分式方程和无理方程
分式的基本特征范文
分式的基本特征范文分式是一种形式的数学表示，用来表示一个数与另一个数的比值。
分式通常由一个分子和一个分母组成，分子在分式的上面，分母在分式的下面，两者之间用一条横线分隔。
分式的基本特征包括有理数分式、无理数分式、分式的化简、分式的运算和分式方程。
有理数分式是指分子和分母都是有理数的分式，可以用整数的比值来表示。
例如，1/2、3/4、5/6等都是有理数分式。
无理数分式是指分母或分子中包含有无理数的分式，例如√2/3、3/√5等。
有理数分式和无理数分式都属于分式的范畴。
分式的化简是指将一个分式化简为最简形式，即将分子和分母的公因数约掉，以得到一个最简分式。
例如，将2/4化简为1/2，将6/9化简为2/3等。
分式的化简可以帮助我们更容易地进行运算和比较。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于分式的加法和减法，需要找到一个公共分母，然后将分子相加或相减即可。
对于分式的乘法，将分子相乘、分母相乘即可。
对于分式的除法，将除数取倒数，然后进行乘法即可。
分式的运算可以通过化简的方式来简化复杂的计算过程。
分式方程是带有分式的方程，其中未知数出现在一个或多个分式中。
解分式方程的一般步骤是去分母，然后解得未知数的值。
解分式方程可以帮助我们求解一些复杂的实际问题，例如比例问题、速度问题等。
在分式的运算中，需要注意的是要避免出现分母为零的情况，因为分式中的分母不能为零。
另外，在化简和计算的过程中，需要注意运用各种数学运算定律和分式运算法则，以确保计算的准确性和有效性。
总之，分式是数学中常见的数学表示形式，具有一定的特征和规律。
掌握分式的基本特征和运算方法，可以帮助我们更好地理解分式的含义和运用，提高数学解题的能力和技巧。
数学初高中衔接之分式方程和无理方程
2.2 分式方程和无理方程初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握 (1) 不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用” 去分母” 或” 换元法” 求方程的根，并会验根； (2) 了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用” 平方” 或” 换元法” 求根，并会验根．一、可化为一元二次方程的分式方程1 ．去分母化分式方程为一元二次方程【例 1 】解方程．分析：去分母，转化为整式方程．解：原方程可化为：方程两边各项都乘以：即，整理得：解得：或．检验：把代入，不等于 0 ，所以是原方程的解；把代入，等于 0 ，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：① 把各分式的分母因式分解；② 在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③ 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④ 解一元二次方程；⑤ 验根．26(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0 ．若为 0 ，即为增根；若不为 0 ，即为原方程的解．2 ．用换元法化分式方程为一元二次方程【例 2 】解方程分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程．解：设，则原方程可化为：解得或．(1) 当时，，去分母，得；(2) 当时，．检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ．所以，，都是原方程的解．说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值．【例 3 】解方程．分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．27解：设，则原方程可化为：．(1) 当时，；(2) 当时，．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ．所以，原方程的解是，，．说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1 ．平方法解无理方程【例 4 】解方程分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：28① 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；② 两边同时平方，得到一个整式方程；③ 解整式方程；④ 验根．【例 5 】解方程分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例 4 的方法解方程．解：原方程可化为：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或．检验：把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．把代入原方程，左边右边，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：① 移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；② 两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③ 一下步骤同例 4 的说明．2 ．换元法解无理方程【例 6 】解方程分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：．因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理．解：设，则原方程可化为：，29即，解得：或．(1) 当时，；(2) 当时，因为，所以方程无解．检验：把分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是．说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．练习：1 ．解下列方程：(1) (2)(3) (4)2 ．用换元法解方程：3 ．解下列方程：(1) (2) (3)4 ．解下列方程：(1) (2)5 ．用换元法解下列方程：(1) (2)30。
解无理或分式方程是否必须验根
OCCUPATION972011 7解无理或分式方程是否必须验根文/黄春山教材是教学的依据，应该是教师可以放心地教，学生可以放心地学，没有知识性错误。
但对于在全国各类成人高等学校招生考试教材理工农医类（中国社会出版社）第１０页中的解方程练习题目的答案解析，笔者不敢苟同。
原题目是：解方程１．2310x x −−= （无理方程） ２．271122x x x x x −=+−−− （分式方程）题１类题目是无理方程，解法很多，常用的方法是，在方程两边同时乘方，去根号或利用换元法转化为有理方程。
解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程。
此教材的参考答案的解法为换元法。
题２类题目是分式方程，常见解法有因式分解法、去分母法、换元法，解题思想是将原分式方程整式化。
此教材的参考答案的解法为去分母法。
教材中的标准答案：１．解：23560x x −+=令y 原方程化为260y y −−= （２）解得12,3y y =−=12y =−2−，不合理，舍去 （３）ｙ２3 （４）即ｘ２解得ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４ ；经验证ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４都是原方程的根。
２．解：原方程两边同乘以（ｘ＋１）（ｘ－２） （６）得ｘ（ｘ－２）－７＝－（ｘ＋１） （７）即ｘ２－ｘ－６＝０ 解得ｘ１＝－２ ， ｘ２＝ ３；经验证ｘ１＝－２ ，ｘ２＝３都是原方程的根 （８）注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
我们要谈的主要是答案的最后的“注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
”是否无理方程和分式方程的验根是必需的？笔者认为是并非必需的。
在初中教材中只是要求掌握会用平方或换元法求无理方程的根，并会验根，要求验根的原因在于方程两边同乘方若干次数，有可能产生的增根；对于分式方程，要求掌握用去分母或换元法求不超过三个分式构成的分式方程的根解法，并会验根，验根的原因是在于为去分母而两边同乘的式子可能导致增根产生；而验根的本质也就是将多余的增根去掉，显然也是必不可少的。
分式方程、无理方程及二元二次方程组
分式方程、无理方程及二元二次方程组一、知识梳理1、 叫做分式方程。
叫做无理方程。
2、解分式方程、无理方程、二元二次方程组的基本思想是将这些方程 。
具体地说：解分式方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程； 解无理方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程。
解二元二次方程组关键是 ，将 转化为 、将 转化为 。
3、 解分式方程的两种基本方法是 和 ；解无理方程的两种基本方法是 和 ；解二元二次方程组的两种基本方法是 和 。
4、解分式方程和无理方程， 都是必不可少的步骤。
二、检测练习1、当x= 时，分式325422-+-+x x x x 的值是0。
2、方程222-=-+x x x x 的解是 。
3、方程112=-x 的解是 。
4、方程kx x =-1，当k 时此方程无实数解。
5、把方程x 2-3xy+2y 2=0化为二个元一次方程为 、 。
6、方程 0)223()2(22=-++x y x 的解是 。
三、校正练习1、函数91--=x x y 中的x 的取值范围是 。
2、已知方程03=+-k x 有实数解，则k 的取值范围是 。
3、当分式13932的值大比分式++x x x 时，x= 。
4、方程011122=++++x x x x ，若用换元法设xx y 1+=，原方程可变形为 。
5、方程042322=+++-+x x x x 、若用换元法设y= ，则原方程可变形为 。
6、方程 ⎩⎨⎧-==+1010122xy y x 的解为 。
四、典型例题例1：12244212=-+-++xx x x例2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+628272112425yx y x x y y x例3：5325++=+x x例4：若方程)1(112+=+-+x x k x x x x 产生增根，求k 的值。
例5：当方程组⎩⎨⎧=--=+--0201422ky x y x x 有相等的实数解时，求实数k 及方程组的解。
五、小结（略）六、布置作业1、解方程 x x x x --=--1121322 2、解方程 33)2(42322=++-++x x x x 3、解方程 04322=-++-x x4、解方程 135322+=+--x x x x5、要完成一件工程，甲独做比三人合做需多用10天，乙独做比三人合做多用18天，丙在合做中完成全部任务的83，问三人合做几天完成。
分式方程和无理方程
方 法
1.在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母 可把分式方程化为整式方程 2.换元可以使解方程的过程变得简便 换元可以使解方程的过程变得简便 换元 3. 解分式方程时应注意检验 解分式方程时应注意检验
提 炼
一化二解三检验
三、无理方程的解法
2
x +2 =1 2 2x − 1
2
典
即 7x −1 = 0 或 x − 3 = 0
2
型 例 题
2Байду номын сангаас
解得
7 7 x1 = − , x3 = − 3 , x 4 = 3 , x2 = 7 7
经检验 以上均为原方程的根 以上均为原方程的根. 换元可以使运算变得简便
典
例5 已知关于
x −1 x − 2 2x + a − = 的解为负数 x − 2 x + 1 ( x − 2)( x + 1)
x2 = 22 是增根 是增根.
方程一边出现两个根号时要先移项. 方程一边出现两个根号时要先移项
解无理方程的思路是： 解无理方程的思路是：
无理 方程 去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 将方程的两边平方，化成有理方程. 平方 有理方程 移项，再平方 移项， 2、解这个有理方程. 解这个有理方程. 3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
解分式方程的思路是： 解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 最简公分母 化成整式方程. 化成整式方程. 整式方程 2、解这个整式方程. 解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 把整式方程的解代入最简公分母， 最简公分母 不为0 则整式方程的解是原分式方程的解； 分母的值不为 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
分式方程与无理方程
5分式方程与无理方程分母含有未知数的方程叫分式方程，解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有：直接去分母，换元法等.根号内含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的主要思路是去掉根号，把无理方程化为有理方程，常用的方法有：乘方法、换元法、配方法等.在解分式方程、无理方程中，有可能产生增根，尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件。
例1 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是________.解题思路 化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约.例2 x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）A. P>－1B. P ≤0C. －1<P ≤0D. －1≤P<0解题思路 将无理方程转化为有理方程，要准确求出P 的范围，还应由二次根式的性质去发现隐含的根的特性.例3 解下列方程（1）5968419221;19968x x x x x x x x ----+=+----（2）22223411;2283912x x x x x x x x ++-+=+-+（3）22()31x x x +=+解题思路 由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母，需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.例4 解下列方程（11=（2=解题思路 仔细观察被开方数、分子分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口。
在解无理方程时常用的换元法有： （1）局部代换；（2）整体代换；（3）利用倒数关系找换；（4）构造对偶式代换.例5 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解.解题思路 化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题.练习一1. 若关于x 的方程11ax x +-－1＝0有增根，则a 的值为________. 2. 方程2x ＋21x－3（x+1x ）＋4＝0的解为________.3. ＝12x －a 有一个根是2，则a ＝_______.4. 方程2x ＋3x －2337x x +-＝9的全体实数根的积为_________.5.已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋11x -＝a ＋11a -的根是（ ）A. a ，11a - B. 11a -，a －1 C. 1a ，a －1 D. a ，1a a -6. 给出下列四个结论，①2没有实数根；②解方2()1x x -－2（1xx -）－3＝0时，若设1xx -=y ，则原方程变形为y 2－2y －3＝0；③存在这样的两个实数a 、b＋a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 总有实数根，其中正确的有（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 若m 是方程2x 2＋7x ＋21的所有实数解之和，则m 的值是（ ）.A. 112-B. 72- C. －7 D. －118. 已知关于x x =有一个根为1，那么它的另一个根为（ ）.A. －1B. 0C. 2D. 39. 解下列方程（1103=；（2）2216104()933x x x x+=--10. 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值.11. 已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.练习二1. 方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是______.2. 方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为_________3. 方程｜x －1992＝1992的实数根是_______.4. 设m 为正数且关于x x m =+有实数解，则m 的取值范围是________.5. 方程33116()x x x x+=+的解的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 36. 3的所有解的和为（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 07. x =有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.A. P ≤0B. P<14 C. 0≤P<14 D. P ≥148. 设正整数a ，m ，n =a 、m 、n 的取值是（ ）A. 有一组B. 有二组C. 多于二组D. 不存在9. 解下列方程（1）222212219;116x x x x x x x +++++=+++（2=（a 为不等于0的常数）10. 已知关于x 的方程25()56a ax x x x+--=-有两个根相等.求a 的值.11. 已知关于x 的方程22(1)()(27)()1011x xa a x x --++---有实数根。
什么叫分式方程
什么叫分式方程代数方程分为有理方程和无理方程，而有理方程又分为整式方程与分式方程两大类，所以从方程的分类中可以看出，分式方程属于有理方程。
像在初中阶段研究的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等都是整式方程，分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程，像方程2/x+1/(x-3)2=4就是分式方程，而像方程2√x=5是无理方程。
去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母。
去括号，系数分别乘以括号里的数。
移项，含有未知数的式子移动到方程左边，常数移动到方程右边。
合并同类项。
系数化为1，方程的基本性质就是同时乘以或除以一个数，方程不变。
1怎么解分式方程第一步，去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，解3÷(x+1)=5÷(x+3)。
同乘(x+1)(x+3)就可以去掉分母了。
第二步，去括号，系数分别乘以括号里的数。
第三步，移项，含有未知数的式子移动到方程左边，常数移动到方程右边。
第四步，合并同类项第五步，系数化为1，方程的基本性质就是同时乘以或除以一个数，方程不变，和天平一样的。
这里除以-2。
第六步，检验，把方程的解代入分式方程，检验是否正确。
2解分式方程的方法分式方程的解题思想：基本思想是把分式方程化为整式方程，解出整式方程后，再把整式方程的解代入原方程检验，确定是否是原分式方程的解。
分式方程转化为整式方程的基本方法：一、将方程两边都乘各分母的最简公分母；二、换元法。
由于把分式方程转化为整式方程后，有时会产生不适合原方程的增根，所以解分式方程一定要检验，把不符合方程的根舍去。
对于含有字母系数的方程，要根据字母系数的限制条件，对字母的取值进行分类讨论，然后表示方程的解。
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
使分母为0的未知数的值是增根。
3、整式方程、分式方程、无理方程 小班教案
整式方程、分式方程、无理方程复习知识点一、整式方程1字母系数在关于x 的方程20ax bx c ++=中，其中a 、b 、c 是表示已知数的字母，我们把字母a,b,c 叫做字母系数。
而这个方程就是含有字母系数的方程。
例1 解关于x 的方程：（1）ax=x+a; (2) 210bx +=说明：（1）对于含字母系数的一元一次方程，在“系数化为1”这步之前一般应分情况讨论；对于含字母系数的一元二次方程，在“两边开平方”这步前一般也要分情况讨论（2）对于解含字母系数的一元整式方程，用含字母系数的式子去乘、除方程的两边时，这个式子的值不能为零。
（3）在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，由于负数没有平方根，因此，根号下面的式子不能小于零2一元整式方程如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 例2判断下列哪些方程是一元整式方程： 211(1)21;(2)3;(3)212;(4)022x x x x x x y x -=+=--=+= 说明：整式方程并不意味着方程中不能含有根号，分母等，关键是在于含有未知数的项是否都是整式3 一元n 次方程一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程就叫做一元n 次方程。
一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
特点：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.例3 关于x 的方程232210a x x +-=是一元几次方程？4二项方程概念：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.注 ：①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.一般形式：),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+（1）解的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，n ab x -=；当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.（2）二项方程的基本方法是（开方）例4解方程：41(1)6404x --=说明：二项方程0(0,0)n ax b a b +=≠≠可变形为n b x a=-：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时,如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0,那么方程没有实数根。
分式方程_无理方程和高次方程地解法讲练
第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以 y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以 y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以 x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x-22＝0，解得 x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以 x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程第三讲简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程x3-2x2-4x＋8=0．解原方程可变形为x2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x1＝x2＝2，x3=-2．说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样=0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx2+d)=0．方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．例2 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3 解方程(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．解我们注意到2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令y=6x＋7，①由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，即y2(y＋1)(y-1)=72，y4-y2-72＝0，(y2＋8)(y2-9)=0．因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为例4 解方程12x4-56x3+89x2-56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5 解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．所以经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．例6 解方程(x+3)4+(x+1)4=82．分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y-1)4＝82，整理得y4+6y2-40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．解得原方程的根为x1=0，x2=-4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7 解方程x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)=4(x2-2x+1)．所以所以a=x2-4x-2或a=x2-6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得练习三1．填空：(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．(2)方程x3-3x＋2=0的根为_____．(3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．(4)方程(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______．2．解方程(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．4．解方程5．解方程(x+2)4+(x-4)4=272．6．解关于x的方程x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．第四讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2-①×3得4x＋9y-6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(-2)+①得3y2+3y-6=0，所以 y1=1，y2=-2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得(2x+y)(x-2y)=0，所以2x+y=0或x-2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①-②×2得x2-2xy-3y2=0，即 (x+y)(x-3y)=0，所以 x＋y=0或x-3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2-5xy＋y2-3x-3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2-5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy 作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0，所以 x-y-0或x＋x-10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③-④并平方得整理得所以因此A-B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①-②得即所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而x-1=0，y-1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习四1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组。
可化为一元二次方程的分式方程与无理方程
第二单元 可化为一元二次方程的分式方程和无理方程一、教 法 建 议抛砖引玉本单元向同学们介绍了公式方程与无理方程.对分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）同学已学过，并不陌生.因而，在教学中以其为突破口，自然地过渡到解可化为一元二次方程的分式方程.它的基本思想与可化为一元一次方程的分式方程基本相似，在教学中，紧紧地抓住“把分式方程‘转化’为整式方程”这条主线，研究“转化”的条件.结合具体实例，突出“转化”，突出解可化为一元二次方程的分式方程的步骤与解可化为一元一次方程的分式方程的步骤完全相同.再结合例题，剖析产生增根的原因，使学生深知验根的必要性和重要性及验根的方法.在本单元教学中，通过例2培养学生敏锐的观察力，使他们发现11,1122++++x x x x 两个分式的分母、分子互相交换位置，可看作互为倒数，自然引到换元法上来，通过换元把此分式方程转化为一元二次方程，简捷，易解，激发他们对换元法的兴趣，抓住这一契机，进一步强调换元法应用的广泛性、重要性.应用题教学应注意对题目中一些相等关系的分析，使他们在分析问题、解决问题的能力方面在原有基础上再提高一步.无理方程对学生来说是新内容，在教学中结合实例使学生了解无理方程的概念，掌握其解法——乘方法及换元法.强调解无理议程验根的必要性及其方法步骤.指点迷津解可化为一元二次方程的分式方程，重点是抓住把分式方程“转化”为整式方程.因此，要注意“转化”的条件.要引导学生善于观察，捕捉习题的特点来选取转化的方法，通常（如课本P45例1）选取去分母法，也可采取换元法（如果方程的两项成倒数关系，二次项的底数与一次项底数相等，采取换元法为宜）.对于解分式方程最后一道“关”——检验，务必不能漏掉，必须向同学们进一步强调.列方程解应用题尽管同学们多次接触，与以前学过列方程（整式方程）解应用题几乎完全相同，但找相等关系要比以前学过的复杂一些.只要强化对题目中的一些相等关系的分析，症结也可化解.引出无理方程的概念后，指出以前学过的整式方程和分式方程统称有理方程，这样对代数方程有一个完整认识，再通过实例强调无理方程必须掌握乘方法及换元法，常规方法是乘方法.至于如何选取换元法，必须善于观察，若发现根号内外对应项系数成比例或两个根号内的两项互为倒数关系等，应果断选取换元法，无理方程的验根这一环也必须扣紧，来不得半点含糊.二、学 海 导 航思维基础1. 方程叫分式方程，解分式方程一般是把方程两边同乘以 或用 法，使原方程转化为 去求解.2. 方程叫无理方程.解无理方程一般是把方程两边同时 或 法，使原方程转化为 去求解.3.解分式方程和无理方程的转化过程中，有可能产生 ，因此解这两种方程的最后必须进行 .4.检验分式方程增根的一般方法是 .5.检验无理方程增根的一般方法是 .【学法指要】例1 解方程：601745123542+--=--+-x x x x x . 【思考】1.解分式方程通常使用哪两种方法？2.本例应用何种方法解之为宜？3.解分式方程应注意什么？4.分母为多项式首先应怎么办？如何去分母呢？【思路分析】本例是一道分式方程.通常采用去分母法，因此首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例60172+-x x 可分解因式为)12)(5(--x x .待分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“)12)(5(--x x ”.用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.最后应检验，至此例可找到本例完整解答.解：原方程就是 )12)(5(4512354---=--+-x x x x x x ， 方程两边都乘以)12)(5(--x x ，约去分母，得45)5)(3()12(4-=----x x x x ，整理后，得018112=++x x .解这个方程，得9,221==x x . 检验：0)12)(5(9,221≠--==x x x x 代入，∴ 9,221==x x 均为原方程根.例2 解方程：（1）061512=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ；（2）112)1(31)2(82222=+-+-+xx x x x x . 【思考】1.解分式方程可用换元法，一是二次项与一次项相同，采取同底换元法；二是含未数的二项方程为一常数，呈倒数关系，可采取倒数换元法，你说对吗？2.对本例采取何方法解之？请你探索.【思路分析】（1）观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑换元法为宜. 解：设y x x =+1.则原方程可化为 0652=++y y ，0)3)(2(=++y y ，∴ 3,221-=-=y y .当y 1=-2时，即3221-=⇒-=+x x x ； 当y 2=-3时，即0143,32,433121≠+-=-=-=⇒-=+x x x x x x 代入检验把. ∴ 43,3221-=-=x x 均为原方程的根. 【思路分析】（2）观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 与xx x 2122+-互为倒数，根据这个特点，可以用换元法来解. 解：设y x x x =-+1222，那么y x x x 12122=+-，于是原方程变形为 11438=+y ， 去分母，得 031182=+-y y ，0)1)(38(=--y y ，解得 y 1=3/8,y 2=1.当 y=3/8时，8/31222=-+x x x . 去分母并整理，得031652=++x x .解得 3,5121-=-=x x .当y=1时，即11222=-+x x x . 去分母并整理，得21123-=∴-=x x . 检验：把21,3,51321-=-=-=x x x 分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根. ∴原方程根是：21,3,51321-=-=-=x x x . （2）的又一解法： 设b xx x a x x x =+-=-+2)13(,1)2(82222， 于是有 .24,11==+ab b a 这样根据课本P31“以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2-(x 1+x 2)x+x 1·x 2=0”，可找到思路.进而知以a ，b 为根的一元二次方程是024112=+-t t . ∴ t 1=3,t 2=8.即1)2(831)2(82222-+=-+x x x x x x 或， 亦为11283122222=-+=-+x x x x x x 或.（下同原解法） 由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点（如倒数关系式）考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.例3 解方程：2)4)(3()2)(1(=--+--x x x x .【思考】1.解无理方程通常使用哪些方法？2.本例采用哪种解法好？【思路分析】 本例是一道无理方程，应首先考虑用乘方法求解，然而，当我们观察原方程可发现，含根号的未知数项均在等号左边，立即采取乘法将会使求解陷入困境，此时把方程左边一项适时移到等号右边，再采取乘方法，将会走出困境，出现新的曙光.这也是解此类无理方程的技巧、方法.由此，采取乘方法本例便可很顺利了.解：移项得 )4)(3(2)2)(1(---=--x x x x ， 两边平方，得 127)4)(3(2222322+-+---=+-x x x x x x ，整理，得 )4)(3(226--⋅=-x x x ，两边再平方，得 )127(24243622++=+-x x x x ，∴ 0652=+-x x .∴ 3,221==x x .把x 1=2，x 2=3分别代入原方程，使得左边=右边，因此，x 1=2，x 2=3是原方程的根. ∴原方程的根是x 1=2,x 2=3.例4 解方程：（1）215215322=++++x x x x ；（2）252112=+-+-+x x x x . 【思考】1.解分式方程可采取换元法吗？如何进行换元？2.这两例各有什么特点？【思路分析】（1）将（1）方程进行适当变形为32152315322+=+++++x x x x此时例可发现根号内外相同项的对应系数成比例，即3∶1=15∶5=3∶1，抓住这个特征，适时换元，便可打开思路. 解：设y x x =++152，则原方程可变成3y 2+2y-5=0，(3y+5)(y-1)=0，∴ 1,3521=-=y y . 当3515,3521-=++-=x x y 时,无解； 当115,122=++=x x y 时.∴ 052=+x x∴ 5,021-==x x .经检验5,021-==x x 都是原方程的根. 【思路分析】（2）观察方程左边两项12,21-++-x x x x ，它们互为倒数，捕捉这一信息，便迅速作出换元的决策，思路自然畅通. 解：设251,112,21=+=-+=+-y y y x x y x x 于是原方程变形为那么. ∴ 02522=+-y y .∴ 2,2121==y y . 余下步骤略.通过对例3、例4的学习，我们体会到，如何能想到解题思路呢？只有认真审题，敏锐观察，抓住试题的特点，如倒数关系，根号内外对应项系数成比例等，便可立即采取换元法，不然便是乘方法，在初中只向同学们介绍了这两种最基础的方法，二者必居其一，只要按照课本所教的方法去探索，去观察，去分析，老师能想到的思路，同学们也同样想得到！例5 某校学生甲、乙二人分别从A ，B 两地同向出发，甲经过B 地后再走3小时12分钟在C 地追地追上乙，这时二人共走了72千米，而C ，A 两地的距离等于乙走5小时的路程，求A ，B 两地的距离.【思考】1.列方程解应用题通常有哪些步骤？2.对行程问题要抓住哪三者之间的关系？3.列分式方程解应用题还要检验吗？检验后还应注意什么？【思路分析】要解决行程问题，迅速找到思路，首要条件是把实际问题用线段图清晰表示出来；其次抓住“速度、时间、距离”三者之间关系，列出代数式；再者找相等关系用代数式表示，便可列出方程，大功告成.然后求解，检验，答便接近尾声.抓住“首先、其次、再者”这三部曲，你自然能想到解行程问题思路.如本例.解：一、画线段图图代12-2-1二、根据三者（υ，s ，t ）关系结合线段图列代数式：乙从B 走到C 的距离是：)72(21s -千米， 甲从B 走到C 的距离亦是：)72(21s -千米， 甲从A 走到C 的距离是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)72(2172s 千米. 乙的速度是：5)72(2172s --千米/小时. 甲的速度是：1516)72(21s -千米/小时. 三、找相等关系式，布列方程.甲从A 走到C 的时间=乙从B 走到C 时间.5)72(2172)72(21516)72(21)72(2172s s s s ---=--- ∴ 516)72(41)72(2172522s s -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. ∴ 22)72(6412136251s s -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∴ s s -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+72(81213651） （负值舍）. ∴ s=8（千米）.经检验s=8是原方程根，且符合题意.答：A ，B 两地距离是8千米.由上可知，该道应用题十分复杂，尽管千头万绪，但对行程问题只要遵循“三部曲”，你自然能想到怎样解，而且能顺利找到思路.总之，对列方程解应用题要认真分析，采取画线段图、列表等手段辅助分析，列出代数式，最关键的是找准相等关系，一切拦路虎便可降服了.思维体操例：甲、乙二人自A ，B 两村骑自行车同时相向而行，相遇在离A 村8公里处，相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A 和B 后又立即返回，在离B 村10公里处相遇，求两村间的距离.【思考】1.行程问题可把总路程看作单位1吗？相同时间呢？2.对行程问题分析可采取列表法、画线段图法等，本例采取哪种方法好呢？【思路分析】依题意，画线段图如图代12-2-2，第一次相遇甲行8公里，乙行（s-8）公里；第二 图12-2-2次相遇，甲共行了（s+10）公里，乙共行了（2s-10）公里.第一次相遇后至第二次相遇甲行了（s-8+10）=(s+2)公里，乙行了（8+s-10）公里.只要抓住“甲行走所用时间=乙行走所用时间”这一相等关系式，问题就能得到解决.【扩散1】设两村的距离为s 公里，甲速度为υ1公里/时，乙速度为υ2公里/时，则有 2188υυ-=s ， ① 2110210υυ-=+s s . ②①②得 1028108--=+s s s .∴ 80280162-+=-s s s .∴ 0142=-s s .∵s ≠0，∴s=14（公里）.【扩散2】设法同扩散1，则有212122,88υυυυ-=+-=s s s ⇒….【扩散3】设两村间的距离为s 公里，第一次相遇时他们行了t 小时，则有ts s t s 8102810--=+.∴ （s-8）(s+10)=8(2s-10).∴ s 2+2s-80=16s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0， ∴s=14（公里）.【扩散4】设同扩散3，则有ts s t s 8282--=+ ⇒….【扩散5】设两村间的距离为s 公里，两次相遇共用3t 小时，则有ts s t s 1028108--=+.∴ 8（2s-10）=(s+10)(s-8).∴ 16s-80=s 2+10s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0, ∴s=14(公里).【扩散6】设同扩散5,则有 ⇒--=++ts s t s s 1022102. 【扩散7】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇后至第二次相遇所行时间为t 小时,则有 ⇒--=+t s s t s 2828.【扩散8】设同扩散7,则有⇒--=++t s s t s s 2102210.【扩散9】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇两人行1单位时间,则甲的速度为8公里/1单位时间,乙的速度为(s-8)公里/1单位时间,于是得8102810--=+s s s . ∴ (s+10)(s-8)=8(2s-10).∴ s 2+2s-80=16s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散10】设同扩散9,则有⇒--=+8282s s x .【扩散11】设两村的距离为s 公里,两次相遇共用1单位时间,则有1028108--=+s s s . ∴ 8(2s-10)=(s+10)(s-8).∴ 16s-80=s 2+2s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散12】设法同扩散11,则有⇒--=++1022102s s s s .【扩散13】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇后至第二次相遇共行了1单位时间,则有2828--=+s s s .∴ 8s-16=(s+2)(s-8)=s 2-6s-16.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散14】设同扩散13,则有 3142253+-++-=+++-x x x x x x x x . ⇒--=++2102210s s s s .【扩散15】设两村间的距离为s 公里，甲、乙二人两次相遇共走3s 公里，又知从出发到第一次相遇，甲、乙二人共走3s 公里，其中甲共走8公里，由于速度不变，两次相遇甲共走（8×3）公里，同时又知甲共走（s+10）公里，于是有143810=⇒⨯=+s s （公里）.根据“解法扩散15”可推广为解两次相遇问题的通法.如将原题中把“8公里”改为“a 公里”，“10公里”改为“b 公里”，根据“解法扩散15”分析可得下列关系式：b a s a b s -=⇒=+33.应用这一公式，解与例题相同的一类两次相遇问题十分简捷、迅速、易求，试举例. 清晨，甲、乙二人分别从A ，B 两地同时开始跑步锻炼，甲从A 跑到B 立刻再返回A ，乙从B 跑到A 再立即返回B ，在距离A 600米处第一次相遇，在距离B 400米处两人第二次相遇，假定甲、乙各自速度不变，则A ，B 两处的距离是 .【思路分析】这里a=600米，b=400米.由公式得 400140060033=-⨯=-=b a s （米）.故A ，B 两处距离为1 400米.再举两例，供同学们练习：1.甲、乙二人分别从A ，B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇时离B 地700米，两 人继续往前走，到达对方出发地立即返回，结果又在距离A 地400米处相遇，求A ，B 两地的距离.（s=1 700米）2.甲、乙二人自A ，B 两地同时相向而行，在距B 地5千米处相遇，各自到达对方出发 地立即返回，又在距A 地1千米处相遇，求A ，B 两地的距离.（s=14千米）“扩散1～15”从不同角度分析问题.“扩散1～2”增设速度，借“桥”过“河”，天 堑变通途.“扩散3～8”增设时间，借梯登楼视野开阔，“扩散9～14”借助单位1，简捷又明快.“扩散15”抓住甲、乙二人速度不变，找出“甲走的总路程=甲走的总路程”这一相等关系，抓住问题质，使这一类问题产生质的变化.三、智 能 显 示心中有数分式方程、无理方程是代数方程的重要组成部分.解方程必然要学会解分式方程、解无理方程.对于解可化为一元二次方程的分式方程一定要驾驭去分母法、换元法.这种方法既基本又实用，也是解开这一类问题的常用方法，只要熟练掌握，遇到类似问题，你一定可想到好的解法，把分式方程转化为整式方程求解.无理方程的解法通常采取乘方法或换元法，根据无理方程的不同特点，灵活选取这两种方法，一定能奏效.列方程解应用题，重点在分析，如画图、列表等辅助分析，进而再根据分析，找出相等关系，便可有新的突破，找到思路.总之，对本单元的三大块知识要熟练掌握，它们之间既有区别又有联系，抓住它们的脉搏，才能卓有成效，收到好的学习效果.动手动脑1.解方程：3142253+-++-=+++-x x x x x x x x . 2.解方程：513410+=++-x x x .创新园地解关于的方程：cc x x 11+=+， 解之得c x c x 1,21==. 请同学应用此题结论解方程（组）. 1.1111-+=-+a a x x ； 2.25311322=-+-x x x x ； 3.252112=+-+-+x x x x ； 4.71)1(61)1(222=+++++x x x x ； 5.6128)12(9=+-+S S S S ； 6.xx x x +=++2221； 7.)0()(45≠+-+-=+-b a xa xb x b x a ； 8.8320322=+-+x x x x ； 9. ;7,6==+xy y x 10. ;2,3==+xy y x11. ;181333,181511=+=+y x x y y x 12. ;5,65=-=-y x x y y x13. ;61221,10122-=-=-+x y x y 14. ;20,4122==+xy y x15..169,108916x y yxx y ==-四、同 步 题 库一、填空题1.在方程015322=-+-x x 中，若设y x =-12，则原方程化为关于y 的方程 是 .2.当m= 时，关于x 的分式方程021632=++--++x x x m x 没有实数解. 3.若关于x 的方程02=+--a x x 有实数根，则a 的取值范围是 . 4.用换元法解方程051612=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 时，可设 =y,这时原方程变为 . 5.方程0=x 的根是 ；x x =的根是 ；x x -=的根 是 .6.无理方程x a x =-+62的根为3±，则a 的值为 .7.若a ，b 都是正实数，且b a b a +=-211，则=-22b a ab . 8.若a+b=1，且a ∶b=2∶5,则2a-b= . 9.当a= 时，方程022=--+x x a x 无实数根.10.若81=+x x ，则=-x x 1 .二、选择题11.下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ） A.3211=--x x B.85322=--xx C.0132=--x x x D.x x =-353 E.532=+y x F.2322-=+x x x12．方程)3(4)3)(3(32)3(212---+=-x x x x x 的最简公分母是（） A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2C.24（x+3）(x-3)2D.12（x+3）(x-3)213.观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ） A.033=-x B.03122=++x C.02)3(=++x x x D.0122=-+-x x x14.如果018162=+-x x ，那么x 4的值是（ ）A.1B.-1C.±1D.415.方程1142=+-x x 的解是（ ）A.0B.2C.0或2D.221±16.设y=x 2+x+1,则方程x x x x +=++2221可变形为（ ）A.y 2-y-2=0B.y 2+y+2=0C.y 2+y-2=0D.y 2-y+2=017.若a a a 214412-=+-，则a 的取值范围是（ ）A.全体实数B.a ≥0C.a ≥21D.A ≤2118.已知)0≠+=-S R S VR VU ，则相等关系成立的式子是（ ）A.SU S R V +=B.SR SU V += C ．S R SU V -= D.SUS R V -= 19.关于x 的方程x a x x 22+=+的根是（ ） A.x=a B.x=-aC.x 1=a ；x 2=-a 2D.x 1=a ；x 2=a2 20.一个数和它的算术平方根的4倍相等，那么这个数是（ ）A.0B.16C.0或16D.4或16三、解下列方程 21.3353112-+=--+x x x x x x ； 22.2725=--+x x ； 23.07129122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ； 24.46112422--+-=-+-x x x x x x ； 25.25231131=+-+-+x x ； 26.01342=--+-x x x ； 27.11161123++-=-+-x x x x x ； 28.041312=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ； 29.49491=+++x x x . 30.关于x 的方程02222222=-++++p p x x x x ，其中p 是实数.（1）若方程没有实数根，求p 的范围.（2）若p>0，问p 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根.四、解答题31.已知直角三角形两条直角边之差为7，它的周长为30，求各边之长.32.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，D 是圆上的点，BD 交AC 于E ，已知AB=5，sin ∠CAB=53.图代12-2-3（1）设CE=m ，DE/BE=k ，试用含m 的代数式表示k.（2）当AD ∥OC 时，求k 的值.（3）当BE=6DE 时，求DC 的长（下列数据供选用：718,817,1016≈︒≈︒≈︒tg tg tg ， 结果中保留π）.33.甲、乙二人分别从A ，B 两地同时相向而行，相遇时甲比乙多走了6千米，相遇后 他们仍以原速度前进，甲经过214小时到达B 地，乙经过8小时到达A 地，求A ，B 间的距离.34.某校学生甲、乙二人分别从A ，B 两地同时同向行走，甲经过B 地后再后3小时12 分钟在C 地追上乙，这时二人共走了72公里，而C ，A 两地的距离等于乙走5小时的路程，求A ，B 两地的距离.35.某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3 600元，已知甲班比乙班少5 人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数.36.已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽 多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长.37.淮河上有A,B 两地相距14千米,一只船在两地往返一趟需2小时24分,船在静水中 的速度是12千米/时,问一个漂流物从A 地漂到B 地需要多少时间?38.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在 慢车前12千米，快车到达乙站时，慢车还差25千米没走完，快车和慢车每小时各走多少千米？若都提高速度50%，快慢车行这段各节省多少时间？39.一项工程甲队独完成比乙队单独完成少用15天，现甲队先做10天后，再由乙队单 独做15天就完成了这项工作的32，求甲、乙两队单独完成这项工程的天数.参 考 答 案动脑动手1.解法1：由原方程去分母，得x x x x x x x x )3)(4)(5()3)(4)(2)(3(++++-+++)1)(4)(2)(5()2)(3)(5)(2(-++++-+++=x x x x x x x x .展开后，得x x x x x x x x 60471272546234234++++---+ 40227106032118234234-++++--++=x x x x x x x x .合并，得0283682=++x x .∴ 07922=++x x .∴ 1,2721-=-=x x . 经检验，1,2721-=-=x x 都是原方程的根. 解法2：将原方程变形，得343464222585+-+++-+=+-+++-+x x x x x x x x . ∴ 32432154+++=+++x x x x . 去分母，得4（x+2）(x-4)(x+3)+(x+5)(x+4)(x+3)=3(x+5)(x+2)(x+3)+2(x+5)(x+2)(x+4).展开后，得604712961043642323+++++++x x x x x x807622290933032323+++++++=x x x x x x .合并，化简，得 ⇒=++07922x x .解法3：同解法2，原方程化为32432154+++=+++x x x x . 移项，得 21324354+-+=+-+x x x x . 两边通分，得 651209122+++=+++x x x x x x . ∴ 652090122++=++=+x x x x x 或. 解之，得 27,121-=-=x x .2.解：设13,410-=-=x b x a ，则99,41022-=-=x b x a .∴ 522+=-x b a∵ 5+=+x b a ， ① ∴ b a b a b a +=-+))((.∴ 0)1)((=--+b a b a∴ 1)(=--=b a b a 或舍去. ② ①+②，得 62+=x a ，即 64102+=-x x .将方程两边平方后，整理，得 052282=+-x x .∴ 26,221==x x .经检验知 26,221==x x 均为原方程根.创新园地 由方程c c x x 11+=+我们可发现方程左右两边结构一致，且x ·c x =1·11=c （常 数），只要具有这个条件，我们用观察法，便可利用结论，口算出答案.1.由原方程得111111-+-=-+-a a x x ， ∴ 11111-=--=-a x a x 或. 2.由原方程，得21225311322+==-+-x x x x . ∴ 211321322=-=-x x x x 或. 3.由原方程，得212252112+==+-+-+x x x x . ∴2112212=-+=-+x x x x 或. 4.由原方程，得4371)1(61)1(222+==+++++x x x x . ∴ 41)1(231)1(222=++=++x x x x 或.5.由原方程，得1266128)12(9+-==+-+S S S S . ∴ 12)12(96)12(9=+-=+S S S S 或. 6.由原方程，得 121222+-=-=+-+x x x x . ∴ 1222=+-=+x x x x 或.7.由原方程，得145)(4+==-+++-xa xb x b x a . ∴14=+-=+-x b x a x b x a 或. 8.由原方程，得 102320322+-=+-+x x x x . ∴1032322=+-=+x x x x 或. 9. 76==+xy y x 232367-++==+⇒xx . ∴ 2323-=+=x x 或.10. 23==+xy y x 2132+==+⇒x x .∴ 21==x x 或.11.189184181333+==+y x x y . ∴ 18931843==x y x y 或. 12.322365-==-x y y x . ∴2323-==y x y x 或（舍）…. 13.由原方程组得12210121224+-==-+--x x .∴ 1212)(212=--=-x x 或舍.14. 由原方程组，得 25164140022+==+x x .∴251622==x x 或 15.12120169+-==-x yy x.∴ 129129=-=y xy x或.同步题库一、填空题1.0232=-+y y ；2.4或-6；3.a ≥-2；4.056,122=+-+y y x x；5.0，0和1，0； 6.33±； 7.21-； 8.71-； 9.-2，1； 10.±2.二、选择题11.A 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B 19.D 20.C三、解下列方程 21.3353112-+=--+x x x x x x .解 )5()1()1(3+=--+x x x x ， x x x x 51332+=+-+，0432=-+x x ，0)1)(4(=-+x x .1,421=-=x x .经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根. 22.2725=--+x x .解 22)722()5(-+=+x x ， 7272445-++=+x x x ， 22)724()8(-=-x x ， 0176482=+-x x ，0)44)(4(=--x x . 44,421==x x . 经检验知：x=44是增根，x=4是原方程的根. 23.07129122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x . 解 0512912=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设 0529,12=+-=+y y y x x 则. 2y 2-9y+10=0，（2y-5）(y-2)=0. y 125=；y 2=2. 把251=y 代入y xx =+1中，得 251=+x x ， x x 2512=+， 02522=+-x x ， 0)2)(12(=--x x . 2;2121==x x . 把22=y 代入y xx =+1中，得 .1.0)1(,012,214322===-=+-=+x x x x x xx 经检验知：1,2,214321====x x x x 均为原方程的根. 24.46112422--+-=-+-x x x x x x . 解: ),1)(6(4)2)(4(,)2)(2(611)1)(2(42--+-=---+-+-=-+-x x x x x x x x x x x x062=--x x ,0)2)(3(=+-x x ,2,321-==x x .经检验知:x=-2是增根；x=3是原方程的根. 25.25231131=+-+-+x x . 解：252112=+-+-+x x x x . 设251,12=+=-+y y y x x 则. .2,21,0)2)(12(,0252212===--=+-y y y y y y 把y x x y =-+=12211代入得 .3,93,841,4112,2112-==-+=-=-+=-+x x x x x x x x2=y 代入y x x =-+12中，得 .2,63,442,412,212=-=--=+=-+=-+x x x x x x x x经检验知：2,321=-=x x 均为原方程的根.26.01342=--+-x x x .解 01)3)(1(=----x x x ，.2;1.0)2)(1(,023,)1())3)(1((21222===--=+--=--x x x x x x x x x经检验知：x=2是增根；x=1是原方程的根. 27.11161123++-=-+-x x x x x . 解： 22)1(61-=-++x x x ，12522+-=-+x x x x ，.2,63==x x 经检验知：x=2是原方程的根. 28.041312=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x . 解：设y x x =-1，则 0432=--y y ， .1,4,0)1)(4(21-===+-y y y y把41=y 代入y x x =-1中，则 .34,44,41=-==-x x x x x把12-=y 代入y x x =-1中，则.21,12,1,11==+-=-=-x x x x x x经检验知：21,3421==x x 均为原方程的根. 29.49491=+++x xx . 解：设y x x =+9，则44=+y y ，.2,0)2(,0442122===-=+-y y y y y把y=2代入y x x =+9中，得29=+x x ..3,49,49==+=+x x x x x经检验知：x=3是原方程的根. 30.02222222=-++++p p x x x x .解：（1）令y p x x =++222，则原方程变为：0)2(222=+-+p p y y . ①∵ 222)1(4)12(4)2(44+=++=++=∆p p p p p ≥0∴ )1(12)1(422+±-=+±-=p p y .则y 1=p ，y 2=-2-p.若原方程没有实数根，只要⎩⎨⎧<--<.02,0p p解这个不等式组，得-2<p<0.（2）∵p>0，把y 1=p 代入①得 p p x x =++222. ② 而y 2=-2-p<0（舍去）.将②式平方，整理得0)2(222=--+p p x x .令0)1(4)12(4)2(44222=-=+-=-+=∆p p p p p .解得 p=1当1=p 时，原方程有两个相等的实数根.当1=p 代入③，得0122=++x x .∴ 121-==x x .经检验，当1=p 时，121-==x x 是原方程的根.31.解：设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x-7，于是有 30)7(722=-+-+x x x x .∴ x x x x 237491422-=+-+，22)237(49142x x x -=+-，22241483749142x x x x +-=+-，0320113422=+-x x ，0660672=+-x x ，0)55)(12(=--x x .55;1221==x x .经检验知：55,1221===x x 均为原方程的根.但x=55不合题意，舍去.∴x=12，∴x-7=5.∴ 13)7(22=-+x x .∴直角三角形之边长为5，12，13.32.解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB=90°∵ 553CAB sin BC ==∠ ∴ 4,3==AC BC .在Rt △BCEk ,222BE BC CE =+,∴ 229BE m =+.∵ BE ·DE=AE ·CE ，DE=k ·BE ，∴ k ·AE BE =2·CE .∴ 9)4(22+-=⋅=m m m BE CE AE k . （2）∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=Rt ∠，即AD ⊥BD.∵AD ∥OC ，∴OC ⊥BD.∴ ∠CBE=∠ECO.∵OC=OA ，∴∠OAC=∠OCA.∴ ∠OAC=∠EBC.∴ Rt △BAC ∽Rt △EBC.∴ CE/BC=BC/AC.∴ .494322m AC BC CE ====. ∴ 9)4(2+-=m m m k 257949494492=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. （4）当DE BE 6=时，61=k . ∴619)4(2=+-m m m . ∴ 73;321==m m . 当m=3时，CE=BC=3.∴ ∠CBE=45°.∴CD 所对圆心角为90°.∴ π45=CD . 当73=m 时，tg ∠CBE=71, ∴ ∠CBE ≈8°.∴CD 所对圆心角为16°.∴ ππ922518016=⨯=CD . 33.解：设AB 两地之距为s 千米. ,9321632,2932832,832322932322222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+s s s s s s s s .42,12292,332432=-=+-=+s s s s s s 又解：设相遇时甲走了s 千米，乙走了（s-6）千米，则),(3)6(4)6(34,9)6(16,9)6(28,29)6(8,86296222222舍或--=-=-=-=-=-=-s s s s s s s s s s ss s s∴ 3s=4s-24,即s=24.∴ s+s-6=2s-6=48-6=42（千米）.34.解：设A ，B 两地距离为s 公里.).(8,729,42885360),(2136)72(85,2126)72(162541,51)]72(2172[165)]72(21[,516)72(21)72(21725)72(2172)72(212222公里负值舍==+=-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⨯⋅--=⋅----=---s s s s s s s s s s s s s s35.解：设甲班平均每人捐款x 元. 5580018001--=x x ， 解得：40,4521-==x x （舍去）.∴乙班平均每人捐款45元.36.解：设矩形宽x ，得108)18(4)18(2=++++x x x x .解得 x=6.∴矩形长24，正方形边长为12.37.解：设水流速度为x 千米/时，则漂流物从A 至B 需x14小时，依题意： 4.212141214=-++xx . 解得2±=x ；但-2不合题意舍. 由714,2==xx 得. ∴需7小时.38.解：设慢车每小时行x 千米，则快车每小时行（x+12）千米，得xx x 2512150150=+-， 解得：x 1=-72（不合题意，舍去）；x 2=60.于是 x+12=72.∴快、慢车每小时分别行72千米、60千米，提速后，分别节省3625小时和65小时. 39.解:设甲队单独完成需x 天,则乙队需(x+15)天,得 32151510=++x x . 解得:x 1=30；x 2=-7.5（舍去）.由x=30，得x+15=45.∴甲需30天；乙需45天.。
方程的几种类型
方程可以根据不同的标准进行分类。
以下是按照方程的形式和未知数的数量进行分类的几种常见类型：
一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程。
一元高次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数大于2的方程。
多元一次方程：含有多个未知数，且每个未知数的最高次数为1的方程。
多元二次方程：含有多个未知数，且每个未知数的最高次数为2的方程。
多元高次方程：含有多个未知数，且每个未知数的最高次数大于2的方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程。
无理方程：根号下含有未知数的方程。
绝对值方程：含有绝对值符号的方程。
线性方程：未知数和常数项之间是线性关系的方程，如y=ax+b。
非线性方程：未知数和常数项之间是非线性关系的方程，如
y^2=x。
代数方程：只含有算术运算的方程。
三角函数方程：含有三角函数符号的方程。
微分方程：含有导数或微分的方程。
积分方程：含有积分符号的方程。
这些分类并不是绝对的，有些特殊类型的方程可能并不完全符合上述分类中的任何一个，因此需要根据具体情况进行判断和分类。
初中数学知识点总结：分式方程和无理方程
知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
【典型例题】。
分式方程与无理方程分解
解得： 或 ．
检验：把 代入 ，不所以，原方程的解是 ．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
第五步：随堂练习
1如果 有增根,那么增根为x=( )
2解关于x的方程 产生增根,则常数m=()
无理方程
【一】知识梳理：
1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
解：移项得：
两边平方得：
移项，合并同类项得：
解得： 或
检验：把 代入原方程，左边 右边，所以 是增根．
把 代入原方程，左边 = 右边，所以 是原方程的根．
所以，原方程的解是 ．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
所以， ， 都是原方程的解．
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 的值，而没有求到原方程的解，即 的值．
【例3】解方程 ．
分析：注意观察方程特点，可以看到分式 与 互为倒数．因此，可以设 ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．
解：设 ，则
原方程可化为： ．
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
分式方程
一、教学重点和难点
1．教学重点：
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
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分式方程和无理方程
一. 解分式方程和无理方程必需检验
1. 方程01312=--+x x 的解是_________.
2.方程x x -=-2的解是 __________.
3. 方程x x =+2的解是 ___________.
4.方程
1415112-=--+-x x x x 的解是 __________. 5.方程 2x-332=+x 的解是 ( )
A. 21 和3
B. 21
C. -2
1 和3 D. 3 6. 关于x 的方程x k k x -=-的根为 ( )
A. x = k
B. x 1 = k+1 , x 2 = k – 1
C. x 1 = k , x 2 = k + 1
D. x = 2k
7. 方程 4
42144122-=+++-x x x x x 的解是 ( ) A. x 1 = -2 , x 2 = 4 B. x 1 = 2, x 2 = – 4 C. x = 4 D. x = - 4
8.方程3
12)3(42+-=++x x x 的根的个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数多个
二. 与增根有关的填空与选择题.
1. 解分式方程
3
31+=--x m x x 时去分母一步产生了增根,那么m 的值是 ____________. 2. 当m = _____时 , 去分母解方程2
22-=--x m x x 时会产生增根. 3. 解关于x 的方程x m m x x -=--131得 x = 1
34-m m ,当m = ____时,此根是增根. 4. 使分式方程212-=-+x k x x 产生增根的k 的值是 ( ) A. k = 0 B. k = 0, k = 2 C. k = 1 D. k = 2
5. 解关于x 的方程1
3213+-=++x x ax x 有增根x = -1,则a 的值是 ( ) A. 0或1 B. 0 C. 3 D. –2
6. 方程011522=-⋅-+y y y 的解是 ( )
A. 3
B. 3或-5
C. –5或 –1
D. 3 , -5 ,1
7. 方程
0345=-⋅-x x 的解是 ( )
A. x = 34
B. x = 5
C. x = 4
9 D. 没有实数解 三. 运用换元法的题型.
1. 若 x 2 – 3x –1532=+-x x , 设532+-x x = y ,则原方程变为______________________.
2. 若 x 2 + 3x +7 + 03102=+x
x , 设x 2 + 3x = y ,则原方程化为 ___________________________. 3. 若用换元法解方程 x 2-2x + 6 + 627622=+-x x ,则最优方法为设 ( ) A. y = 622+-x x B. y = x x 22- C. y = x 2 – 2x D. y = 6622+-x x
4. 若用换元法解方程 2x 2 -332=-x ,若设y =
23x -, 则原方程可变为 ( ) A. 2y 2 +y+1= 0 B. 2y 2 - y+1= 0 C. 2y 2 +y - 5= 0 D. 2y 2 – y - 5= 0
5. 已知方程3( x 2 +21x ) + ( x + x 1) – 4 = 0, 若设x + x
1= y ,则原方程化为 ( ) A. 3y 2 +5y – 4 = 0 B. 3y 2 + y - 10= 0 C. 3y 2 – 5y +2 = 0 D. 3y 2 + 5y + 2= 0 6. 解方程: 2x 2 + 3x - 59322++x x + 3 = 0 7. 2( x 2 +
21x ) - 9( x + x 1) + 14 = 0。