2017年春中考数学总复习 单元测试(四)图形的初步认识与三角形试题
中考数学总复习单元测试(四)图形的初步认识与三角形试题
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近年中考数学 考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第14讲 角、相交线与平行线试题(2
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第四单元图形的初步认识与三角形第14讲角、相交线与平行线1．(2016·福州)如图，直线a,b被直线c所截，∠1和∠2的位置关系是（ B ）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角2．(2015·崇左）下列各图中,∠1与∠2互为余角的是（ C )3．(2016·成都青羊区二诊）如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝110°，要使木条b与a 平行，则∠1的度数等于( B ）A．55° B．70° C．90° D．110°4．(2016·宜昌)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ D )A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短5．(2016·三明)如图，已知∠AOB＝70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ B ) A．20° B．35° C．45° D．70°6．(2016·雅安中学一诊）如图，直线AB，CD相交于点O,射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM ＝35°,则∠CON的度数为( C )A．35° B．45° C．55° D．65°7．（2016·恩施)如图，在△ABC中,DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( A )A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm8．（2016·鄂州)如图所示,AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°,则∠2的度数为（ B ）A．50° B．40° C．45° D．25°9．（2016·眉山)下列命题为真命题的是（ D ）A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B．方程x2－x＋2＝0有两个不相等的实数根C．面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶4D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形10．(2016·达州渠县模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，∠1＝50°,则∠2＝50度．11．（2016·绵阳南山模拟）如图，把一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．若∠2＝20°，则∠1的度数是25°。
中考数学复习：单元测试(4)图形的初步认识与三角形
单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(C)A．3，4，5 B．5，7，7 C．5，6，12 D．5，12，132．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是(B)3．如图，字母B所代表的正方形的面积是(B)A．12 B．144 C．13 D．1944．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为(A)A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD6．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板(∠C＝90°)按如图所示的位置摆放．若∠1＝55°，则∠2的度数为(A)A．80° B．70° C．85° D．75°7．如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为(C )A.432 B ．2 2 C.832 D ．3 28．如图，E ，F 是▱ABCD 对角线上AC 两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH的值为(C ) A.12 B.23 C.34D ．1二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B 的度数为50__°．10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE 为5 m ，小明的眼睛与地面的距离AB 为1.5 m ，那么这棵树高是4.39m.(可用计算器，精确到0.01)11．如图，E 为▱ABCD 的DC 边延长线上一点，连接AE ，交BC 于点F ，则图中与△ABF 相似的三角形共有2个．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，D ，E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE，BC ＝23，则AB ＝4．13．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为3．14．一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·c os β－cos α·sin β.例如sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 4三、解答题(共44分)15．(10分)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B＝∠C，AF 与DE 相交于点G ，求证：GE ＝GF.证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EF ＝CF ＋EF. ∴BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C，BF ＝CE ，∴△ABF≌DCE (SAS )． ∴∠GEF ＝∠GFE. ∴EG ＝FG.16．(10分)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形； (2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形； (3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．,(1)) ,(2)),(3)),(4))解：如图．17．(12分)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9 s 秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B ，C 之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km /h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)解：(1)过点A 作AD⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m ， 在Rt△ACD 中， ∵∠C ＝45 °， ∴AD ＝CD ＝10 m.在Rt△ABD 中，∵∠B ＝30 °， ∴tan30 °＝ADBD.∴BD ＝3AD ＝10 3 m.∴BC ＝BD ＋DC ＝(10＋103)m. (2)结论：这辆汽车超速．理由：∵BC ＝10＋103≈27(m )，∴汽车速度为270.9＝30(m/s )＝108(km/h )．∵108>80，∴这辆汽车超速．18．(12分)问题1：如图1，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 上一点(不与A ，B 重合)，DE∥BE，交AC 于点E ，连接CD.设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S′.(1)当AD ＝3时，S′S ＝316；(2)设AD ＝m ，请你用含字母m 的代数式表示S′S.问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝4，AD∥BC，AD ＝12BC ，E 是AB 上一点(不与A ，B 重合)，EF∥BC，交CD 于点F ，连接CE.设AE ＝n ，四边形ABCD 的面积为S ，△EFC 的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n 的代数式表S′S.图1 图2解：问题1：(2)∵AB ＝4，AD ＝m ，∴AD ＝4－m. ∵DE∥BC，∴CE EA ＝BD DA ＝4－m m .∴S △DEC S △ADE ＝4－mm .又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∴S △ADE S △ABC ＝(m 4)2＝m216. ∴S △DEC S △ABC ＝S △DEC S △ADE ·S △ADE S △ABC ＝4－m m ·m 216＝－m 2＋4m 16， 即S ′S ＝－m 2＋4m 16.问题2：分别延长BA ，CD ，相交于点O. ∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC.∴OA OB ＝AD BC ＝12. ∴OA ＝AB ＝4.∴OB ＝8. ∵AE ＝n ，∴OE ＝4＋n. ∵EF∥BC.由问题1的解法可知，S △CEF S △OBC ＝S △CEF S △OEF ·S △OEF S △OBC ＝4－n 4＋n ·(4＋n 8)2＝16－n264.∵S △OAD S △OBC ＝(OA OB )2＝14，∴S 四边形ABCD S △OBC ＝34. ∴S △CEFS 四边形ABCD ＝S △CEF 34S △OBC ＝43×16－n 264＝16－n248， 即S ′S ＝16－n 248.。
中考数学总复习单元测试四图形的初步认识与三角形试题
单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．若∠α＝32°，则∠α的补角为( C )A．58° B．68° C．148° D．168°2．(2016·长沙)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )3．(2016·毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点4．如图，字母B所代表的正方形的面积是( B )A．12 B．144 C．13 D．1945．(2016·河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( D )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对7．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是( B )A．10° B．15° C．20° D．25°8．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A )A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为50°．10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE为5 m，小明的眼睛距地面的距离AB为1.5 m，那么这棵树高是4.39m(可用计算器，精确到0.01)．11．若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足a2－9＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是1<c<5．12．(2016·南京)如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为8 3．13．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC ＝16，则线段EF的长为3．14．(2016·临沂)一般地，当α、β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝s inα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin15°的值是6－24．三、解答题(共44分)15．(10分)已知：如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD.∵∠BDA＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE.∴△ABC∽△EAD.16．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC.(1)作∠BAC的平分线，交BC于点D(尺规作图，保留痕迹)；(2)在AD的延长线上任取一点E，连接BE、CE.求证：△BDE≌△CDE.解：(1)如图．(2)证明：∵AB＝AC ，AD 平分∠BAC，∴BD ＝CD ，AD ⊥BC.∴∠BDE ＝∠CDE＝90°.在△BDE 和△CDE 中，∴△BDE ≌△CDE.17．(12分)如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF ≌△DFC ；②四边形AEFD 为平行四边形；③当AB ＝AC ，∠BAC ＝120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是哪几个？并说明理由．解：正确的结论有：①②.理由：①∵△BCF 和△ACD 为等边三角形，∴∠FCB ＝60°，∠DCA ＝60°.∴∠FCB －∠FCA＝∠DCA－∠FCA，即∠ACB＝∠DCF.在△ABC 和△DFC 中，∴△ABC ≌△DFC(SAS)．∴AB ＝DF.同理可证：AC ＝EF.又∵AB＝AE ＝BE ，AD ＝DC ＝AC ，∴BE ＝FD ＝AE ，EF ＝DC ＝AD.可知在△EBF 和△DFC 中，∴△EBF ≌△DFC(SSS)．②由EF ＝AD ，AE ＝DF 可知四边形AEFD 为平行四边形．18．(12分)如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km/h 的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO ＝60°，∴∠BCO ＝90°.∴BC ＝OB·cos60°＝120×12＝60(km)． ∴快艇从港口B 到小岛C 需要的时间为6060＝1(小时)． 答：快艇从港口B 到小岛C 需要1小时．(2)作CD⊥OA，设相交处为点E ，连接CE.∴OC ＝OB·cos30°＝60 3 km ，CD ＝12OC ＝30 3 km ，OD ＝OC·cos30°＝90 km. ∴DE ＝90－3v(km)．∵CE ＝60 km ，∴CD 2＋DE 2＝CE 2，即(303)2＋(90－3v)2＝602.解得v ＝20或v ＝40.当v ＝20 km/h 时，OE ＝3×20＝60(km)；当v ＝40 km/h 时，OE ＝3×40＝120(km)．答：v 的值为20 km/h 或40 km/h ，相遇处与港口O 的距离分别为60 km 或120 km.。
浙江省2017中考数学总复习第四章图形的认识与三角形综合测试课件
腰三角形， EF∥ AC， ∴ BH⊥ AC，∴△ ABG，△ BCG 为 1 等 腰直 角三角 形， ∴ AG ＝ BG ＝ 2.∵ S△ ABC ＝ · AB· AC ＝ 2 1 × 2 2× 2 2＝ 4，∴ S△ ADC＝ 2. 2 S 1 1 △ ABC ∵ ＝ 2，∴ GH＝ BG＝ ， S△ ADC 4 2
【解析】∵ AB 为两三角形的公共边，且△ AOB 为直 角三角形，∴点 P 为△ PAB 的直角顶 点，如图，分三种情况讨论：①∵ OA ＝ 3， OB＝ 4， ∴P 1(3， 4)； ②连结 OP 2， 设 AB 的 解 析 式为 y ＝ kx ＋ b ， 则
4 k＝－ ， 3k＋ b＝ 0， 3 解得 b＝ 4， b＝ 4.
2 2 2 2
二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 11． 如图， △ ABC 中， AC＝ 8， BC＝ 5， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，则 △ BCE 的周长为 13． 【解析】∵ DE 是 AB 的垂直 平分线，∴ EA＝ EB，则△ BCE 的周长＝ BC＋ EC＋ EB＝ BC＋ EC＋ EA＝ BC＋ AC＝ 13.
14．如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD ＝7，E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形 纸片(△ AEP)，使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边上， 则等腰三角形 AEP 的底边长是 ．
【解析】如图，分三种情况讨论：
①当 AP＝ AE＝ 5 时， ∵∠ BAD＝ 90° ， ∴△ AEP 是 等腰直角三角形， ∴底边 PE＝ 2AE＝ 5 2；②当 P 1 E＝ AE＝ 5 时，∵ BE＝ AB－ AE＝ 8－ 5＝ 3，∠ B＝ 90° ，
四川省2017年中考数学单元测试(4)图形的初步认识与三角形
单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知∠α＝32°，求∠α的补角为( C )A ．58°B ．68°C ．148°D ．168° 2．(2016·黔南)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )3．(2016·重庆)如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a ∥b ，若∠1＝55°，则∠2等于( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．125°4．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是( B ) A ．msin40° B ．mcos40° C ．mtan40° D.mtan40°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，则∠1＋∠2的大小为( B ) A ．120° B ．240° C ．180° D ．300°6．(2015·黄冈)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，设AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD ＝3，则BC 的长为( C )A ．6B ．6 3C ．9D ．3 37．如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( C ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．2 38．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为( C )A ．20B ．12C ．14D ．139．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AFE ∶S 四边形ABCE为( D )A ．3∶4B ．4∶3C ．7∶9D ．9∶7 10．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A )A ．5B ．6C ．7D ．8提示：由点A ，B 的坐标可得到AB ＝22，然后分类讨论：①AC ＝AB ；②BC ＝AB ；③CA ＝CB ，确定C 点的个数．二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，△A BD ≌△CBD ，若∠A ＝80°，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数为130°．12．若a ，b ，c 为三角形的三边，且a ，b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值范围是1<c<5．13．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 214．如图，AC ，BD 相交于O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，∠D ＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD ＝75°．15．(2015·巴中)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为1．16．(2016·凉山)如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点，若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，AC ＝AE ，∠1＝∠2，AB ＝AD.求证：BC ＝DE.证明：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB ＝∠EAD.在△BAC 和△DAE 中，⎩⎨⎧AC ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，，∴△BAC ≌△DAE(SAS)． ∴BC ＝DE.18．(10分)某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…，请你根据①②步骤解答下列问题： (1)找出图中∠FEC 的余角； (2)计算EC 的长．解：(1)∠CFE ，∠BAF.(2)设EC ＝x cm ，则EF ＝DE ＝(16－x)cm ，AF ＝AD ＝20 cm. 在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝12 cm ， FC ＝BC －BF ＝20－12＝8(cm)． 在Rt △EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2， ∴(16－x)2＝82＋x 2，解得x ＝6.∴EC 的长为6 cm.19．(12分)(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P.设AP ＝x 海里． 在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP .∴CP ＝AP·tan ∠PAC ＝33x. 在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2. ∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近．20．(14分)(2015·资阳)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF.(1)求证：△ADE ≌△DCF ；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF. (2)证明：易证△ECQ ∽△ADE ， ∴CQ DE ＝CE AD . ∵CE AD ＝DE AD ＝12， ∴CQ DE ＝CQ CF ＝12，即点Q 是CF 的中点． (3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ECQ ∽△ADE ，∴CQ DE ＝QE AE .∴CQ CE ＝QEAE.又∵∠C ＝∠AEQ ＝90°，∴△AEQ ∽△E CQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE. ∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ 2. ∵EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。
2017年中考数学总复习专题测试卷(图形的认识)
图形的认识 单元测试题一、选择题（每题3分）1． 一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．162． 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B ．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C ．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D ．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°3． 一个n 边形的内角和等于它外角和的5倍，则边数n 等于（ ）A ．24B ．12C ．8D ．64．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝x ，BC ＝6，则腰长x 的取值范围是( )A ．0＜x ＜3B ．x ＞3C ．3＜x ＜6D ．x ＞65．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A ．7B ．11C ．7或11D ．7或106．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )A ．75°或15°B ．36°或60°C ．75°D ．30°7．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )A ．75°或15°B ．36°或60°C ．75°D ．30°8．如图1，在平行四边形ABCD 中，∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E +∠F =（ ）A. 110° B .30° C.50° D.70°9．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形10．下列说法中，正确的是（ ）A. 正方形是轴对称图形且有四条对称轴B.正方形的对角线是正方形的对称轴C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴D.菱形的对角线相等11．菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )E F A BC D 图1A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角12．已知：如图2，菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,OE ∥DC 交BC 于点E ，AD =6cm ，则OE 的长为（ ）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm二、填空题：1．如图（3）所示，已知∠AOB=50°，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC= °，∠PDO= °2．如图（4）所示，OP ∥QR ∥ST ，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1= 。
2017年春中考数学总复习单元测试(四)图形的初步认识与三角形试题
单元测试（四） 图形的初步认识与三角形 （时间: 45分钟 满分：100分） 1 . A. 2.、选择题（每小题4分，共32分） 若/ a = 32°，则/ a 的补角为（ 58° B . 68 ° C （2016 •长沙）下列各图中，/ 1与/2互为余角的是（ ) .148° D . 168° B ) 3. A. B. C.D. 4. （2016 •毕节）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的 三条高的交点 三条角平分线的交点 三条中线的交点 三条边的垂直平分线的交点 如图，字母B 所代表的正方形的面积是（ 12B . 144C （2016 •河北）如图，△ ABC 中，/ A = 78 原三角形不相似的是A. 5. 6.如图，△ ABC 中,形的对数是（ A. 1对7.将两个含 A. 10° 30° B B .194 ,AB= 4, AC = 6.将厶ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 AB= AC, E 、O F ,则图中全等三角 的度数是（B ） D 45°的直角三角板如图放置，则/ .15° C 8. （2016 •武汉）平面直角坐标系中，已知 足条件的点C 的个数是（A ）A. 5 B . 6A （2 , 2）、B （4 , 0）.若在坐标轴上取点。
，使厶ABC 为等腰三角形，则满二、填空题（每小题4分，共24分）9.如图，在△ ABC中，/ ACB= 90°, CD// AB,10 •如图所示，小明同学利用一个锐角是30°AB为1.5 m，那么这棵树高是4.39m（可用计算器，精确与树之间的水平距离BE为5 m，小明的眼睛距地面的距离到0.01）.11.若a、b、c为三角形的三边，且a, b满足a2- 9+ （b —2）2= 0，则第三边c的取值范围是1<c<5.12 . （2016 •南京）如图，AB CD相交于点O, OC= 2，OD= 3，AC// BD, EF是厶ODB的中位线，且EF= 2，贝U AC的长13 .如图，在△ ABC中，BF平分/ ABC AF丄BF于点F , D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB= 10, BC =16,则线段EF的长为3.14 .(2016 •临沂)一般地，当a、B为任意角时，sin( a + B )与sin( a —3 )的值可以用下面的公式求得：sin( a + 3 ) = s in a • cos 3 + cos a • sin 3 ；sin( a —3 ) = sin a • cos 3 —cos a • sin 3 .例女口sin90 ° = sin(60 ° + 30° ) = sin60 ° • cos30°+ cos60°・sin30 ° = f £x2 = 1.类似地，可以求得sin 15 °的值是亠丄^"2.三、解答题（共44分）15 . （10 分）已知：如图，△ABC 中，AD= DB / 1=7 2.求证：△ ABB A EAD.证明：••• AD= DB•••7 B=7 BAD.•••/ BDA=7 1 + 7 C=7 2+7 ADE 7 1 = 7 2,•7 C=7 ADE.•△ABC^A EAD.16 . （1 0 分）如图，在△ ABC 中，AB= AC.⑴作/ BAC的平分线，交BC于点D（尺规作图，保留痕迹）;⑵在AD的延长线上任取一点E,连接BE CE.求证：△ BDE^A CDE.解：⑴如图.⑵证明：T AB= AC AD平分/ BAC ••• BD= CD AD丄BC.•••/ BDE=Z CD= 90°.在厶BDE和厶CDE中，BD= CD,/ BDE =Z CDEDE= DE,•••△BDE^A CDE.17 . （12分）如图，以△ ABC的三边为边分别作等边厶ACD △ ABE △ BCF则下列结论：①厶EBF^A DFC ②四边形AEFD为平行四边形；③当AB= AC, / BAC= 120。
春中考数学总复习 单元测试(四)图形的初步认识与三角形试题(2021年整理)
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单元测试(四) 图形的初步认识与三角形（时间：45分钟满分：100分）一、选择题（每小题4分，共32分）1．若∠α＝32°，则∠α的补角为（ C ）A．58° B．68° C．148° D．168°2．（2016·长沙)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )3．(2016·毕节）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ D ）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（ B ）A．12 B．144 C．13 D．1945．（2016·河北）如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ C ）6．如图，△ABC中,AB＝AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( D )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对7．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是( B ）A．10° B．15° C．20° D．25°8．(2016·武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B（4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A ）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题(每小题4分，共24分）9．如图,在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为50°．10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE为5 m,小明的眼睛距地面的距离AB为1.5 m,那么这棵树高是4。
中考数学总复习 第四单元 图形初步与三角形单元检测(四)图形初步与三角形练习.doc
单元检测(四) 图形初步与三角形(考试用时:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°,则∠2的度数是()A.35°B.45°C.55°D.65°答案C解析∵∠1+∠3=90°,∠1=35°,∴∠3=55°,∴∠2=∠3=55°.2.已知下列命题:①若>1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案A解析∵当b<0时,如果>1,那么a<b,∴①错误;∵若a+b=0,则|a|=|b|正确,但是若|a|=|b|,则a+b=0错误,∴②错误;∵等边三角形的三个内角都相等,正确,逆命题也正确,∴③正确;∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等,∴④错误;其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个.3.(2018湖北宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于()A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米答案C解析∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35°,∴小河宽PA=PC tan∠PC A=100tan 35°米.4.在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C'的坐标为()A.,0B.(2,0)C.,0D.(3,0)答案C解析过点B作BD⊥x轴于点D,∵∠ACO+∠BCD=90°,∠OAC+ACO=90°,∴∠OAC=∠BCD,在△ACO与△BCD中,∴△ACO≌△CBD(AAS),∴OC=BD,OA=CD,∵A(0,2),C(1,0)∴OD=3,BD=1,∴B(3,1),∴设反比例函数的解析式为y=,将B(3,1)代入y=,得k=3,∴y=,∴把y=2代入y=,得x=,当顶点A恰好落在该双曲线上时,此时点A移动了个单位长度,∴C也移动了个单位长度,此时点C的对应点C'的坐标为,0.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=() A.2 B.3 C.4 D.2答案C解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,∴CE=AE=5,又∵AD=2,∴DE=AE-AD=5-2=3,∵CD为AB边上的高,∴∠CDE=90°,∴△CDE为直角三角形∴CD==4.6.(2018湖南娄底)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin α-cos α=()A. B.- C. D.-答案D解析∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132, 整理得AC2+7AC-60=0,解得AC=5,AC=-12(舍去),∴BC==12,∴sin α=,cos α=,∴sin α-cos α==-.7.(2018陕西)在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A. B.2 C. D.3答案C解析∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形,∵∠C=45°,∴∠DAC=45°,∴AD=DC,∵AC=8,∴AD=4,在Rt△ABD中,∠B=60°,∴BD=,∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°,∴DE=BD·tan 30°=,∴AE=AD-DE=4.8.(2018湖北黄冈)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为()A.50°B.70°C.75°D.80°答案B解析由三角形的内角和定理,得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°.又由垂直平分线的性质,知∠C=∠DAC=25°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=95°∴∠BAD=95°-25°=70°.9.如图,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是()A.4.5B.5C.5.5D.6答案A解析∵点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,∴AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线,CF是△ACD的中线,AF是△ABE的中线,AG是△ACE的中线,∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=, 同理可得△AEG的面积=,△BCE的面积=×△ABC的面积=6,又∵FG是△BCE的中位线,∴△EFG的面积=×△BCE的面积=,∴△AFG的面积是×3==4.5.10.(2018江苏南通)如图,等边△ABC的边长为3 cm,动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度,沿A→B →C的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(s),y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为()答案C解析∵正△ABC的边长为3 cm,∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=3 cm.①当0≤x≤3时,即点P在线段AB上时,AP=x cm(0≤x≤3);解法一:根据余弦定理知cos A=,即,解得y=x2-3x+9(0≤x≤3);该函数图象是开口向上的抛物线;解法二:过C作CD⊥AB,则AD=1.5 cm,CD= cm,点P在AB上时,AP=x cm,PD=|1.5-x| cm,∴y=PC2=2+(1.5-x)2=x2-3x+9(0≤x≤3), 该函数图象是开口向上的抛物线;②当3<x≤6时,即点P在线段BC上时,PC=(6-x)cm(3<x≤6);则y=(6-x)2=(x-6)2=x2-12x+36(3<x≤6),∴该函数的图象是在3<x≤6上开口向上的抛物线.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件:,使得△ABC≌△DEC.答案AB=DE(答案不唯一)解析添加条件是:AB=DE,在△ABC与△DEC中,∴△ABC≌△DEC(SSS).12.如图,m∥n,∠1=110°,∠2=100°,则∠3=.答案150°解析如图,∵m∥n,∠1=110°,∴∠4=70°,∵∠2=100°,∴∠5=80°,∴∠6=180°-∠4-∠5=30°,∴∠3=180°-∠6=150°.13.三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于.答案2.5解析∵32+42=25=52,∴该三角形是直角三角形,∴×5=2.5.14.(2018湖南湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为.答案x2+32=(10-x)2解析设AC=x,∵AC+AB=10,∴AB=10-x.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.15.一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为.答案16解析x2-10x+21=0,因式分解得(x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7,∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根,∴三角形的第三边为3或7,当三角形第三边为3时,3+3=6,不能构成三角形,舍去;当三角形第三边为7时,三角形三边分别为3,6,7,能构成三角形,则第三边的长为7.∴三角形的周长为:3+6+7=16.16.(2018湖南娄底)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3 cm,则BF=cm.答案6解析在Rt△ADB与Rt△ADC中,,∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴S△ABC=2S△ABD=2×AB·DE=AB·DE=3AB,∵S△ABC=AC·BF,∴AC·BF=3AB,∵AC=AB,∴BF=3,∴BF=6.17.(2018四川达州)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为.答案解析∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE,在△BNA和△BNE中,∴△BNA≌△BNE(ASA),∴BA=BE,∴△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,∴点N是AE中点,点M是AD中点(三线合一),∴MN是△ADE的中位线,∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=DE=.18.(2018广东)如图,已知等边△OA1B1,顶点A1在双曲线y=(x>0)上,点B1的坐标为(2,0).过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边△B1A2B2;过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边△B2A3B3;以此类推,…,则点B6的坐标为.答案(2,0)解析如图,作A2C⊥x轴于点C,设B1C=a,则A2C=a,OC=OB1+B1C=2+a,A2(2+a,a).∵点A2在双曲线y=(x>0)上,∴(2+a)·a=,解得a=-1,或a=--1(舍去),∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2,∴点B2的坐标为(2,0);作A3D⊥x轴于点D,设B2D=b,则A3D=b,OD=OB2+B2D=2+b,A2(2+b,b).∵点A3在双曲线y=(x>0)上,∴(2+b)·b=,解得b=-,或b=-(舍去),∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2,∴点B3的坐标为(2,0);同理可得点B4的坐标为(2,0)即(4,0);…,∴点B n的坐标为(2,0),∴点B6的坐标为(2,0).三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)(2018贵州铜仁)已知:如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF.证明∵AD=BC,∴AC=BD,在△ACE和△BDF中,∴△ACE≌△BDF(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF.20.(8分)(2018浙江杭州)阅读下列题目的解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解∵a2c2-b2c2=a4-b4(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)∴c2=a2+b2(C)∴△ABC是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为:;(3)本题正确的结论为:.解(1)由题目中的解答步骤可得,错误步骤的代号为:C;(2)错误的原因为:没有考虑a=b的情况,(3)本题正确的结论为:△ABC是等腰三角形或直角三角形.21.(10分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.(1)证明∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在△BDG和△ADC中,∴△BDG≌△ADC(SAS),∴BG=AC,∠BGD=∠C,∵∠ADB=∠ADC=90°,E,F分别是BG,AC的中点,∴DE=BG=EG,DF=AC=AF,∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD,∴∠EDG+∠FDA=90°,∴DE⊥DF;(2)解∵AC=10,∴DE=DF=5,由勾股定理得,EF==5.22.(10分)(2018湖南张家界)2017年9月8日—10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图,某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB=1 000米),沿俯角为30°的方向直线飞行1 400米到达D点,然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离BC.解过点D作DE⊥AB于E,DF⊥BC于点F,由题意知∠ADE=30°,∠CDF=30°,在Rt△DAE中.AE=AD=×1 400=700,cos∠ADE=,DE=1 400×=700EB=AB-AE=1 000-700=300DF=BE=300tan∠CDF=FC=300×=100∴BC=BF+FC=DE+FC=700+100=800(米).23.(10分)在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A-C-B运动,点Q从点A 出发以a(cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示.(1)求a的值;(2)求图2中图象C2段的函数表达式;(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积,求x的取值范围.解(1)如图,作PD⊥AB于D,∵∠A=30°,∴PD=AP=x,由题图2可知,当x=1时,y=,∴×a×1=,∴a=1.(2)如图,作PD⊥AB于D,由图象可知,PB=5×2-2x=10-2x,PD=PB·sin B=(10-2x)·sin B,∴y=×AQ×PD=x×(10-2x)·sin B,∵当x=4时,y=,∴×4×(10-2×4)·sin B=,解得sin B=, ∴y=x×(10-2x)×=-x2+x;(3)x2=-x2+x,解得x1=0,x2=2,由图象可知,当x=2时,y=x2有最大值,最大值是×22=2,-x2+x=2,解得,x1=3,x2=2,∴当2<x<3时,点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积.24.(12分)(2018贵州安顺)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△PBC为直角三角形的点的坐标.解(1)依题意得解之得∴抛物线的解析式:y=-x2-2x+3.∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),∴把B(-3,0),C(0,3)分别代入直线y=mx+n,得,解之得,∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3.(2)直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小,把x=-1代入直线y=x+3得y=2,∴M(-1,2).即当点M到点的距离与到点的距离之和最小时M的坐标为(-1,2).(注:本题只求M坐标没说要证明为何此时MA+MC的值最小,所以答案没证明MA+MC的值最小的原因).(3)设P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3),∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得t=-2,②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得t=4,③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得t1=,t2=.综上所述的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或-1,或-1,.。
2017年春中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第14讲 角、相交线与平行线试题
第四单元图形的初步认识与三角形第14讲角、相交线与平行线1．(2016·福州)如图，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2的位置关系是( B )A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角2．(2016·长沙模拟)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( C )3．(2016·赤峰)如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则( C )A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交4．(2016·宜昌)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( D )A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短5．(2016·荆州)如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1＝115°，则∠2的度数是( B )A．55° B．65° C．75° D．85°6．下列命题中是真命题的是( C )A．若AP＝BP，则P是线段AB的中点B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．平行于同一条直线的两条直线平行D．连接两点之间的线段叫做两点之间的距离7．(2016·衡阳)如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于( C )A．70° B．80° C．90° D．100°8．(2016·宁波)能说明“对于任何实数a，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( A )A ．a ＝－2B ．a ＝13C ．a ＝1D ．a ＝ 29．如图，△ABC 中，AB 边的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点D ，已知AC ＝5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，则BC 的长为( C )A ．7 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．22 cm10．(2016·茂名)已知∠A＝100°，那么∠A 补角为80度．11．(2016·扬州)如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝80°．12．(2016·丽水)如图，在△ABC 中，∠A ＝53°，直线MN∥BC，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN＝133°，则∠B 的度数为80°．13．(2016·江西)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将Rt △ABC 向下翻折，使点A 与点C 重合，折痕为DE.求证：DE∥BC.证明：∵将Rt △ABC 向下翻折，使点A 与点C 重合，折痕为DE ， ∴∠AED ＝∠CED＝90°. ∴∠AED ＝∠ACB＝90°. ∴DE∥BC.14．(2016·淄博)如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．解：OA∥BC，OB ∥AC.理由如下：∵∠1＝50°，∠2＝50°， ∴∠1＝∠2. ∴OB∥AC.∵∠2＝50°，∠3＝130°， ∴∠2＋∠3＝180°. ∴OA ∥BC.15．(2016·深圳)如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( D ) A．∠2＝60° B．∠3＝60° C．∠4＝120° D．∠5＝40°16．(2016·枣庄)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( B )A．75°36′ B．75°12′ C．74°36′ D．74°12′17．(2016·枣庄)如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是( A )A．3 B．4 C．5.5 D．1018．(2016·湖州)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P 到BC的距离是( C )A．8 B．6 C．4 D．219．(2016·宜宾)如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝75°．20．(2016·衡阳)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n 的值为10．21．(2016·威海期中)如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN 交CD于点F.图1 图2(1)当△PMN所放位置如图1所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD＋∠AEM＝90°；(2)当△PMN所放位置如图2所示时，求证：∠PFD－∠AEM＝90°；(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．解：(2)证明：∵AB∥CD，∴∠PFD＋∠BHF＝180°.∵∠P＝90°，∴∠PHE＋∠PEH＝90°.∵∠PEH＝∠AEM，∴∠BHF＝∠PHE＝90°－∠AEM.∴∠PFD＋90°－∠AEM＝180°.∴∠PFD－∠AEM＝90°.(3)∵∠P＝90°，∴∠PHE＝90°－∠PEB＝90°－15°＝75°.∵AB∥CD，∴∠PFC＝∠PHE＝75°.∵∠PFC＝∠N＋∠D ON，∴∠N＝75°－30°＝45°.22．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝71°，则∠4的度数是( C )A．19° B．71° C．109° D．119°。
2017年春中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第17讲 全等三角形试题
第17讲 全等三角形1．(2016·厦门)如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应顶点，AF 与DE 交于点M ，则∠DCE＝( A )A ．∠B B ．∠AC ．∠EMFD ．∠AFB2．(2016·永州)如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD ( D )A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD3．如图，用尺规作∠AOB 的平分线的方法如下：以点O 为圆心，任意长为半径画弧分别交OA ，OB 于C ，D 两点，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP≌△ODP 的根据是( D )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4．(2016·怀化)如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是( B ) A ．PC ＝PD B ．∠CPO ＝∠DOP C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝OD5．如图，∠B ＝∠D＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝( B )A ．40°B ．50°C ．60°D ．75°6．(2016·济宁)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD 和C E 交于H ，请你添加一个适当条件AH ＝BC 或AE ＝CE 或EH ＝EB ，使△AEH≌△CEB.7．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF ，AC ＝6，则DF ＝6．8．(2016·福州)一个平分角的仪器如图所示，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：∠BAC＝∠DAC.证明：在△ABC 与△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)． ∴∠BAC ＝∠DAC.9．(2016·云南)如图，点C 是A E 的中点，∠A ＝∠ECD，AB ＝CD ，求证：∠B＝∠D.证明：∵点C 是AE 的中点， ∴AC ＝CE.在△ABC 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝CE ，∠A ＝∠ECD，AB ＝CD ，∴△ABC ≌△CDE(SAS)． ∴∠B ＝∠D.10．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( B )A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF11．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为( D )A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°12．(2016·贺州)如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为120°．13．(2016·南京)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中正确结论的序号是①②③．14．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D 满足以A 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则D 点坐标为(0，－2)或(2，－2)或(2，2)．15．(2016·楚雄模拟)如图，已知∠ABO＝∠DCO，OB ＝OC ，求证：△ABC≌△DCB.证明：在△ABO 和△DCO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠DCO，BO ＝CO ，∠AOB ＝∠DOC，∴△ABO ≌△DCO(ASA)． ∴∠A ＝∠D.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∵∠ABO ＝∠DCO，∴∠ABO ＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠DCB.在△ABC 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠ABC ＝∠DCB，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(AAS)．16．(2016·威海改编)如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC ＝∠BCD＝90°，AB ＝AC ，CB ＝CD.延长CA 至点E ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，使BF ＝BC.连接AD ，A F ，DF ，EF.延长DB 交EF 于点N.求证： (1)AD ＝AF ； (2)BD ＝EF.证明：(1)∵AB＝AC ，CB ＝CD ，∠BAC ＝90°，∠BCD ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝45°.∴∠ABF ＝∠BAC＋∠ACB＝135°， ∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°. ∴∠ABF ＝∠ACD.∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD. 在△AB F 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD，BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD(SAS)．∴AD＝AF.(2)由(1)知，AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ， ∴∠FAB ＝∠DAC.∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°. ∴∠EAF ＝∠BAD.在△AEF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAF ＝∠BA D ，AF ＝AD ，∴△AEF≌△ABD(SAS)．∴BD ＝EF.17．(2016·宜昌)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20米．请根据上述信息求标语CD 的长度．解：∵AB∥CD，∴∠ABO ＝∠CDO. 又∵OD⊥CD，∴∠CDO ＝90°. ∴∠ABO ＝90°，即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB ＝OD. 在△ABO 与△CDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠CDO，OB ＝OD ，∠AOB ＝∠COD，∴△ABO ≌△CDO(ASA)．∴CD ＝AB ＝20米．。
中考数学 第四单元 图形的初步认识与三角形测试题1
图形的初步认识与三角形(A 卷)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1.(滚动考查无理数的概念)给出四个数-1，0，0.5，7，其中为无理数的是( ) A.-1 B.0 C.0.5 D.72.如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠3的同旁内角是( )A.∠1B.∠2C.∠4D.∠53.(滚动考查不等式的解法)在数轴上表示不等式x-1＜0的解集，正确的是( )4.(2014·常德)如图，已知AC ∥BD ，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB 等于( ) A.30° B.45° C.60° D.75°5.如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B=40°，则直角边BC 的长是( ) A.msin40° B.mcos40° C.mtan40° D.40mtan6.如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为( ) A.3 B.2 C.3 D.237.如图，△ABC 中，∠A=60°，点D 、E 分别在AC 、AB 上，则∠1+∠2的大小为( )A.120°B.240°C.180°D.300°8.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A.20B.12C.14D.13二、填空题(每小题4分，共24分)9.已知线段AB=6，若C为AB的中点，则AC= .10.(滚动考查一元一次方程的解法)一元一次方程3x-6=0的解是 .11.如图所示，已知点O是直线AB上一点，∠1=70°，则∠2的度数是 .12.如图,已知∠1＝∠2,则图中互相平行的线段是 .13.如图，已知DE是△ABC的中位线，BC＝4，则DE＝ .14.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是 .三、解答题(共44分)15.(6分)(兼顾考查锐角三角函数值和实数的运算)计算：30+2cos30°.16.(8分)如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,∠A=110°,F是AC上一点,∠AFE=125°,求证:FE⊥CE.17.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC.(1)作∠BAC的角平分线，交BC于点D(尺规作图，保留痕迹)；(2)在AD的延长线上任取一点E，连接BE、CE.求证：△BDE≌△CDE；18.(10分)(兼顾考查解直角三角形的应用和方程的应用)(2014·内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机现测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B 点.此时测得点F在点B俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点A、B、C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结果保留整数，数值：3≈1.7)19.(12分)(2014·株洲)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF).(1)求证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值.参考答案1.D2.C3.B4.D5.B6.C7.B8.C9.310.x＝211.110°12.AD∥BC13.214.6 m15.原式＝2-3＋1＋2×3＝2-3＋1＋3＝3.16.证明:∵AB∥CD,∠A=110°,∴∠ACD=180°-110°=70°.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=35°.∵∠AFE=125°,∴∠E=∠AFE-∠ACE=125°-35°=90°, ∴FE⊥CE.17.(1)如图；(2)证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC.∴∠BDE=∠CDE=90°.在△BDE和△CDE中,,,,BD CDBDE CDEDE DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CDE.18.∵∠CBF＝45°，∠BCF＝90°,∴CF＝CB.∵∠A＝30°,∴tan30°＝CFAC=CFAB BC+=CFAB CF+.∵AB ＝800,∴33=800CF CF+. ∴CF ＝400(3+1)≈1 080.答：竖直高度CF 约为1 080米.19.(1)证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC ⊥AC ，EF ⊥AF ，∴CE=FE ， 在Rt △ACE 与Rt △AFE 中，CE FEAE AE =⎧⎨=⎩∴Rt △ACE ≌Rt △AFE(HL)；(2)由(1)可知△ACE ≌△AFE ，∴AC=AF ，CE=FE ， 设BF=m ，则AC=2m ，AF=2m ，AB=3m ， ∴22AB AC -2294m m -5，∴在Rt △ABC 中，tan ∠B=AC BC 5m 5在Rt △EFB 中，EF=BF ·tan ∠5, ∴5. 在Rt △ACE 中，tan ∠555,∴tan ∠5。
2017年春中考数学总温习 第四单元 图形的初步熟悉与三角形 第15讲 三角形的基础知识试题
第15讲三角形的基础知识1．(2021·宜昌)以下图形具有稳固性的是( D )A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形2．(2016·贵港)在△ABC中，假设∠A＝95°，∠B＝40°，那么∠C的度数为( C )A．35° B．40° C．45° D．50°3．(2016·岳阳)以下长度的三根小木棒能组成三角形的是( D )A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm4．(2016·鄂州)如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，那么∠2的度数为( B )A．50° B．40° C．45° D．25°5．(2016·乐山)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE＝60°，那么∠A＝( C ) A．35° B．95° C．85° D．75°6．(2021·绵阳)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，那么∠BFC ＝( C )A．118° B．119° C．120° D．121°7．(2016·毕节)如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，那么∠3＝( C )A．85° B．60° C．50° D．35°8．(2021·衡阳)如下图，小明为了测量学校里一水池的宽度AB，选取能够直达A、B两点的点O处，再别离取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20 m，那么水池的宽度AB为40m.9．(2016·淮安)已知一个等腰三角形的两边长别离为2和4，那么该等腰三角形的周长是10．10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，假设∠1＝30°，∠2＝20°，求∠B的度数．解：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠CAE.又∵∠1＝30°，∠2＝20°，∴∠EAD＝10°.∵AD⊥BC，∴∠EDA＝90°.∴∠AED＝90°－∠EAD＝80°.∴∠B＝∠AED－∠1＝80°－30°＝50°.11．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.(1)求CD的取值范围；(2)假设AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．解：(1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1＜CD＜9.(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝180°－125°＝55°.又∵∠A＝55°，∴∠C＝180°－55°－55°＝70°.12．(2016·盐城)假设a，b，c为△ABC的三边长，且知足|a－4|＋b－2＝0，那么c的值能够为( A )A．5 B．6 C．7 D．813．(2016·内江)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，那么∠1的度数为( A )A．75° B．65° C．45° D．30°14．(2021·广州)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M、N别离是线段BC、AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E、F别离是DM、MN的中点，那么EF长度的最大值为3．15．(2016·黑龙江校级月考)如图，点D 在△ABC 边AB 上且AD∶BD＝2∶1，E 是BC 的中点，设S 1为△ADF 的面积，S 2为△CEF 的面积，假设S △ABC ＝24，那么S 1－S 2＝4．16．(2016·河北)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A 动身后射向OB 边．假设光线与OB 边垂直，那么光线沿原路返回到点A ，现在∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，现在∠A＝76°． ……假设光线从点A 发出后，经假设干次反射能沿原路返回到点A ，那么锐角∠A 的最小值＝6°．17．(2016·大庆改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，求∠BDC 的度数．解：在△ABC 中，∵∠A ＝40°，∴∠ABC ＋∠ACB＝180°－∠A＝140°. 又∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点B ， ∴∠DBC ＝12∠ABC，∠DCB ＝12∠ACB.那么∠DBC＋∠DC B ＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×140°＝70°.∴在△BCD 中，∠BDC ＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－70°＝110°.18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ，∠CBA 的平分线交于点D ，BD 的延长线交AC 于点E ，那么∠ADE＝45°．。
2017中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形单元测试四图形的初步认识与三角形试题
单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分，在四个选项中)1．下列图形中，∠1与∠2互为补角的是( C )A BC D2．现有两根木棒，长度分别为5 cm和17 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取( B )A．24 cm的木棒 B．15 cm的木棒C．12 cm的木棒 D．8 cm的木棒3．如图，在A，B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC 的距离是( B )A．6千米 B．8千米C．10千米 D．14千米4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC长为( B )A．1 B．2 C．3 D．45．如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺(两边a∥b)的一边b上，若∠1＝30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为( C )A．35° B．30° C．15° D．10°6．如图，若A、B、C、D、E、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的( A )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( D )A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°提示：根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝44°，根据三角形内角和定理计算即可．8．(2016·淄博)如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为( B ) A.835 B ．2 2 C.145D ．10－5 2提示：延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE ＝BE －BG ＝2，HE ＝CH －CE ＝2，∠HEG ＝90°，由勾股定理可得GH 的长． 二、填空题(每小题5分，共20分)9．(2016·雅安)计算：1.45°＝1°27′.10．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD11．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB ＝10，AC ＝6，则DF 的长为2．提示：延长CF 交AB 于点G ，∵在△AFG 和△AFC 中，∠GAF ＝∠CAF，AF ＝AF ，∠AFG ＝∠AFC，∴△AFG ≌△AFC(ASA)．∴AC＝AG ，GF ＝CF.又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线．∴DF＝12BG ＝12(AB －AG)＝12(AB －AC)＝2.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n －1BC 的平行线与∠A n －1CD 的平分线交于点A n ，设∠A＝θ，则∠A n ＝θ2n ．提示：由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1BC ＝12∠ABC，∠A 1CD ＝12∠ACD.∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A＋∠ABC)＝12∠A＋∠A 1BC.∴∠A 1＝12∠A，同理∠A n ＝θ2n .三、解答题(共48分)13．(12分)已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E.证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠3.∵∠1＝∠2，∴DE∥AC.∴∠E＝∠3.∴∠A＝∠E.14．(12分)已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.证明：(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°.∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2.由(1)知AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，即2CD2＝AD2＋DB2.15．(12分)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D、C)，且∠DAB＝66.5°.(参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92)(1)求点D与点C的高度DH；(2)求所有不锈钢材料的总长度(即AD ＋AB ＋BC 的长，结果精确到0.1米)．解：(1)DH ＝1.5×45＝1.2(米)．(2)过B 作BM⊥AD 于点M.在矩形BCHM 中，MH ＝BC ＝1米，AM ＝AD ＋DH －MH ＝1＋1.2－1＝1.2(米)． 在Rt △AMB 中，AB ＝AMcos66.5°≈3.0(米)．∴所有不锈钢材料的总长度为1＋3.0＋1＝5.0(米)．16．(12分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F ，设PA ＝x. (1)求证：△PFA ∽△ABE；(2)若以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似，试求x 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，且∠ABE＝90°. ∴∠BAE ＋∠AEB＝90°， ∠BAE ＋∠PAF＝90°. ∴∠PAF ＝∠AEB.又∵PF⊥AE，∴∠PFA ＝∠ABE＝90°. ∴△PFA ∽△ABE.(2)①当△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB 时， 则有PE∥AB，∴四边形ABEP 为矩形． ∴PA ＝EB ＝2，即x ＝2；②当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB 时， ∵∠PAF ＝∠AEB，∴∠PEF ＝∠PAF.∴PE＝PA. ∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点． ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝25，∴EF ＝12AE ＝ 5.∵PE AE ＝EF EB ，∴PE 25＝52，得PE ＝5，即x ＝5. 综上所述，满足条件的x 的值为2或5.。
2017年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形单元测试(四)
单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：100分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，满分40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项DBCBACCBAC1．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )2．下列四组数分别是三条线段的长度，能构成三角形的是( D )A ．1，1，2B ．1，3，4C ．2，3，6D ．4，5，8 3．若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是( A ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形4．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是三条边上的中点，∠B ＝45°，∠C ＝55°，则∠EFD＝( A ) A ．80° B ．100° C ．75° D ．65°5．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，连接BE 交CD 于点O ，且O 点是CD 的中点，连接AO ，下列结论不正确的是( C )A ．AD ＝DEB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOB ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC6．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A，∠B ，∠C 的对边，下列各式成立的是( D ) A ．b ＝a·sinB B ．a ＝b·cosB C ．a ＝b·tanB D ．b ＝a·tanB7．(2016·安徽模拟)如图，已知一块直角三角形的水泥平地，∠ACB ＝90°，AC ＝60米，BC ＝80米，点D 是AB 边上的一点，从C 点直接走到D 点的距离为x 米，则x 的取值范围为( C )A ．60<x<80B ．60≤x ≤80C ．48≤x ≤80D ．48<x<608．(2016·合肥十校联考模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则下面结论错误的是( B ) A ．BF ＝EF B ．DE ＝EF C ．∠EFC ＝45° D ．∠BEF ＝∠CBE9．(2016·阜阳二模)如图，△ABC 的中线BE 、CF 交于点O ，直线AD∥BC，与CF 的延长线交于点D ，则S △AFD ：S 四边形AFOE 为( D )A ．1∶2B ．2∶1C ．2∶3D ．3∶2提示：连接EF ，则EF∥BC.设△ABC 的面积为S ，则S △AFD ＝S △BFC ＝S △AFC ＝12S ，S △AEF ＝14S ，∴S △BOC ＝23S △BFC ＝13S ，∴S △EOF＝14S △BOC ＝112S ，∴S △AFD ：S 四边形AFOE ＝12S ：(14S ＋112S)＝3∶2. 10．如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直于底边BC ，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至点C ，直线l 与△ABC 的边相交于E ，F 两点，设线段EF 的长度为y ，平移时间为x ，则下图中能较好地反映y 与x 的函数关系的图象是( B )二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分)11．(2016·马鞍山二模)如图，AB ∥CD ，∠1 ＝ 60°，F G 平分∠EFD，则∠2＝30°.12．(2016·新疆)如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C 点测得∠ACB＝30°，D 点测得∠ADB＝60°，又CD ＝60 m ，则河宽AB 为30 3 m(结果保留根号)．13．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于154．14．(2016·滁州模拟)如图，AD ，AE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AC ＝2，AB ＝5，过点C 作CF⊥AE 于点F ，连接DF ，有下列结论：①将△ACF 沿着直线AE 折叠，点C 怡好落在AB 上； ②3＜2AD ＜7；③若∠B＝30°，∠FCE ＝15°，则∠ACB ＝55°； ④若△ABC 的面积为S ，则△DFC 的面积为0.15S.其中正确的是①②④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)提示：延长CF 交AB 于M ，延长AD 到N 使得DN ＝AD ，连接BN 、CN ；①正确，由CF ＝FM 即可解决．②正确，在△ABN 中利用三边关系即可解决．③错误，∠ACB ＝60°，④正确，先证明S △BCM ＝35S △ABC ＝35S ，由△DFC∽△BMC，得S △DFC ＝14S △BCM 即可证明． 三、(本大题共2个小题，每小题8分，满分16分)15．(2016·长宁区一模)计算：tan 230°－(cos75°－cot10°)0＋2cos60°－2tan45°. 解：原式＝(33)2－1＋2×12－2×1＝13－1＋1－2＝－53. 16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，求∠BDC 的度数．解：∵AB＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠C＝180－∠A2＝70°.∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC＝35°，∴∠BDC ＝180°－∠DBC－∠C＝75°.四、(本大题共2个小题，每小题8分，满分16分)17．已知：如图，点E ，C ，D ，A 在同一条直线上，AB ∥DF ，ED ＝AB ，∠E ＝∠CPD.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AB∥DF，∴∠B ＝∠CPD，∠A ＝∠FDE.∵∠E ＝∠CPD.∴∠E＝∠B.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠FDE，AB ＝DE ，∠B ＝∠E，∴△ABC ≌△DEF(ASA)．18．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD⊥BC ，且交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD ＝MA.证明：∵MD⊥BC，且∠B＝90°，∴AB ∥MD.∴∠BAD ＝∠D.又∵AD 为∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠MAD.∴∠D＝∠MAD.∴MD＝MA.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tanB ＝cos ∠DAC. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC ＝1213，BC ＝36，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt △ABD 中，tanB ＝ADBD .在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝AD AC .在Rt △ABD 中，tanB ＝ADBD .∵tanB ＝c os ∠DAC ，∴AC ＝BD.(2)在Rt △ACD 中，sinC ＝AD AC ＝1213，设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k.∵BD ＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD.∴13k ＋5k ＝36，解得k ＝2.∴AD＝12×2＝24.20．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠A ＝60°，BC ＝25，CD ＝4. (1)求∠ADC 的度数．(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)连接BD.∵AB＝AD ＝2，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形． ∴BD ＝2，∠ADB ＝60°.∵BC ＝25，CD ＝4，则BD 2＋CD 2＝22＋42＝20，BC 2＝(25)2＝20，∴BD 2＋CD 2＝BC 2. ∴∠BDC ＝90°.∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝150°.(2)S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12AD·32AD ＋12BD·DC＝12×2×32×2＋12×2×4＝4＋ 3.六、(本题满分12分)21．一天新新和小亮正在公园广场上放风筝，如图，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上．(1)已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；(2)在(1)的条件下，若在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 为多少米？(结果保留根号)解：(1)在Rt △BPQ 中，PQ ＝10米，∠B ＝30°，则BQ ＝tan60°·PQ ＝103(米)． 在Rt △APQ 中，∠PAB ＝45°，则AQ ＝tan45°·PQ ＝10(米)．即AB ＝AQ ＋BQ ＝(103＋10)米．(2)过A 作AE⊥BC 于E.在Rt △AB E 中，∠B ＝30°，AB ＝(103＋10)米，∴AE ＝sin30°·AB ＝12×(103＋10)＝(53＋5)米．∵∠CAD ＝75°，∠B ＝30°，∴∠C ＝45°.在Rt △CAE 中，sin45°＝AEAC，∴AC ＝2×(53＋5)＝(56＋52)米．七、(本题满分12分)22．(2015·河南改编)如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现 ①当α＝0°时，BD AE ＝32；②当α＝180°时，BD AE ＝32．(2)拓展研究 试判断：当0≤α<360°时，BDAE 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．解：无变化．在图1中，∵DE 是△ABC 的中线，∴DE ∥AB. ∴CE CA ＝CDCB，∠EDC ＝∠B＝90°. 如图2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴CE CA ＝CDCB 仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△CEA ∽△CDB.∴AE BD ＝ACBC.在Rt △ABC 中，∵∠C ＝30°，AC ＝2AB ，∴cos ∠ACB ＝BC AC ＝32.∴BD AE ＝32.∴BDAE的大小不变．八、(本题满分14分)23．(2016·马鞍山当涂县四模)如图1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在边AB 上，∠DEC ＝90°，且DE ＝EC.(1)求证：△ADE≌△BEC；(2)若AD ＝a ，AE ＝b ，DE ＝c ，请用图1证明勾股定理：a 2＋b 2＝c 2；(3)线段AB 上另有一点F(不与点E 重合)，且DF⊥CF(如图2)，若AD ＝2，BC ＝4，求EF 的长． 解：(1)证明：∵AD∥BC，AB ⊥BC ，∴∠A ＝∠B＝90°，∠ADE ＋∠AED＝90°. 又∵∠DEC＝90°，∴∠AED ＋∠CEB＝90°. ∴∠ADE ＝∠CEB.在△ADE 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，∠ADE ＝∠BEC，DE ＝EC ，∴△ADE ≌△BEC(AAS)．(2)证明：∵A B⊥BC，∠DEC ＝90°，∴△ADE ，△DEC ，△BEC 都是直角三角形．∵AD ＝a ，AE ＝b ，DE ＝c ，△ADE ≌△BEC ，∴BE ＝a ，BC ＝b ，EC ＝c ， ∴S 四边形ABCD ＝12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12c 2＋12ab ，整理得a 2＋b 2＝c 2.(3)∵△ADE≌△BEC， ∴BE ＝AD ＝2，AE ＝BC ＝4.∵DF ⊥CF ，∴∠AFD ＋∠BFC＝90°.∵∠BFC ＋∠BCF＝90°，∴∠AFD ＝∠BCF. 又∵∠A＝∠B，∴△AFD ∽△BCF.∴AF BC ＝ADBF .设AF ＝x ，则BF ＝6－x ， ∴x 4＝26－x.解得x 1＝2，x 2＝4. ∵点F 不与点E 重合，∴x ≠4，即x ＝2. ∴AF ＝2.∴EF ＝AE －AF ＝4－2＝2.。
广西贵港市2017届中考数学总复习 图形的初步认识与三角形单元测试四图形的初步认识与三角形试题
贵港单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共24分)1．若∠A＝34°，则∠A的补角为( B )A．56° B．146° C．156° D．166°2．如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝70°，则∠2的大小是( D )A．20° B．30° C．50° D．70°3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，那么第三边长可能是( B )A．2 B．4 C．6 D．84．下列命题中，是假命题的是( B )A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于( D )A．5 B．6 C．7 D．86．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝( C )A. 3 B．2 C．3 D.3＋27．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( B )A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶258．(2016·长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( A )A．160 3 m B．120 3 m C．300 m D．160 2 m二、填空题(每小题4分，共16分)9．如图，△ABC ≌△DEF ，请根据图中提供的信息，写出x ＝20．10．如图，等腰△ABC 的底角为72°，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点E ，垂足为D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为36°．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC＝12∠BAC，则tan ∠BPC ＝43．12．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P是四边形ABCD 四条边上的一个动点．若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共60分)13．(10分)如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D.(1)求证：AB ＝CD ；(2)若AB ＝CF ，∠B ＝30°，求∠D 的度数．解：(1)证明：∵AB∥CD ，∴∠B ＝∠C. 又∵∠A ＝∠D ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DCF. ∴AB ＝CD.(2)∵AB ＝CF ，AB ＝CD ， ∴CD ＝CF.∴∠D ＝∠CFD.∵∠B ＝∠C ＝30°，∴∠D ＝75°.14．(12分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°， D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，AC ＝12，BC ＝5. (1)求cos ∠ADE 的值；(2)当DE ＝DC 时，求AD 的长．解：(1)∵DE⊥AB ， ∴∠DEA ＝90°.∴∠A ＋∠ADE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°. ∴∠ADE ＝∠B.在Rt △ABC 中，∵AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝13.∴cosB ＝BC AB ＝513.∴cos ∠ADE ＝cosB ＝513.(2)由(1)得cos ∠ADE ＝DE AD ＝513，设AD 为x ，则DE ＝DC ＝513x.∵AC ＝AD ＋DC ＝12，∴x ＋513x ＝12.解得x ＝263.∴AD ＝263.15．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．(1)求证：△BDE∽△BAC；(2)已知AC ＝6，BC ＝8，求线段AD 的长度．解：(1)证明：∵∠C ＝90°，△ACD 沿AD 折叠，∴∠C＝∠AED＝90°.∴∠DEB＝∠C＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC.(2)由勾股定理，得AB＝10.由折叠的性质，得AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°.∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即CD2＋42＝(8－CD)2.解得CD＝3.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即32＋62＝AD2.解得AD＝3 5.16．(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60(6＋2)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(6－2)海里．(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC；(结果保留根号)；(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，海监船从A处出发沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)作CE⊥AB于点E，设AE＝x，则在△ACE中，CE＝3x，AC＝2x.在△BCE中，BE＝CE＝3x，BC＝6x.∵AB＝AE＋BE，∴x＋3x＝60(6＋2)，解得x＝60 2.∴AC＝1202海里，BC＝1203海里．(2)作DF⊥AC于点F.在△AFD中，DF＝32 DA，∴DF＝32×120×(6－2)＝60(32－6)≈106.8>100.∴无触礁危险．17．(14分)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB是等腰三角形时，求AP的长．解：(1)证明：在△AQP 与△ABC 中， ∵∠AQP ＝∠ABC ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC.(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，则AC ＝5. ∵∠BPQ 或∠PBQ 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ 或BP ＝BQ. ①当点P 在线段AB 上时，由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，PB ＝PQ. ∴AP AC ＝QP BC ，即3－PB 5＝PB 4.解得PB ＝43. ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时， ∵BP ＝BQ ， ∴∠BQP ＝∠P.∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A. ∴BQ ＝AB.∴AB ＝BP ，点B 为线段AP 的中点． ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.。
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单元测试(四)图形的初步认识与三角形
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．若∠α＝32°，则∠α的补角为(C)
A．58°B．68°C．148°D．168°
2．(2016·长沙)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是(B)
3．(2016·毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D)
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
4．如图，字母B所代表的正方形的面积是(B)
A．12B．144C．13D．194
5．(2016·河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是(D)
A．1对B．2对C．3对D．4对
7．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是(B)
A．10°B．15°C．20°D．25°
8．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)
A．5B．6C．7D．8。