 x C 2 C1属y f ( y, y )型例求方程yy y 2 0 的通解.d p 解设y p, 则y p , 代入原方程dy dp y p p 2 0, 即p( y dp p) 0 dy dy dp dy 由y p 0, 可得p C1 y, C1 y dy dx 原方程通解为y C 2e C1 x2002年考研数学一, 3分微分方程yy y 2 0 满足条件y x 0 1, 1 2 或y x 1 yx 1 y x 0 的特解是2 解d ( yy ) 0 故有yy C1 dx 1 1 1 y y 由y x 0 1, y x 0 C1 即2 2 2 2 y x 可分离变量方程C2 2 2 1 由y x 0 1 C 2 y 2 x 1 211四、小结三种类型的可降阶的高阶微分方程解法:通过代换将其化成较低阶的方程来求解.思考题1996年考研数学一, 7分对x 0, 过曲线y f ( x )上点( x, f ( x ))处1 x 的切线在y轴上的截距等于f ( t )dt , x 0 求f ( x )的一般表达式 .解过曲线y = f (x)上点( x, f (x))处的切线方程为Y f ( x ) f ( x )( X x )令X 0, 得切线在y轴上的截距1 x Y f ( x ) xf ( x ) f ( t )dt x 0 x f (t )dt x[ f ( x ) xf ( x )] 积分方程013xf ( t )dt x[ f ( x ) xf ( x )]积分方程两边对x求导, 即xf ( x ) f ( x ) 0属于y f ( x, y )型可降阶的方程令f ( x ) p( x )且f ( x ) p ( x )代入上式,得xp ( x ) p( x ) 0 可分离变量方程xp ( x ) p( x ) 0 可分离变量方程1 1 分离变量并积分dp dx p x C1 得ln p ln x lnC1 ln x C1 C1 即p , 即f ( x ) , 再积分,得x x C1 f ( x )dx x dx ,f ( x) C1 ln x C2 即为所求.作业习题7-5(323页)1.(4)(7)(8) 2.(3)。
5.可降阶方程6.高阶线性方程
y p( x) y q( x) y 0 (1)
结论1：设 y1(x)是方程(1)的解, C为常数， 则 y=Cy1(x)是方程(1)的解。 结论2：设 y1(x)与y2(x)都是方程(1)的解,
则 y=y1(x)+y2(x)是方程(1)的解 由此易得： 定理1：设 y1(x)与y2(x)都是方程(1)的解,
C1与C2 是任意常数， 则 y=C1y1(x)+ C2y2(x)是方程(1)的解
y p(x)y q(x)y 0 (1) 定理1:设 y1(x)与y2(x)都是方程(1)的解, C1与C2 是任意 常数，则 C1 y1(x)+C2 y2(x)是方程(1)的解
问题3: C1y1(x)+C2 y2(x)是否是方程(1)的通解？ 不一定！ 若y1(x)=2 y2(x)， C1y1(x)+C2 y2(x) = (2C1+C2)y2(x)=Cy2(x)
故 y=Cy1(x)是方程(1)的解
y p( x) y q( x) y 0 (1) 结论1：设 y1(x)是方程(1)的解, C为常数， 则 y=Cy1(x)是方程(1)的解。 问题2：设由y1(x)与y2(x)都是方程(1)的解,
那么 y=y1(x)+y2(x)是否为方程(1)的解？ 由y1(x)与y2(x)都是方程(1)的解, 得： y1 p( x) y1 q( x) y1 0, y2 p( x) y2 q( x) y2 0
则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
可降阶的高阶微分方程
y
( x3 6
ex
2x)dx
x4 24
ex
x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p
C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
可降阶的高阶微分方程
5.5
可降阶的高阶微分方程
y
( n)
= f ( x ) 型的方程
y′′ = f ( x , y′ ) 型的方程
y′′ = f ( y , y′ ) 型的方程
小结
思考题
作业
1
第5 章
微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
一、 y
(n) n
= f ( x ) 型的方程 = ( x)
L 对于不含有 y、y′、 、y ( k −1)的n阶方程 F ( x , y ( k ) ,L y ( n ) ) = 0
只须作变换, 只须作变换 令 p = y . 方程就可化为 n − k 阶方程
(k )
F ( x , p, L , p ( n − k ) ) = 0
求出通解后, 再积分k次 即可求得原方程的通解. 求出通解后 再积分 次, 即可求得原方程的通解
3 x 2 y′ y′′ = 1 + x3 y x = 0 = 1, y′ x = 0 = 4
因方程中不含未知函数y, 解 因方程中不含未知函数 属y′′ = f ( x, y′)型 代入原方程, 令 y′ = p, y′′ = p′, 代入原方程 得
3x p p′ = 1 + x3
2
p的可分离变量的一阶方程 的可分离变量的一阶方程
2
8
5.5 可降阶的高阶微分方程
三、y′′ = f ( y , y′) 型的方程
方程缺自变量x 特点 方程缺自变量
dy p = p( y) =p( y(x )) =p 解法 设 y′ = dx dp d 2 y dp dp dy 则 y′′ = 2 = = ⋅ = p , 方程变成 dy dy dx dy dx dx dx dp p = f ( y , p). 这是关于变量 p 的一阶方程 这是关于变量y, 一阶方程. dy
第六节可降阶的高阶微分方程综述
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且 初初速度为0, 求质点的运动规律. 解: 据题意有
F0 t (1 ) m T
F0
F
F t F0 (1 ) T
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y A vt
代入 ① 式得所求微分方程:
B( x, y )
(1,0)
d2 y 1 x 2 1 y2 0 2 dx
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推广
y ( n ) f ( x, y ( k ) ,, y ( n1) )型，特别： y' ' f ( x, y' )型
特点： 不显含未知函数y及 y,, y( k 1) .
解法：令 y ( k ) P ( x )
则 y ( k 1 ) P , y ( n ) P ( n k ) .
M
T
H M 点受切向张力T ( : 密度, s :弧长) 弧段重力大小
按静力平衡条件, 有 两式相除得 故有
1 tan s (其中a H ) g a
A
gs
x
o
y 1 a
0
x
1 y d x
2
1 y 1 y2 a
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设 OA a, 则得定解问题: 1 2 y a 1 y
代入方程得 积分得
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o
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利用 v
常微分方程3.1 可降阶的高阶微分方程
参数法的基本思想 参数法的应用范围 参数法的求解步骤 参数法的优缺点
描述物理现象：可降阶的高阶微分方程可以用来描述复杂的物理现象，如振荡、波动、控制 等。
建立数学模型：通过可降阶的高阶微分方程，可以建立物理系统的数学模型，从而更好地理 解和分析物理现象。
数值模拟：可降阶的高阶微分方程可以用于数值模拟，通过计算机程序模拟物理系统的行为， 从而更好地预测和控制系统的行为。
定义和分类：介绍了可降阶的高阶微分方程的定义和分类，包括具有代表性的几种类型。
求解方法：总结了可降阶的高阶微分方程的求解方法，包括常用的数值方法和解析方法。
应用领域：列举了可降阶的高阶微分方程在各个领域的应用，如物理、化学、生物、工程等。
未来研究方向：展望了可降阶的高阶微分方程未来的研究方向，包括新的求解方法、应用领 域的拓展等。
分解法：将高阶微分方程分解为多个一阶微分方程，逐个求解，最后得到原方程的解。
降阶法：通过适当的变换，将高阶微分方程降为低阶微分方程，然后求解。 近似法：对于某些难以直接求解的高阶微分方程，可以采用近似法求解，如Runge-Kutta方法等。
数值解法：对于一些实际问题，可以采用数值解法求解高阶微分方程，如有限差分法、有限元法等。
优化设计：可降阶的高阶微分方程可以用于优化设计，通过调整系统的参数，使系统的性能 达到最优。
机械工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 机械系统的动态 行为，例如弹簧阻尼系统、振荡 器等。
航空航天工程： 可降阶的高阶微 分方程可以用于 描述飞行器的动 态特性，例如空 气动力学、飞行 控制等。
电子工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 电路系统的动态 行为，例如RC电 路、RLC电路等。
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12-7可降解的高阶微分方程
y
1 2
C1x2C2,
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
二、 y(n) f ( y, y(k) ,, y(n1) ) 型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
是对应齐次方程的解,
y3 y2
y2 y1
ex x2
常数
所求通解为 y C1 y3 y2 C2 y2 y1
C1e x C2 x2 .
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
1、 y xe x；
2、 y 1 y2；
3、 y ( y)3 y；
例 3 求方程 yy y2 0的通解. 解 将方程写成 d ( yy) 0,
dx
故有 yy C1, 即 ydy C1dx, 积分后得通解 y2 C1x C2.
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
四、齐次方程
特点： F ( x, ty, ty,, ty(n) ) t k F ( x, y, y,, y(n) )
思考题
已知 y1 3， y2 3 x 2 ， y3 3 x 2 e x
都是微分方程
x2 2xy x2 2y 2x 2y 6x 1
的解，求此方程所对应齐次方程的通解.
思考题解答
y1, y2 , y3 都是微分方程的解,
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得新函数z( x)的(n 1)阶方程
f ( x, z, z, , z(n1) ) 0.
例 4 求方程 x2 yy ( y xy)2 的通解.
解
设
y
e zdx ,
代入原方程,得
z
2 x
z
1 x2
,
解其通解为
z
1 x
C1 x2
,
原方程通解为
y
e
(
1 x
C1 x2
)
dx
C1
C2 xe x .
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
二、 y(n) f ( x, y(k) , , y(n1) )型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
3、 y 3
y
,
y
x0
1,
y
x
0
2.
三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一、1、 y
xe x
3e x
C1 2
x
C2 x
C3；
2、 y ln cos( x C1 ) C2 ；
3、 y arcsin(C2e x ) C1 ；
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，
求得其解为 dy dx
P( y) ( y,
C1 ,
,
Cn1 ),
原方程通解为
( y,
dy C1,
,
Cn1 )
x Cn,
例 2 求方程 yy y2 0的通解.
四、齐次方程
特点： F ( x, ty, ty, , ty(n) ) t k F ( x, y, y, , y(n) )
解法：可通过变换 y e zdx
k次齐次函数
将其降阶, 得新未知函数 z( x). y ze zdx , y (z z2 )e zdx , ,
y(n) (z, z, , z(n1) )e zdx , 代入原方程并消去 ek zdx ,
五、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解
两
端同
乘不
为零
因子
1 y2
,
yy y2 d ( y) 0,
y2
dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2eC1x .
另解 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y， 原方程通解为 y C2eC1x .
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
例 1 求方程 xy(5) y(4) 0 的通解.
解 设 y(4) P( x), y(5) P( x)
代入原方程 xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
y
1 2
C1
x
2
C2,
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解. 解 设 y e zdx , 代入原方程,得 zx z，
解其通解为 z C x,
原方程通解为 y e Cxdx C2eC1x2 .
思考题
已知 y1 3， y2 3 x 2 ， y3 3 x 2 e x
都是微分方程
x2 2xy x2 2y 2x 2y 6x 1
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
1、 y xe x；
2、 y 1 y2；
3、 y ( y)3 y；
4、 y 2 y2 0 . 1 y
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
1、 y 3 y 1 0 , y x1 1 , yx1 0； 2、 y ay 2 0 , y x0 0 , yx0 1；
的解，求此方程所对应齐次方程的通解.
思考题解答
y1, y2 , y3 都是微分方程的解,
y3 y2 e x , y2 y1 x2 ,
是对应齐次方程的解,
y3 y2
y2 y1
ex x2
常数
所求通解为 y C1 y3 y2 C2 y2 y1
C1e x C2 x2 .
4、 y 1 1 . C1 x C2 x
二、1、 y 2 x x2 ；
2、 y 1 ln(ax 1)； a
3、 y (1 x 1)4 . 2
三、 y 1 x3 1 x 1. 62
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
பைடு நூலகம்
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
三、恰当导数方程
特点 左端恰为某一函数( x, y, y, , y(n1) ) 对x的导数, 即 d ( x, y, y, , y(n1) ) 0. dx
一、 y(n) f ( x, y(k) , , y(n1) )型
特点： 不显含未知函数y及 y, , y(k1).
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x), , P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
解法：类似于全微分方程可降低一阶 ( x, y, y, , y(n1) ) C, 再设法求解这个方程.
例 3 求方程 yy y2 0的通解. 解 将方程写成 d ( yy) 0,
dx
故有 yy C1, 即 ydy C1dx, 积分后得通解 y2 C1x C2.
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.