2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营

．
4.
有一个圆柱形水杯（厚度忽略不计），其底面直径为
8 ，高为
√ 83
，水杯中有适量水，缓慢倾斜水杯至水
恰好溢出，此时水杯的母线与水平面的夹角为 π ．继续缓慢倾斜水杯，停止倒水时水杯的母线与水平面
的夹角为 π ，则所倒出的水的体积为
3 ．
6
5.
已知数列
{(−1)n
·
3n n(n +
+2 1)2n+1 }
．
−
8. 数列 {xn} 满足： x1 = a, x2 = b ，且 xn+2 = 3xn+1 + 2xn ，若存在整数 k 3 使得 x k = 2019 ，则这
样的有序正整数对 (a, b) 的个数为
．
二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9. 已知函数 f(x) = a cos x + b cos 2x + c cos 3x ，且 f(x) 1 − 恒成立，求 a b + c 的最大值．
长春嘉年华 G 共有 101 个景点，任意两个景点之间总可以通过一些栈道相连，且每条栈道恰连接两个 景点，每两个景点之间至多有一条栈道．如果从某个景点出发，沿一系列不同栈道经过不同景点之后回到 了该景点，那么我们把这样的一系列栈道称为” 环线”，并将环线中所含的栈道条数定义为环线的“长度”． 若该嘉年华 G 的每条栈道都落在一个长度至多为 c(G) 的环线上，且栈道总数为 e(G) ．求 c(G) + e(G) 的最小可能值．
F1
且倾斜角为
α
的直线
l
与
C
交于 A, B 两点．若 cos α = 5 , 13
5F# 1A» = 8B# F»1 ，且
F2
到直线
AB
的距离为
72 ． 13
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 P, Q 是 C 的右准线上的两点，且 | P Q| = 3 ，求 △F1P Q 内切圆圆心 M 的轨迹方程．
．
1 − x2 + 1
2.
已知
1 − 4sin α tan α
= √ 3 ，其中
α
∈
(0,
π 2
)
，则
α=
．
3. 已知双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
=
1 ， A1 , A2
是
C
的左右顶点， F
是
C
的焦点．以坐标原点
O 为圆心，
| OF | 为半径的圆与 C 的渐近线的一个交点为 B ．若 ∠A1 BA2 = 60◦ ，则 C 的离心率为
( 3. 已知函数 f (x) = A sin(ωx + ϕ) A ̸= 0,
____ ．
)
()
ω
>
0, 0
<
ϕ
<
π 2
．若 f
5π 6
+ f (0) = 0 ，则 ω 的最小值为
4.
已知双曲线
x2 y2 Γ : a2 − b2
= 1(a, b > 0) ， F
为
Γ
的右焦点，不过
F
的直线
l
与
Γ
的右准线及
9. 已知 f (x) = loga x(a > 0, a ̸= 1), g(x) = x2 − 6x + 9 ，若存在唯一实数 x 使得 f(g(x)) = g(f (x)) = 0 ， 求实数 a 的值．
10. 已知抛物线 Γ : y2 = 2px(p > 0) ，焦点为 F ，过 Γ 外一点 Q（不在 x 轴上）作 Γ 的两条切线，切点分 别为 A, B ，直线 QA, QB 分别交 y 轴于 C, D 两点， △QAB 的外心为 M ．证明： F M 为 △F CD 外接圆的切线．
7. 在正四面体 P—− ABC 中，点 D, E, F 分别在棱 P A, P B, P C 上，若 P E ≠ P F ，且 DE = DF = √ 7, EF = 2 ，则四面体 P − DEF 的体积为 ______.
{
பைடு நூலகம்
}
8. 已知集合 T = n|n = 5a + 5b, 0 a b 30, a, b ∈ Z ，若从集合 T 中随机出一个数，则该数是 9 的
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（一）
一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分）
1. 已知集合 A = {x| loga(ax − 1) > 1} ，若 3 ∈ A ，则 a 的取值范围是________．
2. 在 △ABC 中， A = 30◦ ，O 为 △ABC 的外心，且 O# A» = λO# B» + µO# C» ，则 λ + µ 的最小值为______.
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（一）
一、（本题满分40分）
给定正整数
n ，设实数
a1, a2, · · · , an
与正实数
22
b1, b2, · · · , bn
使
∑n
i=1
ai
∏n (max{0, ai })2
e
bi
的最小值．
i=1
8
且
∑n
i=1
b
4 ，求
二、（本题满分40分）
如图，点 O, I 分别为 △ABC 外心及内心， N 为弧 BùAC 中点，直线 N I 交 BC 于点 K ，直线
N O 交 BC 与点 M ，交 ⊙O 于点 S ，直线 IO 交 ⊙O 于 D, T 两点．证明：若 AD 平分 N I ，则 S, K, T 三点共线．
三、（本题满分50分） 考虑正六十边形的 60 个顶点，将其中 10 个染红色，另外 20 个染黄色，其余 30 个染蓝色．求最小的 正整数 m ，使得总能找到 m 条直线将平面分成若干区域，满足每个区域中所有点的颜色相同．
倍数的概率为 ______.
二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9. 若复数 z1 , z2 满足 |z1 | < 1,|z2| < 1, z1 + z2 为实数，且 z1 + z2 + z1z2 = 0 ．求 z1z2 的取值范围．
10. 已知数列 {an} 满足 a1 = 1,
三、（本题满分50分） 已知圆 Γ1 和圆 Γ2 交于 A, B 两点，点 C, D 分别在 Γ1, Γ2 上且线段 CD 交 Γ1 于点 E （异于点 C ），直线 BC 交 Γ2 于点 F （异于点 B ），直线 DF 与直线 EB 交于点 G ，直线 CG 与直线 AB 交于点 P ．证明：若 E 为 CD 中点，则直线 P F 与直线 CA 的交点 Q 在 Γ2 上．
．
ab
3. 已知椭圆
x2 y2 + =1
的右焦点为
F ，上顶点为
A，P
是椭圆上位于第一象限内的动点，则
△AP F
54
面积的最大值为
．
4. 正四面体 ABCD 的棱长为 2 ，则与此正四面体的四个顶点距离相等的所有平面截这个四面体的外接球
所得截面面积的总和为
．
5. 已知
sin α + 2 cos β = 2 ，则 y = sin
三、（本题满分50分）
n∏1
n∏1
给定素数 p ，设 n 为不小于 2 的正整数．若存在非负整数 α ，满足 pα | Cni 且 pα+1
Cni ．求
证： α
i=1
i=1
⌈ n logp
⌉ n
−
n p
−1 −− 1
，并指出等号成立时
n
的值．注： ⌈x⌉
表示不小于
x
的最小整数．
四、（本题满分50分）
一、（本题满分40分） 对正整数 n ，记 D(n) 为不超过 n 且与 n 互素的正整数组成的集合．例如 D(12) = {1, 5, 7, 11} ．求 所有正整数 n ，使得 D(n) 中所有元素可以排成一个等差数列．
二、（本题满分40分） 已知集合 X = {1, 2, · · · , 100} ，问是否存在 X 的 1111 个不同的子集，使得它们当中任选两个（允许相 同），其交集的元素个数为完全平方数．注：完全平方数指的是 0, 1, 4, 9, 16, · · ·
|
#b»|
=
|
#c»|
=
2,
#» b
·
#c»
=
0,
λ
∈
(0,
1)
，则
#a»
−
#» b
+
λ(
#» b
−
#c»)
+
1 2
#c»
+
(1
−
λ)(
#» b
−
#c»)
的
最小值为
．
8. 复数 z 满足 |z| = 1 ，则 P = |z5 + #z»3 + 6z| − 2|z4 + 1| 的最小值为
．
二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
a2 = 1,
an+1
=
n2 a2n + 5 (n 2 − 1) an− 1
(n
>
1) ，问是否存在实数
x, y(x ≠ 0)
使
得
bn+2 + bn bn+1
为常值数列，其中
bn = (nx + y)an ．
11.
设椭圆
C
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a > b > 0)
的左右焦点分别为
F1, F2 ，过
四、（本题满分50分） 数列 {an} 满足： a1 = 1 ，且对任意的正整数 k ，都有 ak, ak+1, ak+2 能构成某个三角形的三边长．若
四、（本题满分50分） 是否存在全体正整数的一个排列，使得对任意的整数 l(l 2) ，排列中任意连续 l 个数的和都不能写成 形如 ab 的数，其中 a, b 均是不小于 2 的正整数？
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）
一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分）
√
√
1. 函数 y = 1√+ x + 1 − x 的值域为
二、（本题满分40分）
给定正整数 n ，求最小的实数 λ ，使得存在区间 [0, 1] 内的实数 a1, a2, · · · , an ，对于满足 0 x1 x2 · · · xn 1 的任意实数 xi(i = 1, 2, · · · , n) ，都有 min1 i n |xi − ai || λ ．
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）
一、（本题满分40分） 已知锐角 △ABC 的外接圆为 Γ ，过 B, C 分别作圆 Γ 的切线交于点 P ， P 在直线 BC, AC, AB 上 的投影分别为 D, E, F ， △DEF 的外接圆与 BC 交于点 N （不同于点 D ）， A 在 BC 上的投影为 M ．求证： BN = CM ．
11. 已知数列 {an}, {bn} 满足 a1 = 1, b1 = 2 ，且 an+1bn = 1 + an + anbn, bn+1an = 1 + bn + anbn ．求证： 数列 {[an]} 从某一项起一定是常数数列．（ [x] 表示不超过 x 的最大整数）
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三）
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三）
一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分）
1. 已知集合 A = {x|5x − a 0}, B = {x | 6x − b > 0} ，其中 a, b 为正整数．若 A B N = {2, 3, 4} ，则
整数对 (a, b) 的个数为
．
2. 已知 a, b 均为正实数，则 (a + b)(2 + 1 ) 的最小值为
π α+
+ 2 sin
π β+
的值域为
．
4
4
6. 已知集合 A = {1, 2, · · · , 10} ，定义函数 f : A → A 满足：（1）对于任意 x, y ∈ A ，若 x y ，则
f (x) f (y) ；（2） f (3) = 4 ．这样的函数 f 的个数为
．
7.
已知
|
#a»|
=
1,
的前
n
项和为
Sn ，则
S18 =
．
6.
已知复数
z 1, z2
满足
| z1 | = |z1 + 2z2 | ，且
z1z2 = a(2 − i) ，其中
a 是非零实数．则
z2 z1
=
．
7. 已知向量 a#» = (x,1) , #b» = (2, y ), #c» = (1, 1) ，且 #a» #b» 与 #c» 共线．则 | #a»| + 2 | #b»| 的最小值为
10. 已知抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F ，点 A(x1, y1), B(x2, y2) 在 C 上，且 x1 +x2 = 4 ，分别以 AF, BF 为直径的两个圆的公共弦所在直线为 l ， l 交 C 于 M, N 两点，求 | M N | 的取值范围．
11. 已知正实数 x, y, z 满足 (x + y + z)xyz = 4 ，求 (x + y)2 + 2(y + z)2 + 3(z + x)2 的最小值．
Γ
的
右支依次交于点 C, A, B ．若 ∠F AB = 50◦, ∠F BA = 20◦ ．则 ∠F CA = ______.
¨
5. 集合 A = (x, y)|(x − t)2 + y2
( t )2 1 − , |t| 2
«
2 所表示平面区域的面积为 ______.
6. 已知正数 a, b, c 满足 a + b + c = 13 ，则 a2 + b3 + c4 + 2019 的最小值为 ______. 10b + 123c + 26