直线与抛物线的位置关系

抛物线的简单几何性质
————叶双能
一． 教学目标：
1. 掌握抛物线的简单几何性质
2. 能够熟练运用性质解题
3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题
4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.
二． 教学重难点：
重点：抛物线的几何性质
难点：抛物线几何性质的运用.
易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.
三．教学过程
（一）复习回顾：
（1）抛物线2(0)y ax a =≠的焦点坐标是__________;准线方程__________.
（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点(1,4)M ，则抛物
线的标准方程为_______________________.
(3)过点()2,0M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，
求||AB
（二）典例分析：
例1.已知抛物线24,y x =直线l 过定点()2,1P -，斜率为k .k 为何值时，
直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线
与抛物线的位置关系.
(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法;
(3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想. 变式1：已知抛物线方程x y 42=，当b 为何值时，直线b x y l +=:与抛
物线（1）只有一个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b 的最大值是多少？ 例2：过点()4,1Q 作抛物线28y x =的弦AB ，恰好被点Q 所平分.
(1)求AB 所在的直线方程； （2）求||AB 的长.
变式1：斜率为1的直线l 经过抛物线2=4y x 的焦点F ，且与抛物线相交
于A 、B 两点，求线段AB 的长.(教材69页例4)
方法（一）方程联立−−
→求交点坐标−−→根据两点间距离公式 方法（二））方程联立−−
→根据韦达定理求12+x x −−→运用弦长公式 方法（三）（数形结合）方程联立−−
→根据韦达定理求12+x x −−→运用焦点弦公式
拓展：标准方程对应的焦点弦公式：
1212
(1):|=||+||+p )||=|y |+||+p AB x x AB y ⎧⎨⎩焦点在x 轴上（2焦点在y 轴上： （由焦半径公式推导而来） 变式2：已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于两点。

（1）求证：OA OB ⊥；
（2）当OAB ∆
k 的值（16
±）
（本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法
(1)2⎧⎨⎩分解成两个共底的三角形的面积之和（）利用底乘高的一半公式） 变式3：已知抛物线:C 22y x =.
(1).若直线1y kx k =++与曲线C 只有一个交点，求实数k 的取值范
围.
(2).求过点()0,1P 且与抛物线C 只有一个公共点的直线方程.
(3).过点()1,1A 作抛物线C 弦AB ，恰好被点A 所平分，求AB 的直线方
程和弦||AB 的长.
((1)⎧⎪⎨⎪⎪⎩
⎭;(2)0x =或1y =或112y x =+);(3)y x =
, 例3.过抛物线22y px =的焦点F 的一条直线和抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y
(1).求证：22
1212,4p y y p x x =-= (2).
求证：1222(sin p AB x x p θθ
=++=为直线的倾斜角） (3).求证：
112FA FB p += (4).求证011A FB 90∠=
(5).求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
(6).AF BF 求证：以（或）为直径的圆与y 轴相切
(7).求证：点A 、O 、B1三点共线.
(8).若AF a BF b ==，，M 是A1,B1的中点，求证MF =−−→变式练习：若抛物线的方程为22x py =，则能得到什么结论？
:
例４．已知抛物线C ：24y x =．
（１）在抛物线C 上求一点P ，使得点P 到直线3y x =+的距离最短.
（2）在抛物线C 上求一点P ，使得点Ｐ到点()3,0A 的距离最近，并求
最近的距离．
（３）若点A 的坐标为()1,1，在抛物线C 上求一点P 使得||||PF PA +最
小，并求最小值.
（４）若点A 的坐标为()1,4，在抛物线C 上找一点Ｐ使得||||PF PA +最小，并求最小值.
（５）在抛物线C 上求一点P ，使得点Ｐ到点()0,2A 距离与P 到准线
的距离之和最小，并求最小的值.
（6 ）求下列函数的最值. (1)2
1+-=x y z (2) y x z -= （7）过抛物线C 的焦点F ，做互相垂直的两条焦点弦AB 和CD ，求
||||AB CD +的最小值.
变式1：过抛物线24y ax =(0)a >的焦点F ，做互相垂直的两条焦点弦
AB 和CD ，求||||AB CD +的最小值.
变式2：过定点M(4,0)作直线L ，交抛物线x y 42=于A 、B 两点，F 是
抛物线的焦点，求AFB ∆ 的面积的最小值。

变式3：已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点。

（1）若3
16=AB ，求直线L 的方程。

（2）求AB 的最小值。

例5.已知抛物线22(0)y px p =>的动弦AB 恒过定点(2,0)M p ，求证：
.1OA OB k k =-
变式1：若直线L 与抛物线)0(22>=p px y 交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，:
求证：直线L 过定点
变式2：如图所示，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，点()4,2A 为抛物
线内一定点，点P 为抛物线上一动点，且||||PA PB +的最小值为8.
（１）求抛物线的方程；
（２）若O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点Ｍ的动直线
与抛物线交于Ｂ，Ｃ两点，且.0OB OC =u u u r u u u r ，若存在，求出
定点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由．
三． 练习反馈：
1. 抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标为______________________.
2. 过抛物线28y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，则||AB =___________________________.
3. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点
()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列，则
有（ ）
A.123||||||FP FP FP +=
B. 222123||||||FP FP FP +=
C. 2312||||||FP FP FP =+
D. 2231||||.||FP FP FP = 4 .一个正三角形的三个顶点，都在抛物线x y 42=上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面积
5.直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，求证：OA OB ⊥
6.已知直线与抛物线22y px =(0)p >交于,A
并交AB 于点Ｄ，点Ｄ的坐标为()2,1,求p 7.设直线2y x b =+与抛物线24y x =交于,A B 点P 为抛物线上一点，30,PAB S ∆=求点P 8.过抛物线22(0)y px p =>焦点F A 抛物线的对称轴. 9（05北京）如图，O 为坐标原点，过点.()2,0P ，且斜率为k 的直线l 交抛物线22y x =于()()1122,,,M x y N x y 两点.
(1)写出直线l 的方程；（2）求12x x 与12y y 的值；（3）求证OM ON ⊥
10. 已知直线:l y x b =+与抛物线
x y 22=相交于两点A 、B ，求：
(1)线段AB 的中点M 的轨迹方程;
(2)b 为何值时OA OB ⊥.
为
11.过抛物线x y 22=的焦点作倾斜角
045的弦AB ，则弦045的长度是多少？ 变式1：已知抛物线x y 22=截直线y x b =+所得的弦长为4，求b 的值.
变式2：已知抛物线x y 22=截直线1y kx =+所得的弦长为4，求k 的值.
（四）小节.。