2.2.1椭圆及其标准方程_图文.ppt
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DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)选修课件2.2.1 椭圆及其标准方程(共34张ppt)
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
x2 b2
比数列，还要验证a1≠0. • (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意
对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特 殊情形导致解题失误. • 三种方法 • 等比数列的判断方法有： • (1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或
• 6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称 为这个二元一次不等式(组)的一个解。所有整数解对应的点称为整点(也
• 高三数学复习知识点2 • 一、充分条件和必要条件 • 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 • 二、充分条件、必要条件的常用判断法 • 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把
2
所以 a 1 0 .
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0).
课件7：2.2.1 椭圆的标准方程
在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝60°， 根据余弦定理可得： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2＝28，② 由①②得|PF1|·|PF2|＝12， 所以 S＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝3 3.
名师点评
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问 题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定 理、余弦定理等知识.
互动探究
3.本例中其他条件不变，∠F1PF2＝60°改为∠F1PF2＝ 90°，求△F1PF2的面积.
解：∵1x62 ＋y92＝1，∴a＝4，b＝3，c＝ 7，|F1F2|＝2 7. ∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝8. 在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝90°， ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|， ∴28＝64－2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝18. ∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝9.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0). 由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴aa4022＋＋bb0122＝＝11⇒ab22＝＝41，.
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
名师点评
先确定焦点所在的坐标轴,然后再设相应的标准方程， 再根据题目中的其他条件，求出变量a与b即可. 若焦点位置不好确定，方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0， n>0，m≠n)，只需求出待定系数m、n即可.
名师点评
定义法求轨迹方程非常简洁，但要注意2a>|F1F2|条件 的判断.另外，求出曲线的方程后，要检验一下曲线 上的点是否都符合方程，如果有不符合题意的点， 应在方程后注明.
课件9：2.2.1 椭圆及其标准方程
❖ 2．焦点三角形的周长等于2a＋2c.
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1，F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
A．2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
[解析] 根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4 3，
平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2设|F1F2|＝2c，常数 为2a？为何令a2－c2＝b2，
❖ 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意 一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使 推导出的椭圆的方程形式简单．令a2－c2＝b2是为 了使方程的形式整齐而便于记忆．
❖ 3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什 么？
P 到右焦点的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[答案] D
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，由椭圆的定
义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－4＝6.
5．椭圆xm2＋y42＝1 的焦距为 2，则 m 的值为________． [答案] 5 或 3 [解析] 若焦点在 x 轴上，则 m－4＝1，∴m＝5； 若焦点在 y 轴上，则 4－m＝1，∴m＝3.
由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距 为 8 的椭圆．
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
2．椭圆1x424＋1y629＝1 的焦点坐标是(
)
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
❖ [答案] B
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1，F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
A．2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
[解析] 根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4 3，
平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2设|F1F2|＝2c，常数 为2a？为何令a2－c2＝b2，
❖ 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意 一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使 推导出的椭圆的方程形式简单．令a2－c2＝b2是为 了使方程的形式整齐而便于记忆．
❖ 3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什 么？
P 到右焦点的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[答案] D
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，由椭圆的定
义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－4＝6.
5．椭圆xm2＋y42＝1 的焦距为 2，则 m 的值为________． [答案] 5 或 3 [解析] 若焦点在 x 轴上，则 m－4＝1，∴m＝5； 若焦点在 y 轴上，则 4－m＝1，∴m＝3.
由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距 为 8 的椭圆．
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
2．椭圆1x424＋1y629＝1 的焦点坐标是(
)
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
❖ [答案] B
2.2.1椭圆及其标准方程(ppt自带动画,不需另外下载)
3．绳长能小于两点之间的距离吗？
二.类比探究 形成概念
感悟:(1)若|MF |+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.
1
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
二.类比探究 形成概念
椭圆定义的文字表述：
（2a>|F1F2|=2c）
F1
0
F2
x
| MF1 | | MF2 | 2a
| MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2 代入坐标
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
二.类比探究 形成概念
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）。
椭圆定义的 符号表述：
MF1 MF2 2a
(2a>2c)
F1 F2
M
1、定义中需要注意什么? 2、如何求椭圆的方程（标准方程） 请举手回答
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。
例5 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2） （0 ,2)并且经过点 ( 3 , 5 ) 求椭圆的标准方程
课件5：2.2.1 椭圆的标准方程
2.2.1 椭圆的标准方程
学习目标
1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点)
2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点)
3.两种位置的椭圆的标准方程的区分．(易混点)
知识点
椭圆的标准方程
问题导思
1．给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张硬纸板，
你能画出椭圆吗？
【提示】 固定两个图钉，将绳子两端固定在图钉上
要由字母的取值范围确定，必要时要进行分类讨论．
3．求与椭圆有关的轨迹问题，常见的直接法、代入
法、参数法等都同样可用，除此以外，还要注意利
用椭圆的定义求解轨迹问题.
当堂检测
1．动点P到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和为10，
则动点P的轨迹方程是________．
【解析】 ∵2a＝10，∴a＝5，∵c＝3，
∴λ＋
＝1，解得 λ＝10 或 λ＝－2(舍去)．
λ＋5
x 2 y2
∴所求椭圆方程为10＋15＝1.
类型2 椭圆标准方程的应用
例2
(1)若方程 x2＋ky2＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求
k 的取值范围；
x2 y2
(2)已知椭圆 4 ＋ 3 ＝1 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2 是
椭圆的焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2 的面积．
且绳长大于图钉间的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔
尖在纸板上移动就可以画出一个椭圆．
知识点
椭圆的标准方程
2．求曲线的方程通常分为几步？
【提示】 四步：建系、设点、列式、化简．
焦点在 x 轴上
标准方程
x2 y2
a2＋b2＝1
焦点在 y 轴上
y2 x2
学习目标
1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点)
2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点)
3.两种位置的椭圆的标准方程的区分．(易混点)
知识点
椭圆的标准方程
问题导思
1．给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张硬纸板，
你能画出椭圆吗？
【提示】 固定两个图钉，将绳子两端固定在图钉上
要由字母的取值范围确定，必要时要进行分类讨论．
3．求与椭圆有关的轨迹问题，常见的直接法、代入
法、参数法等都同样可用，除此以外，还要注意利
用椭圆的定义求解轨迹问题.
当堂检测
1．动点P到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和为10，
则动点P的轨迹方程是________．
【解析】 ∵2a＝10，∴a＝5，∵c＝3，
∴λ＋
＝1，解得 λ＝10 或 λ＝－2(舍去)．
λ＋5
x 2 y2
∴所求椭圆方程为10＋15＝1.
类型2 椭圆标准方程的应用
例2
(1)若方程 x2＋ky2＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求
k 的取值范围；
x2 y2
(2)已知椭圆 4 ＋ 3 ＝1 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2 是
椭圆的焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2 的面积．
且绳长大于图钉间的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔
尖在纸板上移动就可以画出一个椭圆．
知识点
椭圆的标准方程
2．求曲线的方程通常分为几步？
【提示】 四步：建系、设点、列式、化简．
焦点在 x 轴上
标准方程
x2 y2
a2＋b2＝1
焦点在 y 轴上
y2 x2
课件14：2.2.1 椭圆及其标准方程
1
3
＝2×4× 2 ＝ 3.
1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及
与椭圆焦点有关的三角形问题．
2．对椭圆定义的理解易忽视“2a>2c”这一条件，是本节
课的易错点．
平面内到两定点F1，F2 的距离之和为常数，即|MF1|＋
|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
焦点在x轴上
标准方程
图形
2 2
＋ ＝1(a>b>0)
2 2
焦点在y轴上
2 2
＋ ＝1(a>b>0)
2 2
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点坐标
a，b，c的关系
焦点在y轴上
(－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a2＝b2＋c2
(2)观察教材.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|
2 2 − 2
2．归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
等于常数(大于|F1F2|)
平面内与两个定点F1，F2的距离的和___________________
的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点 .
两焦点间的距离
_____________________叫做椭圆的焦距．
(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于
由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
x2 y2
∴所求轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
讲一讲
x2 y2
4．如图所示，P 是椭圆 4 ＋ 3 ＝1 上的一点，F1，F2
为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2
3
＝2×4× 2 ＝ 3.
1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及
与椭圆焦点有关的三角形问题．
2．对椭圆定义的理解易忽视“2a>2c”这一条件，是本节
课的易错点．
平面内到两定点F1，F2 的距离之和为常数，即|MF1|＋
|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
焦点在x轴上
标准方程
图形
2 2
＋ ＝1(a>b>0)
2 2
焦点在y轴上
2 2
＋ ＝1(a>b>0)
2 2
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点坐标
a，b，c的关系
焦点在y轴上
(－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a2＝b2＋c2
(2)观察教材.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|
2 2 − 2
2．归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
等于常数(大于|F1F2|)
平面内与两个定点F1，F2的距离的和___________________
的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点 .
两焦点间的距离
_____________________叫做椭圆的焦距．
(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于
由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
x2 y2
∴所求轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
讲一讲
x2 y2
4．如图所示，P 是椭圆 4 ＋ 3 ＝1 上的一点，F1，F2
为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2
原创2：2.2.1 椭圆及其标准方程
2
2.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离 和 为 8 ， 焦 距 为 2 15 ， 则 此 椭 圆 的 标 准 方 程 为
＋x2＝1
________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆 ＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？
【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin
2.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离 和 为 8 ， 焦 距 为 2 15 ， 则 此 椭 圆 的 标 准 方 程 为
＋x2＝1
________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆 ＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？
【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin
课件13：2.2.1 椭圆及其标准方程
P到两焦点的距离和为26；
3
(2)经过点P(1， )，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
2
解：(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y 2 x2
所以设它的标准方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝26，∴a＝13，又 c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10＋15＝1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为
椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积.
解：由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，
而在△F1PF2中，由余弦定理得，
方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1
A B
＝1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；
1 1
②当A<B，即 B<A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭
a ＋λ b ＋λ
y2 x2
y2
圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2
＋
a ＋λ
x2
2
＝1(a>b>0，λ>－b
3
(2)经过点P(1， )，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
2
解：(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y 2 x2
所以设它的标准方程为：a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝26，∴a＝13，又 c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10＋15＝1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为
椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积.
解：由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，
而在△F1PF2中，由余弦定理得，
方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 1 ＋ 1
A B
＝1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；
1 1
②当A<B，即 B<A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆．
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭
a ＋λ b ＋λ
y2 x2
y2
圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2
＋
a ＋λ
x2
2
＝1(a>b>0，λ>－b
2.2.1 椭圆及其标准方程 (共29张PPT)
• 这两个定点叫做椭圆的焦点，
M
• 两焦点的距离叫做焦距．
F1
F2
2019/11/1
8
问：能否由此得到：到两个定点的距离之和 等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
说明：在平面上到两个定点F1， F2的距 离之和等于定值2a的点的轨迹为：
当2a＞∣F1F2∣=2c ，轨迹为：椭圆 当2a＝ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：线段 当2a＜ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：不存在
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反思：
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（1）在平面内
（2）到两定点F1，F2的距离之和等于定长2a
（3）定长2a﹥ |F1F2|
M
F1
F2
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1.椭圆的定义
• 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
y2 b2
1(a b 0)
这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的
焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这
2里019c/121/=1 a2-b2．
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4．椭圆标准方程分析
我们把方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
叫做椭圆的标准方程，它表示
y M (x,y)
答 案：(1) x2 y2 1 16
② a 4, c 15，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10，c 2 5 。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
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椭圆及其标准方程ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
（3）
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第20页
已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆
心轨迹．
动圆满足条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外 切．依据两圆相切充要条件建立关系式，可求出动圆 圆心轨迹方程，进而拟定出轨迹图形．
灵活应用．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第26页
3．利用待定系数法拟定椭圆原则方程
求椭圆原则方程惯用待定系数法，要恰当地选择方 程形式，假如不能拟定焦点位置，那么有两种办法来 处理问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆 方程普通式．
(1)假如明确了椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上， 那么所求椭圆一定是原则形式，那么能够利用待定系
答案： D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第4页
2．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则
点 P 到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析： 由椭圆定义知点P到另一个焦点距离是10－ 2＝8.
答案： D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第5页
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26. (2)求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3， 1)两点．
第11页
解析： 设椭圆方程为xa22＋yb22＝1， ac＝ 22，故 ba22＝12.
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋ |AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故 a＝4.
2.2.1椭圆及其标准方程
x2 y 2 2 1 (a b 0 ) 2 （2）设椭圆的标准方程. a b （3）用待定系数法确定a、b的值. x2 y 2 2 1 2 a b
a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2 2
2
c
F2
x
b2= a2 - c2 b a2 c2
a,b,c三者的关系
（1）b2= a2 c2
y M
（2）c2= a2 - b2 （3）a2= b2 + c2
F1
b
O
a
c F2
x
（a>b>0,a>c>0)
x y 例1.已知椭圆方程为 1 ,则 25 16
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____, (-3,0),(3,0) (2)焦点在 x 轴上,焦点为__________, 焦距为____ 6
O
M
x
F1
椭圆的方程
x y 1.焦点在x轴: 2 2 1 (a b 0) a b
y x 2.焦点在y轴: 2 2 1 (a b 0) a b
焦点位置的判断: 分母哪个大，焦点就在 哪个轴上
2 2
2
2
x y 例2.已知椭圆方程为 1 ,则 16 25
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____,
2
2
(2)焦点在 y 轴上,焦点为__________, (0,-3),(0,3) y
焦距为____ 6
F2
O
M
x
F1
椭圆的标准方程
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y M
a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2 2
2
c
F2
x
b2= a2 - c2 b a2 c2
a,b,c三者的关系
（1）b2= a2 c2
y M
（2）c2= a2 - b2 （3）a2= b2 + c2
F1
b
O
a
c F2
x
（a>b>0,a>c>0)
x y 例1.已知椭圆方程为 1 ,则 25 16
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____, (-3,0),(3,0) (2)焦点在 x 轴上,焦点为__________, 焦距为____ 6
O
M
x
F1
椭圆的方程
x y 1.焦点在x轴: 2 2 1 (a b 0) a b
y x 2.焦点在y轴: 2 2 1 (a b 0) a b
焦点位置的判断: 分母哪个大，焦点就在 哪个轴上
2 2
2
2
x y 例2.已知椭圆方程为 1 ,则 16 25
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____,
2
2
(2)焦点在 y 轴上,焦点为__________, (0,-3),(0,3) y
焦距为____ 6
F2
O
M
x
F1
椭圆的标准方程
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y M
§2.2.1__椭圆及其标准方程(1)
【建构数学】
1. 椭圆定义： |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0, |F1F2|=2c)
平面内与两个定点 F1, F2 的距离和等于常数（大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
M
注意:
椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内.
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
y2
16 k
1
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
（3）两个焦点的坐标分别是(4,0), (4,0)
椭圆上一点到两焦点距离和为10. （5）求焦点在坐标轴上，且经过点A( 3,2),
定义 图形 方程
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
焦点 a,b,c之间的关系
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，
中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2 a2 cx a (x c)2 y2
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