小学五年级下册数学奥数知识点讲解第2课不规则图形面积计算2试题附复习资料
五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》[1]
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第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。
例1：如下图（1），在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。
(1)(2)解法一：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。
这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。
所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法二：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。
阴影部分的面积是正方形面积的一半。
(3)(4)解法三：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。
阴影部分的面积是正方形的一半。
例2：如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理，S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD=4π×AB2×2－AB2=4π×42×2－42=16×（2π－1）≈16×2214.3-=9.12（平方厘米）。
例3：如下图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米。
求阴影部分的面积。
EB解：S阴景=S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD=41×π×62＋41×π×42－6×4=41×π（36＋16）－24=13π－24=15（平方厘米）（取π=3）例4：如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。
(沪教版)五年级下册数学讲义-第2讲面积的估测和自然数
（3）3 个连续的自然数的和是 45，这三个自然数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
例 8、判断。 （1）没有最大的自然数。 （ ） （2）最小的自然数是 1。 （ ） （3）任意 3 个连续的自然数，它们的和一定是 3 的倍数。 （ ） （4）自然数的个数是有限的。 （ ） （5）用 3、4、5 三张数字卡片组成三位数，一共可以组成 6 个不同的自然数。（ ）
自然数就是表示在生活中用来计数、编排次序、编码的数。每一个自然数都只有一个自 然数紧接在它的后面，自然数“n”后的一个自然数是“n+1”，最小的自然数是 0，没有最 大的自然数。
【典型例题】
例 1、想一想，填一填。
下面这个不规则的图形中完整的方格有（ ）块，大于或等于半格的方格有（ ）
块，所以这个图形的面积大约是（
例 6、四个自然数按从小到大的顺序排列，每相邻两个数的差是 3，如果第一个数是 a，那么
这四个数的和是（
）。
例 7、填空。
（1）在 1.57、2、2014、0、 99 、999.01 这些数中是自然数的有（ 100
）个。
（2）三个连续自然数的和是 42，这三个自然数分别是（
）。
（3）自然数有一个起点是（
）cm2，也可以这个图形看作一个三角形，那么三角
形的底是（
）cm，高是（
）cm，三角形的面积是（
）cm2，所以这个图形的
面积大约是（
）cm2。（每一小方格的面积是 1cm2）
随堂练习：想一想，填一填。（每一小方格的面积是 4cm2）
下面这个不规则的图形中完整的方格有（ ）块，大于或等于半格的方格有（ ）
【课后作业】 1、直接写得数。
5×2.4= 12.5+2.7+7.3-7.5= 2、解方程。 （1）3x÷4=2.4
小学奥数4-2-6 不规则图形的面积.专项练习及答案解析-精品
本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3 【考点】不规则图形的面积 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的面积．图1的面积是： 4(93)9375⨯++⨯=(平方厘米)．图2的面积是： (94)39475+⨯+⨯=(平方厘米)． (方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(49)(93)156+⨯+=(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(49)(93)9975+⨯+-⨯=(平方厘米)． 【答案】75平方厘米【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040例题精讲4-2-6.不规则图形的面积【解析】 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；302030403020304030203040图一 图二 图三方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米) 【答案】2600平方米【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．F【考点】不规则图形的面积 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD 的周长和面积可以求出．而正方形的边长1046GC DC DG AB DG =-=-=-=(厘米)，长方形的宽1064BE CE =-=-=(厘米)，所求图形的周长102624440=⨯+⨯++=(厘米) 面积1046676CEFG ABCD S S =+=⨯+⨯=正方形长方形(平方厘米)方法二：可以将线段GF 、DG 向外平移，得一个新的图形ABEH ，因为D G H F =，GF DH =，所以图形ABEH 的周长就是图形A B E F G D 的周长．而10AB BE ==(厘米)，所以图形ABEH 是边长为10厘米的正方形． 所求图形的周长=正方形ABEH 的周长10440=⨯=(厘米) 面积10106476ABEH DGFH S S =-=⨯-⨯=正方形长方形(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积． 【答案】76【巩固】求图中五边形的面积．6453【解析】由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长633-=，斜边等于5，所以另一直角边为4，所以矩形的长为448+=，五边形面积16843422⨯-⨯⨯=．【答案】42【例2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛、口试【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为280300242000⨯÷=（）(平方厘米)．【答案】42000【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】先求出大三角形的两条直角边都是208160⨯=(厘米)，因此大三角形的面积为160160212800⨯÷=(平方厘米)；8个小三角形的面积为2020281600⨯÷⨯=(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800160014400+=(平方厘米)．【答案】14400【例3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1622][822]7321-÷⨯-÷=⨯=（）（）(平方米)方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1682168222]412844421⨯-⨯+⨯-⨯÷=-÷=（）（）(平方米)方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示：[16282]484421-⨯-÷=÷=（）（）(平方米) 【答案】21【例 4】 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加21⨯平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3221924⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】24【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)． 【答案】140【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037-=(厘米)，面积为7102217+⨯÷=()(厘米2). 所以，阴影部分的面积是17平方厘米。
五年级奥数圆与扇形(二)教师版
五年级奥数圆与扇形（二）教师版圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长,主要求面积．一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”)板块二 曲线型面积计算【例 1】 如图,已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍,则角CAB 的度数是________．例题精讲圆与扇形DCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设半圆ADB 的半径为1,则半圆面积为21ππ122⨯=,扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯,所以,22ππ23603n ⨯⨯=,得到60n =,即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】 如下图,直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7,分别以,B C 为圆心,2为半径画圆,已知图中阴影部分的面积是17,那么角A 是多少度(π3=)67CB【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=,根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.【答案】60度【例 3】 如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415,是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=,则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为4225 15ππ154÷=,而2251515422=⨯,所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例 4】有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图),此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补,可得到6个角的和是360︒,所以BC弧所对的圆心角是60︒,6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【答案】45【例 5】如图,边长为12厘米的正五边形,分别以正五边形的5个顶点为圆心,12厘米为半径作圆弧,请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图,点C是在以B为中心的扇形上,所以AB CB=,同理CB AC=,则ABC∆是正三角形,同理,有CDE∆是正三角形．有60ACB ECD∠=∠=,正五边形的一个内角是1803605108-÷=,因此60210812ECA∠=⨯-=,也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分,这样相同的圆弧有5个,所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例 6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小,得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半,所以每个小圆的面积等于大圆面积的14,则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分,未覆盖的部分为黑色部分,所以这两部分面积相等,即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例 7】 如图,大圆半径为小圆的直径,已知图中阴影部分面积为1S ,空白部分面积为2S ,那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线,小圆内部的阴影部分可以填到外侧来,这样,空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ,则222S r =,2212S r r π=-,所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法,一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍,半径也是3倍,小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==,小圆面积13649=⨯=,7个小圆总面积4728=⨯=,边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】 如图,若图中的圆和半圆都两两相切,两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦,所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见,阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积,再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积),所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍,所以其面积为小圆的239=倍,那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭． 【答案】2.5【例 10】 如图所示,求阴影面积,图中是一个正六边形,面积为1040平方厘米,空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知,现在关键是小扇形面积如何求,有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得,需要知道半径和扇形弧的度数,由已知正六边形每边所对圆心角为60°,那么120AOC ∠=︒,又知四边形ABCO 是平行四边形,所以120ABC ∠=︒,这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米),阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【答案】412【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,AC CD DB ==,M 是CD 的中点,H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点,半圆的面积等于12平方厘米,则图中阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示,连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点,M是CD的中点,H是弦CD的中点,可见这个图形是对称的,由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等,所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半,而扇形COD的面积又等于半圆面积的13,所以阴影部分面积等于半圆面积的16,为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图,C、D是以AB为直径的半圆的三等分点,O是圆心,且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图,连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点,所以AOC∆和COD∆都是正三角形,那么CD与AO 是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等,那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积,为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例 12】如图,两个半径为1的半圆垂直相交,横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心,求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)O【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差,可以先分别求出两块阴影部分的面积,再计算它们的差,但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差,可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形,再求剩余图形的面积．如右图所示,可知弓形BC 或CD 均与弓形AB 相同,所以不妨割去弓形BC ．剩下的图形中,容易看出来AB 与CD 是平行的,所以BCD ∆与ACD ∆的面积相等,所以剩余图形的面积与扇形ACD 的面积相等,而扇形ACD 的面积为260π10.5360⨯⨯=,所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【答案】0.5【例 13】 如图,两个正方形摆放在一起,其中大正方形边长为12,那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：设小正方形的边长为a ,则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ,设AF 与CD 的交点为M ,由于四边形ACDF 是梯形,根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△,所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图,两个正方形边长分别是10和6,求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积,那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积,为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的,于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等,那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和,也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和,为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】 如图,ABC 是等腰直角三角形,D 是半圆周的中点,BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==,那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接PD 、AP 、BD ,如图,PD 平行于AB ,则在梯形ABDP 中,对角线交于M 点,那么ABD ∆与ABP ∆面积相等,则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=； 弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】 图中给出了两个对齐摆放的正方形,并以小正方形中右上顶点为圆心,边长为半径作一个扇形,按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接小正方形AC ,有图可见ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =,∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形,14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】 如图,图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设最小圆的半径为r ,则三种半圆曲线的半径分别为4r ,3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=,空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=,则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11． 【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图,一个五环图是由内圆直径为6厘米,外圆直径为8厘米的五个环组成,其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等,已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米,求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)；⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)．【答案】4.1【例 18】 已知正方形ABCD 的边长为10厘米,过它的四个顶点作一个大圆,过它的各边中点作一个小圆,再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么,图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 39.25 【答案】39.25【例 19】 如图,ABCD 是边长为a 的正方形,以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆,求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBADCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形,不能直接通过面积公式求解,观察发现阴影部分是一个对称图形,我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图,这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形,我们可以求得,()4S S S =⨯-阴影半圆三角形21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图,正方形ABCD 的边长为4厘米,分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)D BA DBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题可知,图中阴影部分是两个扇形重叠的部分,我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样,我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积,所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形,4cm AC =,2cm BC =,求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差,所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )． 【答案】3.85【例 21】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米,盖住桌面的总面积是144平方厘米,3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影,所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米） 【答案】72【例 22】 如图所示,ABCD 是一边长为4cm 的正方形,E 是AD 的中点,而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ,以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点,若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数),请问m n +之值为何？S 2S 1G HFE DC B AS图1S 2S 1G HF E DCB A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDE S =⨯=,21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm ),21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm ),而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm ),所以3m =,8n =,3811m n +=+=．(法2)如右上图,1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm ), 24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm ),所以,12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm ),故3811m n +=+=．【答案】11【巩固】在图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形,再扣除一个长方形中的不规则白色部分,而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分,那么它们的差应为大扇形减去小扇形,再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=． 【答案】1.42【例 23】 如图,矩形ABCD 中,AB =6厘米,BC =4厘米,扇形ABE 半径AE =6厘米,扇形CBF的半径CB =4厘米,求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：观察发现,阴影部分属于一个大的扇形,而这个扇形除了阴影部分之外,还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上,求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积,因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ,所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米),再从扇形ABE 中考虑,让扇形ABE 减去ABFD 的面积,则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=． 【答案】41.04【巩固】如右图,正方形的边长为5厘米,则图中阴影部分的面积是 平方厘米,(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD分割出来的,分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便,我们发现如果能求出左下边空白部分的面积,就很容易求出阴影部分的面积了,我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积,那么我们的思路就很清楚了． 因为45ADB ∠=︒,所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米),那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米),又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米),所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．【答案】7.125【例 24】 如图所示,阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)333【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如右上图,虚线将阴影部分分成两部分,分别计算这两部分的面积,再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】 已知右图中正方形的边长为20厘米,中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心,求阴影部分的面积．(π3=)O3【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等,可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积,等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积,再减去角上的小空白部分的面积,为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米),所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)．【答案】150【例 26】 一个长方形的长为9,宽为6,一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动,在长方形内这圆无法运动到的部分,面积的和是_____．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角,而圆在角处运动时的情况如左下图,圆无法运动到的部分是图中阴影部分,那么我们可以先求出阴影部分面积,四个角的情况都相似,我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积,所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来,则阴影如右上图所示,则阴影面积为222311⨯-⨯=【答案】1【例 27】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米,求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形,所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出,阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差． 由于半圆的面积为62.8平方厘米,所以262.8 3.1420OA =÷=． 因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形,所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以,阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)．【答案】5.7【例 28】 如图,等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心,EF 为圆弧,组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形,AEF 是扇形,所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度,则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等,即11010502S =⨯⨯=扇形,则圆的面积为508400⨯=【答案】400【例 29】 如图,直角三角形ABC 中,AB 是圆的直径,且20AB =,阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求BC 长．(π 3.14=)乙甲A【考点】圆与扇形【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形,单独对待它们无法运用面积公式进行处理,而解题的关键就是如何把它们联系起来,我们发现把两块阴影加上中间的一块,则变成1个半圆和1个直角三角形,这个时候我们就可以利用面积公式来求解了． 因为阴影甲比阴影乙面积大7,也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=,则直角三角形的面积为157-7=150,可得BC =2⨯150÷20=15． 【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形,阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ,8cm AB =,求BC 的长度．I IAB C I【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ,根据差不变原理,直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ,则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm ), BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】 如图,三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米,AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图中半圆的直径为AB ,所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628,又②-①28=,所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】 图中的长方形的长与宽的比为8:3,求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】十三分,入学测试题 【解析】 如下图,设半圆的圆心为O ,连接OC ．从图中可以看出,20OC =,20416OB =-=,根据勾股定理可得12BC =． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积,为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】 如图,求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图,图中阴影部分为月牙儿状,月牙儿形状与扇形和弓形都不相同,目前我们还不能直接求出 它们的面积,那么我们应该怎么来解决呢？首先,我们分析下月牙儿状是怎么产生的,观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分,再分析可以知道,两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分,那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅ =6【答案】6【例 32】如图,直角三角形的三条边长度为6,8,10,它的内部放了一个半圆,图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】S S S=-阴影直角三角形半圆,设半圆半径为r,直角三角形面积用r表示为：6108 22r rr ⨯⨯+=又因为三角形直角边都已知,所以它的面积为168242⨯⨯=,所以824r=,3r=所以1249π=24 4.5π2S=-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圆半径为R,小圆半径为r,两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点,半径R 为边长作一个正方形：再以O为顶点,以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米,求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期,期中测试,第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积,但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积,也就是2250R r-=平方厘米,那么环形的面积为：2222πππ()π50=157R r R r-=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm,求圆环的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设大圆半径为R ,小圆半径为r ,依题有222522R r -=,即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】 已知图中正方形的面积是20平方厘米,则图中里外两个圆的面积之和是 ．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学,考题 【解析】 设图中大圆的半径为r ,正方形的边长为a ,则小圆的直径等于正方形的边长,所以小圆的半径为2a,大圆的直径2r 等于正方形的对角线长,即222(2)r a a =+,得222a r =．所以,大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =,所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =,所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)．【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米,则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中大圆的半径为r ,正方形的边长为a ,则小圆的直径等于正方形的边长,所以小圆的半径为2a,大圆的直径2r 等于正方形的对角线长,即222(2)r a a =+,得222ar =．所以,大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===, 即大圆的面积是小圆面积的2倍,大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)．【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ,小正方形的面积是 ．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为b ,由于圆的直径等于大正方形的边长,所以圆的直径为a ,而从图中可以看出,圆的直径等于小正方形的对角线长,所以22222ab b b =+=,故2212b a =,即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆,如图所示．已知最小圆的半径为1cm ,请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔,复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积,也就是2π1222π2⨯-⨯÷=-．内圆的直径为中部正方形的边长,即为2,中部正方形的对角线等于中圆的直径,于是中圈阴影部分面积是22π(22)4222π4⨯+÷-⨯=-． 中圆的直径的平方即为外部正方形的面积,即为22228+=,外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方,即为8216⨯=,所以外圈阴影部分的面积是π16484π8⨯÷-=-．所以阴影部分的面积是227π1471487-=⨯-=(平方厘米)．【答案】8【例 35】 图中大正方形边长为6,将其每条边进行三等分,连出四条虚线,再将虚线的中点连出一个正方形(如图),在这个正方形中画出一个最大的圆,则圆的面积是多少？(π 3.14=)。
第2讲多边形的面积苏教版2
第2讲多边形的面积知识点一：平行四边形的面积1.运用转化法计算图形的面积：一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。
二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。
2.把平行四边形转化成长方形的方法：沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后，通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。
3.平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=a ×h。
知识点二：三角形的面积1.三角形和平行四边形之间的关系：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面积×2。
2.三角形的面积计算公式：三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。
三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=a×h÷2。
知识点三：梯形的面积1.梯形面积计算中的“转化”：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半，也就是：梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。
2. 梯形的面积：梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2。
用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。
知识点四：认识公顷公顷的认识：测量或计量土地面积，通常用公顷作单位，公顷可以写成hm²。
边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
公顷和平方米之间的进率是10000，1公顷=10000平方米。
知识点五：认识平方千米平方千米的认识：测量或计量大面积的土地，通常用平方千米作单位。
平方千米可以写成km²。
边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。
五年级奥数专题 直线型面积计算(学生版)
学科培优 数学“直线型面积计算”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位本讲讲解已经学过的几种基本平面几何图形：正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形等的相关面积计算方法,是几何问题中的常见常考内容。
知识梳理一、 基本平面图形的计算公式【授课批注】在复习学校所学基本面积公式的同时也顺带复习周长的公式,这些知识点在具体题目中都可能用到。
二、 重要模型模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：bs 2s 1即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
S 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2【授课批注】因为四年级还没学过比例,所以在讲用比所表示的模型时可使用份数这个概念,学生更容易理解。
对于部分学有余力的学生可以先讲比例再直接引入上面的关系式。
【重点难点解析】1．等底或等高的三角形的面积关系2．长方形或平行四边形与同底等高三角形的面积关系 3. 三角形内不规则图形部分的面积计算【竞赛考点挖掘】1. 基本几何图形的面积计算2. 三角形中底和高与面积的关系3. 四边形对角线所分成的四个三角形的面积关系S 4S 3s 2s 1ba S 4S 3s 2s 1O DCB A例题精讲【试题来源】【题目】图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍, EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【试题来源】【题目】如图16-4,已知．AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【试题来源】【题目】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】左下图是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如右下图,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么右下图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?习题演练【试题来源】【题目】如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12,已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】图中ABCD是梯形,三角形ADE面积是1．8,三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【试题来源】【题目】如图,梯形ABCD的上底AD长为3厘米,下底BC长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,BD,CF将长方形ABCD分成4块,红色三角形面积是4平方厘米,黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．【试题来源】【题目】如图,一个正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是110平方米、15平方米、3 10平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?【试题来源】【题目】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】如图,长方形被其内的一些直线划分成了若干块,已知边上有3块面积分别是13,35,49．那么图中阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】在右图的△ABC中,CE=2AE,BD=3DC,已知△DEC的面积是4cm2,求△ABC的面积。
小学奥数4-2-6 不规则图形的面积
4-2-6.不规则图形的面积例题精讲本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)499349934993 4993图1图2图3【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的面积．图1的面积是： 4(93)9375(平方厘米)．图2的面积是：(94)39475(平方厘米)．(方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(49)(93)156(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(49)(93)9975(平方厘米)．【答案】75平方厘米【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)40303020【解析】这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；403030202030204030303040图一图二图三（3040）120014002600(平方米)方法一：如图一，304020（2030）60020002600(平方米)方法二：如图二，203040（4030）（2030）303035009002600(平方米)方法三：如图三，【答案】2600平方米【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD是由一个长方形ABCD及一个正方形CEFG拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD的周长和面积．A D4 10A D410HFEG C FEGC【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD的周长和面积可以求出．而正方形的边长GC DC DG AB DG1046(厘米)，长方形的宽BE CE1064(厘米)，所求图形的周长102624440(厘米)面积S长方形ABCD S正方形CEFG1046676(平方厘米)方法二：可以将线段GF、DG向外平移，得一个新的图形ABEH，因为D G H F，GF DH，所以图形ABEH的周长就是图形ABEFGD的周长．而AB BE10(厘米)，所以图形ABEH是边长为10厘米的正方形．所求图形的周长正方形ABEH的周长10440(厘米)面积S正方形ABEH S长方形DGFH10106476(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积．【答案】76【巩固】求图中五边形的面积．B10B103645【解析】由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长633，斜边等于5，所以另一直角边为4，所以矩形的长为448，五边形面积1684342．2【答案】42【例2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛、口试【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，（280300）242000(平方厘米)．它的面积恰好是所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为【答案】42000【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】先求出大三角形的两条直角边都是208160(厘米)，因此大三角形的面积为160160212800(平方厘米)；8个小三角形的面积为2020281600(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800160014400(平方厘米)．【答案】14400【例3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？2米2米8米2米2米8米【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；[162）2]（[82）2]7321(平方米)每一块地的面积是：（方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[168（2168222）]4（12844）421(平方米)16米16米方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示：（[162）（82）]484421(平方米)【答案】21【例4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加21平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3221924(平方厘米)．【答案】24【例5】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.20－55820820【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20520)82140(平方厘米)．【答案】140【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.ADBO32ECF【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037(厘米)，面积为2(710)2217(厘米).所以，阴影部分的面积是17平方厘米。
新课标小学数学五年级下册《不规则图形的面积》教材说明及教学建议
《不规则图形的面积》教材说明及教学建议【教材说明】这部分内容主要引导学生探索简单组合图形的面积计算方法和不规则图形的面积估计方法。
编排这部分内容的主要目的，一是为了帮助学生进一步丰富对平面图形面积计算方法的理解；二是为了促进学生进一步提高应用所学知识解决问题的能力，积累“图形与几何”的学习经验。
教材一共安排两道例题。
例10教学简单组合图形的面积计算。
教材首先呈现华丰小学校园里一块草坪的平面图，要求学生计算这块草坪的面积，同时提醒他们：“你准备怎样算？与同学交流”，引导他们把重点放在解决问题方法的探索上。
接着，教材呈现学生相互交流的场面，突出计算这个多边形的面积时，或者把它分成两个简单图形，求出这两个简单图形的面积之和；或者把它补成一个简单图形，再求出这个简单图形与另一个相关图形的面积之差。
在此基础上，组织学生围绕图形割补的过程进行反思，进一步突出方法选择的思考过程，以及解决问题时需要注意的地方。
这样的活动，不仅能给学生综合应用学过的各种面积公式提供机会，而且凸显了“图形转化”这种计算多边形面积的基本策略。
随后的“练一练”，要求学生利用初步掌握的基本方法计算校园里花圃的面积，有利于他们进一步加深对上述方法的理解，提高计算不同多边形面积的能力。
例11教学用数方格的方法估计不规则图形的面积。
教材的编排有两个明显的特点：一是注意引导学生采用不同的估计方法，可以只数整格的个数；也可以把不满整格的都当成整格来计数；还可以分别数出整格和不满整格的个数，并把不满整格的都按半格来计算。
二是引导学生通过不同估计方法的比较，初步体会确定上、下界对于面积估计的意义和价值。
随后的“练一练”让学生应用上面学到的方法估计一片树叶和自己手掌的面积，有利于他们进一步掌握方法，锻炼动手实践和解决实际问题的能力。
练习四一共安排了9道题，大体分为三段：第一段是第1、2题，主要帮助学生巩固简单组合图形面积的计算方法；第二段是第3～8题，主要让学生联系简单组合图形面积的计算方法解决一些实际问题；第三段是第9题，引导学生通过实践活动进一步巩固不规则图形面积的估计方法。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 圆与扇形
课外知识
唐老鸭卖鸭蛋
唐老鸭开起小店卖鸭蛋了。
第一天，小狐狸拿一元钱买了一个鸭蛋，唐老鸭找给他2张钞票；第二天，小狐狸又拿了一元钱买了同样的两个鸭蛋，唐老鸭又找给他2张钞票；第三天，小狐狸又拿了一元钱买了同样三个鸭蛋，还是找回2张钞票；第四天，小狐狸还是拿了一元钱想买4个同样鸭蛋，可是这回唐老鸭说小狐狸的钱不够了。
第二讲圆与扇形
内容概述
这一讲我们一起研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
基本公式：
圆的面积=πr2，圆的周长=2πr；
例题精讲
【例1】 数学小组的同学们正在热烈的研究圆和扇形之间到底有什么关系？亲爱的小朋友，你能够帮助他们吗？
则阴影部分的面积为= ；
法2：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是1/4圆减去三角形的面积，所以
阴影部分面积= 。
【例5】（06年实验中学培训试题）如右图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π取3）
分析：这道题目是很常见的面积计算问题。我们只需要在图形上添加两条辅助线就明了了，如下右图。
【例6】 （05年12月人大附中选拔内测题）求右图中阴影部分的面积。（π取3）
分析：如下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于下右图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差，即： 。切割，拼移补齐是我们求不规则图形面积的常用手段。
五年级数学上下册知识点
五年级数学上下册知识点第一课：认识负数（情景导入，海拔和温度计的导入）1、0是正数和负数的分界点，0既不是正数，也不是负数.写正数时，它前面的“+”可以省略不写.写负数时，它前面的“—”要写上.正数都大于0，负数都小于0.正负数表示相反的意思.第二课：平行四边形面积的计算（转化思想）1、不规则图形——转化（剪移拼）——长方形、正方形，再由长方形的面积等于长×宽）2、只要沿平行四边形的高剪开，通过平移、拼合，就可以把它转化为长方形.转化成的长方形面积就是原来的平行四边形的面积3、长方形的面积=长×宽————转化为平行四边形的面积=底×高用字母S表示长方形的面积，a表示底，b表示高.S=a×b第三课：三角形面积的计算1、数方格的方法，用平行四边形的面积÷2，探究为什么可以用平四边形的面积÷22、平行四边形可以分成两个完全一样的三角形，反过来，两个完全一样的三角形可以像这一拼成平行四边形，一个三角形的面积就是平行四边形的一半.3、转化：三角形---平行四边形4、动手实验，推导公式三角形的面积=底×高÷2（S=ah÷2）5、总结：我们用转化的办法推导三角形面积计算公式，得到十分重要的体会，一是转化是学习新知识很重要、很有用的办法，二是动手操作可以帮助我们发现数学知识和方法，三是联系旧知识学习新内容，也是重要的经验.第四课：梯形面积的计算1、激活经验，引入新课（图形转化比较联系发现算法）梯形画出高并板书上底下底，用字母分别表示上底下底a，b，高是h）2、把两个完全一样的梯形拼成已经学过的平行四边形，发现这时平行四边形的底是梯形的上底加上下底，高还和原来一样，真正要求的梯形是此时平行四边形的一半，所以要除以2.S=（a＋b）×h÷23、我们推导梯形面积的计算公式，就是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，按照推导过程，平行四边形面积的一半就是每个梯形的面积.第五课：公顷的认识1、先复习单位面积，边长是1厘米的正方形面积是1平方厘米，边长是1分米的正方形面积是1平方分米，边长是1米的正方形面积是1平方米.填充一些具体的事物，具体用哪些面积单位.2、引出公顷，日常生活和生产实践中，测量或计量土地的面积.通常用公顷作单位，用字母hm的².3、边长是100米的正方形土地，面积是1公顷.1公顷=10000平方米4、理解公顷到底有多大，先展示学校的教室占地50平方米.200个50平方米等于1公顷第六课：认识平方千米1、回顾旧知，1公顷=10000平方米2、引出新知，像四川九寨沟和杭州西湖这些地方都非常大，用公顷已经不太方便了，需要更大的面积单位.在测量和计算大面积的土地时，通常用平方千米作单位.用字母表示km².3、边长是1000米的正方形土地，边长就是1平方千米，1000×1000=1000000平方米；1000000平方米=1公顷，1平方千米=100公顷（板书1平方千米=1000000平方米=100公顷）第七课：不规则图形面积计算1、下面图形你知道它的面积吗？通过直接数方格得到图形面积，可以先分一分，再数一数.2、引导学生用下列不同的方法数一数；（1）可以只数平面图中整格的，这样结果会比实际面积小（只数整格的）（2）可以把不满整格的也当作整格数，这样结果会比实际面积大（全当做整格数）（3）可以先数整格的，再数不满整格的，不满整格的作半格算，这样结果和实际面积比较接近.（先数整格的，再数半格的）3、小结：用只数图形里面所有的整格的结果比实际小；把半格的全当做整格数，结果比实际面积大；用先数整格、再数半格的方法，结果和实际面积比较接近.所以不规则图形面积可以用上面的方法先找出实际面积在哪个范围内，在估计接近多少或大约是多少.第八课：小数的意义和读写法1、激活已有知识，一位小数表示的是十分之几，为了进一步了解和认识小数，今天我们进一步学习小数的意义，了解更多的小数表示什么意思.2、回顾一位小数，一分米等于几分之几米，写成小数是多少？三分米呢？小数部分是一位小数叫作一位小数.十分之几可以写成一位小数，一位小数表示十分之几.（板书：一位小数表示十分之几）3、认识两位小数，出示米尺，一米是多少厘米，1米等于100厘米，每份是1厘米，是1米的1/100,也就是1/100米.写成小数是0.01米.再说4厘米是4/100米，4/100米写成小数是0.04米.（4/100米是0.04米，12/100米是0.12米）4、像这样的小数叫作两位小数，我们发现几厘米就是一百分之几米，一百分之几可以写成两位小数，两位小数表示一百分之几）5、认识三位小数，1毫米（1/1000）是几分之几米？40毫米(40/1000)、105毫米(105/1000)呢？40/1000写成小数是0.040米，105/1000写成小数是0.105米.（三位小数表示一千分之几）6、总结：分母是10、100、1000....的分数可以用小数表示.一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几.....这就是小数的意义.第九课：小数的计数单位和数位顺序表1、复习旧知，读出下面的小数，并说出几分之几.（0.39、0.45、0.06、0.6、0.205）2、复习整数数位.让学生从左往右按顺序说说整数的数位及各位数的技术单位，相邻计数单位的进率.说出下列各数的组成，673，2438、85、30072 3、我们以前认识过整数的数位顺序，各数位上的计数单位及相邻计数单位间的进率.我们学习了小数，也要认识小数的数位和计数单位，根据数位和计数单位认识小数的组成.4、一个图形表示整数“1”，这1里面就有10个0.1，在看0.1里面正好有10个0.01，反过来，10个0.1是1，10个0.01是0.1.（板书：1里面有10个0.1，0.1里面有10个0.01）5、根据小数的意义，小数点右边第一位表示十分之几，这一位是十分位，计数单位是十分之一，就是0.1，右边第二位表示百分之几，这一位就是百分位，计数单位是百分之一，就是0.01，按照这样的规律，小数点右边的第三位表示千分之几，这一位就是千分位，计数单位是千分之一，就是0.001（板书：十分位0.1百分位0.01千分位0.001）6、344.725这个数，整数部分和过去整数一样读，小数部分按顺序读出7、2、5这三个数字.这个数是由344个一和7个十分之一，2个百分之一，5个千分之一组成的.第十课：小数的性质1、复习小数，引入新课（1元=（）角=（）分），0.3里面有（）个0.1，0.30里面有（）个0.012、比较发现，认识性质，0.3元=0.30元=3角.用不同方法比较，发现0.3=0.303、根据小数的性质，只有去掉小数末尾的“0”，小数大小才不变.一般情况下，可以去掉小数末尾的“0”使小数变得简单一些，这就是小数的化简.（板书：小数化简）2.4=2.40，4.00=44、根据小数的性质，可以在小数末尾添“0”，把小数改写成指定位数的小数，这是小数性质的另一种应用.（板书：小数改写）第十一课：比较小数的大小1、引入新课（423和432 234和243 324和324）比较整数大小，要从高位起一位一位比，比到哪一位大这个数就大.2、下面哪些数相等，哪些不相等，口答（3.4 0.05 0.5 3.400 0.350.50 3.40 ）引出根据小数的性质，可以找到相等的小数，那么不相等的小数怎么比较大小呢3、比较小数的大小，也从高位比起，先比整数部分，整数部分大的数比较大，整数部分相同，十分位大的比较大，十分位相同，百分位大的比较大，也就是依次比较十分位，百分位....上的数第十二课：用“万”“亿”作单位的小数1、复习导入，大数改写，（把下列各数改写成以万和亿作单位的数380000，70300000，7500000000，1400000000）2、把一个数改写成以万作单位的数，整数部分表示的应该是多少个万.数万级上表示38万，改写后整数部分应该是38，所以改写方法和以前类似，只要在万位右面点上小数点，数的后面添上“万”字.当小数末尾是“0”时，应当化简.（板书：384400=38.44万）3、把一个数改写成用亿作单位的数，只要在亿位的右边点上小数点，数的后面添上“亿”字.改写的时候能化简的要化简.4、用万、亿作单位的小数改写方法：（1）要在原数的万位或亿位后面点上小数点（2）要在改写后的小数后面添上万或亿，改写成的小数如果末尾有0，要化简（3）如果原数的位数不够，改写时要用0补足.57910000千米第十三课：求小数的近似值1、激活经验，写出下面各数的近似值.我们已经学过求一个整数的近似数，知道求近似数要看应保留数位的后一位，用四舍五入的方法确定近似数.今天利用这样的方法求小数的近似数.2、精确到十分位就是保留几位小数，求近似数要看小数的哪一位？1.496亿千米保留到十分位的近似数是多少？（1.496亿千米≈1.5亿千米）精确到十分位的近似数就是保留一位小数，只要看百分位上的数.百分位上的“9”大于5，所以向十分位进1，得1.5亿是1.496亿的近似数，所以用≈连接. 3、求小数的近似数，先要明确保留几位，再看要保留位数的后一位上的数字，用四舍五入的方法求出近似数.对于近似数末尾有“0”的，不能去掉末尾的“0”，因为它表示了近似数的精确程度.4、把一个数改写成“万”或“亿”作单位的数，原数的大小不变，只要在正确的位置上点上小数点，原来数位上的数不变，一个数的近似数也可以表示成“万”“亿”为单位的数，但要用四舍五入的方法得出相应的结果. 5、改写与精确区别：改写时大小不改变，用“=”；精确时得到的是近似数，用“≈”第十四课：小数加减法1、你能用竖式计算“4.75+3.4”吗？计算小数加法时要注意什么？（引导说出小数加法计算的方法，板书：小数点对齐从末尾加起）小结：用竖式计算小数加法时，要把两个加数的小数点对齐，然后把相同数位上的数分别相加.2、计算小数加减法，先把小数点对齐，再从最低位算起，得数的小数点和横线上的小数点对齐.小数加减法和整数加减法都是要把相同数位对齐，从末尾算起，也就是要把相同数位上的数相加减，不同是计算小数加减法，最后要在结果中对齐横线上的小数点位置点上小数点.（点上小数点）第十五课：小数乘整数、小数除以整数1、引出小数乘整数.学生探究0.8×3并交流想法.（1）用加法算，0.8+0.8+0.8=2.4 (2)换成角算，0.8元是8角，8×3=24角，24角是2.4元.（3）联系小数的意义画图推算：0.8里面有8个0.1，3个0.8就是24个0.1，也就是2.4（4）用竖式笔算2、学习笔算方法：小数乘整数可以用竖式笔算.再列竖式时，可以把末位对齐.3、小数乘整数，先按整数乘法计算，再看乘数里有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点.（板书：乘数几位小数，积也是几位小数）第十六课：一个数乘10、100、1000....的计算规律1、一个小数乘10、100、1000......小数点就分别向右移动一位、两位、三位....反过来，把小数点向右移动一位、两位、三位就等于把这个小数乘10、100、1000.....这就是小数点移动引起的小数大小变化规律.2、注意：当移动小数点但末尾数位不够时，可以用添“0”的办法补足数位.过去一个整数乘10就在末尾添1个“0”，乘100就在末尾添2个“0”，实际是符合现在这个规律的.第十七课：除数是整数的小数除法1、激活经验，引入新课96÷3 432÷4 除法笔算，要从最高位算起，除到哪一位，商就写在那一位上，哪一位不够商1要商0，每次余数都要比除数小.2、9.6÷3（1）化成“角”计算：9.6元=96角.96角除以3得32角，32角=3.2元（2）9元和6角分别计算：9.6元分成9元和6角.（板书：9÷3=3元，6÷3=2角，3元+2角=3元2角=3.2元）3、引导笔算，初认方法.除数是整数的小数除法，可以按整数除法算，商的小数点和被除数的小数点对齐.一般算出各位数上的商之后，就点上小数点，防止遗忘，然后再接着往下算.4、计算小数除法，商不满1，整数部分应该写0.所以计算小数除法，如果整数部分不够商1就在个位先商0，并点上小数点，再计算小数部分的商.5、除数是整数的小数除法，按整数除法算，商的小数点和被除数对齐，末尾有余数添0继续除，整数部分不够商1在个位商0.第十八课：一个数除以10、100、1000的计算规律1、一个小数除以10、100、1000，小数点就分别向左移动一位、两位、三位.....反过来，把一个数的小数点向左移动一位，两位，三位....就等于把这个小数除以10、100、1000，这就是小数点移动引起的小数大小变化的另一条规律.2、如果当移动小数点数位不够时，可以用添“0”补足数位.整数实际上就是小数部分都是0的数，同样可以用这个规律求商.过去一个整十、整百数除以10或100，就在末尾去掉1个0或2个0，实际上和现在这个规律是一致的.3、把低级单位的数换算成高级单位的数，要除以进率.当进率是10、100、1000时，只要应用小数点移动引起小数大小变化的规律，直接向左移动小数点.第十九课：小数乘小数1、激活经验，导入新课.在计算小数乘法时，我们可以先看作整数乘，一个因数扩大10倍，另一个因数扩大10倍，积就扩大100倍，要得到原来的积，可以把整数的积除以100.实际上，乘数一共是两位小数，应得到的积就相当于乘100，所以把整数积再除以100，积里也是两位小数.右边小数看作整数乘的过程我们一般放在心里，不写出来.2、小数乘小数先按照整数乘法乘，再看整数里一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点.要注意积的末尾有0的，要先点小数点，再化简.3、按整数乘法计算后在积里点小数点时，位数不够的，在前面用0补足.（小数位数不够用0补足）第二十课：积的近似值1、求积的近似值，先计算乘法的积，根据要保留的位数看后一位上的数，用四舍五入的方法得出级的近似数，结果是近似值，要用≈表示.第二十一课：除数是小数的除法1、复习引入（2.4÷2 0.42÷6 1.2÷3）2、探究7.98÷4.2的结果，解法一:7.98元=79.8角=798分，4.2元=42角=420分，所以7.98÷4.2=798÷420 解法二:79.8÷42 把79.8÷42转化为79.8除42 解法三：798÷4202、优化方法，计算除数是小数的除法时，我们一般只要把除数转化成整数就行了，被除数不一定是整数.3、计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数，再看除数的小数点向右移动了几位，被除数的小数点也向右移动几位，然后按除数是整数的除法法则进行计算.4、形成技能，内化算法.除数是小数的计算，当被除数小数位数少于除数小数位数时，要先把除数转化为整数，把除数转化成整数后，被除数的小数点也要向右移动相同位数，如果位数不够，要用0补足，再按被除数是整数的计算方法进行计算.第二十二课：商的近似值1、四舍五入法，2、去尾法：所以我们计算到个数看出余数不够再买一个时，不管后一位商能的几，都要把这个余下的尾数舍去，按这一位的商求出近似值.3、进一法：像这样求得的商，不管余数是几，根据具体问题都需要在保留的商上再加1.第二十三课：小数的四则混合运算1、口算练习:4.8÷0.16 4.2÷0.02 2.9÷0.01 0.81÷0.272、说说计算顺序25×4+32×2 99÷（85—52）3、说说怎样比较简便25×7 ×4 35+78+65 102×324、小数四则混合运算的顺序和整数相同，也是在没有括号的算式里要先算乘、除法，有括号的算式里要先算括号里的，再算括号外面的.5、小数四则混合运算，能根据运算律或规律在计算中凑成整数用口算算出得数的，就可以应用运算律或规律用简便方法计算.所以计算时先观察：一看算式特点，能不能应用算式律计算；二看数的特点，能不能用规律计算时凑成像1、0.1这些便于口算的数，或者是整数、整十、整百这样能使计算简便的数.如果满足这样的要求，就可以用简便方法算.第二十四课：复式统计表、复式条形统计图第二十五课：用字母表示数1、创设情境，扑克，引出用字母有时可以表示特定的数2、a可以表示任何自然数.正方形周长C=4a 正方形面积=a²3、如果一些题目中的条件使用字母表示的，我们就用含有字母的式子来表示要解决的问题，当告诉你字母的具体数值时，我们就要按照学过的格式把数代入式子，计算出式子的数值五年级数学下册第一课：等式和方程的含义1、认识天平，导入新课.认识等式，含有等号的式子叫作等式，它表示等号两边的结果是相等的2、像x+50=150，x+x=200，2x=200这样含有未知数的等式是方程，方程一定是等式，等式不一定是方程第二课：用等式性质解方程1、等式的两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式.2、使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，求方程解的过程叫做解方程1、X+10=50解：x+10-10=50-10 x=40 检验：把x=40代入原方程，左边40+10=50，右边=50 左边=右边，所以x=40是原方程的解2、等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得的结果仍然是等式（等式性质）3、40x=960 40x÷40=960÷40 x=24 检验，把x=24代入原方程，左边，右边，左边=右边，所以x=24是原方程的解4、可以根据等式的性质，在左右两边加上或减去同一个数，或者同时乘或除以同一个不是0的数，使左边只剩下x，就可以求出方程的解.检验方程的解是否正确，只要把求出方程的解代入原方程计算，看左右两边是不是相等，左右两边相等，说明方程的解是正确的，否则就是错误的，还应注意方程得书写格式要正确.第三课：列方程解决实际问题1、先弄清题意，找出未知量，并用字母表示.再跟据题中的数量关系列方程，解方程，最后要检验结果是否正确.2、要根据题目中的条件寻找等量关系，而且一般要找出最容易发现的等量关系，分清等量关系中的已知量和未知量，用字母表示未知量并列方程，解出方程后，要及时进行检验.第四课：单式折线统计图的认识和应用1、折线统计图的优点：“不但能表示出数量的多少，而且能清楚地表示出数量增减变化的情况.2、横轴：一般用于表明时间的前后，每个时间段要平均分3、纵轴：标明数据，单位长度表示数据大小要一致，一般最高数据比统计到的最高数据稍微高一些4、描点、连线：要找准数据，看清横轴、纵轴进行描点.当提供的数据与纵轴上的数据没有直接对应时，要把纵轴上相应的一小段平均分后再找点，在点与点之间的连线时不能漏掉或连错.5、标注数据：在所描的点的上边或下边写数据，不要写在折线上6、填写制表日期：第五课：复式折线统计图的认识和应用1、像这样把两个不同的数量分别用折线表示在同一幅统计图上，就是复式统计图.2、复式折线统计图除了具有单式折线统计图能表示的数据多少，直观形象地反映数据变化情况外，还便于比较不同数据之间的差异.第六课：因数和倍数的认识1、导入学习，用12个同样大的正方形拼成一个长方形，每排摆几个.摆了几排？2、认识意义：根据不同的摆法，我们分别写出了3道不同的乘法算式，今天我们就一起来学习像这样的算式中的学问，因为4×3=12，所以4是12的因数，3也是12的因数，12是4的倍数，12也是3的倍数.照这样，你能继续说下去么，因为6×2=12，所以.....因为12×1=12，所以....3、小结：从上面可以看出，在整数乘法算式里，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数，它们之间的关系相互依存，这就是我们学习的新内容，因数和倍数.4、如果要找12的因数，只要想哪两个整数相乘等于12，因为1×12、2×6、3×4都等于12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12这6个.5、探索找一个数因数的方法，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数使它本身.6、探索找一个数倍数的方法，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数.7、找一个数的所有因数，可以按照从小到大的顺序找，也可以想哪两个数的积是这个数，一对一对的找，这样可以做到既不重复也不遗漏；找一个数的倍数，可以采用一一列举的方法.一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身.一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数.第七课：2和5的倍数的特征3的倍数的特征1、5的倍数，各位上是5或0.2、2的倍数，个位上是2、4、6、8、0.偶数2的倍数，奇数不是2的倍数3、个位上是0的数，既是5的倍数，又是2的倍数.4、各个数位上数字的和一定是3的倍数第八课：质数和合数1、认识新知：写出下面各数的所以因数：2、3、5、6、8、9，然后观察，像2、3、5这样的只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，像6、8、9这样的，除了1和它本身还有别的因数，也就是有两个以上因数的，这样的数叫作合数.2、1只有一个因数，所以它既不是质数也不是合数.3、自然数（大于0）分为质数、合数和1第九课：分解质因数1、写出算式，把5和28分别写成两个数相乘的形式（5=1×5 28=1×28 28=2×14 28=4×7），在积是5的乘法算式中，1和5是5的因数，其中5是质数，在积是28的算式中，1和28，2和14，4和7都是28的因数，其中2和7是质数，像这样一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数.2、强化认识：一个数的质因数要符合两个条件：它是这个数的因数，它又是质数.这时它就是这个数的质因数.比如5是5的因数，又是质数，所以5是5的质因数，2是28的因数，又是质数，所以2是28的质因数.3、把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.（分解质因数，把合数用质数相乘的形式表示）4、质因数-----一个数里是质数的因数分解质因数----把合数用质数相乘的形式表示短除法：每次用质数做除法，除到商是质数为止，再把每个除数和商写成连乘的形式.30=2×3×5第十课：公因数和最大公因数1、如果一个长度是原来边长的因数，就能正好全部分割成小正方形.2、引导边长6是长方形两边12和16的因数，能正好铺满，，边长4是12的因数，不是18的因数，就不能铺满.两个数共有的因数，叫做这两个数的公因数.3、两个数公因数里最大的一个，就是这两个数的最大公因数.4、如果两个数只有公因数1，最大公因数就是1，1和任何不是0的自然数，最大公因数都是1.大于0的相邻两个自然数的最大公因数都是1.8和16这样的倍数关系，最大公因数是小的那个，8.第十一课：公倍数和最小公倍数1、正方形边长6是长方形两边边长数3和2的倍数，能正好铺满，6既是3的倍数，又是2的倍数，是3和2公有的倍数2、两个数公有的倍数，叫作这两个数的公倍数，两个数的公倍数有无数个，所以写公倍数时要用省略号.3、两个数的公倍数有无数个，没有最大的公倍数，两个数的公倍数里最小的一个，就是这个数的最小公倍数.4、大于0的相邻两个自然数的最小公倍数都是这两个数的积.（2和3的最小公倍数就是6）5、两个数只有公因数1，最大公因数就是1，最小公倍数就是这两个数的积.两个数有倍数关系，最大公因数是小数，最大公倍数是大数.第十二课：和与积的奇偶性1、自然数中按是不是2的倍数分为奇数和偶数，是2的倍数就是偶数，不是2的倍数就是奇数.2、一个奇数加一个偶数，和是奇数，两个偶数或者是两个奇数想加，和是偶数.两个加数中只有一个奇数，和是奇数.3、加数里奇数的个数是奇数，和就是奇数，奇数的个数是偶数，和就是偶数，这就是和的奇偶性规律.4、乘数都是奇数，积也是奇数，乘数都是偶数，积也是偶数.几个乘数中，只要有一个偶数，积一定是偶数.第十三课：分数的意义1、一个物体，一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作12、表示平均分之后的一份的数，叫做分数单位.5/8的分数单位是1/8第十四课：分数与除法的关系1、被除数÷除数=被除数/除数（除数≠0）分母不可以是02、分数是一种数，也可以看作两个数相除，但除法是一种运算，不是一种数.3、两个数相除，得不到整数商时，都可以用分数表示.第十五课：简单的分数实际问题1、根据分数与除法的联系，1/4可以表示1÷4的商，把篮彩带的长看作单位“1”，平均分成3份，红彩带的长与其中的4份一样长，也就是4个1/3，即4/3.2、求一个数量是另一个数量的几分之几的问题，可以用除法计算，列式时要注意用单位1的数量做除数.第十六课：真分数和假分数1、用一个圆最多只能表示4个1/4，表示5个1/4要用两个圆.5个1/4就是5/4.2、根据分子和分母的大小，可以把这些不同的分数分成两类，分子比分母小的分数叫作真分数，分子和分母相等或者分子大于分母的分数叫作假分数.3、真分数都小于1，所有的假分数都大于等于14、真分数集中分布在0和1之间的这一段上，而假分数则分布在从1开始向右的部分，进而体会到真分数都小于1，假分数都大于1.第十七课:假分数化成整数或带分数1、能化成整数的假分数，分子都是分母的倍数，分子等于分母就等于1，。
小学数学奥数试卷讲解
一、试卷分析本次小学数学奥数试卷共分为四个部分，分别是选择题、填空题、解答题和应用题。
试卷内容涵盖了小学数学的各个知识点，包括数与代数、空间与图形、统计与概率等。
试卷难度适中，既有基础知识的考察，也有一定难度的应用题。
二、试题讲解1. 选择题（1）题目：一个三位数，百位数字比十位数字大2，十位数字比个位数字大1，这个三位数是多少？解答：设个位数字为x，则十位数字为x+1，百位数字为x+1+2。
由于是三位数，所以x+1+2≥1，即x≥-1。
又因为x为个位数字，所以x为0到9的整数。
因此，这个三位数可以表示为100(x+1+2)+10(x+1)+x=111x+220。
当x=0时，得到三位数为220；当x=1时，得到三位数为331；当x=2时，得到三位数为442；当x=3时，得到三位数为553；当x=4时，得到三位数为664；当x=5时，得到三位数为774；当x=6时，得到三位数为884；当x=7时，得到三位数为994。
所以，这个三位数可以是220、331、442、553、664、774、884或994。
（2）题目：一个长方形的长是10cm，宽是6cm，求长方形的面积。
解答：长方形的面积计算公式为：面积=长×宽。
将长和宽的数值代入公式，得到面积=10cm×6cm=60cm²。
2. 填空题（1）题目：一个数加上它的两倍，等于18，这个数是______。
解答：设这个数为x，则根据题意，可以列出方程x+2x=18。
解这个方程，得到x=6。
所以，这个数是6。
（2）题目：一个正方形的对角线长是10cm，求正方形的面积。
解答：正方形的对角线长等于边长的√2倍。
设正方形的边长为x，则x√2=10cm。
解这个方程，得到x=10cm/√2=5√2cm。
正方形的面积计算公式为：面积=边长×边长。
将边长的数值代入公式，得到面积=(5√2cm)×(5√2cm)=50cm²。