天津市南开中学2015届高三数学(文)统练8(数列)

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2015天津高考数学(文)试题及答案

2015天津高考数学（文）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共8小题）1.复数（）A．B．C．D．2.若，满足则的最大值为（）A．0B．1C．D．23.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．B．C．D．4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．56.设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（共6小题）9.在的展开式中，的系数为．（用数字作答）10.已知双曲线的一条渐近线为，则．11.在极坐标系中，点到直线的距离为．12.在中，，，，则．13.在中，点，满足，．若，则；．14.设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．三、解答题（共6小题）15.已知函数．(Ⅰ) 求的最小正周期；(Ⅱ) 求在区间上的最小值．16.，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求二面角的余弦值；(Ⅲ) 若平面，求的值．18.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．19.已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．20.已知数列满足：，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．答案部分1.试题解析:原式=2i-i2=1+2i答案:A2.考点:线性规划试题解析:如图所表示的区域为不等式组表示的平面区域，易知点为目标函数取得最大值的最优解，即Z max=0+21=2答案:D3.试题解析:据框图可得：答案:B4.试题解析:显然由推不出，但能推出，故选B答案:B5.考点:空间几何体的三视图与直观图试题解析:直观图如图：在过点P作AB的垂线交AB于点D，连接DC,＝,,所以，表面积S=2+.答案:6.考点:等差数列试题解析:可使用特值法。

天津市南开中学2015年高考数学统练试卷(理科)(7)

2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 12．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜04．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（） A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．2015年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（7）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．已知y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，则a+b=（）A．﹣1 B． 0 C． D． 1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质分别取x=1或﹣1，代入函数解析式列出方程组，求出a、b 的值，即可求出a+b的值．解答：解：∵y=log3（3x+1）+ax是偶函数，y=b+为奇函数，∴，解得，∴a+b=，故选：C．点评：本题考查函数奇偶性的性质，以及方程思想，属于基础题．2．设a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质分别进行判断即可．解答：解：a=（）＞（）＞（）＞0，即a＞b，c=log＜0，即a＞b＞c，故选：B点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数幂和对数的性质是解决本题的关键．3．若方程（）x+（x﹣1+a=0）有正数解，则实数a的取值范围是（）A． 0＜a＜1 B．﹣3＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣1＜a＜0考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；换元法．分析：为便于处理，不妨设t=（）x，于是可转化为求关于t的方程t2+2t+a=0的根的问题，明显地，原方程有正实数解，即可转化为关于t的方程在（0，1）上有解的问题，即可得解．解答：解：设t=（）x，则有：a=﹣[（）2x+2（）x]=﹣t2﹣2t=﹣（t+1）2+1．原方程有正数解x＞0，则0＜t=（）x＜（）0=1，即关于t的方程t2+2t+a=0在（0，1）上有实根．又因为a=﹣（t+1）2+1．所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2，即1＜（t+1）2＜4，即﹣4＜﹣（t+1）2＜﹣1，即﹣3＜﹣（t+1）2+1＜0，即得﹣3＜a＜0．故选：B．点评：本题考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查，属于中档题．4．设M=a+（2＜a＜3），N=（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（） A． M＞N B． M=N C． M＜N D．不能确定考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：由2＜a＜3，知M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．解答：解：∵2＜a＜3，∴M=a+=（a﹣2）++2＞2+2=4，N=≤=4＜M．故选A．点评：本题考查比较不等式的大小，解题时要注意均值不等式的合理运用．5．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21B．∃a∈R，f（x）是偶函数育C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数考点：全称命题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：考查函数f（x）的单调性，排除选项A、C；a=0时，f（x）是偶函数，无论a取何值，f（x）都不是奇函数，由此得出正确选项．解答：解：∵f（x）=x2+，∴f′（x）=2x﹣=，令2x3﹣a=0，解得x=，∴当x＞时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当x＜时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴选项A、C错误；又a=0时，f（x）=x2是偶函数，∴B正确；无论a取何值，f（x）都不是奇函数，∴D错误．故选：B．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，是综合性题目．6．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ D．最大值﹣考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式易得xy∈（0，]，换元可得z=t+，t∈（0，]，由“对勾函数”的单调性可得．解答：解：∵x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，∴﹣x，﹣y∈（0，+∞），且（﹣x）+（﹣y）=1，∴由基本不等式可得xy=（﹣x）（﹣y）≤=当且仅当﹣x=﹣y即x=y=﹣时，上式取最大值，即xy∈（0，]，令xy=t，则t∈（0，]，已知式子化为z=t+，由函数的单调性易得函数z=t+在t∈（0，]上单调递减，∴当t=时，xy+有最小值+4=，故选：B．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及“对勾函数”的单调性，属基础题．7．（5分）（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣1，0）考点：导数的加法与减法法则；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．解答：解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．点评：本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．8．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． [1，+∞） B． [1，） C． [1，2） D． [，2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：常规题型．分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．解答：解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）=0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．9．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围解答：解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有＜2+，即，即有1＜a＜②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；综上分析可知a∈（0，）；故选A．点评：本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x ＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）A． {x|x＜﹣1或x＞1} B． {x|x＜﹣1或0＜x＜1}C． {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜1，且x≠0}考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（1）==0∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或⇔0＜x＜1或x＜﹣1故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．11．已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A． [3，+∞） B． [2，+∞） C．（0，3] D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．12．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤ B．≤k＜1 C． k＞﹣1 D． k＜1考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；压轴题．分析：首先应根据条件将问题转化成：在上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x﹣k在上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．解答：解：方法一：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x﹣k在上有两个不同交点．对于临界直线m，应有﹣k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，1），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴﹣k＜1，即k＞﹣1．综上，﹣1＜k≤．方法二：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．化简方程，得x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0．令g（x）=x2﹣（2k+2）x+k2﹣1，则由根的分布可得，即，解得k＞﹣1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，﹣1＜k≤，故选A．点评：本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3的解集为（﹣1，1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜3等价于①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得﹣1＜x＜，解③求得≤x＜1，综合可得，原不等式的解集为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．14．若方程2log2x﹣log2（x﹣1）=m有两个解，则实数m的取值范围是（2，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：据对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则转化成x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，解方程即可．解答：解：由题得得x＞1．又∵2log2x﹣log2（x﹣1）=log2（）=m，∴可得=2m，即x2﹣2m x+2m=0．方程在x＞1时有两个解，可得：，解得所以实数m的取值范围是：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查对数的真数大于0、对数的运算法则、二次方程的解法，解题过程中要注意对数的定义域，属于中档题．15．已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则a的取值范围是．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：将方程进行移项，然后再根据利用绝对值的几何意义进行求解．解答：解：x2+x+|a﹣|+|a|=0即|a﹣|+|a|=﹣（x2+x），令y=﹣（x2+x），分析可得，y≤，若方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则必有|a﹣|+|a|≤，而|a﹣|+|a|≥，当且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=，故且仅当0≤a≤时，有|a﹣|+|a|=﹣（x2+x）成立，即x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，可得实数a的取值范围为，故答案为：．点评：此题考查绝对值不等式的解法及其几何意义，解题的关键是利用零点分段法进行求解，此类题目是高考常见的题型．16．由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出解答：解：如图两个曲线的交点为（1.25，±0.5），所以由抛物线y2=，y2=x﹣1所围成封闭图形的面积为：2=2=2（y﹣）|=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的应用，正确求导积分变量以及变量范围，熟练掌握微积分基本定理定理是解题的关键．17．已知函数（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m= ﹣3e ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f （x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．18．若函数f（x）=x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．解答：解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3．令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故答案为：[﹣2，1）．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．…（4分）乙得分的分布列如下：X ﹣15 0 15 30P．…（6分）（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，…（8分）．…（10分）故甲乙两人至少有一人入选的概率．…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x ∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．22．设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．（Ⅱ）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），因为x=e是f（x）的极值点，所以f′（e）=0解得a=e或a=3e．经检验，a=e或a=3e符合题意，所以a=e，或a=3e．（Ⅱ）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2，解得由（Ⅰ）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），令h（x）=2lnx+1﹣，则h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数．所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有有h（x0）=2lnx0+1﹣=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入得4x02ln3x0≤4e2又x0＞1，注意到函数4x2ln3x在（1，+∞）上是增函数故1＜x0≤e，再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，由f（3e）=（3e﹣a）2ln3e≤4e2解得，所以得．综上，a的取值范围为．点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．。

天津市南开中学高三数学统练1 理

天津市南开中学2015届高三数学统练1 理一、选择题（共12个小题，每题5分）1. 已知集合(){}(){}2,9,,M x y y x N x y y x b ==-==+,且M N ⋂=Φ,则实数b 的取值范围是( ) A.32b ≥ B.02b <<C.332b -≤≤D.32,3b b ><-或2.已知函数()34x f x x +=-及()229712x g x x x -=-+的值域分别为,M N ,则( ) A.M N ⊇ B.M N = C.M N ⊆ D. 以上都不对3. 3.设映射()2:2f x x x x→-+是实数集R 到实数集R 的映射，若对于实数p R ∈，在R 中不存在原象，则p 的取值范围是（） .A()1,+∞ .B [)1,+∞ .C (),1-∞ .D (],1-∞4.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（）A.增函数且最小值为 5 B ．增函数且最大值为 5 C.减函数且最小值为 5 D ．减函数且最大值为55. 函数248136(1)x x y x ++=+()1x >-的最小值是（） .A 1 .B 32 .C 2 .D 36.已知函数13y x x =-+的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为（）． A.14B ．12C ．2D ．37.已知条件:15p a -<<,条件22:210q x ax a -+-=的两根均大于2-小于4,则p 是q 的( )条件.A .充分不必要B .必要不充分 C.充分且必要 D .既不.充分也不必要8.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1x ，2x ∈R 有()()()12121f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（）．A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为偶函数 C ．()1f x +为奇函数 D ．()1f x +为偶函数9.若函数()x f y =在（0，2）上是增函数，()2+=x f y 是偶函数，则有（）.A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<27251f f fB ．()12527f f f <⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛25127f f f D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛27125f f f10．函数2()2f x x ax a =-+在(,1)-∞上有最小值，则函数()()f x g x x =在(1,)+∞上一定（）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数11. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+=)1(11)11(22)1()1()(2x x x x x x x f ，已知1)(>a f ，则a 的取值范围是（）A.（－∞，－2）∪（－21，+∞） B.（－21，21）C.（－∞，－2）∪（－21，1）D.（－2，－21）∪（1，+∞）12.设2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（）A.(,1][1,)-∞-+∞UB.(,1][0,)-∞-+∞UC.[0,)+∞D.[1,)+∞二、填空题（共6个小题，每题5分）13. 若不等式022>-+ax x 在区间上有解，则a 的取值范围是 .14.定义在区间[]0,a 上的函数()223f x x x =-+有最大值为3，最小值为 2，正数a 的取值范围是 .15.已知函数()12axf xx+=+在区间()2,-+∞上是增函数, 则a的取值范围是 .16. 已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数)(xf是奇函数，,当0x>时,()241f x x x=-++,则)(xf的单调递增区间是 .17.函数y=的值域是 .18.已知()()()()23,22xf x m x m x mg x=-++=-.若同时满足条件:①对()(),00;x R f x g x∀∈<<或②()()(),4,0x f x g x∃∈-∞-⋅<.则实数m的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 函数()f x对任意的实数m、n，有()()()f m n f m f n+=+，当0x>时，有()0f x>.(1)求证：()f x是奇函数,;(2)求证：()f x在(,)-∞+∞上为增函数.20. 已知函数)0(21)(>+-=xxaxf.(1)判断)(xf在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x的不等式)(>xf;（3）若2)(≥+xxf在),0(+∞上恒成立，求a的范围.21.设()f x是定义在R上的函数,对k N*∈,当(]21,21kx I k k∈=-+时,()()22.f x x k=-求集合(){}k kM a f x ax I==方程在上有两个不相等的实根.22.已知113a≤≤, 若()221f x ax x=-+在区间[]1,3上的最大值为()M a, 最小值为()N a, 令()()()g a M a N a=-. (1)求()g a的函数解析式；(2)判断()g a的单调性, 并求出()g a的最小值.2015届高三数学统练1答案一、选择题 DAABCC BCCDCC二、填空题13.23,5⎛⎫-+∞⎪⎝⎭ 14.[]1,215.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16. ()()2,0,0,2-17.12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.()42--，20. 已知函数)0(21)(>+-=x x a x f .(1)判断)(x f 在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x 的不等式0)(>x f ;（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，求a 的范围. 20．解:（1）)(x f 在),0(+∞上为减函数证明：设210x x <<,)21()21()()(2121x a x a x f x f +--+-=-0)(222211221>-=-=x x x x x x ,∴ )()(21x f x f > .∴ )(x f 在),0(+∞上为减函数（2）不等式0)(>x f ，即021>+-x a ，即02>+-ax a x ,也即0)2(<⋅-ax a x① 当0>a 时，不等式0)2(<-a x x ,不等式解为a x 20<<② 当0<a 时，不等式0)2(>-a x x ,不等式解为0>x 或a x 2<（舍去）（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，即0221≥++-x x a∴ )1(21x x a +≤,∵ )1(2x x +的最小值为4 ∴ 41≤a .解得0<a 或41≥a 21.设()f x 是定义在R 上的函数,对k N *∈,当(]21,21k x I k k ∈=-+时,()()22.f x x k =-求集合(){}k k M a f x ax I ==方程在上有两个不相等的实根.21.解：问题等价于方程()22440x k a x k -++=在区间(]21,21k k -+有两个不等实根.记()()2244g x x k a x k =-++ ,利用根的分布,有()()()2221021041212124160g k g k k k k k a k ⎧->⎪+≥⎪⎪+⎨-<<+⎪⎪∆=+->⎪⎩解得1211212208a k a k a a a k ⎧<⎪-⎪⎪≤⎨+⎪-<<⎪⎪><-⎩或即1021a k <≤+. 所以10,21k M k ⎛⎤= ⎥+⎝⎦. 22.已知113a ≤≤, 若()221f x ax x =-+在区间[]1,3上的最大值为()M a , 最小值为()N a , 令()()()g a M a N a =-. (1)求()g a 的函数解析式；(2)判断()g a 的单调性, 并求出()g a 的最小值.。

天津市南开中学届高三校模拟考试.docx

高中数学学习材料唐玲出品天津市南开中学2015届高三校模拟考试数学试卷（文）说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第І卷（选择题共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．!) 1. 复数22 ()1i i-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( )． A ．i -B ．1-C ．1 D ．02. 设集合{|2}A x x =>，若ee m ln =（e 为自然对数底），则( ).A.A ∅∈B.A m ∉C .A m ∈ D.{}m x x A >⊆3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为( )． A . 7 B. 6 C . 5 D .4 4. 在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于( )．A ．9B ．10C ．11D ．125.“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ). A.53 B.83C ．8 D ．24 7.在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )．A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8. 已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ).A . 332>e B. 3321<<e C. 3>e D. 31<<e第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．!) 9. 公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________．10. 已知变量x ，y 满足约束条件错误!则z ＝2x ·4y 的最大值为________．11. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.12. 如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥，1,2==PC PA .则圆O 的面积为.第11题第12题13. 已知1OA =，2OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且45AOC ∠=︒，设() O C m O A n O B m n =+∈R ,，则mn的值为________． 14.已知函数243,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. (本小题满分13分)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率． 16. (本小题满分13分)已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3(其中ω>0)，且函数f (x )的周期为π.(1)求ω的值；CAP B(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调区间．17. (本小题满分13分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．18. (本小题满分13分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <． 19. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ，当直线AB 斜率为0时，32AB CD +=,（1）求椭圆的方程；（2）求由,,,A B C D 四点构成的四边形的面积的取值范围. 20. (本小题满分14分)已知函数()ln 2mf x x x=+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证：101ea b c <<<<<．21.南开中学2015届高三文科数学校模拟参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C A C D A 二、填空题：（9）41（10）32（11）120(3－1)（12）π49（13）2（14）(423-,2)三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.解析：（Ⅰ）15816216316816817017117918210a x +++++++++=170=解得a =179 所以污损处是9（Ⅱ）设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝2516.解 (1)因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，又因为函数f (x )的周期为π，且ω>0，所以T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2sin(4x －π6)的图象．由－π2＋2k π≤4x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π2－π12≤x ≤k π2＋π6(k ∈Z )；由π2＋2k π≤4x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π12(k ∈Z )．故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π24，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12. 17.(1)证明如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD .又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)①证明连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD . ②解连接BF .由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112.故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111. 所以，直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111. 18.（Ⅰ）22124n n n n n a a a a a +++++=且0n a >2221)(2)n n n a a a ++∴+=（212n n n a a a ++∴+={}na ∴是首项为1=1a ，公差为211a a -=的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）得21(1)1,n n a n n a n =+-⨯==()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ()21111n =-<+19.（Ⅰ）由题意知，22c e a==，则c b c a ==,2，2322222||||2=+=+=+∴c c ab a CD AB ，所以1c =．所以椭圆的方程为2212x y +=．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知22222121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形；②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以2222221221)1(22211221||1||kk k k k x x k AB ++=++⋅+=-+=．同理，2)1(2221)11(22||2222++=++=k k kk CD ．所以24222222522)1(42)1(2221)1(222121kk k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形()()()2221422112121k k k k k k+==-++++，9112211222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k 当且仅当1±=k 时取等号 ∴)2,916[∈四边形S 综合①与②可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S20.解：（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x． ∴221121()22-'=-=x f x x x x由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ，∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减．∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ．故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．（III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x=+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ，下面讨论()ln 2mf x x x=+的零点情况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m m f ，解得20<<m e，∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ． ∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>．10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e∴<<<<<，得证．。

天津市南开中学2015届高三数学(文)统练10(立体几何)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知a 、b 是异面直线，直线//c 直线a ，则c 与b ( ).A 一定是异面直线.B 一定是相交直线 .C 不可能是平行直线.D 不可能是相交直线2. 若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( ).A 若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β .B 若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β .C 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α .D 若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ3. 已知1,6,()2==⋅-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）.A 6π.B 4π.C 3π.D 2π4. 已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则yx 311+的最小值是（）.A 4 .B 22 .C 2 .D 325. 如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( ).A PB ⊥AD .B 平面P AB ⊥平面PBC .C ．直线BC ∥平面P AE.D 直线PD 与平面ABC 所成的角为45°6. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( ).A AC ⊥BE .B EF ∥平面ABCD.C 三棱锥A －BEF 的体积为定值.D △AEF 的面积与△BEF 的面积相等7. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB =2DC =2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED ､EC 向上折起,使A ､B 重合于点P,则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为( )A B D C8. 把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B —AD —C ，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 ( ) .A 2 .B 22 .C 1 .D 33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 9. 如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比________.10. 在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面,,,BCD BD DC BD DC AC a⊥==, 030ABC ∠=,则点C 到平面ABD 的距离是________. 11. 给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 12. 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则当M 满足条件_____________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.13. 已知AB 为平面α的一条斜线，B 为斜足，AO α⊥，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，则斜线AB 和平面α所成的角大小为__________.14. 正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)已知在锐角ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且tan B =（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）求函数()sin 2sin cos f x x B x =+,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域及单调递减区间．16. (本小题满分13分)已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-, （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.17. (本小题满分13分)如图：在三棱锥P ABC -中，PB ⊥面ABC ， ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=，2AB BC ==，45PAB ∠=，点D E F 、、分别为AC AB BC 、、的中点, ⑴求证：EF PD ⊥； ⑵求直线PF 与平面PBD 所成的角的正弦值； 18. (本小题满分13分) 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.19. (本小题满分14分)如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2AD PA ==，FE DC B APCD =E F ,分别是AB ,PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；（Ⅱ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求四面体PEFC 的体积．20. (本小题满分14分)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且514a =，720a =．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n n c a b =⋅，12 3 n =，，，，n T 为数列{}n c 的前n 项和．求证：72n T <． 2015届高三数学文科统练10 一、选择题 CACA DCCB 二、填空题9. 1∶511. ②④ 12. M ∈线段FH 13. 45︒ 14. 2＋6 三、解答题 15.代入tan B =sin B =而ABC ∆是锐角三角形，所以角3B π=，（Ⅱ）()sin 22sin cos2f x x Bx =+sin 2x x ==2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域，因为3222232k x k πππ+π≤+≤+π，所以722266k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，，当0k =时，71212x ππ≤≤，又02x π≤≤；所以，()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，16.（1）由题意知()sin 2cos2f x a b m x n x =∙=+.根据()y f x=的图象过点(12π和2(,2)3π-，得到sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得1m n =.PMOFEDCBA17.⑴连结BD 。

天津市南开中学2015届高三数学(文)统练2(三角函数)

（三角恒等变换）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.sin 600=（）A ．12-B． C ．12D2. 若集合}4,2{},,3{2==B a A ，则“2=a ”是“{}4A B ⋂=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（） A.增函数且最小值为-5 B ．增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D ．减函数且最大值为-5 4. 已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 5.︒=( )．A ．sin 40︒B ．sin 40︒- C ．cos 40︒ D ．cos 40︒- 6.已知)sin cos 0,cos 2αααπα+=<<则的值是（）． A ．0 B ．35±C ． 35D ． 35- 7. 若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα+=-（）A 、12-B 、12C 、2D 、2- 8.若02πα<<，02πβ<<-，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A． B． C． D．9. 设函数2(1)(1)()22(11)11(1)x x f x x x x x⎧+≤-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩，已知1)(>a f ，则a 的取值范围是（）A.（－∞，－2）∪（－21，+∞） B.（－21，21） C.（－∞，－2）∪（－21，1）D.（－2，－21）∪（1，+∞）10. 设2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（）A.(,1][1,)-∞-+∞B.(,1][0,)-∞-+∞C.[0,)+∞D.[1,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分，把答案填在题中横线上． 11. 不等式411x x ≥--的解集为_____________. 12. 已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 则tan tan 2x x 的值为__________．13. 已知角α的终边上一点的坐标为（32cos ,32sinππ），则角α的最小正值为________. 14.已知cos()sin 6παα+-=，则7sin()6πα-=_____________. 15. 若变量x 、y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -= .16. 若),0(,+∞∈y x ，且满足124++=y x xy ，求xy 的最小值是 .三、解答题：本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.(本小题满分12分)已知sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----（1）化简()f α（2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值19. (本小题满分12分)已知关于x 的不等式2251x x m m+->+.（1）求该不等式的解集；（2）当此不等式的解集为(5,)+∞时，求实数m 的值.20. (本小题满分14分)解关于x 的不等式)1(12)1(≠>--a x x a21.(本小题满分14分)已知m R ∈，命题:p 对任意[0,8]x ∈，不等式213log (1)3x m m +≥-恒成立，命题:q 对任意x R ∈，不等式|1sin 2cos 2|2|cos()|4x x m x π+-≤-恒成立（1）、若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）、若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围.2015届高三数学文科统练218.（1）、s i n c o s (t a n )()c o s t a n s i n f ααααααα-==-（2）、31cos()25πα-=1sin ,,cos 5ααα∴=-∴=在第三象限()cos f αα∴=-=19.（1）当1m >时，不等式的解集为225{|}1m m x x m -->- 当1m =时，不等式的解集为R当001m m <<<或时，不等式的解集为225{|}1m m x x m --<-（2）7m =20. 解：原不等式可化为：02)2()1(>--+-x a x a① 当1>a 时，原不等式与0)2)(12(>----x a a x 同解由于2111112<<--=--a a a ∴ 原不等式的解为),2()12,(+∞⋃---∞a a ② 当1<a 时，原不等式与0)2)(12(<----x a a x 同解由于11112--=--a a a 若0<a ，211112<--=--a a a ，解集为)2,12(--a a ；若0=a 时，211112=--=--a a a ，解集为φ；若10<<a ，211112>--=--a a a ，解集为)12,2(--a a 综上所述：当1>a 时解集为),2()12,(+∞⋃---∞a a ；当10<<a 时，解集为)12,2(--a a ；当0=a 时，解集为φ；当0<a 时，解集为)2,12(--a a。

天津市南开中学2015届高三数学(理)统练

天津市南开中学2015届高三数学统练6一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为（） A.p q > B. p q ≥ C. p q < D. p q ≤ 2. 已知a b c >>，则114a b b c c a++---的值是 ( ) A .非负数 B .非正数 C .正数 D . 不确定 3. 关于函数()ln 2f x x =-下列描述正确的有（）个①函数()f x 在区间()12，上单调递增； ②函数()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x +=； ④函数()f x 有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 已知函数()()11x xx a f x a -=+（0,1a a >≠），则A. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数B. 函数()f x 在()0,+∞上是减函数C. 函数()f x 是奇函数D.函数()f x 是偶函数5. 设0a >，()2f x ax bx c =++，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的倾斜角的范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（） A ．10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,2ba⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦6. 若(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则a 的取值范围是（）A.(0,1) B ．(1,2) C. (1,2] D. [1,2]7. 221log 1log x x +>-的解集为（）A ．[2,)+∞B ．(1,8)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞8. 若1927x ≤≤，则33()log log (3)27xf x x =⋅（） A ．有最小值329-，最大值3- B. 有最小值4-，最大值12C. 有最小值329-，无最大值 D. 无最小值，有最大值129. 已知：a ，b ，c ，d 满足：12log 3a a =，12log 2b b =，21log 3c c =，21log 2d d =. 则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A. a b c d >>>B. a b c d <<<C. a b d c >>>D. b a c d >>>10. 设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2- ()Bln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+11. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭U B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭UC ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U 12. 设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（）（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 函数()2ln 6y x x =+-的单调递增区间是 .14. 计算定积分(sin cos )x x dx π+⎰_______________=15. 已知函数()()2ln f x ax x x x =+-在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.16. 设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______.17. 已知函数()133+-=x x x f ,()m x g x-=)21(,若对1[1,3]x ∀∈-,2[0,2]x ∃∈,12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围是______.18. 若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；③每位参加者按,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.20. 设函数2()1x f x e x ax =---．若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．21. 已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L ．22. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．班级姓名学号成绩天津南开中学2015届高三数学统练6（理科）答题纸一、选择题二、填空题13._____________ 14.______________ 15._____________16.______________ 17.__ ___________ 18.______________ 三、解答题 19.20.21.22.天津南开中学2015届高三数学统练6（理科）答案二、填空题13.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭14. 215.1,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16. 21(,]ee-∞+17.45≥m18.2[,)3e+∞(Ⅱ)由题意可知随机变量ξ可能的取值为2,3,4,.由于每题的答题结构都是相对独立的，所以121(2)()8P P N N ξ===, 1231233113123(3)()()4234238P P M M M P M N N ξ==+=⋅⋅+⋅⋅=131(3)1(1)(2)1882P P P ξξξ==-=-==--=因此随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3P18 38 12所以2348828E ξ=⨯+⨯+⨯=.20. 解：（1）0a =时，()1xf x e x =--，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12xf x e ax =--由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.21.解: （Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，．（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．'依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x xF x f x f x -=+-=+Q ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，1(2)(1)e 2n F F n +->+1()(1)e 2.n F n F +>+L L由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+L L故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N L ，．22. 解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作天津市南开中学2015届高三校模拟数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 复数z 满足：()()i 2i 5z --=，则z =( ).A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +2. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =( ).A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 设变量y x ,满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩, 则目标函数y x z 32+=的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．5 4. 已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 ( ).A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥l考试时间：120分钟C ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l5. 设x y ∈,R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，23a b +=，则11xy+的最大值为( ). A ．2B ．32C ．1D ．126. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( ).A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，12F F ，是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A B ，分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）．A ．2B ．3C ．32D ．628. 在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L 距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L 距离”之和等于定值(大于12||||F F )的点的轨迹可以是( ).ABC Dx　yB　AF 1F 2OII 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10. 已知()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数是__________.11. 如图，在ABC 中，3AB =，4BC =，5CA =，点D 是BC 的中点，BE AC ⊥于点E ，BE 的延长线交DEC 的外接圆于点F ，则EF 的长为__________.12. 已知直线l 的参数方程为413x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数) 则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________.13. 如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =， ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅的值为__________.14. 已知函数2()ln x f x a x x a =+-，对任意的12[01]x x ∈、，,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为__________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只DABCFCE DBA能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16. 已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =. (Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B ,并求1BDBC 的值.18. 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <.20. 已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；（Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．天津南开中学2015届高三理科数学校模拟试卷参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 DBDDCADA二、填空题：9101112131410192-1415372[),e +∞三、解答题：21. 15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.34. 35. 36. 37. 38. 39.40.16.已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a的值.（Ⅱ）22A f =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =.(Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B , 并求1BDBC 的值. 解：（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由（I ）知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB ⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz , 则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则1110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩，令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =. 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角．．．．．．A ．1．－．BC ．．1．－．B ．1．为锐角．．．，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =，即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B. 此时，1925BD BC λ==. 41. 42.18.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设22c a b =- 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,3,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y +=（Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x2220203331343443434x x y xy x y k y x '+=⇒=-⇒=-⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Qx x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*）（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=，得(1,0)M43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <. （Ⅰ）证明：因为()14211n n S n a +=-+，所以当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+，两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥，所以()()12121n n n a n a ++=-，即()121221n n a n n a n ++=≥-，在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553=12123252731n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---- ，所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()2122n n n S n n -=+⨯=，当1n =时，1111312T a S ==<；当1n ≥时，()()()11221121221222222n n nb n n n n n n n na S ===<=-----，所以12311111131312446222222n n T b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-.20.已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．52. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；53. （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；54. （Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．55. 解：()()212120x ax f x x a x x x-+'=+-=>.56.（Ⅰ）当3a =时，()2231x x f x x -+'=，令()0f x '=，有12x =或1x =，57. 当102x <<或1x >时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<.58. 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.59. （Ⅱ）由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x a x -+=有两个不相等的实根， 60. 所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==， 61. 所以()()()()()2212111222112121211121ln ln 1=ln ln221=2ln ln 2014f x f x x x ax x x ax ax x x a x x x x x x x -=+---+-+----++<≤ . 62. 设()()2212ln ln 2014F x x x x x =-++<≤， 63. 则()()223321212022x F x x x xx-'=--=-<，64. 所以()F x 在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ==-+，65. 即()()123ln 24f x f x -≥-+.66. （Ⅲ）()()()()2222lnln 2ln +2ln 2ln 662ln +22ln 6ax g x f x x x ax ax x x ax x ax +=+=+-+--=+-- ,67. 所以()24222222a ax x a a g x x a ax ax ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=++，68. 因为()2,4a ∈，所以2423222a a a a -=->-，且32x ≥，所以2402a x a -+>.69. 所以()0g x '>，()g x 在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，70. 所以()()()max 22ln 22242ln6g x g a a ==+-+-，71. 所以()()22ln 22242ln 64a a k a +-+->-在()2,4a ∈上恒成立. 72. 令()()()22ln 22242ln 64h a a a k a =+-+---，则()20h =， 73. 则()0h a >在()2,4上恒成立. 74. 因为()()2122211a ka k h a ka a a +-'=-+=++， 75. 当0k ≤时，()0h a '<，()h a 在()2,4上单调递减，()()20h a h <=，不合题意；76. 当0k >时，令()0h a '=，有1ka k-=， 77. 若12k k ->，即103k <<时，()h a 在12,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，存在，()()20h a h <=，不合题意； 78. 若12k k -≤，即13k ≥时，()h a 在()2,4上单调递增，()()20h a h >=，满足题意.79. 综上，实数k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.80.。

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天津市南开中学2015届高三校模拟数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 复数z 满足：()()i 2i 5z --=，则z =( ).A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +2. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =( ).A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<3. 设变量y x ,满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩, 则目标函数y x z 32+=的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．5 4. 已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 ( ).考试时间：120分钟A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l5. 设x y ∈,R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，23a b +=，则11xy+的最大值为( ). A ．2B ．32C ．1D ．126. 设()322()log 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( ).A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，12F F ，是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A B ，分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（）．A ．2B ．3C ．32D ．628. 在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L 距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L 距离”之和等于定值(大于12||||F F )的点的轨迹可以是( ).A Bx　yB　AF 1F 2OC D II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10. 已知()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数是__________.11. 如图，在ABC 中，3AB =，4BC =，5CA =，点D 是BC 的中点，BE AC ⊥于点E ，BE 的延长线交DEC 的外接圆于点F ，则EF 的长为__________.12. 已知直线l 的参数方程为413x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数) 则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________.13. 如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =， ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅的值为__________.14. 已知函数2()ln x f x a x x a =+-，对任意的12[01]x x ∈、，,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为__________.DABCFCE DBA三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16. 已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a 的值.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =. (Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B ,并求1BDBC 的值.18. 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <.20. 已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；（Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．天津南开中学2015届高三理科数学校模拟试卷参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 DBDDCADA二、填空题：9101112131410192-1415372[),e +∞三、解答题：21. 15. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙的得分X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.40.16.已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若()22Af =,1b =，2c =，求a的值.（Ⅱ）22A f =(),则2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11AAC C ,3AB =，5BC =.(Ⅰ)求证: 1AA ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角111A BC B --的余弦值；(Ⅲ)证明:在线段1BC 存在点D ,使得AD ⊥1A B , 并求1BDBC 的值. 解：（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由（I ）知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB ⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz , 则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则1110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩，令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =. 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角．．．．．．A ．1．－．BC ．．1．－．B ．1．为锐角．．．，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =，即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B. 此时，1925BD BC λ==. 41. 42.18.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e .过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设22c a b =- 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,3,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y +=（Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x2220203331343443434x x y xy x y k y x '+=⇒=-⇒=-⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Qx x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*）（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=，得(1,0)M43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n nb a S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：32n T <. （Ⅰ）证明：因为()14211n n S n a +=-+，所以当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+，两式相减，得()()()1421232n n n a n a n a n +=---≥，所以()()12121n n n a n a ++=-，即()121221n n a n n a n ++=≥-，在()14211n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，所以123211232121232553=12123252731n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---- ，所以()()()1212322n n a a n n n --=---=≥，故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，且21n a n =-.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()2122n n n S n n -=+⨯=，当1n =时，1111312T a S ==<；当1n ≥时，()()()11221121221222222n n nb n n n n n n n na S ===<=-----，所以12311111131312446222222n n T b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-.20.已知函数()2ln f x x x ax =+-()a R ∈．52. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；53. （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且(]10,1x ∈，证明：()()123ln 24f x f x -≥-+；54. （Ⅲ）设()()22ln6ax g x f x x +=+，对于任意()2,4a ∈时，总存在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()24g x k a >-成立，求实数k 的取值范围．55. 解：()()212120x ax f x x a x x x-+'=+-=>.56.（Ⅰ）当3a =时，()2231x x f x x -+'=，令()0f x '=，有12x =或1x =，57. 当102x <<或1x >时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<.58. 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.59. （Ⅱ）由于()f x 有两个极值点12,x x ，则2210x a x -+=有两个不相等的实根， 60. 所以12121,22a x x x x +=⋅=，即()122112,2x x a x x +==， 61. 所以()()()()()2212111222112121211121ln ln 1=ln ln221=2ln ln 2014f x f x x x ax x x ax ax x x a x x x x x x x -=+---+-+----++<≤ . 62. 设()()2212ln ln 2014F x x x x x=-++<≤， 63. 则()()223321212022x F x x x x x -'=--=-<， 64. 所以()F x 在(]0,1上单调递减，所以()()31ln 24F x F ==-+，65. 即()()123ln 24f x f x -≥-+.66. （Ⅲ）()()()()2222lnln 2ln +2ln 2ln 662ln +22ln 6ax g x f x x x ax ax x x ax x ax +=+=+-+--=+-- ,67. 所以()24222222a ax x a a g x x a ax ax ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=++， 68. 因为()2,4a ∈，所以2423222a a a a -=->-，且32x ≥，所以2402a x a -+>. 69. 所以()0g x '>，()g x 在3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，70. 所以()()()max 22ln 22242ln6g x g a a ==+-+-，71. 所以()()22ln 22242ln 64a a k a +-+->-在()2,4a ∈上恒成立. 72. 令()()()22ln 22242ln 64h a a a k a =+-+---，则()20h =， 73. 则()0h a >在()2,4上恒成立. 74. 因为()()2122211a ka k h a ka a a +-'=-+=++， 75. 当0k ≤时，()0h a '<，()h a 在()2,4上单调递减，()()20h a h <=，不合题意；76. 当0k >时，令()0h a '=，有1ka k-=， 77. 若12k k ->，即103k <<时，()h a 在12,k k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，存在，()()20h a h <=，不合题意； 78. 若12k k -≤，即13k ≥时，()h a 在()2,4上单调递增，()()20h a h >=，满足题意.79. 综上，实数k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

天津市南开区2015届高考第二次模拟考试数学文科试卷及答案

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·球的体积公式V 球=34πR 3， P (A ∪B )=P (A )+P (B )．其中R 表示球的半径．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（）．（A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）．（A ）10 （B ）11 （C ）12（D ）13（4）下列函数是奇函数的是（）．（A ）f (x )=–|x | （B ）f (x )=lg (1+x )–lg (1–x ) （C ）f (x )=2x +2–x （D ）f (x )=x 3–1（5）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（6）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（7）已知函数f (x )=sin (ωx +4π)（x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f (x )的图象向左平移|ϕ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（）．（A ）2π（B ）83π（C ）4π （D ）8π（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（）．（A ）98 （B ）910 （C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答题纸（文史类）题号二三总分(15)(16) (17) (18) (19) (20) 得分第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．得分评卷人二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

天津市南开中学2015届高三数学(文)统练14(圆锥曲线)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线的倾斜角的范围是]434[ππα，∈，则此直线的斜率k 的取值范围是（）A.]1,1[-B.)1,1(-C.),1(]1,(+∞⋃--∞D.),1[]1,(+∞⋃--∞2. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．43. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（）．A.()227313x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B.()()22211x y -+-=C.()()22131x y -+-=D.()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭4.若曲线1y =(2)4y k x =-+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（） A.53,124⎛⎤⎥⎝⎦ B.5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5. 若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A.43a ≥B.01a <≤C.413a ≤≤D.01a <≤或43a ≥6. 若0433222=-+c b a ，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为（） A.32 B. １ C.21 D.437. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.22154x y -=B.22145x y -=C.221x y 36-=D.221x y 63-= 8. 已知12F F 、是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，若2F AB ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A ．33B ．32C ．22D ．23 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．9. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .10. 已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为____________.11. 已知抛物线2y ax =与其关于点(1,1)对称的抛物线有两个不同的交点，若过这两个交点的直线的倾斜角为4π，则实数a 的值为______________.12. P 为椭圆22110064x y +=上的一点，12,F F 是其焦点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积为 _________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为_____________.14. 设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)自点(3,3)-发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求光线l 所在直线方程．16. (本小题满分13分)求圆心在直线4y x =-上，并且与直线l ：10x y +-=相切于点(3,2)P -的圆的方程．17. (本小题满分13分)河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？18. (本小题满分13分)已知直线:65280l x y --=与椭圆22221(0,)x y a b b Z a b +=>>∈且交于M N 、两点，B 是椭圆的上顶点，BMN ∆的重心恰为椭圆的右焦点F ，（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率0k ≠的直线1l ，使1l 与该椭圆的两交点P Q 、满足BP BQ =？若存在，求出1l 在y 轴上截距的取值范围；若不存在，说明理由.19. (本小题满分14分)已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1．（I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB ∙的最小值．20. (本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．南开中学2015届高三数学文科统练14答案DDBAD BAA 5; (3,1); 2;3; 53;2m 1,222m m ≤∴≤≤ 15. 解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含解析)

（） ð 试题分析： A = {2,3,5} , ð U B = { 2,5} ,故选 B. U B = {2,5} ,则 A
考点：集合运算
ì x- 2£ 0 ï ï 2.设变量 x, y 满足约束条件 í x - 2 y £ 0 ,则目标函数 z = 3 x + y 的最大值为（ ï ï î x +2 y - 8 £ 0
1 8π 3 2 π 1 π 2 (m ) . 3 3
考点：1.三视图；2.几何体的体积. 11. 已知函数 f x ax ln x, x 0, ,其中 a 为实数, f x 为 f x 的导函数,若 f 1 3 ,则 a 的值为【答案】3 【解析】试题分析：因为 f x a 1 ln x ,所以 f 1 a 3 . 考点：导数的运算法则. 12. 已知 a 0, b 0, ab 8, 则当 a 的值为【答案】4 【解析】试题分析： log 2 a log 2 2b 时 log 2 a log 2 2b 取得最大值. ．
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
x2 y 2 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一个焦点为 F (2, 0) ,且双曲线的渐近线与圆 ( x - 2) + y 2 = 3 相 2 a b
） (B)
切,则双曲线的方程为（ (A)
x2 y 2 =1 9 13
x2 y 2 =1 13 9
1 2i 的结果为 2i
．
1 2i i 2 2i i i 2 i . 2i 2i 2i
考点：复数运算. 10. 一个几何
【答案】【解析】

天津天津市南开中学数列的概念基础测试题题库百度文库

一、数列的概念选择题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．174B ．184C ．188D ．1602．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（） A ．1B ．3C ．2D ．3-3．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（）A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.4．在数列{}n a 中，10a =，1n a +，则2020a =（）A ．0B ．1C．D5．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（）A ．49B ．50C ．51D ．527．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（）A ．63243a a a ≤-B ．2736+a a a a ≤+C ．7662)4(a a a a ≥--D ．2367a a a a +≥+8．已知数列,21,n -21是这个数列的（）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（） A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．的一个通项公式是（）A．n a =B．n a =C．n a =D．n a =11．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（） A ．21B ．10C ．212 D ．17212．已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．4513．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．184B ．174C ．188D ．16014．若数列{a n }满足1112,1nn na a a a ++==-，则2020a 的值为（） A ．2B ．－3C ．12-D ．1315．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（） A ．12-B ．16-C ．16D ．1216．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（） A ．45B ．46C ．47D ．4817．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202218．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（） A ．0B ．53C ．73D ．319．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（） A ．2B ．4C ．10D ．1420．数列23451,,,,,3579的一个通项公式n a 是（） A ．21nn + B ．23nn + C ．23nn - D ．21nn - 二、多选题21．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--22．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．6523．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >24．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =26．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 27．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =28．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <29．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项30．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅31．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >32．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项33．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-34．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.2．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.3．A解析：A 【分析】运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，121n n n n a a a a +++∴≥--，设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，∴数列{}n d 是递减数列.对于A ，由11a =，20192019a =，则201911220182019a a d d d =+++=，所以1220182018d d d +++=，又1232018d d d d ≥≥≥≥，所以1122018201820182018d d d d d ≥+++≥，故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++≤++++=即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；结合A ，故B 不正确；对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列，则n a 无最大值，故C 不正确；对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确；故选：A 【点睛】本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.4．A解析：A 【分析】写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】10a =，1n a +1n =时，2a 2n =时，3a 3n =时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是320206733110a a a ⨯+∴===故选：A. 【点睛】本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.5．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．6．A解析：A 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.7．C解析：C 【分析】由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.【详解】因为*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选：C 【点睛】本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.8．B解析：B【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n af n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】根据数列项的规律即可得到结论．【详解】因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，，⋯的一个通项公式是n a = 故选：C ．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．11．C解析：C 【分析】由累加法求出233n a n n =+-，所以331n a n n n，设33()1f n n n=+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到na n的最小值. 【详解】解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-所以331n a n nn设33()1f n n n=+-，由对勾函数的性质可知， ()f n 在(上单调递减，在)+∞上单调递减，又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662a a ===，所以n a n的最小值为62162a =.故选：C. 【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.12．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．【详解】∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=， a 4＝2a 3＝22455⨯=，a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =，故选B ．【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．13．B解析：B 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.14．D解析：D 【分析】分别求出23456,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】由题意知，212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，612312a +==--，…，因此数列{}n a 是周期为4的周期数列，∴20205054413a a a ⨯===. 故选D. 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.15．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】因为1n S n =，所以11111a S ===，因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A16．C解析：C 【分析】利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解【详解】当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C17．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，，第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，，第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，，据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，，故选：C.18．B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ．【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B19．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.20．D解析：D 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21n n a n =-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.二、多选题 21．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件；对于选项B ，取前六项得：，不满足条件；对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC22．ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.23．ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.24．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.25．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，，故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC26．AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确；由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=，故1011109333a =+⨯=，故C 正确；由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.27．BCD 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A 错误；所以，所以，故B 正确；因为，所以当解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误；所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确；要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.28．ABD 【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由，可得，故B 正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确；又，所以，故C 不正确解析：ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 29．ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确； C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A 正确；，B 正确；，C 正确；，所以，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．31．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；C. 若【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．32．ACD【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断，的符号，的单调性可判断D ；【详解】由已知解析：ACD【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N 上单调递增，1n a 在7n n N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1n a 在1,6n n N 上单调递增，1n a 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0n nS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.33．AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．【详解】等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．35．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ．【详解】由公差，可得，即，①由a7是a解析：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。

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天津市南开中学2015届高三热身考试数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=( ).A.1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+2. 设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2x z y =+的最大值为( ).A. 12-B. 52C. 32D. 33. 已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥；命题001:(0,),22x q x ∃∈+∞=，则下列判断正确的是( ).A ．p 是假命题 B. q 是真命题 C. ()p q ∧⌝是真命题 D. ()p q ⌝∧是真命题 4. 若执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为( ).A ．8 B. 7 C.6 D.55. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3426235a a a +-=，则7S =( ).A ．28 B. 21 C.14 D.76. 已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且2cos 3C =,2AC CB ?-u u ur u u u r ，且则,26=+b a c 边长为( ).B. 4C.7. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y =的图象交于点P，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率为考试时间：120分钟ACDB O( ). A.512+ B.522+ C. 312+D.328. 设函数()22,0||,0x bx x f x a x x ⎧++≤=⎨->⎩.若两条平行直线680x y a ++=与3110x by ++=之间的距离为a ，则函数()()()ln 2g x f x x =-+的零点个数为( ). A. 1B. 2C. 3D. 4II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是__________.10. 一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为__________.11. 如图,已知ABC ∆内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙O 的切线，若o 30=∠B ,3AC =,则OD 的长为__________.12. 已知0(3cos sin )a x x dx p=-ò，则二项式25()a x x+展开式中x 的系数为__________.13. 如图，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅u u u u r u u u r的值为__________.14. 已知函数()ln 1p x x =+，()x q x e =，若()()12q x p x =成立，则21x x -的最小值为__________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15.某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。

天津市南开中学高考数学热身试卷文(含解析)

天津市南开中学2015届高考数学热身试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|2＜x＜7}，B={x|3≤x＜10}，A∩B=（）A．（2，10）B．[3，7）C．（2，3] D．（7，10）2．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=x+y的取值范围是（）A．[4，7] B．[﹣1，7] C．[，7] D．[1，7]3．（5分）下列函数中，奇函数是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log2x C．f（x）=sinx+1 D．f（x）=sinx+tanx4．（5分）某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且直线x=﹣（c是双曲线的半焦距）与抛物线y2=4x的准线重合，则此双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=18．（5分）设f（x）、g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f•g）（x），∀x∈R，（f•g）（x）=f（g（x）），若f（x）=，g（x）=，则（）A．（f•f）（x）=f（x）B．（f•g）（x）=f（x）C．（g•f）（x）=g（x）D．（g•g）（x）=g（x）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）9．（5分）已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m=．11．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入i=5，则输出的k值为．13．（5分）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．14．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0），有4个不同的根，则a的范围是．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．16．（13分）某校从2014-2015学年高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期2015届中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校2014-2015学年高一年级共有学生640人，试估计该校2014-2015学年高一年级期2015届中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（1）求证：直线AF∥平面PEC；（2）求证：AC⊥平面PBD；（3）求PE与平面PDB所成角的正弦值．18．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C交于A，B两点，在椭圆C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）﹣（a∈R）（ I）判断函数g（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在实数m，使得f（x）+f（m﹣1）＞m﹣对任意x≥1恒成立，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（14分）给定一个数列{a n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{a n}中的先后次序，得到的数列{a n}的一个m阶子数列．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{a n}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，b m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1（3）等比数列c1，c2，…，c m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+c m≤2﹣．天津市南开中学2015届高考数学热身试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={x|2＜x＜7}，B={x|3≤x＜10}，A∩B=（）A．（2，10）B．[3，7）C．（2，3] D．（7，10）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：∵A=（2，7），B=[3，10），∴A∩B=[3，7），故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=x+y的取值范围是（）A．[4，7] B．[﹣1，7] C．[，7] D．[1，7]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣x+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=﹣x+z，即直线y=﹣x+z经过点C（3，4）时，截距最大，此时z最大，为z=3+4=7．经过点时，截距最小，由，得，即A（﹣3，4），此时z最小，为z=﹣3+4=1．∴1≤z≤7，故z的取值范围是[1，7]．故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）下列函数中，奇函数是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log2x C．f（x）=sinx+1 D．f（x）=sinx+tanx考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：A．f（x）=2x为增函数，非奇非偶函数，B．f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，C．f（﹣x）=﹣sinx+1，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数，D．f（﹣x）=﹣sinx﹣tanx=﹣（sinx+tanx）=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，满足条件．故选：D点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，比较基础．4．（5分）某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，两值一比即可求出所求．解答：解：由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，由几何概型公式得到P==故选B ．点评：本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题．5．（5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2﹣b 2=ac ，则角B 的值为（）A ．B ．C ．或D ．或考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过余弦定理求出cosB 的值，进而求出B ．解答：解：∵，∴根据余弦定理得cosB=，即，∴，又在△中所以B 为．故选A ．点评：本题考查了余弦定理的应用．注意结果取舍问题，在平时的练习过程中一定要注意此点．6．（5分）设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a＜b”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．解答：解：∵a，b ∈R ，则（a ﹣b ）a 2＜0， ∴a＜b 成立，由a ＜b ，则a ﹣b ＜0，“（a ﹣b ）a 2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是a ＜b 的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．7．（5分）设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，且直线x=﹣（c 是双曲线的半焦距）与抛物线y 2=4x 的准线重合，则此双曲线的方程为（）A ．=1B ．=1C．=1 D．=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件推导出，由此能求出双曲线方程．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，直线x=﹣（c是双曲线的半焦距）与抛物线y2=4x的准线重合，∴，解得a=，c=3，b==，∴双曲线方程为．故选：D．点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．8．（5分）设f（x）、g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f•g）（x），∀x∈R，（f•g）（x）=f（g（x）），若f（x）=，g（x）=，则（）A．（f•f）（x）=f（x）B．（f•g）（x）=f（x）C．（g•f）（x）=g（x）D．（g•g）（x）=g（x）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题目给的定义函数分别求出（f•f）（x）等，然后判断即可，注意分段函数的定义域对解析式的影响．解答：解：对于A，因为f（x）=，所以当x＞0时，f（f（x））=f（x）=x；当x≤0时，f（x）=x2≥0，特别的，x=0时x=x2，此时f（x2）=x2，所以（f•f）（x）==f（x），故A正确；对于B，由已知得（f•g）（x）=f（g（x））=，显然不等于f（x），故B错误；对于C，由已知得（g•f）（x）=g（f（x））=，显然不等于g（x），故C错误；对于D，由已知得（g•g）（x）=，显然不等于g（x），故D错误．故选A．点评：本题考查了“新定义问题”的解题思路，要注重对概念的理解，同时本题考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）9．（5分）已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z=（2﹣i）（1+3i）=5+5i，复数z在复平面上对应的点（5，5）位于第一象限．故答案为：一．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．10．（5分）已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m=7．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的坐标公式，以及向量垂直的定义直接计算即可．解答：解：由题可知：•（﹣）=（﹣3，4）•[（﹣3，4）﹣（1，m）]=（﹣3，4）•（﹣4，4﹣m）=12+16﹣4m=0，即m=7，故答案为：7．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．11．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为4．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．解答：解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入i=5，则输出的k值为3．考点：循环结构；程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i＞150，确定k的值．解答：解：由程序框图知：若输入i=5，第一次循环i=3×5+1=16＜150，k=0+1=1；第二次循环i=3×16+1=49＜150，k=1+1=2；第三次循环i=49×3+1=148＜150，k=2+1=3；第四次循环i=148×3+1=445＞150，输出k=3．故答为：3．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．13．（5分）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：直线与圆．分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果．解答：解：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴∴AB2=PB•BC=7×5=35，∴AB=，故答案为：．点评：本题可选圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质，本题是一个综合题目．14．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f （x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0），有4个不同的根，则a的范围是（8，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣log a （x+2）=0恰有4个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a（x+2）的图象恰有4个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=log a（x+2），由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8＜1，由此解得：a＞8，∴a的范围是（8，+∞）故答案为：（8，+∞）．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）通过θ为锐角，且，求出cos2θ的值，sin2θ的值，然后求tan2θ的值．解答：（1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（2分）=（3分）=．（4分）∴f（x）的最小正周期为，最大值为．（6分）（2）解：∵，∴．（7分）∴．（8分）∵θ为锐角，即，∴0＜2θ＜π．∴．（10分）∴．（12分）点评：本小题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力．16．（13分）某校从2014-2015学年高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期2015届中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校2014-2015学年高一年级共有学生640人，试估计该校2014-2015学年高一年级期2015届中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．专题：概率与统计．分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；（3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．解答：（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．…（1分）解得a=0.03．…（2分）（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．…（3分）由于该校2014-2015学年高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校2014-2015学年高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人．…（5分）（3）解：成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．…（6分）成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．…（7分）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．…（9分）如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．…（11分）所以所求概率为．…（12分）点评：本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（1）求证：直线AF∥平面PEC；（2）求证：AC⊥平面PBD；（3）求PE与平面PDB所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用中点问题，得出直线的平行AF∥EM，利用直线平面的平行问题求解证明即可．（2）根据几何图形得出AC⊥BD，直线平面的垂直得出PD⊥AC，再运用判定定理求解证明即可．（3）运用直线平面所成角的定义得出夹角，转化为直角三角形中求解即可．解答：解：（1）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴FM=．∵k=，∴AE==FM，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD；（3）连接PE，PG∵点E，O分别为AB和AC中点．∴AO∥EG，∵AC⊥平面PBD，∴EG⊥平面PBD，根据直线与平面所成角的定义可得：∠EPG为PE与平面PDB所成角，Rt△EGP中，AO=，EG=，DE=，PE==，∴sin∠EPG==，∴PE与平面PDB所成角的正弦值=．点评：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，空间夹角问题，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，直线，直线，平面之间的转化问题．18．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C交于A，B两点，在椭圆C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用离心率为．且过点（，1），建立方程求得a和b，即可椭圆C的标准方程．（2）把l：x=ty+1代入椭圆方程，由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，可得点P的坐标，代入椭圆方程，求得t，进而求得P点坐标与直线l的方程．解答：解：（1）由已知得=，∴c，∴b= c又椭圆过点（，1），代入椭圆方程得c=1，∴a=，b=，∴所求椭圆的标准方程为；（2）假设存在满足题设条件的直线由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l：x=ty+1设A（x1，y1）、B（x2，y2），把l：x=ty+1代入椭圆方程得，整理得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：y1+y2=﹣，∴x1+x2=∴P（，﹣）∵P在椭圆上，∴代入椭圆方程整理得（2t2+3）（2t2﹣1）=0∴t=±．当t=时，点P的坐标为（，﹣），直线的方程为﹣y﹣=0．当t=﹣时，点P的坐标为（，），直线的方程为+y﹣=0．点评：本题考查椭圆C的方程的求法，探究椭圆C上是否存在点P，使得=+成立，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，有难度．19．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）﹣（a∈R）（ I）判断函数g（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在实数m，使得f（x）+f（m﹣1）＞m﹣对任意x≥1恒成立，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导，再分当a≥0和a＜0两种情况根据导数和函数的单调性的关系得到结论．（2）由题意分离参数得到m﹣1+ln＜lnx+，x∈[1，+∞），设h（x）lnx+利用导数求出函数的最小值h（1）=1，又因为h（）=m﹣1+ln≥1，故得出矛盾，故故不存在实数m使得原不等式成立．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x）﹣=lnx﹣，x＞0，∴g′（x）=+=，当a≥0时，在（0，+∞）上，g′（x）＞0，此时函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，在（0，﹣a）上，g′（x）＜0，此时函数g（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上，g′（x）＞0，此时函数g（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，综上所述，当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，g（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）∵f（x）+f（m﹣1）＞m﹣，∴lnx+ln（m﹣1）＞m﹣，∴m﹣ln（m﹣1）＜lnx+，x∈[1，+∞），∴m﹣1+ln＜lnx+，x∈[1，+∞），①由（Ⅰ）可知当a=﹣1时，h（x）lnx+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴当x=1时，h（x）min=h（1）=1，∴要使①成立，需使m﹣1+ln＜1，②由（Ⅰ）可知h（）=m﹣1+ln≥1，与②矛盾，故不存在实数m使得原不等式成立．点评：本题考查了函数导数和函数的单调性最值的关系，以及恒成立问题，关键是分离参数，构造函数，属于中档题．20．（14分）给定一个数列{a n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{a n}中的先后次序，得到的数列{a n}的一个m阶子数列．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{a n}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，b m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1（3）等比数列c1，c2，…，c m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+c m≤2﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出；（2）设等差数列b1，b2，…，b m的公差为d．由b1=，可得b2≤，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；（3）设c1=（t∈N*），等比数列c1，c2，…，c m的公比为q．由c2≤，可得q=≤．从而c n=c1q n﹣1≤（1≤n≤m，n∈N*）．再利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．解答：（1）解：∵a2，a3，a6成等差数列，∴a2﹣a3=a3﹣a6．又∵a2=，a3=，a6=，代入得﹣=﹣，解得a=0．（2）证明：设等差数列b1，b2，…，b m的公差为d．∵b1=，∴b2≤，从而d=b2﹣b1≤﹣=﹣．∴b m=b1+（m﹣1）d≤﹣．又∵b m＞0，∴﹣＞0．即m﹣1＜k+1．∴m＜k+2．又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．（3）证明：设c1=（t∈N*），等比数列c1，c2，…，c m的公比为q．∵c2≤，∴q=≤．从而c n=c1q n﹣1≤（1≤n≤m，n∈N*）．∴c1+c2+…+c m≤+++…+=，设函数f（x）=x﹣，（m≥3，m∈N*）．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=x﹣为单调增函数．∵当t∈N*，∴1＜≤2．∴f（）≤2﹣．即 c1+c2+…+c m≤2﹣．点评：本题考查了利用等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

天津市南开中学2015届高三数学(理)统练18

一、选择题（共8小题，每题5分）1.如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么实数a 的值为（）A ．1-2B ．1-4C ．-4D ．-2 2. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．A.45B ． 5C ． 25D ．53. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ). A.2± B.43±C.12±D.34± 4.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于,A B 两点，若4AF FB =,则C 的离心率为( )A ．65 B. 75 C. 58 D. 957. 已知点()1,2A ,过点()5,2-的直线与抛物线24y x =交于另外两点,B C ,则ABC ∆是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定8. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共8道小题，每题5分）9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为．11.设集合(){}()()2229,4,,4A x y yx B x y x a y ⎧⎫===-+=⎨⎬⎩⎭,当a 在R 上变动时, A B⋂所含元素个数组成的集合是 .12.在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为．13.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为14.设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=，||OP =,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题15.已知定点()10C -，及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;20.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； (Ⅲ)当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.天津南开中学2015届高三数学统练18（理科·圆锥曲线）一、选择题（共8小题，每题5分）1.如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么实数a 的值为（）A ．1-2B ．1-4C ．-4D ．-2 2. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．A.45B ． 5C ． 25D ．53. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ). A.2± B.43±C.12±D.34± 4.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ,若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)+∞D.(2,)+∞6. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于,A B 两点，若4AF FB =,则C 的离心率为( )A ．65 B. 75 C. 58 D. 957. 已知点()1,2A ,过点()5,2-的直线与抛物线24y x =交于另外两点,B C ,则ABC ∆是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定8. 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6道小题，每题5分）9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为．11.设集合(){}()()2229,4,,4A x y yx B x y x a y ⎧⎫===-+=⎨⎬⎩⎭,当a 在R 上变动时, A B⋂所含元素个数组成的集合是 .12.在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为．13.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为14.设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=，||OP =,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题15.已知定点()10C -，及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．图（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;20.抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； (Ⅲ)当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.天津南开中学2015届高三数学统练18答案一、选择题 BDCC CACA二、填空题 9. 3 10.321511.{}0,1,2 12. 13.9 14.y = 三、解答题16. 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(2,3)A ，且点(2,0)F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.16. （Ⅰ）依题意，可设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b+=>>，且可知左焦点为()2,0F -，从而有228c a AF AF =⎧⎨'=+=⎩，解得24c a =⎧⎨=⎩，又222a b c =+，所以212b =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=. （Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为32y x t =+，由223211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2233120x tx t ++-=，因为直线l 与椭圆有公共点，所以有223t)-43(t -12)0∆=⨯≥（，解得t -≤≤OA 与l 的距离4，从而t=±由于±[-，所以符合题意的直线l 不存在.17．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点(),0M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ,2AB p ≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值．17．（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得 0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a 又a x y a x y -=-=2211,，∴221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ，∴ p a p p 2)2(80≤+<．解得 42pa p -≤<-．（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得p a x x x +=+=2213， p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213． ∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=．又 MNQ ∆为等腰直角三角形， ∴ p QM QN 2||||==，∴||||21QN AB S NAB ⋅=∆||22AB p =p p 222⋅≤22p =即NAB ∆面积最大值为22p18.设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（Ⅱ）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．图18.解. （Ⅰ）由28()x y b =-得218y x b =+，当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==，过点G 的切线方程为 (2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ， 2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy +=和28(1)x y =-. （Ⅱ）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个.若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8xx +，A 、B两点的坐标分别为(0)和0)，22112,1,2,188PA x x PB x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎭222421152(1)108644PA PB x x x x =-++=+-=.令2t x =则21510644t t +-=,由韦达定理 ,该方程有正负各一根. 所以关于2x 的二次方程有一大于零的解，因此x 有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个,因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形.19.已知()()2222251:2,:244M x y N x y ++=-+=,动圆P 与,M N 均外切. （Ⅰ）求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）延长PN 与曲线C 交于另一点Q ,求PQ 的最小值;由N 是焦点,则112222P Q PQ PN NQ x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()22244212121633P Q k x x k k ⎛⎫⎛⎫+-=-=+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故PQ 的最小值为6.20.解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2ax y =（0<a ）得，焦点坐标为)41,0(a ，准线方程为ay 41-=．（Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组 0102()y y k x x y ax-=-⎧⎪⎨=⎪⎩①②的解．将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=+，故011x ak x -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0202()y y k x x y ax -=-⎧⎪⎨=⎪⎩④ ⑤的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是220k x x a +=，故220k x x a=-．由已知得，12k k λ-=，则012x k a x --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由BM MA λ=，则λλ++=112x x x M ．将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ． ∴线段PM 的中点在y 轴上． (Ⅲ)因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=．由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得211x k =-，代入2x y -=得221(1)y k =--．因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为2111(1,21)A k k k -----，2111(1,21)B k k k --+-．于是2111(2,2)AP k k k =++，11(2,4)AB k k =，则有 2111111112(2)4(2)2(2)(21)AP AB k k k k k k k k ⋅=+++=++．因P A B ∠为钝角且P 、A 、B三点互不相同，故必有0AP AB ⋅<．求得1k 的取值范围是12k <-或1102k -<<．又点A 的纵坐标1y 满足211(1)y k =-+，故当12k <-时，11y <-；当1102k -<<时，1114y -<<-．即11(,1)(1,)4y ∈-∞---.。

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