5、直角三角形全等判定(HL)
直角三角形全等的判定(HL)
(3)因为”HL”仅适用直角三角形,A
书写格式应为:
C B
∵在Rt△ ABC 与Rt△ DEF中
AB =DE AC=DF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
D
E F
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 将上述条件标注在图中，你能说明BC与 BD相等吗？
C 解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
C
N
C ⑷ 连接AB. M B
N
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射 线CN于点A; M B
C
A
N
C
A
N
直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.
在使用“HL”时,同学们应注意什么?
(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
(2)注意对应相等.
画一画：
画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，AB=4cm,AC=3cm. （1）：你能试着画出来吗？ （2）：把画好的Rt△ACB与同桌交流一下,能否完全 重合? (3)：你能写出画法吗?
按照下面的步骤做一做： △ABC就是所求/作的三角形吗？
⑴ 作∠MCN=90°; M ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; M B
小结：
这节课你有什么收获呢？与 你的同伴进行交流
B
A
F E G
C
D
变式2：
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
想一想：BD平分EF吗?
B
E A F G
C
D
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定 全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”. 判断直角 三角形全 等条件 三边对应相等 SSS 一锐角和它的邻边对应相等 ASA 一锐角和它的对边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS 斜边和一条直角边对应相等 HL
《直角三角形全等的判定(HL)》教案
《直角三角形全等的判定》教学设计中心发言人：DH教学目标:（1）明确两个直角三角形的全等，可以利用“边边边，边角边，角边角，角角边”来证明；但是由于直角相等，所以两个直角三角形全等的判定，只需要增加两个条件即可。
（2）探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学重点：探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学难点：（1）满足“边边角”分别对应相等的两个三角形不一定全等，但满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形”符合“边边角”的条件，两个直角三角形却是全等的。
（2）要注意用HL直角三角形全等的证明格式集体备教教学过程：1、复习与回顾：（1）判定两个三角形全等的方法是，，，（2）回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。
2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法：如图，A B⊥BE于B，D E⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），个性补教AB CE FD根据（用简写法）。
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（4）若∠A=∠D，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边，一锐角一斜边，两直角边，共四种情形) 3、探究：一斜边一直角边对应相等，两直角三角形是否全等？（1）情景引入如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
5 直角三角形全等的判定(HL)
明德学校2016-2017学年第一学期（八）年级（数学）学科备课组教案参与教师张运海、许萍、周玲芳、张红勋授课时间（9）月 (29) 日课时第（1）课时课题直角三角形全等的判定（HL）课型新授学习目标1. 理解并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”2能灵活选择方法判定两个三角形全等；重点运用HL判定直角三角形全等难点寻找直角三角形全等的条件教学具准备三角板圆规主备课人许萍教学过程一．复习回顾说一说（2分钟）三角形全等的判定方法有哪些？二．新课讲解（一）说一说（5分钟）两个直角三角形（1）已经具备一个_______相等的条件.（2）还要满足____个条件，这两个直角三角形就全等。
(3)这两个条件可以是________和________，根据是_________.语言描述：___________________________________. (二) 议一议如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么，它们全等吗？（1）动手画一画：（5分钟）看书本P42的探究5，然后按照探究5的方法求作新的一个直角三角形，两个直角三角形是否全等？（2）得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“斜边、直角边”或“HL ” （3）几何语言（三）练一练（5分钟）如图,AC ⊥BC,BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D, AC=BD. 求证：BC ﹦ADBA CD三、课堂检测(5分钟)1.如图，∠ABD=∠ACD=90°，BD=CD 求证： ∠BAD=∠CADDCBAC'B'A'C BA第1题 第2题 2.如图，已知在Rt △ABC 与Rt △A'B'C'中∠C=∠C'=90°,AC=A'C',BC=B'C',则Rt △ABC 与Rt △A'B'C'全等的根据是( ) A 、 HL B 、 ASA C 、 SAS D 、 SSA3.课本43页练习第2题课外作业学习辅导第27页： 第5课时课后 反思。
直角三角形全等的判定(HL)
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
斜边和一条直角边对应相等→? 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。
E P D C
Q
F
作业设计
Ｐ１０９ 练习１﹑２ 同步（六）
同步训练 Ｐ８２
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.
B
5cm
A
4cm
C
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
∴△ABC和△ ABC为直角三角形 A
∵
AB= AB BC= BC
（已知）
学会用“HL”说明直角三角形全等
学会用“HL”说明直角三角形全等一般三角形全等判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）对于直角三角形同样适用，除此之外，还有一种特殊的方法“HL”，即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．下面举例说明“HL”的应用．一、说明直线平行例1如图1 ，已知AE⊥BD，CF⊥BD，且AD=BC，BE=DF，试判断AD 和BC的位置关系.说明你的结论．图1分析：只要说明△AED≌△CBF，就可以得到∠D=∠B，进一步得到AD//BC．解：AD//BC．因为BE=DF，所以BE+EF=DF+E，即BF=DE.在Rt△ADE和Rt△CAF中，AD=CB，DE=BF，所以Rt△ADE≌Rt△CAF（HL），所以∠D=∠B，所以AD//BC．评注：本题是探索两直线的位置关系，解决问题时，可先通过观察获得猜想，然后再尝试证明．二、说明角相等例2如图2，∠ACB=∠BDA=90°，AD=BC，AB//CD．试说明：∠1=∠2．分析：要证明∠1=∠2，根据AB//CD，可得∠1=∠DBA，∠2=∠CAB，所以只要证明∠CAB=∠DBA即可，为此要证明Rt△ABC≌Rt△BDA，根据已知AD=BC并结合公共边AB=BA可以利用“HL”证明两个三角形全等．图2解：在Rt△ABC和Rt△BAD中，因为∠ACB=∠BDA=90°，BC=AD，AB=BA，所以Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），所以∠BAC=∠ABD，又AB//CD，所以∠1=∠DBA，∠2=∠CAB，所以∠1=∠2．评注：本题在证明两个三角形全等时，利用了公共边AB=BA这一隐含条件，注意不要写成AB=AB．三、证垂直例3如图3，AC⊥BD，AC=DC，CB=CE，试说明：DE⊥AB．分析：观察图形，发现已知AC=DC，CB=CE就在Rt△ACB和Rt△DCE中，恰好符合“HL”的条件，可得Rt△ACB≌Rt△DCE。
而要证DE⊥AB，只需证∠B+∠D=90°，由已知可得∠A+∠B=90°，只需证∠A=∠D，要证∠A=∠D，只需证Rt△ACB≌Rt△DCE图3解：因为AC⊥BD，所以∠ACB=∠DCE=90°，所以∠A+∠B=90°，又在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC=DC，BC=EC，所以Rt△ACB≌Rt△DCE，所以∠A=∠D，所以∠B+∠D=90°，所以DE⊥AB．评注：当图形中有直角三角形存在时，且有斜边与一直角边对应相等时，可考虑利用“HL”证明其全等，又在证明直线垂直问题，可以通过证出三角形中有一个角是直角，或证三角形中两个锐角互余．。
直角三角形全等的判定(HL)教学设计
课题：12.2.4直角三角形全等的判定（HL）课型：新授课【教学内容】直角三角形全等的判定（HL）【学习目标】1.知识与技能：（1）探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”；（2）能够合理选择恰当的直角三角形判定方法来解决问题。
2.过程与方法：经历探索直角三角形全等判定方法的过程，体会利用操作、证明、归纳获得数学结论的过程，培养学生反思的习惯和理性的思维习惯。
3.情感态度与价值观：通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性。
【学习重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL。
【学习难点】灵活应用直角三角形的判定方法解决问题。
【教法学法】探究、讨论、归纳法【教学准备】直角三角形板、两张透明纸、圆规直尺【课时安排】1课时【教学流程】预习提纲1.斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形.（简写成“”或“”）.2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）.3.略.4.课后练习题……（略）.课堂流程教案一、情境导入、目标引领（时间：5分钟）1、判定两个三角形全等的方法有：、、、。
2、这些方法能判定直角三角形全等吗？3、思考：对于两个直角三角形，除了直角相等外，还要添几个条件，这两个直角三角形就全等呢？我们知道直角三角形是特殊的三角形，所以可以用一般三角形全等的判定方法: SSS 、SAS、ASA、AAS。
只要添加一边一锐角或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了。
4.问题：如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？二、自主学习、合作探究（时间：10分钟）探究：动手画一画（小组比较）1．任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°，再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°，B´C´=BC，A´B´= AB。
直角三角形全等的判定(HL)(教学设计)-八年级数学上册同步备课系列(人教版)
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教学设计一、教学目标：1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．二、教学重、难点：重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．三、教学准备：课件、三角尺、圆规等。
四、教学过程：复习回顾1.判定两个三角形全等方法____________________.2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.(1)若∠A=∠D，AB=DE.则与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(2)若∠A=∠D，BC=EF.则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(3)若AB=DE，BC=EF.则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？知识精讲探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=A B.把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).注意：(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△.书写格式为：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，==AB A B BC B C′′′′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)典例解析例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=B D.求证BC=AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠C 与∠D 都是直角，在Rt △ABC 和Rt △BA D 中，BDAC BA AB ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴BC =AD.【针对练习】如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D 、E 两地.DA ⊥AB ，EB ⊥A B.D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？解：AD =BE ，理由如下：依题意可得，AC =BC ，CD =CE .∵DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴∠A =∠B =90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，BCAC CE CD ∴Rt △ACD ≌Rt △BCE (HL)，∴AD =BE.例2.如图，AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，AC=BD ，求证：AD=BC .证明:连接D C.∵AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，∴∠A =∠B =90°，在Rt △ADC 和Rt △BC D 中，AB BA AC BD∴Rt △ADC ≌Rt △BCD (HL)，∴AD =BC.【针对练习】已知：如图，AB ，AD DC ，AB AD ，求证：BC DC ．证明：连接AC,如下图，∵AB ⊥BC,AD ⊥DC,∴∠B =∠D =90°,在Rt △ABC 和Rt △AD C 中，AC AC AD AB∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL),∴BC =BD.例3.如图，已知AD 是△ABC 的角平分线,且BD =CD ，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足分别为E 、F .求证BE =CF.证明:AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，∴∠AED =∠AFD =90°，在△AED 和△AFD 中，AED AFD EAD FAD AD AD∴△AED ≌△AFD (AAS)，∴DE =DF ，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，BD CD DE DF∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴BE =CF .【针对练习】已知：如图，点A 、E 、C 同一条直线上，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝A D ．求证：BE ＝DE．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴在Rt ABC 与Rt ADC 中，AB AD AC AC，∴Rt ABC ADC ≌R t （HL ），∴∠BAE ＝∠DAE ，在ABE △与ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE，∴ABE ADE ≌（SAS ），∴BE ＝DE ．例4.如图，在△AB C 中，∠C ＝90°，AD 是∠CAB 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，点F 在边AC 上，连接DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若DF ＝DB ，试说明∠B 与∠AFD 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若AB ＝m ，AF ＝n ，求BE 的长（用含m ，n 的代数式表示）．（1）证明：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴∠C ＝∠AED ＝90°，在△ACD 和△AE D 中，C AED CAD EAD AD AD，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC ＝AE ；（2）解：∠B +∠AFD ＝180°，理由如下：由（1）得：△ACD ≌△AED ，∴DC ＝DE ，在Rt △CDF 和Rt △ED B 中，DC DE DF DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD+∠AFD＝180°，∴∠B+∠AFD＝180°；（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，∴CF＝BE，由（1）知AC＝AE，∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+BE，∵AC＝AF+CF，∴AB＝AF+2BE，∵AB＝m，AF＝n，∴BE＝12（m﹣n）．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。
直角三角形全等的判定(HL)
S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.S.S.
直角三角 形全等的 S.A.S. 判定
A.S.A.
A.A.S.
H.L.
思考
1. 任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 2. 任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 或 HL 3.任意两边相等的两个直角三角形全等吗？ 不一定全等
B B`
A
C
A`
C`
动动手 画一画
画一个Rt△ABC, 使∠C=90°, 一直角边
CA=4cm, 斜边AB=5cm.
1:画线段CA=4cm; 2:画∠ACN=90°;
把你画的三角形与 邻座同学对照一下 你有什么发现？
N B B
3:以A为圆心，5cm为半径画弧， 交射线CN于B;
4:连结AB;
AA
4cm 4cm
任意两个三角形取3组对应的元素，如果有 边角边 或 角边角 或 角角边 或 边边边 分 别对应相等，那么这两个三角形一定全等。
Ａ Ａ'
Ｂ
Ｃ
Ｂ'
Ｃ'
如果是 角角角 或 边边角 也对应相等，但不能
判断这两个三角形全等。
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角 边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等 的条件，此时这两个直角三角形能否全等？
课本练习
1. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC, 点E、F为垂足， DE=DF, A 求证：△BED≌△CFD.
E F D
B
C
课本练习
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D＝90º ，
求证：BC=BD.
A
C
人教版八年级上册全等三角形的判定(HL)件
_A_B_=_B_A___
_A_C_=_B_D___
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD （ H L ） ∴BC=AD（ 全等三角形对应边相等 )
1、如图，∠B=∠D=90°，BC=CD， ∠BAC=40°，则∠ACD=（ B ）. A．40°B．50° C．60° D．75°
B
A
C
D
2、如图，C是路段AB的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直 线行走，并同时到达D、E两地。DA⊥AB、 EB⊥AB。D、E与路段AB的距离相等吗？
证明：∵AE⊥BC,DF⊥BC
∴∠AEB=∠CFD=90°
在Rt△AEB和Rt△CFD中
AB CD
AE
DF
∴Rt△AEB≌Rt△CFD (H L)
∴CF=BE (全等三角形对应边相等)
4、如图，AC⊥CB, DB⊥CB AB=DC. 求证：∠ABD=∠BCD.
证明：∵AC⊥CB,DB⊥CB ∴∠ACB=∠DBC=90° 在Rt△ABC和Rt△DCB中
D
为什么？
E
A C B
答：D、E与路段AB的距离
D
相等。
因为：由题目可知DC=EC, A
E
∠A=∠B=90°，AC=BC
在Rt△ACD和Rt△BCE中
C
DC EC
B
AC
BC
Rt△ACD≌Rt△BCE (H L) ∴DA=EB ( 全等三角形对应边相等 )
3、如图，AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,AE=DF. 求证：CF=BE.
2、下列结论不正确的是（ A ）. A、两个锐角对应相等的两个直角三角
形全等. B、一锐角和斜边对应相等的两个直角
三角形全等. C、一直角边和一锐角对应相等的两个
直角三角形全等的判定(HL)
(1)AC=A′ C′,∠A= ∠A′;(
(2)AC=A′ C′, BC= B′C′; ( (3)AB=A′B′, ∠B=∠B′;( (4)AC= A′C′,AB= A′B′.( (5)∠A=∠A′, ∠B=∠B′;(
A B A'
) ASA SAS ) AAS ) )HL
) ×
B' C'
C
用一用
例1：如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足 分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=CF; (2)AB∥CD. C D
复习回顾
１．三角形全等的判定定理有哪些?
SSS,SAS,AAS,ASA
2．直角三角形全等的判定定理有哪些? SSS,SAS,AAS,ASA
？
讨论
对于两个直角三角形，除了直角相等 的条件，还要满足几个条件，这两个直 角三角形就全等了？ A D
B
C
E
F
直角三角形全等的判定方法：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写：“斜边、直角边”或 “HL” A' A
F E A B
变式：如图，AB⊥BC，AD⊥DC， AB＝AD。 求证∠1=∠2 。 A
12 B C D
例2：如图，∠ABD=∠ACD=90°， ∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请说明理由。
B
1
A
D
2
C
小结
拓展
三角形全等的判定定理: SAS,AAS,ASA,SSS 直角三角形全等的判定条件: SAS,A#39;
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 A B=A´B´ ∵ A C= A´C´（ 或BC= B´C´） ∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L)
直角三角形全等判定HL
直角三角形全等判定HL直角三角形是指一个角恰好为90度的三角形。
三角形的全等性质是指两个三角形的对应边和对应角分别相等。
在判定直角三角形全等时，可以使用HL全等判定法。
HL全等判定法是指如果两个直角三角形的斜边和一个锐角边分别相等，则这两个三角形全等。
在使用HL全等判定法判断直角三角形全等时，首先需要确定两个直角三角形中是否有一个共同的斜边和一个锐角边相等。
只有当这两个条件都满足时，才能判定两个直角三角形全等。
为了更好地理解和应用HL全等判定法，下面将通过一个例子来说明。
例题：已知两个直角三角形ABC和DEF，其中∠ABC和∠DEF都为直角，AC和DF是斜边，AB和DE是一组对应的锐角边。
已知AC=DF，AB=DE。
请证明三角形ABC和DEF全等。
解答：首先，根据题目可知AC=DF，而AB=DE。
我们可以通过连线BC和EF来构建两个直角三角形ABC和DEF。
如下图所示：A__________________D|\ |\| \ | \| \ | \| \ | \| \ | \| \ | \|____\ B |____\ EC F由于∠ABC和∠DEF都是直角，且AC=DF，可以得出三角形ABC≌三角形DEF的结论。
根据直角三角形全等的定义，两个直角三角形的斜边和一个锐角边相等时，这两个三角形全等。
因此，根据HL全等判定法可知，直角三角形ABC和DEF全等。
总结：通过以上的例子，我们可以看到使用HL全等判定法来判定直角三角形全等是比较简单明了的。
只需要确定两个直角三角形的共同斜边和一个锐角边相等的情况下，即可得出两个直角三角形全等的结论。
在实际应用中，使用HL全等判定法可以帮助我们在测量或计算过程中判断两个直角三角形是否全等，从而进行准确的推理和计算。
需要注意的是，在实际问题中，我们需要确保给出的信息足够判定两个直角三角形的全等性质，并且在进行推理和计算时要注意精确度，以保证结果的准确性。
综上所述，通过HL全等判定法可以准确判断直角三角形的全等性质，从而帮助我们在几何学和实际应用中进行准确的测量和计算。
《直角三角形全等的判定(HL)》教案讲课教案
《直角三角形全等的判定》教学设计中心发言人：DH教学目标:（1）明确两个直角三角形的全等，可以利用“边边边，边角边，角边角，角角边”来证明；但是由于直角相等，所以两个直角三角形全等的判定，只需要增加两个条件即可。
（2）探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学重点：探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并会用“SSS，SAS，ASA，AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学难点：（1）满足“边边角”分别对应相等的两个三角形不一定全等，但满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形”符合“边边角”的条件，两个直角三角形却是全等的。
（2）要注意用HL直角三角形全等的证明格式集体备教教学过程：1、复习与回顾：（1）判定两个三角形全等的方法是，，，（2）回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。
2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法：如图，AB⊥BE于B，D E⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），个性补教AB CE FD根据（用简写法）。
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
（4）若∠A=∠D，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）。
归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边，一锐角一斜边，两直角边，共四种情形) 3、探究：一斜边一直角边对应相等，两直角三角形是否全等？（1）情景引入如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
直角三角形全等的判定(HL)定理
A
D
E
B
C
F
回顾与思考
1、识别两个三角形全等方法，SS，S S，AS A，SA 。AAS
2、如图，AB⊥ BE于B，
A
DE⊥BE于E，
F
E
（1）若 ∠ A= ∠ D，AB=DE， B C
则△ABC与△DEF 全等 （填“全等”或
D
“不全等”）
根据 ASA （用简写法）
判断：
想一想
１、总共有几种方法可以证明两个直角三 角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有 一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA 、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的 判定方法——“HL”.
运用新知
例4:如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD。
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB=BA,
AC=BD . Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD
D A
C B
１.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
F E
A
B
２、 如图，AC=AD，∠C，∠D 是直角，将上述条件标注在图中， 你能说明BC与BD相等吗？
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90° 再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°Ｂ ′Ｃ′＝ＢＣ，A′B′=AB.把画好的 Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC 上，它 们全等吗？
按照下面的步骤做一做：
⑴画∠MC ′N=90°; N
⑵ 在射线C′MB′为圆心,ＡＢ为半径画 弧，交射线C′N于点A′;
人教版八年级数学上册第12章第5课时 三角形全等的判定——HL
小结：在一线三直角模型中，推出对应角相等，进而判定全 等，得到相关线段相等，最后判断数量关系.
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数学
★12.(1)如图(1)，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE， 试说明 BC⊥CE 的理由； (2)如图(2)，若△ABC 向右平移，使得点 C 移到点 D，AB⊥ AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索 BD⊥CE 的结论是 否成立，并说明理由．
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数学
10.如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 ( C) A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE 与△CBE 不一定全等 D．∠1＝∠2
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数学
7.【例 3】如图，BD，CE 分别是△ABC 的高，且 BE＝CD， 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明：∵BD，CE 分别是△ABC 的高，
第十二章 全等三角形
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握用 HL 证明两个三角形全等． 2．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角 相等的问题． 3．通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探 索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运 用知识的能力.
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，BBCE＝＝CCBD ，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
小结：根据高的定义求出∠BEC＝ ∠CDB＝90°，再根据 HL 证明.
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11.如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延 长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.求证：Rt△ABE≌ Rt△CBF.
直角三角形全等判定(HL)
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 AB=DE AP=DQ
B ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E (全等三角形的对应角相等) 在△ABC和△DEF中 ∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E (已证) E ∴△ABC≌△DEF (ASA)
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) A
AB BA(公共边 ) BC AD
B
例3
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
分析： △ABC≌△DEF ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
4.在两个三角形中,如果有三条 边对应相等,那么这两个三角形 全等(简记为S.S.S)
一般三角形全等的判定方法
1.在两个三角形中,如果有两个角及它们的夹边 对应相等,那么这两个三角形全等(简记为A.S.A) 2.在两个三角形中,如果有两个角及其中一个角的对 边对应相等,那么这两个三角形全等(简记为A.A.S) 3.在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对 应相等,那么这两个三角形全等(简记为S.A.S) 4.在两个三角形中,如果有三条边对应相等,那么 这两个三角形全等(简记为S.S.S)
2:在射线CM上截取CA=8cm;
3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B; 4:连结AB;
N B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
△ABC即为所要画的三角形
M
A
C
动动手 做一做 比比看
直角三角形全等判定(HL)
A
{
B
P D
C
{
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
B P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
第1题图
第2题图
F
D
2.如图，AB=AE,BC=ED,AF⊥CD, ∠B=∠E.试说明：F是CD的中点.
2.如图，AB＝CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE＝CF
求证：（1）BF＝DE
B
A
F E
C
D
证明：∵AE＝CF ∴AF＝CE ∵BF⊥AC，DE⊥AC ∴△ABF和△CDE都Rt△ 在Rt△ABF和Rt△CDE中
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
斜边和一条直角边对应相等→ 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。
C B′
BC=B C
C′
B′ C′ (HL) A ′ ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 全等 (AAS)
直角三角形全等的判定(HL)
D
B
C
E
F
请你动手画一画
画一个Rt△ABC，使得∠C´= 90°， 一条 直角边BC=6cm，斜边AB=10cm。
现象： 两个直角三角形能重合。
A
∟
B
C N A´ A´
当一个直角三角形的一条直角边和 说明： 斜边确定后， 那么它的形状和大小 也被确定. .
∟ ∟
M
B´ B´
C´ ´
亲自实践
2人小组验证：你们所画的 三角形是否重合？
我们把直角△ABC记作Rt△ABC。
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为 了美观，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为 了美观，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形 全等，简写为“斜边、直角边”或“ HL”。 A A´
∟
∟
B
数学语言： ∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´
C
B´
C´
∴ Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´ （HL）
通过刚才的探索，发现工作人员 的做法 是完全正确的。
错了
选择题 1.使两个直角三角形全等的条件是（
你能帮工作人员想个办法吗？
A
D
B
C E
F
情境问题1:
A
∠B=∠F=Rt ∠
D
B
C
E
则利用 则利用 则利用 则利用
F
A SA可判定全等； A AS 可判定全等； A AS可判定全等；
1.2直角三角形全等的判定(HL定理)(教案)
-理解HL定理的适用条件：仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用。
-识别全等证明中的已知条件和未知条件，特别是如何从题目中提取关键信息。
-理解全等证明的逻辑顺序，如何从已知条件出发，逐步推导出全等关系。
-解决实际问题时，如何构建直角三角形模型，并将HL定理应用于问题求解。
举例：在解决一个直角三角形的斜边和一条直角边长度已知的问题时，学生可能难以直接联想到使用HL定理。难点在于如何引导学生从问题中识别出这是一个直角三角形全等的问题，并应用HL定理来求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法——HL定理。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生的兴趣被成功激发，他们对于几何学的实际应用表现出了浓厚的兴趣。这一点让我感到欣慰，也让我认识到，将理论知识与生活实际相结合是提高学生学习兴趣的有效途径。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形全等的判定方法——HL定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形全等的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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【教师活动】操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论．
【学生活动】小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每
A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;
′N=90°。
′M上取B′C′BC。
′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点
下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？（如图4所示） 90AC DF FDE =∠=︒→△ABC ≌△DEF →∠DEF →∠ABC+∠DEF=90有一条直角边和斜边对应相等，所以△°．。