高考数学一轮复习 教师备选作业 第二章 第十二节 导数的应用(一)

高考数学一轮复习 教师备选作业 第二章 第十二节 导数的应用
(一)
一、选择题
1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
2．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2
－4x ＋3，则使得函数f (x ＋1)单调递减的一个充分不必要条件为x ∈( )
A ．(0,1)
B ．[0,2]
C ．(1,3)
D ．(2,4)
3．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( )
A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点
B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点
C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点
D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点
4．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(0,1)
B ．(1，2)
C ．(－2，－2)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
5．若函数f (x )＝2x 2
－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞) B．[1，32
) C ．[1,2) D ．[32
，2) 6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
二、填空题
7．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．
8.如图是y ＝f (x )的导函数的图象，现有四种说法：
(1)f (x )在(－3,1)上是增函数；
(2)x＝－1是f(x)的极小值点；
(3)f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；
(4)x＝2是f(x)的极小值点；
以上正确的序号为________．
9．若函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则p的取值集合是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(0,0)，(2,0)．
(1)求a，b的值；
(2)求x0及函数f(x)的表达式．
11．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
注：e为自然对数的底数．
12．设f(x)＝ax3＋bx＋c为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值与最小值．
详解答案
一、选择题
1．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1＋e x
>0.故f (x )的递增区间为 (0，＋∞)．
答案：A
2．解析：令f ′(x )＝x 2
－4x ＋3<0，得1<x <3，即函数f (x )的单调递减区间是[1,3]，则使得函数f (x ＋1)的单调递减区间是[0,2]，结合题意及选项知．
答案：A
3．解析：由题意，得x >－1，f ′(x )>0或x <－1，f ′(x )<0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点．
答案：D
4．解析：∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，
∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立．
∴f (x )在(－1,1)上是增函数．
又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，
∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为 f (1－a )<f (a 2－1)，
从而可知，a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1－1<a 2－1<1
1－a <a 2－1
，解得1<a < 2. 答案：B
5．解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12
.据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1k －1≥0
，
解得1≤k ＜32
. 答案：B
6．解析：函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函
数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝(62)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案：D
二、填空题
7．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．
答案：2
8. 解析：当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－3，－1)上是减函数，故(1)错误；对(2)，当x <－1时，f ′(x )<0，当x >－1时，f ′(x )>0，故x ＝－1是f (x )的极小值点，故(2)正确，同理可知(4)错误；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，故(3)正确．
答案：(2)(3)
9．解析：由题意知f ′(－2)＝0，f ′(0)＝0，而f ′(x )＝3x 2－2px ，则有12＋4p ＝0，即p ＝－3.故填{－3}．
答案：{－3}
三、解答题
10．解：(1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .
∵f ′(x )的图象过点(0,0)，(2,0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝0，12＋4a ＋b ＝0解得a ＝－3，b ＝0. (2)由f ′(x )＝3x 2－6x >0，得x >2或x <0，
∴在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0,2)上f ′(x )<0，在(2，＋∞)上f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f (x )在x ＝2处取得极小值，所以x 0＝2，由f (2)＝－5，得c ＝－1，∴f (x )＝x 3－3x 2
－1.
11．解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋a x
. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．
(2)由题意得：f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e.
由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，
要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，
只要⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2.
解得a ＝e.
12．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．
即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3
－bx －c .
∴c ＝0.
∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，
∴b ＝－12.
又直线x －6y －7＝0的斜率为16
， 因此f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，
故a ＝2，b ＝－12，c ＝0.
(2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，
列表如下
所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
f (x )的极大值为f (－2)＝82，极小值为
f (2)＝－8 2
又f (－1)＝10，f (3)＝18，
所以当x ＝2时，f (x )取得最小值为－82，当x ＝3时f (x )取得最大值18.。