第1章§3古典概型

第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 某接待站在某周接待了12次来访,已知这12次来访 都是在周二和周四进行的.问是否可以推断接待站的接待时 间是有规定的？ 假设接待站的接待时间没有规定, 且认为来访者每 周任一天到达是等可能的. 则 212 P{12次来访都在周二和周四 } 12 7 0.0000003 概率非常小的事件，称为小概率事件
15/20+2
§3 古典概型 将 4 把能打开四间不同房门的钥匙随机发 给 4 个人,试求 A {至少有一人能打开门 } 的概率. P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) 1 1 1 1 2! 3! 4! 0.625
16/20+2
P( A) P( A1 A2 An ) 1 1 1 1 (1) n1 1 n! 2! 3! 4! 1e 1 0.632
碉堡面积 p 区域总面积
10 0.001 10000
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型
19/20+2
向平面有界区域 投掷一个点 可测量面积的平面区域 A
A 的面积 P( A) 的面积 则称上述试验为几何概型.
事件 A 发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性” 如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型 设事件 A 含 k 个样本点，即 A {i1 , i 2 ,, i k } {i1 } {i 2 } {i k } P( A) P{i1 } P{i 2 } P{i k } 1 1 1 n n n k n
(1)n 1 P( A1 A2 An )
挖补规律: 加奇减偶
第一章
随机事件与概率
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 在一次军事演习中,某舟桥连接到命令要赶到某小 河D岸为行进中的A部队架设浮桥.假设舟桥连将于7点到7点 30分之间到达D岸,架桥需要20分钟时间;A部队将于7点30分 至8点之间到达D岸.试求A部队到达D岸时能立即过河的概率.
20/20+2
设7点为零时,记 x, y 分别表示舟桥连与A部队到达 D岸的时间,则A部队到达D岸时能立即过河的充要条件是
n i 1
1i j n
22/20+2
减二
P( A1 A2 An ) P( Ai ) P( Ai A j )
全加

k P( Ai A j Ak ) 1 i j n
加三 减四
l P( Ai A j Ak Al ) 1 i j k n
§3 古典概型
1/20+2
“抛硬币” 、“掷骰子”等随机试验的特征 ： 只有有限个基本结果 每个基本结果的出现是等可能的 设随机试验的样本空间为 , 若 只含有限个样本点,即 {1 , 2 ,, n } 每个样本点的出现是等可能的,即 P{1} P{2 } P{n } 1 n 则称该试验为等可能概型,也称为 古典概型.
一个有100人的学员队中，有两个人的生日在同一 天是几乎必然的.
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 将 4 把能打开四间不同房门的钥匙随机发 给 4 个人,试求 A {至少有一人能打开门 } 的概率. 4 把钥匙 编号为 1,2,3,4 的球 4 个房门 编号为 1,2,3,4 的盒 不妨给门和钥匙编上号，记 Ai {第 i 把钥匙打开 i 号门 } （i 1,2,3,4) 1(n 1)! 则 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) n! 1(4 2)! P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) 4! P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) 1(4 3)! P( A1 A2(A3 ) 2 (4 2)!A4 ) (4 3)! 4 1 P( A2 A3 1 4 1)! 3 C4 C4 C4 4! C4 4! P( A A !A A ) 1 4! 4 4! 1 1 1 1 2 3 4 4! 1 2! 3! 4! 5 0.625 回忆：多事件的加法公式 8 第一章 随机事件与概率
m1
m2
mn
完成这件事的方法总数
N m1 m2 mn
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型
6/20+2
做一件事共有 n 个步骤
第一步有 m1 种方法 第二步有 m2 种方法 …… 第 n 步有 mn 种方法
n
1
2
完成这件事的方法总数
N m1 m2 mn
第一章 随机事件与概率
17/20+2
假设星期日接待来访者，则 由实际推断原理,可推断接待站接待时间是有规定的. 612 0.157 P{12次来访都在周一至周六 } 12 7 因为这个概率不是很小,故难以断定星期日是否接待来访者.
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型
18/20+2
某1万平方米的区域中，有一个大约10平方米的敌 碉堡.现用迫击炮随机向该区域发射一发炮弹,问能将敌碉 堡摧毁的概率是多少？ 由于炮弹发射的随机性,可认为炮弹落在1万平 方米的区域中任一点是等可能的. 则所求概率为
k An n! k Cn k Ak k !(n k )! n(n 1) (n k 1) k!
取数与次序无关
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型
5/20+2
做一件事共有 n 类方法
第一类方法有 m1 种方法 第二类方法有 m2 种方法 …… 第 n 类方法有 mn 种方法
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 从 N个元素 a1 , a2 ,, a N中有放回地随机取出 n ( N ) 个元素，求 A { 取出 n 个不重复元素 } 的概率.
10/20+2


样本点总数为 N N N N n n 有利场合数为 N ( N 1)( N n 1) AN 故所求概率为 n AN N ( N 1) ( N n 1) P( A) n N Nn
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 袋中有 a 只红球， 只白球, 从袋中随机地将球一个 b 个取出,求第 k 次取出的是红球的概率 (1 k a b). 假设除颜色外球是不可区分的, 将取出的 球排成一行
8/20+2
样本点总数为 Caa b 1 有利场合数为 Caab 1 故所求概率为 1 Caa b 1 pk a a (1 k a b) ab Ca b
x 20 y 0 x 30 30 y 60
y
60
y x 20
这是一个几何概型，所求概率是
30 2 20 2/ 2 7 p 9 30 2
30 20
x
O 10 30
END
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型
21/20+2
第一章
Байду номын сангаас
随机事件与概率
§3 古典概型 对于 n 个事件，有
e 2.71828 将 e 的前800位小数分成160组,每组的5个数字视为从 0,1,2,,9中随机抽出. 数得5个数字都不相同共有52组，其频率为 52 0.325 0.3024 160
考虑无理数
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型
13/20+2
从数字 0,1,2,,9中随机地(可重复)抽 5 个数字,则 抽出的 5 个数字都不相同的概率是 p 9 8 7 6 0.3024 10 5 5架战机要摧毁敌5个地面目标.战斗中每架战机随 机选择一个敌目标投掷一枚炸弹.假设每枚炸弹都准确命中 目标,且一枚炸弹就可摧毁敌目标.求敌5个地面目标全部被 摧毁的概率 p. 考虑5个球(炸弹)进5个盒(目标)的球盒模型. 5个地面目标全部被摧毁等价于每个盒子进一个球 ! p 55 0.0384 5
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 参加某次聚会共 n 个人, 求没有两人生日相
14/20+2
同的概率. n 个人
365个盒子,则 n A365 P{没有两人生日相同} 365 n n A365 P{至少有两人生日相同} 1 365 n
n 只球 , 365 天
n p
20 25 30 40 50 55 100 0.41 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99 0.9999997
第一章 随机事件与概率
§3 古典概型 袋中有 a 只红球， 只白球, 从袋中随机地将球一个 b 个取出,求第 k 次取出的是红球的概率 (1 k a b).
9/20+2
假设除颜色外球是可区分的 假设除颜色外球是不可区分的 确定了样本空间的结构后，有利场合的构造必须与 样本空间结构一致 设有 n 个人的班分到 m ( n) 张音乐会门票，全班采用 抽签的方法来分配门票. 由上例的结果知，任何人是否抽 到门票签与先后次序无关，抽到门票签概率都是 m . n
2/20+2
第一章
随机事件与概率
§3 古典概型
3/20+2
抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率 该试验的样本空间为 {HH, HT, TH, TT} 这是一个古典概型,事件 A : “一个正面一个反面”的有利 场合是 HT, TH
P( A) 2 1 4 2
18世纪著名的法国数学家达朗贝尔 取样本空间为 {HH , HT , TT} 他计算得
§3 古典概型 袋中有 a 只红球， 只白球, 从袋中随机地将球一个 b 个取出,求第 k 次取出的是红球的概率 (1 k a b). 假设除颜色外球是可区分的, 将取出的球 排成一行