完全平方公式分解因式
因式分解运用公式法(完全平方公式)
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]
![6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]](https://img.taocdn.com/s3/m/6eb0435f3b3567ec102d8afb.png)
1．分解因式： 分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？ 下面因式分解对吗
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 两个数的平方和， 平方和 或减去） 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 平方和 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
1．判别下列各式是不是完全平方式． ．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ； 不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ； 是
2 2
(3) x − 2 xy + y ； 是
2 2
(4) x + 2 xy − y ； 不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ． 是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？ 你能总结出完全平方式的特点吗？
± 2 × 首 × 尾+ 首 尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式， 判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
初二因式分解公式大全
初中因式分解的公式1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。
4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
5、结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。
6、括号内的首项系数一般为正。
7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如(b+c)a要写成a (b+c)。
8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
简单易学的完全平方公式分解因式教案
简单易学的完全平方公式分解因式教案。
第一步：了解完全平方公式在介绍完全平方公式的分解因式之前，我们需要先了解完全平方公式本身。
完全平方公式是初中数学中比较基础的一个公式，它的公式为：(a+b)²=a²+2ab+b²其中，a、b可以是任意的数。
这个公式的意义是将两个数相加或相减后，再将它们的积加上它们平方差的一半，就可以得到它们的平方和。
第二步：了解分解因式在学习完全平方公式之后，我们需要继续了解分解因式。
分解因式是求一个表达式的因式，并将它们拆分成两个或多个正整数相乘的方式。
它的步骤如下：1.先将表达式用因子分解的方法，分解成两个或多个因子的乘积。
2.如果表达式中含有相同的因式，则可以将它们合并成一个因式。
3.将所有因子相乘，得到表达式的因式积。
第三步：学习完全平方公式分解因式掌握完全平方公式和分解因式的基本知识之后，我们就可以开始学习完全平方公式分解因式的具体步骤。
下面，我们将以一个例子来详细介绍完全平方公式分解因式的步骤。
例题：分解因式x²+8x+161.将方程中的x²用完全平方公式进行展开，得到：x²+8x+16=(x+4)²2.根据完全平方公式，(x+4)²可以展开为：(x+4)²=x²+2×4×x+4²=x²+8x+163.因此，x²+8x+16的分解因式为：x²+8x+16=(x+4)²这个例题应该能够说明完全平方公式分解因式的具体步骤。
在实际操作中，我们需要注意以下几点：1.要先根据完全平方公式展开方程。
2.在展开方程的基础上，从一侧开始，一步一步逆推回去，得到原来的表达式。
3.最终的答案应该是原方程的因式积，而不是一个单独的因数。
总结：在初中数学中，完全平方公式和分解因式都是比较基础的知识点。
掌握了这些知识点之后，我们就可以进行更高层次的数学学习。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式分解因式完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以进行因式分解成两个一次多项式之和，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
设二次多项式为$ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。
根据完全平方公式，可以将其因式分解为$(px+q)^2$的形式，其中$p$和$q$分别表示两个一次多项式的系数。
根据完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 计算二次项的系数：$p=\sqrt{a}$。
2. 计算常数项的系数：$q=\frac{b}{2\sqrt{a}}$。
3. 将一次项表示为$p$和$q$的线性组合：$bx=c(q+px)$。
这一步是将一次项表示为两个一次多项式的和的形式。
对于一个给定的二次多项式，如果其平方形式与完全平方公式的形式相同，则可以直接确定因式分解。
否则，需要对二次多项式进行平方操作，然后根据完全平方公式进行因式分解。
下面以两个例子来说明完全平方公式的应用。
例子1：将$4x^2+4x+1$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{4}=2$。
根据以上步骤，可以将$4x^2+4x+1$分解为$(2x+1)^2$。
例子2：将$9x^2-12x+4$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{9}=3$。
根据以上步骤，可以将$9x^2-12x+4$分解为$(3x-2)^2$。
除了完全平方公式，还可以使用差平方公式和平方差公式进行因式分解。
差平方公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式之差的平方，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
平方差公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式的平方差的形式，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
完全平方公式、差平方公式和平方差公式是进行因式分解的重要工具。
在解决实际问题中，常常会遇到需要进行因式分解的情况。
因此，熟练掌握这些公式的应用是很重要的。
因式分解-完全平方公式
9、把 ( a + b ) + 4 ( a + b ) + 4 分解因式得 C （ ） 2 2 A、 ( a + b + 1) B、 a + b − 1) ( 2 2 C 、( a + b + 2 ) D、 a + b − 2 ) (
2
10、 10、计算 100 − 2 ×100 × 99 + 99 A 结果是（ 结果是（ ） B、 A、 1 B 、- 1 D、 C、 2 D 、- 2
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式 叫做完全平方式 两个“ 两个“项”的平方和加 或减去）这两“ 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
(1)x + 2xy + y 是 2 2 是 (2)A − 2AB + B 2 2是 (3)甲 + 2×甲×乙+乙 2 2 是 (4)∆ − 2×∆×Θ+ Θ
1 2 ab ( 4 ) a + _______ + b 4 4 2 2 4 y ( 5 ) x + 2 x y + ______
2
a +2ab+b = ( a +b ) 2 2 a −2ab+b = ( a −b )
2 2
2
2
我们可以通过以上公式把 完全平方式” “完全平方式”分解因式 我们称之为： 我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式 下列各式中， 分解的是（ 分解的是（ D ） +2xyA、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y 2 D、 1 x 2 -xy+y 2
用完全平方公式进行因式分解
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
因式分解——完全平方公式
因式分解——完全平方公式因式分解是数学中一种常用的运算方法，它将一个多项式表达式转化为它的因数之积的形式。
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式，它可以将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式及其运用。
完全平方公式是指将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积的公式。
它的一般形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2其中a和b可以是任意实数。
我们可以通过完全平方公式来分解一个二次多项式，使得它的因式之积具有更简洁的形式。
完全平方公式的运用可以提高我们解决数学问题的效率，并且能够帮助我们更好地理解和掌握二次多项式的结构。
完全平方公式的运用可以分为两个方向：一是将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，二是通过完全平方公式来求解一个二次方程。
首先，我们来介绍如何将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
假设我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们要将其分解为两个完全平方的乘积。
首先，我们观察到x^2+6x+9的首项和尾项都是平方。
这提示我们可以将x^2+6x+9写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，我们可以知道a=x，b=3、将这些值代入完全平方公式中，我们可以得到：(x+3)^2=x^2+2(x)(3)+3^2=x^2+6x+9所以，x^2+6x+9可以写成(x+3)^2的形式。
这样，我们就成功地将这个二次多项式分解为两个完全平方的乘积了。
接下来，我们介绍如何通过完全平方公式来求解一个二次方程。
二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为实数，且a不等于0。
对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过完全平方公式来求解。
首先，我们需要将二次方程转化为完全平方的形式。
假设我们有一个二次方程x^2+6x+9=0，我们要求解它。
首先，我们观察到x^2+6x+9可以写成一个完全平方的形式，即(x+3)^2、根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=0那么，根据完全平方的定义，我们可以知道x+3=0，即x=-3所以，这个二次方程的解为x=-3通过这个例子，我们可以看出完全平方公式在求解二次方程时的作用。
用完全平方公式分解因式
用完全平方公式分解因式。 用完全平方公式分解因式。 提取公因式法 （2）因式分解通常考虑______________方法。 因式分解通常考虑______________方法。 ______________方法 彻底 （3）因式分解要_________ 因式分解要_________
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？ 与你分享吗？
用完全平方公式分解因式
(a + b ) = a + 2ab + b
2 2
2 2
(a − b ) = a − 2ab + b
2 2
两数和（或差）的平方， 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方 和，加上（或减去）这两数的积的2倍。 加上（或减去）这两数的积的2
两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2 两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2 倍，等于这两个数和（或差）的平方。 等于这两个数和（或差）的平方。
2 2
(4) 4 y + 2 xy + y
2
2
练一练：按照完全平方公式填空： 练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a − 10a + ( 25 ) = ( a − 5 )
2
2 2
2
(2) ( a y ) + 2ay + 1 = ( ay + 1 )
2
(3)
1 1 2 2 2 − ( rs ) + r s = ( − rs ) 4 2
例1：把下列各式分解因式
(1) 4a + 12ab + 9b
2
2
1 2 (2) a + ab + b 4
2
(3) − x + 4 xy − 4 y
完全平方公式因式分解
灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 正确选取a,b. 注意 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 注意 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 在因式分解中 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )
用完全平方公式因式分解
所以-kXY =±2×4X·3Y 即： -k=±2×4×3=±24
所以：K= ±24 Page 41
对应练习：
式子4X2+MX+9是一个完全平方式， 试求M的值
Page 42
八年级 数学
第十五章 因式分解
拓展运用---试一试
三、利用因式分解计算
(2)18 x 81 x2
Page 9
例3 把下列各式因式分解。
a4 2a2b b2
Page 10
习题：(1) p4 4 p2q 4q2
(2)x4 2x2 y 2 y 4
Page 11
小结：
完全平方式具有：
1、是一个三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项” 的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公式来进行因 式分解
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
(2)2x4-32y4=2(x4-16y4)
=2(x2+4y2)(x2-4y2)
= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
注意： 1、有公因式要先提出公因式，再考虑平方差公式.
2、分解因式分解到不能分解为止.
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5、将下列各式分解因式
(1)x2 12 x 36
(2) 2xy x2 y2
2
(3) 3x
6xy
3y2
(4)16n2 8n(m n) (m n)2
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◆创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0, 求(a+2b)2005的值.
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（2）公式的右边是两数和或差的平方形式。 例 1.下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1
解析：(1)式是完全平方式.因为 x2 与 9 分别是 x 的平方与 3 的平方， 6x=2·x·3，所以 x2+6x+9=(x+3) .(2)不是完全平方式.因为第三部分
重难点 预测
重点 难点
学法指导
分组讨论
式和运用公式法分解因式的含义，会用完全平方公式分解因
式
1.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维 的能力。 2.通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会"把一 个代数式看作一个字母"的换元思想。． 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的 精神 会用完全平方公式分解因式。
个式子(或数)的乘积的 二倍，学生明白要确定 能不能应用完全平方公 式来分解，先要看两个 平方项，确定公式中的 a 和 b 在这里是什么， 然后看中间一项是不是 相当于+2ab 或-2ab，如 果是的，才可以分解为 两数和或差的平方形 式。
必须是 2xy.(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1， 在教学中应给学生以足
⑵； x2 1 2 4x2
⑶ 2x3 8x 2 y 8xy 2 ； ⑷； a 2a 8 25
⑸ m2 n2 2mn 1； ⑹ x2 1 2 6 1 x2 9 .
四、小结归纳 运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：
1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方 式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进 行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方 式，然后再把它因式分解.
2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号， 如果是正号，则用公式 a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 ；如果是负号，则用公式 a2－2ab＋b2＝（a－b）2.
让学生了解完全平方式 和运用公式法分解因式 的含义，会用完全平方 公式分解因式。
五、作业设计
1.下边从左到右的变形，是因式分解的有
Hale Waihona Puke （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
反过来，得到： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
2.给出运用完全平方公式分解因式定义：
设计意图
让学生温故知新。
让学生明白完全平方式 的特征：一个多项式如 果是由三部分组成，其 中的两部分是两个式子 (或数)的平方，并且这 两部分的符号都是正 号，第三部分是上面两
（3）（x－2）2－x＋2 （4）a（a－b－c）＋b（b＋c－a）
（5）（a－b）2（a＋b）3－（b－a）3（b＋a）2
（6）－2xy＋6x2y2－8x2y
解： －x2＋4xy－4y2 ＝ － (x2-4xy+4y2)
解题策略。
［a2＋2·a·b＋b2］ ＝（4x＋3）2 ［（a＋b）2］
＝－[x2－2•x•2y+(2y) 2] ［a2－2·a·b＋b2］
＝－（x－2y）2 ［（a—b）2］
进一步体会"把一个代 数式看作一个字母"的 换元思想和整体思想。
（2） a 2 －9=（ ）（ ）
（3） a 2 ＋4ab＋4 b 2 =（ ）（ ）
解：(1)36－25x2=62－(5x)2=(6+5x)(6－5x)
运用公式法分解因式的 关键是要弄清各个公式 的形式和特点，熟练地 掌握公式。
（4） a 2 －6ab＋9 b 2 =（ ）（ ）
2．能力提高 分解因式： ⑴ a2 1 2a ；
所以 25x －10x +1=(5x－1) .
够的时间观察，并充分 交流观察的结果，汇报
观察结果后而采取对
例 2.分解因式:
策，而不应让学车模仿 例题，只有在这种观察
的实践活动中，才能培
（1）16x2＋24x＋9
（2）－x2＋4xy－4y2
养学生的观察能力，才 能训练学生选择正确的
解：16x2＋24x＋9 ＝（4x）2＋2·4x·3＋32
例 3.分解因式:
(1) 3ax 2 +6axy+3ay 2 (2) (a+b) 2 -12(a+b)+ 36 ( 可把 a+b 看作一个整体，设 a+b=m)
三、课堂训练 1、根据上面得到的结果，你会分解因式吗？
让学生明确多项式因式 分解的思考方向和分解 的步骤。
（1）3 a 2 －6ab＋3ac=（ ）（ ）
奋斗中学导学案设计
科目
数学
年级
八年
设计人
关永平
课题
运用完全平方公式分解因式
课型
综合课
课时
1
时间
1.经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用完全平方
公式分解因式的过程，发展学生的逆向思维和推理能力，进
知识与技能 一步体会整式乘法与分解因式之间的联系。2.了解完全平方
学 习 目 标
过程与方法
情感态度价值观
D、（x－y）2－10（y－x）＋25
4.填空：
（1）－1/9a2＋1/4＝（
）2－（
）2
（2）4x2＋1＋
＝（
＋1）2
（3）1/9x2＋
＋1/4y2＝（9/3x－1/2y）2
（4）若 x2＋kx＋64 是完全平方式，则 k 的值为
。
5.把下列各式分解因式：
（1）a4＋3a2
（2）5（a－2）3－3（2－a）2
完全平方式的识别及正确运用完全平方公式分解因式及其简 单应用。
知识链接
学习过程
一、情境引入
1.什么叫分解因式？
2.用提公因式法分解因式
（1）2xy－4y
（2）－2x（x＋1）+（x＋1）2
3.用平方差公式分解因式
（1）4x2－9
（2）（x＋p）2－（x＋q）2
二、探究新知
1．把整式乘法的完全平方公式：
。
（1）x2－4y2＝（x＋2y）（x－2y）
（2）a2－2ab＋b2＝（b－a）2
（3）x2－4x＋5＝（x－2）2＋1
2.－m（a－x）（x－b）－mn（a－x）（b－x）的公因式是（ ）
3.下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、x2＋4y2
B、x2－2xy＋4y 2
C、－x2－4xy＋4y2