1.4平行线的性质(2)

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平行线和垂直线的认识和性质

平行线和垂直线的认识和性质平行线和垂直线是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和建筑设计中起着重要作用。

本文将从认识和性质两个方面来探讨平行线和垂直线的相关知识。

一、平行线的认识和性质1. 平行线的定义平行线是位于同一个平面上且永不会相交的两条直线。

这意味着两条平行线之间的距离保持恒定，不会发生变化。

2. 平行线的性质（1）平行线具有同方向性，即两条平行线延伸至无穷远处也不会相交。

（2）平行线上的任意一对对应角相等。

（3）平行线与同一个第三条直线相交时，对应角、内错角、外错角之和均为180度。

例如，图中的AB和CD是平行线，EF是第三条直线。

对应角∠1和∠5相等，内错角∠1和∠4之和为180度，外错角∠2和∠5之和为180度。

[插入示意图]二、垂直线的认识和性质1. 垂直线的定义垂直线是与平面上的另一条直线相交，且相交角为90度的直线。

垂直线可以通过使用垂直角、正交形等方式来判断。

2. 垂直线的性质（1）垂直线之间的相交角为90度。

（2）与一个直线垂直的线段称为该直线的垂线。

（3）平行于同一条直线的两条直线垂直于同一个直线时，这两条直线平行。

例如，图中的AB是直线，CD为与AB相交且相交角为90度的线段，EFG是平行于AB且相交于CD的直线。

这样，EF与CD垂直，AB与EF平行。

[插入示意图]三、平行线和垂直线的关系1. 平行线和垂直线的关系平行线与另一条直线相交时，所得的相交角为180度减去对应角。

换句话说，平行线与另一条直线的相交角为180度减去与该直线平行的线段与该直线的夹角。

2. 平行线和垂直线的应用平行线和垂直线在几何学和建筑设计中有广泛应用。

在三角形的证明和计算中，我们经常会用到平行线和垂直线的性质。

此外，在建筑设计中，垂直线的应用很常见，可以保证建筑物的平稳和坚固。

例如，在建造一座摩天大楼时，垂直线的应用保证了建筑物的垂直性，确保了建筑物的结构稳定。

平行线的应用可以使建筑物的线条更加整齐，增强了视觉效果。

浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1

浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1一. 教材分析《平行线的性质》是浙教版数学七年级下册1.4节的内容，主要包括平行线的传递性质、同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

本节内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了平行线的概念，但对平行线的性质和角度关系还不够了解。

学生的空间想象力有所不同，逻辑思维能力也各有差异。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、交流和总结，逐步掌握平行线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的传递性质，理解同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流和总结的能力，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平行线的传递性质，同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

2.教学难点：平行线性质的灵活运用，角度关系的推导和证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何图形，引导学生发现平行线的性质，激发学生的学习兴趣。

2.动手操作法：让学生通过折纸、拼图等动手操作活动，观察和体验平行线的性质，培养学生的空间想象能力。

3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，共同探讨平行线的性质，提高学生的团队协作能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生通过思考和总结，得出平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关的图片、图形和实例，制作PPT。

2.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等。

3.学生活动材料：准备折纸、拼图等动手操作材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中常见的平行线现象，如楼梯、铁路等，引导学生回顾平行线的概念，激发学生的学习兴趣。

(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)

5.3.2平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题. 重点、难点重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念. 难点:平行线性质和判定灵活运用. 教学过程一、复习引入1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,BE 是AB 的延长线,AD ∥BC,AB ∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.4.a ⊥b,c ⊥b,那么a 与c 的位置关系如何?为什么?cb二、进行新课1.例1 已知:如上图,a ∥c,a ⊥b,直线b 与c 垂直吗?为什么?学生容易判断出直线b 与c 垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b ⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a ⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理. 2.实践与探究(1)下列各图中,已知AB ∥EF,点C 任意选取(在AB 、EF 之间,又在BF 的左侧).请测量各图中∠B 、∠C 、∠F通过上述实践,试猜想∠B 、∠F 、∠C 之间的关系,写出这种关系,试加以说明.E D C B AFECBAFECBA(1) (2) 教师投影题目:学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导:①虽然AB ∥EF,但是∠B 与∠F 不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.②∠B 与∠C 是直线AB 、CF 被直线BC 所截而成的内错角,但是AB 与CF 不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C 作CD ∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD 与EF 平行,你能做到这一点吗?以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.FEDCB A作CD ∥AB,因为AB ∥EF,CD ∥AB,所以CD ∥EF(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD ∥AB.所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF. (2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段B 1C 1,B 2C 2……B 5C 5都与两条平行线的横线A 1B 5和A 2C 5垂直吗?它们的长度相等吗?②学生实践操作,得出结论:线段B 1C 1,B 2C 2……,B 5C 5同时垂直于两条平行直线A1B5和A 2C 5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段B 1C 1的特征:第一点线段B 1C 1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B 1C 1同时垂直这两条平行线. 教师板书定义:(像线段B 1C 1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.F EDCBA教师画AB ∥CD,在CD 上任取一点E,作EF ⊥AB,垂足为F.学生思考:EF 是否垂直直线CD?垂线段EF 的长度d 是平行线AB 、CD 的距离吗? 这两个问题学生不难回答,教师归纳:两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变. 3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断. (2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB ∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句. (3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式. 师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句. 第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设， “结果仍是等式”是结论。

2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷1

2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷1.4平行线的性质一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022七下·梧州期末）下列说法中，错误的是（）A．两直线平行，同位角相等B．对顶角相等C．同旁内角互补，两直线平行D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】D【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项正确，不符合题意；B、对顶角相等，故该选项正确，不符合题意；C、同旁内角互补，两直线平行，故该选项正确，不符合题意；D、两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项不正确，符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行线的性质可判断A、D；根据对顶角的性质可判断B；根据平行线的判定定理可判断C.2．（2022七下·巴彦期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．45°【答案】C【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2+∠ABD=180°，∵DB⊥BC，∴∠CBD=90°，∵∠ABC=∠1=40°，∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，∴∠2=50°．故答案为：C【分析】由平行线的性质可得∠2+∠ABD=180°，由垂直的定义可得∠CBD=90°，由对顶角相等可得∠ABC=∠1=40°，从而求出∠ABD=∠ABC+∠CBD=130°，继而求解.3．（2022七下·无为期末）如图，直线AB与CD相交于E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM∥AB．当∠3=10°时，∠F的度数是（）A．82°B．80°C．85°D．83 °【答案】C【知识点】角的运算；平行线的性质【解析】【解答】解：∵∠3=10°，∴∠BEC=180°−10°=170°，∵EN平分∠CEB，∴∠2=85°，∵FM∥AB，∴∠F=∠2=85°，故答案为：C．【分析】根据题意先求出∠BEC=170°，再求出∠2=85°，最后计算求解即可。

2020春浙教版七年级数学下册第1章 1.4.2 平行线的内错角、同旁内角性质

解：∵∠A＝∠1，∴AE∥BF.∴∠E＝∠2. ∵CE∥DF，∴∠2＝∠F. ∴∠E＝∠F.
15．如图，若∠1＝∠2，DE∥BC，则①FG∥DC；②∠AED＝ ∠ACB；③CD 平分∠ACB；④∠1＋∠B＝90°；⑤∠BFG＝ ∠BDC，其中正确的结论是( ) A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．③④
【点拨】∵a∥b，∴∠1＋∠BCA＋∠BAC＋∠2＝180°. ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠2＝40°.
17．如图，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，BO，CO 分别平分 ∠ABC，∠ACB，DE 过 O 点，且 DE∥BC，求∠BOC 的度数．
解：因为 DE∥BC，所以∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB. 因为 BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，所以∠OBC＝12∠ABC＝20°，∠OCB＝12∠ACB＝30°，所以∠DOB＝20°，∠EOC＝30°，所以∠BOC＝180°－∠DOB－∠EOC＝130°.
【点拨】∵DE∥BC，∴∠DCB＝∠1，∠AED＝∠ACB，故② 正确；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴FG∥DC，故①正确； ∴∠BFG＝∠BDC，故⑤正确；而 CD 不一定平分∠ACB，∠1 ＋∠B 不一定等于 90°，故③④错误，故选 B.
【答案】B
16．【2019·齐齐哈尔】如图，直线 a∥b，将一块含有 30°角(∠ BAC＝30°)的直角三角板按图中方式放置，其中点 A 和点 C 分别落在直线 a 和 b 上，若∠1＝20°，则∠2 的度数为( C ) A．20° B．30° C．40° D．50°
1＝60°，则下列结论错误的是( D )
A．∠2＝60°
B．∠3＝60°
C．∠4＝120°

1.4 平行线的性质定理课件(冀教版八年级下)

A
D
B
C
中学学科网
请大家谈一谈本节课有哪些收获与体会!
作业
1)复习1.4 2)课后作业题 1.2.3.4必做;5选做
A a
中学学科网
D
C B b
如图是一个平行四边形,请表示出图中的平行线AD与BC之间的距离.
A
D
B
C
画一画
• 已知直线l,把这条直线平移,使经平移所得的像与直线l的距离为1.5cm,求作直线l平移后所得的像.
l
例2：如图，已知AD//BC，判断 S
是否相等，并说明理由。
ABC
与
SDBC
A
B
a
b
AC＝DB
C
D
两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等。
A
B
abCຫໍສະໝຸດ D这个距离就叫做这两条平行线之间的距离。
课本做一做及课内练习1
• • • • •
如图a∥b,AB⊥a于A,CD⊥b于C, 1)点B与点D的距离是指线段的长; 2)点D到直线b的距离是指 ; 3)两平行线a,b的距离是或 ; 4)线段AB的长可指的距离.
北师大七年级 (下 ) ) 《数学》 (浙教版 .八年级上册
4
A
B
连结两点的线段的长度叫两点间的距离 P
中学学科网
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
合作学习
请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a上，
任意取两点A，B。然后量出点A、B到直线b的距
离，并加以比较，你能得到什么结果？

平行线与同位角的性质

平行线与同位角的性质平行线与同位角的性质是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。

本文将介绍平行线的定义和性质，进而探讨同位角的概念以及同位角与平行线的关系。

1. 平行线的定义和性质在平面几何中，当两条直线在平面上的位置相对固定，且永不相交，我们称这两条直线为平行线。

平行线的性质如下：1.1 两条平行线夹在同一个传声筒线上的各个角度互相等于，这些角度被称为同位角。

1.2 平行线间的垂直线也是平行线。

1.3 平行线之间的距离在任意两个平行线上取得的赛式一致。

1.4 平行线具有相似的性质，比如平行线上的对应角、内错角、同位角都是相等。

2. 同位角的定义和性质同位角是相对于两条平行线的一对相似的角。

在同一边的两条传声筒线之间形成的角称为同位角。

同位角的性质如下：2.1 同位角的度数相等，即同位角对应的弧度数相等。

2.2 同位角相互补角，即如果一个同位角是锐角，则其对应的同位角是钝角，反之亦然。

2.3 同位角的角对是镜像对称的，即同位角的两个角对是一对直线对称的。

3. 平行线与同位角的关系平行线与同位角之间存在着密切的关系，具体表现为以下几个方面：3.1 平行线之间的同位角是相等的，它们可以互相替代，进行推理和证明。

3.2 利用同位角的性质，我们可以推导出很多有关平行线的定理，比如平行线与一些特殊角的关系，如内错角和对应角。

3.3 同位角可以帮助我们解决平行线交线问题，如判断两条线是否平行、判断两条线是否相交等。

通过深入理解平行线和同位角的概念与性质，我们可以更好地掌握几何学中的相关知识并应用于解题和证明。

熟练掌握平行线与同位角的性质，可以让我们更轻松地应对各种几何问题，提高问题解决的效率和准确性。

总结：平行线与同位角是几何学中的基础概念，深入理解它们的定义和性质对于解决几何问题和证明几何定理具有重要意义。

平行线具有相似角和相似距离的性质，而同位角则是平行线相关角度的代表。

1.4平行线的性质 (2)

3、已知如图：BD平分∠ABC, ∠1=∠2 , ∠C=70，求∠ADE的度数。
解： ∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠1＝∠3（角平分线的定义）
又∵∠1＝∠2（已知）
E
1 3 2
A
D
C
∴∠2＝∠3 B ∴DE∥BC （内错角相等，两直线平行）
∴∠ADE＝∠C＝70 （两直线平行，同位角相等）
E A 得到：∠2=∠3 ∠3+∠4= 180° C
4 1 3 2
B
D
F 观察下∠2与∠3、 ∠3与∠4的位置关系，
发现平行线还有哪些性质?并用简洁的一句话来描述。
E
平行线的性质：
C
A
4
1 3 2
B
D
F
（1）两直线平行，同位角相等。
∵AB∥CD ∴ ∠1=∠2
（2）两直线平行，内错角相等．
∵AB∥CD ∴ ∠3=∠2 （3）两直线平行，同旁内角互补． ∵AB∥CD ∴ ∠3+∠4 = 180°
做一做：
2、如图，已知AB//CD，AD//BC，填空：
（1）∵AB//CD（已知）
∴∠1＝______( ∠D 两直线平行，内错角相等。) （2）∵AD//BC（已知） ∠ACB 两直线平行，内错角相等 ) ∴∠2 ＝_______(
A B
1 2
D C
例1：如图，已知AB ∥ CD， AD ∥ BC。
例2：如图，已知∠ABC+∠C=180°，BD平分
∠ABC。∠CBD与∠D相等吗？请说明理由。
A
（1）由已知BD平分∠ABC 可以推出什么？（2）由所求，需要说明哪两个
B C
D
角相等？能转化成说明∠ABD=∠D吗？（3）要说明∠ABD=∠D，需要说明什么？

平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解

平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题】类型一、平行线的性质1．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠5，∠4=∠6，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，∴AE⊥DE．【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．举一反三：【变式】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．【答案】140°．【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故答案为140°．类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米．【答案】5 (提示：连接BF，则BF∥AC)类型三、尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案与解析】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．类型四、平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。

华师大版数学七年级上册《平行线的性质》教学设计2

华师大版数学七年级上册《平行线的性质》教学设计2一. 教材分析《平行线的性质》是华师大版数学七年级上册的一个重要内容，主要让学生掌握平行线的性质，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

这部分内容是学生进一步学习几何知识的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，通过对平行线的性质的学习，可以帮助他们更好地理解和应用这些能力。

然而，由于学生的学习能力参差不齐，部分学生在理解上可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，采用适当的教学方法，帮助所有学生都能理解和掌握平行线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平行线的性质，能够运用平行线的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、合作交流的学习习惯。

四. 教学重难点1.重点：平行线的性质及运用。

2.难点：对平行线性质的理解和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平行线的性质，使学生能够更好地理解和记忆。

2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、推理，发现平行线的性质。

3.合作交流法：学生在小组内进行讨论和实践，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平行线的性质及相关例题。

2.练习题：准备相关练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：直尺、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际生活中的平行线例子，如铁路、公路等，引导学生关注平行线。

提问：你们知道平行线有什么性质吗？从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍平行线的性质。

主要包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

同时，通过几何图形的展示，使学生能够更好地理解和记忆这些性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论和实践，运用平行线的性质解决实际问题。

浙教版七年级数学下册1.4：平行线的性质(2) 同步测试(无答案)

第一章平行线1.4平行线的性质（2）夯实基础巩固：1.如图所示，直线c与a、b均相交，若a∥b时，则（）A.∥1>∥2B.∥1<∥2C.∥1=∥2D.∥1+∥2=90°2.如图，在∥ABC中，∥B=40°，过点C作CD∥AB，∥ACD=65°，则∥ACB的度数为（)A.60°B.65°C.70°D.75°3.如图所示，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.若∥1=20°，则∥2的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°4.如图所示，AB∥CD，BC平分∥ABD，若∥C=40°，则∥D的度数为（）A.90°B.100°C.110°D.120°5.如图所示，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°6.如图所示，EF∥BC，AC平分∥BAF，∥B=80°.求∥C的度数___________.7.如图所示，已知直线AB∥CD，∥GEB的平分线EF交CD于点F，∥1=42°，则∥2=____________.8.将一副三角板如图所示的方式放置.若AE∥BC，则∥AFD=_____________.9.如图所示，AB∥EF∥CD，∥ABC=45∥，∥CEF=155°，求∥BCE的度数.10.如图所示，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐弯形成的角∥A是120°，第二次拐弯形成的角∥B是150°，第三次拐的角∥C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∥C应为多少度?能力提升培优11.如图所示，AB∥EF，CD∥EF，∥BAC=50°，则∥ACD的度数为（）A.120°B.130°C.140°D.150°12.如图所示，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线α上，∥C=90∥，∥β=55∥，则∥α的度数为( )A.15°B.25°C.35°D.55°13.如图所示，已知AB∥DE，∥ABC=70∥，∥CDE=140∥，则∥BCD的值为( )A.20°B.30°C.40°D.70°14.如图所示，已知AB∥CD，则∠α=___________.15.如图所示，直线l∥m∥n，等边∥ABC的顶点B.C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∥α=___________.16.如图所示，AB∥CD，∠CDE=116∘，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F=______________.17.如图所示，已知∥1+∥2=180°，∥3=∥B，试判断∥AED与∥ACB的大小关系，并说明理由.18.已知，AB∥CD，试解决下列问题：(1)如图1所示，∥1+∥2=___________;(2)如图2所示，∥1+∥2+∥3=__________；(3)如图3所示，∥1+∥2+∥3+∥4=___________；(4)如图4所示，试探究∥1+∥2+∥3+∥4+…+∥n=___________.图1 图2 图3 图4中考实战演练19.如图所示，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论中，错误的是（）A.∥EMB=∥ENDB.∥BMN=∥MNCC.∥CNH=∥BPGD.∥DNG=∥AME20.如图1所示是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是__________度.开放应用探究21.已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点.(1)如图1所示，∥BME，∥E，∥END的数量关系为_____________________;(直接写出答案)(2)如图2所示，∥BME=m∥，EF平分∥MEN，NP平分∥END，EQ∥NP，求∥FEQ的度数.(用含m的式子表示)(3)如图3所示，点G为CD上一点，∥BMN=n•∥EMN，∥GEK=n•∥GEM，EH∥MN 交AB于点H，探究∥GEK，∥BMN，∥GEH之间的数量关系(用含n的式子表示)。

浙教版七年级数学下教案全集

1.1 平行线教学目标：1．理解平行线的意义，了解同一平面两条直线的位置关系；2．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；3．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、错角与同旁角；重点：平行线的概念与平行公理；难点：对平行公理的理解．教学过程：一、新课导入：1.相交线是如何定义的？2.平面两条直线的位置关系除相交外，还有哪些呢？二、解决新知：1.平行线概念：在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．（画出图形）2.同一平面两条直线的位置关系有两种：（1）；（2）．3.对平行线概念的理解：两个关键：一是“”（举例说明）；二是“”．一个前提：对直线而言．4.平行线的画法:平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．5.平行公理:过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的平行线，能画出几条？.C.Bm回忆垂线性质：平行公理：. 上图中过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果b∥a，c∥a，那么． cba三.拓展应用1.读下列语句，并画出图形：（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；（2）直线AB,CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于点E ；2.如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有对，错角有对，同旁角有对．1.2同位角错角同旁角〖教学目标〗◆1、了解同位角、错角、同旁角的意义。

◆2、会在简单的图形中辨认同位角、错角、同旁角。

第二节平行线的性质和判定(含答案)...七年级数学学而思

第二节平行线的性质和判定1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a∥b；注：必须强调在同一平面内，否则无法说明平行．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，注：点必须在直线外，而不能在直线上； (3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行，即“平行于同一条直线的两直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行，注：判断同一平面内两条直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行． 3．两直线平行的判定方法 (1)平行线的定义； (2)平行公理的推论；(3)同位角相等，两直线平行； (4)内错角相等，两直线平行； (5)同旁内角互补，两直线平行． 4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补．1.平行的判定和证明：证明平行一般从寻找相等的同位角，内错角或互补的同旁内角出发，而这些角关系的获得条件一般有： ①已知平行条件； ②三角形内角和； ③角平分线； ④垂直；⑤互余互补关系．例1．如图5-2-1所示，如果,//,//CD EF EF AB 请写出一个关于3,2,1∠∠∠的等量关系125-- 225-- 325--检测1．如图5-2-2所示，已知a ‖b,0701=∠,,402ο=∠则=∠3 例2．如图5-2-3所示，已知,9021ο=∠+∠,,//AG CD FC DE ⊥求证：.//FH AG检测2．如图5-2-4所示，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件能使b a //的是;61∠=∠①;62∠=∠②;31∠=∠③;75∠=∠④+∠2⑤;1807ο=∠.71∠=∠⑥例3．（江西兴国县期末）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m 外一点P 画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．525--观察图5-2-5所示，经两次折叠展开后折痕CD 所在的直线即为过点P 的已知直线m 的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A.①② B．②③ C ．③④ D ．①④425--检测3．如图5-2-6所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置，若,60ο=∠EFB 则=∠AED例4．已知，,100,//ο=∠=∠A B OA BC 试回答下列问题：725-- 825-- 925--(1)如图5-2-7所示，求证：;//AC OB(2)如图5-2-8所示，若点E ，F 在线段BC 上，且满足，AOC FOC ∠=∠并且OE 平分.BOF ∠则EOC ∠的度数等于（在横线上填上答案即可）；(3)在(2)的条件下，若平行移动AC ，如图5-2-9，那么OFB OCB ∠∠:的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； (4)在(3)的条件下，如果平行移动AC 的过程中，若使,OCA OEB ∠=∠此时OCA ∠度数等于（在横线上填上答案即可）．检测4．（广东澄海区期末）如图5 -2 -10所示，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补．(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由； (2)如图5-2 -11所示，BEF ∠与FFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ．点H 是MN 上一点，且GHlEG ，求证：;//GH PF(3)如图5-2 -12所示，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使=∠PHK ,HPK ∠作PQ 平分EPK ∠问HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由，625---122-5-5--1110225-第二节平行线的性质和判定（建议用时 35分钟）实战演练1．（浙江绍兴期末）如图5-2-1所示，,//,////DB EG DC EF AB 则图中与1∠相等的角(1∠除外）共有( )6.A 个 5.B 个 4.C 个 3.D 个2．（浙江金华中考）以下四种沿AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线以，6互相平行的是( )125-- 225-- 325-- 425-- 525--A ．如图5-2-2所示，展开后测得21∠=∠B ．如图5-2-3所示，展开后测得4321∠=∠∠=∠且C ．如图5-2-4所示，测得21∠=∠D ．如图5-2-5所示，展开后再沿CD 折叠，两条折痕的交点为0，测得,OB OA =OD =OC3．如图5-2-6所示是五条胡同的路线图，),(F F D C B A →--→→→经过测量得到C B ∠=∠,70ο=,110ο=∠=∠E D 则图中互相平行的线有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对625-- 725-- 825-- 925--4．（山东聊城中考）如图5-2-7所示，,//CD AB ,68ο=∠B ,20ο=∠E 则D ∠的度数为（）ο28.A o B 38. ο48.C ο88.D5．如图5-2-8所示，HG EF BC AD ,,//交于点HI P ,平分,GHF ∠PM 平分EPH ∠HI 交PM 的反向延长线于Q ，//PN,HI 下列结论：,GEP EGP ∠=∠①若则;//AD PM 2=∠GEP ②;MPN ∠,2Q FPN ∠=∠③其中正确的是( )①②③.A ①③.B ②③.C ①②.D6，（山东聊城模拟）如图5-2-9所示，在四边形ABCD 中，=∠B ,120ο,50oD =∠将C ∠向内折出一个,PRC ∆恰好使,//AB CP //CR ,AD 则C ∠的度数是( )ο80.A ο85.B ο95.C o D 110.7．如图5 -2 - 10所示，已知,AB GF ⊥,21∠=∠,B AGH ∠=∠则下列结论：;//BC GH ①;HGM D ∠=∠②;//FG DE ③,AB HE ⊥④其中正确的是( )①②⋅A ③ ②③④⋅B ①③④⋅C ①②③④⋅D1125-- 1225--8．（广西玉州区期末）如图5 -2 - 11所示，已知BAD CD AB ∠,//和BCD ∠的平分线交于点E ．,1001ο=∠,m BAD =∠ο则EC A ∠的度数为9，如图5 -2 - 12所示，直线,//21l l 若,125ο=∠A ,85ο=∠B 则=∠+∠21 10．如图 5 -2 - 13所示，已知,180ο=∠+∠BCD B .D B ∠=∠求证：.DFE E ∠=∠证明：οΘ180=∠+∠BCD B （）CD AB //∴（）=∠∴B （两直线平行，同位角相等）， D B ∠=∠Θ（已知）， D DCE ∠=∠∴（等量代换）， BF AD //∴（）DFE E ∠=∠∴（）11．如图5 -2 - 14所示，直线AB ，CD 被EF 所截，,21∠=∠,BME CNF ∠=∠求证：AB ,//CD .//NQ MP12.（山东招远市期耒）如图5-2 -15所示，点D ，E 分别在ABC ∆的边AB ，AC 上，点F 在DC 上，且,18021ο=∠+∠.3B ∠=∠求证：.//BC DE1325--1425--1525--13.小明将一直角三角板(ο30=∠A )放在如图5 -2 - 16所示的位置，且.21C ∠=∠+∠ (1)证明：;//b a(2)经测量知,1A ∠=∠求;2∠(3)如图5-2 - 17所示，将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且CEH CEM ∠=∠给出下列结论：BDFMEG∠∠①的值不变：BDF MEG ∠-∠②的值不变，可以证明，其中只有一个是正确的，请你作出正确的选择并直接写出此值，1625-- 1725--14.如图5-2-18所示，.F D B E C A ∠+∠+∠=∠+∠+∠求证：.//CD AF15.问题情景：如图5-2 - 19所示，,//CD AB ,130oPAB =∠,120ο=∠PCD 求APC ∠的度数． (1)天天同学看过图形后立即口答出：,110oAPC =∠请你补全他的推理依据．如图5 -2 - 20所示，过点P 作,//AB PE,//CD AB ΘCD AB PE ////∴（ .180ο=∠+∠∴APE Aο180=∠+∠CPE C （）,120,130οΘ=∠=∠PCD PAB O.60.50ο=∠=∴⊥CPE APE o1825--ο110=∠+∠=∠∴CPE APE APC （）问题迁移：(2)如图5-2- 21所示，,//BC AD 当点P 在A ，B 两点之间运动时，,α∠=∠ADP ,β∠=∠BCP 求βα∠∠∠,与CPD 之间有何数量关系？请说明理由．(3)在(2)的条件下，如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，0三点不重合），请你直接写出CPD ∠与βα∠∠,之间的数量关系．1925-- 2025-- 2125--拓展创新16.（辽宁鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．(1)如图5 -2 - 22所示，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被6反射出的光线n 与光线m 平行，且,381ο=∠则=∠2 ;=∠3(2)在(1)中，若ο551=∠则=∠3 ;若,401ο=∠则=∠3(3)由(1)．(2)猜想：当两平面镜a ，b 的夹角=∠3 时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a ，b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗？拓展1．有一款灯，内有两面镜子AB ，BC ，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图5 -2 - 23、图5-2 -24中的.43,21∠=∠∠=∠2225--2325-- 2425--(1)如图5 -2 - 23所示，当BC AB ⊥时，说明为什么进入灯内的光线EF 与离开灯的光线GH 互相平行； (2)如图5-2 - 24所示，若两面镜子的夹角为)900(οο<<αα时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为),900(οο<<ββ试探索α与β的数量关系；(3)若两面镜子的夹角为),18090(οο<<αα进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为).900(οο<<ββ直接写出α与β的数量关系．拓展2．（湖北武昌区期末）一个长方形台球桌面ABCD )90,//,//(ο=∠A BC AD DC AB 如图5 -2 - 25所示，已知台球在与台球桌边沿碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反射线路与桌边的夹角，即.21∠=∠(1)台球经过如图5 -2 - 26所示的两次反弹后，撞击线路EF ，第二次反弹线路GH ，求证：;//GH EF(2)台球经过如图5 -2 - 27所示的两次反弹后，撞击线路EF 和第二次反弹线路GH 是否仍然平行，给出你的结论并说明理由．2525-- 2625-- 2725--极限挑战17．平面上有100条直线，其中有20条是互相平行的，问这100条直线最多能将平面分成部分，课堂答案培优答案。

七年级数学培优-平行线四大模型2

平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：假设∠1=∠2，那么AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕；假设∠1=∠3，那么AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕；假设∠1+ ∠4= 180°，那么AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔〞模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：假设∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，那么AB∥CD.模型二“猪蹄〞模型〔M模型〕点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：假设∠P=∠AEP+∠CFP，那么AB∥CD.模型三“臭脚〞模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：假设∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，那么AB∥CD.模型四“骨折〞模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：假设∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，那么AB∥CD.稳固练习平行线四大模型证明（1）AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．〔3〕AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，那么∠E的度数是．(3)如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，那么∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，那么∠P= ．练(1)如下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，那么∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．那么∠C= .例2如图，AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)假设n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)假设n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系〔用含n 的等式表示〕.例3如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练〔武昌七校2021 -2021 七下期中〕如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F那么∠F的度数为〔〕．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，那么∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，那么∠AEF+ ∠CHG= .例6 ∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如下图，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。

平行线与相交线的性质与关系

平行线与相交线的性质与关系在几何学中，平行线和相交线是重要的基本概念。

平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线，而相交线是指在同一个平面内相交于一点的两条直线。

本文将探讨平行线和相交线之间的性质和关系。

1. 平行线的性质平行线的性质主要有以下几个方面：1.1 平行线具有等距离性质。

即同平面上的两条平行线上的任意两点之间的距离相等。

1.2 平行线具有平行传递性。

若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c平行。

1.3 平行线具有垂直传递性。

若直线a与直线b平行，直线b与直线c垂直，则直线a与直线c垂直。

1.4 平行线与平面直角相交线垂直。

若直线a与直线b平行，直线b 与平面P内的直角相交线c垂直，则直线a与平面P垂直。

2. 相交线的性质相交线的性质主要有以下几个方面：2.1 相交线的交点只有一个。

在同一个平面内，两条不平行的直线一定相交于一点。

2.2 相交线的交点分割线段成比例。

若在同一个平面内，直线a与直线b相交于点O，直线c与直线b相交于点D，那么线段OA与线段OD的比等于线段CA与线段CD的比。

2.3 平行线与相交线之间具有对应角相等性质。

若直线a与直线b平行，直线c与直线b相交于点O，那么角AOB与角COD对应相等。

2.4 相交线的夹角具有特殊关系。

若直线a与直线b相交于点O，直线c与直线b相交于点D，且角AOB等于角COD，那么直线a与直线c平行。

3. 平行线和相交线的关系3.1 平行线与相交线的关系是互逆的。

即两条平行线与同一条相交线之间的关系互为逆命题。

例如，如果直线a与直线b平行，则直线a与直线c的关系是平行或共线。

3.2 平行线和相交线的关系可以通过平行线截切相似三角形来应用。

在平行线截切两条相交线的情况下，可以得到相似三角形，进而推导出一些角度和边长的关系。

3.3 平行线和相交线的性质与三角形内角和的关系有关。

在一个三角形中，若直线与其中两边平行且截取的线段在另一边上，则两线段之间的比等于被截取边上两角对应角的比。

七级下册数学重难点归纳

第一章平行线1.1 平行线（一课时）知识点一平行线的概念（重点）知识点二平行线的画法知识点三平行线的性质（重点）1.2同位角、内错角、同旁内角（一课时）知识点一认识“三线八角”知识点二同位角、内错角、同旁内角的识别（难点）1.3平行线的判定知识点一平行线的判定方法一（重点）知识点二平行线的判定方法二（重点）知识点三平行线的判定方法三（重点）1.4平行线的性质知识点一平行线的性质（重点）知识点二平行线的性质与判定的区别（难点）备注（1.3和1.4总计需要三课时）1.5图形的平移（一课时）知识点一平移的概念（重点）知识点二平移作图（难点）知识点三平移的性质本章归纳复习，各种题型的举例和讲解（一课时）第二章二元一次方程组2.1二元一次方程（一课时）知识点一二元一次方程的概念（重点）知识点二二元一次方程的解（重点）二元一次方程应用的四中题型（重点）2.2二元一次方程组（一课时）知识点一二元一次方程组的概念（重点）知识点二二元一次方程组的解（重点）知识点三用列表法球二元一次方程组的解（难点）二元一次方程组的三种题型的应用（重点）2.3解二元一次方程组（一课时）知识点一代入消元法（重点）知识点二加减消元法（重点）二元一次方程组的两种应用2.4二元一次组的应用（1~~~2课时）知识点一二元一次方程组解应用题的意义（重点）知识点二列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤（难点）知识点三设未知数的几种常见方法（重点）四种经典例题的讲解与做题*2.5三元一次方程组及其解法（1~~~2课时）知识点一三元一次方程组的解法知识点二三元一次方程组的解法知识点三三元一次方程组的应用四种经典题型的讲解与练习本章归纳（一课时）第三章整式的乘除3.1同底数幂的乘法（一课时）知识点一同底数幂的乘法法则（重点）知识点二幂的乘方法则（重点）知识点三积的乘方法则（重点）三种题型的将结合应用3.2单项式的乘法（1~~~2课时）知识点一单项式与单项式的相乘（重点）知识点二单项式与多项式的相乘（难点）四种经典例题的讲解和练习3.3多项式的乘法（1~~~2课时）知识点一多项式与多项式相乘的法则（重点）知识点二整式的乘法（难点）四种经典例题的讲解与练习3.4乘法公式（1~~2课时0知识点一平方差公式（重点）知识点二两数和的完全平方公式（重点）知识点三两数差的完全平方公式（重点）四种经典例题的讲解与练习3.5整式的化简知识点一整式化简的一般步骤（重点）知识点二化简求值（重点）三种经典例题的讲解与练习3.6同底数幂的除法知识点一同底数幂相处的法则（重点）知识点二零指数幂的意义（重点）知识点三负整数指数幂的意义（重点）知识点四科学寄书法（重点）两种经典例题的讲解与练习3.7整式的除法知识点一单项式除以单项式的法则（重点）知识点二多项式除以单项式的法则（重点）三种经典例题的讲解与练习本章归纳两种例题的分析第四章因式分解4.1因式分解知识点一因式分解的概念三个经典题型的讲解与练习4.2提取公因式法知识点一公因式的定义及其确定知识点二用提取公因式法因式分解（重点）知识点三添括号法则四个典型例题的讲解与练习4.3用乘法公式分解因式知识点一运用平方差公式分解因式（重点）知识点二运用完全平方差公式分解因式（重点）知识点三综合运用提取公因式和公式法分解因式（难点）三个典型例题的讲解与练习本章归纳与综合练习四个经典例题的讲解与练习第五章分式5.1分式知识点一分式的概念知识点二分式有无意义记分式值为零的条件两个经典例题的讲解与练习5.2分式的基本性质知识点一分式的基本性质（重点）知识点二分式的约分（难点）三个经典例题的讲解与练习5.3分式的乘除知识点一分式的乘除（重点）知识点二分式的乘除混合运算（难点）两个经典例题的讲解与练习5.4分式的加减知识点一同分母分式加减法法则（重点）知识点二分式的通分知识点三异分母分式加减法法则（重难点）知识点四分式的加、减、乘、除混合运算两个经典题型的讲解与练习5.5分式方程知识点一分式方程的概念知识点二分式方程的解法（重点）知识点三增根的概念（难点）五个经典题型的讲解与练习本章归纳练习四个题型的讲解与练习第六章数据域统计图表6.1数据的收集与整理知识点一数据的收集途径（重点）知识点二数据的整理（重点）知识点三统计表的组成（重点）知识点四统计表的设计（难点）知识点五总体、个体、样本、样本容量（重点）六个经典题型的讲解与练习6.2条形统计图和折线统计图知识点一条形统计图（重点）知识点二折线统计图（重点）三个题型的讲解与练习6.3扇形统计图知识点一扇形统计图（重点）知识点二绘制扇形统计图（重点）知识点三统计图的选择（难点）三个经典题型的讲解与练习6.4频数与频率知识点一频数（重点）知识点二频数统计表（重点）知识点三频率（重点）两个经典题型的讲解练习6.5频数直方图知识点一频数直方图两个经典题型的讲解与练习本章归纳四个经典例题的讲解与练习。

平行线的性质

P
C
1
3
D
4 2
A
B
通过实践，猜想１成立，并且称为公理．
平行线性质１：两直线平行，同位角相等．
直线a，b被直线c所截，a∥b．
求证：∠１=∠２
证明：∵a∥b(已知) ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠3（对顶角相等）
3
a １
b
2
c
∴∠1=∠2（等量代换）通过证明，猜想２是成立，并称为定理．
知识回顾：
= （1）∵∠1_____∠ 2( 已知），
∴
a // b （内错角相等，两直线平行） a // b a // b
（同位角相等，两直线平行）
（2）∵∠2_____∠3 (已知）， =
∴
∴
（3）∵∠4+∠2= 1800（已知）， ___ （同旁内角互补，两直线平行）
１．两直线平行，同位角有什么关系呢２．两直线平行，内错角有什么关系呢３．两直线平行，同旁内角有什么关系呢
平行线性质２：两直线平行，内错角相等．
如图：如果a//b，那么2与 3有什么关系呢？
a
2 3Leabharlann b通过证明，我们得到平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。
例题：如下图，a∥b∥c，直线l与a、b、c 相交，那么与∠α相等的角有：（ D ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
1.如图１，AB∥CD, ∠1=45°， ∠D= ∠C,依次求出∠Ｄ， ∠Ｃ， ∠Ｂ的度数． C D
分析：首先从已知不难发现EF∥CD，再从平行的性质可以找到∠2 的同位角∠DCB，此时本题的思路就基本打开了，∠1和 ∠DCB是内错角，所以DG∥BC。
练习：如图，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点， FE⊥AB，垂足为E，且∠1＝∠2，∠3＝80°，求∠BCA的度数