环路定理 电势 及其计算
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静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
09-4静电场的环路定理和电势
P
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
6-3静电场的环路定理电势
dV
dE
10
红
已知场强分布 Ex, y, z ，求场中任一点P 的电势时，
可先作不定积分
V E dl C
选择使积分常量 C 0 的点为零电势的参考点，再
电
子 工 程 学 院
作积分，可求 P 点的电势 VP
对于有限电荷分布情况，可直接选无限远为零势能
点，作积分可得
VP
E dl
P
x
1 qdl
dVP 4π 0r 2π R
x
院
杨 VP
小
1
4π 0r
qdl q
q
2π R
4π 0r
4π 0
x2
R2 13
红
VP
4π 0
q x2 R2
电 讨论
子 工 程 学 院
杨
x
0，V0
q
4π 0R
x
R，VP
q
4π 0x
小
红
q
V
4π 0 R
o
x
q
4π 0 (x2 R2 )1 2
14
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
点
电
电荷
子的
工 程 学 院
等 势 面
杨 小 红
dl2 dl1 E2 E1
dl1 dl2
21
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
电 子 工 程 学 院
杨
小
22
红
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
电
子 工
+
程
学
静电学03环路定理和电势
带 电
a
板
VP
Vpq
Vp板
a qdx
a/2 4 π0x2
a ( ) d x a / 2 20
q ( 1 1) a q a 4 π 0 a / 2 a 20 2 4 π 0a 40
例 用静电场的环路定理证明电力线如图分布的 电场不可能是静电场。
D C
AB
证明 在电场中作扇形环路 ABCDA，
PB
vv E dl UB
令 UB 0
UP
rB
v E
drv
r
rB r
2π 0r
er
dr
ln rB 2π 0 r
oB
rB
r
P
r
例. 电荷分布如图所示，设 q >0, >0， 求P点电势
能否选无限远处为电势零点？
q•
可统一选大平板处 P0 点电势为零，
无
P
p0
限 大 均
匀
a /2
1. 点电荷的电势：V q
4π 0 r
2. 点电荷系的电势：(q1,q2,…qn)
V
n
Vi
i
n i
qi
4π 0 ri
3.电荷连续分布带电体, 场中 P 点电势：
dq
V 4π0r
线电荷分布 dq dl 面电荷分布 dq dS
体电荷分布 dq dV
例 求半径为R的均匀球面电荷q的电场强度和电势分布？
2
dr
q
4π 0 r
VA
E dr
A
A (E1 E2 En ) dr
A E1 dr A E2 dr
A En dr
VA
n
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
所有分类 环路定理 电势能 电势
所有分类 环路定理 电势能 电势
Wq0a b Ed clo s
dcl o s dr
Wq0ab Edr
点电荷的场
q
Wq0ab 410rq2dr
q0q 1 1
40 ra rb
b
rb
dl r
ra
q0 a
dr F
E
W q0q 1 1
40 ra rb
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。
电场力是保守力，可引入势能的概念。
引力是保守力，作功为
W 引[Gm1 rm b2(Gm1 rm a2)]
取无穷远为零势能点，则引力势能为：
电场力作功
Ep
G m1m2 r
W q0q 1
40 ra
r1b (4q0q0rb
q0q )
40ra
1.电势能Ep
定义： 单位：焦耳，J
EP
q0q
40r
为点电荷电势能（选无穷远为零势能点）
r
r
r
0R E2dr d l/d /r/E / 高斯面
R410 rq2dr
q
4 0 R
•II区：球壳外电势
II
rR
选无穷远为电势 0 点，
U2 r E2dl
I
qo RE
r
r
r
rE2dr d l/d /r/E / 高斯面
1
r 40
rq2dr
q
4 0 r
II
I
qoR
II
I
qoR
qE
4 0 R 2
qV 4 0 R
oR
r oR
r
例3 如图，两个同心的均匀带电球壳，半径分别
Wq0a b Ed clo s
dcl o s dr
Wq0ab Edr
点电荷的场
q
Wq0ab 410rq2dr
q0q 1 1
40 ra rb
b
rb
dl r
ra
q0 a
dr F
E
W q0q 1 1
40 ra rb
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。
电场力是保守力，可引入势能的概念。
引力是保守力，作功为
W 引[Gm1 rm b2(Gm1 rm a2)]
取无穷远为零势能点，则引力势能为：
电场力作功
Ep
G m1m2 r
W q0q 1
40 ra
r1b (4q0q0rb
q0q )
40ra
1.电势能Ep
定义： 单位：焦耳，J
EP
q0q
40r
为点电荷电势能（选无穷远为零势能点）
r
r
r
0R E2dr d l/d /r/E / 高斯面
R410 rq2dr
q
4 0 R
•II区：球壳外电势
II
rR
选无穷远为电势 0 点，
U2 r E2dl
I
qo RE
r
r
r
rE2dr d l/d /r/E / 高斯面
1
r 40
rq2dr
q
4 0 r
II
I
qoR
II
I
qoR
qE
4 0 R 2
qV 4 0 R
oR
r oR
r
例3 如图，两个同心的均匀带电球壳，半径分别
8-3静电场的环路定理和电势
A E dl q0 E d l q0 E d l
A1B
B2A
q0 Edl q0 Edl 0
A1B
A2B
静电场强的线积分只取决于起始和终止的位置,而
与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性。
静电场的环路定理
(circuitaltheorem of electrostatic field) E dl 0
20
RH
20 H
R
20
总结
（1）静电场是保守力场
（2）E总是从电势高处指向电势低处
Ua Ub abE dl 0
Ua Ub
a
b
E
dl
（3）电势具有相对性，电势差则是绝对的
电荷分布在有限区域，零点通常选在无穷远处。
Ua
Ua
Ua
U
a
E
dl
电荷分布在无限区域，零点只能选在空间某一点
解：
R1
0
r R1
R2
E
λ 2π
1
ε0r
R1 r R 2
λ2π1 ε0r2
r R2
r R1
R1
R2 R1 R2 U1 E dr E dr E dr
R2
r
r
R1
0
R2
R1
λ 2π
1
ε0r
dr
λ 2π
1
ε0
ln
R2 R1
R1 r R2
U2
R2
r
E dr
在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
（4）电势可直接叠加，但需统一电势零点
Ua Ua U零点 a零点 E dl
零点 零点
Ei dl Ei dl Uai
大学物理电场的环路定理及电势的计算
0
qr
3
(r R ) (r R )
4 0 r
E
令 U 0 ，沿径向积分
1 r
2
U外
P
E 外 d r q 1 r
o
4
r
qr dr
0
r
3
R
r
4 0 r
U外
q 4 0 r
E dr
R
1 r
R
a
E dl
零势点
Ecosdl
a
注意： • 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 一般,场源电荷有限分布:选 U 0 场源电荷无限分布:不选 U 0 许多实际问题中选 U 地 球 0
[例一] 点电荷 q 场中的电势分布
r E
o
P
解： E
L L
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理
E dl 0
L
路径上各点的总场强
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了 静电场是保守力场.
凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场.
三. 电势能 W
由 A保 E P W
b
A静 电 力 q 0
a
E dl (W b W a ) W a W b
dq 4 0 r
dU
4 r d r
2
4 0 r
rd r 0
R2
由叠加原理：
r
R2
R1
o P
U
dU
08.3静电场的环路定理、电势
E a E b
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
环路定理_电势
等势面、 与 的微分关系 §5.等势面、E与U的微分关系 / 二、等势面性质 等势面
3) 场强与电势的微分关系
v v U a − U b = −dU = E ⋅ d l v v −dU = E ⋅ dl = Ex dx + E y dy + Ez dz
∂U ∂U ∂U Ey = − Ez = − Ex = − ∂y ∂x ∂z U + dU v ∂U v ∂U v ∂U v E = −( i+ j+ k) U ∂x ∂y ∂z
a
电荷在点电荷场中的电势能（ 电荷在点电荷场中的电势能（选无穷远 为零势能点） 为零势能点） q0 q 电势能是标量 标量, 电势能是标量 W= 电势能是属于系统的. 4πε 0 r 电势能是属于系统的
电场中的W、 §5.电场中的 、EP、V、U / 三、电势能 电场中的 、
4. 电势差和电势
电势差
电场中的W、 §5.电场中的 、EP、V、U / 一、电场力的功 电场中的 、
2. 环路定理
1) 定理表述 静电场中电场强度沿任意闭合路径的线 积分等于零。 积分等于零。
∫
L
v v E ⋅ dl = 0
高斯定理说明静电场是有源场 高斯定理说明静电场是有源场, 环路定理说 有源场 明静电场是保守力场 无旋场。 保守力场或 明静电场是保守力场或无旋场。
R2 r R2 r
R2
2
∞ R2
q1
− q2
o R1 III II I
=∫
r
∞
q1 − q2 +∫ dr 2 R2 4πε r 0
4πε 0r
q1
2
dr
R2
高斯面
1 q1 1 q2 = − 4πε 0 r 4πε 0 R2
10-4环路定理和电势
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二、 静电场的环路定理
保守力做功的特点： A q0 E dl 0
l
考察试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周 时静电力所做的功：在L上任取两点P1、P2，将L分成L1 和L2两段，则 P
A F dl q0 E dl L L P2 P1 q 0 E dl q 0 E d l
b
Aab q0 (U a U b ) q0U ab q0
a
E dl
Aab 0，电场力做正功，电势能减小。 当U a U b 时，
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Aab q0 (U a U b ) q0U ab q0
b
a
E dl
对于正电荷，若 q0 a U a U b ，电荷由高电势奔向低电势。 则 Aab 0 ， 对于负电荷，若 q0 a U a U b ，电荷由低电势奔向高电势。 则 Aab 0， 电势零点的选取 约定：对于有限大小的带电体所激发的电场中各点 的电势，往往选取无穷远处为电势零点，而对于无 限大小的带电体则选择空间某点为势能零点。
r<R1时： U1
E1dr E2 dr E3dr r R1 R2 q1 q2 4π 0 R1 4π 0 R2
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R1
R2
R1≤r ≤R2时：
U 2 E2 dr E3dr r R2 q1 q1 q1 q2 4π 0 r 4π 0 R2 4π 0 R2 q1 q2 4π 0 r 4π 0 R2
电势是从电场力做功的角度来反映静电场性质的物理量
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二、 静电场的环路定理
保守力做功的特点： A q0 E dl 0
l
考察试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周 时静电力所做的功：在L上任取两点P1、P2，将L分成L1 和L2两段，则 P
A F dl q0 E dl L L P2 P1 q 0 E dl q 0 E d l
b
Aab q0 (U a U b ) q0U ab q0
a
E dl
Aab 0，电场力做正功，电势能减小。 当U a U b 时，
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Aab q0 (U a U b ) q0U ab q0
b
a
E dl
对于正电荷，若 q0 a U a U b ，电荷由高电势奔向低电势。 则 Aab 0 ， 对于负电荷，若 q0 a U a U b ，电荷由低电势奔向高电势。 则 Aab 0， 电势零点的选取 约定：对于有限大小的带电体所激发的电场中各点 的电势，往往选取无穷远处为电势零点，而对于无 限大小的带电体则选择空间某点为势能零点。
r<R1时： U1
E1dr E2 dr E3dr r R1 R2 q1 q2 4π 0 R1 4π 0 R2
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R1
R2
R1≤r ≤R2时：
U 2 E2 dr E3dr r R2 q1 q1 q1 q2 4π 0 r 4π 0 R2 4π 0 R2 q1 q2 4π 0 r 4π 0 R2
电势是从电场力做功的角度来反映静电场性质的物理量
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电势叠加原理
a
a
路径上各点的总场强
例：点电荷 q 场中的电势分布
o
rr
P
r E
解：
r E
=
r qr
4πε 0 r 3
q
U
∝1 r
令
U
U
=
∞=
∞r ∫E⋅
0
r dl
沿径向积分
rr
=
∞
∫
qr
⋅
dr
P
r 4πε r3
0
∞
=∫
qdr
=
q
r 4πε r2 4πε r
0
0
o
r
电势叠加原理
例1.
解：
简例
2. 连续分布电荷的电场中的电势
=
q
4πε0(R2 +
x )2
1 2
例3.
带电薄圆盘
解：
例4.
带电薄球壳
例5.求均匀带电球壳腔内任意点电势
已知： R1, R2 , ρ
求：U P
R2
ρ
r o R1
解：将带电球壳视为许多均匀带
P
dr
电球面的集合，
取半径 r ，厚 dr 的球壳为电荷元：dq = ρ ⋅ 4πr2 ⋅dr
令 U ∞ = 0 ，dq 在腔内产生的电势：
dU = dq = ρ ⋅ 4πr 2dr = ρrdr
4πε 0 r
4πε 0 r
ε0
∫ ∫ 由叠加原理：U =
dU
=
R2 ρ rdr ε R1 0
=
ρ 2ε 0
( R2 2
−
R12 )
即：腔内各点等势
解：
等势面 等势面
第 2 章 电势
P
P0
P0
P
∑E
i
dl = ∫ E 1 dl + ∫ E 2 dl +
P P
P0
P0
= 1 + 2 = ∑ i
在由多个点电荷产生的电场中， 在由多个点电荷产生的电场中 ， 任意一点的电 势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 电势的叠加原理
rb L ra
E P = mgh
W = Wb Wa = ∫ dA = ∫ q0 E dl
b a = ∫ E dl
ra
rb
= q0 ( b a )
五、电势能 定义电势能
W = q0
一个电荷在电场中某点的电势能 电势能等于它的电 即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电 时为势能零点， 势能为
二、电势差和电势
1.电势差 电势差
A = ∫ q0 E dl =q0 ∫ E dl ∝ q0
ra ra rb rb
静电力作功与具体路径无关，只取决于检验电 静电力作功与具体路径无关， 荷的始末位置。 始末位置。 定义 电势差
rb A a b = = ∫ E dl ra q0
二、电势差和电势
eV＝ 特（eV）：1eV＝1.6×10-19J
c
n
+ Δn θ Δl a
E
b l
四、电势梯度
4.电场强度与电势的关系 电场强度与电势的关系
由于 E = d dn
d n = dn
E =
即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。 即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。
P0
P0
P
∑E
i
dl = ∫ E 1 dl + ∫ E 2 dl +
P P
P0
P0
= 1 + 2 = ∑ i
在由多个点电荷产生的电场中， 在由多个点电荷产生的电场中 ， 任意一点的电 势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 电势的叠加原理
rb L ra
E P = mgh
W = Wb Wa = ∫ dA = ∫ q0 E dl
b a = ∫ E dl
ra
rb
= q0 ( b a )
五、电势能 定义电势能
W = q0
一个电荷在电场中某点的电势能 电势能等于它的电 即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电 时为势能零点， 势能为
二、电势差和电势
1.电势差 电势差
A = ∫ q0 E dl =q0 ∫ E dl ∝ q0
ra ra rb rb
静电力作功与具体路径无关，只取决于检验电 静电力作功与具体路径无关， 荷的始末位置。 始末位置。 定义 电势差
rb A a b = = ∫ E dl ra q0
二、电势差和电势
eV＝ 特（eV）：1eV＝1.6×10-19J
c
n
+ Δn θ Δl a
E
b l
四、电势梯度
4.电场强度与电势的关系 电场强度与电势的关系
由于 E = d dn
d n = dn
E =
即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。 即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。
9-1-静电场的环路定理-电势及其计算-电场强度与电势梯度
o
B
P
V
2π 0
ln
rB r
rB
r r
例4. 求一半径为 R ，总带电量为 Q 的均匀 带电细圆环轴线上任意一点 P 电势分布。 y
dl
+ +R +
z
+ o + + + + + + +
+ + +
V
q 4π 0 ( x R )
2 2 1 2
r
P
x
x
思考：若为均匀带电圆盘呢？
五. 电场强度与电势梯度
说明： 静电场力对电荷所做的功等于系统 电势能的减少. （电荷＋电场）
令 B点为电势能零点，即 E p B 0
E pA
？
电势能零位置 A
q0 E dl
定义： 试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上 等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.
电势能零位置的选取：
（1）若电荷分布在有限空间，常取无限远处为 电势能零点；
1.等势面（Equipotential Surfaces ）
电场中电势相等的点连接起来所形成的曲面。
（1）规定
任意两相邻等势面间的电势差相等； 且从低电势指向高电势。
等势面法线方向 en 的正方向垂直于等势面
（2）等势面的性质
等势面的疏密程度同样表示场强的强弱；
电荷沿等势面移动时，电场力不做功； 在静电场中，电场线和等势面处处正交。
（2）若电荷分布为无限大，常在有限范围内取 一点电势能零点； （3）在实用中，常取地球为电势零点； （4）在电子仪器中，常取机壳或公共地线为电势零点；
环路定理 电势 及其计算
场强在某个方向的分量等于电势梯度在该方 向分量的负值。
直角坐标系中： U U U Ex Ey Ez x y z E E x i E y j Ez k U U U ( i j k) x y z U U U grad U i j k x y z 判断
E
Ed r P q dr 2 r 4 π r 0 q 4 π 0 r
P
以远为电势零点 积分路径：沿矢径方向
U
q>0 U>0
r
q<0 U<0
（2）点电荷系电场 U P E dl 电势迭加原理 P E1 dl E 2 dl
r2
r
r1
x
-q
U Ey y 3 pxy 2 2 5/ 2 4π 0 ( x y )
E Exi E y j 轴线上：y = 0 中垂线：x = 0
+ q l
讨论
(1) 在均匀外电场中的电势能
W W W qU qU q(U U ) qEl cos pE cos p E
E 0 U 0 E 0 U const
例：求电偶极子电场中任一点P的场强。 px y UP 2 2 3/ 2 4π 0 ( x y )
P(x,y)
U Ex x p( 2 x 2 y 2 ) 4 π 0 ( x 2 y 2 )5 / 2
解：
qn 2 xS 由高斯定理 E 2 S o nqx E o
E 2x
E
o
2d
x
V Edx
x
d
直角坐标系中： U U U Ex Ey Ez x y z E E x i E y j Ez k U U U ( i j k) x y z U U U grad U i j k x y z 判断
E
Ed r P q dr 2 r 4 π r 0 q 4 π 0 r
P
以远为电势零点 积分路径：沿矢径方向
U
q>0 U>0
r
q<0 U<0
（2）点电荷系电场 U P E dl 电势迭加原理 P E1 dl E 2 dl
r2
r
r1
x
-q
U Ey y 3 pxy 2 2 5/ 2 4π 0 ( x y )
E Exi E y j 轴线上：y = 0 中垂线：x = 0
+ q l
讨论
(1) 在均匀外电场中的电势能
W W W qU qU q(U U ) qEl cos pE cos p E
E 0 U 0 E 0 U const
例：求电偶极子电场中任一点P的场强。 px y UP 2 2 3/ 2 4π 0 ( x y )
P(x,y)
U Ex x p( 2 x 2 y 2 ) 4 π 0 ( x 2 y 2 )5 / 2
解：
qn 2 xS 由高斯定理 E 2 S o nqx E o
E 2x
E
o
2d
x
V Edx
x
d
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x
0 dx a
a o
o
V外2
0
Edx
x
a
0dx
x
0
dx
a
a o
o
V内
0 dx x
x o
o
（ a x a)
-
+
-a o a x
a o
例6、如图所示，已知两点电荷电量分别为q1 = 3.010 -8C q2 = -3.0 10 -8 C。A 、B、C、D为电场中四个点，图中 a=8.0cm, r=6.0cm。（1）今将电量为2.010-9 C的点电荷从 无限远处移到A点，电场力作功多少？电势能增加多少？
三、电势能
电场力做功等于电势能增量的负值。
Aab
b a q0 E
dl
Wa
Wb
ΔW
电场力做正功，电势能减少，
负功，
增加。
讨论 （1）相对量
"0"
Wb 0 Wa a q0 E dl
（2）属于试验电荷和电场的系统
四、电势
1. 定义
"0"
Ua
无平动，有转动(使 p转到外电场E的方向)
总结 计算场强的方法
(1)场强的迭 加原理 dq dE 矢量
E
x
dE
x
,
Ey
dE
y
,
Ez
dEz
E Exi Ey j Ezk
(2)高斯定理
①分析场强分布
②选取适当的高斯面，将E从积分号中提出。
(3)利用场强与电势的关系
（3）
A
B
C
r
r
r
1
UC
4 o
q1 a2 r2
q2 a/2
4 o r
D
a/2
2
1800(V )
UD 0
ACD WC W D q(U C U D ) 3.6 106 (J ) W 3.6 106 (J )
例7、两无限大导体板，相距2d，并都接地。在极板 之间充满正离子气体（与导体板绝缘），离子浓度为 n，每个离子带电量为q。求两极板之间的场强分布和 电势分布。
解： E
0
Q
4π 0r 2
r
(r R) (r R)
rP r
取“”为电势零
球点外：U
E dl
p
球内：U
Q
r
4π
0r2
dr
R
Q
4π 0r
E dl
p
r
E内 dr
积分路径： 沿矢径方向
R E外 dr
dl
l
dU En dn
E1
2
U U + dU
E
dU
n
grad
U
dn
El
En
cos
dU dn
cos
dU dl
场强在某个方向的分量等于电势梯度在该方 向分量的负值。
直角坐标系中：
Ex
U x
Ey
U y
E Exi Ey j Ezk
解 根据高斯定理可得：
+ + P+1 ++ +
R
.P
对球外一点P
对球内一点P1
结论：均匀带电球体，球内的电势随半径而变，
球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的
电势。
qE
4 0 R 2
r 2
场强分布曲线
O
R
r
电势分布曲线
3q
80R V
q
4 0 R
r 1
O
r
例4、求无限长均匀带电直线外任一点P的电势。
（2）将此电荷从A点移到B点，电场力作多少功？电势能增
加多少？（3）将此点电荷从C点移到D，电场力作多少功？
电势能增加多少？
解：
UA
q1 4or
4 o
q2 r2
A
a2
U A 1800 (V )
r
B
C
r
r
WA qU A 3.6106 (J ) 1 a/2 D a/2 2
90 E dl
（4）电场线总是指向电势降落的方向。
2
U1 U2
E dl >0
1
U1 U2
二、场强与电势之间的关系
1.
积分关系 Ua
"0" E dl
a
bn
2. 微分关系
dn
dn dl cos dU dU cos
dl dn
W
W
W
qU
qU q(U
U
)
qEl cos pE cos p E
(F2M)电-偶2l极2lqq子+F在 F均El匀 q外E-F电qq::场FFp中F所Eq受EqFE作 用0
E E1 E2 ... En
b a q0 E1 dl
b a
q0
E2
dl
A1 A2 An 静电力是保守力
二、静电场的环路定理
L q0 E dl 0
E dl 0
L
静电场中，场强环流恒为零。
静电场是保守场
AA W WA 3.6106 (J ) W 3.6106 (J )
A
B
C
（2）
r
1
r a/2 D
r a/2 2
UB
q1 4 or
q2 4 or
0
AAB WA WB 3.6 106 0 3.6 106 (J )
W 3.6 106 (J )
r 4π 0r 2
4π 0r
q2 q1
r
解法二：运用多个带电体的电势叠加法计算
V V1 V2
q1
V1
4π 0 R1 q1
4π0r
(r R1)
V2 (r R1)
q2
4π 0 R2 q2
4π0r
(r R2 ) (r R2 )
Wa q0
a
q0 E dl
"0" E dl
q0
a
2. 电势差
"0" "0" b
Uab Ua Ub a
E dl b
E dl E dl a
3. 静电力的功
Aab q0U ab
五、电势的计算
1.
用定义
Ua
§7.4 静电场的环路定理 电势
一、静电场力的功
1. 点电荷的电场
rb
b
q
r
dl
ra
q0 E
a
q
E
4π
0
r
2
dA
F
dl
q0 E dl
Aab
b
dA
a
qq0
4π 0
1 (
ra
1 rb
)
与路径无关
2. 点电荷系电场
b
Aab a q0 E dl
Ez
U z
( U
i
U
j
U
k)
x y z
grad U
U
i
U
j
U
k
x y z
判断
E 0U 0
E 0 U const
例：求电偶极子电场中任一点P的场强。
px
U P 4π 0 ( x2 y2 )3/ 2
(电荷密度)
解：先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P
点和P1点的电势差
y
VP
VP1
r1
r
E
dr
2 0
r1
r
dr r
2 0
ln
r1 r
O
r
P r1
P1 x
由于ln1=0，所以若选离直线为r1=1m处作为电势 零点，则可得P点的电势为
VP 20 ln r
E dl
P
P E1 dl
电势迭加原理
P
E2
dl
U1 U2 Un
qi
4π 0ri
电荷连续分布的带电体：
P r
dq
dq dU
4π 0r
dq
U P 4π 0r
例：求电偶极子电场中任一点（r）的电势。 解：由电势叠加原理
r l
解：
由高斯定理 E 2S qn 2xS E
E
o
2x
o
x
E nqx
o
2d
V
d
Edx
d nqx dx nq
d2 x2
0 dx a
a o
o
V外2
0
Edx
x
a
0dx
x
0
dx
a
a o
o
V内
0 dx x
x o
o
（ a x a)
-
+
-a o a x
a o
例6、如图所示，已知两点电荷电量分别为q1 = 3.010 -8C q2 = -3.0 10 -8 C。A 、B、C、D为电场中四个点，图中 a=8.0cm, r=6.0cm。（1）今将电量为2.010-9 C的点电荷从 无限远处移到A点，电场力作功多少？电势能增加多少？
三、电势能
电场力做功等于电势能增量的负值。
Aab
b a q0 E
dl
Wa
Wb
ΔW
电场力做正功，电势能减少，
负功，
增加。
讨论 （1）相对量
"0"
Wb 0 Wa a q0 E dl
（2）属于试验电荷和电场的系统
四、电势
1. 定义
"0"
Ua
无平动，有转动(使 p转到外电场E的方向)
总结 计算场强的方法
(1)场强的迭 加原理 dq dE 矢量
E
x
dE
x
,
Ey
dE
y
,
Ez
dEz
E Exi Ey j Ezk
(2)高斯定理
①分析场强分布
②选取适当的高斯面，将E从积分号中提出。
(3)利用场强与电势的关系
（3）
A
B
C
r
r
r
1
UC
4 o
q1 a2 r2
q2 a/2
4 o r
D
a/2
2
1800(V )
UD 0
ACD WC W D q(U C U D ) 3.6 106 (J ) W 3.6 106 (J )
例7、两无限大导体板，相距2d，并都接地。在极板 之间充满正离子气体（与导体板绝缘），离子浓度为 n，每个离子带电量为q。求两极板之间的场强分布和 电势分布。
解： E
0
Q
4π 0r 2
r
(r R) (r R)
rP r
取“”为电势零
球点外：U
E dl
p
球内：U
Q
r
4π
0r2
dr
R
Q
4π 0r
E dl
p
r
E内 dr
积分路径： 沿矢径方向
R E外 dr
dl
l
dU En dn
E1
2
U U + dU
E
dU
n
grad
U
dn
El
En
cos
dU dn
cos
dU dl
场强在某个方向的分量等于电势梯度在该方 向分量的负值。
直角坐标系中：
Ex
U x
Ey
U y
E Exi Ey j Ezk
解 根据高斯定理可得：
+ + P+1 ++ +
R
.P
对球外一点P
对球内一点P1
结论：均匀带电球体，球内的电势随半径而变，
球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的
电势。
qE
4 0 R 2
r 2
场强分布曲线
O
R
r
电势分布曲线
3q
80R V
q
4 0 R
r 1
O
r
例4、求无限长均匀带电直线外任一点P的电势。
（2）将此电荷从A点移到B点，电场力作多少功？电势能增
加多少？（3）将此点电荷从C点移到D，电场力作多少功？
电势能增加多少？
解：
UA
q1 4or
4 o
q2 r2
A
a2
U A 1800 (V )
r
B
C
r
r
WA qU A 3.6106 (J ) 1 a/2 D a/2 2
90 E dl
（4）电场线总是指向电势降落的方向。
2
U1 U2
E dl >0
1
U1 U2
二、场强与电势之间的关系
1.
积分关系 Ua
"0" E dl
a
bn
2. 微分关系
dn
dn dl cos dU dU cos
dl dn
W
W
W
qU
qU q(U
U
)
qEl cos pE cos p E
(F2M)电-偶2l极2lqq子+F在 F均El匀 q外E-F电qq::场FFp中F所Eq受EqFE作 用0
E E1 E2 ... En
b a q0 E1 dl
b a
q0
E2
dl
A1 A2 An 静电力是保守力
二、静电场的环路定理
L q0 E dl 0
E dl 0
L
静电场中，场强环流恒为零。
静电场是保守场
AA W WA 3.6106 (J ) W 3.6106 (J )
A
B
C
（2）
r
1
r a/2 D
r a/2 2
UB
q1 4 or
q2 4 or
0
AAB WA WB 3.6 106 0 3.6 106 (J )
W 3.6 106 (J )
r 4π 0r 2
4π 0r
q2 q1
r
解法二：运用多个带电体的电势叠加法计算
V V1 V2
q1
V1
4π 0 R1 q1
4π0r
(r R1)
V2 (r R1)
q2
4π 0 R2 q2
4π0r
(r R2 ) (r R2 )
Wa q0
a
q0 E dl
"0" E dl
q0
a
2. 电势差
"0" "0" b
Uab Ua Ub a
E dl b
E dl E dl a
3. 静电力的功
Aab q0U ab
五、电势的计算
1.
用定义
Ua
§7.4 静电场的环路定理 电势
一、静电场力的功
1. 点电荷的电场
rb
b
q
r
dl
ra
q0 E
a
q
E
4π
0
r
2
dA
F
dl
q0 E dl
Aab
b
dA
a
qq0
4π 0
1 (
ra
1 rb
)
与路径无关
2. 点电荷系电场
b
Aab a q0 E dl
Ez
U z
( U
i
U
j
U
k)
x y z
grad U
U
i
U
j
U
k
x y z
判断
E 0U 0
E 0 U const
例：求电偶极子电场中任一点P的场强。
px
U P 4π 0 ( x2 y2 )3/ 2
(电荷密度)
解：先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P
点和P1点的电势差
y
VP
VP1
r1
r
E
dr
2 0
r1
r
dr r
2 0
ln
r1 r
O
r
P r1
P1 x
由于ln1=0，所以若选离直线为r1=1m处作为电势 零点，则可得P点的电势为
VP 20 ln r
E dl
P
P E1 dl
电势迭加原理
P
E2
dl
U1 U2 Un
qi
4π 0ri
电荷连续分布的带电体：
P r
dq
dq dU
4π 0r
dq
U P 4π 0r
例：求电偶极子电场中任一点（r）的电势。 解：由电势叠加原理
r l
解：
由高斯定理 E 2S qn 2xS E
E
o
2x
o
x
E nqx
o
2d
V
d
Edx
d nqx dx nq
d2 x2