平面向量的最值问题

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例析平面向量的最值问题的几种解法

ʏ刘长柏平面向量融合了代数㊁几何及三角函数等知识,在求其最值时,解题方法呈现出多样性㊂下面对平面向量的最值问题的几种解法进行归纳,意在抛砖引玉㊂一㊁基底法例1 已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且A B ʅB C ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A ң+P B ң+P C ң|的最大值为㊂解:设原点为O ㊂因为A B ʅB C ,所以A C 是圆O 的直径,所以|P A ң+P B ң+P C ң|=|2P O ң+P B ң|=|3P O ң+O B ң|ɤ3|P O ң|+|O B ң|=7,当且仅当P O ң,O B ң同向时等号成立㊂故所求的最大值为7㊂本题通过选择合适的基底向量,把三个动向量转化为只有一个动向量(O B ң),从而使问题得到解决㊂利用基底法解决问题时,首先需要考虑的是如何选择基底㊂二㊁坐标系法例2 已知矩形A B C D 的边长A B =2,A D =1,点P ,Q 分别在B C ,C D 上,且øP A Q =45ʎ,则A P ң㊃A Q ң的最小值是㊂解:以矩形A B C D 的顶点A 为原点,A B ,A D 所在的直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系x A y (图略)㊂易得A (0,0),B (2,0),C (2,1),D (0,1)㊂设P (2,y ),Q (x ,1)(0ɤx ɤ2,0ɤy ɤ1)㊂因为øP A Q =45ʎ,所以t a n 45ʎ=1x -y21+1x ㊃y 2,即y =2-2x 1+x ㊂因为A P ң㊃A Q ң=2x +y =2x +2-2x 1+x =2(1+x )+41+x -4ȡ42-4,当且仅当2(1+x )=41+x ,即x =2-1时等号成立㊂故A P ң㊃A Q ң的最小值为42-4㊂合理建立坐标系,由点的坐标转化为向量坐标的代数运算是坐标法解决向量问题的关键㊂三㊁构造函数法例3 等边三角形A B C 的边长为2,点P 为线段A B 上一点,且A P ң=λA B ң(0ɤλɤ1),则A P ң㊃C P 的最小值是,最大值是㊂解:A P ң㊃C P ң=A P ң㊃(A P ң-A C ң)=λA B ң㊃(λA B ң-A C ң)=4λ2-2λ=4λ-14()2-14㊂因为0ɤλɤ1,所以A P ң㊃C P ң的最小值为-14,最大值为2㊂本题主要是借助边长,将数量积转化为二次函数,利用二次函数的最值求解的㊂四㊁利用平面几何知识例4 已知向量a ,b ,c 满足|a |=4,|b |=22,a 与b 的夹角为π4,(c -a )㊃(c -b )=-1,则|c -a |的最大值为㊂解:设O A ң=a ,O B ң=b ,O C ң=c ㊂以O A所在的直线为x 轴,O 为坐标原点,建立平面直角坐标系x O y (图略)㊂由|a |=4,|b |=22,a 与b 的夹角为π4,可得A (4,0),B (2,2)㊂设C (x ,y ),由(c -a )㊃(c -b )=-1,可得(x -3)2+(y -1)2=1,此方程表示以(3,1)为圆心,1为半径的圆㊂|c -a |表示点A 与点C 的距离,即圆上的点与点A (4,0)的距离㊂因为圆心(3,1)到点A (4,0)的距离为2,所以|c -a |的最大值为2+1㊂解答这类问题,要熟练掌握与平面向量有关的三角形㊁平行四边形㊁圆㊁直线等平面几何知识㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑郭正华)3数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

平面向量中的最值或范围问题

b- b+ = b+ 。
2
2 2
2
所以 c
o
sa - b,
a =
(
·a
a-b)
=
|
a-b|
|
a|
3 2 9
b+
2
2 1
3
3
。
= |
b|+
≥
6
|
b|
4
4
|
b| 2
因为 0≤ a-b,
所以 0≤ a-b
a ≤π,
≤
π
π
,
故 a-b 与a 的夹角的最大值为。
6
6

2
=9
b +a -2×3
b·a≤4,所以 a·b≥2+
2
3
|
b|
2+
3
|
b|
a·b
2
。所以 c
o
sa,
b =
≥
2
|
a|·b
4
|
b|
2
2
1
3
|
b|
,因为|
=
+
b|≤1,所以当|
b|=1
2
|
b|
8
时,
c
o
sa,
b取得最小值为
[
C.
4,
1
2]
7
。
8
→
其中 0≤λ≤1,则 B→
C ·BP
→
一般情况下,如果遇到的问题适合建立
2
+
3 s
i
n
π
2

微重点平面向量的最值与范围问题

微重点平面向量的最值与范围问题平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．考点一求参数的最值(范围)例1 (1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF (含端点)上的动点，若CG →＝λCB →＋μCD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 [1,4]解析根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为23，以O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则F (－23，0)，D (3，3)，C (23，0)，B (3，－3)，设点G 的坐标为(m ，n )，则CG →＝(m －23，n )， CB →＝(－3，－3)，CD →＝(－3，3)，由CG →＝λCB →＋μCD →可得，m －23＝－3λ－3μ，即λ＋μ＝－33m ＋2，数形结合可知m ∈[－23，3]，则－33m ＋2∈[1,4]，即λ＋μ的取值范围为[1,4]． (2)设非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |，且不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．[－1,3] B ．[－1,5] C ．[－7,3] D ．[5,7]答案 A解析 ∵非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |， a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2|b |2cos θ，不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意θ恒成立， ∴(2a ＋b )2≥(a ＋λb )2，∴4a 2＋4a ·b ＋b 2≥a 2＋2λa ·b ＋λ2b 2，整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立， ∵cos θ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－λ2＋8－4λ≥0，13－λ2－8＋4λ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－7≤λ≤3，－1≤λ≤5，∴－1≤λ≤3. 规律方法利用共线向量定理及推论 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，则A ，B ，C 三点共线⇔λ＋μ＝1.跟踪演练1 (2022·滨州模拟)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C ．[0,1] D ．[1,2]答案 C解析由题意，设AN →＝tAM →(0≤t ≤1)，如图．当t ＝0时，AN →＝0，所以λAB →＋μAC →＝0，所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；当0<t ≤1时，因为AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，所以tAM →＝λAB →＋μAC →，即AM →＝λt AB →＋μt AC →，因为M ，B ，C 三点共线，所以λt ＋μt ＝1，即λ＋μ＝t ∈(0,1]．综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]．考点二求向量模、夹角的最值(范围)例2 (1)已知e 为单位向量，向量a 满足：(a －e )·(a －5e )＝0，则|a ＋e |的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析可设e ＝(1,0)，a ＝(x ，y )，则(a －e )·(a －5e )＝(x －1，y )·(x －5，y ) ＝x 2－6x ＋5＋y 2＝0，即(x －3)2＋y 2＝4，则1≤x ≤5，－2≤y ≤2， |a ＋e |＝(x ＋1)2＋y 2＝8x －4，当x ＝5时，8x －4取得最大值为6，即|a ＋e |的最大值为6.(2)在平行四边形ABCD 中，AB →|AB →|＋2AD →|AD →|＝λAC→|AC →|，λ∈[2，2]，则cos ∠BAD 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－34，－14 解析因为AB →|AB →|＋2AD →|AD →|＝λAC→|AC →|，且AB →＋AD →＝AC →，所以|AB →|∶|AD →|∶|AC →|＝1∶2∶λ，不妨设|AB →|＝1，则|AD →|＝2，|AC →|＝λ，在等式AB →|AB →|＋2AD →|AD →|＝λAC→|AC →|两边同时平方可得5＋4cos ∠BAD ＝λ2，则cos ∠BAD ＝λ2－54，因为λ∈[2，2]，所以cos ∠BAD ＝λ2－54∈⎣⎡⎦⎤－34，－14.易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]；若向量a ，b 的夹角为锐角，包括a ·b >0和a ，b 不共线，同理若向量a ，b 的夹角为钝角，包括a ·b <0和a ，b 不共线．跟踪演练2 (2022·马鞍山模拟)已知向量a ，b 满足|a －3b |＝|a ＋3b |，|a ＋b |＝4，若向量c ＝λa ＋μb (λ＋μ＝1，λ，μ∈R )，且a ·c ＝b ·c ，则|c |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析由|a －3b |＝|a ＋3b |得a ·b ＝0，所以a ⊥b .如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，|OA →|＝m ，|OB →|＝n ，由a ⊥b 可知OA ⊥OB ，所以|AB →|＝|b －a |＝|a ＋b |＝4，即m 2＋n 2＝16，所以2mn ≤16，则mn ≤8，当且仅当m ＝n 时取得等号．设OC →＝c ，由c ＝λa ＋μb (λ＋μ＝1)，可知A ，B ，C 三点共线，由a ·c ＝b ·c 可知(a －b )·c ＝0，所以OC ⊥AB ，由等面积法可得， 12|OA →|·|OB →|＝12|AB →|·|OC →|，得|OC →|＝|OA →|·|OB →||AB →|＝mn 4≤2，所以|c |的最大值为2.考点三求数量积的最值(范围)例3 (1)(2022·福州质检)已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，且|a －b |＝1，则(a －b )·(b －c )的最大值为( ) A.14 B.12 C ．1 D.32答案 B解析 ∵|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝2－2a ·b ＝1， ∴a ·b ＝12，∴(a －b )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b 2＋b ·c ＝12－1－(a －b )·c ＝－12－|a －b |·|c |cos 〈a －b ，c 〉＝－12－cos 〈a －b ，c 〉，∵cos 〈a －b ，c 〉∈[－1,1]， ∴(a －b )·(b －c )∈⎣⎡⎦⎤－32，12，即(a －b )·(b －c )的最大值为12.(2)(2022·广州模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点P 在BC 边上(包括端点)，则AD →·AP →的取值范围是________．答案 [－2,2]解析如图所示，以C 为原点，BC →为x 轴正方向，过点C 垂直向上的方向为y 轴，建立平面直角坐标系．因为菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，则B (－2,0)，C (0,0)，D (1，3)，A (－1，3)．因为点P 在BC 边上(包括端点)，所以设P (t ，0)，其中t ∈[－2,0]．所以AD →＝(2,0)，AP →＝(t ＋1，－3)，所以AD →·AP →＝2t ＋2∈[－2,2]．规律方法向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．跟踪演练3 已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，等腰△OCD 的顶点C ，D 在半圆弧AB ︵上运动，且∠COD ＝120°，点P 是半圆弧AB ︵上的动点，则PC →·PD →的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，34 B.⎣⎡⎦⎤－34，1 C.⎣⎡⎦⎤－12，1 D.⎣⎡⎦⎤－12，12 答案 C解析以点O 为原点，AB 为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，不妨取C (1,0)，则D ⎝⎛⎭⎫－12，32，设P (cos α，sin α)(α∈[0，π])， PC →·PD →＝(1－cos α，－sin α)·⎝⎛⎭⎫－12－cos α，32－sin α ＝12－32sin α－12cos α＝12－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. 因为α∈[0，π]，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以12－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，即PC →·PD →的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 专题强化练1．(2022·山东省实验中学诊断)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 C解析由题意得，AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →且λ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－λ(b ＋1)，2λ＝1，可得2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab＝8，当且仅当b ＝2a ＝12时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为8. 2．设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值为( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析如图，作出OD →，使OA →＋OB →＝OD →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB → ＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC → ＝1－2cos 〈OD →，OC →〉，当cos 〈OD →，OC →〉＝－1时，(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值为1＋ 2.3．(2022·杭州模拟)平面向量a ，b 满足|a |＝1，⎪⎪⎪⎪b －32a ＝1，记〈a ，b 〉＝θ，则sin θ的最大值为( )A.23B.53C.12D.32 答案 A解析因为|a |＝1，⎪⎪⎪⎪b －32a ＝1，所以⎪⎪⎪⎪b －32a 2＝|b |2－3a ·b ＋94|a |2＝1， |b |2－3|a |·|b |cos θ＋94－1＝0，即|b |2－3|b |cos θ＋54＝0，所以cos θ＝|b |2＋543|b |＝|b |3＋512|b |≥2536＝53，当且仅当|b |＝52时，等号成立，因为〈a ，b 〉＝θ，θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ≤1－59＝23，即sin θ的最大值为23.4.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，BC ＝2，P 是线段AB 上的动点，则|PC →＋4PD →|的最小值为( )A ．35B ．6C ．25D ．4答案 B解析如图，以点B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，设AB ＝a ，BP ＝x (0≤x ≤a )，因为AD ＝1，BC ＝2，所以P (0，x )，C (2,0)，D (1，a )，所以PC →＝(2，－x )，PD →＝(1，a －x )， 4PD →＝(4,4a －4x )，所以PC →＋4PD →＝(6,4a －5x )，所以|PC →＋4PD →|＝36＋(4a －5x )2≥6，所以当4a －5x ＝0，即x ＝45a 时，|PC →＋4PD →|的最小值为6.5．(多选)已知向量a ，b ，单位向量e ，若a ·e ＝1，b ·e ＝2，a ·b ＝3，则|a ＋b |的可能取值为( ) A ．3 B.10 C.13 D ．6答案 CD解析设e ＝(1,0)，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，由a ·e ＝1得x 1＝1，由b ·e ＝2得x 2＝2，由a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝3，可得y 1y 2＝1，则|a ＋b |＝(a ＋b )2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝11＋y 21＋y 22≥11＋2y 1y 2＝13，当且仅当y 1＝y 2＝1时取等号．6.(多选)(2022·武汉模拟)正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意一点，AP →＝λAD →＋μAE →(λ，μ∈R )，则( )A ．λ的最大值为12B ．μ的最大值为1 C.AP →·AD →的最大值为2 D.AP →·AE →的最大值为5＋2 答案 BCD解析如图，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，D (－1,2)，E (1,1)，连接OP ，设∠BOP ＝α(α∈[0，π])，则P (cos α，sin α)， AP →＝(cos α＋1，sin α)， AD →＝(0,2)，AE →＝(2,1)，由AP →＝λAD →＋μAE →，得2μ＝cos α＋1且2λ＋μ＝sin α，α∈[0，π]，所以λ＝14(2sin α－cos α－1)＝54sin(α－θ)－14≤5－14，故A 错误；当α＝0时，μmax ＝1，故B 正确； AP →·AD →＝2sin α≤2，故C 正确； AP →·AE →＝sin α＋2cos α＋2＝5sin(α＋φ)＋2≤5＋2，故D 正确．7．(2022·广东六校联考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长至点F ，使得AE ＝2EF ，若H 为线段BC 上的动点，则FH →·AH →的取值范围为______________．答案 ⎣⎡⎦⎤－17764，－32 解析方法一连接AC ，BD 交于点O ，以点O 为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (0，－3)，D (1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，－32. 设F (x 0，y 0)，因为AE →＝2EF →，所以⎝⎛⎭⎫12，－332＝2⎝⎛⎭⎫x 0－12，y 0＋32 ＝()2x 0－1，2y 0＋3，所以2x 0－1＝12，2y 0＋3＝－332，所以x 0＝34，y 0＝－534，所以F ⎝⎛⎭⎫34，－534. 易知直线BC 的方程为y ＝－3x －3，设H (x ，－3x －3)(－1≤x ≤0)，则AH →＝(x ，－3x －23)，FH →＝⎝⎛⎭⎫x －34，－3x ＋34，所以FH →·AH →＝⎝⎛⎭⎫x －34x ＋⎝⎛⎭⎫3x －34(3x ＋23)＝4x 2＋92x －32，因为－1≤x ≤0，所以FH →·AH →∈⎣⎡⎦⎤－17764，－32.方法二设BH →＝tBC →(0≤t ≤1)，则AH →＝AB →＋BH →＝AB →＋tBC →＝AB →＋tAD →. 连接AC (图略)，因为E 为CD 的中点，所以AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(AB →＋2AD →)， AF →＝AE →＋EF →＝32AE →＝34(AB →＋2AD →)，所以FH →·AH →＝(AH →－AF →)·AH →＝AH →2－AF →·AH →＝(AB →＋tAD →)2－34(AB →＋2AD →)·(AB →＋tAD →)＝4＋4t 2＋4t －34(4＋2t ＋4＋8t ) ＝4＋4t 2＋4t －6－15t 2＝4t 2－72t －2. 设y ＝4t 2－72t －2,0≤t ≤1，根据二次函数的图象与性质可知，函数y ＝4t 2－72t －2,0≤t ≤1的最小值在t ＝716处取得，为－17764，最大值在t ＝1处取得，为－32，所以FH →·AH →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－17764，－32. 8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，则|2a ＋b |＋|2a －b |的最小值是________，最大值是________．答案 6 213解析 ∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |＝4，且|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b －2a ＋b |＝2|b |＝6，∴|2a ＋b |＋|2a －b |≥6，当且仅当2a ＋b 与2a －b 反向时取等号．此时|2a ＋b |＋|2a －b |的最小值为6.∵|2a ＋b |＋|2a －b |2≤|2a ＋b |2＋|2a －b |22 ＝|2a |2＋|b |2＝13， ∴|2a ＋b |＋|2a －b |≤213，当且仅当|2a ＋b |＝|2a －b |时取等号， ∴|2a ＋b |＋|2a －b |的最大值为213.。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

如何解答平面向量最值问题

x y
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，

1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画

a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19

因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，

y

所以 λBN = 2x BE + y BD ，

第11讲平面向量中的最值范围问题(教师版)

第11讲平面向量中的最值范围问题题型一利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题．【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。

21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析

【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题; 第三步得出结论。

例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步运用向量的数量积的性质求解；第三步得出结论。

数学-平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题高中数学　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1　如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解　因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1　如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案　(－1,0)解析　由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2　在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案　C解析　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2　在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案　2918解析　根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3　向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案　32解析　|a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3　已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案　433解析　将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4　已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案　255解析　∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4　已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案　C解析　因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案　C解析　因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案　D解析　由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案　B解析　因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案　B解析　∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案　A解析　以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案　C解析　∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案　9解析　根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案　2＋12解析　因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解　由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解　设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案　C解析　∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案　C解析　不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案　D解析　因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案　－4952解析　∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案　12解析　设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解　(1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。

二轮复习第28讲平面向量范围与最值问题

第28讲平面向量范围与最值问题一、单选题1．(2021·四川·双流中学高三期末(理))如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在边长为2的正方形ABCD的边AB和AD上移动，则A B ⋅A C 的最大值是()A ．4B ．1+2C ．πD ．2【答案】D 【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系：令∠AAD =θ，由于AD =1，故AA =cos θ，AD =sin θ，如图∠BAx =π2-θ，BA =1，故x B =cos θ+cos π2-θ =cos θ+sin θ，y B =sin π2-θ =cos θ故AB =(cos θ+sin θ,cos θ)同理可求得C sin θ,cos θ+sin θ ，即AC =sin θ,cos θ+sin θ ，∴A B ⋅AC =sin θcos θ+sin θ +cos θcos θ+sin θ =1+sin2θ，当θ=π4时，A B ⋅AC 有最大值2．故选：D2．(2021·四川资阳·高三月考(理))已知e 为单位向量，向量a 满足：a -e ⋅a -5e =0，则a +e的最大值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【分析】可设e =1,0 ，a =x ,y ，根据a -e ⋅a -5e =0，可得x ,y 的关系式，并得出x ,y 的范围，a +e=x +12+y 2，将y 用x 表示，再根据函数的最值即可得解.【详解】解：可设e=1,0 ，a=x ,y ，则a -e ⋅a -5e=x -1,y ⋅x -5,y =x 2-6x +5+y 2=0，即x -3 2+y 2=4，则1≤x ≤5，-2≤y ≤2，a +e=x +12+y 2=8x -4，当x =5时，8x -4取得最大值为6，即a+e的最大值为6.故选：C3．(2021·河南南阳·高三期中(文))已知OA ､OB是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动.若OC =xOA +yOB ，其中x ､y ∈R ，则x +y 的最大值是()A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】B 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.【详解】解：由题意，以O 为原点，OA 为x 轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C (cos θ,sin θ)，0≤θ≤120°可得A (1,0)，B -12，32，由OC =x (1，0)+y -12，32=cos θ+sin θ 得，x -12y =cos θ，32y =sin θ，∴32y =3sin θ，∴x +y =cos θ+3sin θ=2sin (θ+30°)，∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴当θ=60°时，x +y 的最大值为2，此时C 为弧AB 的中点.所以x +y 的最大值是2.故选：B .4．(2021·江西赣州·高三期中(文))已知AB ⊥AC ,|AB |=t 3,|AC |=t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP =AB|AB|-3AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值等于()A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C 【分析】以A 为原点，AB ,AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B 0,t 3,C (t ,0)，求出P 点坐标，再求出数量积，然后引入函数，用导数求得最大值．【详解】∵AB ⊥AC ，∴可以A 为原点，AB ,AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设B 0,t 3,C (t ,0)，则AP =(0,1)-3(1,0)=(-3,1)，故点P 坐标为(-3,1)则PB =-3,1-t 3 ,PC =(-3-t ,1)，∴PB ⋅PC =-3(-3-t )+1-t 3 =-t 3+3t +10令f (t )=-t 3+3t +10,t >0，则f(t )=-3t 2+3=-3(t +1)(t -1),t ≥0，则当t ∈(0,1)时，f(t )>0，当t ∈(1,+∞)时，f(t )<0，则函数f (t )在[0,1)递增，在(1,+∞)上递减，则f (t )max =f (1)=12，即PB ⋅PC 的最大值为12．故选：C ．5．(2021·浙江丽水·高三期中)已知平面向量e 1 ，e 2 ，a ，e 1=e 2=1，若a⋅e 1 +e 2≥2，a ⋅e 1 -e 2 ≥1，则()A ．a的最小值是32B ．a 的最大值是32C ．a 的最小值是94D ．a 的最大值是94【答案】A 【分析】令u=e 1+e 2 ,v=e 1 -e 2，可得u ⊥v ，且|u|2+|v|2=4，设u =(2cos α,0),v =(0,2sin α)，|a |=r ，a=(r sin β,r cos β)，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.【详解】令u=e 1+e 2 ,v=e 1 -e 2，则u ⋅v=e 1 2-e 2 2=0，故u ⊥v ，且|u|2+|v|2=2e 1 2+e 2 2=4，假设u =(2cos α,0),v=(0,2sin α)，|a|=r ，a=(r sin β,r cos β)，所以根据已知条件有a ⋅u=2r ⋅cos α⋅sin β ≥2a ⋅v =2r ⋅sin α⋅cos β ≥1，所以2r ≥2r (|cos α⋅sin β|+|sin α⋅cos β|)≥3，即r ≥32，当且仅当sin α=33,β=π2-α,r =32时等号成立，所以|a |的最小值是32，故选：A .6．(2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试)已知平面向量a ,b ,c满足|a|=2,|b|=3,|c|=1，a ⋅b -c ⋅(a +b )+1=0，则|a -b |的最大值是()A ．23+1B ．5C ．23-1D ．26【答案】A 【分析】由已知可得a ⋅b +1=c ⋅ a+b，再结合向量的数量积的性质可求a ⋅b2≤12，最后代入即可求出答案.【详解】设OA =a ,OB =b ,OC =c ∵|c |=1,a ⋅b -c ⋅(a +b )+1=0得a ⋅b +1=c ⋅(a +b )|a ⋅b +1|=|c ⋅(a +b )|≤|c ||a +b |=|a +b |∴|a ⋅b +1|2≤|a +b |2即(a ⋅b )2+2a ⋅b +1≤a 2+2a ⋅b +b 2,(a ⋅b )2≤12∵|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2∴|a -b|2≤13+43,∴|a -b|≤23+1故选：A7．(2021·山西·怀仁市第一中学校高三期中(理))已知平面向量a ,b ,c满足c =1，a ·c=1，b ·c=-2，a +b=2，则a ·b 的最大值为()A ．-1B ．-2C ．-52D ．-54【答案】D 【分析】由题意不妨设e =(1,0),a =(1,m ),b =(-2,n )，利用|a +b |=2，可得m +n 为定值，再求出a ⋅b的解析式，利用基本不等式即可求出a ⋅b的最大值．【详解】解：由e =1，不妨设e =(1,0)，又a ⋅e =1,b ⋅e=2，可设a=(1,m ),b=(-2,n )，则a +b=(-1,m +n )，又|a+b|=2，∴(-1)2+(m +n )2=4，∴(m +n )2=3；∴a ⋅b=-2+mn ≤-2+m +n 2 2=-2+34=-54，当且仅当m =n =32或-32时取“=”；∴a ⋅b 的最大值为-54．故选：D ．8．(2021·浙江省杭州第二中学高三期中)已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB ⊥BC ，点Р在上底面圆的圆周上，则PA 2+PB 2+PC 2的最小值为()A ．246B ．226C ．208D ．198【答案】D 【分析】问题可转化为三棱锥P -ABC 且三棱锥有外接球，求PA 2+PB 2+PC 2转化为求QA 2+QB 2+QC 2的最值，再转化为利用向量求解即可.【详解】如图，△ABC 的外心是AC 中点O 1，点P 到底面ABC 的距离为7，设Р所在截面圆的圆心为O 2，此截面与平面ABC 平行，球心O 在O 1O 2上，OO 1=R 2-OC 2=52-42=3,OO 2=O 1O 2-OO 1=7-3=4，则r =O 2P =R 2-OO 22=3，设P 在平面ABC 上的射影为Q ，则Q 在以O 1为圆心，3为半径的圆，因为PQ ⊥平面ABC ，所以PQ 与平面ABC 内所有直线都垂直，PQ =7,所以PA 2+PB 2+PC 2=PQ 2+QA 2+PQ 2+QB 2+PQ 2+QC2=QA 2+QB 2+QC 2+147QA 2+QB 2+QC 2=QO 1 +O 1A 2+QO 1 +O 1B 2+QO 1 +O 1C2=3QO 1 2+O 1A 2+O 1B 2+O 1C 2+2QO 1 ⋅O 1A +2QO 1 ⋅O 1B +2QO 1 ⋅O 1C=27+16+16+16+2QO 1 ⋅O 1A +O 1C +2QO 1 ⋅O 1B=75+2QO 1 ⋅O 1B，当QO 1 ,O 1B 反向时，QO 1 ⋅O 1B 取得最小值-12，所以PA 2+PB 2+PC 2的最小值147+75-2×12=198.故选：D9．(2021·江苏省泰兴中学高三期中)已知△ABC 中，AB =7,AC =3，∠ACB =120°，当λ∈R 时，AB -λAC的最小值为()A ．10B ．53C ．5D ．532【答案】D 【分析】先利用余弦定理求出BC ，从而可求出cos A ，然后对AB -λAC平方后化简，再利用二次函数的性质可求得结果【详解】由余弦定理得49=9+BC 2-2×3BC ⋅-12，解得BC =5，所以cos A =9+49-252×3×7=1114所以AB -λAC 2=AB 2-2λAB ⋅AC +λ2AC2=49-2λ×7×3×1114+9λ2=9λ2-33λ+49，当λ=116时，AB -λAC 2取最小值754，所以AB -λAC min =532，故选：D ．10．(2021·北京朝阳·高三期中)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⎳BC ，AB ⊥BC ，AD =1，BC =2，P 是线段AB 上的动点，则PC +4PD的最小值为()A ．35B ．6C ．25D ．4【答案】B 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB =a ，BP =x 0≤x ≤a ，因为AD =1，BC =2，所以P 0,x ,C 2,0 ,D 1,a ，所以PC =2,-x ,PD =1,a -x ，4PD =4,4a -4x ，所以PC +4PD=6,4a -5x ，所以PC +4PD =36+4a -5x 2≥6，所以当4a -5x =0，即x =45a 时，PC +4PD 的最小值为6.故选：B11．(2021·辽宁实验中学高三期中)若平面向量a ，b 满足a =b =a ⋅b =2，则对于任意实数λ，λa+1-λ b的最小值是()A ．3B ．1C ．23D ．2【答案】A【分析】转化λa+1-λ b=λa+1-λ b2=λ2|a |2+(1-λ)2|b |2+2λ(1-λ)a ⋅b，结合题干条件和二次函数的性质，即得解【详解】由题意，λa+1-λ b =λa+1-λ b2=λ2|a |2+(1-λ)2|b |2+2λ(1-λ)a ⋅b=4λ2+4(1-λ)2+4λ(1-λ)=4λ2-4λ+4=4λ-122+3≥3当且仅当λ=12时等号成立故λa+1-λ b的最小值是3故选：A12．(2021·重庆八中高三月考)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB =4，CD =2，∠A =45°，M 为线段HL 上一动点，则AF ⋅GM 的最小值为()A ．-8B ．-16C ．-24D ．-32【答案】D 【分析】以C 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：由题意，以C 为原点建立如图所示的平面直角坐标系则A -4,2 ，F 0,-2 ，G 4,-2M 为线段HL 上一动点，设M 2,y ，其中0≤y ≤4∴AF =4,-4 ，GM =-2,y +2 ∴AF ⋅GM=4×-2 +-4 ×y +2 =-4y -16，0≤y ≤4∴当y =4时，AF ⋅GM=-32AF ⋅GM的最小值为-32.故选：D .13．(2021·北京·101中学高三开学考试)已知向量a ,b 为单位向量，且a ⋅b=-12，向量c 与a +b 共线，则|a +c|的最小值为()A ．1B ．12C ．34D ．32【答案】D 【分析】由题意c =λ(a +b )，则|a +c |=|a +λ(a +b )|==(1+λ)2a 2+λ2b 2+2λ(1+λ)a ⋅b ，代入题干数据，结合二次函数的性质，即得解【详解】由题意，向量c 与a+b共线，故存在实数λ，使得c =λ(a+b)∴|a +c |=|a +λ(a +b )|=|(1+λ)a+λb |=(1+λ)2a 2+λ2b 2+2λ(1+λ)a ⋅b=(1+λ)2+λ2-λ(1+λ)=λ2+λ+1=λ+12 2+34≥34=32当且仅当λ=-12时等号成立故选：D14．(2022·全国·高三专题练习)设向量OA =1,-2 ，OB =a ,-1 ，OC =-b ,0 ，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则12a +1b的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】A 【分析】根据向量共线定理可得2a +b =1，再应用基本不等式“1”的代换求12a +1b的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，AB =OB -OA =(a -1,1)，AC =OC -OA=(-b -1,2)，A ，B ，C 三点共线，∴AB =λAC 且λ∈R ，则a -1=-λ(b +1)2λ=1，可得2a +b =1，∴12a +1b =12a +1b (2a +b )=2+b 2a +2a b≥2+2b 2a ⋅2a b =4，当且仅当b =2a =12时等号成立.∴12a +1b的最小值为4.故选：A15．(2021·广西桂林·高三月考(文))已知向量a =cos θ,sin θ ，θ∈0,π ，b =3,-1 .若2a -b <m 恒成立，则实数m 的范围是()A ．4,+∞B ．4,+∞C ．2,+∞D ．4,10【答案】B 【分析】由条件利用向量的数量积公式，三角恒等变换，变形2a -b 为8-8cos θ+π6，再根据θ∈0,π 求得2a -b的最大值，进而可得m 的范围.【详解】由已知a=1，b=2∴2a -b =4a 2-4a ⋅b +b 2=8-4(3cos θ-sin θ)=8-8cos θ+π6，由θ∈0,π ，得θ+π6∈π6,7π6，得cos θ+π6 ∈-1,32，故2a -b的最大值为8+8=4，所以m >4.故选：B .16．(2021·江苏·高三专题练习)a =2，b =3,a -b =4，若对任意实数t ，ka +tb >1恒成立，则实数k 的范围()A ．-∞,-215 ∪215,+∞ B ．-∞,-215 ∪215,+∞ C ．-215,215 D ．-215,215【答案】B 【分析】先由题中条件，根据向量模的计算公式，求出a ⋅b=-32，再将不等式恒成立转化为9t 2-3kt +4k 2-1>0对任意实数t 恒成立，根据一元二次不等式恒成立的判定条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为a=2，b=3,a-b=4，则a-b 2=a2+b 2-2a ⋅b =13-2a ⋅b =16，则a ⋅b=-32，所以ka+tb=k 2a 2+t 2b 2+2kta ⋅b=4k 2+9t 2-3kt ，又对任意实数t ，ka+tb >1恒成立，则9t 2-3kt +4k 2-1>0对任意实数t 恒成立，因此只需Δ=9k 2-364k 2-1 <0，解得k >215或k <-215，故选：B .【点睛】本题主要考查考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，考查向量模的计算，属于常考题型.二、多选题17．(2021·江苏省天一中学高三月考)己知△ABC 中，角A ，B ．C 所对的边分别是a ，b ，c ，B =π3，2BP=PC ，AP =3则下列说法正确的是()A ．AP =23AB +13ACB ．a +3c 的最大值为43C ．△ABC 面积的最大值为33D ．a +c 的最大值为213【答案】AD 【分析】利用平面向量基底表示向量可判断A ；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B ，C ，D .【详解】对于A ，在△ABC 中，因2BP =PC ，则AP =AB +BP =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB +13AC ，A 正确；在△ABP 中，由余弦定理得：AP 2=AB 2+BP 2-2AB ⋅BP cos ∠ABP ≥2AB ⋅BP -2AB ⋅BP cos60°=AB ⋅BP ，当且仅当AB =BP 时取“=”，于是得当AB =BP =AP =3时，(AB ⋅BP )max =3，S △ABC =12AB ⋅BC sin B =12AB ⋅3BP ⋅sin60°≤934，C 不正确；在△ABP 中，令∠BAP =α，则∠APB =2π3-α，0<α<2π3，由正弦定理得：AB sin ∠APB=BP sin ∠BAP =AP sin B =3sin60°=2，则c =2sin 2π3-α ,a 3=2sin α，a +c =6sin α+2sin 2π3-α =7sin α+3cos α=213sin (α+φ)，其中锐角ϕ由tan φ=37确定，而φ<α+φ<2π3+φ，则当α+ϕ=π2时，sin (α+φ)=1，a +c 取最大值213，D 正确；而a +3c >a +c ，则a +3c 的最大值应大于a +c 的最大值，又43<213，即a +3c 的最大值为43是不正确的，B 不正确.故选：AD18．(2022·河北·高三专题练习)在△ABC 中，A =π2，AB =AC =2，下述四个结论中正确的是()A ．若G 为△ABC 的重心，则AG =13AB +13ACB ．若P 为BC 边上的一个动点，则AP ⋅(AB +AC)为定值2C ．若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =2，则AM ⋅AN 的最小值为32D ．已知P 为△ABC 内一点，若BP =1，且AP =λAB +μAC，则λ+3μ的最大值为2【答案】AC 【分析】A .以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由G 为△ABC 的重心，结合向量的数乘运算判断；B .设BP =tBC 0≤t ≤1 ，把AP ⋅AB +AC 用含t 的代数式表示判断；C .不妨设M 靠近B ，BM =x ,0≤x ≤2，求得M ，N 的坐标，得到AM ⋅AN关于x 的函数，利用二次函数求值判断；D . 由AP =λAB +μAC 结合BP =1，得到λ-1 2+μ2=14，再令1-λ=12sin θ,μ=12cos θ,θ∈π4,π2 ，转化为λ+3μ=123cos θ-sin θ +1=cos θ+π6+1，利用三角函数的性质求解判断.【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A 0,0 ,B 2,0 ,C 0,2 ,AB =2,0 ,AC =0,2 ，因为G 为△ABC 的重心，所以G 23,23，则AG =23,23，所以13AB +13AC =23,0 +0,23 =23,23 ，所以AG =13AB +13AC ，故A 正确；设BP =tBC 0≤t ≤1 ，则AP =AB +BP =AB +tBC =tAC +1-t AB ，则AP ⋅AB +AC =tAC +1-t AB ⋅AB +AC ，=tAC ⋅AB +t AC 2+1-t AB 2+1-t AB ⋅AC=4t +41-t =4，故B 错误；不妨设M 靠近B ，BM =x ,0≤x ≤2，得M 2-22x ,22x ,N 2-22x +2 ,22x +2 =1-22x ,1+22x，则AM ⋅AN=2-22x ⋅1-22x +22x ⋅1+22x =x 2-2x +2，当x =22时，AM ⋅AN 的最小值为32：故C 正确；由AP =λAB +μAC ，且P 为△ABC 内一点，BP =1，则BP =AP -AB =λ-1 AB +μAC =4λ-1 2+4μ2=1，即λ-1 2+μ2=14，令1-λ=12sin θ,μ=12cos θ,θ∈π4,π2 ，则λ+3μ=123cos θ-sin θ +1=cos θ+π6+1，因为θ∈π4,π2 ，则θ+π6∈5π12,2π3 ，所以cos θ+π6 ∈-12,6-24，所以λ+3μ的范围是12,1+6-24，故D 错误.故选：AC19．(2022·全国·高三专题练习)如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ,AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC =λCE ,ED =uDA ，AB =3BF (λ,u >0)，则()A ．EB=34EF +14EA B ．λμ=14C ．1λ+1μ的最大值为1D ．EC ⋅AD EB⋅EA的最小值为-49【答案】ACD 【分析】根据题意EB -EA =3(EF -EB)，化简整理，即可判断A 的正误；利用B 、C 、E 三点共线及F 、C 、D 三点共线，化简计算，即可判断B 的正误；根据基本不等式，计算整理，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为AB =3BF ，所以EB -EA =3(EF -EB )，所以EB =34EF +14EA ，故A 正确；对于B ：由B 、C 、E 三点共线可得AC =11+λAB +λ1+λAE =34⋅11+λAF+λ(μ+1)1+λAD ，由F 、C 、D 三点共线可得34(1+λ)+λ(μ+1)1+λ=1，解得λμ=14，故B 正确；对于C ：由λμ=14得1λ+1μ≥21λ×1μ=2λμ=4，当且仅当λ=μ时等号成立，所以1λ+1μ有最小值为4，无最大值，故C 错误；对于D ：因为BC =λCE ,ED =uDA ，所以EB =(1+λ)EC ,EA =(1+μ)DA，所以EC ⋅AD EB ⋅EA =EC ⋅AD -(1+μ)(1+λ)EC ⋅AD=-11+λ+μ+λμ=154+λ+μ≥-154+2λμ=-49.当且仅当λ=μ时等号成立，故D 正确.故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则、三点共线定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简，转化分析的能力，属中档题.20．(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB ⋅AC =3，BC =26，其中D ，E 均为边BC 上的点，分别满足：BD =DC ，AE ⋅AC AC =AE ⋅ABAB，则下列说法正确的是()A ．AD为定值3B ．△ABC 面积的最大值为36C ．AE的取值范围是1,3D ．若F 为AC 中点，则BF不可能等于5【答案】ABD 【分析】对于A :利用AD =12AC +AB 和数量积的计算公式可求AD=3；对于B ：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于C ：先判断出cos ∠EAC =cos ∠EAB ，结合θ的范围即可判断；对于D ：利用BF =12BA +BC 求出范围，即可判断.【详解】设∠BAC =θ.对于A :因为BD =DC，所以D 为BC 的中点.因为BC =AC -AB =26，所以AC -AB 2=26 2，即AC 2-2AC ∙AB +AB 2=24，所以AC 2+AB 2=30.因为AD =12AC +AB ，所以AD 2=14AC 2+2AC ∙AB +AB 2=1430+6 =9，所以AD=3.故A 正确；对于B ：S △ABC =12AB ×AC ×sin θ=12×3cos θ×sin θ=32tan θ，又cos θ=3AB ×AC ≥3AB 2+AC22=3302=15，当且仅当“AB =AC "时,取“=”此时tan θ=1cos 2θ-1≤26，所以S △ABC =32tan θ≤36.故B 正确；对于C ：因为AE ⋅AC AC =AE ⋅ABAB，所以AE cos ∠EAC =AE cos ∠EAB ，所以cos ∠EAC =cos ∠EAB .当cos θ=15时，D 、E 重合，AE 取得最大值3.可知θ为锐角，当∠BAC →最大锐角时，AE最大，但无法取到.故C 错误；对于D ：若F 为AC 中点，则BF =12BA +BC =12BA2+2BA ∙BC +BC 2=12BA2+2BA ×26cos B +24>5.故D 正确.故选：ABD .21．(2022·河北·高三专题练习)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E 为边BC 上两个动点，且满足DE =2，则下列选项正确的是()A ．AD ⋅AE 的最小值为4925B ．AD ⋅AE 的最小值为11925C ．AD ⋅AE 的最大值为485D ．当AD ⋅AE取得最大值时，点D 与点B 重合【答案】BC 【分析】取DE 的中点M ，利用向量的加法法则和数量积的运算律可得AD ⋅AE=AM 2-1，求出AM 的最小值，即可得答案，当点E 与点C 重合时，AM 取得最大值，然后利用余弦定理可得答案【详解】取DE 的中点M ，则AD =AM +MD ，AE =AM +ME ，则AD ⋅AE =AM +MD ⋅AM +ME =AM 2-MD 2=AM 2-1，易知AM 的最小值为点A 到BC 的距离，即AM 的最小值为125，即AD ⋅AE 的最小值为11925，故B 选项正确，A 错误；当点E 与点C 重合时，AM 取得最大值，即AM 2=9+16-2×3×4cos B =535，故AD ⋅AE 的最大值为485，故C 选项正确，D 错误.故选：BC22．(2022·全国·高三专题练习)如图，在直角三角形ABC 中，A =90°,AB =5,AC =25，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则()A ．点P 所在圆的半径为2B ．点P 所在圆的半径为1C ．PB ⋅PC 的最大值为14D ．PB ⋅PC的最大值为16【答案】AC 【分析】Rt △ABC 斜边BC 上的高即为圆的半径；把求PB ⋅PC 的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求4+PA ⋅2PM的最大值，从而判断出P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时取最大值.【详解】设AB 的中点为M ，过A 作AH 垂直BC 于点H ，因为A =90°,AB =5,AC =25，所以BC =5，AM =52，所以由12AB AC =12BC AH ，得AH =AB AC BC=2，所以圆的半径为2，即点P 所在圆的半径为2，所以选项A 正确，B 错误；因为PB =PA +AB ，PC =PA +AC ，AC ⋅AB=0，所以PB ⋅PC =PA +AB ·PA +AC =PA 2+PA ⋅AC +AB ⋅PA =PA 2+PA ⋅AC +AB =4+PA ⋅2PM ，所以当P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时，PA ⋅2PM 取最大值，且最大值为PA ⋅2PMmax=2PA ⋅PM =2×2×52=10，所以PB ⋅PC的最大值为4+10=14，所以选项C 正确，D 错误.故选：AC .23．(2021·全国·高三专题练习(理))如图，等边△ABC 的边长为2，点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则()A ．OA +OC 有最大值3B ．OA ⋅OC有最大值3C ．OA +BC 有最小值无最大值D ．OA ⋅BC无最大值也无最小值【答案】BD 【分析】根据题意，设∠OCB =α,α∈0,π2 ，则∠ACD =2π3-α，进而得A 2sin 2π3-α,2cos 2π3-α +2cos α ,C 0,2cos α ,B 2sin α,0 ，再结合三角恒等变换和向量数量积运算依次讨论各选项即可求解.【详解】如图，设∠OCB =α,α∈0,π2 ，则∠ACD =2π3-α，所以在Rt △ACD 中，CD =2cos ∠ACD =2cos 2π3-α，AD =2sin ∠ACD =2sin 2π3-α ，在Rt △BOC 中，OC =2cos α,OB =2sin α，所以A 2sin 2π3-α ,2cos 2π3-α +2cos α ,C 0,2cos α ,B 2sin α,0 ,所以OA +OC =2sin 2π3-α ,2cos 2π3-α +4cos α =3cos α+sin α,3sin α+3cos α ，故OA +OC =12cos 2α+83sin αcos α+4sin 2α=8sin 2α+π6+8，由于α∈0,π2 ，故2α+π6∈π6,7π6，所以OA +OC ∈2,4 ，故A 选项错误；OA ⋅OC =4cos 2π3-α cos α+4cos 2α=23sin αcos α+2cos 2α=3sin2α+cos2α+1=2sin 2α+π6+1，由于α∈0,π2 ，故2α+π6∈π6,7π6，OA⋅OC ∈0,3 ，即OA ⋅OC 有最大值3，故B 选项正确；OA +BC =2sin 2π3-α -2sin α,2cos 2π3-α +4cos α =3cos α-sin α,3sin α+3cos α所以OA +BC =12cos 2α+43sin αcos α+4sin 2α=27sin 2α+φ +8,tan φ=233,φ∈0,π2，由于α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ，所以OA +BC 有最大值，无最小值；故C 选项错误；OA ⋅BC =-4sin 2π3-α sin α+4cos 2π3-α cos α+4cos 2α=2cos2α，由于α∈0,π2 ，故2α∈0,π ，所以OA ⋅BC ∈-2,2 ，所以OA ⋅BC 无最大值也无最小值，故D 选项正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据α的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.24．(2022·全国·高三专题练习)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC =23S ，下列选项正确的是()A ．A =π3B ．若b =3，则△ABC 有两解C ．若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是(23,4)D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】BCD 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用AD =12(AB+AC )，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．【详解】因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23S =23×12bc sin A ，tan A =33，又A ∈(0,π)，所以A =π6，A 错；若b =3，则b sin A <a <b ，三角形有两解，B 正确；若△ABC 为锐角三角形，则0<B <π2，A +B =π6+B >π2，所以π3<B <π2，32<sin B <1，b sin B =a sin A ，b =a sin Bsin A=4sin B ∈(23,4)，C 正确；若D 为BC 边上的中点，则AD =12(AB +AC )，AD 2=14(AB +AC )2=14(c 2+2bc cos A +b 2)=14(b 2+c 2+3bc )，又a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，b 2+c 2=4+3bc ，由基本不等式得4=b 2+c 2-3bc ≥2bc -3bc =(2-3)bc ，bc ≤42-3=4(2+3)，当且仅当b =c 时等号成立，所以AD 2=14(4+3bc )+3bc =1+32bc ≤7+43，所以AD ≤2+3，当且仅当b =c 时等号成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sin B ，然后根据a ,b 的大小关系判断B 角是否有两种情况即可．25．(2021·湖北·高三月考)在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ,b ,c ，且a =2，sin B =2sin C ，则以下四个命题中正确的是()A ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 面积的最大值为43C ．已知点M 是边BC 的中点，则MA ⋅MB的最大值为3D ．当A =2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为3-13【答案】BD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，由数量积坐标公式即可判断；对于D ，由已知条件可得△ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得△AOB 的面积．【详解】对于A ，因为sin B =2sin C ，所以由正弦定理得，b =2c ，若b 是直角三角形的斜边，则有a 2+c 2=b 2，即4+c 2=4c 2，得c =233，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B -1,0 ,C 1,0 ，设A (m ,n )，因为b =2c ，所以(m -1)2+n 2=2(m +1)2+n 2，化简得m +53 2+n 2=169，所以点A 在以-53,0 为圆心，43为半径的圆上运动，所以点A 到BC 边的最大距离为43，所以△ABC 面积的最大值为12×2×43=43，所以B 正确；对于C ，因为点A 在以-53,0 为圆心，43为半径的圆上运动，设A (m ,n )则-53-43<m <-53+43，即-3<m <-13，又MA =(m ,n )，MB =(-1,0)，所以MA ⋅MB =-m <3，故C 错；对于D ，由A =2C ，可得B =π-3C ，由sin B =2sin C 得b =2c ，由正弦定理得，b sin B =c sin C ，即2c sin (π-3C )=c sin C ，所以sin3C =2sin C ，化简得sin C cos2C +2cos 2C sin C =2sin C ，因为sin C ≠0，所以化简得cos 2C =34，因为b =2c ，所以B >C ，所以cos C =32，则sin C =12，所以sin B =2sin C =1，所以B =π2，C =π6，A =π3，△ABC 为直角三角形，c =233,b =433，所以△ABC 的内切圆半径为r =122+233-433 =1-33，所以△AOB 的面积为12cr =12×233×1-33 =3-13所以D 正确，故选：BD ．【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．26．(2021·福建·三明一中高三期中)△ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足AD =12DC ，若P 为边BD 上的一点，且满足AP =mAB +nAC m >0,n >0 ，则下列结论正确的是()A ．m +2n =1B ．mn 的最大值为112C ．4m +1n 的最小值为6+42D ．m 2+9n 2的最小值为12【答案】BD【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据mn =13m ⋅3n ，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确；由4m +1n =4m +1nm +3n ，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误；利用基本不等式可得m 2+9n 2≥m +3n 22，知D 正确.【详解】对于A ，AP =mAB +nAC =mAB +3nAD ，∵B ,P ,D 三点共线，∴m +3n =1，A 错误；对于B ，∵m +3n =1，∴mn =13m ⋅3n ≤13×m +3n 22=112(当且仅当m =3n 时取等号)，B 正确；对于C ，4m +1n =4m +1n m +3n =7+12n m +m n ≥7+212n m ⋅m n =7+43(当且仅当12n m =m n，即m =23n 时取等号)，C 错误；对于D ，m 2+9n 2≥m +3n 22=12(当且仅当m =3n 时取等号)，D 正确.故选：BD .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.27．(2021·广东珠海·高三期末)△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD =13DC ，若P 为BD 上一点，且满足AP =λAB +μAC ，λ、μ为正实数，则下列结论正确的是()A ．λμ的最小值为16B ．λμ的最大值为116C ．1λ+14μ的最大值为16D ．1λ+14μ的最小值为4【答案】BD【分析】先证明结论：若A 、B 、C 三点共线，点O 为直线AB 外一点，且OC =xOA +yOB ，则x +y =1，分析可得λ+4μ=1，利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】先证明结论：若A 、B 、C 三点共线，点O 为直线AB 外一点，且OC =xOA +yOB ，则x +y =1.证明：因为A 、B 、C 三点共线，可设AC =mAB ，即OC -OA =m OB -OA ，所以，OC =1-m OA +mOB =xOA +yOB ，所以，x +y =1.∵λ、μ为正实数，AD =13DC ，即AD =13DC =13AC -AD ，故AC =4AD ，∵AP =λAB +4μAD ，且P 、B 、D 三点共线，∴λ+4μ=1，∴λμ=14⋅λ⋅4μ≤14λ+4μ2 2=116当且仅当λ=12，μ=18时取等号，1λ+14μ=λ+4μ ⋅1λ+14μ =2+4μλ+λ4μ≥2+24μλ⋅λ4μ=4，当且仅当λ=12，μ=18时取等号.故选：BD .28．(2021·全国·高三月考)已知P 为△ABC 所在平面内一点，且AB =BC =4，∠ABC =60°，D 是边AC 的三等分点靠近点C ，AE =EB ，BD 与CE 交于点O ，则()A ．DE =-23AC +12AB B ．S △BOC =3C ．OA +OB +OC =32D ．PA +PB ⋅PC 的最小值为-6【答案】ABD【分析】由题意得AD =23AC ，由向量线性运算知DE =DA +AE =-23AC +12AB ，故A 正确；根据B ，O ，D 三点共线可知，O 是CE 的中点，是BD 靠近D 的四等分点，可推出S △BOC =34S △BCD ，B 正确；根据等边三角形求得CE =23，可知OA +OB +OC =2OE +OC =OE =CE 2=3，C 错误；建立直角坐标系，利用坐标运算可得PA +PB ⋅PC =2x -12 2+2y -32 2-6，可求得最小值-6，D 正确.【详解】解：∵AE =EB ，∴AE =12AB 又∵D 是边AC 的三等分点靠近点C∴AD=23AC ∴DE =DA +AE =-23AC +12AB ，故选项A 正确；设CO =λCE ，则CO =λ2CA +λ2CB =3λ2CD +λ2CB ∵B ，O ，D 三点共线∴3λ2+λ2=1，故λ=12∴O 是CE 的中点∴OE +OC =0又∵B ，O ，D 三点共线，所以O 为BD 靠近D 的四等分点∴S △BOC =34S △BCD =34×13S △ABC =14×34×42=3，故选项B 正确；∵△ABC 是边长为4的等边三角形∴CE =23∴OA +OB +OC =2OE +OC =OE =CE 2=3，故选项C 不正确；以线段BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，过点A 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 0,23 ，B -2,0 ，C 2,0 ，设点P x ,y ，则PA +PB ⋅PC =2x -122+2y -322-6∴最小值为-6，故选项D 正确.故选：ABD ．29．(2022·河北·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，AB =2，AC =4，∠CAB =120°，P 是△ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是()A ．GA +GB +GC =0 B ．AC 在AB 方向上的投影向量等于AB C ．GB ⋅AG =-43D ．AP ⋅BP +CP 的最小值为-1【答案】AC【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A ，根据投影向量的定义判断B ，根据向量的数量积的运算律判断C ，D .【详解】A ：当点G 为△ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得AG =2GO .则GA +GB +GC =GA +GD =GA +2GO =0 ，∴A 正确，B ：∵AC 在AB 方向上的投影为AC cos120°=4×-12 =-2，∴AC 在AB 方向上的投影向量为-AB ，∴B 错误，C ：∵G 是△ABC 的重心，∴GB =-13BA +BC =-13BA +BA +AC =132AB -AC ，AG =13AB +AC ，∴GB ⋅AG =192AB -AC ⋅AB +AC =192AB 2+AB ⋅AC -AC 2=198+2×4×-12 -16 =-43，∴C 正确，D ：当P 与G 重合时，∵AP ⋅BP +CP =AG ⋅BG +CG =-AG 2=-19AB 2+AC 2+2AB ⋅AC =-43，与AP ⋅BP +CP 的最小值为-1矛盾∴D 错误，故选：AC ．30．(2021·广东·高三月考)已知OA ⋅OB =OA =12OB =1，点P 满足OP =xOA +yOB x ,y ∈R ，则下列说法中正确的是()A ．当x +y =1时，OP 的最小值为1B ．当x 2+y 2=1时，OP =1C ．当x =12时，△ABP 的面积为定值D ．当y =12时，AP =BP 【答案】AD【分析】首先根据数量积的定义求出∠AOB ，再利用余弦定理求出AB 2，即可得到∠OAB =90°，再一一判断即可；【详解】解：因为OA ⋅OB =OA =12OB =1，所以OA =1，OA ⋅OB =1，OB =2，所以cos ∠AOB =OA ⋅OB OA OB=12，因为∠AOB ∈0,π ，所以∠AOB =π3，由余弦定理AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB cos ∠AOB ，所以AB 2=12+22-2×1×2×12=3，所以AB 2+OA 2=OB 2，所以∠OAB =90°，当x +y =1时，点P 在直线AB 上，故OP 的最小值为点O 到直线AB 的距离OA =1，故A 正确；OP 2=OP 2=x 2OA 2+y 2OB 2+2xyOA ⋅OB =x 2+4y 2+2xy ，若OP =1，则x 2+4y 2+2xy =1，故B 错误；当x =12时，点P 在过线段OA 中点且平行于直线OB 的直线上，△ABP 的面积不为定值，故C 错误；当y =12时，点P 在过线段OB 中点且平行于直线OA 的直线(即线段AB 的垂直平分线)上，所以AP =BP ，故D 正确；故选：AD31．(2022·全国·高三专题练习)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的两个动点，且BM +DN =MN ．记∠MAB =θ，tan θ=t ，下列说法正确的有()A ．∠MAN 为定值π4B ．MN =2-2t 21+tC ．AN =2cos π4-θ D ．AM ⋅AN 的最小值为82-8【答案】ACD【分析】先根据已知条件将所有线段长用含有t 的式子表示，再对各选项进行分析.对于A 可以转化为∠BAM +∠DAN 的值；对于B 根据已求式直接表示即可；对于C 可以在Rt △DAN 中利用cos ∠DAN 将AN 与AD 联系起来即可；对于D 利用向量的基底法将所求数量积进行转化，再利用基本不等式求解最小值即可.【详解】根据题意可知，BM =AB tan θ=2t ，则CM =2-2t ，不妨设DN =x ，则MN =BM +DN =x +2t ，CN =2-x .在Rt △CNM 中根据勾股定理得CN 2+CM 2=MN 2,即2-x 2+2-2t 2=x +2t 2，解得x =2-2t t +1.所以DN =2-2t t +1,MN =x +2t =2t 2+2t +1.对于A ，在△DAN 中tan ∠DAN =DN DA =1-t 1+t ，所以tan ∠DAN +θ =tan ∠DAN +tan θ1-tan ∠DAN tan θ=1-t 1+t +t 1-1-t 1+t ⋅t =1，根据图形可知0<∠DAN +θ<π2，所以∠DAN +θ=π4，因为∠DAN +θ+∠MAN =π2，所以∠MAN =π4，故A 正确；对于B ，由易求可得MN =x +2t =2t 2+2t +1，故B 错误；对于C ，在Rt △DAN 中，cos ∠DAN =AD AN ，因为∠DAN =π2-∠MAN -θ=π4-θ,AD =2，所以AN =2cos π4-θ ，故C 正确；对于D ，根据图形以及向量运算法则可知AM ⋅AN =AB +BM ⋅AD +DN =AB ⋅AD +AB ⋅DN +BM ⋅AD +BM ⋅DN ，所以AM ⋅AN =0+2×2-2t t +1+2×2t ×1+0=4t 2+4t +1=4t +1 +2t +1-2 ，因为t +1>0,2t +1>0，所以根据基本不等式得4t +1 +2t +1-2 ≥42t +1 ⋅2t +1-2=82-8，当且仅当t +1=2t +1即t =2-1时等号成立，即AM ⋅AN 的最小值为82-8，故D 正确.故选:ACD三、填空题32．(2021·浙江·绍兴一中高三期中)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a 与向量b 的夹角为π3，a -c =23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为___________.【答案】60【分析】如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,先证明O ,A ,B ,C 四点共圆，求出cos ∠AOC =45，再利用余弦定理和重要不等式求解.【详解】如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,所以a -b =|BA |=5，a -c =|CA |=23,因为向量a 与向量b 的夹角为π3，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，所以∠AOB =π3,∠ACB =2π3,所以∠AOB +∠ACB =π，所以O ,A ,B ,C 四点共圆.在△ABC 中，由正弦定理得23sin ∠ABC =5sin 2π3,∴sin ∠ABC =35,所以sin ∠AOC =35,因为∠AOC ∈0,π3 ,∴cos ∠AOC =45.在△AOC 中，由余弦定理得12=a 2+c 2-2|a ||c |×45=a 2+c 2-85|a ||c |，所以12+85|a ||c |=a 2+c 2≤12+45×(a 2+c 2),∴a 2+c 2≤60.所以a 2+c 2的最大值为60.故答案为：6033．(2021·黑龙江大庆·高三月考(理))锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，若4sin 2A =3sin 2B +2sin 2C ，则S AB⋅AC 的最大值为_______________________.【答案】72【分析】先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角A 余弦值的最小值，进而可得角A 正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.【详解】解：△ABC 中，4sin 2A =3sin 2B +2sin 2C所以4a 2=3b 2+2c 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-3b 2+2c 242bc =b 2+2c 28bc ≥2b 2⋅2c 28bc=24，当且仅当b =2c 时等号成立，此时cos A 最小，tan A 最大.此时tan A =1-24 224=7∴S AB ⋅AC=12cb ⋅sin A cb cos A =12tan A =72故答案为：72.34．(2021·江苏·海安高级中学高三月考)已知向量a ，b 是平面内的两个非零向量，则当a +b +a -b 取最大值时，a 与b 夹角为________．【答案】π2##【分析】根据a +b -a -b 2≥0，结合平面向量数量积的运算性质推出a +b +a -b ≤2a 2+b 2，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详解】∵向量a ，b是平面内的两个非零向量，∴a +b -a -b 2=a +b 2+a -b 2-2a +b a -b ≥0，当且仅当a +b =a -b时取等号，∴a +b 2+a -b 2≥2a +b a -b ，即2a +b 2+2a -b 2≥a +b 2+a -b 2+2a +b a -b =a +b+a -b 2，∴a +b +a -b 2≤2a +b 2+2a -b 2=4a 2+4b 2，即a +b +a -b ≤2a 2+b 2，当且仅当a +b =a -b 时取等号，即a ⋅b =0，则a 与b 夹角为π2，∴当a +b +a -b 取最大值时，a 与b 夹角为π2.故答案为：π2.35．(2021·上海·格致中学高三期中)已知向量a ，b 满足a =2，b =3，则a +b +a -b 的最大值为______.【答案】213【分析】先求得|a +b |=5+4cos θ、|a -b |=5-4cos θ，进而平方，计算即得结论．【详解】设向量a ,b 的夹角为θ，|a +b |=22+32+2×2×3×cos θ=13+12cos θ，|a -b |=22+32-2×2×3×cos θ=13-12cos θ，则a +b | +a -b =13+12cos θ+13-12cos θ，令y =13+12cos θ+13-12cos θ，则y 2=26+2169-144cos 2θ∈36,52 ，据此可得：a +b | +a -bmax =52=213，即a +b | +a -b 的最大值是213故答案为：213.36．(2021·河南·高三月考(理))已知在△ABC 中.AB =3,BC =4,∠ABC =π3，平面内有动点E 满足BE =2AE ，则数量积BC ⋅BE 的最大值是___________.【答案】16【分析】根据题意建立恰当的坐标系，求出E 的轨迹方程，即可求解.【详解】如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：A 1,0 ,B 4,0 ,C (2,23)，设动点E x ,y ，则由BE =2AE 得x -4 2+y 2=2x -1 2+y 2，化简得出E 满足x 2+y 2=4，令x =2cos θy =2sin θ .则BC ⋅BE =(-2,23)⋅x -4,y =23y -2x +8=43sin θ-4cos θ+8=8sin θ-π6 +8，所以BC ⋅BE 的最大值为16.故答案为：16.37．(2021·浙江·模拟预测)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b |=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c 的最大值为_____.【答案】8+47##【分析】设OA =a ，OB =b ，OC =c ，线段BC 的中点为D ，将b ⋅c 转化为OD 2-DC 2=OD 2-3，求出O 的轨迹是过A 、B 且半径为2的圆(除去A ,B 两点)，求出|DE |的最大值，进一步求出|OD |的最大值即可求解.【详解】设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则有|AB |=|BC |=|AC |=23，∠AOB =π3，设线段BC 的中点为D ，则DB =-DC ，|DC |=3，则b ⋅c =OB ⋅OC =(OD +DB )⋅(OD +DC )=(OD -DC )⋅(OD +DC )=OD 2-DC 2=OD 2-3，因为∠AOB =π3，|AB |=23，所以△AOB 的外接圆的直径2R =|AB |sin ∠AOB =2332=4，所以点O 的轨迹是过A 、B 且半径为2的圆(除去A ,B 两点)，记圆心为E ，当C 在圆E 上时，|DE |=13×32×23=1，此时|OD |<2+1=3(O 不能与A 重合)，。

平面向量最值问题解题方法

平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。

下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。

一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。

2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。

二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。

2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。

三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。

则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。

2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。

高考数学专题二微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题

专题二平面向量、三角函数与解三角形
微专题19
平面向量的数量积及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆心(0,0)到点32，2的距离为52，所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245，即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ，则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t，则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9，由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9，由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1，所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9，所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9，令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.

平面向量中的最值和范围问题

平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的+的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0))((≤--c b c a b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，βααβα≠≠01=，且α与αβ-的夹角为120°的取值范围是_____________ .变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法．考点2、向量夹角的范围例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD→的取值范围是；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a →·b →=(a →+b →2)2-(a →-b →2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（） A.14,p p B.13,p p C.23,p p D.24,p p2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （）A ．12B ．1C ．32D ．523、(201宁波市期末)在ABC∆中，D 为B C 中点，若120=∠A ，，则AD 的最小值是（）A.21 B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（）A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方体内部及面上的两个动点，则PQ AM ⋅的最大值是（） A.21 B.1 C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，21-=⋅b a ，060,=--c b c a ，则c 的最大值等于（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．17、如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )O A BCEFxy A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则b a ⋅的最小值是_____；9、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为____ __；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅的最大值为；12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC •的范围是 .11题图 12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ ；。

平面向量与复数专题培优课平面向量中的最值范围问题课件-2025届高三数学一轮复习

A．－12
B．－1
C．－2
D．－4
答案：B
题型三与向量的模有关的最值(范围)问题
例 3 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，
则|c|的取值范围是( )
A．[ 2－1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2]
C．[1， 2＋1]
D．[1， 2＋2]
答案：A
解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，且|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1， ∴作出图象如图，由图可知，|c|最小值为 2－1，最大值为 2 ＋1.故选A.
题后师说与向量的模有关的最值(范围)问题的两种常用方法
(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；
巩固训练4 平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos 〈b，3b－a〉的最小值是________．
答案：2 2
3
1 ．已知向量a ， b ， c满足a ＝(3 ，0) ，b ＝(0 ，4) ，c ＝λa ＋(1 －
λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为( )
A．56
答案：B
题后师说与数量积有关的最值(范围)问题的两种常用解法
(1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识解决．
巩固训练2
[2024·山东滨州模拟]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，
M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是( )
答案：C

与平面向量有关的最值或范围问题

与平面向量有关的最值或范围问题与平面向量有关的最值或范围问题,频频出现在高考试卷及各地模拟试卷中,这类问题常和其他知识交汇考查,解法比较灵活,对能力要求较高,往往成为试卷中的亮点.本文总结解决这类问题的几种基本方法,供同学们参考.例1.若非零向量,a b 满足31-≤a b ,则⋅a b 的最小值为 . 【解析】31-≤a b 22961⇔+-⋅≤a b a b , 又22966+≥≥-⋅a b a b a b , 所以121-⋅≤a b ,112⋅≥-a b , 当132==a b ,且,a b 方向相反时取等号, 所以⋅a b 的最小值为112-.例2.若1===+=a b c b ,求()()-⋅-a c b c 的最小值.【解析】由,=+=a b a b 得2222+⋅+=a a b b ,即222+⋅=a b ,所以0⋅=a b ,又1=c ,所以()⋅+≤+=c a b c a b ,所以()()-⋅-a c b c =()2⋅-⋅++=a b c a b c ()11-⋅+≥c a b 当c 与+a b 方向相同时取等号,所以()()-⋅-a c b c 的最小值为1-.【点评】这两道题均在平面向量与不等式知识的交汇,试题新颖,解法灵活.-≤⋅≤a b a b a b 是数量积性质⋅≤a b a b 的等价转换,其应用往往被同学们忽略,注意例1是利用≥-⋅a b a b 利用进行缩小变换,例2是利用()⋅+≤+c a b c a b 进行放大变换,解决这类问题要紧盯目标,进行有目的的放缩.二、建立直角坐标系求最值或范围例 3.已知平行四边形ABCD 中,2,1,AB AD BD === ,,E F 分别在边,BC CD 上,BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r,求AE AF ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值【解析】由2,1,AB AD BD ===60BAD ∠=o ,以A 为坐标原点,以AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则()2,0B ,52C ⎛ ⎝⎭,12D ⎛ ⎝⎭,由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2EB CF =u u u r u u u r ,设)()112E x x -,2,2F x ⎛ ⎝⎭,其中1522x ≤≤, 由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2CF BE =u u u r u u u r 可得212142x x =-,所以AE AF ⋅u u u r u u u r =)1212x x x +-)11121422x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=2114123x x -+-=23462x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,所以当12x =时AE AF ⋅u u u r u u u r 取到最大值5,当152x =时AE AF ⋅u u ur u u u r 取到最大值2.例4.已知a ,b 均为单位向量,0,1⋅=⋅=⋅=a b a c b c ,求证：对任意正实数m,恒有m m++≥bc a 并指出等号成立的条件.【解析】由题意,可设()()()1,0,0,1,,x y ===a b c , 由1⋅=⋅=a c b c 可得11==y x ，,即()1,1=c , 所以11,1m m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭b c a ,m m++≥=≥=bc a 当1m =时取等号.【点评】坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于平面几何图形有关的一些向量问题,可通过建立适当的直角坐标系,使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果（如例3）．另外,若题中由互相垂直的单位向量,也可以通过建立坐标系,把向量问题转化为代数问题,再利用函数或不等式等知识问求解（如例4）.三、转化为三角函数求最值或范围例5.△ABC 中2π3ACB ∠=,△ABC 的外接圆O 的半径为1,若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r求x y -的取值范围. 【解析】由2π3ACB ∠=可得2π3AOB ∠=,设2π03AOC αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则2π3BOC α∠=-, 则,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v即1cos ,221cos ,32x y x y απα⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以2121222πcos cos 3232333x y x y x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=221cos cos cos 332ααααα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 由2π03α<<可得ππ5π666α<+<, 根据cos y x =在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,可得πcos 6α⎛⎫<+< ⎪⎝⎭, 所以x y -的取值范围是()1,1-.【点评】本题若直接从这一向量表达式出发去求x y -的最大值,显然有困难．该解法通过利用向量的数量积运算实现了用三角函数表示x y - ,进而巧妙利用三角函数的有界性求出x y -的取值范围,体现了三角函数的工具性.本题是把含,x y 的代数式借组向量用三角函数表示,有时也可以通过引进角,把向量的数量积表示为三角函数求最值或范围,请看例6:例6.已知△ABC 的外接圆O 的半径为2,CB CA =u u u r u u r,求CB CA ⋅u u u r u u r 的最小值.【解析】设COA α∠=,由CB CA =u u u r u u r可知COB α∠=,2AOB α∠=或2π2α-,所以4cos OC OA α⋅=u u u r u u u r ,4cos OC OB α⋅=u u u r u u u r ,4cos2OA OB α⋅=u u u r u u u r,所以()()CA CB OA OC OB OC ⋅=-⋅-=u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2OA OB OC OA OC OB OC ⋅-⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=4cos24cos 4cos 4ααα--+=2218cos 8cos 8cos 22ααα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2≥,当π3α=时取等号. 四、构造几何图形求最值或范围OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r例7.已知单位向量a ,b 满足a ⋅b ＝－12,向量c 满足()()12-⋅-=--a c b c a c b c ,求c 的最大值. 【解析】设向量a ,b ,c 的起点为O ,终点分别为A ,B ,C ,由a ·b ＝－12得△AOB ＝120°,由()()12-⋅-=--a c b c a c b c 得△ACB ＝60°, 所以点C 在△AOB 的外接圆上,当OC 经过圆心时,|c |最大,在△AOB 中,AB ＝3,由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°=2.所以c 的最大值为2.【点评】该解法是利用向量的几何意义,构造共圆的四点,再利用正弦定理去求解.由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在解决向量问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识．五、利用基本不等式求最值或范围例8.已知△ABC 中,边BC 中点为D ,点E 在中线AD 上,若AD u u u r =4,求()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值.【解析】由边BC 中点为D ,可得2EB EC ED +=u u u r u u u r u u u r,因为点E 在中线AD 上,所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r =22cos π2EA ED EA ED EA ED ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222822EA ED AD ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,点E 为AD 中点时取等号, 所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为8-.【点评】本题根据,EA ED u u u r u u u r反向,把数量积转化为转化为长度之积,再利用基本不等式求最值,体现了向量与基本不等式的交汇,一般来说,要利用这种方法求最值,首先需要把数量积转化为正数的和或积,再利用)0,0a b a b +≥>>,22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()()2222a b a b +≤+求最值. 六、平面向量最值或范围练习题1．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=u u u r u u u r,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（） A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦ C．1⎤⎦D ．)1,+∞2．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为（）A ．2116 B ．32C ．2516 D ．3 3．已知a b u r r 、均为单位向量，且0.a b ⋅=r r若435,c a c b -+-=r r r r 则c a +r r 的取值范围是（）A．3,⎡⎣B ．[]3,5C ．[]3,4D．5⎤⎦4．在锐角ABC V 中，602B AB AC u u u v u u u v ，=︒-=，则AB AC u u u v u u u v⋅的取值范围为（） A ．()0,12B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2 5．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=u u u r u u u r，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ，则||AP uuu r的最大值是（）ABCD6．已知a r ， b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．7．如图,菱形ABCD 的边长为3,对角线AC 与BD 相交于O 点,|AC u u u rE 为BC 边(包含端点)上一点,则|EA u u u r|的取值范围是_____,EA ED ⋅u u u r u u u r的最小值为_____.8．已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足0a b ⋅=r r ，a c b c ⋅=⋅r r r r，且||2a b -=r r ，则a c c ⋅r rr 的最大值为________.9．已知平面向量a b r r ，满足：2a b ==r r ，⊥r ra b ，22230-⋅+=r r r r b b c c ，则2a c +r r的最大值是__________．10．已知向量序列：1a u r ，2a u u r ，3a u u r ，n a ⋅⋅⋅u u r ，⋅⋅⋅满足如下条件：12a =u r ，d =u r ，121a d ⋅=-u r u r ，且1(2,3,4,)n n a a d n --==⋯u u r u u u r r，则1a u r ，2a u u r ，3a u u r ，⋅⋅⋅，n a u u r ，⋅⋅⋅中第______项最小.【答案】1．C 【解析】法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,11d ≤≤．故选:C2.A 【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD V 为等边三角形，BD =(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u vAE BE ⋅u u u v u u u v 223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=233322t t -+(01)t ≤≤，所以当14t =时，上式取最小值2116，选A. 3.B 【解析】因为a b u r r 、均为单位向量，且0a b ⋅=r r ，所以设()1,0a =r，(0,1)b =r ，(,)c x y =r ，代入435,c a c b -+-=r r r r5=，即点(),x y 到点(4,0),(0,3)A B 的距离和为5，所以点(),x y 的轨迹是点(4,0),(0,3)之间的线段，线段AB 的方程为1(04)43x yx +=≤≤即34120(04)x y x +-=≤≤，c a +=r r(1,0)M -到线段AB 上点的距离，最小值为点(1,0)M -到线段34120(04)x y x +-=≤≤的距离，min31235c a--+==r r，最大值为5MA =.所以c a +r r的取值范围为[]3,5.故答案为：B.4.A 【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，△602B AB AC BC =︒-==u u u v u u u v u u u v，，△C ，设0A x （，）△ABC V 是锐角三角形，△120A C +=︒，△3090A ︒︒＜＜，即A 在如图的线段DE 上（不与D E ，重合）， △14x ＜＜，则221124AB AC x x x u u u v u u u v （）⋅=-=--， △AB AC u u u v u u u v⋅的范围为012（，）．故选A ．5.C 【解析】依题意510cos 25AB AC A ⋅=⨯=u u u v u u u v，1πcos ,23A A ==.由余弦定理得BC ==222AB BC AC +=，三角形ABC 为直角三角形.设35AD AB =，过D 作//DP AC '，交BC 于'P ，过'P 作//EP AB '，交AC 于E .由于()3255AP AB AC R λλ=-∈u u u v u u u v u u u v，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P 点位于线段DP '上，由图可知AP u u u r 最长时为AP 'u u u v .由于π3,2,3AD BD CAB P DB ∠'==∠==，所以πtan 3BP BD '==.所以AP '==u u u v故选C.6.C 【解析】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．7.⎡⎣23 4.【解析】根据菱形性质可得OC=则BO=(1)作AF△BC,则AF==此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故AE≤≤,即|EAu u u r|△⎡⎣;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则AB(C(0,D,0),所以BC:y2x=-设E(m,2m-则2123,,22224EA ED m m m m⎛⋅=-+=++⎝⎭u u u r u u u r,其中m⎡⎤∈⎣⎦对称轴为m⎡⎤=⎣⎦,故当m=EA ED⋅u u u r u u u r最小,最小值为234.故答案为：；234．8.1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m=r()0,,b n m=r、n>0,(),c x y=r，△224mx nym n-=⎧⎨+=⎩，△a cc===⋅r r r ，而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1≤，即a c c ⋅r rr 的最大值为1，故答案为：1 9.6【解析】因为2a b ==r r ，⊥r ra b ，不妨令=u u u r r OA a ，OB b =u u u r r ，以OA u u u r 方向为x 轴，OB uuu r方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0)=r a ，(0,2)=r b ，设(,)==r u u u rc OC x y ，由22230-⋅+=r r r r b b c c 可得22860-++=y x y ，即22(3)1x y +-=，所以向量rc 所对应的点(,)C x y 在以(0,3)N 为圆心，以1为半径的圆上运动，又2+=r r a c (,)C x y 与定点(4,0)M -之间的距离，因此max116=+==CMMN .故答案为610.5【解析】1n n a a d --=u u r u u u r r Q ，所以1(1)k a a k d =+-u u r u r r，因为121a d ⋅=-u r r ，所以112a d ⋅=-u r r ，所以221(1)na a n d ⎡⎤=+-⎣⎦u u r u r u r 22211(1)2(1)a n d n a d =+-+-⋅u r u r r r214(1)(1)8n n =+---21(5)28n =-+.∴当5n =时，2n a u u r 取最小值2.故答案为：5.。

求解平面向量最值问题的几个途径

思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1，若△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解：因为∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则∠AOB =2∠ACB =π2，又因为AB =2，所以OA =OB =2，即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2，OA ⊥OB ，即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ，因为A 与C 不重合，所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π，故-1≤cos ∠AOC <1，所以当cos ∠AOC =-1，即当O 为AC 的中点时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式；然后确定∠AOC 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，2 BE =EC ，P 是平面ABCD 内的动点，且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解：由 AP ∙ AB = AP 2知： AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ，所以P 在以AB 为直径的圆上，F 为圆心，于是以B 为原点，以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1)，若P (x ,y )，则x 2+(y -1)2=1，则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y )，所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t )， PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t )，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和，又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上，1<x <3，由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1)，故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2，此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P 点的坐标，求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式，即可根据其几何意义，将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定H 的位置，即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足||||a -b =2，且(c -a )∙(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈éëùûπ6,π3，则||c 的最大值是______.解：根据题意，作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC，可得：||AB=2，且∠ACB=90°，取AB中点为M，则||CM=12||AB=1，则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知，当O,M,C三点共线时，|| OC取得最大值，即|| OCmax=|| OM+1；不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G，则GM⊥AB，在三角形OAB中，由正弦定理可得：2||OG=ABsinθ，即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3，故当θ=π6时，||OG max=2，||GM max=||OG2max-1=3；当O,M,G三点共线时，|| OM取得最大值，此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6，且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定||c 取得最大值的情形：O,M,G,C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点，则 AN∙ MN的最小值为______.解：因为CE=2EB，CF=2FD，所以BE=13 BC， DF=13 DC，所以AE=AB+BE=AB+13 AD，AF=AD+DF=13 AB+ AD，因为点M在线段EF上，可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD，而AM=xAB+12 AD，所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34，x=56，所以 AM=56 AB+12 AD，则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49，所以|| AM=7，因为点N为线段BD上一个动点，可设AN=μAB+(1-μ)AD，μ∈[]0,1，所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD，所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374，则当μ=712时， AN∙ MN的最小值为-374．由于∠BAD=60∘，AB=6，所以以向量AB,AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN∙MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的结构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.（作者单位：甘肃省康乐县第一中学）48。

微专题平面向量中的最值问题

高三数学微专题：平面向量中的最值问题类型一：“数量积与不等式性质相结合”[例1]如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为____．解析：设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC ＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9类型二：“通过坐标转化为函数最值问题”[例2]已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则 |P A →＋3PB →|的最小值为________。

解析以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y 。

则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，P A →＝(2，－y ),PB →＝(1，a －y )，则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )，即|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2，由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a 。

因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →|2的最小值为25。

故|P A →＋3PB →|的最小值为5。

答案5类型三：“通过换元法转化为三角函数最值问题”[例3]在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。