高考数学第20讲数列的顺序性

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新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法课件

所以 an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1＝n＋n 1·n－n 1·nn－－21·…·23＝n＋2 1．
2，n＝1，所以 an＝2nn－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的步骤 (1)利用 a1＝S1 求出 a1． (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)检验 n＝1 时的值是否符合 n≥2 时的表达式，再写出通项公式 an．
式 an＝59(10n－1)．
1．错误地表示符号规律致误：项正负相间的数列可以用(－1)n， (－1)n＋1 表示符号，要分清是先负后正还是先正后负．
2．未对项变形致误：若已知的项的形式不统一，则不便求通项公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题 (3)．
3．求通项公式时要注意联想：对于如题(4)这样的数列，可以通过联想 10,100,1 000，10 000→9,99,999,9 999→1,11,111,1 111 进而得到通项公式．
考点2 由Sn与an的关系求通项——综合性
(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为 an＝________．
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为 an ＝________．
3，n＝1， (1)2n－11 (2)2n－1，n≥2.
解：(1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式 an＝(－ 1)n·nn1＋1．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式 an＝2n－12n2n＋1．

2023版高考数学一轮总复习6-1数列的概念及表示课件

an
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列递减数列常数列摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.

2015届高考数学(理)一轮讲义：第20讲算法经典精讲精品讲义

算法经典精讲主讲教师：王春辉北京数学特级教师引入从一道题谈起：下面程序输出的结果是______________．重难点突破题一：执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )．A ．8B ．16C ．64D ．128金题精讲题一：执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )． A ．3- B ．12-C ．13D ．2 1s =;for k =0：1：32^;s s k =*ends题二：阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ．题三：阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（）． A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和题四：根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为( )．A．25 B．30 C．31 D．61题五：将两个数8,17a b==交换,使17,8a b==,下面语句正确一组是（）．题六：利用秦九韶算法求多项式121210n nn na x a x a x a x a--+++++的值，所作乘法的次数和加法的次数各是多少？引入题一：64重难点突破题一：CA．B．C．D．输入xIf x≤50 Theny=0.5 * xElsey=25+0.6*(x-50)End If输出y金题精讲题一：D 题二：5 题三：A题四：C 题五：B 题六：,n n。

2019高考数学数列：数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法【考点梳理】1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n【考点突破】考点一、由a n 与S n 的关系求通项a n【例1】(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋23n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 [答案] (1) ⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2 (2) A[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4712，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14n 2＋23n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（n －1）2＋23（n －1）＋3 ＝12n ＋512，经检验a 1＝4712不满足上式所以这个数列的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2.(2)当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 【类题通法】已知S n 求a n 的3步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．【对点训练】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. [答案] 4n －5[解析] a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5.2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5 D ．20[答案] D[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.【例2】(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. [答案] (1) (－2)n －1(2) －1n[解析] (1)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.(2)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. ∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.【类题通法】S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．【对点训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2[答案] A[解析] 由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37 D ．47 [答案] D[解析] 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.考点二、由递推公式求数列的通项公式【例3】在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. [答案] (1) 32n 2＋n 2 (2) 2n ＋1 (3) 2n ＋1－3[解析] (1)由题意，得a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2＝n （3n ＋1）2.即a n ＝32n 2＋n 2.(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1 ＝2n ＋1，又a 1也满足上式. 所以a n ＝2n ＋1. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.【类题通法】1.形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项. 3.形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键. 【对点训练】在数列{a n }中， (1)若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. [答案] (1) 4－1n(2) ()122n n - (3) 2·3n －1－1[解析] (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n，故a n ＝4－1n.(2)由a n ＋1＝2na n ，得a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝()122n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝()122n n -.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．考点三、数列的性质及应用【例3】已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 018＝( )A ．－1B ．12 C ．1 D ．2[答案] D[解析] 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝2. 【类题通法】解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．【对点训练】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝________. [答案] 0[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 018＝a 2＝0.。

第四章数列(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第四章数列（公式、定理、结论图表）一．数列的概念：1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .3．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n n n n a a a a 考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()n a d n a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

第一讲+数列的概念与简单表示法课件-2025届高三数学一轮复习

a6＝( )
A.3×44
B.3×44＋1
C.44
D.44＋1
解析：由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，则an＋1＝4an(n≥2)，因为a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，所以此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an＝ a2qn-2＝3×4n-2(n≥2).则a6＝3×44.故选A.
1
＝
(2n
＋
1)
7 8
n＋1
，
an＋1 an
＝
(2n＋1)78n＋1 (2n－1)78n
＝
14n＋7 16n－8
.
当
aan＋n1>1 时，n<125；当aan＋n1<1 时，n>125.∵an>0，∴数列{an}的最大项是 a8.
答案：8
考向 2 数列的周期性
[例3]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公通项公式把数列的通项用公式表示
式法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1n，－nSn＝－11，，n≥2.
4.数列的分类
分类标准
类型
项数
有穷数列无穷数列
项与项间的大小关系
递增数列递减数列
常数列

新高考高中数学顺序 -回复

新高考高中数学顺序 -回复
新高考高中数学的学习顺序可以按照以下顺序进行：
1. 函数与方程：包括函数的基本概念、初等函数、反函数、方程的解法等内容；
2. 三角函数与解三角形：包括三角函数的概念、性质、图像与解析式、解三角形等内容；
3. 平面向量与解析几何：包括平面向量的定义、运算、数量积、向量的共线与垂直、解析几何中直线、圆等内容；
4. 数列与数列极限：包括数列的定义、等差数列、等比数列、递推数列、数列极限等内容；
5. 导数与微分：包括导数的定义、基本导数、高次导数、导数的应用、微分的定义与性质等内容；
6. 不定积分与定积分：包括不定积分的概念、基本积分、换元积分法、分部积分法、定积分的概念、定积分的计算等内容；
7. 几何证明与解析几何证明：包括几何证明的基本方法、几何图形的性质证明、平面解析几何证明等内容；
8. 概率与统计：包括随机事件、概率的计算、排列与组合、统计的概念、数据分析等内容；
9. 三角函数与数列的扩展：包括三角函数的进一步扩展、数列的进一步深入等内容；
10. 空间几何与立体几何：包括空间几何中的点、直线、平面
的位置关系、立体几何中的球、锥、柱等内容。

以上是一种参考顺序，根据学校和教材的不同，顺序可能会有所调整。

建议根据自己的实际情况，灵活应用，并根据教材进行学习。

导数中的构造函数(原卷版)高考数学选填压轴题第20讲

第20讲导数中的构造函数近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ；22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=；()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；…………………()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =．()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e xf x F x =，………………()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。

（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是（）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x<<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．2B C ．2D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞-D ．1[,)2+∞3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为()A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是()f x ¢，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．()1,+¥D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <<B ．{ 2 x x <-或}2x >C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．(0)02(1)f f <<B ．0(0)2(1)f f <<C ．02(1)(0)f f <<D ．2(1)0(0)f f <<4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+ ，，∞∞B ．()()2002- ，，C ．()()202-+ ，，∞D ．()()202-- ，，∞6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<- ，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001- ，，B ．()()11--+ ，，∞∞C ．()()101-+ ，，∞D ．()()101-- ，，∞7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数8．已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()()xf x f x f x ''+>，则函数1()(1)()2g x x f x =-+在()1+，∞上的零点个数为__________．类型三巧设“()()f xg x ”型可导函数【例3】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，2021(2021)f e =，则不等式1ln f x e⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．()2021,e+∞B ．()20210,eC ．()2021,ee+∞D ．()20210,ee【来源】广东省汕头市2021届高三三模数学试题【举一反三】1．定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()'f x ，且cos ()(cos sin )()xf x x x f x '<+成立，则下列各式一定成立的是（）A ．(0)0f =B ．(0)0f <C ．()0f π>D ．02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题2．（2020·江西高考模拟（理））已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1):(2)f f 的取值范围为（）A ．(,2)e e B ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e3．（2020·辽宁高考模拟）已知()f x 是定义在区间(1,)+∞上的函数，'()f x 是()f x 的导函数，且'()ln ()(1)xf x x f x x >>，2()2f e =，则不等式()x f e x <的解集是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．(1,2)3．（2020·四川高考模拟）下列四个命题：①ln 52<；②ln π>；③11<；④3ln 2e >，其中真命题的个数是（）（e 为自然对数的底数）A ．1B ．2C ．3D ．44.（2020遵义模拟）设函数()f x 是奇函数()f x ()x ∈R 的导函数，(1)0f -=，且当0x >时，()()0xf x f x ->'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．()()101-+ ，，∞B ．()()101-- ，，∞C ．()()110--- ，，∞D ．()()011+ ，，∞5．（2020咸阳一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x ->'成立，则不等式2()0x f x >的解集是（）A ．()()202-+ ，，∞B ．()()2002- ，，C ．()2+，∞D ．()()22--+ ，，∞∞6．（2020正定一中模拟）设()f x '是函数()f x ，x ∈R 的导数，且满足()2()0xf x f x ->'，若ABC △是锐角三角形，则（）A ．22(sin )sin (sin )sin f AB f B A >B ．22(sin )sin (sin )sin f A B f B A <C ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A>D ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A<7．（2020衡水金卷）设偶函数()f x 定义在()()ππ0022- ，，上，其导函数为()f x '，当π02x <<时，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则不等式()π()2cos 3f x f x >的解集为（）A ．()()πππ0233-- ，，B ．()()πππ0332- ，，C ．()()ππ0033- ，，D ．()()ππππ2332-- ，，8.（2020绵阳一诊）奇函数()f x 定义域为()()π00π- ，，，其导函数是()f x '．当0πx <<时，有()sin ()cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()π()sin4f x x <的解集为__________．类型四综合运用求导法则及复合函数的求导法则，构造函数【例4】已知函数()f x 及其导数()f x '满足()()()0xf x f x x x'+=>，()22e f =，对满足4ab e =的任意正数a ，b 都有()22112xf a b<+，则x 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．(),1-∞D ．()1,+∞【来源】浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题【举一反三】1．（2020·石嘴山市第三中学高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足(ln )'()()x x x f x f x +<对1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A ．2(1)()f f e <B ．2(1)()e f f e >C ．2(1)()f f e >D ．(1)()ef f e <2．在关于的不等式()2222e e 4ee4e 0x xx a x a -+++>(其中 2.71828e = 为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（）A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．241,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（理）试题3．（2020·江西高考模拟（理））已知函数()f x 满足()()()122xe f x f x f ⎛⎫+== ⎪⎭'⎝，若对任意正数,a b 都有222111322648x xab f a e b ⎛⎫--<++ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．()0,1D ．()1,+∞4．（2020•九江一模）定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且对∀x ∈（0，+∞）都有f ′（x ）lnx ＞f （x ），则（）A ．12f （2）＞3f （4）＞f （8）B ．3f （4）＞12f （2）＞f （8）C ．f （8）＞3f （4）＞12f （2）D ．f （8）＞12f （2）＞3/f （4）5．（2020石家庄模拟）定义在R 上的函数()f x 使不等式ln2(2)(2)2f x f x '>恒成立，其中()f x '是()f x 的导数，则（）A ．(2)2(0)f f >，(0)2(2)f f >-B ．(2)2(0)4(2)f f f >>-C ．(2)2(0)f f <，(0)2(2)f f <-D ．(2)2(0)4(2)f f f <<-6．（2020·黑龙江高考模拟）设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫=⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．C ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．2e ⎛ ⎝7．（2020浙江模拟）设函数()f x '是函数()()f x x ∈R 的导函数，(0)1f =，且1()()13f x f x '=-，则4()()f x f x '>的解集为（）A ．()ln43+，∞B ．()ln23+，∞C ．)+∞D ．)+∞8.（2020大连一模）设函数()f x 满足2e ()2()x xf x xf x x '+=，2e (2)8f =，则0x >时，()f x （）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．即有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【强化训练】一、选择题1．【2020银川模拟】已知函数()f x 的导函数()f x '满足22()()()f x xf x x x '+>∈R ，则对x ∀∈R 都有（）A ．2()0x f x ≥B ．2()0x f x ≤C ．2[()1]0x f x -≥D ．2[()1]0x f x -≤2.【2020届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为A．0B．1C．2D．0或23.【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A．B．C．当时，取得极大值D．当时，3.【2020湖南省长郡中学高三】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.已知0a b <<且满足a b e -=，则下列说法正确的是（）A 1a b <-+B ．ln 2ln 2a a b b +=+C ．12a >D ．不存在,a b 满足1a b +=【来源】山东省泰安市2021届高三四模数学试题5.α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（）A．αβ>B．22αβ>C．αβ<D．0αβ+>6.【2020福建省适应性练习】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是()A．B．C．D．7.【2020云南省玉溪市第一中学调研】设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.【2020河北省唐山市一模】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．9．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（）A ．(,3)(0,3)-∞-B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【来源】四川省广元市2021届高三三模数学（理）试题10．【2020辽宁省抚顺市一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是()A．B．C．D．11．【2020辽宁省师范大学附属中学】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．12．【2020安徽省毛坦厂中学联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．13．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：[](1)()()0x f x f x -'->，22(2)()e x f x f x --=，则下列判断一定正确的是（）A ．(1)(0)f f <B ．(2)e (0)f f <C ．3(3)e (0)f f ＞D ．4(4)e (0)f f <14．【2020四川省教考联盟一诊】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．15．【2020届高三全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0B．1C．2D．0或216．已知实数(),,0,a b c e ∈，且33a a =，44b b =，55c c =，则（）A ．c b a<<B ．b c a<<C ．a c b<<D ．a b c<<【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第一模拟）17．已知62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的取值范围为[]135,240，且()2ln 2x a x a x ++≥恒成立.则a 的取值范围为（）A ．[][]4,33,4--B ．[][]4,13,4--C ．[]1,4D ．[]4,3--【来源】陕西省西安地区八校联考2021届高三下学期高考押题理科数学试题18．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()'f x 为函数()f x 的导函数），则不等式2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+的解集为（）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(0,)+∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞【来源】2021届吉林省长春市高三四模数学理科试题19．已知π(0,6θ∈，2222ln(2cos 1)(2cos 1)a θθ-=-，22ln(cos 1)(cos 1)b θθ-=-，22ln(sin 1)(sin 1)c θθ-=-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c<<D ．c a b<<20．已知()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，()f x '是()f x 的导函数，若()()2x xf x x f x e '+=，()1f e =，则()f x 在()0,∞+上（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有极大值D ．有极小值【来源】江西省九江市2021届高三三模数学（理）试题21．已知两个不等的正实数x ，y 满足lnx x y y xy -=，则下列结论一定正确的是（）A ．1x y +=B ．1xy =C ．2x y +>D ．3x y +>【来源】宁夏银川市2021届高三二模数学（理）试题二、填空题22．【2020·贵州高考模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x <时，()()+0f x xf x '<，若()()22log log 1a f a f ⋅>，则实数a 的取值范围是__________.23．【2020济南市山东师范大学附属中学高三】定义在R 上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．。

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。

在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。

本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。

一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。

一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。

通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。

以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。

而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。

另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。

这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。

三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。

这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。

1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。

例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。

2024年高考数学数列易错知识点总结

2024年高考数学数列易错知识点总结【数学数列易错知识点总结】数学数列是高考数学中的一个重要考点，也是一些同学容易出错的地方。

下面将针对2024年高考数学数列部分常见易错知识点进行总结，帮助同学们更好地备考。

一、数列的概念和性质1. 数列的概念：数列是按照一定顺序排列的一列数，一般用字母a_n表示第n个数。

2. 通项公式与通项：数列的通项公式是指通过计算得到第n 项的公式，一般用a_n表示。

通项公式能够简化计算，提高解题效率，需要了解并熟练掌握各种数列的通项公式。

3. 数列的性质：数列包括有界性、递增性、递减性、单调性、有限性等性质。

在计算题中，要根据题目给出的条件判断数列的性质。

二、等差数列1. 等差数列的定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项的差都相等，这个数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式：对于等差数列a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。

熟练掌握并能够根据题目条件求出等差数列的通项公式。

3. 等差数列的性质：等差数列的前n项和、项数与首项、末项的关系等。

在计算等差数列的和时，要注意首项、末项以及项数的确定。

4. 数列位置问题：计算等差数列的第几项、确定项数时要注意各个变量的含义，尤其是考虑首项的位置是第一项还是第零项。

三、等比数列1. 等比数列的定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项的比值都相等，这个数列就是等比数列。

2. 等比数列的通项公式：对于等比数列an=a1*q^(n-1)，其中a_1为首项，q为公比。

要注意当公比q为0或1时，等比数列的特殊情况。

3. 等比数列的性质：等比数列的前n项和、项数与首项、末项的关系等。

熟练掌握并能够根据题目条件求出等比数列的通项公式和相关性质。

四、等差数列与等比数列的联系与区别1. 联系：等差数列与等比数列都属于数列的一种特殊类型，都有对应的通项公式和性质。

可以通过等差数列与等比数列之间的相互转化，简化计算。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解20---导数与函数的单调性

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第20讲导数与函数的单调性考向预测核心素养考查函数的单调性，利用函数单调性解不等式，求参数范围，题型以解答题为主，中高档难度.逻辑推理、数学运算一、知识梳理1．函数单调性与导数符号的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．2．函数值的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．3．判断函数y＝f(x)的单调性的步骤第1步：确定函数的定义域．第2步：求出导数f′(x)的零点．第3步：用f′(x)的零点将函数的定义域分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 86例2改编)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上，f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上，f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上，f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上，f (x )单调递增解析：选C.在区间(4，5)上，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在区间(4，5)上单调递增．2．(人A 选择性必修第二册P 97习题5.3 T 1(2)改编)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )≥0，则f (x )在此区间内单调递增．( )(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内是减函数．( )(3)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内不具有单调性．( )答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏1．(求单调区间忽视定义域致误)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( ) A．(0，1) B.(0，＋∞)C．(1，＋∞) D.(－∞，0)，(1，＋∞)解析：选A.函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0，1)．2．(求参数范围忽视等号成立致误)若y＝x＋a2x(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．解析：由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.所以y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．因为函数在[2，＋∞)上单调递增，所以[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.又a>0，所以0<a≤2.答案：(0，2]考点一不含参数的函数的单调性(自主练透) 复习指导：直接利用导函数的符号求函数的单调区间．1．当x>0时，f(x)＝x＋4x的单调递减区间是( )A．(2，＋∞) B.(0，2) C．(2，＋∞) D.(0，2)解析：选 B.令f ′(x )＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x2<0，则－2<x <2，且x ≠0.因为x >0，所以x ∈(0，2)，故选B.2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B.(0，3) C ．(1，4)D.(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.3．函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．解析：f (x )的定义域为{x |x ≤1}，f ′(x )＝1－11－x. 令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x <0时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(0，1)．答案：(－∞，0) (0，1)4．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln 2x ，则f (x )的单调递增区间为________．解析：f ′(x )＝2x －5＋2x ＝（2x －1）（x －2）x(x ＞0)．由f ′(x )>0可得(2x －1)(x －2)>0，所以x >2或0<x <12，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)利用导函数求函数单调区间的注意点(1)当f ′(x )＝0无解时，可根据f ′(x )的结构特征确定f ′(x )的符号． (2)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．考点二含参数的函数的单调性(综合研析)复习指导：含参数的函数，要根据f ′(x )的形式讨论f ′(x )的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性．【解】由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，令f ′(x )>0，得x <0或x >2－2aa ，令f ′(x )<0，得0<x <2－2aa；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0，得x >0或x <2－2aa，令f ′(x )<0，得2－2aa<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0上单调递减．(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论；划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．(2)对参数的分类讨论要明确标准，不重不漏，体现了逻辑推理的核心素养．|跟踪训练|(2022·辽宁省辽西联合校测试)讨论函数f (x )＝x 3－a ln x (a ∈R )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－a x ＝3x 3－ax(x >0)，①若a ≤0时，f ′(x )>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0时，令f ′(x )>0，可得x >3a 3，f ′(x )<0，可得0<x <3a 3，所以函数在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，3a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3a3，＋∞上单调递增．考点三函数单调性的应用(多维探究)复习指导：利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性．角度1 比较大小或解不等式(1)(2021·新高考八省联考模考)已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则( )A ．c <b <a B.b <c <a C ．a <c <bD.a <b <c(2)(2022·南昌摸底调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( )A．4f(－2)<9f(3) B.4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D.3f(－3)<2f(－2)(3)(2022·沈阳一模)函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则不等式（x＋2 023）f（x＋2 023）3＜3f（3）x＋2 023的解集为( )A．{x|x＞－2 020} B.{x|x＜－2 020}C．{x|－2 023＜x＜0} D.{x|－2 023＜x＜－2 020} 【解析】(1)由题意得0<a<5，0<b<4，0<c<3.令f(x)＝e xx(x>0)，则f′(x)＝e x（x－1）x2，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，因为a e5＝5e a，所以e55＝e aa，即f(5)＝f(a)，而0<a<5，故0<a<1.同理0<b<1，0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)．因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，所以0<a<b<c<1.故选D.(2)根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，由题意可知，当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)．故选A.(3)根据题意，设g(x)＝x2f(x)(x＞0)，则导函数g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)．函数f(x)在区间(0，＋∞)上，满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则有x 2f ′(x )＋2xf (x )＞0，所以g ′(x )＞0，即函数g (x )在区间(0，＋∞)上为增函数．（x ＋2 023）f （x ＋2 023）3＜3f （3）x ＋2 023⇒(x ＋2 023)2f (x ＋2 023)＜32f (3)⇒g (x ＋2023)＜g (3)，则有0＜x ＋2 023＜3，解得－2 023＜x ＜－2 020，即此不等式的解集为{x |－2 023＜x ＜－2 020}．【答案】 (1)D (2)A (3)D角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(链接常用结论2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)由题意得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以当x ＝4时，G (x )max ＝－716，所以a ≥－716，因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)．1．本例条件变为：若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围．解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，则h ′(x )<0在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min＝－1，所以a >－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )在区间(a ，b )上为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．|跟踪训练|1．(多选)已知定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cosxf ′(x )＋sin xf (x )＜0成立，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4解析：选CD.根据题意，令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋sin xf （x ）cos 2x ，又由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )＜0，则有g ′(x )＜0，即函数g (x )为减函数．由π6＜π3，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cosπ6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，分析可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3；又由π6＜π4，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，分析可得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.2．若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B.(－∞，1] C ．(－∞，2)D.(－∞，2]解析：选D.由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，因为当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，所以a ≤2.3．(2022·宁波市北仑中学期中测试)函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 22－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x.令f ′(x )＝0，因为x >0，可得x ＝1，列表如下：所以，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，由于函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则1∈(k －1，k ＋1)，由题意可得⎩⎨⎧k －1<1，k ＋1>1，k －1>0，解得1<k <2.因此，实数k 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)[A 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是() A ．(0，1) B.(1，＋∞) C ．(－∞，1)D.(－1，1)解析：选A.因为f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x(x >0)，令f ′(x )<0得0<x <1，所以函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是(0，1)． 2．函数f (x )＝e xx的图象大致为()解析：选B.函数f (x )＝e xx的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，当x >0时，函数f ′(x )＝x e x －e xx 2，可得函数的极值点为x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数，当x >1时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数，并且f (x )>0，选项B ，D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝exx<0，选项D 不正确，选项B 正确．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)解析：选A.f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.4．(2022·天津市高三模拟)函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为() A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1aD.(－∞，a )解析：选A.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .5．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，8) B.(－∞，－8)∪(8，＋∞) C ．(－∞，16]D.(－∞，－16]∪[16，＋∞)解析：选C.由题意得f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立，所以a ≤16.6．函数f (x )＝x 4＋54x －ln x 的单调递减区间是________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)．答案：(0，5)7．f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．解析：构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，F (x )在(－∞，0)上单调递减．因为f (x )为偶函数，y ＝x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，所以F (x )在(0，＋∞)上也单调递减，根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．答案：(－∞，－4)∪(0，4)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上小于0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎨⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎨⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)9．已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x (a ∈R )．求函数f (x )的单调区间．解：由题知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)； ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间． 10．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(1，2)上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0(x ≠0)，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上是增函数，在(－a ，0)和(0，a )上是减函数． (2)因为函数f (x )在(1，2)上为单调函数，若f (x )在(1，2)上为单调递增函数，则f ′(x )≥0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≥0，即a ≤x 2在x ∈(1，2)时恒成立，所以a ≤1.若f (x )在(1，2)上为单调递减函数，则f ′(x )≤0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≤0，即a ≥x 2在x ∈(1，2)时恒成立，所以a ≥4.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[4，＋∞)．[B 综合应用]11．(多选)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cosx ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：选CD.构造函数g (x )＝f （x ）cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x（cos x ）2<0，即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，同理，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.故选CD.12．(多选)(2022·辽宁压轴试题)已知正数α，β满足e α＋12β＋sin β>e β＋12α＋sin α，则()A ．2α－β＋1>2 B.ln α＋α<ln β＋βC.1α＋1β>4α＋β D.1e α＋1α<1e β＋1β 解析：选ACD.由题意，得e α－12α＋sin α>e β－12β＋sin β，构造函数f (x )＝e x －12x ＋sin x，x >0，令g (x )＝2x ＋sin x ，则g ′(x )＝2＋cos x >0恒成立，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知－12x ＋sin x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝e x －12x ＋sin x在(0，＋∞)上单调递增，由f (α)>f (β)，可得α>β>0，对于A ，由α>β，可得α－β＋1>1，所以2α－β＋1>2，故A 正确；对于B ，由α>β>0，可得ln α>ln β，则ln α＋α>ln β＋β，故B 错误；对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β(α＋β)＝2＋αβ＋βα>2＋2αβ·βα＝4，所以1α＋1β>4α＋β，故C 正确；对于D ，由α>β>0，可得e α>e β>0，1α<1β，所以1e α<1e β，所以1e α＋1α<1e β＋1β，故D 正确．13．已知g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x 在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知得g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立，可得a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立．又当x ∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72.所以a ≤－72.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－7214．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案：(0，1)∪(2，3)[C 素养提升]15．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .由题意知，f ′(x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时， f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞16．(2022·北京高三一模)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a （1－x ）x，当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )为常数函数，没有单调区间． (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.所以g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎨⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意的t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373.所以－373<m <－9.21 / 21 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

数列教学设计精选5篇

数列教学设计精选5篇数列教案篇一关键词高中数学；案例式教学问题教学是数学学科知识内涵和要点的有效载体，是教学目标理念展现的重要途径，是能力素养培养的重要平台。

长期以来，问题教学活动方略的实施，一直以来成为广大高中数学教师进行探究和实践的重要课题。

但在传统问题教学活动中，部分教师片面的将问题教学看作是知识内容、解题方法传授的“工具”，在问题内容的设置和问题解答的传授中，不能精心准备，有的放矢，导致问题教学的效能达不到预期目标。

新实施的高中数学课程标准则指出：“要注重发挥数学问题承载知识内涵的重要载体以及学生能力培养的功能特性”，“设置‘少而精’的数学问题，实现学生知识内涵有效掌握和能力品质的有效提升。

”可见，传统“胡子眉毛一把抓”的“题海式”问题教学模式，已经不能适应新课改的要求。

“少而精”的“典型性”的案例式教学模式，以其在反映教学内涵要义上的精准性，培养学生学习能力上的功能性等特征，成为有效教学的重要组成部分。

近几年来，本人就如何做好案例式教学活动进行了尝试，现就如何选取典型案例，培养学生学习能力方面进行简要阐述。

一、问题案例应凸显“精”字，体现精辟性，使学生在感知问题内涵中领会设计意图案例1 已知A（-2，-3），B（4,1），延长AB至点P，使AP的绝对值等于PB绝对值的三倍，求点P的坐标。

上述问题是教师在教学“平面向量的坐标运算”知识内容，在讲解“向量定比分点的几何运用”考察点时所设置的一道问题案例。

教师在引导学生进行问题分析过程中，使学生了解到该问题是考查学生向量的定比分点坐标公式的应用。

然后，教师再次引导学生进行问题解答方法的探索，通过对问题条件关系的分析，发现该问题可以采用两种不同的解答方法，一种是利用向量定比分点坐标公式求，考虑P为分点，应用定比分点坐标公式求点P的坐标。

第二种是把向量的定比分点坐标公式看做是一个等量关系，通过解方程的思想处理问题。

学生在上述问题解答过程中，对向量定比分点坐标公式的运用有较为准确和深刻的掌握，并对如何运用该知识点内容做到“胸中有数”。

数列的概念与简单表示法-高考数学复习

第六章数列
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[解析] (1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an ＝(－1)n(6n－5).
(2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1. (3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列 9,99,999，…
第六章数列
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5．(选修 2P9T5 改编)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝nn＋＋12，则 a5＋ 1
a6＝___2_4___.
[解析] a5＋a6＝S6－S4＝66＋＋12－44＋＋12＝78－56＝214.
第六章数列
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2n .
(5)将原数列改写为32，55，170，197，…，对于分子 3,5,7,9，…，是序
号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，…，
联想到数列 1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，
故可得原数列的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
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考点突破 · 互动探究
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由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an. (1)－1,7，－13,19，…； (2)3,5,9,17,33，…； (3)5,55,555,5 555，…； (4)1,0，13，0，15，0，17，0，…； (5)32，1，170，197，….

数列的递推关系与子数列问题+课件-2023届高考数学二轮专题复习

(2)已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为 100，则{cn}的项数是________．
[解析] 当 n＝1 时，a1＝－34，
当 n≥2 时，Sn－1＝(－1)n－1an－1＋2n1－1＋n－4，
所以 an＝(－1)nan＋(－1)nan－1－21n＋1.
当 n 为偶数时，an－1＝21n－1；当 n 为奇数时，2an＝－an－1－21n＋1，即21n－2＝－an－1－21n＋1，an－1＝3－22n.
2023年高考数学二轮复习专题课件★★
数列的递推关系与子数列问题
命题点(一) 构造法求数列的通项公式高考试题中求数列的通项公式，一般不单独考查，往往是作为解答题的一个小题，与数列的求和综合考查，其总的原则是转化为等差数列、等比数列求解. [典例] (1)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，求{an}的通项公式； (2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式； (3)已知数列{an}中，a2＝13，an＝an＋1＋2anan＋1，求数列{an}的通项公式．
答案：C
3．已知数列{an}，{bn}满足 a1＝118，2an＋1－an＝16an＋1an，bn＝a1n－16，则 bn＝ ________.
解析：由 2an＋1－an＝16an＋1an，得an1＋1＝a2n－16，于是an1＋1－16＝2a1n－16，即 bn＋1＝2bn，而 b1＝a11－16＝2，所以{bn}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．所以 bn＝2×2n－1＝2n. 答案：2n

22.数列与三角

第二十讲:数列与三角 77第二十讲:数列与三角数列与三角的结合是近年安徽高考数学试题的一道亮丽的风景线,数列与三角有如下六个结合点.1.通项结合例1:(2008年湖南高考试题)(理)数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2,a n+2=(1+cos 22πn )a n +sin 22πn ,n=1,2,3,….(Ⅰ)求a 3,a 4,并求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =n n a a 212-,S n =b 1+b 2+…+b n .证明:当n ≥6时,|S n -2|<n1. 解析:(Ⅰ)因a 1=1,a 2=2,a n+2=(1+cos 22πn )a n +sin 22πn ,所以,a 3=(1+cos 22π)a 1+sin 22π=a 1+1=2,a 4=(1+cos 2π)a 2+sin 2π=2a 2=4;当n=2k(k ∈N*)时,a 2k+2=(1+cos 2k π)a 2k +sin 2k π=2a 2k ⇒数列{a 2k }是以a 2=2为首项,公比为2的等比数列⇒a 2k =2k⇒a n =22n;当n=2k-1(k∈N*)时,a 2k+1=[1+cos22)12(π-k ]a 2k-1+sin 22)12(π-k =a 2k-1+1⇒数列{a 2k }是以a 1=1为首项,公差为1的等差数列⇒a 2k-1=k ⇒a n =21+n .综上,a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈-=+∈=*),12(21*),2(22N k k n n N k k n n;(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =n n a a 212-=n(21)n ⇒S n =2-(n+2)(21)n ,所以,,|S n -2|<n 1⇔(n+2)(21)n <n 1⇔n(n+2)(21)n<1(n ≥6).令x n = n(n+2)(21)n ,则x n+1-x n =(n+1)(n+3)(21)n+1-n(n+2)(21)n =(3-n 2)(21)n+1<0⇒x n+1<x n ⇒当n≥6时,x n ≤x 6=43<1. 类题:1.(2009年江西高考试题)数列{a n }的通项a n =n 2(cos 23πn -sin 23πn ),其前n 项和为S n . (Ⅰ)求S n ; (Ⅱ)令b n =nn n S 43⋅,求数列{b n }的前n 项和T n .2.(2008年湖南高考试题)(文)数列{a n }满足:a 1=0,a 2=2,a n+2=(1+cos 22πn )a n +4sin 22πn ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求a 3,a 4,并求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设S k =a 1+a 3+…+a 2k-1,T k =a 2+a 4+…+a 2k ,W k =kkT S +22(k ∈N +),求使W k >1的所有k 的值,并说明理由.2.求和结合例2:(2011年安徽高考试题)在数1和100之间插入n 个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作T n ,再令a n =lgT n ,n ≥1. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b m =tana n tana n+t ,求数列{b n }的前n 项和S n .解析:(Ⅰ)设c 1,c 2,…,c n+2构成等比数列,其中c 1=1,c n+2=100,则c i c n+3-i =c 1c n+2=100(i=1,2,…,n+2),T n =c 1c 2…c n+2…①⇒T n =c n+2c n+1…c 1…②,①×②式得:(T n )2=(c 1c n+2)(c 2c n+1)…(c n+2c 1)=100n+2⇒T n =10n+2⇒a n =lnT n =n+2;(II)由tan1=tan[(k+1) -k]=kk kk tan )1tan(1tan )1tan(++-+⇒tan(k+1)tank=1tan 1[tan(k+1)-tank]-1⇒b k =tana k tana k+1=tan(k+2)tan(k+3)=1tan 1[tan(k+3)- tan(k+2)]-1⇒S =b +b +…+b =[1(tan4-tan3)-1]+[1(tan5-tan4)-1]+…+{1[tan(n+3)-tan(n+2)]-1}=78 第二十讲:数列与三角1tan 1[tan(n+3)-tan3]-n. 类题:1.(1987年广东高考试题)设|θ|<2π,数列{a n }的通项a n =sin 2πn tan nθ,记S 2n =a 1+a 2+…+a 2n-1+a 2n . (Ⅰ)求证:对任意自然数n,S 2n =21sin2θ[1+(-1)n+1tan 2nθ]; (Ⅱ)求证:当n ≥2时,a n 2+a n-1a n+1+(-1)n(a 1n )2=0.2.(2007年浙江高考试题)己知数列{a n }中的相邻两项a 2k-1,a 2k 是关于x 的方程x 2-(3k+2k)x+3k.2k=0的两根,且a 2k-1≤a 2k (k=1,2,3,…). (Ⅰ)求a 1,a 3,a 5,a 7;(Ⅱ)求数列{a n }的前2n 项的和S 2n ; (Ⅲ)记f(n)=21(nn sin |sin |+3),T n =n n n f f f f a a a a a a a a 212)1(65)4(43)3(21)2()1()1()1()1(-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-.求证:61≤T n ≤245.3.零点结合例3:(原创题)设f(x)=xsinx-1,x ∈R +.(Ⅰ)求证:f(x)有无数个零点;(Ⅱ)若f(x)的全部零点按从小到大的顺序排列为x 1,x 2,…,x n ,…,证明:23π<x n+2-x n <25π. 解析:(Ⅰ)因f(2n π+2π)=(2n π+2π)sin(2n π+2π)-1=2n π+2π-1>0,f(2n π-2π)=(2n π-2π)sin(2n π-2π)-1= -2n π-2π-1<0,所以,对任意的自然数n,f(x)在区间(2n π-2π,2n π+2π)内至少有一个零点⇒f(x)有无数个零点; (Ⅱ)由y=sinx 与y=x1的图像知x 1∈(0,2π),x 2∈(2π,π),x 3∈(2π,2π+2π),x 4∈(2π+2π,3π),x 5∈(4π,4π+2π),…,x 2n-1∈((2n-2)π,(2n-2)π+2π),x 2n ∈((2n-2)π+2π,(2n-1)π);①由x 2n-1∈((2n-2)π,(2n-2)π+2π)⇒-(2n-2)π-2π<-x 2n-1<-(2n-2)π,且2n π<x 2n+1<(2n+1)π+2π,两式相加得:23π<x 2n+1-x 2n-1<3π+2π;②由x 2n ∈((2n-2)π+2π, (2n-1)π)⇒-(2n-1)π<-x 2n <-(2n-2)π-2π,且2n π+2π<x 2n+2<(2n+1)π,两式相加得:23π<x 2n+2-x 2n <3π-2π=25π.综上,23π<x n+2-x n <25π. 类题:1.(1986年广东高考试题改编)己知f(x)=x 2-2xcosn α+21(1+cos2n α),其中,α∈(0,π).记f(x)的零点为a n (n ∈N +). (Ⅰ)试用a n 、a n+1表示a n+2; (Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n .2.(1988年广东高考试题改编)设数列{a n }满足a 1=3π,且对任意n ∈N +,x=2π是函数f(x)=a n+1sin 2x+a n cos2x-3π(2n+1)的零点.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;第二十讲:数列与三角 79 4.导数限定例4: (2013年安徽高考试题)设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N +,函数f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cosx-a n+2sinx满足f '(2π)=0. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若b n =2(a n +na 21),求数列{b n }的前n 项和S n .解析:(Ⅰ)由f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cosx-a n+2sinx ⇒f '(x)=(a n -a n+1+a n+2)-a n+1sinx-a n+2cosx;又由f '(2π)=0⇒(a n -a n+1 +a n+2)-a n+1=0⇒a n +a n+2=2a n+1⇒数列{a n }是等差数列;由a 1=2,a 2+a 4=8⇒a 3=4⇒a n =n+1;(Ⅱ)b n =2(a n +na 21)=2n+n 21+2⇒S n =22)1(+⋅n n +211])21(1[21--n +2n=n 2+3n+1-n 21.类题:1.(原创题)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=21且对任意n ∈N +,函数f(x)=(a n a n+2-2a n+12)x+a n+12cosx-a n+2sinx 满足f '(2π)=0.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .2.(原创题)设数列{a n }满足a 1=1,且对任意n ∈N +,a n+1是函数f(x)=31x 3+xcosx-sinx-(2a n +1)(21x 2+cosx)(x ∈R +)的极值点.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .5.极点问题例5:(2012年安徽高考试题)设函数f(x)=2x +sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(Ⅰ)求数列{x n };(Ⅱ)设{x n }的前n 项和为S n ,求sinS n .解析:(Ⅰ)由f(x)=2x +sinx ⇒f '(x)=21+cosx,令f '(x)=0⇒cosx=-21⇒x=2n π±32π;又因f(x)的极小值点⇔y=cosx 单调递增部分与y=-21的交点⇒x=2n π-32π⇒x n =2n π-32π(n ∈N +); (Ⅱ)由x n =2n π-32π⇒S n =n(n+1)π-32πn ,注意到:n(n+1)为偶数⇒sinS n =sin[n(n+1)π-32πn ]=-sin 32πn ;①当n= 3k-2(k ∈N +)时,sinS n =-23;②当n=3k-1(k ∈N +)时,sinS n =23;③当n=3k-2(k ∈N +)时,sinS n =0. 类题:1.(2004年全国Ⅲ高考试题改编)己知函数f(x)=e -x(cosx+sinx)+2.(Ⅰ)将f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列{x n },求数列{f(x n )}的前n 项和S n ; (Ⅱ)设数列{a n }满足:0<a 1<3,a n+1=f(a n ),n ∈N*,求证:0<a n <π. 2.(2005年天津高考试题)设函数f(x)=xsinx(x ∈R). (Ⅰ)证明:f(x+2k π)-f(x)=2k πsinx,其中k 为整数;80 第二十讲:数列与三角(Ⅱ)设x 0为f(x)的一个极值点,证明:[f(x 0)]2=2401x x +;(Ⅲ)设f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1,a 2,…,a n ,…,证明:2π<a n+1-a n <π(n=1,2,….).6.递推关系例6:(2006年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题)已知数列{x n }中,x 1=a,x n+1=212nnx x +.(Ⅰ)设a=tan θ(0<θ<2π),若x 3<54,求θ的取值范围; (Ⅱ)定义在(-1,1)内的函数f(x),对任意x 、y ∈(-1,1),有f(x)-f(y)=f(xyyx --1).若f(a)=21,试求数列{f(x n )}的通项公式.解析:(Ⅰ)由a 1=tan θ(0<θ<2π),x n+1=212nn x x +⇒x 2=θθ2tan 1tan 2+=sin2θ⇒x 3=θθ2sin 12sin 22+,所以,x 3<54⇔θθ2sin 12sin 22+<54 ⇔(2sin2θ-1)(sin2θ-2)>0⇔0<sin2θ<21⇔θ∈(0,12π)∪(125,2π); (Ⅱ)在f(x)-f(y)=f(xy yx --1)中,令x=y 得:f(0)=0,令x=0得:-f(y)=f(-y)⇒f(x)为奇函数⇒f(x n+1)=f(212nn x x +)= f()(1)(n n n n x x x x ----)=f(x n )-f(-x n )=2f(x n )⇒数列{f(x n )}是以f(x 1)=f(a)=21为首项,公比为2的等比数列⇒f(x n )=2n-2.类题:1.(1994年第5届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }中,a 1=a(0<a<1),a n+1=2112na --(n ∈N*),求{a n }的通项公式a n .2.(《中等数学》.2007年第12期.数学奥林匹克高中训练题(104))已知数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=a n +12+n a .求证:a 1+a 2+…+a n >2)1(π-n .第二十讲:数列与三角 77第二十讲:数列与三角数列与三角的结合是近年安徽高考数学试题的一道亮丽的风景线,数列与三角有如下六个结合点.1.通项结合例1:(2008年湖南高考试题)(理)数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2,a n+2=(1+cos 22πn )a n +sin 22πn ,n=1,2,3,….(Ⅰ)求a 3,a 4,并求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =n n a a 212-,S n =b 1+b 2+…+b n .证明:当n ≥6时,|S n -2|<n1. 解析:(Ⅰ)因a 1=1,a 2=2,a n+2=(1+cos 22πn )a n +sin 22πn ,所以,a 3=(1+cos 22π)a 1+sin 22π=a 1+1=2,a 4=(1+cos 2π)a 2+sin 2π=2a 2=4;当n=2k(k ∈N*)时,a 2k+2=(1+cos 2k π)a 2k +sin 2k π=2a 2k ⇒数列{a 2k }是以a 2=2为首项,公比为2的等比数列⇒a 2k =2k⇒a n =22n;当n=2k-1(k∈N*)时,a 2k+1=[1+cos22)12(π-k ]a 2k-1+sin 22)12(π-k =a 2k-1+1⇒数列{a 2k }是以a 1=1为首项,公差为1的等差数列⇒a 2k-1=k ⇒a n =21+n .综上,a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈-=+∈=*),12(21*),2(22N k k n n N k k n n;(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =n n a a 212-=n(21)n ⇒S n =2-(n+2)(21)n ,所以,,|S n -2|<n 1⇔(n+2)(21)n <n 1⇔n(n+2)(21)n<1(n ≥6).令x n = n(n+2)(21)n ,则x n+1-x n =(n+1)(n+3)(21)n+1-n(n+2)(21)n =(3-n 2)(21)n+1<0⇒x n+1<x n ⇒当n≥6时,x n ≤x 6=43<1. 类题:1.(2009年江西高考试题)数列{a n }的通项a n =n 2(cos 23πn -sin 23πn ),其前n 项和为S n . (Ⅰ)求S n ; (Ⅱ)令b n =nn n S 43⋅,求数列{b n }的前n 项和T n .2.(2008年湖南高考试题)(文)数列{a n }满足:a 1=0,a 2=2,a n+2=(1+cos 22πn )a n +4sin 22πn ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求a 3,a 4,并求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设S k =a 1+a 3+…+a 2k-1,T k =a 2+a 4+…+a 2k ,W k =kkT S +22(k ∈N +),求使W k >1的所有k 的值,并说明理由. 2.求和结合例2:(2011年安徽高考试题)在数1和100之间插入n 个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作T n ,再令a n =lgT n ,n ≥1. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b m =tana n tana n+t ,求数列{b n }的前n 项和S n .解析:(Ⅰ)设c 1,c 2,…,c n+2构成等比数列,其中c 1=1,c n+2=100,则c i c n+3-i =c 1c n+2=100(i=1,2,…,n+2),T n =c 1c 2…c n+2…①⇒T n =c n+2c n+1…c 1…②,①×②式得:(T n )2=(c 1c n+2)(c 2c n+1)…(c n+2c 1)=100n+2⇒T n =10n+2⇒a n =lnT n =n+2;(II)由tan1=tan[(k+1) -k]=kk kk tan )1tan(1tan )1tan(++-+⇒tan(k+1)tank=1tan 1[tan(k+1)-tank]-1⇒b k =tana k tana k+1=tan(k+2)tan(k+3)=1tan 1[tan(k+3)- tan(k+2)]-1⇒S n =b 1+b 2+…+b n =[1tan 1(tan4-tan3)-1]+[1tan 1(tan5-tan4)-1]+…+{1tan 1[tan(n+3)-tan(n+2)]-1}= 1[tan(n+3)-tan3]-n.78 第二十讲:数列与三角类题:1.(1987年广东高考试题)设|θ|<2π,数列{a n }的通项a n =sin 2πn tan nθ,记S 2n =a 1+a 2+…+a 2n-1+a 2n . (Ⅰ)求证:对任意自然数n,S 2n =21sin2θ[1+(-1)n+1tan 2nθ]; (Ⅱ)求证:当n ≥2时,a n 2+a n-1a n+1+(-1)n(a 1n )2=0.2.(2007年浙江高考试题)己知数列{a n }中的相邻两项a 2k-1,a 2k 是关于x 的方程x 2-(3k+2k)x+3k.2k=0的两根,且a 2k-1≤a 2k (k=1,2,3,…). (Ⅰ)求a 1,a 3,a 5,a 7;(Ⅱ)求数列{a n }的前2n 项的和S 2n ;(Ⅲ)记f(n)=21(nn sin |sin |+3),T n =n n n f f f f a a a a a a a a 212)1(65)4(43)3(21)2()1()1()1()1(-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-.求证:61≤T n ≤245. 解:(Ⅰ)方程x 2-(3k+2k )x+3k.2k =0的两根为x 1=3k,x 2=2k.当k=1时,x 1=3,x 2=2,所以a 1=2;当k=2时,x 1=6,x 2=4,所以a 3=4;当k=3时,x 1=9,x 2=8,所以a 5=8;当k=4时,x 1=12,x 2=16,所以a 7=12;(Ⅱ)S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2n-1+a 2n )=(3+21)+(6+22)+…+(3n+2n)=(3+6+…+3n)+(2+22+ (2))=23n(n+1)+2n+1-2; (Ⅲ)因f(n)=21(nn sin |sin |+3)⇒f(2)=2,f(3)=2,f(4)=1,f(5)=1,f(6)=1,…⇒T n =n n n f f f f a a a a a a a a 212)1(65)4(43)3(21)2()1()1()1()1(-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+- =+--+876543211111a a a a a a a a …+n n n f a a 212)1()1(-+-⇒T 1=211a a =61,T 2=211a a +421a a =245; ①当n≥3时,T n =+--+876543211111a a a a a a a a …+n n n f a a 212)1()1(-+-≥211a a +421a a -(651a a +871a a +…+n n a a 2121-)=61+2261⋅-(3291⋅+42121⋅+…+ nn 231⋅)≥61+2261⋅-61(321+421+…+n 21)=61+n 261⋅>61; ②当n≥3时,T n =+--+876543211111a a a a a a a a …+n n n f a a 212)1()1(-+-≤211a a +421a a -651a a +(871a a +1091a a +…+n n a a 2121-)=245-3291⋅+(42121⋅+… +nn 231⋅)≤245-3291⋅+91(421+521+…+n 21)=245-n 291⋅<245. 综上,当n∈N*时,61≤T n ≤245.3.零点结合例3:(原创题)设f(x)=xsinx-1,x ∈R +.(Ⅰ)求证:f(x)有无数个零点;(Ⅱ)若f(x)的全部零点按从小到大的顺序排列为x 1,x 2,…,x n ,…,证明:23π<x n+2-x n <π. 解析:(Ⅰ)因f(2n π+2π)=(2n π+2π)sin(2n π+2π)-1=2n π+2π-1>0,f(2n π-2π)=(2n π-2π)sin(2n π-2π)-1= -2n π-2π-1<0,所以,对任意的自然数n,f(x)在区间(2n π-2π,2n π+2π)内至少有一个零点⇒f(x)有无数个零点; (Ⅱ)由y=sinx 与y=x1的图像知x 1∈(0,2π),x 2∈(2π,π),x 3∈(2π,2π+2π),x 4∈(2π+2π,3π),x 5∈(4π,4π+2π),…,x 2n-1∈((2n-2)π,(2n-2)π+2π),x 2n ∈((2n-2)π+2π,(2n-1)π)⇒23π<x n+2-x n <π.第二十讲:数列与三角 791.(1986年广东高考试题改编)己知f(x)=x 2-2xcosn α+21(1+cos2n α),其中,α∈(0,π).记f(x)的零点为a n (n ∈N +). (Ⅰ)试用a n 、a n+1表示a n+2; (Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n .2.(1988年广东高考试题改编)设数列{a n }满足a 1=3π,且对任意n ∈N +,x=2π是函数f(x)=a n+1sin 2x+a n cos2x-3π(2n+1)的零点.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{cos 2a n }的前n 项和S n .4.导数限定例4: (2013年安徽高考试题)设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N +,函数f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cosx-a n+2sinx满足f '(2π)=0. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若b n =2(a n +na 21),求数列{b n }的前n 项和S n .解析:(Ⅰ)由f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cosx-a n+2sinx ⇒f '(x)=(a n -a n+1+a n+2)-a n+1sinx-a n+2cosx;又由f '(2π)=0⇒(a n -a n+1 +a n+2)-a n+1=0⇒a n +a n+2=2a n+1⇒数列{a n }是等差数列;由a 1=2,a 2+a 4=8⇒a 3=4⇒a n =n+1; (Ⅱ)b n =2(a n +na 21)=2n+n 21+2⇒S n =22)1(+⋅n n +211])21(1[21--n +2n=n 2+3n+1-n 21.类题:1.(原创题)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=21且对任意n ∈N +,函数f(x)=(a n a n+2-2a n+12)x+a n+12cosx-a n+2sinx 满足f '(2π)=0.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .2.(原创题)设数列{a n }满足a 1=1,且对任意n ∈N +,a n+1是函数f(x)=31x 3+xcosx-sinx-(2a n +1)(21x 2+cosx)(x ∈R +)的极值点.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .5.极点问题例5:(2012年安徽高考试题)设函数f(x)=2x +sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(Ⅰ)求数列{x n };(Ⅱ)设{x n }的前n 项和为S n ,求sinS n .解析:(Ⅰ)由f(x)=2x +sinx ⇒f '(x)=21+cosx,令f '(x)=0⇒cosx=-21⇒x=2n π±32π;又因f(x)的极小值点⇔y=cosx 单调递增部分与y=-1的交点⇒x=2n π-2π⇒x =2n π-2π(n ∈N );80 第二十讲:数列与三角(Ⅱ)由x n =2n π-32π⇒S n =n(n+1)π-32πn ,注意到:n(n+1)为偶数⇒sinS n =sin[n(n+1)π-32πn ]=-sin 32πn ;①当n= 3k-2(k ∈N +)时,sinS n =-23;②当n=3k-1(k ∈N +)时,sinS n =23;③当n=3k-2(k ∈N +)时,sinS n =0. 类题:1.(2004年全国Ⅲ高考试题改编)己知函数f(x)=e -x(cosx+sinx)+2.(Ⅰ)将f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列{x n },求数列{f(x n )}的前n 项和S n ; (Ⅱ)设数列{a n }满足:0<a 1<3,a n+1=f(a n ),n ∈N*,求证:0<a n <π.解:(Ⅰ)f '(x)=-2e -xsinx,由f '(x)=0⇒x=k π,k ∈Z,且f '(x)在x=k π附近的左、右符号相反,所以f '(x)=0的点x=k π都是其极值点,即x n =n π,n ∈N*⇒f(x n )=2±e-n π;(Ⅱ)当x ∈(0,π)时,f '(x)<0⇒f(x)在(0,π)内递减⇒f(x)∈(f(0),f(π))⊂(0,π)即证. 2.(2005年天津高考试题)设函数f(x)=xsinx(x ∈R). (Ⅰ)证明:f(x+2k π)-f(x)=2k πsinx,其中k 为整数; (Ⅱ)设x 0为f(x)的一个极值点,证明:[f(x 0)]2=2401x x +;(Ⅲ)设f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1,a 2,…,a n ,…,证明:2π＜a n+1-a n ＜π(n=1,2,….). 解:(Ⅰ)f(x+2k π)-f(x)=(x+2k π)sin(x+2k π)-xsinx=(x+2k π)sinx-xsinx=2k πsinx;(Ⅱ)f '(x)=sinx+xcosx,x 0为f(x)的一个极值点⇒f '(x 0)=0⇒sinx 0+x 0cosx 0=0⇒tanx 0=-x 0,所以,[f(x 0)]2= x 02sin 2x 0=x 0224002022002020211tan tan cos sin sin x x x x x x x x +=+⋅=+;(Ⅲ)x 0>0,且x 0=-tanx 0,所以必存在非负整数k,使x 0∈(k π+2π,k π+π),f '(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x),其中,①当x ∈(2k π+2π,2k π+π)时,cosx<0,此时,(i)当x ∈(2k π+2π,x 0)时,-tanx>x ⇒f '(x)<0;(ii)当x ∈(x 0,2k π+π)时,-tanx<x ⇒f '(x)>0;②当∈(2k π+23π,2k π+2π)时,cosx>0,(i)当x ∈(2k π+2π,x 0)时,-tanx>x ⇒f '(x)>0;(ii)当x ∈(x 0,2k π+π)时, -tanx<x ⇒f '(x)<0.所以满足f '(x)=0的正根x 0都是的极值点.因此,当a n ∈(k π+2π,k π+π)时,a n+1∈(k π+23π,k π+2π)⇒a n+1-a n ∈(2π,23π);又由a n+1-a n =-(tana n+1-tana n )=-(1+tana n+1tana n )tan(a n+1-a n )⇒tan(a n+1-a n )<0⇒a n+1-a n ∈(2π,π).6.迭代函数例6:(2006年湖南高考试题)已知函数f(x)=x-sinx,数列{a n }满足:0<a 1<1,a n+1=f(a n ),n=1,2,3,…,证明:(Ⅰ)0<a n+1<a n <1; (Ⅱ)a n+1<361n a解析:(Ⅰ)首先证明:当x ∈(0,1)时,f(x)∈(0,1).这是因为f '(x)=1-cosx>0⇒f(x)在(0,1)内单调递增⇒f(x)∈(f(0),f(1))=(0,1-sin1)⊂(0,1);再证明:当x ∈(0,1)时,f(x)<x.由f(x)<x ⇔x-sinx<x ⇔sinx>0即得证; (Ⅱ)当x ∈(0,1)时,f(x)<361x .令g(x)=361x -f(x)=361x -x+sinx ⇒g '(x)=21x 2-1+cosx ⇒g ''(x)=x-sinx ⇒g '''(x) =1-cox>0⇒g ''(x)=x-sinx 在(0,1)内递增⇒g ''(x)>g ''(0)=0⇒g '(x)=21x 2-1+cosx 在(0,1)内递增⇒g '(x)>类题:解:令a=sin θ(0<θ<2π),则a 2=sin 2θ⇒…⇒a n =sin 12-n θ.解:a 2n+1=21(a 2n-1+a 2n ),a 2n+2=122+n n a a ⇒a 2n+1=n n a a 2222+,代入a 2n+1=21(a 2n-1+a 2n )得:2n n a a 2222+=2222-n n a a +a 2n ⇒222222nn a a +=222-n n a a +1.令b n =nn a a 222+⇒b 1=23,2b n 2=b n-1+1.设b n =cos θn ,θn ∈(0,2π)⇒cos θn-1=b n-1=2b n 2-1=2cos 2θn -1=cos2θn ⇒θn =21θn-1,θ1=6π⇒θn =n 23⋅π⇒b n =cos n 23⋅π⇒a 2n =a 2b 1b 2…b n-1=2cos 123⋅πcos 223⋅π…cos 223-⋅n πcos 123-⋅n π⇒a 2n sin123-⋅n π= 2cos123⋅πcos223⋅π…cos223-⋅n πcos123-⋅n πsin123-⋅n π=cos123⋅πcos223⋅π…cos223-⋅n πsin223-⋅n π=…=221-n sin3π= 221-n 23=123-n ⇒a 2n =123-n 123sin 1-⋅n π⇒a 2n+1=n n a a 2222+=123+n n n 23sin 23sin21⋅⋅-ππ=123+n nn n23sin 23cos23sin22⋅⋅⋅πππ=n23cot n 23⋅π.。

高考数学复习知识点讲解教案第20讲双变量不等式的证明

［思路点拨］思路一：根据题意得ln 1 − ln 2 +
=
1
2
0 < < 1 ，得1 + 2 =
1
−

ln
1
1
−
1
2
= 0，进而令
1

，构造函数ℎ = − − 2ln 0 < < 1 ，
利用导数判断函数ℎ 的单调性，进而证明.
1

思路二：由题知方程ln + = − 1有两个不同的实数根1 ,2 ,构造函数 =
1
ln
4
1
ln
1 2
1
0,
8
上单调递减，
+ 2 + 1 = 3 − 2ln 2，则 1 + 2 > 3 − 2ln 2成立.
−2
探究点三极值点偏移和零点偏移
例3 已知函数 = ln + + 1，若关于的方程 = 有两个不同的实数
1

根1 ,2 1 < 2 ，求证：1 + 2 > 2.
ln +
即可.
1
，

1

> 0， = ln + − ln 2 − −
1
,
2−
∈ 0,1 ，进而利用导数求证
1

证明：方法一： = ln + + 1, > 0.
因为1 ,2 为方程 = 的两个不同的实数根，
所以ln 1 +
1
1
+ 1 = ①，ln 2 +
− ∈ .
若 = 1，判断函数的单调性；

高考数学序列数列基本概念标准教程

高考数学序列数列基本概念标准教程数学是一门重要的学科，在我们的生活中起到了不可忽视的作用。

而高考作为中学生结束学业的一个重要关卡，数学也是其中重要的一科。

其中序列和数列是高考数学中重要的概念，掌握好它们的基本概念对于高考数学的考试至关重要。

本教程将从基本概念开始，为大家介绍高考数学中的序列和数列。

一、序列的概念及表示方法在数学中，序列是指有限个或无限个按一定规律排成的数。

其中有限个数为有限序列，无限个数为无限序列。

序列中的每个数称为该序列的项，前n项和可表示为S(n)，第n项表示为a_n。

序列通常表示为：a1,a2,a3,…,an即为序列{a_n}。

二、数列的概念及表示方法数列是指一系列按照一定规律排列的数的集合，其中规律可以是各种数学形式。

数列中的每一个数称为项，项的排列顺序称为项数，也称为序号。

数列可以表示为：{a_n}，其中n代表数列的项数。

三、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差是一个固定的常数d，称为等差数列的公差。

等差数列的首项为a1，公差为d，则数列中第n 项an可表示为an=a1+(n-1)*d，前n项和Sn可表示为Sn=(n/2)(a1+an)。

其中，n≥1，d≠0。

四、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比是一个固定的常数q，称为等比数列的公比。

等比数列的首项为a1，公比为q，则数列中第n 项an可表示为an=a1*q^(n-1)，前n项和Sn可表示为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。

其中，n≥1，q≠0，q≠1。

五、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的第一项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。

定义为：{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …}。

我们可以通过递推关系式来求解第n项an，即an=an-1+an-2。

六、总结序列和数列是高等数学中基础的数学概念，对于高考中的数学考试至关重要。

掌握了它们的概念及相关公式，能够更好地应对数学考试。

在学习数列和序列的过程中，我们要尽可能多地做题，多加练习，培养数学思维能力和解决问题的能力，从而提高数学成绩。

数列难么高中数学

数列难么高中数学【最新版】目录一、引言：高中数学数列的难度二、数列的定义和基本概念三、数列的性质和分类四、数列的求和方法和通项公式五、数列在高考中的应用六、如何学习高中数学数列七、结论：数列在高中数学中的重要性和挑战性正文一、引言：高中数学数列的难度高中数学数列对于很多学生来说，是一门比较困难的学科。

数列涉及的问题种类繁多，求解方法复杂，而且与其他数学学科的联系也非常紧密，因此，学生往往感到难以掌握。

二、数列的定义和基本概念数列是一组按照一定顺序排列的数字，其中每一个数字称为这个数列的项。

数列通常用{a1, a2, a3,...}来表示。

数列的项之间存在一定的关系，例如等差数列、等比数列等。

三、数列的性质和分类数列有许多重要的性质，如公比、公差、首项、末项等等。

根据这些性质，数列可以分为许多不同的类型，如等差数列、等比数列、斐波那契数列、几何数列等等。

四、数列的求和方法和通项公式求和方法是数列中一个重要的问题，常见的求和方法有求和公式、分组求和、裂项相消等。

通项公式是数列中另一个重要的问题，它可以用来求解数列中的任意一项。

常见的通项公式有等差数列通项公式、等比数列通项公式、斐波那契数列通项公式等。

五、数列在高考中的应用数列是高考数学中的一个重要内容，它在高考中的应用非常广泛。

高考中数列题目的难度通常较大，需要学生掌握扎实的数列知识，并能够灵活运用各种求解方法。

六、如何学习高中数学数列学习高中数学数列，首先要掌握数列的基本概念和性质，然后要熟练掌握各种求解方法，如求和公式、通项公式等。

同时，还需要通过大量的练习，提高自己的解题能力和技巧。

七、结论：数列在高中数学中的重要性和挑战性数列在高中数学中占据了重要的地位，它对于学生的数学能力和技巧的培养具有重要的作用。

2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第20讲取值范围问题的解法含解析

第20讲取值范围问题的解法这一节主要讲解解析几何的范围问题,相对于前一讲最值问题来说难度加大,但和最值问题的解题思路很像,解题的核心思路是:构建所求几何量的含参一元函数,形如()AB f k =,并且进一步找到自变量范围,进而求出值域,即所求几何量的范围,常见的函数有: ①二次函数;②"对勾函数"(0)ay x a x=+>;③反比例函数;④分式函数.若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用导数进行解决.这里找自变量的取值范围在Δ0>或者换元的过程中产生.除此之外,在找自变量取值范围时,还可以从以下几个方面考虑: ①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系. ③利用基本不等式求出参数的取值范围.④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围. 弦长的取值范围【例1】若l 为圆22:1O x y +=的任意一条切线,l 与椭圆22:143x y E +=交于两点P ,Q ,求PQ 的取值范围.【解析】设直线l 方程为:y kx m =+.直线l 为圆的切线,221. 1.d m k ∴==∴=+联立直线与椭圆方程22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=.()2Δ48320k =+>,由韦达定理得1222122843,41243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴弦长12243PQ x k =-=+.令2433t k =+, PQ ∴=3,3⎛ ⎝⎦3,.3PQ ⎛∴ ⎝⎦的取值范围为【例2】过点()2,0的直线l 交椭圆22:12x C y +=于,A B 两点,M 为椭圆C 上一点,O 为坐标原点,且满足OA OB mOM +=,其中m ∈⎣⎦,求AB 的取值范围. 【解析】设直线l 的方程为:()2y k x =-,0,0m k ≠∴≠,将该直线方程与椭圆方程联立得()()222222212882012y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩,设()()1122,,,A x y B x y , 22121222882,.1212k k x x x x k k -∴+==++有()1212244.12ky y k x x k -∴+=+-=+ 设()00,M x y .OA OB mOM +=,∴有221200228181212k k x x mx x k m k +==⇒=⋅++,1200224141212k ky y my y k m k--+==⇒=⋅++,把点()00,M x y 坐标代入椭圆方程中得 222221812141,212k m k k m k ⎛⎫⋅ ⎪+-⎛⎫⎝⎭+⋅= ⎪+⎝⎭化简得2221621k m k =+,而53m ⎡∈⎢⎣⎦, 21 1.3k ∴AB====2211202k k ->⇒<21132k ∴<.令221122t k t k -+=⇒=.2115,2323k t <∴<.AB ∴==51132,325t t <∴<, ∴当13,5AB t =的最大值为5.当112t =时,0AB =.523t <, AB ∴的取值范围为0,5⎛ ⎝⎦.【例3】已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点,O 为坐标原点,点(1P -,2⎭在椭圆上,且1120,PF F F O ⋅=是以12F F 为直径的圆,直线:l y kx m =+与O 相切,并且与椭圆交于不同的两点,A B .(1)求椭圆的标准方程.(2)当OA OB λ⋅=,且满足2334λ时,求弦长AB 的取值范围。