高三数学大一轮复习简单的线性规划问题学案理新人教A版
【高考A计划】高考数学第一轮复习 第47课时 简单的线性规划学案
【高考A 计划】2014高考数学第一轮复习 第47课时 简单的线性规划学案 新人教A 版课题一：简单的线性规划 一．复习目标：1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际问题的能力． 二．知识要点：已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点00(,)P x y ．1．①若0B >，000Ax By C ++>，则点00(,)P x y 在直线的 方； ②若0B >，000Ax By C ++<2．①若0B >，0Ax By C ++>②若0B <，0Ax By C ++>三．课前预习：1．不等式240xy -->()A 左上方 ()B 右上方2()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩()B 210x y x y -⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩()C 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩()D 210x y x y -⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩3．给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）()A 14 ()B 35 ()C 4 ()D 534．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧， 则a 的取值范围是 ．2)5.由|1|1y x ≥+-及||1y x ≤-+表示平面区域的面积是 .四．例题分析：例1．某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/时（420v ≤≤）从A 港到相距50海里的B 港去，然后乘汽车以ω千米/时（30100ω≤≤）自B 港到相距300千米的C 市去，计划在当天下午4至9时到达C 市.设乘船和汽车的时间分别为x 和y 小时，如果已知所要的经费（单位：元）1003(5)(8)P x y =+⋅-+-，那么v ，ω分别是多少时所需费用最少？此时需要花费多少元？ 小结：例2．某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与载重量为8吨的B 型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A 型车350元，B 型车400元.问每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？ 小结：小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．三个点(1,1)P 、(2,2)Q 、(0,1)R -中，在由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成区域中的个数有 （ ） ()A 3个 ()B 2个 ()C 1个 ()D 0个2．已知集合{(,)||||1}A x y x y =+≤，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，M A B =，则M 的面积是 ．3．已知整点(,3)P a 在不等式组430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则a 为 ．4．某人有楼房一幢，室内面积共1802m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为182m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？5．已知三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示.现在将xkg 的食物和的食物及的食物混合，制成100的混合物.如果这100kg 的混合物中至少含维生素A 44000单位与维生素B 48000单位，那么,,x y z 为何值时，混合物的成本最小？6．设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又4(1)1f -≤-≤，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时,a c 的值．。
高考数学一轮总复习 第39讲 简单的线性规划问题课件 理 新人教A版
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1.二元一次不等式（组）表示(biǎoshì) 的平面区域
(1) 一 般 的 ， 二 元 一 次 不 等 式 Ax+By+C>0 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 (biǎoshì)直线Ax+By+C=0某一侧的所有点 组成的平面区域（半平面）不含边界线； 不等式Ax+By+C≥0所表示(biǎoshì)的平面 区域(半平面)包括边界线.
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1.理解线性约束条件、线性目标函数、 线性规划的概念；
2.掌握在线性约束条件下求线性目标 函数的最优解；
3.了解线性规划问题的图解法； 4.掌握应用简单的线性规划解决生产 实际中资源配置(zī yuán pèi zhì)和降低资 源消耗等问题，培养建立数学模型的能力.
【点评】线性规划问题关键在于审题、建模；通常要 根据实际列出具有约束条件的不等式组，确定目标函数， 分析其几何意义，转化成求最大(小)值问题．
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素材 (sùcái
)3 某工厂生产甲、乙两种产品，生产 1 吨甲产品需要电 力 5 千瓦时，煤 3 吨，劳动力 5 人，获利 700 元；生产 1 吨乙产品需要电力 6 千瓦时，煤 6 吨，劳动力 3 人，获利 900 元．该厂现有工人 150 人，电力负荷 180 千瓦时，煤 150 吨，问这两种产品各生产多少吨时，才能获得最大的经 济效益？
AC 的方程为 2x－y＋2＝0； BC 的方程为 2x＋y＋6＝0. 由此可知选 C.
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二 简单线性规划(xiàn xìnɡ ɡuī huá)问题
x－y＋2≥0
2022高考数学文人教A版一轮复习学案：7.1-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-【含解析】
第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预案自诊知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的相关概念1.二元一次不等式表示的平面区域二元Ax+By+C ≥0(A>0,B>0)Ax+By+C≤0(A>0,B>0)Ax+By+C ≥0(A>0,B<0)Ax+By+C≤0(A>0,B<0)平面 区域考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )<0.( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax+by-z=0在y 轴上的截距. ( ) 2.不等式组{x -3y +6<0,x -y +2≥0表示的平面区域是( )3.(2020湖南长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x +3y -6≤0,x +y -2≥0,y ≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是( ) A.1B.√2C.2D.2√24.(2020福建漳州二模,文14)若实数x ,y 满足{x +y ≥2,x +3y -3≤0,y ≥0,则yx 的最大值是 .5.(2020全国2,文15)若x ,y 满足约束条件{x +y ≥-1,x -y ≥-1,2x -y ≤1,则z=x+2y 的最大值是 .关键能力学案突破考点二元一次不等式(组)表示的平面【例1】(1)(2020河南天一大联考)不等式组{x -2≤0,x -2y +4≥0,-x -y +2≤0表示的平面区域的面积为 .(2)已知实数x ,y 满足{x ≥1,x -2y +1≤0,x +y ≤m ,若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为 .(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么?解题心得1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则①当B (Ax+By+C )>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B (Ax+By+C )<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.2.求平面区域的面积的方法:(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和.(3)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.对点训练1(1)已知不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0,表示的可行域为D ,则可行域D 的面积为( )A.2√3B.2C.√3D.√32(2)设命题p :实数x ,y 满足{x -y ≤0,x +2y ≤2,x ≥-2,命题q :实数x ,y 满足(x+1)2+y 2≤m ,若p 是q 的必要不充分条件,则正实数m 的取值范围是 .考点求目标函数的最值问题 (多考向探究)考向1 求线性目标函数的最值【例2】(1)(2020全国1,文13)若x ,y 满足约束条件{2x +y -2≤0,x -y -1≥0,y +1≥0,则z=x+7y 的最大值为 .(2)(2020福建福州模拟,理13)设x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2,则z=x-3y 的最小值?求非线性目标函数的最值【例3】(1)(2020河南郑州质检)已知变量x ,y 满足{x -2y +4≤0,x ≥2,x +y -6≥0,则k=y+1x -3的取值范围是( )A.(-∞,-5]∪12,+∞B.-5,12C.(-∞,-5)∪12,+∞D.-5,12(2)(2020安徽马鞍山模拟)已知实数x ,y 满足{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x ,则x 2+y 2的最大值与最小值之和?求参数值或取值范围【例4】(1)设x ,y 满足不等式组{x +y -6≤0,2x -y -1≤0,3x -y -2≥0,若z=ax+y 的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a 的取值范围为( )A .[-1,2]B .[-2,1]C .[-3,-2]D .[-3,1](2)(2020江西南昌十中月考)若实数x ,y 满足不等式组{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a ,若目标函数z=ax-2y的最大值为13,则实数a 的值是( )B.4C.5D.6?4 最优解不唯一的条件下求参数的值【例5】已知x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为 .,目标函数有什么特点?解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.对点训练2(1)(2020山西太原五中二模,理5)若x ,y 满足约束条件{x -2y -2≤0,x -y +1≥0,y ≤0,则z=3x+2y的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2020浙江衢州二中检测)若实数x,y满足约束条件{x-y+1≥0,2x+3y≤6,y+1≥0,则z=2|x|-y的最小值是()A.-25B.5C.-1D.-2(3)(2020江西高三月考,文7)已知{x-y+1≥0,7x-y-7≤0,x≥0,y≥0表示的平面区域为D,若“∃(x,y),2x+y>a”为假命题,则实数a的取值范围是()A.[5,+∞)B.[2,+∞)C.[1,+∞)D.[0,+∞)(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x,y满足{x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,则函数z=4x·(18)y的最小值为.考点线性规划的实际应用【例6】某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少???其注意事项是什么?解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量;(3)根据问题的特点,写出约束条件;(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元B.5.5万元C.6.5万元D.10万元1.非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.2.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.第七章不等式、推理与证明7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×2.C3.B 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O 到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min =√2=√2.4.13 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,设y x =k OP ,P 为可行域上一点,其中O (0,0),P (x ,y ),由{x +y =2,x +3y -3=0,得A32,12,所以由图可知,当P 位于A 时,(y x )max =k OA =13.5.8 作出可行域如图所示(阴影部分).因为z=x+2y ,所以y=-12x+z2.作出直线y=-12x ,平移直线可知,当直线过点A 时,z2最大,即z 最大. 由{2x -y =1,x -y =-1,解得{x =2,y =3,故A (2,3).所以z max =2+2×3=8.关键能力·学案突破例1(1)3 (2)(2,+∞) (1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,平面区域为△ABC 及其内部,其中A (2,0),B (0,2),C (2,3), 所以所求面积为12×2×|AC|=3.(2)如图所示,{x ≥1,x -2y +1≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分,易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A (1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A 位于直线x+y=m 下方,据此有1+1<m ,即m 的取值范围为(2,+∞).对点训练1(1)C (2)0,12 (1)作出不等式组{x ≥0,x -√3y ≤0,x +√3y -2√3≤0对应的可行域如图,由{x =0,x -√3y =0,得A (0,0),由{x -√3y =0,x +√3y -2√3=0,得C (√3,1),由{x =0,x +√3y -2√3=0,得B (0,2),则区域D 的面积S=12×2×√3=√3.故选C. (2)根据题意,m 为正实数,所以满足q 的点(x ,y )在以(-1,0)为圆心,以√m 为半径的圆周及其内部,记作Q ,满足条件p 的点构成的集合记作P ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以Q ⫋P.如图,设直线x=-2和直线x+2y=2的交点为A ,直线x-y=0和直线x+2y=2的交点为B ,直线x=-2和直线y-x=0的交点为C , 则点(-1,0)到直线AC 的距离d 1=1, 点(-1,0)到直线BC 的距离d 2=√1+1=√22,点(-1,0)到直线AB 的距离d 3=√12+22=3√55, 所以点(-1,0)到三角形ABC 边界的最小距离为√22.所以√m ≤√22,即m ∈0,12.例2(1)1 (2)-7 (1)画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y 变形可得y=-17x+17z ,平移直线y=-17x.由图可得z 在点A 处取得最大值. 由{x -y -1=0,2x +y -2=0,得{x =1,y =0,所以A (1,0),所以z max =1+7×0=1.(2)在坐标系中画出x ,y 满足约束条件{2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,x ≤2的可行域,如图所示,由z=x-3y 可得y=13x-13z ,则-13z 表示直线z=x-3y 在y 轴上的截距,截距越大,z 越小,平移直线x-3y=0,经过点A 时,z 最小,由{x =2,x -2y +4=0,可得A (2,3),此时z min =2-3×3=-7.例3(1)A (2)112 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.由于k=y+1x -3表示动点M (x ,y )与定点P (3,-1)连线的斜率.又k PA =4-(-1)2-3=-5,且直线x-2y+4=0的斜率为12.所以k 的取值范围为(-∞,-5]∪12,+∞.(2)作出不等式组{x ≤1,y ≤x +1,y ≥1-x 表示的可行域,如图阴影部分所示,x 2+y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方,由图可知,点O 到直线x+y-1=0的距离最小,为√22.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大,为√22+12=√5. 所以x 2+y 2的最大值与最小值之和为5+12=112.例4(1)B (2)A (1)由z=ax+y 得y=-ax+z ,如图,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),则A (1,1),B (2,4).由题意和图可知,直线z=ax+y 过点B 时,取得最大值为2a+4,过点A 时,取得最小值为a+1,若a=0,则y=z ,此时满足条件,若a>0,k=-a<0,则目标函数的斜率满足-a ≥k BC =-1,即0<a ≤1,若a<0,k=-a>0,则目标函数的斜率满足-a ≤k AC =2,即-2≤a<0.综上,a 的取值范围是[-2,].(2)画出满足条件{x +y -1≥0,x -y +1≥0,x ≤a 的可行域,如下图所示,根据图象可得a>0,目标函数化为y=a2x-z2,当目标函数过A (a ,-a+1)时取得最大值,所以a 2+2a-2=13,a 2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.例5-1或2 作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax 可化为y=ax+z ,令l 0:y=ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a=-1或a=2.对点训练2(1)C (2)C (3)A (4)116 (1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,由z=3x+2y ,得y=-32x+z 2,根据图象可知,当过M 点时,z 取最大值, 联立{x -2y -2=0,y =0,解得x=2,y=0,所以M (2,0),则z 的最大值为6.故选C.(2)作不等式组表示的可行域如图,由z=2|x|-y 可得y=2|x|-z ,作y=2|x|图象,由图象可知,当向上平移y=2|x|过点A 时,-z 最大,即z 最小,令x=0,由y=x+1可得A (0,1),所以z min =2×0-1=-1,故选C.(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,令Z=2x+y ,得y=-2x+Z ,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程{x -y +1=0,7x -y -7=0,得点A 43,73,所以Z=2x+y 的最大值为5,因为“∃(x ,y )∈R ,2x+y>a ”为假命题,所以“∀(x ,y ),2x+y ≤a ”为真命题,所以实数a 的取值范围是[5,+∞),故选A.(4)作出不等式组所表示的可行域如下,因为z=4x ·(18)y=22x-3y ,令t=2x-3y ,则y=23x-t3,当直线y=23x-t 3过点M 时,在y 轴截距最大,此时t 取最小值,则z=2t 最小. 由{y =2,x +2y -5=0,得M (1,2),所以t min =2-3×2=-4,则z min =116. 例6解由题意可画表格如下(1)设只生产书桌x 个,可获得利润z 元, 则{0.1x ≤90,2x ≤600,解得{x ≤900,x ≤300,则x ≤300. 因为z=80x ,所以当x=300时,z max =80×300=24000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元. (2)设生产书桌x 张,书橱y 个,利润总额为z 元. 由题可得{x +2y ≤900,2x +y ≤600,x ≥0,y ≥0,z=80x+120y.在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.作直线l :80x+120y=0,即直线l :2x+3y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点M (100,400), 此时z=80x+120y 取得最大值. 所以当x=100,y=400时,z max =80×100+120×400=56000(元), 即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.对点训练3B 设冬瓜和茄子的种植面积分别为x ,y 亩,总利润z 万元,则目标函数z=(0.5x ×10000-2000x )+(1.4y ×5000-3000y ) =3000x+4000y=1000(3x+4y ),由题可得{x +y ≤15,2000x +3000y ≤40000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤15,2x +3y ≤40,x ≥0,y ≥0,作出可行域如图,由{x +y =15,2x +3y =40,可得{x =5,y =10,即A (5,10),平移直线l :3x+4y=0,可知直线l 经过点A (5,10)时,即x=5,y=10时,z 取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.。
高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案新人教A版必修5(2)
3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝－1，x－y＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝4，x－y＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1.∴2×3－3×1<z＝2x－3y<2×1－3×(－2)，即3<z<8，故z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．8．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．答案 2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,2)，B(3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12x＋y≤103x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 简单的线性规划问题》
一、指导思想：“新课程标准”从课程的设置、结构、课堂教学活动上做了较大的改革，提出了要“以学生的发展”为宗旨的基本理念，要求数学教学不仅使学生掌握数学的基础知识，掌握数学方法，更重要的是学会“数学地思维”，获得更高的数学素养。
本节课本着让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程,激发和培养学生的思维品质。
所以本节课关注以下几点：1、关注学生的认知发展，使学生在教师引导下进行“再创造”, 从而使学生主动构建自己的知识结构。
2、采用问题驱动和实践探究使学生体会知识的形成过程。
3、培养学生的数学思维，让学生在实践中、在不断克服困难和反思总结中得到思维的锻炼。
二、教学内容《简单的线性规划》内容是人教A版《必修5》，第三章、第三节简单线性规划（第2课时），是在学习了不等式性质、简单认识了直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识。
本课时是本节的核心内容。
内容本质是把代数式最值的问题转化为相应与直线截距相关的问题。
是在几何平台上，借助代数的“入微”分析，将抽象的问题具体化、直观化。
内容中渗透了化归、数形结合以及运动变化思想。
同时它也为以后用数形结合解决很多问题提供了思路范例。
三、学情分析首先我班是理科实验班学生，具有较好的数学基础。
学生也已初步具备的归纳总结、抽象概括等思维能力，但这些能力还需要具体、特殊的形象支撑。
具体地说：学生已经了解了不等式的性质，理解并会用“数形结合”的思想进行二元一次不等式组和平面区域间的相互转化。
但学生缺乏自觉主动地进行“数”与“形”转化的意识，再者学生还不能灵活进行代数式、方程、直线、函数间的相互转化。
四、教学目标：1了解线性规划的意义及有关概念；理解线性规划的图解法；学会利用图解法求线性目标函数的最优解。
2通过对知识的探究和实践,重点体会数形结合思想的意义和价值。
3．感受由特殊到一般、由具体到抽象的认识事物的方法，培养探索精神和严密分析问题的态度，增强学生学习数学的兴趣。
【赢在课堂】高考数学一轮复习 7.3简单的线性规划问题配套课件 理 新人教A版
B,C 之间. 所以目标函数线过 A 点取得最大值, 最小值
������ ������ min ������ ������ max
=
7������ 2 ������ =7,过切点(c,ec)取得 2
=
e������ ������ =e,故 的取值范围为[e,7]. ������ ������
)
B.(-2,0) D.(2,0) ������ + ������-1 < 0, 所表示的平面区域,如图所示. ������-������ + 1 > 0
由图可知点(0,-2)在此平面区域内.
3.如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式表示为(
)
A.2x-y-3<0 B.2x-y-3>0 C.2x-y-3≤0 D.2x-y-3≥0 【答案】B 【解析】将原点(0,0)代入 2x-y-3 得 2×0-0-3=-3<0, 所以不等式为 2x-y-3>0.
【答案】B 【解析】由约束条件可得可行域:
对于目标函数 z=3x-2y, 可化为 y= x- z, 要使 z 取最小值,可知过 A 点时取得. 2������ + ������-2 = 0, ������ = 0, 由 得 即 A(0,2), ������ = 2 , ������-2������ + 4 = 0 ∴ z=3×0-2×2=-4.
T 题型二简 单的线性规划
������-������ ≤ 10, 例 2 设变量 x,y 满足 0 ≤ ������ + ������ ≤ 20,则 2x+3y 的最大值为 0 ≤ ������ ≤ 15, ( ). A.20 【答案】D B.35 C.45 D.55
高三数学大一轮复习 简单的线性规划问题学案 理 新人教A版
简单的线性规划问题导学目标： 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．自主梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的正负．当C ≠0时，常选用______________．对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，①Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0______的区域； ②Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0______的区域．(2)画不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组． (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题． (4)可行解：满足________________的解(x ，y )． (5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解． 3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________． 自我检测1．(2011·北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )3．(2010·重庆)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．64．(2010·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．(2010·天津河西高三期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________.探究点一 不等式组表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？变式迁移1 (2011·安庆模拟)在平面直角坐标系中，有两个区域M 、N ，M 是由三个不等式y ≥0，y ≤x 和y ≤2－x 确定的；N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t ＋1 (0≤t ≤1)所确定．设M 、N 的公共部分的面积为f (t )，则f (t )等于( )A ．－2t 2＋2t B.12(t －2)2C ．1－12t 2D ．－t 2＋t ＋12探究点二 求目标函数的最值例2 (2010·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2变式迁移2 (2010·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 探究点三 线性规划的实际应用例3 某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？变式迁移3 (2010·四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱数形结合思想的应用例 (12分)变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值；(2)设z ＝yx ，求z 的最小值； (3)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．【答题模板】 解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．[4分](1)由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z3.当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3最小，z 最大．∴z max ＝4×5－3×2＝14.[6分](2)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.[9分](3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.∴2≤z ≤29.[12分] 【突破思维障碍】1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：画出可行域→明确目标函数z 的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；x －a 2＋y －b 2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．(2)y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键． 【易错点剖析】本题会出现对(2)(3)无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．1．在直角坐标系xOy 内，已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与点P (x 0，y 0)，若Ax 0＋By 0＋C >0，则点P 在直线l 上方，若Ax 0＋By 0＋C <0，则点P 在直线l 下方．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外任意取两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，若P 、Q 在直线l 的同一侧，则Ax 1＋By 1＋C与Ax 2＋By 2＋C 同号；若P 、Q 在直线l 异侧，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．3．线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·龙岩月考)下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0)2．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.143．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3 4．(2011·安徽)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－1 5．(2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·北京改编)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．7．(2011·长沙一中月考)已知实数x 、y 同时满足以下三个条件：①x －y ＋2≤0；②x ≥1；③x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是______________．8．(2011·湖南师大月考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是____________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2010·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？10．(12分)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．11．(14分)(2011·杭州调研)预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？学案35 简单的线性规划问题自主梳理1．(1)原点(0,0) ①上方 ②下方 2.(4)线性约束条件 (5)可行解 (6)目标函数 3.(3)最优解 自我检测1．B 2.C 3.C 4.C 5．7课堂活动区例1 解题导引 在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计．解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．变式迁移1 D [作出由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x组成的平面区域M ，即△AOE 表示的平面区域，当t ＝0时，f (0)＝12×1×1＝12，当t ＝1时，f (1)＝12×1×1＝12，当0<t <1时，如图所示，所求面积为f (t )＝S △AOE －S △OBC －S △FDE ＝12×2×1－12t 2－12[2－(t ＋1)]2＝－t 2＋t ＋12， 即f (t )＝－t 2＋t ＋12，此时f (0)＝12，f (1)＝12，综上可知选D.]例2 解题导引 1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．2．线性目标函数z ＝ax ＋by 取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b >0时，最优解是将直线ax ＋by ＝0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的，当b <0时，则是向下方平移．B[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝1得A (2,1)，∴z max ＝10.]变式迁移2 A [作出可行域如图所示．目标函数y ＝34x －14z ，则过B 、A 点时分别取到最大值与最小值．易求B (5,3)，A (3,5)．∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11.]例3 解题导引 解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过点M 时，目标函数取得最大值．由方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.所以点M 的坐标为(100,200)．所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)． 答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．变式迁移3 B[设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．]课后练习区1．C 2.B 3.C 4.B 5.C 6．(1,3]7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y －7＝0⇒A (1,6)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0x ＋y －7＝0⇒B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92， ∴k OA ＝6，k OB ＝95.∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6，即y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6. 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 解析作可行域，如图．因为函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象是过点P (－1,1)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点A (1,2)时，k 取最大值12，当直线l 过点B (3,0)时，k 取最小值－14，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12. 9．解 设该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z ＝2.5x ＋4y .(2分)可行域为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .(6分)作出可行域如图所示：(9分)经试验发现，当x ＝4，y ＝3时，花费最少，为2.5×4＋4×3＝22(元)．故应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．(12分)10．解作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故x ＋2y －4>0，将点C (7,9)代入z 得最大值为21.(4分)(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(8分) (3)z ＝2×y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12连线的斜率的两倍，因此k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.(12分)11．解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，(2分)把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752. 所以B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752.(9分)所以满足条件的可行域是以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，2007、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752、O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．(12分)由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．(14分)。
最新人教版A版高三数学(理)高考一轮复习6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教学设计及答案
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题简单的线性规划(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面 区域易误提醒 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式为ax ＋by ＋c >0(a >0)．必备方法 确定二元一次不等式表示平面区域的方法：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧．[自测练习]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )解析：x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分． 答案：B2．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：平面区域如图所示．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.答案：C知识点二 线性规划中的基本概念易误提醒 线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函取得最值的点不一定只有一个，也可能有无多个，也可能没有．[自测练习]3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7,23]B ．[8,23]C ．[7,8]D ．[7,25]解析：画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函取到最小值，解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函取到最大值，解方程组⎩⎨⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23，故选A.答案：A4．已知点P (x ，y )满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤1，x －y －1≤0，目标函z ＝x ＋ay (a <0)的最大值和最小值之和为0，则a 的值为( )A ．－32B ．－2C ．－1D ．－12解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A (1,0)，B (2,1)，C (1,1)，当z ＝x ＋ay 过点A ，B ，C 时，z 的值分别为1,2＋a,1＋a .∵a <0，∴z min ＝1＋a .①当2＋a >1，即a >－1时，z max ＝2＋a ，∴2＋a ＋1＋a ＝0，a ＝－32(舍去)；②当2＋a ≤1，即a ≤－1时，z max ＝1，∴1＋1＋a ＝0，a ＝－2，符合条件，故选B.答案：B考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域|1．(2016·济南模拟)不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.答案：B2．(2015·高考重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m >－1.由⎩⎨⎧ x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )．由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m .因为S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋m －⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋23m ＝13(m ＋1)2＝43，所以m ＝1或m ＝－3(舍去)，故选B.答案：B3．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x ≥1，y ≥1，2x ＋y ≤10，B ＝{(x ，y )|3x －y －11＝0}，则A ∩B 中元素的个为( )A ．0B ．1C ．2D ．无解析：由题意作出集合A 表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合B 表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故A ∩B 中的元素有无个．答案：D确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(1,0)或(0,1)点．考点二 线性目标函的最值及应用|线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代和几何的双重形式，多与函、平面向量、列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函的最值． 2．求非线性目标函的最值． 3．求线性规划中的参． 4．线性规划的实际应用． 探究一 求线性目标函的最值1．(2015·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z＝x ＋y 的最大值为________．解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12处，z 取得最大值，且z max ＝32.答案：32探究二 求非线性目标函的最值2．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1,3)处，yx 取得最大值3.答案：3探究三 求线性规划中的参值或范围3．(2015·高考山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，作出过点D (0,4)的直线，由图可知，目标函在点B (2,0)处取得最大值，故有a ×2＋0＝4，解得a ＝2.答案：B4．已知实x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函z ＝y －ax (a ∈R )取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：如图所示，当a ≤0时，直线y ＝ax ＋z 知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a >0时，目标函z ＝y －ax 要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a >1，故选A.答案：A探究四 线性规划的实际应用5．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.答案：D1．求目标函的最值的三个步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，解目标函的意义． 2．常见的目标函有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函的最值常将函z ＝ax ＋by 转为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.20.转思想在非线性目标函最值问题中的应用【典例】变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．[思维点拨] 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．[解](1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29. (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.∴2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝ －3－5 2＋ 2－2 2＝8.∴16≤z ≤64.[方法点评] (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用转思想与形结合的思想方法，给目标函赋予一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．[跟踪练习] (2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A.94B.47C.34D.12解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·唐山期末)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：变量x ，y 满足的区域如图阴影部分所示：目标函z ＝2x ＋3y 在点(2,1)处取得最小值7，故选A. 答案：A2．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.13 C.12D ．1解析：作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1，故选D.答案：D3．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a－b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎨⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1，故选B.答案：B4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a >0，b >0，∴ab ∈(0,4]，故选B.答案：B5．已知实x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.答案：D6．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．解析：由目标函z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝ 3.答案： 37．已知实x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．解析：目标函w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.答案：928．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．解析：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．答案：279．已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，求z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40解析：作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函经过点(0,3)时，z 取得最大值18.答案：C2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B3．(2015·高考广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y ＝－32x ＋z2经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎨⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝45，此时，z min ＝3×1＋2×45＝235.答案：B4．(2014·高考安徽卷)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：45．(2015·高考北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．解析：由题意，目标函z＝2x＋3y的可行域为△ABC边界及其内部(如图所示)，令z＝0，即2x＋3y＝0，平移直线2x＋3y＝0至目标函的可行域内，可知当2x＋3y＝z过点A(2,1)时，z取得最大值，即z max＝2×2＋3×1＝7.答案：7。
高中数学 简单的线性规划问题教案3 新人教A版必修4
3.3.2 简单的线性规划问题3一、学习目标1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域； 2． 能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件。
3. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题。
二、学习重点体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题。
三、学习难点培养学生如何把实际问题转化为数学问题的能力。
四、学习过程（一）复习旧知：1、二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
2、三种区域的判断方法 类斜截式法 特殊点法 简易判断法 （二）学习新知1、判断下列求法是否正确若实数 x, y 满足 ① 求2x+y 的取值范围.②解：由①、②同向相加可得：6≤2x ≤10 ③由②得：-4≤y-x ≤-2将上式与①式同向相加得 0≤y ≤2 ④ ③+④得 6≤2x+y ≤12如果错误错在哪？如何来解决这个问题呢？ 2、问题转化：本题即求在满足 的前提下，求2x+y 的最大和最小值问：求2x+y 的最大最小值x 、y 要满足什么条件？在坐标系中代表哪部分平面区域？在这个区域中，如何取到2x+y 的最大最小值？令Z=2x+y ，得到y=-2x+Z,斜率是 ，纵坐标上截距是 要求Z 的最大（最小）值就是使直线y=-2x+Z 的 最大（最小） 如何作出这条直线？ （方法总结）在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为：画、移、求、答概念剖析： 线性目标函数：①关于 x 、y 的一次式 z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ②线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ③可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x , y ) 叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． （三）实战演练练 1. 求 z = 2 x + y 的最大值，其中x 、 y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩变式训练：已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，求2Z x y =-的取值范围（有不同的地方吗？）线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如 何合理安排和规划，能 以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：例 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费 28 元；而1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费 21 元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg ？⎩⎨⎧≤-≤≤+≤.42,64y x y x ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤.42,64y x y x（3）列出线性目标函数（4）利用线性规划解题（会遇到什么问题，如何解决）巩固练习：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3000 元、2000 元. 甲、乙产品都需要在A、B 两种设备上加工，在每台A、B 设备上加工 1 件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工 1 件乙和设备所需工时分别为 2h、1h，A、B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400h 和 500h. 如何安排生产可使收入最大？（四）自我回顾学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解（五）课后实践1. 目标函数z = 3x - 2 y ，将其看成直线方程时，z的意义是（）.A．该直线的横截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的一半的相反数D．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x 、y 满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z = 2x + 4 y 的最小值为（）.A． 6 B． - 6 C．10 D． - 103. 在如图所示的可行域内，目标函数z = x + ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（）4. 已知点（ 3，1 ）和（ - 4，6 ）在直线3x - 2y + a = 0的两侧，则a 的取值范围是 _____________.5.在 D ABC 中，A（3，- 1），B（- 1，1），C（1，3），写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组.6. 求z = 3x + 5 y 的最大值和最小值，其中x、y 满足约束条件5315153x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩。
高中数学 3.3.2简单的线性规划问题(一)全册精品教案 新人教A版必修5
3．3 简单的线性规划问题第一课时 简单的线性规划问题（一）一、教学目标(1)知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、 最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(2)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(3)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣二、教学重点、教学难点教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解三、教学过程（一）复习引入1、某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有的日生产安排是什么？（1）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：28,416,412,00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩※（2）将上述不等式组表示成平面上的区域，如图3.3-9中阴影部分的整点。
（3）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少？变形：把22333z z x y y x =+=-+转变为， 这是斜率为32-，在y 轴上的截距为3Z 的直线，当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线； 233z y x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经点P 时截距3z 最大 平移——通过平移找到满足上述条件的直线表述——找到给M （4，2）后，求出对应的截距及z 的值（二）新课讲授1、概念引入（1）若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组28,416,412,00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件 ，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的23z x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
高中数学 简单的线性规划问题教案4 新人教A版必修4
§3.3.2 简单的线性规划问题4一、学习目标1.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；2.掌握寻找整点最优解的方法；3.求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义） 二、学习重点掌握寻找整点最优解的方法。
三、学习难点求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）。
四、学习过程（一）复习：已知变量 x , y 满足约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求2x+y 的最值目标函数：约束条件： 可行解： 可行域： 最优解：（二）学习新知 实例感知题型一：寻找整数点最优解的方法 例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示：今需要三种规格的成品分别为12 块、1 5 块、2 7 块，各截这两种钢板多少张可得所需 A 、B 、C 、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？知识小结：寻找整点最优解的方法1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验。
注意点：网格法要求做图精确，当不容易判别哪个解更接近最优解时可将各个可能逐一检查即可见分晓。
（三）实战演练北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？题型二：求解非线性目标函数的最值例2：已知：2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求（1）y z x =的最大值和最小值（2）22z x y =+的最大值（1）画出可行域（2）思考y z x=，22z x y =+的几何意义知识小结：非线性目标函数求解需结合目标函数的几何意义变式训练：已知2040250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求：（1）221025z x y y=+-+的最小值（2）211yzx+=+的范围巩固练习：已知x、y满足约束条件2510236210x yx yx y+≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩，求11yx++的取值范围（四）自我回顾课堂小结：1.掌握寻找整点最优解的方法；（平移求解法、调整最优值、逐一检验法）2. 求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）（五）课后实践1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是（）.A．50x + 40y = 2000 B．50x + 40y ≤ 2000C．50x + 40y ≥ 2000 D．40x + 50y ≤20002. 变量x, y 满足约束条件232421229360,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩则使得z = 3x + 2 y 的值的最小的(x, y ) 是（）.A．（4，5） B．（3，6） C．（9，2）D．（6，4）3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件。
高中数学 3.3.1简单的线性规划问题学案 新人教A版必修5
§3.3.1 简单的线性规划问题(1)学习目标1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.学习过程一、课前准备阅读课本Ｐ８７至Ｐ８８的探究找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．二、新课导学※学习探究在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点．（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：新知：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．※ 典型例题例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？※ 动手试试： 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩三、总结提升※ 学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的一半的相反数在于D ．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）.A ． 6B ．-6C ．10D ．-103. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.C （4，2） A （1，1） B （5，1） O xyA. -3B.3C. -1D.14. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是 .课后作业 ： 求35z x y =+的最大值和最小值，其中x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩.。
【K12学习】高三数学《简单线性规划问题》学案人教A版
高三数学《简单线性规划问题》学案人教A版一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策.本节的教学重点是线性规划问题的图解法.数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法,本节教学内容中蕴含了丰富的属性结合素材，具体表现为:不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.二元一次不等式与为平面内点的坐标的结合.线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定了基础,使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题;过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力;在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活;体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
教学重点:求线性规划问题的最优解教学难点:学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
三、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。