静力学

C
=
+
2m 2m 2m
2m
2m
6
2m
+
3
+
6
6
-
五、走路法作梁的剪力图
以梁的左端的集中力的大小和方向起步走，没有荷载的梁段 上平着走，遇到均布荷载斜着走（斜的剃度为均布荷载的大 小），遇到集中力跟着走，遇到集中力偶不理睬。
A
160 kN
D E
40kN m
B
40 kN
F
C
310 kN 2m
120
30
190
130 kN
1m 1m
130
2m
4m
Fab 160 1 2 107 L 3
ql2 4016 80KN m 8 8
130
40
kN
160
kNm
210
340
280
6kN 6kN
A
3kN m
B D
3kN m
三、梁的内力图
梁的内力图是以梁横截面沿轴线的位置为横坐标x，以横 截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出V或M沿x 轴分布的曲线。
绘制剪力图时，一般规定正号剪力画在x轴上侧，负号剪力画在x轴下
侧，并注上正负号 绘制弯矩图时,正弯矩画在x轴的下侧，负弯矩画在x轴的上侧，这也
就是把弯矩图画在梁受拉的一侧,弯矩图可以不注正负号。
绘制内力图的规律：
剪力图
没有荷载水平线
弯矩图
没有荷载斜直线
均布荷载斜直线
集中荷载有突变 力偶不用管
均布荷载抛物线
集中荷载有尖点 力偶有突变
内力V、M 的变化规律
q ( x) 0
qC 0
荷载
F
Mo
水平直线
V 图
+ or 斜直线
F
下斜直线
(剪力图 无突变)
Mo
M 图
or
下凸 抛物线
F处有尖角
叠加法作剪力图和弯矩图
叠 加 法
A
P B
m pl
m Pl
A P B
C
=
l2
+
l2
C
A
C
l2
l2
pl
l
1 Fl 4
+
1 Fl 8
+
1 Pl 4
区段叠加法
原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
MA
q
l
MB
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
3.3
静定平面梁的内力

弯曲变形的内力 剪力和弯矩的计算 梁的内力图
叠加法作弯矩图和剪力图
一、弯曲变形的内力-剪力和弯矩
弯曲—梁（横向力作用）
受力特点：垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶；
变形特点：杆轴由直变弯。
F
q
Me
B
纵
向
对称面
A
x
FAy FBy
y
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁轴线 也在该平面内弯成一条曲线。
为避免符号出错,要求： 未知内力均按符号规定的正向假设。
二、剪力和弯矩的计算
截面法：
任一截面上的剪力等于截面任一侧（左边或右边）所
有垂直方向外力的代数和。
梁任一截面上的弯矩等于截面任一侧（左边或右边）
所有外力对横截面形心之矩的代数和。
【例3-3】简支梁的受力如图3-10所示，己知P1=30kN、 P2=30kN，求1-1和2-2截面的剪力和弯矩。
| V |max ,| M |max 4. 确定内力最大值及其位置。(从图上直接找 简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用直 接法）；熟记内力图的特征。
确定控制截面内力值的方法有三种：
1）截面法；（三个步骤，两套符号规定。）
2）直接法；（由外力定内力符号看梁的变形。） 3）积分法:（微分关系逆运算的应用。）
梁分CA、AD、DB BF段。
各控制面弯矩分别为： MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
2m
12 4 8 10
作图示梁的内力图
3kN
D
4.5kN m
A
2kN m
B E
C
FA 10kN 1m 2m
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3 3
x 1.56
2 2
kNm
2.44
2
80 kN m
例
外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的V---M图。
3kN
C A
2kN/m
6kN m
D B
解： 1、求支反力 VA 7.2kN
VB 3.8kN
1m
4m
VA
1m
VB
2、判断各段V、M图形状：
CA和DB段：q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
V
4.2 (kN)
_
3
+
x=3.1mE源自_3.8 2.2叠加法作剪力图和弯矩图的步骤：
（1）先把作用在梁上的复杂荷载分解为几组简单荷载
单独作用情况； （2）分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯 矩图。（各图已知或容易画出） （ 3）叠加各内力图上对应的纵坐标代数值，得原梁的
内力图。
注意：叠加不是图形的拼合，而是将同一截面上的内力值代数相加； 是各简单荷载下的内力图在对应点的纵坐标相加。
【例3-4】外伸梁如图所示，已知q=5kN/m，P=15kN，
试画出该梁的内力图。
简捷法绘梁内力图的步骤：
1. 求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。） 2. 将梁分段；（以梁上荷载变化处为界，包括：P、m作用点，q的起 止点，梁的支座和端点等）
3. 绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按内力图特征绘图，最后 用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用处应取两侧 截面。）
内力图的形状与荷载对应关系：
（1）无荷载的梁段（q = 0），V=常数，剪力图为水平直线，当V=0时， 剪力图与基线重合；弯矩图为斜直线。 （2）在均布荷载作用的梁段（q=常数），剪力图为斜直线，弯矩图为二 次抛物线，其凸向与q的指向相同。在V = 0处，弯矩图将产生极值。 （3）在集中力F作用处，剪力图有突变，突变值等于F；弯矩图有尖角， 且尖角的方向与F的指向相同。在剪力图变号处，弯矩图中出现极值。 （4）在集中力偶m作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值等于 力偶m。
弯曲变形的内力-剪力和弯矩
截面法求内力： 剪力V——限制梁段上下移动的内力 弯矩M——限制梁段转动的内力偶
剪力和弯矩的符号规定
1）剪力V：截面上的剪力使所取脱离体产生顺时针转动趋 势时为正，反之为负。 2）弯矩M：截面上的弯矩使所取脱离体产生下边凸出的变 形时为正，反之为负。
左上右下，剪力为正；左顺右逆，上压下拉，弯矩为正
A
B
A
B
MB MA 1/8qL2
6kN
2kN m
B D
梁分两段：AB段和BD段。 AB段A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
A
C
2m
2m
2m
A
2
4 B 1
D
4
支座反力RA=15KN RB=11KN
6KN C
8KN
q=2KN/m A 4m RA D E 2 2m m q=2KN/m B F 2m RB
外力情况 剪力图特征
q<0(向下) ↘(向下斜直线)
无荷载段 水平线
集中力F作用 处：
集中力偶M作 用处：
突变，突变值 不变 为F
弯矩图特征
(下凸抛物线)
斜直线
有尖点
有突变，突变 值为M
最大弯矩可 剪力为零的截 能的截面位置 面
剪力突变的截 弯矩突变的某 面 一侧
①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； ②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； ③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称 ；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称
AD段：q<0， V图为向下斜直线，
M图为上凸抛物线。
M
_
3
3、先确定各分段点的V 、M值， 用相应形状的线条连接。
(kN· m)
1.41
3.8
+
四、叠加法作梁的弯矩图和剪力图
当结构受到两个或两个以上力的作用时，合力
作用产生某一量值的大小与各个单独力作用在该结 构上产生该量值的大小之和，这个量值可以是支座 反力、内力、变形等等。