22.2.1 配方法解一元二次方程--
22.2.1一元一次方程的解法(2)配方法3
Байду номын сангаас
则x _____
y
探究
如果
a, b为实数， a b 3a
2 2 1 2
37 b 0 16
则 a4
b ___
用配方法解下列方程.
1. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 2. x2 – x +56 = 0 ; 3. -3x2+22x-24=0.
用配方法解下列方程.
2. 3x2 + 2x – 3 = 0 ;
3. 4x2+4x+10 =1-8x
例：解方程： （ x 1) 8(2 x 1) 15 0 2
2
综合应用
例1. 用配方法解决下列问题: 1. 证明:代数式-2y2+2y-1的值不大于
1 2 .
2.证明:代数式8x2-12x+ 7的值恒大于0.
拓展与探索
1 、用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
2、试说明： 不论x取何值，代数式2x2+5x-1
的值总比代数式x2+8x-4的值大.
x, y为实数，
2 2
探究一
x y 2x 4 y 7 的最小值是 _____
如果x y 4 x 6 y 13 0,
1、配方法：
通过配方,将方程的左边化成一个含未知数 的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直 接开平方求出方程的解的方法. 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
(1)化二次项系数为1 （2）移项 （3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解
用配方法解下列方程.
22.2.1 配方法解一元二次方程--
P36 练习
以上解法中,为什么在方程 x 两边加9?加其他数行吗?
2
6 x 16
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方
P45.2
例1 解下列方程
（ ） 8x 1 0 1 x
2
（2） x 1 3 x 2
2
（3） x 6 x 4 0 3
2
练习 P39.2
谢谢合作！
P45.3
2
由此可得 x 25
2
x 5，
这种解法叫做什么? 直接开平方法
即 x1 5， 2 5 x
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
P45.习题22.2
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
怎样解方程(2 x 1) 5及
2
方程 x 6 x 9 2 ?
完全平方公式：
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
2
设正方体的棱长为 ， xdm 列方程10 6 x 1500
22.2.1直接开平方法解一元二次方程
5
(3)4 x (4) x
2
1
2 2 20x ) 10 ( x 10
梳理
像上题，通过配成完全平方式的 形式解出一元二次方程的根的方法，
叫做配方法。
小技巧: 配方时, 如果二次项系数为1,方 程左右两边应同时加上一次项系数的一 半的平方.如果二次项系数不是1，应先 化为1，再配方
1.直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程，先把 方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平 方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
化成
(mx+n)2=非负常数
(3)(x 5) 16
2
然后两边直接开平方
( 4)(x 1) 3 0
2
(5) y 4 x 4 3
2
1.直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程， 先把方程左边变成x的平方(或关于x的一 次式的平方),右边变成一个非负常数的形 式,再开平方。
如 果 方 程 能 化 成x p 或
2
（mx n） p( p )的 形 式 ， 那 么 ≥ 0
2
可 得x p或mx n p .
2 2 2
a=-4,b=3,c=-5
2
a=1,b=0,c=-1
2 2
(4) x 3 0; (5)2 x 3x 2 x( x 1) 1; (6) y 0
a=1,b=0,c=3 a=1,b=0,c=0
解一元二次方程 化成 X2=非负常数 然后两边直接开平方
（1）x2-25=0
的一次式)的平方,右边变成非负常数的
形式就可以直接开平方求解了。
方程x2+6x=2如何解？ 1、把下列各式的左边化成完全平方式
人教版数学九年级上册22.2.1《配方法》说课稿2
人教版数学九年级上册22.2.1《配方法》说课稿2一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22.2.1节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握配方法的原理和应用。
配方法是解一元二次方程的一种重要方法，它能把一般形式的一元二次方程转化为完全平方式，从而使方程的解法更加简单。
在初中数学中，配方法不仅是一元二次方程解法的基础，也是后续学习二次函数、一元二次不等式等知识的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念和解法，对二次项、一次项、常数项有一定的了解。
但是，学生对于配方法的原理和推导过程可能还不太理解，对于如何运用配方法解决实际问题可能还存在困难。
因此，在教学过程中，我需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握配方法，并能够运用配方法解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握配方法的原理和步骤，能够运用配方法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学的乐趣，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：配方法的原理和步骤，如何运用配方法解一元二次方程。
2.教学难点：配方法的推导过程，如何灵活运用配方法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生自主探究和合作交流。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的基本概念和解法，引出配方法的概念和作用。
2.自主探究：让学生自主探究配方法的原理和步骤，引导学生发现配方法的规律。
3.合作交流：让学生分组讨论，分享各自的方法和经验，互相学习和借鉴。
4.讲解示范：通过讲解和示范，让学生理解和掌握配方法的具体操作步骤。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用配方法解一元二次方程，巩固所学知识。
22.2解一元二次方程配方法教案
22.2 解一元二次方程(配方法) 教案第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（18x）2+12整理得：x2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，，x1≈34，x2≈2．可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．（2）x 2-2x-12=0 x 2-2x=12x 2-2x+12=12+1 （x-1）2=32 x-1=x 1x 2可以验证：x 1=1+2x 2=1-2 三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P45复习巩固2．2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-113．如果m x2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？答案:一、1．B 2．B 3．C二、1．x1=1，x2=-5 2．2 3．z2+2z-8=0，2，-4三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）2．（x-2）2+（y+3）2，∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=1 363．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+290050x-×4）=5000，x2-5500x+7506250=0，解得x=275022.2.2 配方法第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9x-4=±3即x1=7，x2=1（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x1，x2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：（1）移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5（2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x132，x232（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5x+2=x1，x2三、巩固练习教材P39练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P45复习巩固3．2.作业设计一、选择题1．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（）． A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空题1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x22．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．答案:一、1．D 2．B 3．B二、1．1，-5 2．正 3．x-y=54三、1．（1）y 2-2y-49=0，y 2-2y=49，（y-1）2=139，y-1=，y 1，y 2（2）x2（2=•0，x1=x2 2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，∴原式=268 1313 --=-3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2（x-15）2≤0，∴x=15时，赢利最多，y=1250元．答：略。
22.2.1一元一次方程的解法(2)配方法1
2
(2) x 5x 6 0
2
x1 4 3 2 , x2 4 3 2
x1 6, x2 1
2
(3) x 7 6x
2
(4) x 10 2 6x
此方程无解
x1 3 2 , x2 3 2
设场地的宽为
xm,
长
x 6m ，列方程得
即
xx 6 16 2 x 6 x 16 0
方程 x
2
6 x 16 0 和方程 x 6 x 9 2
2
有何联系与区别呢？
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2－12x＋ 62 (3)x
=(x－ 6 )2
结论:在方程两边同时添加的常数项等于一次 项系数一半的平方.
随堂练习1
32
填空：
X+3
42
X－4
3 2 ( ) 4
3 x 4
例1、解下列方程： （1） x2＋2x＝5； （2） x2－4x＋3＝0.
师生合作 1
例2 用配方法解方程: (1)x2-6x-7=0 (2)x2+3x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方: 方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ 4 =(x－ 2 )2 6 (3)x2－___x＋ 9 =(x－ 3 )2
22.2.1 降次--解一元二次方程(配方法)
课题
22.2 降次—解一元二次方程（配方法）
课时
第1课时
课 型
新授
主备人
王金涛
学习目标
1、理解配方法的意义，知道用配方法解一元二次方程的一般步骤。
2、会用配方法解一元二次方程。
学习重点
会用配方法解一元二次方程。
学习难点
如何配方？
学习过程
一、复习
、你的收获？2、还有哪些注意的地方？
六、达标
学生感悟
(教师修订)
年级：九年级学科：数学命题人：王金涛审核人：叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分：50+10时间：10分钟 成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1、填空：
（1） （2）
2、要使方程 左边配成完全平方式，在方程两边应该都加上（ ）
（2）填空：
① ②
（3）在解方程 时，共几步？哪几步？
（4）什么叫配方法？请在课本中画出。
四、师生互动，探究新知
1、以小组为单位交流讨论在自学过程和思考题中的疑惑问题（3分钟）。
2、小组内不明白的问题，把问题写在后黑板相应的位置。
3、师生共同解决疑惑问题。
4、解方程：
（1） （2）
5、练习：课本第34页，练习中的第2题中的（2）、（4）、（6）
（2）解下列方程
① ② ③
（3）要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16 ，场地的长和宽应各是多少？
二、把学习目标读两遍
三、自学指导
1、自学内容：课本32页至33页例1之上。
2、自学时间：5分钟
3、自学方法：请同学认真自学课本，不明白的地方请画出，可交流讨论也可问老师，然后完成下列思考题。
22.2配方法
教 后 反 思
做内黄最好的教师
办全县最好的教育
亳城一中电子教案
2
重点难点 教法学法 教具学具
教学过程 一、复习引入 导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直 接开平方法，配方法. 二、探究新知 探究课本问题 1 分析： 1.用列方程方法解题的等量关系是什么？ 2.解方程的依据是什么？ 3.方程的解是什么？问题的答案是什么？ 4.该方程的结构是怎样的？ 归纳： 2 可根据数的开方的知识解形如 x =p（p≥0）的一元二次方程，方程有两 个根，但是不一定都是实际问题的解. 解决课本思考 1 如何理解降次？ 2 本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？
时间
批注
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亳城一中电子教案Leabharlann 实际实干实效
为学生的美好人生奠基
3 能化为（x+m） =n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？ 归纳： 2 2 1 运用平方根知识将形如 x =p（p≥0）或（mx+n） =p（p≥0）的一元二次方 程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可； 2 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为 2 （x+m） =n（n≥0）. 探究课本问题 2 1.根据题意列方程并整理成一般形式. 2 2 2 2. 将方程 x +6x-16=0 和 x +6x+9=2 对比，怎样将方程 x +6x-16=0 化为像 2 x +6x+9=2 一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？ 2 1 完成填空： x2+6x+ ○ =（x+ ） ○ 2 方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？ 归纳： 用配方法解二次项系数是 1 且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤 及注意事项: 先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的 平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边 2 完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m） =n（n≥0）的形式. 三、课堂训练 课本练习:P31 页练习，P34 页练习 1，2（1） 四、小结归纳 2 1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n） =p（p≥0）的一元二 次方程. 2.用配方法解二次项系数是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地， 移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方. 3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问 题的解一定是方程的根. 五、作业设计 P42：1、2、3（1） （2）
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
九年级数学上册 22.2.1《配方法解一元二次方程》课件 新人教版
A
C B
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法 （square root extraction）.
练习3：用配方法解下列方程： (1) x2＋12x =－9 (2) －x2＋4x－3=0 4. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
思考：先用配方法解下列方程： （1） x2－2x－1＝0 （2） x2－2x＋4＝0 （3） x2－2x＋1＝0 然后回答下列问题： （1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样 处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在 什么条件下才有实数根？
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ 4 =(x－ 2 )2 6 ＋ 9 =(x－ 3 )2 (3)x2－___x
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一 半的平方
例2：用配方法解下列方程 (1)x2＋6x=1
(2)x2=6－5x
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
22.2.1解一元二次方程 配方法
x 2 =1-√ 3
x+1=-2
x 2 =-3
如图, 在长为32m, 宽为 20m的一块矩形地面上, 修建同样宽的 两条平行且与另一条相互垂直的道路 , 余下的六个相同的部分作为耕地, 要使 得耕地的面积为504m2, 32 道路的宽应为多少? 20-x 分析: 设道路的宽为xm, 20 等量关系: 耕地面积=504 列得方程: (32-2x)(20-x)=504 32-2x 整理得: x2-36x+68=0 (一般形式且a=1)
解方程: x2-36x+68=0
解: 移项: x2-36x=-68
这种解方程的 方法叫做配方法
两边加上一次项系数一半的平方:
x2-36x+182=-68+182 即:(x-18)2=256
道路的宽 2m 应为多少?
两边开方得: x-18=±16
x-18= 16
x-18=-16
x 1 =34 (不合题意舍去) x 2 =2
x2+6x+32=-5+32 即:(x+3)2=4
两边开方得: x+3=±2 x+3= 2 x=-1 x+3=-2 x=-5
配方 这节课我们Biblioteka 习了用____法解二次 1 项系数是__的一元二次方程, 其步骤是: (1) 移项, 把常数项移到方程的____; 右边
一次项系数 (2) 两边加上__________一半的平方, (x+n)2=p (p>0) 把方程转化为____________的形式.
用配方法解下列方程:
1. x2-4x-5=0
解: 移项: x2-4x=5 两边加上一次项系数一半的平方: x2-4x+22=5+22 即:(x-2)2=9
22.2解一元二次方程配方法教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示配方法的基本原理。
其次，在实践活动环节，学生的参与度很高，但部分小组在讨论过程中偏离了主题。针对这一问题，我应该在活动开始前明确讨论的主题和目标，并在活动过程中加强引导，确保讨论的方向正确。
此外，在小组讨论环节，我发现有些学生过于依赖同学，没有充分独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我计划在接下来的课程中，增加一些个人任务，鼓励学生在小组讨论前先独立思考，然后再与同学交流。
-举例：某物体从高处落下，其高度与时间的关系为h = 4.9t^2 + 29.4t + 10，求物体落地时间。
c)开方运算的精确性与合理性。
-难点解释：在开方运算过程中，学生需注意结果的精确性，同时避免出现无意义的结果。
-举例：在解方程x^2 - 2x + 1 = 0时，避免得出x = -1的错误答案，而应得出x = 1。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和实际生活中有着广泛的应用，可以帮助我们解决很多问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示配方法在实际问题中的运用，以及如何帮助我们求解一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
22.2_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
9.x 12x 27 0;
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系 数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( ) 2= )2 -q
1 2
例2：用配方法解下列方程
x 6 x 16 0
2
x 8x 1 0
2
二次项系数为1
2 x 1 3x
2 2
二次项系数不为1
3x 6 x 4 0 可以先将系数化为1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1：将二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的一般
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，
b，c的值。
例1.用公式法解方程2x2+5x3=0
①
2、求出b2-4ac的值。
解: a=2, b=5,
∴ 3)=49 ∴x =
= =
c= -3,
②
3、代入求根公式 : X=
b2-4ac=52-4×2×(③
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？
一元二次方程配方法
2、用配方法解形如ax2+bx+c=0一元二 次方程的一般步骤是什么？
系数化1ห้องสมุดไป่ตู้移项，配方，变形，开方，求解，定解
作业
• P42 第3题（3）（4）
2 )= 3
10 9
练一练
1解下列方程 （1）3x2+6x-4=0
1 2 (2) x +2x-1=0 2
(3)4x2-6x-3=0
(4)-2x2-x-1=0
试一试
2.用配方法求2x2-7x+2的最小值
3.用配方法证明-10x2+7x-4的值 恒小于0
归纳总结
1、解二次项系数不为1的一元二次方程的
开方，得
，x2=2
5 3 x 4 4
∴ x1 2
开方
定解
1 x2 2
典型例题
解下列方程： （1）2x2+1=3x
(2) 3x2-6x+4=0
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
22.2.1一元二次方程的解法 配方法2
知识回顾
1.什么是配方法？ 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的方法的 2.什么是平方根？
如果x2=a,那么x= a.
助手:
x就是a的平方根
3.什么是完全平方式？
式子a2±2ab+b2叫完全平方式, 且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
5 2
x+1=0与
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5
2x-1=-
5
分别解这两个一元一次方程得 x1= 1 5 x2= 1 5
2
2
利用转化思想解方程③ 方程的左边是完全平方形式 即为 (x+3)2=2 方程两边开平方得 x+3=±
方程的根为x1=
2
x2 =
归纳:以上方程①②③在解法有什么类似的地方,可归 纳怎样的步骤? 以上方程①②③都可用开平方法,将一元二次方程降 转化为两个一元一次方程 即用图表示为 一元二次方程x2=p(p≥0) 或(mx+n)2=p(p≥0
解一元二次方程
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m ，李林用这桶
2
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为 xdm， 列方程10 6 x 1500 由此可得 x 25 x 5， 即 x1 5， x2 5
2 2
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例1.用开平方法解下列方程:
(1).x2＝50 (2).x2－ 81＝0 (3).3x2－27=0
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
怎样解方程(2 x 1) 5及
2
方程 x 6 x 9 2 ?
2
对照上面解方程①的过程你认为怎样解下列方程 方程:(2x-1)2=5 ② 方程:x2+6x+9=0 ③ 利用类比思想解方程② 方程两边开平方得 2x-1=± 5 即2x-1=
1.今天我们学习了用开平方法,将一元二次方程降次转 为两个一元一次方程 即用图表示为 一元二次方程x2=p(p≥0) 或(mx+n)2=p(p≥0)
开平方 降次
2.今天讨论的问题中涉及哪些数学思想方法?
x=±
p
或mx+n=±
p
再
见！
开平方 降次
x=±
p
或mx+n=±
p
例2：解下列方程 (1)4x2＋12x+9=1
(2)x2+1=4-2x
解:(1)原方程可化为: (2x+3)2=1 两边开平方得 2x+3=±1
2x+3=1
∴x1=-1
2x+3=-1
x2=-2
(2)x2+1=4-2x 2 解Байду номын сангаас(2)原方程可化为:x +2x+1=4 2 (x+1) =4 两边开平方得 X+1=±2 X+1=2 x+1=-2 ∴x1=1 x2=-3