例谈数列中的数学思想
例谈用函数思想指导数列不等式的证明
只‰ ≤
当
， 欲 证 ％＝
≤
前 述 证 明 其 实 就 是 构 建 函数 后 采 用 作 差 比较 法 探 究 函 数 的单 调 性 ． 与此 法 相 应 的 还 有 构 造 恰 当 的 函 数 探 究 其 最 值 来 实
ｆ ～ ｂ ｎ ＋ ｌ ＋ １ １ — ｂ ＂ － — ２ ＂ ．
２
证 明： 由ｌ 知， 问题 的关键 即证
０， Ｐ≠ １ ） （ ） 亦 即 证 （
Ｐ≠ １ ．
ｐ＂ －Ｉ Ｐ 叶 ＋ １ ）
≤ （ ｐ ” ｌ ＋ １ ） （ ｐ ＞
（ ＋ １ ） （ 善 － １ ） （ ０ ＜ ６ ．
ｉ ￣ － ｂ ＝ ２ ｘ（ ＞ ０， ≠ １ ） ， 则 问题 车 戈 ＋（ １ － ｘ） （ １ ＋ ２ ｎ） ｘ 一 １ ＞０ ／
） （
） ＝ ２ ｎ （ ｐ － １ ） ｐ ＂
（ ｐ＞ ０， （ Ｐ 一１ ） （ ｐ 肿 ＋ Ｊ ） ） ｜ ． － ｌ Ｊ
（ ＞ １ ） ， 或 ＋ （ １ ） （ １ ＋ ２ ｎ ） ｘ ＂ － Ｉ ≤ ０ （ ０ ＜ １ ） ．避厂 （ ）
・
函数 进 行 研 究．
证明 ： 当６ ＝ ２时 ， ＝ ２， ＋１ ＝ ２， 成 立．
散 函 数 的 视 角去 看 ． 则 又是 一 番 景 象．上 面 的 证 明 中利 用相 邻
例谈方程函数思想在初中数列中的妙用
个是 ３ 第 三 个 数 是 Ｉ 则 第 ｎ个数 是 Ｉ
Ａ） ８ － Ｂ） ｎ＋ ｎ５ ｚ２ Ｃ） ４ ｌ ｎ－
（
）
Ｄ） ２ ２４ ＋ ｎ－ ｎ ５
７ ７ ＝ １ ＝ ＋６ ３ ７ １ ：７ ＋ ９ ＋６ ６ ：７ ０ ＋６ ： ＋ ｌ ７ ６ ： ＋ ２ ７ ６ ＝ ＋ ３ ７ ６，
｛ 芝 之： ： 解得｛ 二
所以，Ａ ｎ与 ｎ的一次函数 的解析式为 Ａ ＝ ｋ １ ｎ ４－ ，因此，新数列的第 ｎ
个数是 ４一 。 ｎ １ 三 、具 体 应 用 俗话 说 ：“ 了 鸟枪 ，就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ！ 挂 ， 例 ｌ ，如 图 ，将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 ， 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 ， 如 此 继 续下 去 ， 结 果如 下表 ：
数 列 的 第 ｎ项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词１ 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ，但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ，教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ，找 公 比 ， 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ，再 利 用 其 它数 学知 识 ，解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 ， 确 实具 有很强 的挑 战性 ，而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ，我根 据平 时 的教 学经 验 ，摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ，谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 ：试 一 试 ， 观 察下 面 几 组 数 ：
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例谈数列问题中的数学思想
点 评 ： 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 ． 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 ２ ３ 取 值 范 围 问 题 转 ｌ 的
２ 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 ， 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 ． 从 唯一标准 ， 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 ： （ ） 认 真审题 ， 确要求 ， 维严谨 、 密 ， 算有 据 、 １要 明 思 周 计 准
） ＋
—一 的最大值 为 ， 最
４ 等 价 转 化 法 ．
分析 ： 直接
１ ！！里
２ ＋Ｃ Ｓ Ｏ
，
） 的最大 值 、 小值显然 不可取． 最 化袱 ） ＝
￣ＪＴｇ ） 奇 偶 性 Ｊ （ 的 Ｊ
＋ ＣＯＳ 戈
．
将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ，使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 ． 过 转 化 ， 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ； ２ 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ； ３ 要 重 视 （） 性 （） 对 所 求 结 果 的检 验 ．
化 成 了直 线ｙ ｍ与 曲线ｙ ｆ ｘ） 三 个 交点 的 问题 ， 数 的 问题 转 ＝ ＝（ 有 将
化 成 了形 的 问题 ， 而利 用 图 形 的性 质 解 决． 从
点 评 ： 函 数 有 关 的 填 空 题 ， 据 题 目条 件 ， 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 ， 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 ， 往
浅谈结合函数思想巧解数列问题
浅谈结合函数思想巧解数列问题数列问题在数学中是一个常见的问题类型，需要通过数学方法来求解。
而结合函数思想可以巧妙解决很多数列问题，本文将从基本概念开始介绍函数思想与数列问题的结合，然后通过实例讲解如何利用函数思想巧解数列问题。
一、函数思想与数列问题的结合在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
而数列则是按照一定顺序排列的数的集合，可以看作是函数的一种特殊形式。
函数思想在解决数列问题时可以发挥重要作用，通过定义函数或利用函数的性质来解决数列问题，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。
二、利用函数思想解决数列问题的基本方法1. 定义函数在解决数列问题时，可以定义一个函数来描述数列的规律。
通过函数的定义，可以找到数列中各个元素之间的关系，从而解决数列问题。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，来直观表示等差数列的通项公式。
通过定义函数，可以将数列问题转化为函数问题，更容易解决。
三、实例分析下面通过几个实例来说明如何利用函数思想巧解数列问题。
实例一：求等差数列的前n项和对于等差数列an = a1 + (n-1)d，要求前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，然后利用等差数列的性质来求解。
根据等差数列的性质，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1+(n-1)d) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = f(1) * n + d * n * (n-1) / 2，这样就用函数思想巧妙解决了等差数列的前n项和问题。
实例二：求斐波那契数列的通项公式对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，要求通项公式，可以利用递归函数的性质来求解。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用【摘要】本文讨论了分类讨论思想在解初中数学题中的应用。
在整数、几何、代数、概率和数列问题中，通过分类讨论不同情况，能够有效解决复杂的数学难题。
通过分类讨论思想，学生可以更清晰地理解问题，准确分类，有针对性地解决问题，提高解题效率。
文章强调了分类讨论思想对学生解题能力的提升作用，希望学生能够加强练习，掌握分类讨论思想的运用技巧，提高自身解题水平。
最终目的是培养学生综合运用分类讨论思想的能力，让他们在数学学习中拥有更广阔的视野和更灵活的思维方式。
通过分类讨论思想，学生可以更好地理解并解决复杂问题，从而在数学学科中取得更好的成绩。
【关键词】分类讨论思想、初中数学题、整数问题、几何问题、代数问题、概率问题、数列问题、解题思路、解题能力、综合运用、学生、应用、提升、培养、展望、结论1. 引言1.1 介绍分类讨论思想分类讨论思想是一种解决问题的思维方法，通过将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐一进行讨论和分类，最终得出整体的解决方案。
在数学领域，分类讨论思想常常被应用于解决复杂的问题，尤其在初中数学题中发挥着重要作用。
分类讨论思想能够帮助学生将复杂的问题简化，并将其分解成易于处理的部分，从而更好地理解问题的本质和特点。
通过分类讨论，学生可以更清晰地认识到问题的不同情况和条件，有利于他们找出解决问题的方法和思路。
分类讨论思想还能激发学生的思维活力和创造力，培养他们解决问题的能力和技巧。
1.2 说明初中数学题的解题思路在解初中数学题时，正确的解题思路是非常重要的。
通常情况下，初中数学题可以通过分类讨论思想来进行解答。
分类讨论思想是指将问题分为若干种情况进行讨论，然后再将各种情况的结果合并，得到最终的解答。
通过分类讨论思想，我们可以更清晰地理清问题，找到其中的规律，从而更好地解决数学题。
分类讨论思想在解初中数学题中的应用非常广泛，涉及整数问题、几何问题、代数问题、概率问题和数列问题等多个方面。
例谈函数思想的应用
点评 本题在 求解过程很巧妙 地利 用 了函数 的单
调性 来产生函数的最值 ，并通过 求函数 的最值使 问题
例 １若 、 为锐角 ，且
＝ ．
＋ 堂 ＝ ，求证 ： ２
Ｓｌ ｌ ｌ Ｏ ｌ
Ｓ ｎＪ Ｉ ／
获解．
例 ３ 设等差 数列 ｛， 的前项和为 ｓ，若 ｏ＝ ２ ｎ】 Ｉ ． １， ３ ｓ ＞ ， ０ 请指 出 ｓ，ｓ， ，ｓ ０ ５， ， ＜ ｌ … 中哪个最 大 ，并说
％＋ ｎ 若数列 ｛ 中从 第 ２项起 以后所 有项 都大 ， —Ｉ ６ 】
于 ２ － ，求 的范围． ｋ５
杨
帆
审
—
分析 “ 若数列 ） 中从 第 ２项起 以后 所有项都 函数 不仅 是 高中数 学 内容 中的一 个重 要组成 部
大于 ２一 ” ｋ ５ ，假 若 能得 到 该 数 列 的 最 小项 ，只 需让 最
在对 三角等式证 明与三角 函数 式的 最值 求解 时 ，
一
些 问题 若 通 过 三 角 变换 去 完 成 解 题 过 程 相 当 冗 长 ，
项 ６｝ 砉， 砉＞一 得 ＜ 即 为 ＋＝ 由 ２５ １ ｋ， 为
所求 范围．
繁杂 的运算也是一种 隐性失分 ；若换个角度 ，巧妙地 利用函数思想 ，问题 的解答就 变得十分快捷 ，收到 事
（孕 ）．故 ， 时 Ｓ 大， Ｓ… ５ ＜５ 当ｌ ， 即Ｓ ， 一 ６． ： ６ 最 ，，
Ｓ 中 Ｓ 最大． ：
数列本 身就是特殊 的函数 ，两类特殊数列与 函数 有更密切 关 系：等差数 列的通 项 ％是 ｎ 的一 次函数 ，
点评 可 以看 出从 函数 的 角度观 察、分析 数列 问 题 ，开辟 了数 列问题 求解 的新天地 ，给 了我们一个全
在知识点交汇处看数列——例谈数列与向量、不等式、函数结合的典型综合问题
ｃ ｌ Ｉ ） 因 为 ｛ ｌ 三 ｌ ｚ ＂ ｛ ｌ － 卞 Ⅳ 一 ＿ ／ ５ Ｉ ｒ 以
点， 点Ａ（ 以 ， Ｏ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， … ） 在 轴 的正 半轴 上 ， △Ａ一 ＡＰ 是 正 三角 形 （ Ａ。 是 坐 标 原点 ） ． （ Ｉ） 写出 ｎ １ ， ｎ ２ ， ｎ ３ ； （ １ １ ） 求 出点 Ａ （ 口 ， Ｏ ） （ ｎ ＥＮ ） 的横坐标 ａ 关于ｎ的表达式 ；
ｆ ｚ ＋五 一 １ ＝２ ｎ ， ｆ Ｘ １ ＝ ＝ ＝ ２ 一 ，
Ｉ ＋Ｙ 一 １ —２ ” ¨ 【 １ —４ ～ ，
ｆ ｚ２ —４ 一ｚ １ —２ ＋ｘ ｏ ，
＜…＜ ） 是曲线 Ｃ： Ｙ 一３ ｘ（ ≥ ０ ） 上 的 个
图１
Ｉ ２ — ８ 一 １ — ４ ＋ ，
一
同理可得 Ｙ ＋ １ 一 一 ｌ ＝２ ．
Ａ 一 ｌ Ａ １ 一（ ＋ ｌ 一 一 １ ， ＋ ｌ －ｙ 一 １ ）
一（ ２， ２ ） ，
一
和综合性都有了质 的变化， 而这些变化恰恰 是我们的学生薄弱 的环节， 它对学生解决问 题的能力提出了一系列综 合性很高的要求。 下面就数列的交叉点处易出现的疑难问题谈
数列｛ ） 是递减数列． ｂ 的最大值为
．
１
１
可一 譬 ～ ，
口 ｎ 一口 一 １ ＝ ＝￣ ／ ２ （ ａ ． － １ ＋口 ），
６ 一 ＝ ＝ ： 百・
若对任意正整数 ， 当 ｍＥ［ 一１ ， １ ］ 时，
口 ： －２ ａ 一 ｌ ｎ ＋口 ： 一 １
—２ （ ｎ ＋口 一 １ ） （ ≥２ ， ∈ ） ， （ １ ）
例谈数列复习中数学思想的渗透
例谈数列复习中数学思想的渗透作者：卞维清来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期数列是高中数学的重要内容，在高考中的地位十分突出，是高考必考的内容之一，往往以压轴题的形式出现，数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想方法，如果在数列这一章节的复习中，教师能注重数学思想方法的渗透，可使许多较复杂问题化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程，培养学生数学思维能力的目的.一、函数与方程思想的渗透数列的本质是函数，数列是函数的继续和延伸.如等差数列（公差不为零），它的通项公式是关于自然数n的一次函数，它的前n项和是关于自然数n的不含常数项的二次函数.在解决数列问题的过程中，如果能适时地运用函数思想，往往会事半功倍.【例1】已知数列，通项公式为，若为递增数列，求实数λ的取值范围.解析：由题意知对一切正整数n恒成立，化简可得2n+1+λ>0恒成立，因为2n+1的最小值为3，所以λ>-3.另解：由数列的通项公式，联想到二次函数，对称轴为x=-λ2，问题转化为二次函数在正整数集上为增函数，只要-λ2-3.【例2】设等差数列的前n项的和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有（）解析：本题可从数列的基本量和d入手，但运算繁琐.若从函数角度出发，把数列问题转化为函数问题来解决，则要简单得多.设（a，b为常数），则由题意可知（）对一切正整数k恒成立.化简得（-a）（-b）=0 对一切正整数k恒成立.则有-a=0，，-b=0，解得a=1，，或a=0，，或a=0，则有或或，则有-1，或，或注：本题还可通过特殊化思想来解决，可取k=1，k=2时等式成立，求出，然后检验证明.二、特殊到一般的思想的渗透由于数列是关于自然数的函数，特殊到一般（归纳，猜想）的思想是数列中常用的数学思想.在解决数列问题时，我们往往可以取这个数列的前几项进行研究，再归纳总结，导出一般结论，进一步明确解题思路.【例3】（1）已知数列，其中，且数列-为等比数列，求常数p；（2）设数列、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列}不是等比数列.解析：（1）由于数列-为等比数列，则它的前三项必成等比数列，记-，则有又-5p，-13p，-35p，所以（35-13p）（13-5p）（97-35p），解得p=2或p=3.检验：当p=2时，；当p=3时，-（均满足题意）.（2）要证明不是等比数列，只须证明它的前三项不成等比数列即可，即证设、的公比分别为p、q且p≠q.事实上，（），（）·（）（）.由于p≠q，，又、不为零，因此，故不是等比数列.注：本题如果采用等比数列的定义来解决，运算量较大.注意到一个数列“前三项成等比数列”是“这个数列为等比数列”的必要条件，从而联想到通过它的前三项是否成等比关系来解决.三、转化思想的渗透转化（化归）思想是数列中的一种重要思想.数列中常用的转化关系有：（n=1），--1（n≥2）（将“和”与“项”进行转化）；将其他数列转化为等差（等比）数列来解决等.【例4】数列满足：，求数列的通项公式.解析：∵，∴（）=2（）.∴数列为首项为2，公比为2的等比数列.∴，∴-1.注：原数列既非等差数列又非等比数列，求通项公式较困难，这时通过构造，可转化为一个等比数列轻松解决.高中阶段主要学习了等差、等比两种特殊数列，很多数列问题可最终转化为这两类数列来解决.形如：（q≠0）型的递推关系，均可采用上述方法进行化归.再比如用“错位相减”法求“等差数列乘等比数列”这一类数列和时，本质上就是转化为等比数列求和.【例5】已知数列前n项和为，对于任意自然数n满足：，且（1）求p的值；（2）证明：为等差数列.解析：（1）用特殊到一般思想，即，所以p=1或当p=1时，又，即（与条件矛盾，舍去）；当时，又，因为，所以p=12.（2）由（1）知，①所以-1=12（n-1）-1（n≥2）. ②①-②得--1=12-12（n-1）-1，即-12（n-1）-1，即（n-2）（n-1）-1（n≥2），③（将“和”与“项”的关系转化为“项”的关系）对于③式的处理有多种思想方法.方法1：由③得（n-3）-1=（n-2）-2 （n≥3），④③-④得（n-2）-（n-3）-1=（n-1）-1-（n-2）-2，即（n-2）（n-2）-2=（2n-4）-1（n≥3），即--1（n≥3），所以为等差数列.注：将③式中相邻两项关系转化为相邻三项的关系，利用等差中项法进行证明.方法2：由③式得，当n≥3时，-1=n-1n-2，所以；；…；--2=n-2n-3；-1=n-1n-2.将各式相乘可得-1，所以（n-1）（n≥3）. ⑤又，均符合⑤式，所以（n-1），用定义可证得为等差数列.注：通过“累积”法求出数列通项公式，然后利用定义加以证明.方法3：由③式得，当n≥3时，--1n-2，可得数列-1}从第二项起为常数列，所以n≥2时，-，即=（n-1）（下同方法2）注：此方法要求学生有一定的观察能力，能把递推关系转化为一个常数列来解决.四、递推思想的渗透递推公式是给出数列的一种常用方法，在很多数列问题中，往往给出数列的一种递推关系，然后求通项公式.递推公式的本质是由一项（或更多的项）推出它的下一项.【例6】已知数列中，，（n-1）-1（n≥2），求数列的通项公式.解析：由于条件中的递推关系较繁，可以先将这个递推关系进行化简.因为（n-1）-1（n≥2），所以-（n-2）-2（n≥3），两式相减得--1=（n-1）-1，即-1（n≥3）.所以当n≥3时，-1=n·（n-1）-2=n·（n-1）·（n-2）-3=n·（n-1）·（n-2）因为，所以（n-1）·（n-2）…3=n！2（n≥3），因为不符合上式，符合上式，所以（n=1），！2（n≥2）.注：化简后的递推式-1（n≥3）揭示了前后两项之间的关系，即知道了任一项都可求出它的后一项.因此我们采用递推的方法求出它的通项公式.文中的例5也可用递推思想求解，简解如下：n≥2时，-1+1=2·（-2+1）-2+2+1（-3+1）-=…=2n--2+2n-3+…+2+1=2n-1+2n--1.数列中蕴含的数学思想还有很多，这里就不一一举例了.总之，在复习数列这一内容时，教师不应该仅仅教给学生几个公式，应注意思想方法的渗透和总结，从而提高学生的数学素养和应试能力.。
例谈函数思想在数列问题中的应用
２ 运 用 函数 思 想 解 数 列的 求 和 问题
数列 求 和 是数 歹 知识 的一个 重 要 万 囱 ， 在求 Ｕ 向
与一般 的关 系 ， 是这 种关 系 ， 函数 思想方 法成 为 正 使
研究 和解决 数列 问题 的重 要 方 法． 们 可 以用 函数 我 的思想 、 方法 解 决 数 列 的 问题． 列 中 的通项 、 ／ 数 前 ７ ，
， 、 ＃一２
图 是 条 线那 三 点ｍ ）２ ） 的研 究 ， 出函数 的 最大值． 象 一 直 ，么 个 （ ，ｍ ， ， （， 求
、厶 ，
３ ｌｆ 的最大 一 ２÷ｌ 值问题， 通过对函数单调性
和 问题上 ， 我们 时 常会运用 到 函数 的单 调性 、 周期性
等性 质及 函数 的解析 式．
项 和、 递推关 系 、 最值 问题及 大小 比较 问题通 常都 可
以转化 为 函数 问题 来求 解．
ｕ ｝ 项 （２ ｓ ） ｛的 ｃ ＿ ， 通 ０ ｉ ｓ
其前 项和为 ， 则 为
斜率相等， 求出 ｓ 。的值． 解： 等差 数列 ｛ ｝ 的前 ｎ项 和 ＝ １ ＋
＋∞ ） 上是 减 函数 ， 最大值 是 ２ 其 ）＝一 ． ９
所 以有 ａ 一 ． ａ ＝ａ ４ ≥ ９ 又 ２ １－ ３＞ａ． １
综上 ， 所求 的 ａ的最小 值是 一 ． ９
识， 它们 的解析 式应是相 同的 ， 而得到 ｇ 口 的值． 从 ，。
有两种形式有时我们必须运用等差、 比数列的 等 知识去解决其它数列 问题 ， 将非等差 、 比的问题转化 等 为等差 、 等比问题加 以解决 ， 从而使 问题简单化
或其 子集上 的 函数． 列 与 函数 之 间的关 系是 特 殊 数
数列通项公式的求法例谈
数列通项公式的求法例谈
发表时间：2013-12-03T11:45:20.123Z 来源：《职业技术教育》2013年第9期供稿作者：姚太胜
[导读] 求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键，特别是由递推关系式求数列的通项公式一直是高考中久考不衰、常考常新的重点、热点题。
姚太胜湖北省宜都市职教中心443300
数列在历年的高考中占有重要地位，递推数列的题目综合了函数、恒等变形、方程、不等式、极限等中学数学中的基础知识，涉及到数学中的换元法，待定系数法，数学归纳法等重要方法，对培养学生的逻辑思维和推理论证等能力具有重要意义，能够有效地考查学生灵活运用相关知识分析问题、解决问题的能力，考查学生的思维品质和创新意识。
求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键，特别是由递推关系式求数列的通项公式一直是高考中久考不衰、常考常新的重点、热点题。
若已知数列中项与项之间的递推关系，则应用转化的数学思想方法引进辅助数列，可将其转化成等差或等比数列问题，进而求出数列
的通项公式。
求数列的通项公式。
例谈数列与函数的关系
例谈数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成是关于n 的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n 的一次函数（公差d ≠０时），而其求和公式可以看成是关于n 的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直观性来比较.因此，许多数列问题可以用函数的知识进行分析，加以解决.1．等差数列的通项公式可以看成自变量为n 的一次函数（公差d ≠０时）例1已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，是否存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立.分析：将n a 看成是n 的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.解：设存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立，令n a pn q =+（p 、q 为常数），则221()1n n k pn q S S ++-=-.①又∵(12)(1)2n p S p n nq n n nq =++++=++L ,， 代入①式变为22223121()22kp n kpqn kq pn p q n p q ⎛⎫++-=+-+-+ ⎪⎝⎭g ， 22321221()kp p kpq p q kq p q ⎧=⎪⎪⎪∴=-+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩， ②， ③， ④ 由②，得 0p =或32kp =. 将p =0代入③、④不成立.将k p=代入③，得 4p q =-，代入④，得 21164kp p p -=-+，即331324p p -=-， ∴3227p =，从而得出8164k =． ∴存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立.评注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.2．构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题例２ 等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100，则它的前3n 项和为（ ）. （Ａ）30 （B ）170 （C ）210 （D ）260分析：运用等差数列求和公式，先对1(1)2n n n S na d -=+进行变形，122n S d d n a n =+-，则122n S d d n a n =+-可以看成是关于n 的一次函数，再利用点共线的性质求解.解：由1(1)2n n n S na d -=+，可得122n S d d n a n =+-， 由此可知数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列， ∴23323n n n S S S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，2，，，三点共线. ∴310030302323n S n n n n n n n n--=--， ∴3210n S =.评注：①n S n可以看成是关于n 的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解3n S 的.运用该法还可以推得在等差数列中若()p q S q S p p q ==≠，，则()p q S p q +=-+．②等差数列的通项公式n a 也可以看成是关于n 的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若()p q a q a p p q ==≠，，则0p q a +=.3．等差数列的前n 项和可看成是关于n 的二次函数例3 已知等差数列{}n a ，首项1a ，且310S S =，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？分析：等差数列前n 项和n S 为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值.解：设等差数列公差为d ，前n 项和为n S ，∵310S S =，即116d a =-， ∴211111*********(1)(1)22612248n S na n n d na n n a a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当n =6或n =7时，67172S S a ==为最大. 评注：关于等差数列前n 项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定n 取何值时，n S 最大（最小）.4．利用函数单调性知识解（证）数列中的单调性问题例4 已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n a 是递减数列.分析：①本题已知函数关系式，并给出了n a 的关系式，将其看作关于n a 的方程解出即可.②数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.（1）解：∵2()22(log )2x x n f x f a n -=-=-，，，∴22log log 222n n a a n --=-，即12n n a n a -=-．. ∴2210n n a na +-=，（※） 解得n a n =- 又∵0n a >，∴n a n =；（2）证明：由11n n a a +==<． 又∵10n n n a a a +>∴<，．. ∴数列{}n a 是递减数列.评注：本题主要应用函数与方程的思想解题，（※）式可看成是关于n a 的方程；而求出的通项公式又反映了n a 是关于n 的函数.解题过程中0n a >这个细节要注意．感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
浅谈数列的极限
浅谈数列的极限作者：黄玉兰来源：《新课程·教师》2016年第04期摘要：结合古代的极限思想，介绍了数列极限的概念和求数列极限的基本方法——观察法，通过举例并总结了常见数列的极限。
关键词：概念；极限思想；观察法中图分类号：0171 文献标志码：A极限是高等数学中一个非常重要的知识点，而作为极限中最基础的内容——数列的极限，是学习极限的入门知识。
接下来介绍极限的概念以及求数列极限的基本方法——观察法。
一、古代的极限思想极限思想在我国已有很深的渊源，早在公元263年，刘徽（注解了《九章算术》）就提出了“割圆术”，大概思路如下图所示：在面积为S的圆内作内接三角形，三角形的面积记为S1，再作内接正六边形，面积记为S2，再作内接正十二边形，面积记为S3，如此下去，得到一个数列Sn，从几何直观上不难看出，当n无限增大时，Sn无限地接近圆的面积S。
《庄子·天下篇》中提到：一尺之槌，日取其半，万世不竭。
第一天取，第二天取，第三天取1，如此下去，这是一个公比为的等比数列。
随着n的逐渐增大，所取的长度越小，越来越趋近于0。
由以上两个例子我们可以看到，当n越大，数列的项越来越向一个确定的常数靠近，这个常数就是我们数学上讲的数列的极限。
二、数列极限的概念根据极限的定义可知，求数列的极限主要看当n增大时，数列项的趋势。
三、用观察法求数列极限观察法：通过观察数列项的趋势，以此来判断数列是否存在极限以及极限是多少。
下面通过举例来介绍这个方法结算方式：四、小结数列极限是极限知识的基础知识，以上对等比数列、幂数列极限公式的总结也可以推广到求函数的极限。
观察法是求数列极限最直观的方法，当然任何方法都不是万能的，在计算中要学会方法与方法的结合。
参考文献：周志燕，程黄金.高等数学[M].东北大学出版社，2014：11-15.作者简介：黄玉兰，出生于1983年，湖南娄底人，硕士研究生，讲师，研究方向：数学教育，数学规划及其物流中的应用。
例谈数列中函数思想的应用
例谈数列中函数思想的应用
朱水英 浙江省诸暨市第二高级中学（311800）
数列一直以来都是高考的重点内容．数列这一 块内容的教学对于教师来说是比较有体系的，一道 例题适当改动就可以派生很多小题，什么题型对应 什么方法都是很有规律可循的．虽然教师讲得起劲， 但是学生掌握得并不怎么好，因为学生在接受新知 识新内容时会存在一定的困难，题型方法越多越容 易混淆．所以作为教师在教学过程中不仅要交给学 生解题的通法，而且最好能在学生已有的认知领域 内挖掘数列这一块内容与其它章节的关系，往往能 有意想不到的效果．
n ∈ N+ ， n ≤ 10 ， 4 < 22 < 5 ，所以最小项在 a4 和 a5
中找，最大项在 a1 和 a10 中找．
方法 2
an+1 − an
=
n +1+ 22 − n − 22 n+1 n
=
n2 + n − 22 ， n(n +1)
而 n ∈ N+ ，则 n(n +1) > 0 ， 易得 n ≤ 4 时， an+1 − an < 0 ， n ≥ 5 时， an+1 − an > 0 ， 即 a1 > a2 > a3 > a4 ，
2 数列的最值
案例
2
已知 an
= n +
22 n
(n
∈
N
+，n
≤
10)
，求数列
{an} 的最大项和最小项．
分析 求数列的最值常用的方法是研究数列{an}
的单调性．
浅谈函数的性质在数列中的应用
点评 ： 如 果 直接 求 ａ ２ ｃ ￣ ９ ， 显然 运算 量太 大 ， 或 通 过 条
件 先求得 数 列 的通 项 公式 ， 再求 ａ ２ ｏ ｏ ９ ， 难 度稍 大 ， 如 果 通过条 件 求出 ａ 后 面 的 项 ， 当 求 出 第 ７项 后 面 的 一 些 项 时 ， 可 以 发 现 数 列 各 项 的 值 开 始 重 复 前 面 各 项 的 值 ，呈 周 期 性 的 变 化 ， 也 可 依 此 断 定 数 列 为 周
１ ５
等 式 一一 一 、 来 确定 参数 的取值 范 围 。
三、 利 用 函 数 的 周 期 性 求 数 列 的 项
例 ３已知数歹 ０｛ ａ ｎ｝中 ， ａ ｌ ＝１ ， ａ ＝６ ， ＋２ ＝ａ ＋ 一ａ ， 求
ａ２ ｏ ｏ ￣。
分 析 ：根 据 数 列 与 函数 的 关 系 ，考 虑 满 足 的 关 系式 ｆ （ ｎ＋ ２ ＝ｆ （ ｎ ＋１ 一 ｆ （ ｎ ） 的 函数 ｆ （ ｎ ） ， 此 函数 为抽 象 函数 ， 因此 可 以用赋 值 法 来确 定 此 函数 的性 质 。
决数 列 问题 ．
关键词 ： 数列 ； 函数 性 质 ； 应用
数 列 是一 类 特 殊 的 函数 ， 特殊 在 它 的定 义 域 不 是 实 数
又 ｎ∈Ｎ ★ ， 所 以要使 ｛ ｝ 单调 递增 ．
３ ３
集 或 其子 集 ， 而是 正 整数 集 Ｎ（ 或 它 的有 限 子 集 ｎ （ １ 。 ２ ， ３
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参 考文 献 ：
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【 １ ］ 张 蕾． 一 堂数 列 复 习课 的 实践 与反 思 Ｕ 】中学 教 学参
例谈数学思想方法在解题中的运用
简述 ： 作Ｐ Ｍ／ ／ Ｃ Ｑ交 Ａ Ｃ于 Ｍ， 易知 ＡＡ Ｐ Ｍ是等边 三角形 ， 故有 Ｐ Ｍ＝ Ｃ Ｑ ， 易证 ＡＰ Ｍ Ｄ ＡＱ Ｃ Ｄ， ． ’ ． Ｄ Ｍ ＝Ｄ Ｃ ， 又‘ ． ‘ △Ａ Ｐ Ｍ 是等边 三角形 ， 可知 Ｐ Ｅ是线段 Ａ Ｍ 的中垂线 ＇ ． ． ． ＡＥ＝Ｅ Ｍ， 从 而可得
Ａ Ｃ于 Ｅ， Ｑ为 Ｂ Ｃ延长线上一点 ， 当Ｐ Ａ＝Ｃ Ｑ时 ， 连接 Ｐ Ｑ交
ＡＣ边 于 Ｄ， 求Ｄ Ｅ的 长 。
由勾 股 定理 可 求得 Ａ Ｂ＝５
Ａ Ｐ
，
于是 用 等 积 法 可 求 得 Ｃ Ｎ＝２ 又 由勾 股定理可求 得 Ｂ Ｎ： ， Ｃ
，
易知 Ｂ Ｍ＝２ ， ． ・ ． ＡＭ＝３ ， 又・ ． ・
一
的时间为 ｔ ， 作Ｍ Ｎ ／ ／ Ａ Ｃ ， 交Ｂ Ｃ于 Ｎ ， 易知 Ｎ为 Ｂ Ｃ中点 ， 可得 Ｐ Ｍ：
ｃ Ｎ ＝ ÷ 可 知 ｔ ， …Ｐ ：
＇ １ ＇ ＡＡ Ｂ Ｃ ， ． ・ ． 可僭面 ｔ＝ Ｐ 丁 Ｍ
・
，．
．
ＰＭ ＝
ｃ
Ａ
方法主要有转化的思想方法 、 数 形结合 的思想 方法 、 分 类讨 论的思 想方 法和 函数与方程 的思想方 法等。下 面 ， 列举 若干典 型题 例， 谈谈 几种数
３ ． 利用 曲线与方程 的关 系建 立方程 曲线 上的点 的坐标 必然适 合
分析 ： Ｐ Ａ＝ Ｃ Ｑ， 但Ｐ Ａ与 Ｃ Ｑ又不在 同一三 角形 中。在这 种情况下 ， 般须采用平移法 。观察 图形 ， 宜 平移线 段 Ｃ Ｑ ， 旨在将 间接 条件 Ｐ Ａ＝ Ｃ Ｑ转化 为直接条件 。于是 ， 作Ｐ Ｍ／ ／ Ｃ Ｑ交 Ａ Ｃ于 Ｍ。须知 ， 在 类似此 题
例谈数列问题思维方法的转化
维普资讯
ｎ
Ｑ Ｉ ｃ Ｈ Ａ ＩＪＩ ， Ｕ Ｎ Ａ（ Ｙ
口
例 数列 题思 法的 化 谈 问 维方 转
口黄立杰 文尺 ｊ 列是初等数学的重要内容之一， ｆ 数列的基本
思 想 是 归纳 和递 推 ．等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 综 合题 ． 商 考中 常 与 函 数 、 程 、 等 式 、 数 及 解 析 在 方 不 复 几何 等 知 识 相 互 联 系 和 渗 透 。 因 此 ， 学 中 应 要 求 学 教 生能 灵活 运 用 数 列 概 念 及 公 式 ， 提 高 等 价 转 换 能 力 以 及思 维 的 灵活 性 。 以 下试 就 此作 一探 讨 。 等 麓 、 比 数 列 之 间 的相 互 转 化 等
。
（ ） １ ¨Ｉ 嗣 ｂ ． ｈ ＝２ ＋２ ２ ． ｂ ＋ ＝８ ＋２ ’ … ． ． ¨。
两边 同 除 以 ２
得：
一 ＝ｌ
．
警＝ ）‘＝ （ ） （ （ 常 ｛ 数
ｂ （） 等 数 ｛ 比 列 ＝ 是
＝ｂ， ・
令ｃ＝ 则 鲁， 数列ｌｉ 一 ｃ是 个以Ｉ 公 ｃ 粤 ｎ 为 差． ； Ｊ
例谈课本习题中的数学思想
中 ， Ｃ＝底 面周长 的一半 ＝ Ｂ
ｌ ｃ ’．ＡＣ ＝ Ｏｍ ． ． ＝
可
＝
一１． ７ ０ ７
（ ｍ） 勾股定理 ） ｃ （ ． 答 ： 短路程 约为 １． ７ｍ 最 ０７ｃ ． 即原处还有 尺的竹子．
Ｈ Ｇ
变式 １ 做 一 个 长 ， ， 宽
变 式 ２ （ ７ １ Ｐ５ 题 １改
３ 方 程思 想
ｃｍ
图１
分析
蚂蚁实 际上是在 圆柱 的半个 侧面 内爬行 ， 如
果将这半 个侧 面展 开 （ 如下 图 ） 得 到矩 形 Ａ Ｃ 根据 ， Ｂ Ｄ，
“ 两点之 间 ， 段最短 ” 所 求 的最短路 程就 是侧 面展开 线 ，
图矩形对 角线 Ａ Ｃ之长． 解 如图 ２ 在 Ｒ ＡＡ Ｃ ， ｔ Ｂ
图５
本题 主要算 出木箱 （ 长方体 ） 对角线 Ａ Ｇ的长
ＡＡ Ｅ折 叠 ， 点 Ｄ恰 好 落 在 边 Ｂ Ｄ 使 Ｃ上 一 点 Ｆ处 ， 且
ＡＡ Ｆ的面积是 ３ ｅ 求此时 Ｅ Ｂ ０ｒ ． ａ Ｆ的长．
度， 在直角三角形 Ａ Ｇ中容易算 出 Ｃ
Ａ Ｇ＝ 、 ＝ ＝ ｅ５￣ ＇ｏ ｏ， ～
我们 称 之 为 “ 图” 利 用 这 个 弦 ，
“ 图” 你 能 验 证 ： ＋ｂ 弦 ， 口 ２＝ｃ ２ 吗？把你 的验证过 程写下 来 ， 并 与同伴进行交 流． 、 分析
出其两 条直 角边 口 ｂ则 ｓ 删 即可求 出， ，， 但这 样求 口 ｂ ，
图６ 非常繁杂 ， 至在 现 阶段 不 可 能 ， 甚 如果 注 意 到 Ｓ ＝
又 Ｓ 方 ｃ， 正 形
根据勾股定 理 ， ｂ ＝ 口 ＋ ｃ，
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是中学数学解题中经常运用的一种思维方法，它可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地解决问题。
化归思想常常用到代入、替换、等价等方法。
通过这些方法将原问题转化为易于解决的问题。
在初中代数中，常常会遇到关于分式方程的问题。
这时，使用化归思想可以将分式方程化简为一元方程，从而更便于解题。
当我们遇到一个分式方程：(2x-1)/(3x+2) + (5x+3)/(2x+1) = 3我们将这个式子的两个分式合并为一个分式：((2x-1)(2x+1) + (5x+3)(3x+2))/(3x+2)(2x+1) = 3然后，将右侧的3转化为3x+2的分式形式：(2x-1)(2x+1) + (5x+3)(3x+2) = 3(3x+2)(2x+1)将等式两边进行展开和化简：4x^2 - 1 + 15x^2 + 19x + 6 = 18x^2 + 15x + 6合并同类项，最终得到一元方程：4x^2 - 3x^2 + 19x - 15x - 1 - 6 + 6 = 0x^2 + 4x - 1 = 0这就是一个比较简单的一元方程，通过求解这个方程，我们可以得到原问题的解。
在初中几何中，常常遇到证明题。
化归思想在证明题中也有广泛的应用。
当我们需要证明两条线段相等时，可以通过化归思想将这个问题转化为两个线段终点坐标的问题。
具体来说，如果我们需要证明线段AB与线段CD相等，就可以通过化归思想将问题转化为证明点A的坐标与点C的坐标相等，点B的坐标与点D的坐标相等。
通过计算坐标可以证明点的相等，从而得出线段相等。
在数列中，化归思想也有着重要的应用。
当我们遇到一个复杂的数列，无法直接找到递推关系时，可以通过化归思想将数列转化为简单的数列，从而求出递推关系。
当我们遇到一个数列5，10，15，20，...，无法找到递推公式时，可以通过化归思想将该数列转化为1，2，3，4，...，显然这是一个公差为1的等差数列，递推关系为an = n。
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例谈数列中的数学思想高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。
下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.1、方程思想在数列中运用等差（比）数列一般涉及五个基本量：n n S a n q d a ,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1：等差数列{}n a 的前n 项和为S n，且S 12=84，S 20=460，求S28。
解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ，解得4,151=-=d a .故10922)128(2828128=-+=d a S .在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。
等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。
例2、实数4321,,,a a a a 都不为0，且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ，求证：321,,a a a 成等比数列，且4a 为其公比。
分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a 为主研究简单。
证明：由题设知，4a 是一元二次方程0)(2)(232231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数根 所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=∆a a a a a a a a a a 所以312231220a a a a a a =⇒=-因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得：12312131222213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。
评注：对已知等式进行整体观察，发现4a 是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。
例3、已知),0(,51cos sin πααα∈=+，则αcot 的值是__________。
分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。
解：由),0(,51cos sin πααα∈=+，知ααcos ,101,sin 成等差数列设公差是t ，则t t +=-=101cos ,101sin αα 由1)101()101(1cos sin 2222=++-⇒=+t t αα,解之得:107±=t又),0(πα∈,0,0101sin <>-=∴t t α107-=∴t 即53cos ,54sin -==αα,所以43cot -=α评注：也可将51cos sin =+αα同时平方得sin cos αα，进而得到57cos sin =-αα解方程组求解。
2、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。
运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。
它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。
例4、已知数列}{n a 的通项n a n 21=，n S 为其前n 项的和。
求证：n S n <证明：构造函数n nn f -++++=21...32122121)( 则112121...32122121)1(+-++++++=+n n n n f 两式作差得：nn n n n n n f n f ++-+=-+-+=-+11121)1(121)()1(因为n n n ++>+112，所以nn n ++<+11121即)()1(n f n f <+，则函数)(n f 在其定义域内是减函数又因为0)1()(,021121)1(<≤∴<-=-=f n f f ，即021...32122121<-++++n n，也就是n S n < 评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明0)(<n f ，即0)(max <n f例5、已知数列}{n a 中，11=a ，且点))(,(*1N n a a P n n ∈+，在直线01=+-y x （1）求}{n a 的通项公式； （2）求)2,(1...11*21≥∈++++++n N n a n a n a n n的最小值。
分析:(1)由等差数列的通项是关于n 的一次函数,易判断}{n a 是等差数列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式;(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解：（1）由题设11=a ，11=-+n n a a ，即n n a n =⋅-+=1)1(1 （2）构造函数n n n n n f ++++++=1...2111)( 则)1(21...3121)1(++++++=+n n n n f于是11111(1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++ )()1(n f n f >+∴，即函数N n n n f y ∈≥=,2),(是增函数故)(n f 的最小值是127221211)2(=+++=f 评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。
这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。
例6、已知等差数列}{n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A 、130 B 、170 C 、210 D 、260分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d dn a n +-,可以看成关于 n 的二次式函数,则n S n可以看成关于n 的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点30(,)m m 100(2,)2m m 3(3,)3m S m m就在同一条直线y an b =+上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210.选(C).例7、递增数列}{n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求λ.分析：2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是{}1,x x x N≥∈，要使函数2()f x x x λ=+为递增函数，即单调增区间为[)1,+∞,抛物线对称轴2x λ=-至少在1x =的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴2x λ=-在 1.5x =的左侧也可以，因为B 点可以比A 点高。
于是，322λ-<，得 3.λ>-例8、若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合*{|},n n n a b n N =∈的元素个数最多是（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4解析：数列是特殊的函数，等差数列{}n a 是直线上的点 且直线的斜率是公差，由0d >知，对应函数是增函数；等比数列{}n b 例9、已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比1q ≠，0n b >，若111111,a b a b ==，则（ ） A 、66a b = B 、66a b > C 、66a b < D 、6666a b a b ><或 解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B ；可推广至：(1,2,3......)i i a b i >= 例10、在等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，公差0d ≠。
（1）若,()n m a m a n m n ==≠，求m n a +；（2）若()m n S S m n =≠，求m n S +。
解析：（1）由1()n a dn a d =+-知n a 是关于n 的一次式则三点(,),(,),(,)m n m n m a n a m n a ++三点共线，故任意两点连线斜率相等 即()m n m n m a a a am n m n m+--=+--，解得0m n a +=（2）由211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-可知:n S 是关于n 的二次式，且无常数项 故可构造函数21()()22d d f x x a x =+- 由()m n S S m n =≠得()()f m f n =则2m nx +=是此函数的对称轴， 因此()(0)0f m n f +==，即0m n S +=另解：由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-得122n S d dn a n =+- 则n Sn大关于n 的一次式，所以三点(,),(,),(,)m n m n S S S m n m n m n m n +++共线利用任意两点连线斜率相等易求得0m n S +=。
例11、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足675S S S >>，下列结论不正确的是（ ） A 、0d < B 、110S > C 、120S < D 、130S < 解析：由675S S S >>可知760,0a a <>，故0d <； 由n S 有最大值，且与n S 相对应的二次函数的对称轴在区间1113(,)22内 又00S =，所以130S >，故选D 。
例12、在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和是n S 取最小值的n 等于_______。
解析：传统解法是13170a d +=得1173()03a d +=，再由95a a >知0d > 所以670,0a a ><，即6n =但若注意到等差数列中n a 是一次函数，则由一次函数的线性特征1212()()...()...()n nf x f x f x x x x f n n++++++=可知59750a a +=即755912120a ⨯+⨯=所以2030a =，又670,0a a ><得6n =例13、已知*1111...()23n S n N n=++++∈，定义211()n n f n S S ++=-，试确定m 的取值范围，使得对于大于1的自然数n ，不等式22111()[log (1)][log ]20m m f n m m ->--恒成立。