2017-2018年湖北省部分重点中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

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2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

2017-2018高二(上学期)期中考试数学(理科)试题附详细答案

2017-2018高二（上学期）期中考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（）A.1⎤⎥⎣⎦B.1,⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.1,⎤⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________. 14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。

湖北省重点高中联考协作体2017-2018高二上学期期中考试理科数学(含答案)(2017.11)

2017年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高二数学理科试卷（B 卷）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0p x ∀>，2log 23x x <+，则p ⌝为（）A ．0x ∀>，2log 23x x ≥+B ．0x ∃>，2log 23x x <+C ．0x ∃>，2log 23x x ≥+D ．0x ∀<，2log 23x x ≥+2.抛物线214y x =的焦点到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（）A ．12B ．32C ．1D 3.有关下列命题，其中说法错误的是（）A ．命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题是“若4x ≠，则2340x x --≠”B ．“2340x x --=”是“4x =”的必要不充分条件C ．若p q ∧是假命题，则,p q 都是假命题D ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为假命题4.在空间直角坐标系O xyz -，(0,1,0)A ，(1,1,1)B ，(0,2,1)C 确定的平面记为α，不经过点A 的平面β的一个法向量为(2,2,2)n =- ，则（）A ．//αβB ．αβ⊥ C.,αβ相交但不垂直D ．,αβ所成的锐二面角为0605.已知直线y kx m =+与抛物线28y x =相交于,A B 两点，点(2,2)M 是线段AB 的中点，O 为原点，则AOB ∆的面积为（）A ．B ． C.D ．6.如图，已知平行六面体1111ABCD A BCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（）A ．1B C.D ．27.如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（）A ．12B ．13 C.23D ．148.已知,A B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限图形上的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，,,PA PB PO 的斜率分别为123,,k k k ，则123,,k k k 的取值范围为（）A ．3(0,)B ． C.D ．(0,8)9.如图正方形1A BCD 折成直二面角A BD C --，则二面角A CD B --的余弦值为（）。

湖北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(二)

湖北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．边长为a的正四面体的表面积是（）A．B．C．D．3．已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣14．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a25．直线3x+4y﹣13=0与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法判定6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+7．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥nC．若α∥β，m⊥n，则m⊥αD．若m∥n，m⊥α，则α⊥β8．已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．D．29．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A．B．C．D．π10．已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1体积为，底面边长为．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．11．若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]12．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a=．14．已知⊙O1：x2+y2=1与⊙O2：（x﹣3）2+（y+4）2=9，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．15．在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为．16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x ﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．19．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明 AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若二面角P ﹣AD ﹣B 为60°，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．22．已知圆O ：x 2+y 2=1和定点A （2，1），由圆O 外一点P （a ，b ）向圆O 引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；（Ⅲ）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．参考答案一、单项选择题1．B．2．D3．A．4．B．5．C6．C7．D．8．C．9．C 10．B．11．B12．A．二、填空题13．解：已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．l1∥l2，，则a=214．解：根据题意，得⊙O1的半径为r=1，⊙O2的半径为R=3，O1O2=5，R+r=4，R﹣r=2，则4＜5，即R+r＜O1O2，∴两圆相离．故答案为：相离．15．解：在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B （1，2，3），点A（1，﹣2，3）关于x轴的对称点为C（1，2，﹣3），则B、C间的距离为：=6．故答案为：616．解：作出如图的图象，其中A﹣BD﹣C=90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED=90°即为此直二面角的平面角对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD 成60°的角不正确；对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB 与CD所成的角为60°；综上知①②④是正确的故答案为①②④三、解答题17．解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．18．证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．19．解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y ﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．20．解：（Ⅰ）证明：∵BA=BD=，PA=PD=，又E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴AD⊥平面PBE；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，又在Rt△PDE中∠PED=90°，PD=，DE=1∴PE=2 同理可得BE=1∴在△PBE中，由余弦定理得PB=．∴BE2+PB2=PE2∴∠PBE=90°∴EB⊥PB又EB⊥AD，BC∥AD∴EB⊥BC∴EB⊥平面PBC，∴∠EFB为EF与面PBC所成的角又在Rt△PBC中∠PBC=90°，PB=，BC=2∴PC=又F为PC中点∴∴而EB=1∴在Rt△EFB中由勾股定理有∴∴sin∠EFB=即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．…21．解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴A1A∥CC1∥BB1，∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，∵BC∩BA1=B，∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C∴A1C⊥CC1；（2）作AO⊥BC于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，∴AO=，设A1A=h，A1O==，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===，当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，最大值为：．22．解：（Ⅰ）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2．即：（a2+b2）﹣12=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b﹣3=0．（Ⅱ）由2a+b﹣3=0，得b=﹣2a+3.==，故当时，．即线段PQ长的最小值为．（Ⅲ）设圆P 的半径为R，∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，∴|R﹣1|≤|OP |≤R +1．即R ≥||OP |﹣1|且R ≤|OP |+1．而，故当时，．此时，，．得半径取最小值时圆P 的方程为．。

2017-2018学年高二数学上学期理科期中测试卷

2017-2018学年高二数学理科期中测试卷（考试范围：必修1～5,选修2－1）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合M ={ x ∈R ｜0≤x ≤2},集合N ={ x ∈R ｜x 2-x =0}，则正确表示集合M 和N 关系的韦恩（Venn ）图是2、在△ABC 中，A=45o ，B=30o ， b=2，则a 的值为（）A 、4 B 、22 C 、3 D 、 3 3.“a ≠0”是“函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有零点”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当1≥x 时，不等式042≥--ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A 、]4,(--∞ B 、]3,(--∞ C 、),4[+∞- D 、),3[+∞- 5.设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是A. 若m//α，m// n ，则n//αB. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β， m ⊥α，m ⊥n ，则n//βD. 若α⊥β， m ⊥α，n//m ，n ⊄β，则n//β6.已知x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z =13y x -+的最大值A.3B.76C.13D.-237. 阅读右边的程序框图，若输出s 的值为7-，则判断框内可填写（）．Ａ．3?i < Ｂ．4?i < Ｃ．5?i < Ｄ．6?i <8.若把函数sin y x x =-的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.3π B.23π C.6π D.56π 9. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2, ……,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A ②、③都不能为系统抽样 B ②、④都不能为分层抽样 C ①、④都可能为系统抽样 D ①、③都可能为分层抽样10. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若有两条平行直线11:l y kx m =+和22:l y kx m =+使得当x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，且1l 与2l 的距离取得最小值d 时，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道。

【精品】2018最新学年湖北省重点高中协作体联考高二上学期期中数学试卷和解析理科

2018学年湖北省重点高中协作体联考高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1=0，直线l2过点（1，1）倾斜角为直线l1的倾斜角的两倍，则直线l2的方程为（）
A．4x+3y﹣7=0 B．4x+3y+1=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x﹣y+5=0
2．（5分）以下几个结论，其中正确结论的个数为（）
（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与标准差均没有变化；
（2）在线性回归分析中，相关系数r越小，表明两个变量相关越弱；
（3）直线l垂直于平面α的充要条件是l垂直于平面α内的无数条直线；
（4）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，刚样本容量为15．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（5分）某车间共有6名工人，他们某日加工零件葛素的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数日加工零件大于样本均值的工人为优秀工人，从该车间6名工人中，任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为（）
A．B．C．D．
4．（5分）根据如下样本数据：
得到的线性回归方程为，则（）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
5．（5分）2014年第12届全国学生运动会在上海举行，上海某高校有4名学生参加A，B，C 三个比赛项的志愿者，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不。

高二第一学期期中考试理科数学试卷含参考答案(共3套,word版)

设 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 2c b
cosB ．
a cos A
（ 1）求角 A 的大小； [ 来源 : 学科网ZXXK]
（ 2）若 a 2 5 ，求 ABC 面积的最大值．
18. （本小题满分 12 分）如图，在
中，边上的中线长为，且
，
（ 1）求
15. 某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 ___________．
2
16. 对于数列，定义
为的“优值”，现在已知某数列的“优
值”
，记数列
的前项和为，若
对任意的恒成立，则实数的最大
值
为 ___________。
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）
F
A
B
（II ）求三棱锥 C GBF 的体积．
E
4
22．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆
和圆
．
（ 1）若直线 l 过点 A（﹣ 1，0），且与圆 C1 相切，求直线 l 的方程；
（ 2）设 P 为直线 x
3 上的点，满足：过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分别
∴三角形的面积 S
1 bc sin A
5 3 ． ,,,,
．[
4 2, ]
C ． [0,6]
D ． [ 2,6]
3
3
2．在三角形 ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是（
）
A. b=7 ， c=3，C=300 B. b=5 ， c= ，B=450
C. a=6 ， b= ，B=600 D. a=20 ，b=30，A=300

2017-2018学年(上)高二年段期中考理科数学试卷(含答案)

（上）高二年段期中考试卷理数试卷（考试时间：120分钟总分：150分）一．选择题（每小题5分共60分）1．如图，为了测量隧道两口之间AB 的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）. ,,. ,,. ,,. ,,A a b B a b C a b D aγαβαβ 2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（）A ．对任意x R ∈,都有20x <B ．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b -<-4．若数列{}n a 是公比为4的等比数列,且12a =,则数列2{log }n a 是（）A ．公差为2的等差数列B ．公差为lg 2的等差数列C ．公比为2的等比数列D ．公比为lg 2的等比数列 5．钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件6．等差数列{}n a 中,83,a a 是方程0532=--x x 的两个根,则此数列的前10项和=10S （）15A 30B 50C291215+D7．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A ．11{|}32x x -<<B ．11{|}32x x x <->或C ．{|32}x x -<<D ．{|32}x x x <->或8．下列函数中，最小值为4的是（）A ．4(0)y x xx=+<B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<9．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m10．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得202=S ， 65,3643==S S ，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A ．1SB ．2SC ．3SD ．4S 11.下列结论中正确的个数是( )①在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为等腰三角形②若等差数列的通项公式为421n a n =-，则5S 为最小值; ③当02x <<时，函数()(42)f x x x =-的最大值为2 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行A . 1B 2 C. 3 D 412．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设正项．．数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（）A ．4BC ．8D ．62二．填空题（每小题4分共20分）13．命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 __________ 14.已知不等式2-2-30x x <的整数解构成递增．．等差．．数列{}n a 前三项，则数列{}n a 的第四项为_______15.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222c a b ab =++，则∠C=____________16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.17．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图的幻方记为315N =，那么12N 的值为__________三．解答题18.（本题8分）已知命题p : 关于x 的方程10ax -=在[1,1]-上有解;命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围19.（本题12分）（1）已知两正数x,y 满足21x y +=，求xy 的最大值（2）当(1,)x ∈+∞，不等式11x a x +≥-恒成立，求a 的取值范围20.（本题12分） △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若A ，B ，C 成等差数列，且2,AB AC ==，求△ABC 的面积；(2) 若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值21.（本题12分）已知递增．．的等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．22.（本题12分）现在“汽车”是很“给力”的名词，汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n 和n 年累计．．维修费n S （万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点在2(0)y ax bx a =+≠的图象上（如图所示），其中(5,1.05)A 、(10,4.1)B（1）求出累计．．维修费n S 关于年数n 的表达式，并求出第10年的维修费（2）汽车开始使用后，每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担，若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值（年平均耗资费=+车价车主承担的维修费使用年数）23.（本题14分）（实验班）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .晋江二中2014-2015学年（上）高二年段期中考试卷理数试卷答题卡一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题4分共20分）13._______________________________________________14.______________________ 15.____________________16.______________________ 17.______________________三.解答题（共70分）第18题第20题第22题一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题4分共20分）13 200x x m m +-=>若有实数根则 14. 3 15. 23π16. -2 17. 870 三、解答题第18题.第20题解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 第22题第23题【答案】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴= (2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦。

2017-2018学年湖北省部分重点中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)

2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥02．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）3．（5分）p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，则（）A．p是q的充分非必要条件B．p是q的必要非充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能5．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π6．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．[1，12] C．D．[2，12]7．（5分）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A．B．x2+（y﹣1）2=1 C．D．x2+（y﹣1）2=2 9．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．10．（5分）已知直线l：y=kx+1过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=1截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是．15．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是．16．（5分）过点M（0，1）的直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．18．（12分）已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．19．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20．（12分）过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程．21．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0，故选：D．2．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）【解答】解：直线的斜率不存在时，不能表示，故p是假命题；直线xtan+y﹣7=0的斜率是﹣，故倾斜角是，故q是真命题，故（￢p）∧q是真命题，故选：A．3．（5分）p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，则（）A．p是q的充分非必要条件B．p是q的必要非充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解答】解：若p成立，例如x=4，y=1当q不成立，反之，若x=2且y=3则x+y=5是真命题，所以若x+y≠5则x≠2或y≠3是真命题，所以p是q的必要而不充分条件，故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：根据题意，直线的方程为2mx+y+2﹣m=0，即m（2x﹣1）+y+2=0，则直线恒过点（，﹣2），圆x2+y2﹣4x+6y=0的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13，其圆心为（2，﹣3），半径为，分析可得点（，﹣2）在圆内，则直线与圆相交；故选：C．5．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2×2+4××π×=8+4π故选：D．6．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．[1，12] C．D．[2，12]【解答】解：设k==1+2•，则k的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣2）的斜率的2倍再加1，作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由图象可知AD的斜率最大，CD的斜率最小，∵A（0，4），∴k==13，，解得C（，）CD直线斜率k==，则的取值范围是：．故选：A．7．（5分）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：设直线l的方程为y=x+t，代入，消去y得4x2+6tx+3t2﹣3=0，A，B两点的横坐标为：x1，x2；x1+x2=﹣，x1x2=，由题意得△=（6t）2﹣16（3t2﹣3）＞0，即t2＜4．弦长|AB|==×=≤．当且仅当t=0时取得最大值．故选：C．8．（5分）已知过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A．B．x2+（y﹣1）2=1 C．D．x2+（y﹣1）2=2【解答】解：设动点P（x，y）及圆上点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（x，y）=（x1+x2，y1+y2），当直线l的斜率不存在时，P（0，0）；当直线l的斜率存在时，设过定点（0，1）的直线l：y=kx+1，代入x2+y2=4，可得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，∴x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=+2=，∴x=﹣，y=，消去参数k得：x2+（y﹣1）2=1（y≠0）．验证（0，0）满足上式，∴动点P的轨迹方程为：x2+（y﹣1）2=1故选：B．9．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．【解答】解：由两点A（﹣1，0 ），B（0，1），则直线AB的方程为y=x+1，由图知，直线y=x+m（m＜0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大．联立方程得到，整理得25x2+32mx+16m2﹣144=0由于直线y=x+m和椭圆相切，则△=（32m）2﹣4×25×（16m2﹣144）=0解得m=﹣5由于y=x+1与直线y=x﹣5的距离为d==3，则点P到直线AB距离的最大值为：3．故选：A．10．（5分）已知直线l：y=kx+1过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=1截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心到直线l：y=kx+1的距离为d=，∵直线l：y=kx+1被圆x2+y2=1截得的弦长为L，L≥，∴由垂径定理，得2≥，即2≥，解得d2≤，∴，解得k2≥．∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=1且c==﹣，即a2=1+，∴椭圆的离心率e满足e2==，∵k2≥，∴0＜=，得e∈（0，]．故选：A．11．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆（a＞b＞0），F 1（﹣c，0），F2（c，0），5|PF1|=6|F1Q|，设|PF1|=6m，|F1Q|=5m，由椭圆的定义可得|QF2|=2a﹣|QF1|=2a﹣5m，|PF2|=|F1F2|=2c，可得2c=2a﹣6m．即a﹣c=3m，①取PF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥PQ，由勾股定理可得|PF2|2﹣|PK|2=|QF2|2﹣|QK|2，即为4c2﹣9m2=（2a﹣5m）2﹣64m2，化简即为2a2﹣2c2=10am+15m2=，可得：6a+6c=15a﹣5c即9a=11c则离心率e==．故选：D．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：如图，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM=1，OA=，OK=2，∴==2，∵∠MOK=∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴==2，∴MK=2MA，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是x ﹣y+1=0或2x﹣y=0．【解答】解：直线经过原点时满足条件：直线方程为：y=2x．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y=a，把点P（1，2）代入可得：1﹣2=a，解得a=﹣1．∴直线方程为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0或2x﹣y=0．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是﹣4≤m≤4．【解答】解：由圆C的方程：x2+y2=16，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为4；若圆上至少有三个点到直线l：y=x+m的距离等于2，则满足O到直线l的距离d≤2，∵直线l的一般方程为：x﹣y+m=0，∴d==≤2，解得﹣4≤m≤4，∴m的取值范围是﹣4≤m≤4．故答案为：﹣4≤m≤4．15．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是2或4．【解答】解：把椭圆mx2+y2=1方程转化为：+y2=1分两种情况：①＞1，即m＜1，椭圆的焦点坐标在x轴，椭圆的离心率则：解得：m=，椭圆的长轴长为：4．②＜1，即m＞1，椭圆的焦点坐标在y轴，椭圆的离心率则：，解得：m=4，椭圆的长轴长为：2．故答案为：2或4．16．（5分）过点M（0，1）的直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为x+2y﹣2=0．【解答】解：设右焦点为F2（2，0），则AF1=6﹣AF2，BF1=6﹣BF2，所以AF1+BF1+AB=12+AB﹣（AF2+BF2），显然AF 2+BF2≥AB，当且仅当A，B，F2共线时等号成立，所以当直线l过点F2时，△ABF1的周长取最大值12，此时直线方程为=，即x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．【解答】解：（1）依题意知：k AC=﹣2，A（6，1），∴l AC方程为：2x+y﹣13=0，联立l AC、l CM得，∴C（5，3）．（2）设B（x0，y0），AB的中点M为（，），代入2x﹣y﹣7=0，得2x0﹣y0﹣3=0，∴，∴B（0，﹣3），∴k BC=，∴直线BC的方程为y=x﹣3，即6x﹣5y﹣15=0．18．（12分）已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为：=1，∵椭圆过（，0），∴=1，即a2=3，∴椭圆方程为：．（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则由y=2x+b 且得：14x2+12bx+3b2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，即x=，y=，两式消掉b得y=x．又弦的中点在椭圆内部，所以，，∴﹣，故平行弦中点轨迹方程为：y=x（﹣）．19．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）依题意每天生产的茶杯个数为100﹣x﹣y，所以利润ω=5x+6y+3（100﹣x﹣y）=2x+3y+300．（2）约束条件为整理得目标函数为ω=2x+3y+300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x+3y=0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由得∴最优解为A（50，50），此时ωmax=550元．故每天生产汤碗50个，花瓶50个，茶杯0个时利润最大，且最大利润为550元．20．（12分）过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程．【解答】解：由e==，得，从而a2=2b2，c=b，设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，=﹣设AB中点为（x0，y0），则k AB=﹣又（x0，y0），在直线上，，于是：k AB=﹣=﹣1，则直线l的方程为y=﹣x+2．（2）右焦点（b，0）关于直线l的对称点设为：（x′，y′），则解得，由点（2，2﹣b）在椭圆上，得4+2（2﹣b）2=2b2，b2=，a2=，∴所求椭圆C的方程的方程为：．21．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）以AB为直径的圆不经过点C，理由如下：二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，设A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=﹣3，又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为=﹣，所以不能出现AC⊥BC的情况，以AB为直径的圆不经过点C．（2）设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），将A，B，C三点坐标带入，得x12+Dx1+F=0，x22+Dx2+F=0，1+E+F=0．∴x1x2=﹣3=F，从而E=2，∴圆的方程为x2+y2+Dx+2y﹣3=0，令x=0，得y2+2y﹣3=0，∴y1=﹣3，y2=1，进而得到圆在y轴上截得的弦长是定值为4．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为M（0，﹣），半径为2，点N（0，），在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2=|PM|．因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，|PM|+|PN|=＞|MN|，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为2的椭圆．由a=，c=，得b2=3﹣2=1，所以曲线E的方程为：．（2）直线BC斜率为0时，不合题意；设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，y1+y2=，y1y2=，又k1k2=9，知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1）=9（ty1﹣1+m）（ty2﹣1+m）=9t2y1y2+9（m﹣1）t（y1+y2）+9（m﹣1）2．且m≠1，y1+y2=，y1y2=，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，解得m=2，故直线BC过定点（2，0），由△＞0，解得t2＞1，S△ABC=|y2﹣y1|===，（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为：．。

2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)科试卷(word版附答案)

A 2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）科试卷1、考试时间：120分钟2、满分：150分3、考试范围：命题，圆锥曲线，空间几何一,选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1.命题：“0x R ∃∈，020x≤”的否定是（）A ．0x R ∃∈，020x >B ．不存在0x R ∈，020x> C ．x R ∀∈，20x >D ． x R ∀∈，20x ≤2.抛物线22x y =的焦点坐标是( ) A.)0,1(B. )0,21(C. )81,0(D. 41,0(3.x y 2=，则该双曲线的离心率为( )AB ．2CD 4.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点，若B A =11，,,111c A A b D A ==则下列向量中与M B 1相等的是（）A ．+--2121B ．++2121C ．+-2121D ．++-21215.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.“|x|<2”是“x 2-x-6<0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD =60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（）A B ．8．空间四边形OABC 中，OA=6,AB=4,AC=3,BC=6，∠OAC ＝∠OAB ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.21B.22C ．121D ．619.已知椭圆)20(14222<<=+b b y x 的左，右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若22AF BF +的最大值为5，则b 的值是( ) A. 1 B.2 C.23D.310.已知命题:p 椭圆2241+=x y 上存在点M 到直线:20+-=l x y 的距离为1，命题:q 椭圆2222754+=x y 与双曲线22916144-=x y 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）A ． ()∧⌝p qB ．()⌝∧p q C. ()()⌝∧⌝p q D ．∧p q 11. 如图，过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线和圆1)1(22=+-y x 于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.1212.已知A,B,P 是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积32=∙PB PA K K ，则该双曲线的离心率为（） A.315B.25C. 210D.2二、填空题（每小题5分，共25分）13. 若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则m= 。

湖北省黄冈市蕲春县2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖北省黄冈市蕲春县高二（上）期中数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0””的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1D．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”2．方程+=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4③曲线C不可能是圆④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．A．1 B．2 C．3 D．43．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．±D．4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．10 B．8 C．6 D．45．已知定点F，定直线l和动点M，设M到l的距离为d，则“|MF|=d”是“M的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．， B．C．D．7．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3D．28．已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y﹣1=0；②x2+y2=3；③+y2=1；④﹣y2=1．在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）A．①③B．②④C．①②③ D．②③④9．动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．211．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（）A．B．C．2 D．12．如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=4x2的准线方程为．14．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量=（mx，y+1），向量，⊥，动点M（x，y）的轨迹为E，则轨迹E的方程为．15．已知直线l：xcosθ+ysinθ=cosθ与y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则+=．16．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作l交椭圆于P、Q两点，使PB2垂直QB2，求直线l的方程．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．18．已知命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集为R；命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a的取值范围．19．已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．21．是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程．2016-2017学年湖北省黄冈市蕲春县高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0””的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1D．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题与全称命题的否定形式判断即可．【解答】解：推出明天的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，考察选项，只有B 不满足命题的否定形式，故选：B．2．方程+=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4③曲线C不可能是圆④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】利用椭圆、双曲线的定义，结合标准方程，即可得出结论．【解答】解：由4﹣t=t﹣1，可得t=，方程+=1表示圆，故①③不正确；由双曲线的定义可知：当（4﹣t）（t﹣1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程+=1表示双曲线，故③正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4﹣t＞t﹣1＞0，即1＜t＜时方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．故选：B．3．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．±D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选D．5．已知定点F，定直线l和动点M，设M到l的距离为d，则“|MF|=d”是“M的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据抛物线的定义和利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：“M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线”⇒“|MF|=d”，反之不成立，直线经过定点F，其轨迹不是抛物线．因此“|MF|=d”是“M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线”的必要不充分条件．故选：B．6．若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．， B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k＜﹣1联立求得k的范围．【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，∴，∴k＜0，∴故选D7．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．【解答】解：如图，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故选：A．8．已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y﹣1=0；②x2+y2=3；③+y2=1；④﹣y2=1．在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）A．①③B．②④C．①②③ D．②③④【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．根据M，N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可．【解答】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为=∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，故选D9．动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程，根据动圆恒与直线x+2=0相切，而x+2=0为准线方程，利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点．【解答】解：由抛物线y2=8x，得到准线方程为x+2=0，焦点坐标为（2，0），∵动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，∴动圆必经过定点（2，0）．故选B10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．11．点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（）A．B．C．2 D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】设A（0，﹣1），先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x=﹣1，有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|．【解答】解：设A（0，﹣1），由y2=4x得p=2，=1，所以焦点为F（1，0），准线x=﹣1，过P作PN 垂直直线x=﹣1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=，故选：D．12．如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】由题设条件知，把A代入椭圆，得，整理，得e4﹣8e2+4=0，由此能够求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意知，把A代入椭圆，得，∴（a2﹣c2）c2+3a2c2=4a2（a2﹣c2），整理，得e4﹣8e2+4=0，∴，∵0＜e＜1，∴．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y=4x2的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．14．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量=（mx，y+1），向量，⊥，动点M（x，y）的轨迹为E，则轨迹E的方程为mx2+y2=11．【考点】轨迹方程．【分析】利用向量=（mx，y+1），向量，⊥，可得mx2+（y+1）（y﹣1）=0，即可求出轨迹E的方程．【解答】解：∵向量=（mx，y+1），向量，⊥，∴mx2+（y+1）（y﹣1）=0∴mx2+y2=1，故答案为mx2+y2=1．15．已知直线l：xcosθ+ysinθ=cosθ与y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则+=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入+=答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0），准线方程为x=﹣1．直线l：xcosθ+ysinθ=cosθ过（1，0）．可设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴+===1，故答案为：1．16．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作l交椭圆于P、Q两点，使PB2垂直QB2，求直线l的方程x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意设出椭圆的标准方程，结合已知列式求出椭圆方程，再设出直线l的方程x=my ﹣2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系结合向量数量积为0列式求得m值，则直线方程可求．【解答】解：设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F2（c，0）．∵△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2为直角，因此|OA|=|OB2|，得b=．结合c2=a2﹣b2，得4b2=a2﹣b2，故a2=5b2，c2=4b2，∴离心率e==．在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故=•|B1B2|•|OA|=|OB2|•|OA|=•b=b2．由题设条件△AB1B2的面积为4，得b2=4，从而a2=5b2=20．因此所求椭圆的标准方程为：．则B1（﹣2，0），B2（2，0）．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my﹣2．代入椭圆方程得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．又，∴由PB2⊥QB2，得，即16m2﹣64=0，解得m=±2．∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0，故答案为：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角；直线的一般式方程．【分析】（1）根据直线的倾斜角求出斜率．因为直线AB过P0（﹣1，2），可表示出直线AB 的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，根据勾股定理求出弦的一半，乘以2得到弦AB的长；（2）因为弦AB被点P0平分，先求出OP0的斜率，然后根据垂径定理得到OP0⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为﹣1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k=tan=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==∴弦长|AB|=2=2=．（2）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，∴OP0⊥AB又==﹣2，∴k AB=∴直线AB的方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=018．已知命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集为R；命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数，当甲、乙有且只有一个是真命题时，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集为R列式求出a的范围，再利用函数y=（2a2﹣a）x为增函数解不等式求得a的范围，然后通过交集、补集运算求出甲真乙假与甲假乙真时实数a的取值集合，取并集得到实数a的取值范围．【解答】解：当甲为真命题时，A={a|（a﹣1）2﹣4a2＜0}={a|a＜﹣1或a＞}，当乙为真命题时，B={a|2a2﹣a＞1}={a|或a＞1}．∴当甲真乙假时，集合M=A∩（∁R B）={a|}；当甲假乙真时，集合N=（∁R A）∩B={a|﹣1}．∴当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是M∪N={a|﹣1或}．19．已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用双曲线的定义，可求W的方程；（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，结合基本不等式，可求的最小值．【解答】解：（1）据题意M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件，∴∴动点P的轨迹为双曲线的右支，且c=2，a=，∴曲线方程为x2﹣y2=2（x≥）；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1≥，x2≥，则x1x2≥2∴=x1x2+y1y2=x1x2﹣×≥x1x2﹣=x1x2﹣|x1x2﹣2|=x1x2﹣（x1x2﹣2）=2∴的最小值是2．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．21．是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】假设存在，设出点的坐标，联立方程可表示出AB的斜率，根据已知条件确定直线AB的斜率，进而求得y1+y2的值，则AB的中点的纵坐标可求，带入直线求得x，进而求得直线AB的方程．【解答】解：假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．则有：∵线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分，且，∴k AB=5，即．设线段AB的中点为．代入x+5y﹣5=0得x=1．∴AB中点为．故存在符合题设条件的直线，其方程为：．2016年12月9日。

2017-2018学年湖北省部分重点中学高二(上)期中化学试卷

2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中化学试卷一、选择题（每小题一个最佳答案，每小题3分）1．（3分）下列各组物质的燃烧热相等的是（）A．石墨和金刚石B．1g H2和2g H2C．C2H2和苯D．气态乙醇和液态乙醇2．（3分）下列说法不正确的是（）A．增大反应物浓度，活化分子百分数增大，有效碰撞次数增多B．增大压强，单位体积内气体的活化分子数增多，有效碰撞次数增多C．升高温度，活化分子百分数增加，分子运动速度加快，有效碰撞次数增多D．催化剂能降低反应的活化能，提高活化分子百分数，有效碰撞次数增多3．（3分）已知分解1mol H2O2放出热量98kJ，在含少量I﹣的溶液中，H2O2分解的机理为H2O2+I﹣→H2O+IO﹣慢H2O2+IO﹣→H2O+O2+I﹣快下列有关该反应的说法正确的是（）A．I﹣是该反应的催化剂B．IO﹣也是该反应的催化剂C．反应活化能等于98 kJ•mol﹣1D．v（H2O2）=v（H2O）=v（O2）4．（3分）已知：NH3•H2O（aq）与H2SO4（aq）反应生成1mol正盐的△H=﹣24.2kJ/mol；强酸、强碱反应的中和热△H=﹣57.3kJ/mol．则1mol NH3•H2O在水中电离的△H 等于（）A．﹣69.4kJ/mol B．+45.2kJ/mol C．+69.4kJ/mol D．﹣45.2kJ/mol 5．（3分）碳酸铵[（NH4）2CO3]在室温下就能自发地分解产生氨气，对其说法中正确的是（）A．其分解是因为生成了易挥发的气体，使体系的熵增大B．其分解是因为外界给予了能量C．其分解是吸热反应，据能量判据不能自发分解D．碳酸盐都不稳定，都能自发分解6．（3分）在恒温恒容的密闭容器中进行反应：X（g）+Y（g）⇌Z（g），若反应物X的浓度从1mol/L降到0.4mol/L需10s，那么反应物X的浓度由0.4mol/L降到0.1mol/L所需的反应时间为（）A．5s B．大于5s C．小于5s D．无法判断7．（3分）可逆反应2NO2（g）═2NO（g）+O2（g）在体积不变的密闭容器中反应，现有以下几种说法：①反应混合物中各物质的物质的量浓度相等②单位时间内生成n mol O2的同时生成2n mol NO2③用NO2、NO、O2的物质的量浓度变化表示的反应速率比为2：2：1的状态④混合气体的颜色不再改变的状态⑤混合气体的密度不再改变的状态⑥混合气体的平均摩尔质量不再改变的状态其中表示反应达到平衡状态的是（）A．①③⑤B．②④⑥C．②③④⑥D．①②④⑤8．（4分）已建立平衡的某可逆反应，当改变条件使化学平衡向正反应方向移动时，下列叙述正确的是（）①生成物的体积分数一定增加②生成物的产量一定增加③反应物的转化率一定增大④反应物浓度一定降低⑤正反应速率一定大于逆反应。

湖北省鄂东南示范高中教改联盟2017-2018学年高二上学期期中联考数学(理)试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精2017 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考8、抛物线y2 2px （p 0 ）的焦B 为抛物线上的两个动点，且满足高二数学（理科）试卷AFB 120，过弦AB 的中点M考试时间：2017年11月14日上午 8:00—10：00试卷满分：150分一、选择题：本大题共12 小题，每学必求其心得，业必贵于专精体积为（）A．21 C．23B．2 2.5 D．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.为（）A． 3 B．1 C．2 331、若命题p : x0 0, x02018，则命题p 的否定是（）9、如图，在三棱锥A BCD 中，平面BAC 与BCDA ．x 0，x 2018 C．x 0, x 2018B．x 0, x2018D．x 0，x 2018均为等腰直角三角形，且B A CB CD90，B C22、已知直线方程为c os 300x s i n 300y 3 0 ，则直线的倾斜角为（）A．60B．60或300 AB 上的动点,若线段CD 上存在点Q 与AC 成则线段PA 长的取值范围是（）C．30D．30或3303、榫卯（sŭn măo）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在A．(0，2 )2x2 y2B．(0，6）3C．（2 ，2 )2两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到10、椭圆M ：a2b21(a b 0) 左右焦点圆上任一点且最大了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图,其取值范围是［2c2 , 3c2 ] ,其中率取值范围（)A．［2，1）B．［3 ， 2 ]C．［3 ,1）2 3 2学必求其心得，业必贵于专精3 3 24、“a=1”是直线 l 1 : ax y 3 0与l 2 : 2x （ a 1) y 4 0 互相平行的（）11、已知平面 ABCD 平面 ADEF ,AB且 AB = 1，AD = CD = 2.ADEF 是正ADEF 内部有一点 M ，使 MB 与平面和 MC 与平面 ADEFA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件所成的角之间满足 ta n 2 tan则点的轨迹1 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A ．1B ．2C ． 25、过定点 A （2，-2)作圆 x 2 y 2 2ax 4 y 2a 2 0 的切线有 2 条，则 a 的取值范围为( ） 12、已知关于 x 的方程 x 3a x 2bx c 0 的三个圆，一个抛物线，一A ． a2B 。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A ．2B ．6C ．3D ．210．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△A BC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线3x ﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C 被直线x ﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点A （0，3），若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．19．如图，已知抛物线C ：x 2=2py （0＜p ＜4），其上一点M （4，y 0）到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．20．直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选A．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】数形结合；分析法；直线与圆．【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可设双曲线的标准方程为，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求出这条渐近线的斜率，从而得到，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=，再根据c2=a2+b2便可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A ．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．10．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M （x 0，2+x 0），求得x 0的取值范围．【解答】解：过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=．∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN=，则∠OMR≥． ∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x 0，2+x 0），|OM|2=x 02+y 02=x 02+（2+x 0）2=2x 02 +4x 0+4，∴2x 02+4x 0+4≤4，解得，﹣2≤x 0≤0．∴x 0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，运算求得结果．【解答】解：由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2，故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，是解题的关键12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求出双曲线C 2的离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，∴C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为，∴C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C 2的离心率： =，故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．【解答】解：∵F 是抛物线y 2=5x 的焦点F （，0），准线方程x=﹣，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF|+|BF|=x 1++x 2+=10，解得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点横坐标为：．∴线段AB 的中点到y 轴的距离是．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ﹣6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y 得y=﹣x+z ，则直线截距最大时，z 也最大．平移直线y=﹣x+z 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大为12，即x+y=12，由，得，即B （6，6），此时B 也在直线y=k 上，∴k=6，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小，由，即，即A （﹣12，6），此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m 的值，数形结合求出实数m 的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m 2=，m=±．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，可得右焦点，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程，求得P 的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：椭圆16x 2+25y 2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F 2（3，0），由P 在x 轴上方，且直线PF 2的斜率为，可得P 的横坐标小于3，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程可得，27x 2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P 的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF 1F 2的面积为•|F 1F 2|•y P =3•=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；（2）设直线l 的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．【解答】解：（1）∵， ∴边AB 上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C （5，4），∴直线的方程为：y ﹣4=﹣2（x ﹣5），即2x+y ﹣14=0．（2）设直线l 的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l 的方程为：．∴直线l 过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．（Ⅱ）利用方程组，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，利用，求解即可．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p ＜4，所以p=2，y 0=4．所以抛物线标准方程为x 2=4y ．（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l 的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，显然△=16k 2+16＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k①，x 1x 2=﹣4②又，所以，即x 2=﹣2x 1③由①②③消去x 1，x 2，得，由题意，故直线l 的方程为．【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．20．直线l 过点M （2，1），且与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；（Ⅱ）求得直线FM 的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，所以，即，所以l 方程为：x+y ﹣3=0．（Ⅱ）因为F （﹣2，0），M （2，1），所以l 斜率，所以l 方程为：x ﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y 2﹣8y ﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，，x 1x 2=（4y 1﹣2）（4y 2﹣2）=16y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4，所以=x 1x 2+y 1y 2=17y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4=．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．如图，直线y=kx+b 与椭圆=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（I ）求在k=0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（Ⅰ）设出点A ，B 的坐标利用椭圆的方程求得A ，B 的横坐标，进而利用弦长公式和b ，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB 的长度的表达式，利用O 到直线AB 的距离建立方程求得b 和k 的关系式，求得k ．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为（x 2，b ），由，解得，所以=≤b 2+1﹣b 2=1．当且仅当时，S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k 2﹣b 2+1，=．②设O 到AB 的距离为d ，则，又因为，所以b 2=k 2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．已知动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点P （﹣2，1），动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ，PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m ，代入y 2=4x ，利用韦达定理，结合k PA +k PB =2k PG ，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设Q （x ，y ），根据题意得，…整理得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ．…（Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为x=ny+m （n≠0且n ∈R ），则G （m ，0）．…将x=m+ny 代入y 2=4x ，整理得y 2﹣4ny ﹣4m=0．由题意得△=16n 2+16m ＞0，即n 2+m ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m ，，，，由题意得k PA +k PB =2k PG ，即k PA +k PB ﹣2k PG =0，所以，… 即…把y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m 代入上式，整理得（m ﹣2）n=（m+2）（2﹣m ），…又因为n ∈R ，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。

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2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥02．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）3．（5分）p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，则（）A．p是q的充分非必要条件B．p是q的必要非充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能5．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π6．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．[1，12] C．D．[2，12]7．（5分）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A．B．x2+（y﹣1）2=1 C．D．x2+（y﹣1）2=2 9．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．10．（5分）已知直线l：y=kx+1过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=1截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是．15．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是．16．（5分）过点M（0，1）的直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．18．（12分）已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．19．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20．（12分）过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程．21．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0，故选：D．2．（5分）已知命题p：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x ﹣x0）表示，命题q：直线xtan+y﹣7=0的倾斜角是，则下列命题是真命题的为（）A．（¬p）∧q B．p∧q C．p∨（¬q）D．（¬P）∧（¬q）【解答】解：直线的斜率不存在时，不能表示，故p是假命题；直线xtan+y﹣7=0的斜率是﹣，故倾斜角是，故q是真命题，故（￢p）∧q是真命题，故选：A．3．（5分）p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，则（）A．p是q的充分非必要条件B．p是q的必要非充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解答】解：若p成立，例如x=4，y=1当q不成立，反之，若x=2且y=3则x+y=5是真命题，所以若x+y≠5则x≠2或y≠3是真命题，所以p是q的必要而不充分条件，故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：根据题意，直线的方程为2mx+y+2﹣m=0，即m（2x﹣1）+y+2=0，则直线恒过点（，﹣2），圆x2+y2﹣4x+6y=0的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=13，其圆心为（2，﹣3），半径为，分析可得点（，﹣2）在圆内，则直线与圆相交；故选：C．5．（5分）曲线x2+y2=2|x|+2|y|所围成的图形的面积为（）A．6+2πB．6+4πC．8+2πD．8+4π【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2×2+4××π×=8+4π故选：D．6．（5分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．[1，12] C．D．[2，12]【解答】解：设k==1+2•，则k的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣2）的斜率的2倍再加1，作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由图象可知AD的斜率最大，CD的斜率最小，∵A（0，4），∴k==13，，解得C（，）CD直线斜率k==，则的取值范围是：．故选：A．7．（5分）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：设直线l的方程为y=x+t，代入，消去y得4x2+6tx+3t2﹣3=0，A，B两点的横坐标为：x1，x2；x1+x2=﹣，x1x2=，由题意得△=（6t）2﹣16（3t2﹣3）＞0，即t2＜4．弦长|AB|==×=≤．当且仅当t=0时取得最大值．故选：C．8．（5分）已知过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A．B．x2+（y﹣1）2=1 C．D．x2+（y﹣1）2=2【解答】解：设动点P（x，y）及圆上点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（x，y）=（x1+x2，y1+y2），当直线l的斜率不存在时，P（0，0）；当直线l的斜率存在时，设过定点（0，1）的直线l：y=kx+1，代入x2+y2=4，可得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，∴x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=+2=，∴x=﹣，y=，消去参数k得：x2+（y﹣1）2=1（y≠0）．验证（0，0）满足上式，∴动点P的轨迹方程为：x2+（y﹣1）2=1故选：B．9．（5分）已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（）A．B．C．6 D．【解答】解：由两点A（﹣1，0 ），B（0，1），则直线AB的方程为y=x+1，由图知，直线y=x+m（m＜0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大．联立方程得到，整理得25x2+32mx+16m2﹣144=0由于直线y=x+m和椭圆相切，则△=（32m）2﹣4×25×（16m2﹣144）=0解得m=﹣5由于y=x+1与直线y=x﹣5的距离为d==3，则点P到直线AB距离的最大值为：3．故选：A．10．（5分）已知直线l：y=kx+1过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=1截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心到直线l：y=kx+1的距离为d=，∵直线l：y=kx+1被圆x2+y2=1截得的弦长为L，L≥，∴由垂径定理，得2≥，即2≥，解得d2≤，∴，解得k2≥．∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=1且c==﹣，即a2=1+，∴椭圆的离心率e满足e2==，∵k2≥，∴0＜=，得e∈（0，]．故选：A．11．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），5|PF1|=6|F1Q|，设|PF1|=6m，|F1Q|=5m，由椭圆的定义可得|QF2|=2a﹣|QF1|=2a﹣5m，|PF2|=|F1F2|=2c，可得2c=2a﹣6m．即a﹣c=3m，①取PF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥PQ，由勾股定理可得|PF2|2﹣|PK|2=|QF2|2﹣|QK|2，即为4c2﹣9m2=（2a﹣5m）2﹣64m2，化简即为2a2﹣2c2=10am+15m2=，可得：6a+6c=15a﹣5c即9a=11c则离心率e==．故选：D．12．（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2=1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：如图，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM=1，OA=，OK=2，∴==2，∵∠MOK=∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴==2，∴MK=2MA，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过点P（1，2），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是x﹣y+1=0或2x﹣y=0．【解答】解：直线经过原点时满足条件：直线方程为：y=2x．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y=a，把点P（1，2）代入可得：1﹣2=a，解得a=﹣1．∴直线方程为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0或2x﹣y=0．14．（5分）已知圆x2+y2=16，直线l：，圆上至少有三个点到直线l的距离都是2，则m的取值范围是﹣4≤m≤4．【解答】解：由圆C的方程：x2+y2=16，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为4；若圆上至少有三个点到直线l：y=x+m的距离等于2，则满足O到直线l的距离d≤2，∵直线l的一般方程为：x﹣y+m=0，∴d==≤2，解得﹣4≤m≤4，∴m的取值范围是﹣4≤m≤4．故答案为：﹣4≤m≤4．15．（5分）椭圆mx2+y2=1的离心率是，则它的长轴长是2或4．【解答】解：把椭圆mx2+y2=1方程转化为：+y2=1分两种情况：①＞1，即m＜1，椭圆的焦点坐标在x轴，椭圆的离心率则：解得：m=，椭圆的长轴长为：4．②＜1，即m＞1，椭圆的焦点坐标在y轴，椭圆的离心率则：，解得：m=4，椭圆的长轴长为：2．故答案为：2或4．16．（5分）过点M（0，1）的直线l交椭圆C：于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为x+2y﹣2=0．【解答】解：设右焦点为F2（2，0），则AF1=6﹣AF2，BF1=6﹣BF2，所以AF1+BF1+AB=12+AB﹣（AF2+BF2），显然AF2+BF2≥AB，当且仅当A，B，F2共线时等号成立，所以当直线l过点F2时，△ABF1的周长取最大值12，此时直线方程为=，即x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣7=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣6=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线BC的方程．【解答】解：（1）依题意知：k AC=﹣2，A（6，1），∴l AC方程为：2x+y﹣13=0，联立l AC、l CM得，∴C（5，3）．（2）设B（x0，y0），AB的中点M为（，），代入2x﹣y﹣7=0，得2x0﹣y0﹣3=0，∴，∴B（0，﹣3），∴k BC=，∴直线BC的方程为y=x﹣3，即6x﹣5y﹣15=0．18．（12分）已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为：=1，∵椭圆过（，0），∴=1，即a2=3，∴椭圆方程为：．（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则由y=2x+b 且得：14x2+12bx+3b2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，即x=，y=，两式消掉b得y=x．又弦的中点在椭圆内部，所以，，∴﹣，故平行弦中点轨迹方程为：y=x（﹣）．19．（12分）为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）依题意每天生产的茶杯个数为100﹣x﹣y，所以利润ω=5x+6y+3（100﹣x﹣y）=2x+3y+300．（2）约束条件为整理得目标函数为ω=2x+3y+300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x+3y=0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由得∴最优解为A（50，50），此时ωmax=550元．故每天生产汤碗50个，花瓶50个，茶杯0个时利润最大，且最大利润为550元．20．（12分）过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程．【解答】解：由e==，得，从而a2=2b2，c=b，设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，=﹣设AB中点为（x0，y0），则k AB=﹣又（x0，y0），在直线上，，于是：k AB=﹣=﹣1，则直线l的方程为y=﹣x+2．（2）右焦点（b，0）关于直线l的对称点设为：（x′，y′），则解得，由点（2，2﹣b）在椭圆上，得4+2（2﹣b）2=2b2，b2=，a2=，∴所求椭圆C的方程的方程为：．21．（12分）在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）以AB为直径的圆不经过点C，理由如下：二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，设A（x1，0），B（x2，0），则x1x2=﹣3，又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为=﹣，所以不能出现AC⊥BC的情况，以AB为直径的圆不经过点C．（2）设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），将A，B，C三点坐标带入，得x12+Dx1+F=0，x22+Dx2+F=0，1+E+F=0．∴x1x2=﹣3=F，从而E=2，∴圆的方程为x2+y2+Dx+2y﹣3=0，令x=0，得y2+2y﹣3=0，∴y1=﹣3，y2=1，进而得到圆在y轴上截得的弦长是定值为4．22．（12分）已知圆M：和点，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC 的斜率分别是k1，k2，满足k1•k2=9，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为M（0，﹣），半径为2，点N（0，），在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2=|PM|．因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，|PM|+|PN|=＞|MN|，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为2的椭圆．由a=，c=，得b2=3﹣2=1，所以曲线E的方程为：．（2）直线BC斜率为0时，不合题意；设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，y1+y2=，y1y2=，又k1k2=9，知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1）=9（ty1﹣1+m）（ty2﹣1+m）=9t2y1y2+9（m﹣1）t（y1+y2）+9（m﹣1）2．且m≠1，y1+y2=，y1y2=，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，解得m=2，故直线BC过定点（2，0），由△＞0，解得t2＞1，S△ABC=|y2﹣y1|===，（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为：．。