初高中数学衔接课程教案12-二次函数的零点分布(一)

初高中数学衔接课程教案12 二次函数的零点分布（一）
一、知识点梳理
1、设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为
()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的简单分布情
况见下表
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧
12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0
f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了
方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值．如方程()2
220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以
()()()22212mx m x x mx -++=--，
另一根为2
m
，由213m <<得223m <<即为所求；
2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数
的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围．分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15
314
m -<<-；②由0∆=即()2
164260m m -+=得出1m =-或3
2
m =
，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故3
2
m =不满足题意；综上分析，得出
15
314
m -<<-或1m =-
二、典型例题
例1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范
围．
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的范围．
例2、已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．
解：由
()()0102200m f ∆>⎧⎪
-+⎪->⎨⎪>⎪⎩
⇒ ()2
1
8010
m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 3
30m m m ⎧<->+⎪
⎨>⎪⎩⇒ 03m <<-3m >+即为所求的范围．
例3、若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围； 解：()()01121<--x x
()012121<++-x x x x
2-<a
例4、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，
一个小于1，求实数m 的取值范围．
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1
22
m -<<即为所求的范围．
例5、若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围； 解：
()()()()121
2140110110
a x x x x ∆=-≥⎧⎪
-+-<⎨⎪-->⎩ 124
a -<≤
例6、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围．
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +<
⇒ 1
3
m <-即为所求范围．
三、巩固练习
1、设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )
A 、正数
B 、负数
C 、非负数
D 、正数、负数和零都有可能 答案：A
2、已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________________________．
答案：(－3，
2
3） 3、二次函数y= x 2-4x-(k-8)与x 轴至多有一个交点，则k 的取值范围是 （ ） A （-∞，4） B （4，+∞） C （-∞，4 ] D [ 4，+∞ ） 答案：C
4、函数f(x)=log 2(x 2-4x+5)的零点为 （ ） A 1 B 0 C 2或0 D 2 答案：D
5、直线y=kx+
23
与曲线y 2-2y-x+3=0只有一个公共点，则k 的值为 （ ） A 0，-21， 41 B 0， -41 C -21， 41 D 0，21， -4
1
答案：A
6、已知方程x 2-k x+2=0在区间（0，3）中有且只有一解，则实数k 的取值范围是______． 答案：k>
或k= 7、①关于x 的二次方程x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围．
②关于x 的二次方程x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，求m 的范围． ③关于x 的二次方程x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围． ④关于x 的二次方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 答案：(1) (2) (3) (4)
8、如果二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围． 答案：∵f (0)＝1>0
(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意
11
3
[0,4)214m <-2755
m -
<≤-214m <-19
013m -<<
(2）当m >0时，则⎪⎩⎪
⎨⎧>-≥∆030m
m 解得0＜m ≤1
综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}
9、设二次函数f(x)= x 2+x+a(a>0)若f(m)<0， 试判断函数f(x)在（m ， m+1 ）内零点的个数．
答案：1个零点。