复数范围内实系数一元二次方程答案
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，其对应的点落在第四象限。
故选D。
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。
4.若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则A．2B．C．D．【答案】A【解析】，复数为纯虚数，则，解得：。
故选A。
【考点】复数的概念点评：在复数中，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当时，复数为纯虚数。
5.若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数是纯虚数，则可知 (2+ai)(1+i)=，那么可知2-a=0,故可知a=2，答案为D.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。
复数的四则运算——高中数学湘教版(2019)必修二
2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
微思考
in(n∈N+)有什么规律?
提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)=
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究二
复数的乘法与除法运算
例 2 计算下列各题:
(1)(1-2i)(3+6i);(2)(5-2i)
6
(4)( 3-i) ;(5)
4+4i
2
(2-i)
;(6)
2-i
;(3)-4-3i ;
2
1+i 8
.
1-i
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部
与虚部要完全分开的形式.
变式训练 2 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
(2)
1
2
+
3
i
2
3
2
+
1
i
2
(1+i);
(3)(-2+3i)÷(1+2i);
3+2i
(4)
2-3i
第3章
3.2
复数的四则运算
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,
复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）1、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=2(x x3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ⨯ ）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z12i7、适合方程2560z z -+=的复数z ；若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2()60a bi +-=222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。
高考数学复数典型例题附答案
1, 已知复数求k的值。
的值。
解：解：，∴由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评：点评：(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。
均为实数。
比较大小，更无正负之分，因此，（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。
2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。
的值，并求出此实根。
解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。
点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。
充要条件求解。
3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。
的取值范围。
解：设，。
由得①对应点在第二象限，故有对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得 ，即于是由②，④得再注意到a<0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。
此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。
4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；的实部与虚部都是整数。
（2）z的实部与虚部都是整数。
，则解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由 得①∴由注意到当x<0时，；当x>0时，，此时①式无解。
此时①式无解。
（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数均为整数∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。
的值。
（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。
特征。
解：解：（1）解法一：解法一：由于∴由解：由题意得1z的两个方程R∴=122ab2|=2∴4=4=1=41515i151zz z=02z，下同解法一这些都是解决复数问题的常用方法2的最小值|=11)i133=1时，上式取等号zz 2200220001452225x x x x x æö+++++ç÷èø455225+222z 224(4)4z a -+132(4)413a -+222AC ABz z w ()(03313333z z yi y x x - 33333x )33设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b Þ-=++Þ-+=-+当0b ¹时，方程组()3113k k kì-+=ïíï-=î无解无解 当0b =时，()231333230313或k k k k k k-+-=Þ+-=Þ=-Þ存在这样的直线，其方程为333或y x y x ==-16, 判断下列命题是否正确 (1) (1)若若C z Î, , 则则02³z (2) (2)若若,,21C z z Î且021>-z z，则21z z > (3) (3)若若b a >，则i b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（的点的轨迹是（ ））A.A.椭圆椭圆椭圆B. B. B.直线直线直线C. C. C.线段线段线段D. D. D.圆圆 18,.211<<-+=w w 是实数，且是虚数，设z z z.的实部的取值范围的值及求z z 解析解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=\1)(1w 可设 i yx y y y x x x y x yi x yix)()(222222+-+++=+-++=,0¹y 是实数，且w 1,0112222=+=+-\y x y x 即 ,1=\zx 2=w 此时22121<<-<<-x 得由w)1,21(,121-<<-\的实部的范围是即z x圆锥曲线圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．数学思想的掌握情况．例1．从集合{1,2,3,,11,11}} 中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||1111,,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（内的椭圆的个数是（ ）A 、43B 43 B、、72C 72 C、、86D 、90解：解：根据题意，根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．的正整数．但是当但是当m n =时22221x y m n +=是圆而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆有8972´=个．本题答案选B ．例2．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=______________．． 解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=， 同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++== 例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值；（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程． 解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214x b +=，解得21221xb =±-，，所以1212S b x x =- 2222111b b b b =-£+-= ．当且仅当22b =时，S 取到最大值1． （Ⅱ）由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî，得2221()2104k x kbx b +++-=，2241k b D =-+① 2121AB k x x =+- 2222411214k b k k -+=+=+．②．②AyxOB例3图设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为21b d k=+， 所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0D >，故直线AB 的方程是的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．方法和综合解题能力．二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．的基本技能和基本方法进行考查．例4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAFD 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（，则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30º．30ºB ．45º．45ºC ．60º．60ºD ．90º．90º解：解：D D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x abc-=>>=的焦点右准线方程，x ab y =渐近线，则),(2c ab c a A ，所以2212a c ab c S OAF =´´=D ，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90°，故选D ．点评：本题考查双曲线中焦距，本题考查双曲线中焦距，准线方程，准线方程，准线方程，渐近线方程，渐近线方程，渐近线方程，三角形面积，三角形面积，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．渐近线夹角等知识的综合运用．例5． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（的最大值为（ ））A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时三点共线时所求的值最大，此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．例例6．已知双曲线222x y -=的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．点．（Ⅰ）若动点M 满足1111F M F A F B FO=++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；的轨迹方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（Ⅰ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111F M F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++ìí=+î，即12124x x x y y y +=-ìí+=î，，于是AB 的中点坐标为422x y -æöç÷èø，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y yxx x x-==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB为常数．为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-¹±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k mm m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-． 当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．为常数．三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．例例7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-；由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y，即M 点的纵坐标为1516，故选B ．例8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)l >．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM AB为定值；为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f l =的表达式，并求S 的最小值．的最小值．解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0l >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →， 即得1122(,1)(,1)x y x y l --=-，îïíïì－x 1＝λx 2 ①①1－y 1＝λ(y 2－1) 1) ②② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2 ③③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－＝－44λy 2＝－＝－44，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x (x－－x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x (x－－x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为的坐标为((x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－，－1)1)1)．．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－，－2)2)2)··(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM ABM 中，中，FM FM FM⊥⊥AB AB，因而，因而S ＝12|AB||FM||AB||FM|．．|FM||FM|＝＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)4)＋＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．＋＋λ＋λ)＝|AB||FM||AB||FM|＝(λ＋λ)λ＋1λ≥2m ÷ø，m+=m +=2my -，2my -，211-+122y y +-24m - Oyx1 1- l FP B QMFO Axyyy P BOA 1d 2d2q解：（Ⅰ）在P AB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．方程为：2211x y l l -=-．（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即21115110112l l ll l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l l ì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k l l l =--=--． 因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l l l -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î． 由①②知，51223l -£<．。
高一：复数与一元二次方程
复数与一元二次方程学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。
但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。
基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。
主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。
若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。
有关复数n 次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。
主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。
知识梳理知识梳理1. 复数的平方根与立方根 1、复数的平方根如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根。
【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；（2）复数的平方根一般不要记为z 。
2、复数的立方根若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根。
【注】1的立方根有三个：1，ω，2ω（其中i 2321+-=ω），满足210ωω++=。
知识梳理2. 实系数的一元二次方程的根的分布1.实系数的一元二次方程02=++c bx ax （a 、b 、c R ∈，且0≠a ） (1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根； (3)当042<-=∆ac b 时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根i ab ac a b a i b ac b x 2422422-±-=-±-=21x x =—，∴2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=.这时两根仍然满足韦达定理：a b x x -=+21，acx x =⋅21 【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业及答案解析
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。
2021年沪教版高一数学暑假作业：实系数一元二次方程【含答案】
2021年沪教版高一数学暑假作业：实系数一元二次方程【含答案】一、单选题1．设1z ，2z 是非零复数，且满足22112230+=z z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）．A ．12z z >B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案. 【详解】因为22112230+=z z z z ，且20z ≠， 所以21122()310z z z z +=，所以21231(4z z =-， 所以1231142z i z =±-=±， 所以12312z i z =±， 所以123131||||12244z i z =±=+，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题. 2．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，代入方程得22220,20,a b a b ab ⎧⎪-++⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个.故答案选：C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.3．已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =（ ） A ．12 B ．72 C ．12或72 D ．不存在【答案】A【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，所以∆<0，可得1a <，利用根与系数的关系可得()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->，设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈，则12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩，根据123x x +=，可得2294m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，()()2244441610a a a a ∆=--+=-<，所以1a <()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x +=，即221223x x m n +=+=，即2294m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+，即()2294424a a a -+=-=，解得12m =或72m =. 又1222x x m a +==，1a <，则1m <，所以12m =所以12a = 故选：A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题4．若实系数方程20x mx m ++=有虚根，则实数m 的取值范围是________.【答案】(0,4)【分析】由已知可得∆<0，求解即可. 【详解】实系数方程20x mx m ++=有虚根，24(4)0,04m m m m m ∴∆=-=-<<<.故答案为：(0,4).【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基础题.5．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.【答案】2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.三、解答题6．已知一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2，求下列各式的值：（1）x 12+x 22；（2）|x 1-x 2|.【答案】（1）254（241 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2， 所以1232x x +=-，122x x ⋅=-，（1）x 12+x 22()212129252444x x x x =+-⋅=+=， （2）|x 1-x 2|22121212941()()484x x x x x x =-=+-⋅+=. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考查了运算能能力，属于中档题.7．已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=． 【答案】12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根．则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.8．已知复数12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两根，且复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，若122123z z i +=-，其中i 是虚数单位.（1）求复数12,z z ；（2）若复数z 满足1z =，求1z z -的最大值和最小值.【答案】（1）1243,43z i z i =+=-；（2）最大值6，最小值4；【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可；（2）根据1z z -的几何意义，结合圆的性质进行求解即可.【详解】（1）因为122123z z i +=-，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数12,z z 互为共轭复数，因为复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，所以设1(0,0)z a bi a b =+>>，则2z a bi =-，所以31242()12333a a a bi a bi i b b ==⎧⎧++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩， 所以1243,43z i z i =+=-；（2）因为复数z 满足1z =，设(,)z x yi x y R =+∈，所以221x y +=，所以复数z 在复平面上对应的点在单位圆221x y +=上，1z z -表示点(4,3)到圆221x y +=上一点的距离， 显然1z z -22(40)(30)16-+-=， 22(40)(30)14-+-=. 所以1z z -的最大值6，最小值4.9．方程20x px p ++=3p 的值． 【答案】27p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ，2x ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -，由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=，利用根与系数的关系式代入，可得到关于p 的方程，解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ，2x ， 则()22121212333x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=，由韦达定理可得 243-=p p ．当243-=⇒=p p p 27当2431-=-⇒=p p p 或3p =.【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.10．方程220x x m ++=的两个虚根为1z ，2z ，且12212<+-z z i ，求实数m 的范围． 【答案】251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩，再根据模长公式化简不等式可得403b <<，由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．因为方程220x x m ++=有虚根，m R ∈，所以2240m ∆=-<，解得1m ，根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩，∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩，即211a m b =-⎧⎨=+⎩， 因为12212<+-z z i ，所以22124|||12|z z i <+-，所以224|1||(2)|bi b i -+<-+，所以2244(2)b b +<+，所以2340b b -<，所以403b <<， 所以21609b <<， ∴225119m b <=+<． ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.11．已知方程240x x m ++=的两根为α，β且满足||6-=αβ，求实数m 的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没有，请说明理由.||6-=αβ，得2||36-=αβ.∴2()436+-=αβαβ.由方程的根与系数的关系，得2(4)436--=m .解方程，得5m =-.【答案】有错误，理由见解析，5m =-或13m =.【分析】利用举反例的方法，说明错误原因.按照0∆≥和∆<0进行分类讨论，由此求得m 的所有可能取值.【详解】上面解法有错误，原因是当x C ∈时，2z 不一定等于2||z .如z i ，则221,1z z =-=. 正确解法：（1）当1640m ∆=-≥，即4m ≤时，有,R αβ∈，此时解答同上面解法； （2）当∆<0，即4m >4416m i -±-=24--m i . 依题意|||24|6-=-=m i αβ.解方程，得13m =.综上所述，5m =-或13m =.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.12．方程2236(1)10x m x m --++=的两个虚根的模之和为2，求实数m 的值. 2【分析】设1x ，2x 是方程的两个根，计算∆<0得到353522-+<<m ，计算11x =，代入数据计算得到答案.【详解】设1x ，2x 是方程的两个根，因为方程有两个虚根，∴∆<0，即()2236(1)4310--⨯+<m m ，化简得2310-+<m m ， 解不等式得353522+<<m ， ∵122x x +=，且12x x =，∴11x =111=x x ，2113+=m . ∴22m =，∴2m =±，检验取2m .【点睛】本题考查了方程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.13．设1x ，2x 是方程22230()++-=∈x ax a a a R 的两根，求12x x +（用含a 的解析式表示）.【答案】()21223(18)28(01)2(80)a a a a a x x a a a a ⎧≥≤-⎪++=≤<--<<⎩或 【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若0∆≥，再对两实根的符号讨论，结合根与系数关系，即可得出结论；若∆<0，方程两根为共轭虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）当方程有实根时，2298()(8)0a a a a a ∆=--=+≥，得0a ≥或8a ≤-，若2120x x a a =-≥，得1a ≥或0a ≤.∴当1a ≥或8a ≤-时，12,x x 同号，121232a x x x x ++==； 当01a ≤<时，12,x x 异号， ()221212121284a a x x x x x x x x -++==+-= . （2）当方程有虚根时，(8)a a ∆=+<0，得80a -<<. ∴1211112222+===x x x x x x x ()22=-a a .综上：()21223(18)28(01)2(80)a a a a a x x a a a a ⎧≥≤-⎪++=≤<--<<⎩或 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.14．若1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，12(3)+⋅=a i z ω||2ω≤. 求：（1）实数a 的取值范围；（2）|(4)|-+a ai 的最大值.【答案】（1）11a -≤≤；（226【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等，利用模的性质可得a 的范围； （2）求出|(4)|-+a ai ，结合二次函数性质可得结论．【详解】（1）1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，∴12=z z ，1122|(3)|(3)||+⋅+⋅==a i z a i z z z ω2||2a =≤，所以||1a ≤； （2）222|(4)|(4)2(2)8-+=-+=-+a ai a a a 11a -≤≤上单调递减，所以当1a =-时取到最大26【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便．1212z z z z =，1122z z z z =．。
一元二次方程题目和答案
一元二次方程题目和答案题目一:求解下列一元二次方程：2x2+5x−3=0解析:对于一元二次方程ax2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。
求根公式是：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$将题目中的系数代入该公式：a=2,b=5,c=−3代入求根公式：$$x = \\frac{-5 \\pm \\sqrt{5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot -3}}{2 \\cdot 2}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{-5 + \\sqrt{49}}{4}$$$$x_2 = \\frac{-5 - \\sqrt{49}}{4}$$化简得：$$x_1 = \\frac{-5 + 7}{4} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$$$$x_2 = \\frac{-5 - 7}{4} = \\frac{-12}{4} = -3$$所以，原方程的解为：$$x_1 = \\frac{1}{2}$$x2=−3题目二:解下列一元二次方程：3x2−4x+1=0解析:同样使用求根公式来求解。
将题目中的系数代入求根公式：a=3,b=−4,c=1代入求根公式：$$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 1}}{2 \\cdot 3}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{16 - 12}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{16 - 12}}{6}$$化简得：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{6}$$进一步化简得：$$x_1 = \\frac{4 + 2}{6} = \\frac{6}{6} = 1$$$$x_2 = \\frac{4 - 2}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$$所以，原方程的解为：x1=1$$x_2 = \\frac{1}{3}$$题目三:解下列一元二次方程：x2+6x+9=0解析:仍然使用求根公式求解。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(讲义)解析版
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。
高中数学-教师-实系数一元二次方程
因为实系数一元二次方程的共轭虚根成对出现，所以设模为1的虚根为 ，则另一根为 。
由韦达定理得 又 （舍）或
或
例9. 是方程 的两个根，其中 求 的值。
解：当
（1） （2）
当
备选例题
1.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
的一个根，试用例举法表示集合
解： 是 的根，则 或
（1）若 且 ，则方程 有两个实数根。
（2）若 且 是方程 的两个根，则 ；
（3）若 且 是方程 的两个根，则 ；
（4）若 且 是方程 的根，则 也是方程的根。
答案：（1）、（2）（4）正确，（3）不正确
精解名题
例1．关于 的方程 的两根的模的和为 ，求实数 的值。
解：解：
(1)当 ，即 时，
，且
与 同号
当 时，
当 时，有
2.设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，求点 的轨迹。
解： 实系数方程的根， 也是此方程的根。
为实数( )
，即
得判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练
2．一元二次方程的系数含有虚数时，判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。
3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。
高中数学备课组
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主课题：实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数 和 ,若满足 ，则称 是 的平方根。因为 ，所以 的平方根是 两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
人教A版数学必修第二册第七章【《复数》常考题型综合训练(三)】
《复数》常考题型综合训练（三）【知识框架】【考点讲解】考点一：复数的概念考点二：复数的四则运算考点三：复数的乘除法运算考点四：复数的三角表示考点一：复数的概念【知识点梳理】1.把形如a+b i(a,b∈R)的数叫做复数，记，其中i叫做虚数单位，为实部，为虚部.2.复数的分类复数3.复数的模复数的模或绝对值，记作或.如果，那么是一个实数，它的模等于(就是的绝对值).由模的定义可知，==.4.复数的相等已知，若，则5.共轭复数的共轭复数为【典例例题】例1.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________．例2.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2例3.（2022年潮州市高一期末）设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D. -例4.（2023年广州市第一中学期中）（多选）实数满足，设，则下列说法正确的是（）A. z在复平面内对应的点在第一象限B.C. z的虚部是D. z的实部是1【变式训练】1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（）A．B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点位于第四象限2.（2022年广东省东莞市期末试题）已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−63.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．4．（2022年广东省深圳市高一期末试题）已知复数，m∈R．(1)若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．(2)若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．5.（2023年江苏省苏州市期中试题）已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.考点二：复数的四则运算【知识点梳理】1.复数的加、减运算法则已知，则2.复数的加、减运算运算律对任意,,∈C，有①交换律：+=+；②结合律：(+)+=+(+).【典例例题】例1.（2022秋·贵州毕节·高一期中）已知z1=1+i，z2=2−2i，则z1+2z2=（）A．4B．5+3i C．4−3i D．5−3i 【变式训练】1.（2022秋·云南·高一期中）已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2z=（）A．−1−6i B．−1+6i C．1−6i D．1+6i2.（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2(z+z)+3(z−z)=2+3i，则z=（）A．12+12i B．12−12i C．2+2i D．2−2i3.（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i4.（2022春·高一期中）如图，设向量⃗O P，⃗P Q，⃗OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0考点三：复数乘除法运算【知识点梳理】1.复数乘法的运算法则已知，则2.复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有①交换律：=；②结合律：()=()；③分配律：(+)=+.复数运算仍然满足整式运算的平方差和完全平方公式3.复数的除法运算法则已知，则【典例例题】例1.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2例2.（2022年广州市二中高一期末） 已知是虚数单位，复数，则z是（）A. B. C. D.【变式训练】1. （2022年梅州市高一期末） 已知，则（）A. B. C. D.2.（2022年揭阳市高一期末） 复数的虚部为（）A. B. C. D.3.（2023年广东省佛山市期中试题）已知复数z的共轭复数为，若，则（）A. z的实部是1B. z的虚部是C.D.4.（2022年梅州市高一期末） 已知复数，i是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求m的值和；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．5.（2022年潮州市高一期末）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.（1）求实数a的值；（2）若，求复数的模.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）设是虚数，是实数且.（1）求的值以及实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数.【巩固练习】熟练掌握复数的四则运算考点四：复数的三角表示【知识点梳理】1.复数求根复数范围内系数一元二次方程的求根公式为:（1）当时，；（2）当时，2.复数的三角表示式如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+b i都可以表示成r(+i)的形式.【典例例题】例1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若是关于的方程的一个根，则___ ________.例2.（2023年江苏省苏州市期中试题） 欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（）A. B. C. D.【变式训练】1.（2023年江苏省苏州市期中试题）（多选）若关于的方程的一个根是，则下列说法中正确的是（）A. B.C. 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D. 在复平面内对应的两点间的距离为2.（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(cos x+i sin x)n=cos nx+i sin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ6+i sinπ6)2023在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）A. B.C. －iD. ＋i【巩固练习】1.（多选）已知复数：满足，则（）A．B．z的虚部为C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根2.（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若是虚数，则都是虚数.A．①④B．②C．②③D．①②③3.在复平面内，复数z=2i−2i（）A．位于第一象限 B．对应的点为(2,−2)C．|z|=2D．是纯虚数4.（2023年江苏省苏州市期中试题）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.5.（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.6.（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（）A．2B．C．D．7.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知是复数，和都是实数，（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.答案解析【典例例题】例1.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________．【答案】【解析】【详解】因为，，，所以，所以，则，故答案为：例2.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【详解】，，故选：B例3.（2022年潮州市高一期末）设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D. -【答案】B【解析】【详解】因为，所以，所以虚部是.故选：B例4.（2023年广州市第一中学期中）（多选）实数满足，设，则下列说法正确的是（）A. z在复平面内对应的点在第一象限B.C. z的虚部是D. z的实部是1【答案】ABD【解析】【详解】实数满足，可化为，所以，解得，所以，对于A，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.【变式训练】1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（）A．B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【解析】【详解】设，则，，则，即得，即，，A 正确；的虚部为，B错误；，C错误；在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确.故选：AD.2.（2022年广东省东莞市期末试题）已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−6【答案】BD【解析】解：∵z=2−3i，∴|z|=√22+(−3)2=√13，z在复平面内对应的点(2,−3)位于第四象限，z−=2+3i，故AC错误，B正确，z(m+4i)=(2−3i)(m+4i)=2m+12+(8−3m)i为纯虚数，则{2m+12=08−3m≠0，解得m=−6，故D正确．故选：BD．3.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）5（2）【解析】【小问1详解】因为复数z 是纯虚数，所以，解得.【小问2详解】因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得.4．（2022年广东省深圳市高一期末试题）已知复数，m∈R．(1)若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．(2)若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．【答案】(1)m＝1或(2)m＝4，【解析】(1)依题意得，，解得：m＝1或(2)∵与共线，则解得：m＝4或当m＝4时，代入可以得到，满足在第一象限，成立当时，代入可得到，不满足在第一象限，舍去∵与共线且反向，则方向的单位向量为5.（2023年江苏省苏州市期中试题）已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，则，解得；【小问2详解】若，则，由②得③，将①③相加得，故，因为，则当时，，当时，，所以的取值范围为.考点二：复数的四则运算【知识点梳理】1.复数的加、减运算法则已知，则2.复数的加、减运算运算律对任意,,∈C，有①交换律：+=+；②结合律：(+)+=+(+).【典例例题】例1.（2022秋·贵州毕节·高一期中）已知z1=1+i，z2=2−2i，则z1+2z2=（）A．4B．5+3i C．4−3i D．5−3i【解答过程】由z1=1+i，z2=2−2i得，z 1+2z2=1+i+2×(2−2i)=5−3i，故选：D.【变式训练】1.（2022秋·云南·高一期中）已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2z=（）A．−1−6i B．−1+6i C．1−6i D．1+6i【解答过程】由题意知z=1−2i，z=1+2i，则z−2z=1−2i−2(1+2i)=−1−6i.故选：A.2.（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2(z+z)+3(z−z)=2+3i，则z=（）A．12+12i B．12−12i C．2+2i D．2−2i【解答过程】设z=a+b i(a,b∈R)，则z=a−b i，所以z+z=(a+b i)+(a−b i)=2a，z−z=(a+b i)−(a−b i)=2b i，所以2(z+z)+3(z−z)=4a+6b i=2+3i，所以a=12,b=12,z=12+12i.故选：A.3.（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i【解答过程】∵⃑O C＝⃑O A+⃑OB，∴⃑O C对应的复数为：1+2i−2+i=−1+3i，∴点C对应的复数为−1+3i．故选D．4.（2022春·高一期中）如图，设向量⃗O P，⃗P Q，⃗OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0【解答过程】由题图可知，⃗O P−⃗P Q+⃗O Q=⃗0，Q P=⃗0，∴⃗P Q+⃗∴z1＋z2－z3＝0.故选：D.考点三：复数乘除法运算【知识点梳理】1.复数乘法的运算法则已知，则2.复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有①交换律：=；②结合律：()=()；③分配律：(+)=+.复数运算仍然满足整式运算的平方差和完全平方公式3.复数的除法运算法则已知，则【典例例题】例1.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【详解】，，故选：B例2.（2022年广州市二中高一期末） 已知是虚数单位，复数，则z是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：故选：A【变式训练】1. （2022年梅州市高一期末） 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，故选：B.2.（2022年揭阳市高一期末） 复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由已知得，则复数的虚部为，故选：D.3.（2023年广东省佛山市期中试题）已知复数z的共轭复数为，若，则（）A. z的实部是1B. z的虚部是C.D.【答案】AC【解析】【详解】解：因为，所以，所以，，的实部为，虚部为；故选：AC4.（2022年梅州市高一期末） 已知复数，i是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求m的值和；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．【答案】（1），； （2）.【解析】【小问1详解】依题意得，，若是纯虚数，则，解得，，.【小问2详解】由（1）知，，，，复数在复平面上对应的点位于第二象限，，解得，即.5.（2022年潮州市高一期末）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.（1）求实数a的值；（2）若，求复数的模.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由已知得：，且是纯虚数，∵，∴.【小问2详解】由（1）得：，∴∴.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）设是虚数，是实数且.（1）求的值以及实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【小问1详解】设(，且)，则，∵是实数，，∴，即，则，又∵，∴，即，∴的实部的取值范围为；【小问2详解】，因为，，所以为纯虚数.考点四：复数的三角表示【知识点梳理】1.复数求根复数范围内系数一元二次方程的求根公式为:（2）当时，；（2）当时，2.复数的三角表示式如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+b i都可以表示成r(+i)的形式.【典例例题】例1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若是关于的方程的一个根，则___ ________.【答案】【解析】【详解】解：因为是关于的方程的一个根，所以时方程的另一个根，则，所以.故答案为：.例2.（2023年江苏省苏州市期中试题） 欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】，，，，，即，，.故选：A.【变式训练】1.（2023年江苏省苏州市期中试题）（多选）若关于的方程的一个根是，则下列说法中正确的是（）A. B.C. 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D. 在复平面内对应的两点间的距离为【答案】AD【解析】【详解】由条件可知，，整理为，则，，故A正确，B错误；，其共轭复数，对应的点的坐标为，在第三象限，故C错误；，对应的点为，，对应的点为，两点间的距离，故D正确.故选：AD2.（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(cos x+i sin x)n=cos nx+i sin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ6+i sinπ6)2023在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）A. B.C. －iD. ＋i【答案】D【解析】【详解】故选:D.【巩固练习】1.（多选）已知复数：满足，则（）A．B．z的虚部为C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根【答案】AD【解析】因为，所以，对A：，故选项A正确；对B：z的虚部为，故选项B错误；对C：z的共轭复数为，故选项C错误；对D：因为方程的根为，所以z是方程的一个根，故选项D正确.故选：AD.2.（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若是虚数，则都是虚数.A．①④B．②C．②③D．①②③【答案】C【解析】为复数，①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，②若，设，则，由，得，所以，正确，③若，则，正确，④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，故②③正确，故选：C.3.在复平面内，复数z=2i−2i（）A．位于第一象限 B．对应的点为(2,−2)C．|z|=2D．是纯虚数【解题思路】根据复数的除法运算化简z=4i，根据复数的相关概念一一判断各选项，即得答案.【解答过程】由题意可得z=2i−2i=2i−2ii2=2i+2i=4i，故复数z=2i−2i对应的点为(0,4)，位于y轴正半轴上，故A,B错误；|z|=√02+42=4，C错误；z=4i为纯虚数，D正确，故选：D4.（2023年江苏省苏州市期中试题）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【答案】②③【解析】【详解】对于①，因为为纯虚数，所以，解得，故①错误；对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；对于③，因为，，所以在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，而表示点Z到点的距离，所以其最小值为，故④错误．故答案为：②③．5.（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.【答案】2【解析】因为是关于x的方程的根，所以也是方程的根，所以，得，故答案为：26.（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.7.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知是复数，和都是实数，（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）设，则，因为和都是实数，则，解得，，所以.（2）设，则方程为，即，若方程有实数根，则，解得，，所以纯虚数.。
复数中的方程问题
三、复数中的方程问题【教学目标】1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法．2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题．3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．【教学重点】一元二次方程的根的讨论．【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，13=x 的根的应用．【教学过程】一．知识整理1．实系数一元二次方程的根的情况设方程02=++c bx ax （a ，b ，R c ∈且0≠a ），判别式△ac b 42-=．（1）当△0>时，方程有两个不相等的实数根： a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=． （2）当△0=时，方程有两个相等的实数根： ab x x 221-==． （3）当△0<时，方程有两个共轭虚根： a i b ac b x 2421-+-=，ai b ac b x 2422---=． 2．代数式22b a +（a ，R b ∈）的因式分解 利用z z z ⋅=2||，有))((22bi a bi a b a -+++3．复系数一元二次方程根与系数的关系设方程02=++c bx ax （a ，b ，C c ∈且0≠a ）的两个根为1x ，2x ，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a cx x a b x x 2121．4．方程13=x 的根方程13=x 有三个根，11=x ，i x 23212+-=，i x 23213--=．若记i 2321+-=ω，则ω有性质：13=ω（13=n ω，Z n ∈），2ωω=，012=++ωω．二．例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式．（1）44b a -；（2）3212-+-x x ． 【解答】解：（1）))()()(())((222244bi a bi a b a b a b a b a b a -+-+=+-=-． （2）3212-+-x x ])5()1[(21)62(21222+--=+--=x x x )51)(51(21i x i x --+--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若i 23+是实系数方程022=++c bx x 的根，求实数b 与c ；（2）若i 23+是方程0422=-++i c bx x 的根，求实数b 与c ．【解答】解；（1）由题意，i 23-是方程的另一根，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-++2)23)(23(2)23()23(c i i b i i ， 所以12-=b ，26=c ．（2）将i 23+代入方程得04)23()23(22=-++++i c i b i ，整理得，0)220()310(=++++i b c b ，所以⎩⎨⎧=+=++02200310b c b ，解得⎩⎨⎧=-=2010c b ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】（1）已知012=++x x ，求504030x x x++的值． （2）若012=+-a a ，求17171aa+的值． 【解答】解：（1）由012=++x x ，得i x 2321±-=，所以13=x ， 所以504030x x x ++012=++=x x ．（2）由012=+-a a ，得i a 2321±=， 当i a 2321-=时，则ω-=a （i 2321+-=ω），13=a ，2171717)(ωωω-=-=-=a ， ωω-=-=21711a ，所以1)(121717=+-=+ωωaa ． 同理可得，当i a 2321+=时，也有111717=+aa ． 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维【题目】 证明：在复数范围内，方程ii z i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解．【解答】 证明：原方程化简为i z i z i z 31)1()1(||2-=+--+，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得i yi xi y x 312222-=--+，所以⎩⎨⎧=+=+322122y x y x ，消去y ，整理得 051282=+-x x ，此方程的判断式△016584)12(2<-=⨯⨯--=，故x 无实数解．所以，原方程在复数范围内无解．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的二次方程02)12(2=+++-a x a x 有虚根，且此根的三次方是实数，求实数a 的值．【解答】解法一：设方程的虚根为ni m +（m ，R n ∈且0≠n ），由3)(ni m +为实数，得m n 3±=，所以方程的虚根为)31(i m ±，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧+=+-=24)12(22a m a m ，消去m ，得 21442+=++a a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ． 解法二：设方程的虚根为1z ，则另一虚根为12z z =，因为R z ∈31，所以()32313131z z z z ===，03231=-z z ，0))((22212121=++-z z z z z z ， 因为21z z ≠，所以0222121=++z z z z ，即21221)(z z z z =+，由根与系数的关系， 2)12(2+=+a a ，01342=-+a a ，解得1-=a 或41=a ． 三．课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若i 23+是方程022=++c bx x （b ，R c ∈）的一个根，则=c _________．【解答】答案：26【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知ai +2，i b +是实系数一元二次方程02=++q px x 的两根，则=p _________，=q ____________．【解答】答案：4-，5【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若ω是方程13=x 的一个虚根，则=-++-)1)(1(22ωωωω___________．【解答】答案：4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】 在复数范围内解方程：ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）．【解答】 解：原方程化简为i i z z z -=++1)(||2，设yi x z +=（x ，R y ∈），代入上述方程，得i xi y x -=++1222，所以⎩⎨⎧-==+12122x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=i y x 2321， 所以，原方程的解为i z 2321+-=或i z 2321--=． 四．课堂小结1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积．3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略．五．课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）=++1622x x ____________________．（2）=+-1cos 22θx x _________________________．【解答】答案：（1）)151)(151(i x i x -+++（2）)sin cos )(sin cos (θθθθi x i x +---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程0122=++-b ax x （a ，R b ∈）的一个虚根是i -1，则实数=a __________，=b _________．【解答】答案：4，3【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数i 43-的平方根为______________．【解答】答案：i -2，i +-2【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程04)4(2=-+++ai x i x （R a ∈）有实根b ，且bi a z +=，求z ． 【解答】解：i z 22--=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程i z z 31||+=+中z 的解是（ ）A ．i 2321+ B ．i 2321+ C ．i 34+- D ．i 34- 【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实数根，并给出证明．【解答】 解；由已知212-<<-p ，所以4412<<p ，所以方程05222=-+-p z z 的判别式 △0)4(4)5(4422<-=--=p p ，所以原方程无褛根．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程x x x 23623-=+．【解答】解：把原方程化为523123--=+x x x ⇒)53)(1()1)(1(2-+=+-+x x x x x ， ⇒0)64)(1(2=+-+x x x ，解得11-=x ，i x 222+=，i x 223-=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x 的方程02=++m x x （R m ∈）的两根为α、β．（1）若3||=-βα，求m 的值；（2）若3||||=+βα，求m 的值．【解答】解：（1）因为3||=-βα，所以9||2=-βα，所以9|4)(|2=-+αββα，9|41|=-m ，解得25=m 或2-=m ． （2）①当α、β为实数，即041≥-m ，41≤m 时， 9|)||(|2=+βα⇒9||222=++αββα⇒9||22)(2=+-+αβαββα⇒9||221=+-m m ，当410≤≤m 时无解；当0<m 时，2-=m ． ②当α、β为一对共轭虚数时，即41>m 时，αβ=，由3||||=+βα，可知 23||=α，则49||2==⋅=αααm ． 综上，2-=m 或49=m ．【题目资源】【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】1．在复数范围内分解因式（1）164-x ；（2）522+-x x ；（3）83+x ．【解答】解：（1）)2)(2)(2)(2()4)(4(16224i x i x x x x x x -+-+=+-=-．（2）)21)(21(2)1(52222i x i x x x x -+++=++=+-．（3）)31)(31)(2()42)(2(282333i x i x x x x x x x --+-+=+-+=+=+．2．若实系数一元二次方程02=++b ax x 有一个虚根为i 2，则=a _______，=b ______．【解答】答案：0，4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】关于复数z 的方程i zi z 212||2+=-的解集是________________．【解答】答案：}21,1{i ---【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】方程022=-+kx x 有一个根是i +1，则它的另一个根是_________．【解答】答案：i +-1【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】a 为实数，方程01822=++-a x x 的一个虚根的模是5，则=a __________．【解答】答案：9【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算【题目】方程0||2=+z z 的复数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程03=++b ax x （a ，R b ∈）有一个根为1．（1）求a ，b 满足的关系式；（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，01=++b a ，即1-=+b a ．（2）由（1），1--=a b ，故方程变为013=--+a ax x ，即0)1()1(3=-+-x a x ， 0)1()1)(1(2=-+++-x a x x x ，0)1)(1(2=+++-a x x x ，所以方程的另两根就是方程012=+++a x x 的两根，故△0<，即0)1(41<+-a ，43->a ．所以，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-,43． 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程042=+-k x x 有一个虚数根为i 21-，求k 的值．【解答】解：由042=+-k x x ，得x x k 42+-=，将i x 21-=代入，得i k 47-=． 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】设α、β是方程072=+-m x x 的两个虚根，且8||||=+βα，则实数=m ________．【解答】答案：16由题意，α、β是共轭虚数，所以8||2=α，4||=α，于是16||2==αβα，即16=m ． 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】已知关于x 的方程0)1(2)21(2=--++i a x i ax 有实根，求实数a 的值．【解答】解：设方程实根为0x ，则0)1(2)21(020=--++i a x i ax ，即0)22()2(002=++-+i a x a x ax ，所以⎩⎨⎧=+=-+0020020a x a x ax ，所以a x -=0，所以033=-a a ，解得0=a 或3=a 或3-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】若虚数z 满足83=z ，求322++z z 的值．【解答】解：由已知，0)42)(2(282333=++-=-=-z z z z z ，因z 为虚数，故0422=++z z ，所以1322-=++z z ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】在复数范围内解关于x 的方程06||52=+-x x ．【解答】解：若x 为实数，则原方程可化为0)3|)(|2|(|=--x x ，解得2±=x ，3±=x ．若x 为虚数，设bi a x +=（a ,R b ∈且0≠b ），原方程化为065)(222=++-+b a bi a , 所以⎪⎩⎪⎨⎧==++--020652222ab b a b a ，因为0≠b ．故0=a ，06||52=-+b b ， 0)1|)(|6|(|=-+b b ，1±=b ．所以，原方程的解为2，2-，3，3-，i ，i -．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】解关于z 的方程iz z 2110||-=-．【解答】解：原方程可化为i z z 42||+=-，设bi a z +=（a ,R b ∈），则原方程可化为i bi a b a 42)(22+=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-+4222b a b a ，解得3=a ，4=b ． 所以，原方程的解i z 43+=．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ中，θ为锐角，若实数a 是方程的一个解，求θ与a 的值． 【解答】解：由题意，0)2()(tan 2=+-+-i a i a θ，0)1(2tan 2=+--⋅-i a a a θ， 所以⎩⎨⎧=+=-⋅-0102tan 2a a a θ，解得1-=a ，1tan =θ． 所以，4πθ=，1-=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知复数w 满足i w w )23(4-=-，|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．【解答】解：由i w w )23(4-=-，所以i i w 34)21(+=+，i w -=2，所以i i i z +=-+-=3||25， 故另一根为i -3，设所作方程为02=+-q px x ，则6)3()3(=-++=i i p ，10)3)(3(=-+=i i q ，所以所求方程为01062=+-x x ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】关于x 的实系数方程03222=-++a a ax x 至少有一个模为1的根，求实数a 的值． 【解答】解：①当根x 为实数时，0)(8922≥--a a a ，082≥+a a ，8-≤a 或0≥a ．由1||=x ⇒1±=x ．当1=x 时，0222=++a a ，a 无实数解；当1-=x 时，0242=+-a a ，解得22±=a ．②当根x 为虚数时，08<<-a ，1||=x ⇒1=⋅x x ，即122=-a a ，022=--a a ，解得1-=a 或2=a （舍去）．综上，1-=a ，或22-=a 或22+=a ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】若C z ∈，关于x 的一元二次方程0342=++-i zx x 有实根，求复数z 的模的最小值． 【解答】解：i x zx 342++=，当0=x 时，此等式不成立，故0≠x ．所以， i x x x z 34++=，23825282534||222222=+⋅≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x x z 所以，当2225xx =，5±=x 时，||z 取最小值23． 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知△ABC 顶点为直角坐标分别为)4,(a A ，),0(b B ，)0,(c C ．若虚数ai x +=2（0>a ）是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，且A ∠是钝角，求b 的取值范围． 【解答】解：由已知，虚数ai x -=2也是实系数一元二次方程052=+-cx x 的根，所以 ⎩⎨⎧=-+=-++5)2)(2()2()2(ai ai c ai ai ，解得1=a ，4=c ，则A 、C 的坐标为)4,1(A ，())0,4C ， 所以)4,1(--=b ，)4,3(-=，因A ∠是钝角，故0413<-=⋅b AC AB ，又当AB ，AC 共线时，316=b ．所以b 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛,316316,413Y ． 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维【题目】已知关于x 的方程022=++a x x （R a ∈）有两个根α、β，求||||βα+的最小值． 【解答】解：① 当△044≥-=a 即1≤a 时，α、β是实数，=+2|)||(|βα||222αββα++ )|(|24||22)(2a a -+=+-+=αβαββα．当10≤≤a 时，2|)||(|βα+恒为4；当0<a 时，4|)||(|2>+βα．即1≤a 时，||||βα+的最小值为2．② 当△044<-=a ，即1>a 时，α、β是一对共轭虚数，故αβαβα2||2||||==+ 22>=a ．综上，||||βα+的最小值为2，取得最小值时a 的取值范围是]1,0[．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，数学探究【题目】已知复数1z ，2z 满足条件2||1<z ，2||2<z ，是否存在非零实数m ，使得m z z 121=+和mz z 121=⋅同时成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解答】 解：据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+m z z m z z 112121，故1z ，2z 是方程0112=+-m x m x 的两个根．（1）当△0≥即41≤m 且0≠m 时，1z ，R z ∈2，记mx m x x f 11)(2+-=，则2||1<z ，2||2<z ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠≤<<->>-04122120)2(0)2(m m m f f 且，解得43-<m ． （2）当△0<，即41>m 时，1z 、2z 为一对共轭虚数，则m z z z 1||2121==，由2||1<z ，得41<m ，所以41>m ． 综上，当43-<m 或41>m 时，m z z 121=+和mz z 121=⋅同时成立．。
复数集内实系数一元二次方程的根的问题
1、在复数范围内求解方程(求根公式或因பைடு நூலகம்分解)
2、有关结论
(1)实系数一元二次方程在复数范围内定有两个根
•
•• 0，方程有两个不相等的实数根x1、2 0，方程有两个相等的实数根x1、2
b
b2a 2a
2a
(2)0，0方时程，有虚一数对根共成轭对虚且根x共1、2 轭 2ba
2、实系数一元二次方程根与系数的关系
3、在复数范围内分解因式
例2、已知3i 2是关于x的方程2 x 2 px q 0
的一个根,求实数p, q的值．
解：x1 2 3i是方程的一个虚根
方程2x2 px q 0的另一虚根是x2 2 3i
x1 x1
x2 x2
p 4 2
q 13 2
在实数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1、x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
在复数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1,x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
p8 q 26
韦达定理依然成立
四、课堂练习
ex1、在复数集中解方程：
(1) x 2 2 0
(2) x 2 x 1 0
(3) x 2 2ix 2 0
ex 2、 在 复 数 集 中 分 解 因 式：
(1) x 2 6 ( x 6i)( x 6i)
(2) x 4 16 (x 2i)( x 2i)( x 2)( x 2)
第14讲复数(1)-解析与答案
第14讲 复数（一）模块1 复数的概念1．复数的表示形式（1）代数形式：z a bi ，其中,a b R .这里，a 称为复数z 的实部，用 Re z 表示；b 称为复数z 的虚部，用 Im z 表示. 当0b 时，z 就是实数；当0b 时，称z 为虚数；当0b 且0a 时，复数z 称为纯虚数. （2）几何形式：复数z a bi ,a b R 与复平面内的点 ,Z a b 或由原点发出的向量OZ 一一对应. （3）三角形式： cos sin z r i ，其中0,r R .这里，r 称为复数z 的模，用z 表示； 称为复数z 的幅角，而当02 时，称为复数z 的幅角主值，用 arg z 表示，不难发现tan b r a .（4）指数形式：i z re ，其中0,r R . 这里，cos sin i e i 也就是著名的欧拉公式.（5）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数. 一般用z 来表示z 的共轭复数，当z a bi 时，z a bi ；共轭复数在复平面内关于x 轴对称；当 cos sin z r i 时， cos sin z r i ，也就是说共轭复数的模相等而幅角互为相反数； 当i z re 时，i z re .2．复数与一元二次方程（1）对所有的实系数一元二次方程20ax bx c (0)a ， 若240b ac ，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根242b ac b x a 互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．3．复数的运算法则：（1）加减法： a bi c di a c b d i ； （2）乘法： a bi c di ca bd ad bc i ，111222121212cos sin cos sin cos sin r i r i r r i ，（3）除法：2222a bi ac bd bc adi c di c d c d，111112122222cos sin cos sin cos sin r i r i r i r（4）棣莫弗定理（乘方）：cos sin cos sin nn r i r n i n复数的运算满足：交换律，结合律，分配律.（5）若 cos sin nk w r i，则22cos sin k k k w i n n， 其中0,1,2,,1k n .4．复数的性质： 共轭复数的性质： （1）1212z z z z ；（2）11121222,z zz z z z z z ， n n z z ；（3）1Re 2z z z，1Im 2z z z ； （4）z 是实数的充要条件是z z ，z 是纯虚数的充要条件是z z 且0z ； （5）z z ； （6）22z z z z .5．复数的模的性质：（1）max Re ,Im Re Im z z z z z ； （2）1212m n z z z z z z ；（3）112220z z z z z ； （4）121212z z z z z z .【经典例题】【例1】 （1）若复数z 满足 325z i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为________. （2）复数21iz i（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第________象限. （3）复数11z i的模为________. （4）复数,z w 满足3z ，74z w z w i ，则 2z w z w ________. 【教师建议】复数计算，共轭，模 【解析与答案】（1）5i ；（2）四；（3； （4）2274i z w z w z w zw zw ， 由于22,,Re 0z w R zw zw ，则227,4z w zw zw i ，而3z ，故22w ，故222242z w z w z w zw zw18i ，故2218z w z w i【例2】 若z C ，且286z i ，求3210016z z z. （2）二次函数 210ax x a R 的两根的模都小于2，求实数a 的取值范围.（3）设R ，若二次方程 2110i x i x i 有两个虚根，求实数 的取值范围.【教师建议】1.复数开方方法；2.实（复）系数二次函数的解.【例3】 （1）31 ________.（2）已知1,mnii m n N ，则mn 的最小值是________.（3）计算102282000i【教师建议】三角形式计算 【解析与答案】（1）-8；（2）72（3）256i .【例4】 设x是模为1的复数，则函数 2211f x xx的最小值为________.（2）设,p q是复数 0q ，若关于x的方程220x px q的两根的模相等，证明：pq是实数. 【教师建议】复函数最值（利用三角形式，三角函数最值）【解析与答案】（1）设ix e，则 22221112cos211i if x x e ex.（2）21212,z z p z z q，2221221222122122iii iz z z zpe e e eq z z z z为非负实数，因此pq是实数.【例5】 已知复数z满足1z ，则1z iz的最小值为________.（2）设复数z满足1z 且152zz，则z ________.（3）（2002联赛）已知复数12,z z满足122,3z z.若它们所对应向量的夹角为060，则1212z zz z________.【解析与答案】（1）1112iz iz i z1.（2）2151122z z z z zz（3）几何意义，余弦定理【例6】 已知复数z 的模大于1，155cos sin 22iz z，则z ________.（2）已知复数12,z z 满足121232,3,322z z z z i ，试求12z z 的值. 【解析与答案】 （1）25551cos sin 12222i zz z z z z，代入得 2cos sin z i （2） 1212216323072131323z z z z i z z【例7】 求证：当1a 或1b ，当a b 时，有11a bab. 【解析与答案】【例8】 若1231z z z ，求223123111z z z z z z 的值【解析与答案】【例9】 若12,,,0z z A C A ，且12120z z Az Az . 求证：12()()z A R z A .【解析与答案】【例10】 （全国高考题）设z C ，解方程313zz iz i . 【解析与答案】模块2 复数的几何意义1．复数及其预算的几何意义复数 ,z x yi x y R 与复平面内的点 ,Z x y 及向量OZ （O 是坐标原点）之间构成一一对应关系，这就使得复数本身以及运算中有着深刻的几何意义. （1）复数加减法的几何意义复数的加法可以按照向量的加法法则来进行. 两个复数的差12z z 与连接两向量终点并指向被减数的向量对应.（2）复数乘除法的几何意义记 11112222cos sin ,cos sin z r i z r i ，两个复数的积12z z 对应的向量就是把向量OZ 按逆时针方向旋转一个角 （若0 ，则应将OZ 按顺时针方向旋转一个角 ），再将它的模变为原来的2r 倍. 复数的除法也有类似的几何意义.2．复平面解析几何（1）复平面上两点间的距离公式复数12,z z 在复平面上对应的点为12,,Z Z d 表示两点12,Z Z 之间的距离，则有12d z z . （2）复平面上的曲线方程如果复数z 对应着复平面上一点 ,Z x y 就可得出一些常用曲线的复数形式的方程： ①方程0z z r 表示以0Z 为圆心，r 为半径的圆； ②方程12z z z z 表示线段12Z Z 的垂直平分线；③方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，a 为长半轴的椭圆； ④方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，实轴长为2a 的双曲线.复数的几何意义构建了代数与几何之间的相互联系，当中的要害之处在于怎样选取恰当坐标系，进而建立几何元素的复数表示，以借助复数的运算来探究平面几何问题的解决方案.【经典例题】【例11】 （1）（2009复旦）复平面上点012z i 关于直线:22l z i z 的对称点的复数表示是________. （2）设复数z 满足1z ，则2221z z z i的最大值为________.【教师建议】复数几何意义 【解析与答案】（1）i ；（21 .（2）22211z z z i z i表示单位圆上与 1,1距离最大值，为1【例12】 任给8个非零实数128,,,a a a ，证明：下面6个数132415261728354637485768,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中，至少有一个数是非负的.【解析与答案】令212,1,2,3,4i i i z a a i ， 212,i i i z a a【例13】 （全国高中数学联赛题）给定实数,,a b c 已知复数123,,z z z 满足1233122311.1.z z z z z z zz z求123az bz cz 的值. 【解析与答案】【例14】 设复数cos sin (0180)z i ，复数,(1),2z i z z 在复平面上对应的三个点分别是,,P Q R .当,,P Q R 不共线时，以线段,PQ PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，点S 到原点距离的最大值是________. 【解析与答案】模块3 多项式与单位根1．多项式的根一般地，以x 为未知数的一元n 次多项式 f x 可以写成：1110n n n n f x a x a x a x a这里n 为确定的自然数 0n a ，称为 f x 的次数，记作 deg f x .2．多项式相等：两个多项式如果次数相同且同次项系数相等，则此两多项式相等. 竞赛中出现的多项式多为整系数的，称为整系数多项式.如果 1110n n n n f x a x a x a x a 是复系数一元n 次多项式，那么它对应的方程 0f x 就称为复系数一元n 次方程，它的根也称为多项式 f x 的根.类似地，如果 f x 是实系数（或有理系数，整系数等）多项式，则称对应方程为实系数（或有理系数，整系数等）一元n 次方程.3．代数基本定理一元n 次多项式在复数中至少有一个根.根的个数定理：一元n 次多项式有且仅有n 个根（k 重根算作k 个根）推论：若有1n 个不同的x 值使得n 次多项式 f x 与 g x 值相等，那么 f x g x .4．实系数多项式虚根成对定理：若实系数多项式 f x 有一个虚根a bi ，那么a bi 也是它的根，且两根有共同的重数k . 推论1：任何奇次实系数多项式至少有一个实根.推论2：任何次数大于0的实系数多项式均可在实数范围内分解成若干个一次因式与具有共轭虚根的二次因式之积.5．韦达定理的一般形式为：如果一元n 次多项式 1110n n n n f x a x a x a x a 的根是12,,,n x x x ，那么112n n nax x x a ，212131n n n na x x x x x x a， 312312421n n n n na x x x x x x x x x a，12n x x x .6．单位根对于方程10n x （n 是自然数且2n ），由复数开方法则，就得到它的n 个根.利用复数乘方公式，有12222cos sin cos sin kk k k k i i n n n n. 这说明：这n 个n 次单位根可以表示为211111,,,,n ，它们在复平面内对应的点构成一个内接于单位圆的正n 边形.关于n 次单位根，有如下一些性质： （1） 111k k n ；（2） 1,1i j i j i j n ； （3）2111110n ；（4） 设m 是整数，则1211m m mn,当 是 的倍数时；0,当 不是 的倍数时.（5） 1101n n k k k k x x ，特别的，当1x 时， -111n k k n .【经典例题】【例15】 （1）证明：sin x 不是多项式； （2）. 【解析与答案】【例16】 若多项式 3248f x x x x a 有模等于2的虚根，试确定实数a 并解出所有的根.【例17】 若多项式 43262f x x x ax bx 有4个实根，证明：这些根中必有一个小于1【例18】 设,,0,,,a b R b 是三次方程30x ax b 的3个根，求以111111,,为根的三次方程. 【解析与答案】【例19】 （1）设1002200012001x x a a x a x ，求03198a a a 的值.（2）033333nn n nC C C ________. （3）计算：024698100100100100100100100C C C C C C 【解析与答案】（1）令21,,x w w ，其中31w 且1w ，解得99031983a a a（2）21211,3nn n w w 其中22cos sin 33w i . （3）100024*********1001001001001001001001001i C C C C i C C C C利用三角形式可得024********50100100100100100100100C C C C C C 2cos24【说明】类似可求0k kn knkn kn C C C【例20】 若cos 40sin 40i ，则12392π239sin 99等于________. 【解析与答案】设222239s ，其中29i e．23410239s ．2391019s ． 1 ∵，210191s∴．注意到92921091,i i e e，19s ∴．故11111999s s ，．由于1与 是单位圆内接正九边形的相邻顶点，所以1 是单位圆内接正九边形的边长．即π12sin 9，也即12πsin 0999．【例21】 （99联赛）给定实数a b c ，，，已知复数1z ，2z ，3z 满足： 12331223111z z z z z z zz z，求123az bz cz 的值. 利用单位根形式证明1z ，2z ，3z 必有两个相等. 【解析与答案】由题设，有i i i()1e e e ．两边取虚部，有 0sin sin sin 2sincos2sincos22222sincos cos2224sin sin sin 222故2πk 或2πk 或2πk ，k Z ．因而，12z z 或23z z 或31z z ． 如果12z z ，代入原式即 313111z z z z ．故23110z z，31i z z ． 这时，1231i az bz cz z a b c．类似地，如果23z z，则123az bz cz ；如果31z z ，则123az bz cz ．所以，123az bz cz22a b c22b c a22c a b【例22】 是否存在一个凸1990边形，同时具有下列的性质(1)与(2)： （1）所有内角均相等；（2）1990条边的长度是1,2,…,1989,1990的一个排列。
复数范围内解一元二次方程
复数范围内解一元二次方程解一元二次方程是高中数学中的基本知识，我们首先回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
现在我们要求解的是一元二次方程在复数范围内的解。
在实数范围内，一元二次方程的解可以通过判别式来确定：Δ = b^2 - 4ac根据判别式的值，可以得到三种情况：1.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数解。
2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实数解。
3.如果Δ<0，则方程没有实数解。
然而，在复数范围内，一元二次方程的解是可以存在的。
我们来详细讨论一下复数范围内一元二次方程的解的情况。
首先，我们假设方程有解x = p + qi (p和q为实数，i是虚数单位，i^2 = -1)。
将x代入方程，可以得到：a(p + qi)^2 + b(p + qi) + c = 0ap^2 + 2apiq - aq^2 + bp + bqi + c = 0令实部和虚部分别相等，我们可以得到两个方程：ap^2 - aq^2 + bp + c = 0 (1)2apiq + bqi = 0 (2)根据(2)式可得。
如果aq = 0，则可以得到两种情况：1. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bx + c = 0，解为x = -c/b。
2. 如果q = 0，则代入(1)式可以得到ap^2 + bp + c = 0，这是一个一元二次方程，可以像在实数范围内解一样求解。
如果bp + c = 0，则(1)式可以化简为ap^2 - aq^2 = 0，即p^2 = q^2、这也是一个一元二次方程，可以类似地求解。
现在我们考虑aq≠0，进一步讨论两种可能的情况：1. 如果ap^2 - aq^2 + bp + c = 0，则可以将这个方程视为一个关于p的一元二次方程，可以求得p的值。
然后，将p代入到(2)式，可以解得q的值。
2. 如果a = 0，则方程退化为一元一次方程bp + c = 0，解为p = -c/b。
复数范围内解一元二次方程
复数范围内解一元二次方程实系数一元二次方程ax+bx+c=0在实数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x +x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。
设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数解：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数解：x=。
当Δ＜0时，方程无实数解。
方程的根与系数的关系：x+x=-，xx=。
实系数一元二次方程ax+bx+c=0在复数范围内的解的情况：ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。
设Δ=b-4ac（判别式），当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根：x=。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x=。
当Δ＜0时，方程有两个共轭虚数根：x=。
注意：实系数一元二次方程在复数范围内求解时，①由于求根公式仍可使用，故方程的根与系数的关系也仍成立；②若Δ＜0，则意味着方程有一对共轭的虚数根。
二下面对两道例题进行解算。
例1：已知实系数一元二次方程2x+rx+s=0的一个根为-3+2i，求r，s的值。
解：由题设得方程另一根为-3-2i，由韦达定理得s=2（-3+2i）（-3-2i）=2 6，r=-2（-3+2i-3-2i）=12。
例2：若关于x的方程x+5x+m=0的两个虚数根x，x满足|x-x|=3 ，求实数m的值。
解：方法一：方程x+5x+m=0有两个虚根，则有Δ=25-4m＜0，m＞。
又|x-x|=|-|==3，4m-25=9，m=。
方法二：|x-x|=3，|x-x|=9，即|（x-x）|=9，|（x+x）-4xx|=9。
又x+x=-5，xx=m，|25-4m|=9。
又25-4m＜0，4m-25=9，m=。
三上面我们解决了实系数一元二次方程求解问题，那么对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程又应该如何求解呢？例1：求方程x-2ix-5=0的解。
解：配方，得（x-i）-4=0，即（x-i）=4，x=2+i，x=-2+i。
3实系数一元二次方程在复数范围内的解集同步练习
实系数一元二次方程在复数范围内的解集同步练习1．在复数集中解下列方程：（x＋1）（x＋3）＋2＝0．2．在复数集中解下列方程：4x²－5ax＋a2＝0（a∈R）．3．已知实系数一元二次方程x²＋x＋p＝0有两个虚根ɑ、β，且|ɑ−β|＝√3．（1）求ɑ、β在复平面上对应的两个向量之间的夹角．（2）求实数p的值．4．已知2＋i是实系数四次方程x4－2x3＋2x²－10x＋25＝0的一个根，求此方程的其他根．5．设2－3i是实系数二次方程x²＋ax＋b＝0的一个根，求系数a、b．6．已知关于x的方程x²－（2a＋1）x＋a＋2＝0（a∈R）有虚根，且虚根的立方是实数，求a的值，并解此方程．7．已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值．参考答案1．x＝－2±i2．．3．（1）120°【解析】: 设α＝α＋bi（a，b∈R），则β＝a−bi，|α−β|＝|2bi|＝|2b|＝，又因为α＋β＝−1，则α＝，所以，因此；又因为，利用复数相减的三角形法则可得α、β之间的夹角为120°（2）p＝14．方程的另三个根为2−i，【解析】: 原方程可化为（x²－4x＋5）（x²＋2x＋5）＝0，分别解方程x²－4x ＋5＝0和x²＋2x＋5 ＝0即可5．方程另一根为2＋3i，－a＝（2－3i）＋（2＋3i），b＝（2－3i）（2＋3i），得α＝－4，b＝136．设方程的虚根为x＝m＋ni（m，n∈R且n≠0），由虚根的立方是实数可得，又解得或α＝−1，检验△＜0，当时，方程两根为；当α＝−1时，方程两根为7．设方程的实根为x0，则x02+(k+2i)x0+2+ki=0．即(x02+kx0+2)+(2x0+k)i=0．∴∴x02=2，x0=±．∴或【解析】: 方程有实根，可先设出实根x0，再代入方程利用复数相等的定义求解．。
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复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）
1
、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039
x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=
2(x x
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ⨯ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．
由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z
12
i
7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
若z R ∈，则2
5602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠
，则2()60a bi +-=
222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩
2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩
所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。
8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方
程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。
34Z i =+ 6m =-
10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____． 分析：若设i(0)z a b b =+≠，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．
解：∵328(2)(24)0z z z z =∴-++=，
． ∵z 是虚数，∴z ≠2．
∴2240z z ++=，即2222z z ++=-．
故3222826z z z +++=-=．
说明：该题也可通过设z=x+yi(x 、y ∈R)求解，但过程繁复. 可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．p =1或3
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ．2±
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围； (,1)(1,3)(3,)-∞+∞U U
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+=
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 2± ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 1742
or ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，
则k 的值是 ．1-
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
【解】
如果α∈R ，则0∆≥,∴(,8][0,)a ∈-∞-+∞U ，又∵∈R ，∴α=1或-1 当α=1时，代入得：a 2+2a+2=0不可能.
当α= -1时，代入得：a 2-4a+2=0∴2a =如果α是虚数，则0∆<，∴(8,0)a ∈-，并且|α|=1， 则α也是此方程的根，于是：αα=2
2a a - 但是αα=|α|2=1，∴2
2a a -=1，解得：a=2（舍去）或者a=-1
所以，所求的2a =，或者-1
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。
解法一：设m a bi(a,b R )=+∈，设方程的实根为t ，代入方程得：
222
3034034040
t at t (a bi )t i t at (bt )i bt ⎧++=++++=⇒++++=⇒⎨+=⎩ 22222125061644
a (t )t t m a
b t m t b t ⎧=-+⎪⎪≠∴⇒=+=++≥∴≥⎨⎪=-⎪⎩
Q
当且仅当t =时，取等号。
即4min m =
解法二：设方程的实根为t ，代入方程得：
2343400t tm i t ,m t i t t
+++=≠∴=---Q 2222223425616164m (t )()t ,m m
t t
⇒=--+=++≥∴≥∴≥ 当且仅当t =时，取等号。
即4min m =
点评：本例将m 转化为关于t 的函数，利用函数的性质从而求出m 的模 的最小值。
复数范围内实系数一元二次方程（19题）
1、若实系数一元二次方程的一个根是
133
+，则这个方程可以是 ．
2、复数集内分解221x x ++=
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+
4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ ）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
6、适合方程20z z i --=的复数z ；
7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。
10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____．
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ．
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围；
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+= ；
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，则k 的值是 ．
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。