高考数学(理)热点专题专练专题三直线圆圆锥曲线测试题
2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线(解析版)
直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型01 直线与圆1(2024·浙江·校联考一模)圆C :x 2+y 2-2x +4y =0的圆心C 坐标和半径r 分别为()A.C 1,-2 ,r =5B.C 1,-2 ,r =5C.C -1,2 ,r =5D.C -1,2 ,r =5【答案】A【详解】圆C :x 2+y 2-2x +4y =0，即C :x -1 2+y +2 2=5，它的圆心C 坐标和半径r 分别为C 1,-2 ,r = 5.故选：A .2(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】圆C 1的圆心为0,0 ，半径r 1=1，圆C 2的圆心为-a ,2a ，半径r 2=6，所以两圆的圆心距为d =C 1C 2 =a 2+4a 2=5a 2，两圆内含时，即5a 2<6-1 ，解得-5<a <5，所以当两圆有公切线时，a ≥5或a ≤-5，所以“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的充要条件．故选：C ．3(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知圆C 1:(x -3)2+y 2=1,C 2:x 2+(y -a )2=16，则下列结论正确的有()A.若圆C 1和圆C 2外离，则a >4B.若圆C 1和圆C 2外切，则a =±4C.当a =0时，圆C 1和圆C 2有且仅有一条公切线D.当a =-2时，圆C 1和圆C 2相交【答案】BCD【详解】C 13,0 ,C 20,a ,C 1C 2 =9+a 2,r 1=1,r 2=4.若C1和C 2外离，则C 1C 2 =9+a 2>r 1+r 2=5，解得a >4或a <-4，故A 错误；若C 和C 外切，C C =9+a 2=5，解得a =±4，故B 正确；当a =0时，C 1C 2 =3=r 2-r 1,C 1和C 2内切，故C 正确；当a =-2时，3<C 1C 2 =13<5,C 1和C 2相交，故D 正确.故选：BCD4(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x =3ty =4t -1 (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x =12s y =32s(s 为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2都相离，求m 的取值范围.【答案】(1)l 1:4x -3y -3=0，l 2:3x -y =0(2)4-332<m <33-42【详解】(1)直线l 1的参数方程为x =3t y =4t -1 ，则4x =12t3y =12t -3 ，两式相减得4x -3y -3=0直线l 2的参数方程为x =12sy =32s ，则s =2x 代入y =32s ，得y =3x ,3x -y =0；(2)圆C 的圆心为3,4 ，半径为m ，若l 1,l 2与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2相离，所以12-12-35>m33-42>m，即35>m 33-42>m，解得4-332<m <33-42.5(2024·重庆·统考一模)过点P 作圆C :x 2+y 2-4x -43y +15=0的两条切线，切点分别为A ,B ，若△PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+2【答案】D【详解】圆C :(x -2)2+(y -23)2=1的圆心C (2,23)，半径r =1，由PA ,PB 切圆C 于点A ,B ，且△PAB 为直角三角形，得∠APB =90°,|PA |=|PB |，连接AC ,BC ，则∠CAP =∠CBP =90°，即四边形APBC 是正方形，|PC |=2，因此点P 在以点C 为圆心，2为半径的圆上，而|OC |=22+(23)2=4，于是|OP |max =4+2,|OP |min =4-2，所以OP 的取值范围为4-2,4+2 .故选：D6(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx -y -2k +1=0与圆C 始终有两个交点B.若M 是圆C 上任一点，则|MQ |的取值范围为22,62C.若点P (m ,m +1)在圆C 上，则直线PQ 的斜率为14D.圆C 与x 轴相切【答案】B【详解】依题意，圆C ：(x -2)2+(y -7)2=8，圆心C (2,7)，半径r =22，对于A ，直线kx -y -2k +1=0恒过定点(2,1)，而点(2,1)在圆C 外，则过点(2,1)的直线与圆C 可能相离，故A 不正确；对于B ，|CQ |=42，点Q 在圆C 外，由CQ -r ≤MQ ≤CQ +r 得：22≤MQ ≤62，故B 正确.对于C ，点P (m ,m +1)在圆C 上，则(m -2)2+(m -6)2=8，解得m =4，而点Q (-2,3)，则直线PQ 的斜率为m -2m +2=13，故C 不正确；对于D ，点C (2,7)到x 轴距离为7，大于圆C 的半径，则圆C 与x 轴相离，即圆C 与x 轴不相切，故D 不正确；故选：B7(2024·河北·校联考一模)已知圆C :x 2+2x +y 2-1=0，直线mx +n y -1 =0与圆C 交于A ，B 两点.若△ABC 为直角三角形，则()A.mn =0B.m -n =0C.m +n =0D.m 2-3n 2=0【答案】A【详解】因为圆C :x 2+2x +y 2-1=0，圆心为C -1,0 ，半径为r =2，即CA =CB =2因为△ABC 为直角三角形，所以AB =CB2+CA 2=2,设圆心C -1,0 到直线mx +n y -1 =0的距离为d ，d =-m -nm 2+n 2=m +nm 2+n 2由弦长公式AB =2r 2-d 2得d =1，所以m +nm 2+n2=1，化简得mn =0.故选：A .8(2024·广东深圳·校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C 关于直线y =kx 对称，则k =±1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k =1时，P x ,y 为圆C 上任意一点，则y +3x 的最大值为5+3D.当k =1时，直线l :2x +y +2=0,M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA ,MB ，切点为A ，B ，则CM ⋅AB 最小值为4【答案】BCD【详解】解：圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，整理得：x -k 2+y -1 2=k +1 2，所以圆心C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1对于A ，若圆C 关于直线y =kx 对称，则直线过圆心，所以1=k 2，得k =±1，又k =-1时，r =0，方程不能表示圆，故A 是假命题；对于B ，对于圆C ，圆心为C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1，当直线为x =-1时，圆心到直线的距离d =k -(-1) =k +1 =r ，故存在直线x =-1，使得与所有的圆相切，故B 是真命题；对于C ，当k =1时，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2由于P x ,y 为圆C 上任意一点，设y +3x =m ，则式子可表示直线y =-3x +m ，此时m 表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m 的取值范围,于是圆心C 1,1 到直线y =-3x +m 的距离d =3+1-m12+32=r =2，解得m =3-3或m =5+3，则3-3≤m ≤5+3，所以y +3x 的最大值为5+3，故C 为真命题；对于D ，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2，如图，连接AC ,BC ，因为直线MA ,MB 与圆C 相切，所以MA ⊥AC ,MB ⊥BC ，且可得MA =MB ，又AC =BC =r =2，所以MC ⊥AB ，且MC 平分AB ，所以S =1CM ⋅AB =2S =2×1MA ⋅AC ，则CM ⋅AB =2MA ⋅AC =2CM 2-r 2×2=4CM 2-4，则CM ⋅AB 最小值即CM 的最小值，即圆心C 1,1 到直线l :2x +y +2=0的距离d =CM min =2+1+222+12=5，所以CM ⋅AB 的最小值为4，故D 为真命题.故选：BCD .9(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知直线y =kx +2k ∈R 交圆O :x 2+y 2=9于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点，则3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为()A.9 B.16C.27D.30【答案】D【详解】由题设直线与y 轴的交点为A 0,2 ，设弦PQ 的中点为E x ,y ，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，所以OE ⋅AE=0，即x ,y ⋅x ,y -2 =x 2+y y -2 =0，所以点E 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=1，即E 的轨迹是以0,1 为圆心，1为半径的圆，设直线l 为3x +4y +16=0，则E 到l 的最小距离为4+165-1=3，过P ､E ､Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M ,R ,N ，则四边形MNQP 是直角梯形，且R 是MN 的中点，则ER 是直角梯形的中位线，所以MP +NQ =2ER ，即3x 1+4y 1+165+3x 2+4y 2+165=2ER ，即3x 1+4y 1+6 +3x 2+4y 2+6 =10ER ≥30，所以3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为30.故选：D .10(2024·吉林延边·统考一模)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆O :x 2+y 2=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O 到直线AB 的距离为2，则AB =22B.若AB =23，则∠AOB =π3C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为6D.x 1x 2+y 1y 2的最小值为-4【答案】ACD【详解】依题意，圆O :x 2+y 2=4的圆心O 0,0 ，半径为r =2如图所示：对于A 选项：因为点O 到直线AB 的距离为2，所以AB =2r 2-d 2=22，故选项A 正确；对于B 选项：因为AB =23，且OA =OB =r =2，所以在△ABC 中，由余弦定理可得：cos ∠AOB =OA2+OB 2-AB 22OA OB=4+4-122×2×2=-12,所以∠AOB =2π3，故选项B 错误；对于C 选项：由x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =2x 1+y 1-12+x 2+y 2-12，其几何意义为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 到直线x +y -1=0的距离之和的2倍设A ,B 的中点为C x 0,y 0 ,结合梯形的中位线可知：则有x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =22x 0+y 0-12，因为∠AOB =π2，所以AB =4+4=22,在直角三角形△OAB 中，OC =12AB =2,所以点C 的轨迹为以原点0,0 为圆心，2为半径的圆.因为0,0 到x +y -1=0的距离为d =0+0-12=22，所以x 0+y 0-12max=22+2=322，所以x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 max =22x 0+y 0-12max=6，故选项C 正确；对于D 选项：因为x 1x 2+y 1y 2=OA ⋅OB =2×2×cos OA ,OB，所以当OA ,OB所成的角为π时，x 1x 2+y 1y 2 min =2×2×cosπ=-4.故选项D 正确;故选：ACD .题型02椭圆11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，则k =()A.4B.4或-54C.-45D.4或-45【答案】B【详解】解：因为椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，当k +8>9时，椭圆焦点在x 轴上，可得：a =k +8,b =3,∴c =a 2-b 2=k -1,∴e =k -1k +8=12，解得k =4，当0<k +8<9时，椭圆焦点在y 轴上，可得：a =3,b =k +8,∴c =a 2-b 2=1-k ,∴e =c a=1-k 3=12，解得k =-54．∴k =4或k =-54.故选：B ．12(2024·福建厦门·统考一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点，若F 1F 2 =2，且△ABF 2的周长为8，则()A.a =2B.C 的离心率为14C.|AB |可以为πD.∠BAF 2可以为直角【答案】AC【详解】由F 1F 2 =2c =2⇒c =1，如下图△ABF 2周长为4a =8⇒a =2，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆离心率为e =12，A 对，B 错；当AB ⊥x 轴，即AB 为通径时|AB |min =2b 2a =3，且|AB |<2a =4，所以3≤|AB |<4，故|AB |可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时∠BAF 2最大，此时cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=12，且∠BAF 2∈(0,π)，故(∠BAF 2)max =π3，即∠BAF 2不可能为直角，D 错.故选：AC13(2024·云南曲靖·统考一模)已知P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为．【答案】57【详解】由题意，在Rt △PF 1F 2中|F 1F 2|=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,∠F 1PF 2=90°，所以其外接圆半径R =|F 1F 2|2=c ，内切圆的半径为|PF 1|+|PF 2|-|F 1F 2|2=a -c ，故c a -c =52⇒e =c a =57.故答案为：5714(2024·重庆·统考一模)已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为π3的直线交椭圆于P ,Q 两点，FP +FQ =FP -FQ ，则该椭圆的离心率为．【答案】3-1/-1+3【详解】令椭圆的左焦点为F ，半焦距为c ，分别连接F P ，F Q ，由FP +FQ =FP -FQ ，得四边形FPF Q 为矩形，而∠FOP =π3，则△OFP 为正三角形，所以|FP |=c ，FP =3c ，∴2a =PF +|PF ∣=(3+1)c ，则椭圆离心率为e =ca =3-1，故答案为：3-1.15(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知P 为椭圆C :x 29+y 23=1上的一个动点，过P 作圆M :(x -1)2+y 2=2的两条切线，切点分别为A ,B ，则AB 的最小值为.【答案】2105/2510【详解】设P x ,y ,∠MAB =θ，由已知MA ⊥AP ，由对称性可得AB ⊥PM ,所以∠PAB +∠MAB =π2,∠MPA +∠PAB =π2，且sin θ=2PM，因为PM =(x -1)2+y 2=(x -1)2+3-x 23=23x -322+52，因为-3≤x ≤3，所以PM ≥102，当且仅当x =32时等号成立，所以sin θ=2PM≤25，又θ∈0,π2 ，所以cos θ=1-sin 2θ≥15=55，所以AB =22cos θ≥22×55=2105.所以AB 的最小值为2105.故答案为：2105.16(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若椭圆C 1和C 2的方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和x 2a 2+y 2b2=λ(a >b >0,λ>0且λ≠1)则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C 1:x 24+y 23=1,C 2:x 24+y 23=λ(0<λ<1)，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且PM +PN=0，则△MON 的面积最大时，λ的值为()A.13B.12C.34D.32【答案】B【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x =x 0，-2λ≤x 0≤2λ，联立x 24+y 23=1x =x，可得x =x 0y =±3×1-x 24 ，所以MN =23×1-x 204，所以△MON 的面积为S △MON =3x 01-x 204，由PM +PN =0 ，可得P 为MN 的中点，所以P x 0,0 ，因为点P 在椭圆C 2上，所以x 0=±2λ，所以S △MON =23×λ1-λ ，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =sx +t ，联立x 24+y 23=1y =sx +t ，消去y 得，4s 2+3 x 2+8stx +4t 2-12=0，∴Δ=64s 2t 2-44s 2+3 4t 2-12 =484s 2-t 2+3 >0，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8st 4s 2+3，x 1x 2=4t 2-124s 2+3，∴y 1+y 22=s x 1+x 2 +2t 2=-4s 2t 4s 2+3+t =3t4s 2+3，所以P 点坐标为-4st 4s 2+3,3t4s 2+3，因为点P 在椭圆C 2上，所以t 2=λ4s 2+3 ，因为原点O 到直线MN 的距离为t1+s 2，MN =1+s 2x 2-x 1 =1+s 2×x 1+x 2 2-4x 1x 2，所以△MON 的面积为S △MON =12t x 1-x 2 =23t 4s 2-t 2+34s 2+3=23×λ4s 2+3 ×1-λ 4s2+34s 2+3=23×λ1-λ ，综上，S △MON =23×λ1-λ ，又0<λ<1，又S △MON =23×λ1-λ =23×-λ-122+14，所以当λ=12时，△MON 的面积最大.故选：B .【点睛】关键点点睛：由PM +PN =0可得P 为MN 的中点，由此得到t 2=λ4s 2+3 ，将此关系代入S △MON 并化简可将S △MON 表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值.17(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63，点P 0,2 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足k PA +k PB =4k AB k AB ≠0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明直线AB 过定点；(3)椭圆C 的焦点分别为F 1，F 2，求凸四边形F 1AF 2B 面积的取值范围．【答案】(1)x 212+y 24=1(2)证明见解析(3)24611,82 【详解】(1)由题设得b =2ca =63a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，所以C 的方程为x 212+y 24=1；(2)由题意可设l AB :y =kx +m (m ≠2)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =kx +mx 212+y 24=1，整理得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-12=0，Δ=36k 2m 2-41+3k 2 3m 2-12 =1212k 2-m 2+4 >0．由韦达定理得x 1x 2=3m 2-121+3k 2，x 1+x 2=-6mk1+3k 2，由k PA +k PB =4k AB 得y 1-2x 1+y 2-2x 2=4k ，即kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=4k ，整理得2mk (m -2)=24-m 2 k ，因为k ≠0，得m 2-m -2=0，解得m =2或m =-1，m =2时，直线AB 过定点P (0,2)，不合题意，舍去；m =-1时，满足Δ=364k 2+1 >0，所以直线AB 过定点(0,-1)．(3))由(2)得直线l AB :y =kx -1，所以x =1k(y +1)，由x =1k (y +1)x 212+y 24=1，整理得1k 2+3y 2+2k 2y +1k 2-12=0，Δ=361k2+4>0，由题意得S F 1AF 2B =12F 1F 2 y1-y 2=22y 1-y 2 =1221k 2+41k 2+3，因为k AF 2=122，所以k 2>18，所以0<1k2<8，令t =1k 2+4，t ∈(2,23)，所以S F 1AF 2B =122t t 2-1=1221t -1t，在t ∈(2,23)上单调递减，所以S F 1AF 2B 的范围是24611,82．18(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，D 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 并延长至点W ，使得WA =1，点W 的轨迹记为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若过点K -2,0 的两条直线l 1，l 2分别交曲线C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点；于P ，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析，-65,0 (3)存在，R (0,±2)【详解】(1)设W x ,y ，D (x 0,y 0)，则A (x 0,0),B (0,y 0)，由题意知AB =1，所以WA =AB ，得(x 0-x ,-y )=(-x 0,y 0)，所以x 0=x2y 0=-y，因为x 2+y 20=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 1,l 2不平行坐标轴，则可设l 1的方程为：x =my -2，此时直线l 2的方程为x =-1my -2．由x =my -2x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2-4my =0，解得：y =4m m 2+4或y =0(舍去)，所以x =m ⋅4m m 2+4-2=2m 2-8m 2+4，所以M 2m 2-8m 2+4,4m m 2+4 ，同理可得：N 2-8m 24m 2+1,-4m4m 2+1．当m ≠±1时，直线MN 的斜率存在，k MN =4mm 2+4+4m 4m 2+12m 2-8m 2+4-2-8m 24m 2+1=4m (5m 2+5)16m 4-16=5m 4m 2-4，则直线MN 的方程为y =5m 4m 2-4x +65，所以直线MN 过定点-65,0 ．当m =±1时，直线MN 斜率不存在，此时直线MN 方程为：x =-65，也过定点-65,0 ，综上所述：直线MN 过定点-65,0 ．(3)假设存在点R 使得∠ORP +∠ORQ =π2，设R 0,t ，因为∠ORP +∠ORQ =π2，所以∠ORQ =∠OPR ，即tan ∠ORQ =tan ∠OPR ，所以|OQ ||OR |=|OR ||OP |，所以|OR |2=|OP |⋅|OQ |，直线x =x 0与曲线C 交于不同的两点G 、H ，易知G 、H 关于x 轴对称，设G (x 0,y 0),H (x 0,-y 0)(y 0≠±1,y 0≠0)，易知点S 0,1，直线SG 方程是y =y 0-1x 0x +1，令y =0得点P 横坐标x P =-x 0y 0-1，直线SH 方程是y =y 0+1-x 0x +1，令y =0得点Q 横坐标x Q =x 0y 0+1，由|OR |2=|OP |⋅|OQ |，得t 2=x 20|y 20-1|，又G (x 0,y 0)在椭圆上，所以x 204+y 20=1，所以t 2=4，解得t =±2，所以存在点R (0,±2)，使得∠ORP +∠ORQ =π2成立．19(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M ,N 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ，直线BN 的斜率为k 1，直线AM 的斜率为k 2，求证：k 21+k 22k 1⋅k 2为定值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【详解】(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32 在椭圆上，可得c a =12，所以b 2a 2=1-c 2a 2=1-12 2=34，又点1,-32 在该椭圆上，所以1a 2+94b 2=1，所以a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由于该直线斜率不为0，可设L MN ：x =my -1，联立方程x =my -1和x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2-6my -9=0，Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,my 1·y 2=-32y 1+y 2 ，k 1=y 2x -2,k 2=y 1x +2，k 2k 1=y 1(x 2-2)(x 1+2)y 2=y 1(my 2-3)(my 1+1)y 2=my 1y 2-3y 1my 1y 2+y 2，∴k 2k 1=-32(y 1+y 2)-3y 1-32(y 1+y 2)+y 2=3，∴k 21+k 22k 1∙k 2=k 1k 2+k 2k 1=103．20(2024·吉林延边·统考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2=30°，点1,32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P -2,0 ，Q 2,0 ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别为S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQS △NPQ的值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)13【详解】(1)由∠OHF 2=30°，得b =3c (c 为半焦距)，∵点1,32 在椭圆E 上，则1a 2+94b2=1．又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =3，c =1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知F 21,0 ．设直线l :x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由x =my +1x 24+y 23=1消去x ，得3m 2+4 y 2+6my -9=0．显然Δ=144m 2+1 >0．则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4．∴my 1y 2=32y 1+y 2 ．由P -2,0 ，Q 2,0 ，得直线AP 的斜率k 1=y 1x 1+2，直线BQ 的斜率k 2=y 2x 2-2．又k 1 =OM OP ，k 2 =ON OQ，OP =OQ =2，∴OMON =k 1k 2 ．∴S △MPQ S △NPQ =12PQ⋅OM 12PQ⋅ON =OM ON =k 1 k 2 ．∵k 1k 2=y 1x 2-2 x 1+2 y 2=y 1my 2-1 my 1+3 y 2=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13．∴S △MPQ S△NPQ=13．21(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，点2,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 的两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ,B 两点和P ,Q 两点，设AB ,PQ 的中点分别为M ,N ，求△FMN 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)49【详解】(1)由题意知c =2．又a 2=b 2+c 2，所以a 2=b 2+4．把点2,3 代入椭圆方程，得2b 2+4+3b2=1，解得b 2=4．故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由题意知直线AB ,PQ 的斜率均存在且不为零．设直线AB 的方程为y =k x -2 k ≠0 ，且A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．由y =k x -2x 28+y 24=1消去y ，得1+2k 2 x 2-8k 2x +8k 2-8=0．所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2-81+2k 2．而y 1+y 2=k x 1-2 +k x 2-2 =k x 1+x 2 -4k =-4k1+2k 2，所以M 4k 21+2k 2,-2k 1+2k 2 ．同理得N 42+k 2,2k 2+k 2．若4k 21+2k 2=42+k 2，则k =±1，此时直线MN 的斜率不存在，可得直线MN :x =43．此时MN =43，所以S △FMN =12×43×23=49；若k ≠±1，则直线MN 的斜率为-2k1+2k 2-2k 2+k 24k 21+2k 2-42+k 2=3k21-k 2，可得直线MN ：y +2k 1+2k 2=3k 21-k 2 x -4k 21+2k 2．化简，得y =3k 21-k 2x -43 ．所以直线MN 过定点T 43,0 ．所以S △FMN =S △FTM +S △FTN =12×23×-2k 1+2k 2 +12×23×2k2+k 2=13×2k 1+2k 2+13×2k 2+k 2=13×2k 3+3k 21+2k 2 2+k 2 =2k 1+k 22k 4+5k 2+2=2k +1k 2k 2+1k2 +5．令t =k +1k∈2,+∞ ，则S △FMN =f t =2t 2t 2-2 +5=2t2t 2+1．因为f t =21-2t22t2+12<0，所以f t 在t∈2,+∞上单调递减．所以f t <f2 =49，即S△FMN<49.综上，S△FMN≤4 9 .所以当k=±1时，△FMN的面积取得最大值4 9．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，最值问题；意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，分类讨论的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.22(2024·山西晋城·统考一模)已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F x0,y0，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)．【答案】(1)x24+y23=1(2)过定点x07,-y07,证明见解析.【详解】(1)因为6-2=2，所以P的焦点为(-2,0)，(2,0)，因为9-6=3，所以Q的焦点为(0,-3)，(0,3)，所以可设E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，b=3，故E的方程为x24+y23=1．(2)证明：设C x1,y1，D x2,y2，直线CD:y=kx+m．k FC=y1-y0x1-x0，k FD=y2-y0x2-x0．因为CF⊥DF，所以k CF⋅k FD=-1，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，即x1x2-x0x1+x2+x20+y1y2-y0y1+y2+y20=0①，将y=kx+m代入E的方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，则Δ=483+4k2-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1+y2=k x1+x2+2m=6m3+4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=-12k2+3m23+4k2，将以上4个式子代入①，得x20-x0⋅-8km3+4k2+4m2-123+4k2+y20-y0⋅6m3+4k2+-12k2+3m23+4k2=0，即4kx0+m2+34x20-3+3y0-m2+4k2y203-4k2=0②，34y20代入②得4kx 0+m +y 0 kx 0+m -y 0 =3kx 0+m -y 0 kx 0-m +y 0 ，即kx 0+m -y 0 kx 0+7m +y 0 =0，因为CF ⊥DF ，所以F 不在直线CD 上，则kx 0+m -y 0≠0，则m =-y 0+kx 07，所以直线CD :y =k x -x 07 -y 07过定点x 07,-y 07 .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为4kx 0+m 2+34x 20-3 +3y 0-m 2+4k 2y 203-4k 2 =0并利用点在椭圆上进一步化简是本题关键.23(2024·浙江·校联考一模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点P x 0,y 0 为椭圆C 上异于顶点的一动点，∠F 1PF 2的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M 、N ．(1)若x 0=12，求PF 1 ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当△F 1PN 面积取到最大值时，求点P 的横坐标x 0．【答案】(1)PF 1 =94(2)证明见解析(3)x 0=3-1【详解】(1)由已知得F 1-1,0 ，x 204+y 203=1⇒y 20=3-3x 204则PF 1 =x 0+1 2+y 20=2+12x 0．所以当x 0=12时，PF 1 =94；(2)设M m ,0 ，在△F 1PF 2中，PM 是∠F 1PF 2的角平分线，所以PF 1 PF 2=MF 1 MF 2，由(1)知PF 1 =2+12x 0，同理PF 2 =x 0-1 2+y 20=2-12x 0，即2+12x 02-1x =m +11-m ，解得m =14x 0，所以M 14x 0,0 ，过P 作PH ⊥x 轴于H ．所以PM PN=MH OH=34．(3)记△F 1PN 面积的面积为S ，由(1)可得，S =12F 1M ⋅y 0+13y 0 =16x 0+4 344-x 20 =312x 0+4 4-x 20，其中x 0∈-2,0 ∪0,2 ，则S =-364-x 2x 20+2x 0-2 ，当x 0∈-2,0 ∪0,3-1 时，S >0,S 单调递增；当x 0∈3-1,2 时，S <0,S 单调递减．所以当x 0=3-1时，S 最大．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.24(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知如图，点B 1,B 2为椭圆C 的短轴的两个端点，且B 2的坐标为0,1 ，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线y =-1于不同的三点D ,E ,P (点E 在线段DP 上)，直线PO 分别交直线DB 2,EB 2于点M ,N .求证：四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)证明见解析【详解】(1)由题知b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2. 解得a 2=2,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为x =k y +t t ≠0 ，设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,N x N ,y N ,M x M ,y M ，由x =k y +t ,x 22+y 2=1得k 2+2 y 2+2k t y +t 2-2=0，令Δ>0得，k 2-t 2+2>0.所以y 1+y 2=-2k t k 2+2,y 1y 2=t 2-2k 2+2，令y =-1，得P t -k ,-1 .故直线PO 方程为y =1k-tx ，直线DB 方程为y =y 1-1x +1.由y =1k -txy =y 1-1x 1x +1 得x M =k -tx 1x 1+k -t 1-y 1=k -tx 1k +t y 1，将x M 中x 1,y 1换成x 2,y 2得x N =k-tx 2k +t y 2.∴x M +x N =k-tx 1k +t y 1+k-tx 2k +t y 2=k-tx 1k +t y 2 +x 2k +t y 1k +t y 1 k +ty 2，∵x 1k +t y 2 +x 2k +t y 1 =k x 1+x 2 +t x 1y 2+x 2y 1 =k k y 1+t +k y 2+t +t k y 1+t y 2+k y 2+t y 1 =k 2+t 2y 1+y 2 +2k ty 1y 2+1 =-2k t k 2+t 2 +2k t k 2+t 2k 2+2=0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.方法二：设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,M x M ,y M ,N x N ,y N .直线B 2D 方程为y =y 1-1x 1x +1，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为x =x 0x 0≠0 ，此时P x 0,-1 ，直线PO 方程的为y =-1x 0x ，由y =-1x 0xy =y 1-1x 0x +1得x M=-x 0y 1，同理x N =-x 0y 2,∵y 1=-y 2∴x M +x N =0，当直线l 斜率存在时，设l 方程为y =kx +t t ≠0 ，由y =kx +t ,x22+y 2=1 得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0.令Δ>0得，1+2k 2-t 2>0.由韦达定理得x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-21+2k 2.将y =-1代入y =kx +t 得P -1-tk,-1 ∴直线PO 的方程为y =kt +1x 由y =y 1-1x 1x +1y =k t +1x得x M=-x 11+t y 1-1 1+t -kx 1=-x 11+t ktx 1+t 2-1同理可得x N =-x 21+tktx 2+t 2-1.∴x M +x N =-t +1 x 1ktx 1+t 2-1+x 2ktx 2+t 2-1=-t +12ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2ktx 1+t 2-1 ktx 2+t 2-1∵2ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2 =2kt 2t 2-2 +t 2-1 -4kt=0，∴x M +x N =0，综上所述，x M +x N =0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形B 1MB 2N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.25(2024·河北·校联考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，经过点F 1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l 与椭圆交于A 、B 两点(其中点A 在x 轴上方)，△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面AF 1F 2)与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面(平面BF 1F 2)互相垂直．①若θ=π3，求异面直线AF 1和BF 2所成角的余弦值；②是否存在θ0<θ<π2 ，使得折叠后△ABF 2的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)①1328；②存在；tan θ=33514．【详解】解：(1)由椭圆的定义知：AF 1 +AF 2 =2a ,BF 1 +BF 2 =2a ，所以△ABF 2的周长L =4a =8，所以a =2，又椭圆离心率为12，所以c a =12，所以c =1，b 2=a 2-c 2=3，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)①由直线l ：y -0=3x +1 与x 24+y 23=1，联立求得A 0,3 ，(因为点A 在x 轴上方)以及B -85,-353 ，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则F 10,-1,0 ，A 0,0,3 ，B 353,-85,0，F 20,1,0 ，F 1A =0,1,3 ，BF 2 =-353,135,0 ．记异面直线AF 1和BF 2所成角为φ，则cos φ=cos <F 1A ,BF 2 > =F 1A ⋅BF2 F 1A BF 2=1328；②设折叠前A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A ′，B ′，A ′x 1,y 1,0 ，B ′x 2,0,-y 2 ，由A ′F 2 +B ′F 2 +A ′B ′ =152，AF 2 +BF 2 +|AB |=8，故AB -A ′B ′ =12，将直线l 方程与椭圆方程联立my =x +1x 24+y 23=1，得3m 2+4 y 2-6my -9=0，y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴为y 轴，原y 轴负半轴为z 轴)；A ′B ′ =x 1-x 22+y 12+y 22，AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，所以AB -A ′B ′ =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12，(i )又-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12，所以x 1-x 1 2+y 1-y 2 2+x 1-x 2 2+y 21+y 21=-4y 1y 2，(ii )由(i )(ii )可得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2，因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2 y 1-y 2 2=14-2y 1y 2 2，所以1+m 26m 3m 2+42+363m 2+4=14+183m 2+42，即1441+m3m 2+42=14+183m 2+42，所以12+12m 23m 2+4=14+183m 2+4，解得m 2=2845，因为0<θ<π2，所以tan θ=1m =33514．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF 2周长的变化，得到AB -A ′B ′ =12，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.题型03 双曲线26(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1-22,0 ,F 222,0 ，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2-y 2=4，则条件p 可以是()A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y =±x【答案】ABD【详解】设该双曲线标准方程为x 2a 2-y 2b2=1，则c =2 2.对于A 选项，若实轴长为4，则a =2，∴b 2=c 2-a 2=4，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a =b ，又c =22，a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y =±x ，则a =b ，结合a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意，故选：ABD .27(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知A 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，O 为坐标原点，B ,C 为双曲线E 上两点，且AB +AC =2AO ，直线AB ,AC 的斜率分别为2和14，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.62D.2【答案】C【详解】A a ,0 ，设B x 0,y 0 ,C -x 0,-y 0 ，则x 20a 2-y 20b2=1，则k AB =y 0x 0-a =2,k AC =y 0x 0+a =14，k AB ⋅k AC =y 20x 20-a 2=b 2x 20a2-1 x 20-a 2=b 2a 2=14×2=12，∴e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b a 2=1+12=62.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得a 和c ，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得a 2,c 2或a 2,b 2的等量关系式，由此来求得离心率.28(2024·云南曲靖·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，过其右焦点F 作一条直线分别交两条渐近线于A ,B 两点，若A 为线段BF 的中点，且OA ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±2xB.y =±3xC.y =±5xD.y =±12x【答案】B【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为y =±b a x ，F (c ,0)，则直线BF :y =-ab (x -c )，故y =-a b(x -c )y =-b a x，可得x =a 2c a 2-b 2，故y =-abc a 2-b 2，即B a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，又三角形BOF 为等腰三角形，所以|OB |2=a 2ca 2-b22+abc a 2-b22=c 2，则a 4+a 2b 2=(a 2-b 2)2，整理得b 2a 2=3⇒ba =3，即双曲线C 的渐近线方程为y =±3x .故选：B29(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 1,A 2,F 为C 的右焦点，C 的离心率为2，若P 为C 右支上一点，PF ⊥FA 2，记∠A 1PA 2=θ0<θ<π2，则tan θ=()【答案】A【详解】设C 的焦距为2c ，点P x 0,y 0 ，由C 的离心率为2可知c =2a ,b =3a ，因为PF ⊥FA 2，所以x 0=c ，将P c ,y 0 代入C 的方程得c 2a 2-y 20b 2=1，即y 0 =3b ，所以tan ∠PA 2F =3b c -a =3,tan ∠PA 1F =3bc --a=1，故tan θ=tan ∠PA 2F -∠PA 1F =3-11+3×1=12．故选:A ．30(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是右支上一点，满足AF 1⊥AF 2，直线AF 2交双曲线于另一点B ，且BF 1 -AF 1 =2a ，则双曲线的离心率为．【答案】102【详解】AF 2 =x ，则AF 1 =2a +x ，又BF 1 -AF 1 =2a ，所以BF 2 =AF 1 =2a +x ，则AB =AF 2 +BF 2 =2a +2x ，BF 1 =2a +AF 1 =4a +x ，又AF 1⊥AF 2，所以三角形AF 1B 为直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2,即2a +x 2+2a +2x 2=4a +x 2，化为x 2+ax -2a 2=0，解得x =a 或者x =-2a (舍)，此时AF 1 =3a ，在直角三角形AF 1F 2中，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2,即9a 2+a 2=4c 2，所以c 2a2=e 2=52，所以e =102.故答案为：102.31(2024·浙江·校联考一模)已知A ,B 分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左，右顶点，P 是双曲线C 上的一动点，直线PA ，PB 与x =1交于M ,N 两点，△PMN ,△PAB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S1S 2的最小值为()【答案】A【详解】由已知得，A -2,0 ，B 2,0 ，由双曲线的对称性，不妨设P x ,y 在第一象限，所以k PA =y x +2，k PB =yx -2，所以k PA ⋅k PB =y x +2⋅y x -2=y 2x 2-4=x 24-1x 2-4=14，设直线PA 的方程为：y =k x +2 ,k >0，则直线PB 的方程为：y =14kx -2 ，同时令x =1，则y M =3k ，y N =-14k，所以MN =3k +14k,k >0，设△PMN ,△PAB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，由正弦定理得，2r 1=MNsin ∠MPN=MNsin ∠APB，2r 2=ABsin ∠APB，所以r 1r 2=MN AB =3k +14k 4≥23k ⋅14k 4=34，当且仅当3k =14k，即k =36时取等号，所以S 1S 2=πr 21πr 22=r 1r 22=316.故选：A【点睛】结论点睛：若A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，P 为双曲线上一动点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.32(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知O 为坐标原点，双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为62，点P x 1,y 1 是C 的右支上异于顶点的一点，过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足是M ，|MO |=2，若双曲线C 上一点T 满足F 1T ⋅F 2T=5，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为()A.22B.23C.25D.26【答案】A【详解】设半焦距为c ，延长F 2M 交PF 1于点N ，由于PM 是∠F 1PF 2的平分线，F 2M ⊥PM ，所以△NPF 2是等腰三角形，所以PN =PF 2 ，且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知PF 1 -PF 2 =2a ，即NF 1 =2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△NF 1F 2的中位线，所以MO =12NF 1 =a =2，又双曲线的离心率为62，所以c =3，b =1，所以双曲线C 的方程为x 22-y 2=1.所以F 1(-3,0)，F 2(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0，设T (u ,v )，T 到两渐近线的距离之和为S ，则S =|u +2v |3+|u -2v |3，由F 1T ⋅F 2T=(u -3)(u +3)+v 2=u 2+v 2-3=5，即u 2+v 2=8，又T 在x 22-y 2=1上，则u 22-v 2=1，即u 2-2v 2=2，解得u 2=6，v 2=2，由|u |>2|v |，故S =2u3=22，即距离之和为2 2.故选：A .【点睛】由平面几何知识，PN =PF 2 ，依据双曲线的定义，可将|MO |=2转化为用a 表示，进而的双曲线的标准方程.33(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.2【答案】A【详解】因为CB =3F 2A ，所以△F 1AF 2∽△F 1BC ，设F 1F 2 =2c ，则F 2C =4c ，设AF 1 =t ，则BF 1 =3t ，AB =2t ．因为BF 2平分∠F 1BC ，由角平分线定理可知，BF 1 BC=F 1F 2 F 2C=2c 4c =12，所以BC =2BF 1 =6t ，所以AF 2 =13BC =2t ，由双曲线定义知AF 2 -AF 1 =2a ，即2t -t =2a ，t =2a ，①又由BF 1 -BF 2 =2a 得BF 2 =3t -2a =2t ，所以BF 2 =AB =AF 2 =2t ，即△ABF 2是等边三角形，所以∠F 2BC =∠ABF 2=60°．在△F 1BF 2中，由余弦定理知cos ∠F 1BF 2=BF 12+BF 2 2-F 1F 2 22⋅BF 1 ⋅BF 2，即12=4t 2+9t 2-4c 22⋅2t ⋅3t，化简得7t 2=4c 2，把①代入上式得e =ca =7，所以离心率为7．故选：A ．34(2024·山西晋城·统考一模)双曲线C :x 2-y 2=m 2(m >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P (t ,s )(s ≠0)为C 的右支上一点，分别以线段PF 1，PF 2为直径作圆O 1，圆O 2，线段OO 2与圆O 2相交于点M ，其中O 为坐标原点，则()A.O 1O 2 =3mB.OM =mC.点(t ,0)为圆O 1和圆O 2的另一个交点D.圆O 1与圆O 2有一条公切线的倾斜角为π4【答案】BCD【详解】C 的方程可化为x 2m 2-y 2m2=1，可得a =m ，b =m ，c =2m ．由O 1为PF 1的中点，O 2为PF 2的中点，得O 1O 2 =12F 1F 2 =2m ，A 错误．由O 2为PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，得OO 2 =12PF 1 ，则OM =OO 2 -MO 2 =12PF 1 -PO 2 =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，B 正确．设点Q 为圆O 1和圆O 2的另一个交点，连接PQ ，由O 1O 2⎳x 轴，可得O 1O 2⊥PQ ，O 1O 2为△PF 1F 2的中位线，则直线O 1O 2平分线段PQ ，则点Q 必在x 轴上，可得点Q 的坐标为(t ,0)，C 正确．如图，若BD 为圆O 1与圆O 2的一条公切线，B ，D 为切点，连接O 1B ，O 2D ，过点O 2作O 2A ⊥O 1B ，垂足为A ．由O 1O 2 =2m ，O 1A =O 1B -O 2D =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，得sin ∠AO 2O 1=AO 1 O 1O 2=m 2m=22，。
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设， 所以, 得,所以， 所以直线方程为:,联立，得 由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以， 所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:， 当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程组，整理可得：，则有， 由条件可知：直线所在直线方程为：， 因为直线与直线相交于 所以，同理可得：， 则， 若为锐角，则有， 所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或， 所以或或， 故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，； 当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：， 联立方程组： ，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有 ，因为：，所以， ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . 令，所以直线 ， 令得 ， 由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离， 所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以 ，得，即令 ，求导得 ，当，单调递增； 当 ，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值） （2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得 代入，有，则， 解得 ，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立， 消元得，，，又，， 化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中； 由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程， 所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得： 由韦达定理得则，； 所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由， 解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得 由，得，所以， 设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为： 联立方程组可解得的坐标为， 在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设， 所以， ∴， 同理可得， ∴四边形ADBC 的面积 ， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得， 满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得， 所以，∴，， 又，∴， 同理可得， ∴， 所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得， 动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故， 故直线的方程为：， 整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：， 满足.故直线的方程为，同理直线的方程为， 又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，． 则， 从而， 又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得， 所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.， 又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，， 则，， 直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，， 易得在点处切线为，在点处切线为， 由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得， 所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
直线与圆锥曲线 高三数学解析几何专项训练(含例题答案) 高三数学解析几何专
心尺引州丑巴孔市中潭学校 直线与圆锥曲线【例题精选】： 例 1 直线y ax b a x y =+≠+=()0122与圆〔1〕 问a,b 满足什么条件，直线与圆有两个公共点？〔2〕 设这两个公共点为M 、N ，且OM 、ON 〔O 为原点〕与x 轴正方向所成角为αβα、，求证：cos(+β)=-+a a 2211分析：第〔1〕问是求直线与圆什么时候有两个公共点，因直线与圆有两个公共点的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，或者直线方程与圆的方程联立的方程组有两个实数解，这里我们用后面的条件求解。
第〔2〕问〔如图〕中角αβ、可以看成是OM 、ON 的倾斜角，直接找αβ+较麻烦，但是由圆的性质，取MN 中点P ，连结OP ，可以知道Lxop =+αβ2,只需求出OP 的斜率，也就可以得到tgαβ+2的值，再根据三角公式，就可以计算出cos()αβ+与a 的关系了。
解 : (1) 由方程组y ax b x y y =++=221消去得,(2)、如图，取MN 中点P ， 连结OP ，那么<2βα+=xop例 2椭圆中心为原点O, 焦在坐标轴上,y=x+1与该椭圆相交于Q p 、，434=PQ ，求椭圆方程。
分析: 这个问题中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上没有给定,因此在设此椭圆方程时,可以设为Ax By 221+=, 又这个问题中涉及弦PQ 的长,因为P 、Q 在直线 y x =+1上，因此坐标满足方程y x =+1， 所以假设P 、Q 坐标分别为〔x, y), (x 2, y 2) 的话，可推得PQ x x =+-1112,〔我们称它为弦长公式，一般地为1212+-k x x ).由OP ⊥OQ 我们一方面可以知道OP 与OQ 的斜率乘积为-1(斜率存在的情况下),一方面也可以知道PQ中点到原点O 的距离等于PQ 的一半,因此此题可以得到以下两种一般解法.解法一: 设椭圆方程为Ax By A B 22100+=>>(,)设P (),(,),x y Q x y 1122由Ax By y x y A B x Bx B 22211210+==+⎧⎨⎩+++-=消去得,()解法二: 同解法一, 得（）A B x Bx B +++-=2210,以下同解法一.例 3 求过点A(3,-1)被A 平分的双曲线x y 2244-=的弦所在直线的方程.解法一: 设过A 点的直线方程为y k x +=-13()代入x y 2244-=消去y , 得解法二 : 设直线与双曲线的两交点坐标分别为p x y Q x y (,),(,)1122那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=-444422222121y x y x 两式相减, 得 ()()()()x x x x y y y y 1212121240-+--+=说明: 此题解法二过程简单, 在解题中是一种常用的方法,但是此法实际上是在成认了直线与双曲线存在两个交点的情况下去求解的,题中点A 坐标假设改成'''A A （，）或（，），213212用此法可以得出相应的斜率'=''=-=--=K K x y x y 1234206850或，从而得出直线或它们与双曲线都是设有交点的，因此也是不合题意的。
高考圆锥曲线专题直线及圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
〔2021年全国一卷理科〕19．〔12分〕抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交2点为P．1〕假设|AF|+|BF|=4，求l的方程；uuur uuur2〕假设AP3PB，求|AB|．319．解：设直线l:y x t,Ax1,y1,Bx2,y2．2〔1〕由题设得F 3,0，故|AF||BF|x1x235，由题设可得x1x2．422由y3xt，可得9x212(t1)x4t212(t1) 20，那么x1x2．y23x912(t1)5，得t 7从而92．8所以l的方程为y 37x8．2uuur uuur〔2〕由AP3PB可得y13y2．y3x t22y2t0．由2，可得yy23x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．代入C的方程得x13,x21．3故|AB|413．3〔2021年全国二卷理科〕21．〔12分〕点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1.记M的轨迹2为曲线C.〔1〕求C的方程，并说明C是什么曲线；2〕过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. i〕证明：△PQG是直角三角形；ii〕求△PQG面积的最大值.21．解：〔1〕由题设得y y 1，化简得x2y21(|x|2)，所以C为中心x2x2242在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点．〔2〕〔i 〕设直线 PQ 的斜率为 k ，那么其方程为ykx(k 0)．y kx222由 x y 得x．112k24 2记u2 ，那么P(u,uk),Q( u, uk),E(u,0)．12k2于是直线QG 的斜率为k ，方程为yk(xu)．22yk(xu),由2得x2y 2412(2 k 2)x 22uk 2x k 2u 2 80．①设G(x G ,y G )，那么u 和x G 是方程①的解，故x Gu(3k 2 2) ，由此得 y Guk 3 ．2 k 22k 2uk 3uk1． 从而直线PG 的斜率为2k 2u(3k 2 k 2 2) uk2所以PQ PG ，即△PQG 是直角三角形．〔ii 〕由〔i 〕得|PQ|2u1k 2 ，|PG|2uk k 2 12 k 2，18k(1 k 2)8( 1k)PQGS|PQk所以△的面积2‖(1 2k 2)(2k2)1．1 k) 22(k设t=k+1，那么由k>0得t ≥2，当且仅当k=1时取等号．k因为S8t 2在[2，+∞〕单调递减，所以当t=2，即k=1时，S 取得最大值，最大值2t 1为16．9因此，△PQG 面积的最大值为16．9〔2021年全国三卷理科〕 21．曲线 C ：y=x 2，D 为直线 y=1上的动点，过D 作C22的两条切线，切点分别为 A ，B.〔1〕证明：直线AB 过定点：〔2〕假设以E(0，5)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形2ADBE 的面积.21．解：〔1〕设Dt,1 , Ax 1,y 1，那么x 12 2y 1.2y 11由于y'x ，所以切线DA 的斜率为x 1 2x 1.，故tx 1整理得2tx 1 2y 1+1=0.设Bx 2,y 2，同理可得2tx 22y 2+1=0.故直线AB 的方程为2tx 2y 1 0.所以直线AB 过定点(0,1).2〔2〕由〔1〕得直线AB的方程为y tx 1 .2y1 tx由2，可得x22tx10.x2y2于是x1x22t, x1x21, y1y2tx1x2 1 2t21，|AB|1t2x1x21t2x1x2221.4x1x22t设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，那么d1t21,d2t 2. 21因此，四边形ADBE的面积S1|AB|d1d2t23t21.2设M为线段AB的中点，那么M t,t21.2uuuur uuur uuuurt,t22uuurt22t0.由于EM AB，而EM，AB与向量(1,t)平行，所以t解得t=0或t1.当t=0时，S=3；当t1时，S42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.〔2021年全国三卷理科〕20.斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．〔1〕证明：；〔2〕设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】〔1〕〔2〕或【解析】分析：〔1〕设而不求，利用点差法进行证明。
圆锥曲线大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
圆锥曲线大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东·统考一模）已知点A ，点B 和点C 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上不同的三个点.当点A ，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C 标准方程；(2)若O 为原点，且满足0OA OB OC ++= ，求ABC 的面积.2．（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切.(1)求C 的方程；(2)直线l ：(1)(0)y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），△APQ 的面积为1S .BPQ V 的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由.3．（2023·广东湛江·统考一模）已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB 的周长为8．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．4．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线C 以20x =为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3.(1)求双曲线C 的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TF PQ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.5．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为且经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程：(2)过椭圆E 的左焦点1F 作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），过点A ，B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ，求1ABMF 的最大值．6．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知A ，B 是椭圆22:143x y C +=上关于坐标原点O 对称的两点，点()4,0D ，连结DA 并延长交C 于点M ，连结DB 交C 于点N ．(1)若A 为线段DM 的中点，求点A 的坐标；(2)设DMN ，DAB 的面积分别为12,S S ，若1237S S =，求线段OA 的长．7．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点(3,A，且渐近线方程为0x =.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，过点()10B ,的直线l 交双曲线C 于点M 、N .直线MA 、NA 分别交直线1x =于点P 、Q ，求PB BQ的值.8．（2023·江苏·二模）如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．(1)设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.(2)若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．9．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>过点()2,2P ，且P 与E 的两个顶点连线的斜率之和为4．(1)求E 的方程；(2)过点()1,0M 的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点（异于点P ）．设直线BC 与x 轴垂直且交直线AP 于点C ，若线段BC 的中点为N ，证明：直线MN 的斜率为定值，并求该定值．10．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，斜率为3-的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，点(4,M -在双曲线C 上，且1224MF MF ⋅=.(1)求12MF F △的面积；(2)若0'+= OB OB （O 为坐标原点），点()31N ,，记直线,'NA NB 的斜率分别为12,k k ，问：12k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.11．（2023·山东潍坊·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为率为2，直线():1(0)l y k x k =+>与E 交于不同的两点,M N .(1)求E 的方程；(2)设点()1,0P ，直线,PM PN 与E 分别交于点,C D .①判段直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：②记直线,CD MN 的倾斜角分别为,αβ，当αβ-取得最大值时，求直线CD 的方程.12．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）在平面直角坐标系中，已知点P 到点F的距离与到直线x =(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的直线l 与C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点M ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求||||AB MN 的取值范围．13．（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆22195x y +=的右顶点为A ，左焦点为F ，过点F 作斜率不为零的直线l 交椭圆于,M N 两点，连接AM ，AN 分别交直线92x =-于,P Q 两点，过点F 且垂直于MN 的直线交直线92x =-于点R ．(1)求证：点R 为线段PQ 的中点；(2)记MPR △，MRN △，NRQ △的面积分别为1S ，2S ，3S ，试探究：是否存在实数λ使得213S S S λ=+？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．14．（2023·江苏·统考一模）已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+C 仅有一个公共点.(1)求双曲线C 的方程(2)设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.15．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆2221x y aΓ+=：，(1)a >的上、下顶点是1B ，2B ，左，右顶点是1A ，2A ，点D 在椭圆Γ内，点M 在椭圆Γ上，在四边形12MB DB 中，若11MB B D ⊥，22MB B D ⊥，且四边形12MB DB 面积的最大值为52．(1)求a 的值．(2)已知直线1x my =+交椭圆Γ于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，证明：当m 变化时，存在不同于2A 的定点T ，使得2A S ST =．16．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为2，椭圆W 上的点与点()0,2P 的距离的最大值为4.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)点B 在直线4x =上，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1,PB PB 分别交椭圆W 于,C D 两点（不同于P 点）.求证：直线CD 过定点.17．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆方程为22122:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆的1C的焦点12,F F 分别做x 轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.(1)求该椭圆1C 的离心率.(2)若椭圆1C 的顶点恰好是双曲线2C 焦点，椭圆1C 的焦点恰好是双曲线2C 顶点，设椭圆1C 的焦点12,F F ，双曲线2C 的焦点12,,F F A ''为1C 与2C 的一个公共点，记12F AF ∠α=，12F AF ∠β''=，求cos cos αβ⋅的值.18．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知点()0,2P -，点,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右顶点，直线BP 交C 于点,Q ABP 是等腰直角三角形，且32PQ QB = .(1)过椭圆C 的上顶点M 引两条互相垂直的直线12,l l ，记C 上任一点N 到两直线12,l l 的距离分别为12,d d ，求2212d d +的最大值；(2)过点()4,0H 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于,E F 两点试问：是否存在x 轴上的定点G ，使得EGO FGH ∠∠=.若存在，求出定点G 的坐标；若不存在，说明理由.19．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为()3,0F ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点（其中A 在第一象限），交直线53x =于点M ，（i ）求||||||||AF BM AM BF ⋅⋅的值；（ii ）过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP PQ =.20．（2023·浙江·校联考三模）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为)，右焦点到双曲线的渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的方程；(2)若()()2,1,2,1A B -，点C 在线段AB 上（不含端点），过点C 分别作双曲线两支的切线，切点分别为,P Q ．连接PQ ，并过PQ 的中点F 分别作双曲线两支的切线，切点分别为,D E ，求DEF 面积的最小值．21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为2．点()4,2P ，直线l ：210x y +-=．(1)证明：直线l 与椭圆C 相交于两点，且每一点与P 的连线都是椭圆的切线；(2)若过点P 的直线与椭圆交于,A B 两点，与直线l 交于点Q ，求证：PA QB PB AQ ⋅=⋅ ．22．（2023·江苏南通·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，与直线2x =-相交于点M ．(1)若()2,1M --，求证：MA BF MB AF ⋅=⋅；(2)过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C 、D 两点，与直线2x =-相交于点N ．求1111MA MB NC ND+++的最大值．23．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知抛物线22y px =()0p >，点1P 为抛物线焦点.过点1P 作一条斜率为正的直线l 从下至上依次交抛物线于点1A 与点1B ，过点1B 作与l 斜率互为相反数的直线分别交x 轴和抛物线于2P 、2A .(1)若直线12A A 斜率为k ，证明抛物线在点1B 处切线斜率为k -；(2)过点t A ()*N ,>1t t ∈作直线分别交x 轴和抛物线于21t P -、t B ，过点t B 作直线分别交x 轴和抛物线于2t P 、1t A +，且*N t ∀∈，直线t t A B 斜率与直线1t t A B +斜率互为相反数.证明数列{}1n n P P + 为等差数列.24．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）椭圆()222210x y a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B .在椭圆上任取两点C ，D ，直线CD 斜率存在且不过A ，B .BC 交AD 于1P ，AC 交BD 于2P ，直线CD 交y 轴于R ，直线AC 交x 轴于1Q ，直线BD 交x 轴于2Q .(1)若a ，b 为已知量，求1OR OP ⋅ ；(2)分别作1P E ，12Q F P B ⊥于E ，F ，求112112PE Q Q Q F PP ⋅⋅ .25．（2023·福建漳州·统考三模）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，对称轴为x 轴、y 轴，且点和点)2在椭圆C 上，椭圆的左顶点与抛物线()2:20y px p Γ=>的焦点F 的距离为4.(1)求椭圆C 和抛物线Γ的方程；(2)直线():0l y kx m k =+≠与抛物线Γ变于,P Q 两点，与椭圆C 交于,M N 两点.（ⅰ）若m k =，抛物线Γ在点,P Q 处的切线交于点S ，求证：22PF SQ QF SP ⋅=⋅；（ⅱ）若2m k =-，是否存在定点()0,0T x ，使得直线,MT NT 的倾斜角互补?若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．(1)求m 的取值范围；(2)已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．27．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设点A 为双曲线22:13y C x -=的左顶点,直线l 经过点(1,2)-,与C 交于不与点A 重合的两点P ,Q ．(1)求直线,AP AQ 的斜率之和;(2)设在射线AQ 上的点R 满足APQ ARP ∠=∠,求直线PR 的斜率的最大值．28．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，O 为坐标原点，,02a P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为椭圆C 的长轴上的一点，若45BPO ∠=︒，且△OPB 的面积为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率分别为AM k ，AN k ，且112AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN 面积的最大值．29．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.30．（2023·浙江温州·统考二模）已知点12,F F 分别是双曲线2212:C x y -=的左右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于,P A 两点，点P 在第一象限．(1)求点P 横坐标的取值范围；(2)线段1PF 交圆222:(2)8C x y ++=于点B ，记2211,,PF B AF F PAF 的面积分别为12,,S S S ，求12S S S S +的最小值．。
高考数学圆锥曲线专题训练(附答案解析)
高中数学圆锥曲线专题*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡阅卷人一、单选题（共10题；共20分）得分1. ( 2分) 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.2. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.3. ( 2分) 已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4. ( 2分) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.5. ( 2分) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点6. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝97. ( 2分) 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.8. ( 2分) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9. ( 2分) 已知，及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. ( 2分) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共10题；共10分）得分11. ( 1分) 已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为________12. ( 1分) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长________．13. ( 1分) 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为________.14. ( 1分) 若椭圆的离心率为，则的短轴长为________．15. ( 1分) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.16. ( 1分) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为________17. ( 1分) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．18. ( 1分) 已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.19. ( 1分) 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.20. ( 1分) 已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| ，则点F1到直线AB的距离为________．阅卷人三、解答题（共30题；共280分）得分21. ( 10分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．22. ( 10分) 椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23. ( 10分) 已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+ =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．（1）求椭圆E的方程；（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．24. ( 10分) 设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2．以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2．（Ⅰ）求椭圆C2的方程；（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．25. ( 10分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）求直线MN的斜率．26. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且• =0，△GF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．27. ( 10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.28. ( 10分) 设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．29. ( 10分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．30. ( 10分) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．31. ( 10分) 已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(I)求C的方程；(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限, 轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.32. ( 10分) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由33. ( 5分) 已知点P（x，y）满足条件．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若，求直线l的斜率．34. ( 5分) 设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．35. ( 15分) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.36. ( 5分) 如图，曲线Γ由曲线C1：（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：（a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．37. ( 5分) 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．38. ( 10分) 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.39. ( 10分) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．40. ( 5分) 已知椭圆E: 过点(0,1)且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.41. ( 10分) 已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4. （1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.42. ( 10分) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.43. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．44. ( 10分) 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.45. ( 10分) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.46. ( 10分) 已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．47. ( 10分) 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C 上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．48. ( 10分) 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．49. ( 10分) 已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.50. ( 10分) 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则 =2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故答案为：D．【分析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则利用两点距离公式得出，∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，利用三角形面积公式求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形求出椭圆的离心率。
江苏省—高三数学专题练习及答案 ：直线与圆锥曲线3
直线与圆锥曲线(3)参考答案
一．选择题
1.2条 2．－ 3．(－∞，0)∪(1，＋∞)4． 5．8
6.48 7.x＋2y－8＝0 8.y＝± (x＋2)9.6
∴|MN|=4 , 点A到直线l的距离为d= .
∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2( )3=128.
∴S△≤8 ,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8 .
11.解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线 1C.
(3)解析法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
得 , ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9× =0(x1≠x2)
将 (k≠0)
代入上式，得9×4+25y0(－ )=0(k≠0) 即k= y0(当k=0时也成立).
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－ y0=－ y0.
(Ⅱ)准线L的方程为 设点Q的坐标为 则
②将 代入②,化简得
由题设 得 无解,
将 代入②,化简得 由题设 得 解得m=2.
从而 得到PF2的方程,
16.解:（Ⅰ）将直线 的方程 代入双曲线C的方程 后，整理得 ．…………① 依题意，直线 与双曲线C的右支交于不同两点，得
直线,圆,圆锥曲线练习题
直线，圆，圆锥曲线基础练习一、直线与圆1、若直线1:(3)4350l m x y m +++-=与2:2(5)80l x m y ++-=平行，则m 的值为( )A ．7-B ． 1-或7-C ．6-D ．133- 2、对任意实数m ,直线(1)260m x m y -++=必经过的定点是( ) A ．(1,0) B ．(0,3)- C ．(6,3)- D ． 63(,)1m m -- 3、已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限4、已知点)1,1(-A 及圆 044422=++-+y x y x ，则过点A ，且在圆上截得的弦为最长的弦所在的直线方程是( )A ．01=-xB ．0=+y xC ．01=+yD ．02=--y x5、如图，四棱锥P-ABCD 中AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB 底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点，P 点轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．不完整的圆D ．抛物线的一部分6、点)1,1(A 到直线02sin cos =-+θθy x 的距离的最大值是( )A ． 12+B ． 22+C ． 13+D ． 23+7、已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 8、若直线与圆相切，则实数的取值范围是 9、若方程x 2＋y 2－2mx ＋(2m －2)y ＋2m 2＝0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围为________10、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为11、已知圆22:414450,C x y x y +--+=及点(2,3)Q -，(1）若M 为圆C 上任一点，则||MQ 的最大值和最小值(2）若实数,m n 满足22414450m n m n +--+=,求3=+2n k m -的最大值和最小值 (3）过x 轴上一点P 作圆C 的切线，切点为R ，求PR 的最小值二、圆锥曲线1、已知点M 是直线3420x y +-=上的动点,点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点,则MN 的最小值为A ．95B ．1C ．45D ．135 2、如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．（0，+∞）B ．（0,2）C ．（1，+∞）D ．（0,1）3、已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率等于( )A ． 3B ．2C ．3D ．4 4、已知定点12(2,0),(2,0)F F -,N 是圆22:1O x y +=上的任意一点,点1F 关于点N 的对称点为M ,线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ,则点P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 5、已知点1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(21,)-+∞B ．(31,)++∞C ．(12,)++∞D ．(1,12)+ 6、曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A ．（，+∞） B ．（， C ．（0，） D ．（，7、设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．18、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有( )A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP +=C ．2132FP FP FP =+D ．2213FP FP FP =· 9、椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则|PF 1|＝( A ) A.415 B. 95C ．6D ．7 10、.已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( C )A ．0B ．1C ．2D ．2 211、已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( C )A.12B.32C.72D ．5 12、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是13、设P 是曲线24=y x 上的一个动点，则点P 到点(1,2)-A 的距离与点P 到1=-x 的距离之和的最小值为14、已知,P Q 为抛物线22x y =上的两点,点,P Q 的横坐标分别为4,2-,过,P Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为____________ .15、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，以1F 为圆心12F F 为半径的圆恰好经过点A 且与直线:330l x y --=相切(1）求椭圆C 的离心率；(2）求椭圆C 的方程；(3）过右焦点2F 作斜率为K 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得,PM PN 以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由。
高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)
高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题（含答案解析）1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =−+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求||CD 的最小值．【解析】（1）设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+−=−−=−+≤⎭+ ⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=−时取等号，故PH（2）设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++−= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=−⎪+⎪⎪⎨⎪=−⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为直线111:1y PA y x x −=+与直线132y x =−+交于C , 则111114422(21)1C x x x x y k x ==+−+−,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+−+−.则224||(21)1C D x CD x k x −=+−====≥=当且仅当316k=时取等号，故CD2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b−=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,P x y Q x y在C上，且1210,0x x y>>>．过P且斜率为Q M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ AB∥；③||||MA MB=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F，∴2c=,∵渐近线方程为y=，∴ba=∴b=，∴222244c a b a=+==，∴1a=，∴b=∴C的方程为：2213yx−=；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12x x=，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为()2y k x=−,则条件①M在AB上，等价于()()2000022y k x ky k x=−⇔=−；两渐近线的方程合并为2230x y−=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k −−+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===−=−−, 设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y −+−=−+−, 移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤−−++−−+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x −⎡⎤⎡⎤−++−+=⎣⎦⎣⎦−,即()000N N x x k y y −+−=,即200283k x ky k +=−；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x −=−−=−,∴)121202y y x x x −=+−, 所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +−−==−−,直线)00:PM y x x y =−+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y −−=,即)3yy +−=中，得：()()00003y y ⎡⎤−=⎣⎦, 解得P的横坐标：100x y ⎛⎫+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫−=++−=−−⎪−−⎭∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=， 综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =−；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=−；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==−−,∴③成立； 选①③推②：由①③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴003ky x =，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴02623x k −=−，∴()2002ky k x =−，∴①成立.3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ−取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）抛物线的准线为2px =−，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时=32pMF p +=，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my −−=，120,4y y ∆>=−，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y −==+−，34223434444AB y y k y y y y −==+−， 直线112:2x MD x y y −=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y −−⋅−=， 130,8y y ∆>=−，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MN AB k k y y y y ===++ 又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===， 若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++， 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=， 34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x +. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =− 由 2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩得：()2222240k x k x k −++=，121x x =,同理，124y y =−.直线MD :11(2)2y y x x =−−,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =. 代入抛物线方程可得:138y y =−,所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得：()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x −−−====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=，34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x =+. [方法三]：三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),0P t ,若 P 、M 、N 三点共线，由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得124y y t =-， 反之，若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t 因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =−，由M 、D 、A 三点共线，得138y y =−， 由N 、D 、B 三点共线，得248y y =−，则3412416y y y y ==−，AB 过定点（4,0）（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ−最大时，AB k =:4AB x =+. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P −的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B −−，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P −的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =−，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H −.求得HN 方程：(22y x =−，过点(0,2)−. ②若过点(1,2)P −的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y −−+=. 联立22(2)0,134kx y k x y −−+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +−+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧−++=⎪+⎪⎨+−⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k −+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=−⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++− 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x −−=−+−−， 将(0,2)−，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +−+++−−=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++−−−+−−= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).−5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，直线l 交C于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【解析】（1）因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，所以224111a a −=−，解得22a =，即双曲线22:12x C y −=．易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m −−−−=， 所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−，()()222222Δ16422210120m k m k m k =−+−>⇒−+>且≠k ．所以由0AP AQk k +=可得，212111022y y x x −−+=−−， 即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−=， 即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+−−−−−= ⎪−−⎝⎭， 化简得，()2844410k k m k +−++=，即()()1210k k m +−+=，所以1k =−或12m k =−，当12m k =−时，直线():21l y kx m k x =+=−+过点()2,1A ，与题意不符，舍去， 故1k =−．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP AQ k k +=，所以παβ+=，由（1）知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+，解得tan α=（负值舍去） 此时P A 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=()tan βα−=tan 2α=−2tan 0αα−，解得tan α，于是，直线):21PA y x =−+，直线):21QA y x =−+，联立)222112y x x y ⎧=−+⎪⎨−=⎪⎩可得，)23241002x x ++−，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，103Q x +=，Q y=53−． 所以5:03PQ x y +−=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d = 故PAQ △的面积为11623⨯=． ［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α=1112y x −−，联立1112y x −=−221112x y −=得1x1y ，同理，2x 2y =12203x x +=，12689x x =而1||2|AP x −，2||2|AQ x −，由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠故12121||||sin 2()4|2PAQSAP AQ PAQ x x x x =∠=−++= 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
2013高考数学(理)热点专题专练：专题三 直线、圆、圆锥曲线测试题
专题三 直线、圆、圆锥曲线测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0解析 x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7， 圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，则k OM ＝1， 故k l ＝－1，∴y ＝－1×(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案 A2．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析 因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.答案 A3．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析 曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 答案 A4．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析 曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D.答案 D5．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析 圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2a a 2＋(－1)2＝2a a 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1<r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交．答案 B6．设A 为圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25B ．(x ＋1)2＋y 2＝5C ．x 2＋(y ＋1)2＝25D ．(x －1)2＋y 2＝5解析 设圆心为O ，则O (－1,0)，在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |2＋|AP |2＝4＋1＝ 5. 答案 B7．(2011·济宁一中高三模拟)双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4D.14解析 双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m ＝1，由题意得－1m ＝4，∴m＝－14.答案 A8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析如图，当点P 、M 、N 在如图所示的位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2R ＝6.答案 C9．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )A.1e 21＋1e 22＝4 B ．e 21＋e 22＝4C.1e 21＋1e 22＝2 D ．e 21＋e 22＝2解析 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②).①2＋②2得2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2，得2＝1e 21＋1e 22，故选C.答案 C10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析 两条渐近线y ＝±b a x 互相垂直，则－b 2a 2＝－1，则b 2＝a 2，双曲线的离心率为e ＝c a ＝2a 2a ＝2，选B.答案 B11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D ．2解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，所以e ＝ 5.答案 C12．(2011·济南市质量调研)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)解析 依题意得，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，选D. 答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2011·安徽“江南十校”联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析 由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.答案 1514．(2011·潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于________．解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝3，b 2a 2＝3，c 2－a 2a 2＝3，∴e ＝ca ＝2.答案 215．(2011·潍坊2月模拟)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：y ＝±2x ，则由点到直线的距离公式可得距离为 6.答案616．(2011·郑州市质量预测(二))设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解析 ∵x 2＝4y ，∴p ＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝8.∵|AF →|＝y 1＋p 2，|BF →|＝y 2＋p2，∴|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋p ＝8＋2＝10. 答案 10三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2012·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a .由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2ka 2＋b 2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3. 18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为 y ＝－y 1x 1－a (x －a )，② 由①②相乘得y 2＝－y 21x 21－a(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．19．(本小题满分12分)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．解 由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.② 将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2.(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2. 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1. 20．(本小题满分12分)(2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)或ca ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2. 直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ， B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y ，于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 21．(本小题满分12分)(2011·山东)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点．(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；(3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG＝62？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称．所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1， 因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1.①又因为S △OPQ ＝62.所以|x 1|·|y 1|＝62.② 由①②得|x 1|＝62，|y 1|＝1，此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2.2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m . 由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 22＝1得 (2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0. 其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0. 即3k 2＋2>m 2.(*)又x 1＋x 2＝－6km2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2.所以|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·263k 2＋2－m22＋3k 2.因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2.所以S △OPQ ＝12|PQ |·d＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k2 ＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2又S △OPQ ＝62.整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式．此时，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 2＋3k 22－2×3(m 2－2)2＋3k 2＝3.y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2.综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22＝2，结论成立．(2)解法一：1)当直线l 的斜率不存在时． 由(1)知|OM |＝|x 1|＝62.|PQ |＝2|y 1|＝2. 因此|OM |·|PQ |＝62×2＝ 6. 2)当直线l 的斜率存在时，由(1)知： x 1＋x 22＝－3k 2m . y 1＋y 22＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m .|OM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2. |PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2)(2＋3k 2)2＝2(2m 2＋1)m 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2＋1m 2. 所以|OM |2·|PQ |2＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3－1m 2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2＋2＋1m 222＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m 2，即m ＝±2时，等号成立．综合1)2)得|OM |·|PQ |的最大值为52. 解法二：因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)－(y 21＋y 22)]＝10.所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102＝5. 即|OM |·|PQ |≤52，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此|OM |·|PQ |的最大值为52.(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG＝62.证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，O (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG＝S △OEG ＝62，由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，解得：u2＝x 21＝x 22＝32，v 2＝y 21＝y 22＝1.因此，u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取，因此D 、E 、G 只能在⎝ ⎛⎭⎪⎫±62，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点． 与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾．所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G . 22．(本小题满分14分)(2012·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，已知点(1，e )和⎝⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(i)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ii)求证：PF 1＋PF 2是定值．解(1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca .由点(1，e )在椭圆上， 得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1， 于是c 2＝a 2－1，又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2. 因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0.由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝(x 1＋1)2＋(y 1－0)2＝(my 1)2＋y 21＝2(m 2＋1)＋m m 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2(m 2＋1)－m m 2＋1m 2＋2.②(i)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m >0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ii)因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)．因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2.又由①②知AF 1＋BF 2＝22(m 2＋1)m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2.所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．。
圆锥曲线大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
圆锥曲线大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线2y x =+相切．(1)求C 的方程；(2)过C 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中垂线与C 的准线交于点P ，若PA =，求l 的方程．2．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．3．（2022秋·海南海口·高三校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .4．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线1l 的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．6．（2022秋·重庆长寿·高三统考期末）已知曲线22:1C ax by +=过点1,2⎛ ⎝⎭和1,2⎛- ⎝⎭．(1)求曲线C 的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x －y －2＝0与曲线C 的两个交点为A ，B ，求△OAB 的面积（其中O 是坐标原点）．7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,A B 两点，且3AB =，如图．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点(0,1)的直线l 与椭圆Γ相交于,P Q 两点，求证：射线AO 平分PAQ ∠．8．（2022春·河北唐山·高三校考开学考试）如图，抛物线的顶点在原点，圆22(2)4x y -+=的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A 、B 、C 、D 四点，求||||AB CD +的值.9．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线C ；()220y px p =>，F 为抛物线的焦点，直线x m =和抛物线交于不同两点A ，B ，直线2p x =-和x 轴交于点N ，直线AF 和直线BN 交于点()00,M x y ．(1)若m p =，求三角形AMN 的面积AMN S （用p 表示）；(2)求证：点M 在抛物线C 上10．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,2P ，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在抛物线E ：24y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围．11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>两个焦点分别为12,F F ，且过点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)P 是椭圆C 上的点，且123F PF π∠=，求三角形12F PF 的面积.14．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图所示，椭圆221169x y +=的左､右焦点分别为1F ､2F ，一条直线l 经过1F 与椭圆交于A ､B 两点.（1）求2ABF ∆的周长；（2）若直线l 的倾斜角为45 ，求2ABF ∆的面积.15．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左焦点为()12,0F -，点(在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线()():20=+≠l y k x k 和椭圆交于,A B 两点，设点T 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，求线段OT 长度的取值范围．16．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y a b a b +=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．17．（2022·海南海口·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点3⎫⎪⎪⎭．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆22:1O x y +=相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．18．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，1A ，右焦点为点F ，点P 是椭圆E 上一动点，1APA △面积的最大值为2，当PF x ⊥轴时，12PF =.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，直线l 与直线x =N ，过点F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：FM FN 为定值.19．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）点()00,N x y 是曲线22:1ax by Γ+=上任一点，已知曲线Γ在点()00,N x y 处的切线方程为001ax x by y +=．如图，点P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆22:4O x y +=于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求OPM 面积的最大值．20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为()1,0F -，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若在y 轴上的截距为2的直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA ，OB 的斜率之和等于12，求ABF △的面积．21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.22．（2022秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2.（1）椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B两点，且AB =m 的值.23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．24．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得12311k k k λ+=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．25．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.26．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为2，点P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.27．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线2222C :1x y a b-=(a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.28．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<(1)若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；(2)若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点．29．（2022秋·湖北襄阳·高三期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22163x y +=，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左，右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆2C 的方程；(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H ．求证：12A H PA ⊥30．（2022·湖北十堰·高三十堰东风高级中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 是抛物线的准线2x =-上的动点．(1)求p 的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且,MF AB AF MB ⊥⊥，求直线l 在x 轴上截距b 的取值范围．。
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
历年高考数学圆锥曲线试题汇总(总20页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）62.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =(A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 33.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A ．2B ．3C ．5D ．104.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．22 C ．13 D ．125.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. 45B. 5C. 25D.57.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x =D. 28y x =8.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）69.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习 (附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上.1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．()2:20C x py p ->AB OP 22‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点 【3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.()2:20C x py p ->E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +参考答案题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.【答案解析】【要点分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案．【小问1详解】解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：由（1）知，，所以，即， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=122F MF π∠=2a 2b M l 00l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B x y l 12y y +12y y MA MB⊥1212(0x x y y +-=m 120MF MF ⋅= 12MF MF ⊥ 122F MF π∠=1212122MF F MF MF S ⋅==△124MF MF ⋅=122MF MF a +=122F F c ==2221212MF MF F F +=()2121228MF MF MF MF +-=⋅24248a -⨯=24a =2222b a c =-=22142x y +=124MF MF ⋅=124MF MF +=122MF MF ==(M l 090AMB ∠≠︒当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，， 因为， 所以，所以，所以，所以， 所以， 解得或，当时，直线过点，不符合题意， 所以直线的方程为．1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△． 【答案解析】【要点分析】（1）通过解方程组进行求解即可；（2）将直线2l 方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可. 【小问1详解】l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B xy 22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩22(2)20m y ++-=1222y y m+=-+12222y y m -=+90AMB ∠=︒MA MB⊥1212(0x x y y +-=21212(1)1)()40m y y m y y ++-++=2222(1)4(1)4022m m m m m -+--+=++2230m m --=1m =-3m =1m =-l Ml 30x y --=解：222224y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：220x -+=，解得：x =，故)M ；【小问2详解】联立222y x y x t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得：,122t N t ⎫-+⎪⎪⎝⎭联立22224y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：2220x t +-=， 由题可得：2Δ820t =->，∴12x x +=，2122x x t =-．12NA t ⎫=-⎪⎪⎭，22NB t ⎫=--⎪⎪⎭，()()212122223222332,2224NA NB x x t x x t t t t t ⎫⎫=--++⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎫⎫=--+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2NM t ⎫=--=⎪⎪⎭， 2NM NA NB =，∴AN MNNM NB =，又ANB MNB ∠=∠，∴ANM MNB ∽△△ 1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上. ．(本小题满分12分) 解：设),(),,(2211y x N y x M2222222221422x y x y x y k k -=-⋅+=⋅....................2分 2222154x y +=又22224(15x y =⋅-所以所以54451(4222221-=--=⋅x x k k .....................4分（2）设3:+=kx y PM 224520x y +=联立 得到02530)54(22=+++kx x k1223045kx x k -+=+所以2215425k x x +=⋅ 0)1(400)54(100900222>-=+-=∆k k k .....................6分直线:MB 2211-+=x x y y 直线:NA 2222+-=x x y y联立得:1212)2()2(22x y y x y y -+=-+.....................8分2121(2)(2)2524y y y y x x +++=-⋅-法一：525)(5452121212-=+++⋅-=x x x x k x x k..............10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分法二：由韦达定理得k x x x x 562121-=+2112221121(5)5221x kx kx x x y y kx x kx x x +++==-++所以5)(655)(65121221-=++-++-x x x x x x .........10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.解：(1)由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则联立直线与双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，0> ，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)()4(1)02121k m kmm k m k k ++-----=--， 即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点， 故l 的斜率 1.k =-(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan PAQ ∠=tan 22PAQ ∠=，由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==，即1112y x -=-联立1112y x -=-221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2103x +=，253y --=， 故12203x x +=，12689x x =而1|||2|AP x =-，2|||2|AQ x =-，由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=，故12121||||sin |2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++= 题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分） （2），∴，设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+2AB =OP1c =1EF 2212x y +=1OP =y kx m=+2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214220kx kmx m +++-=2216880k m ∆=-+>122421kmx x k -+=+21222221m x x k -=+∵，化简得．又设M 是弦AB 的中点，∴，， ∴，令， 则，∴（仅当时取等），又∵（仅当时取等号）． 综上，.2‐3、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||.PF PF =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD ⋅的取值范围.解：(1)因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=， 又因为12||3||PF PF =，所以2||2a PF =，13||2aPF =， 因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：22 1.2x y +=(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2221AB k ==+2222122k m k +=+222,2121kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222224121k OM m k +=⋅+()()()22222222241214122212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++2411k t +=≥()()24443134t OMt t t t==≤=-++++1OM ≤=-t=1OP OM MP OM ≤+=+≤214k -=max OP =联立直线l 与椭圆E 的方程：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得22(2)210m y my ++-=， 12222m y y m -+=+，12212y y m-=+，所以弦长2122)||||2m AB y y m+=-=+， 设圆222x y +=的圆心O 到直线l的距离为d =，所以||CD ==，所以2222222212)2)3||||41222m m m AB CD m m m m+++⋅=⋅⋅==-++++ 因为233022m <+…，2132222m ∴-<+…，2||||AB CD ∴⋅<，所以2||||AB CD ⋅的取值范围2‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分）（2），∴，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为， 即，（10分） ∴直线恒过定点， ∴点到直线距离的最大值为．（12分）题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点【答案解析】（1）由已知得22222()1c e a ba c c a b⎧==⎪⎪⎪⋅-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即22:139x y C -=；（2）由题意设()()1122:2,,,,AB l y kx A x y B x y =+()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+()()2110t x y ---=AB 1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭OAB 2OM ==则()12122222222121222124233341301312913933k y kx y y x x k k k x kx x y kx x y y k k ⎧⎧⎧=++=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⇒---=⇒⇒⎨⎨⎨---=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪--⎩⎩⎩由题意得2120030k x x ∆>⎧⇒<<⎨<⎩①221212222131299128193333k k OA OB x x y y k k k -+-+⋅=+===+<---- ； ②由对称性得直线AD 过定点在y 轴上，设定点(0,)T t ，则有A ，T ，D 三点共线， 即1221122121211212AT DT y t y t x y x yk k x y x t x y x t t x x x x ---+=⇒=⇒+=+⇒=+()()21121212122222x kx x kx kx x t x x x x +++⇒==+++代入韦达定理得92t =-，即直线AD 过定点90,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案解析】【要点分析】（1）根据条件列出关于a,b 的方程，求得a,b 的值，即得答案; （2）设直线方程，，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示P点坐标，结合，可得N 点坐标，从而可证明结论. 【小问1详解】E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y MB NBMC NC=由椭圆：的离心率为，短轴长为2，可知 ，则 ，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，， 则， 所以，又，所以， 解得， 从而 ， 故，即为定值.3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ()222210x y a b a b +=>>2,222c b a==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC=31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值． 【答案解析】【要点分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值. 【小问1详解】将点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>， 得222233141914a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0， 设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410k k k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-， 则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k-+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）． 题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．【答案解析】(1)由题意知，点M 在第一象限．M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当c x =时，a b y 2=，即.,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M …………………（2分） 又直线MN 的斜率为42，所以4222tan 2221===∠acb c a b F MF ， 即22222c a ac b -==，即02222=-+a ac c ，………………………………（4分）则01222=-+e e ，解得22=e 或2-=e （舍去）， 即.22=e …………………………………（5分）(2)已知)1,0(D 是椭圆的上顶点，则1=b ，椭圆的方程为1222=+y x ，………（6分）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 可得)*(0)1(24)21(222=-+++m kmx x k ， 所以221214kkm x x +-=+，222121)1(2k m x x +-=， 又)1,(11-=y x DA )1,(.22-=y x DB ， ………………………………（8分）)1)(1()1)(1(21212121-+-++=--+=⋅m kx m kx x x y y x x DB DA221212)1())(1()1(-++-++=m x x m k x x k021)1)(21()(4)1)(1(2)1(214).1(21)1(2).1(222222222222=+-++--+-=-++--++-+=k m k m m k k m m k km m k k m k ， 化简整理有01232=--m m ，得31-=m 或.1=m 当1=m 时，直线AB 经过点D ，不满足题意； ………………………………（10分） 当31-=m 时满足方程(*)中0>∆，故直线AB 经过y 轴上定点.31,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-G 又Q 为过点D 作线段AB 的垂线的垂足，故Q 在以DG 为直径的圆上，取DG 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0R ，则||RQ 为定值，且=||RQ .32||21=DG …………………………（12分）4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．【答案解析】【要点分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A 的坐标带入抛物线的方程即可求出结果； （2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到TA TB ⋅的表达式，从而可得4040m ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】 因为(),0,0,22p F P ⎛⎫⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124p p =⋅，即22p =，解得P =【小问2详解】设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212,y y y y k k+==， 又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k+-+++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即)4T ，此时2218TA TB m n ⋅=+=4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +答案解析：（1）设点P 为，动点M 为，则Q 点为求得：又即点M 的轨迹方程为：4分（2）设直线AB 方程为：则消x 得 或设A 点，B 点则求得： 8分()00,x y (,)x y ()0,0x ()()00,,0,MQ x x y PQ y =--=-())0022,0,MQ x x y y =∴--=-002x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩2222004443x y x y +=∴+= 221(0)43x y y +=≠4x my =+224143x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360m y my +++=()22(24)436340m m =-⨯+> △2m ∴>2m <-()11,x y ()22,x y 1212222436,3434m y y y y m m +=-⋅=++()121232my y y y =-+()()1212121221212123332392223339my y m y y y y k k my my m y y m y y ⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭∴+=+=+++++()()()1212123923392m y y m y y m y y -+-=-++++()()1212392392m y y m y y -+-=++1=-。
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专题三 直线、圆、圆锥曲线测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0解析 x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7， 圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，则k OM ＝1， 故k l ＝－1，∴y ＝－1×(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案 A2．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析 因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.答案 A3．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析 曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案 A4．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析 曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D.答案 D5．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析 圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2a a 2＋(－1)2＝2a a 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1<r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交．答案 B6．设A 为圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25B ．(x ＋1)2＋y 2＝5C ．x 2＋(y ＋1)2＝25D ．(x －1)2＋y 2＝5解析 设圆心为O ，则O (－1,0)，在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |2＋|AP |2＝4＋1＝ 5.答案 B7．(2011·济宁一中高三模拟)双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14 B ．－4 C ．4D.14解析 双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m ＝1，由题意得－1m ＝4，∴m＝－14.答案 A8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )A．2 B．4C．6 D．8解析如图，当点P、M、N在如图所示的位置时，|PM|－|PN|可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM|－|PN|＝(|PF1|＋|F1M|)－(|PF2|－|F2N|)＝|PF1|－|PF2|＋|F1M|＋|F2N|＝2a＋2R＝6.答案 C9．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则()A.1e21＋1e22＝4 B．e21＋e22＝4C.1e21＋1e22＝2 D．e 21＋e22＝2解析设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②).①2＋②2得2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2，得2＝1e 21＋1e 22，故选C.答案 C10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析 两条渐近线y ＝±b a x 互相垂直，则－b 2a 2＝－1，则b 2＝a 2，双曲线的离心率为e ＝c a ＝2a 2a ＝2，选B.答案 B11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D ．2解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2＝c2a 2＝1＋b 2a 2＝5，所以e ＝ 5.答案 C12．(2011·济南市质量调研)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)解析 依题意得，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，选D. 答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2011·安徽“江南十校”联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析 由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.答案 1514．(2011·潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于________．解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝3，b 2a 2＝3，c 2－a 2a 2＝3，∴e ＝ca ＝2.答案 215．(2011·潍坊2月模拟)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：y ＝±2x ，则由点到直线的距离公式可得距离为 6.答案616．(2011·郑州市质量预测(二))设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解析 ∵x 2＝4y ，∴p ＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝8.∵|AF →|＝y 1＋p 2，|BF →|＝y 2＋p2，∴|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋p ＝8＋2＝10. 答案 10三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2012·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a .由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b2ka 2＋b2.② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a1＋k2.代入③， 得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3. 18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为 y ＝－y 1x 1－a (x －a )，② 由①②相乘得 y 2＝－y 21x 21－a(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而 y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．19．(本小题满分12分)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．解 由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎨⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎨⎧x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2.(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2. 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1. 20．(本小题满分12分)(2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|， 即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)或ca ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2. 直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ， B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y ，于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 21．(本小题满分12分)(2011·山东)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点．(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；(3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG＝62？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称．所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1， 因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1.①又因为S △OPQ ＝62.所以|x 1|·|y 1|＝62.② 由①②得|x 1|＝62，|y 1|＝1，此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2.2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m . 由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 22＝1得 (2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0. 其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0. 即3k 2＋2>m 2.(*)又x 1＋x 2＝－6km2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2. 所以|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k2. 因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2.所以S △OPQ ＝12|PQ |·d＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k2＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k2又S △OPQ ＝62. 整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式．此时，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6km 2＋3k 22－2×3(m 2－2)2＋3k 2＝3. y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2.综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22＝2，结论成立．(2)解法一：1)当直线l 的斜率不存在时． 由(1)知|OM |＝|x 1|＝62.|PQ |＝2|y 1|＝2. 因此|OM |·|PQ |＝62×2＝ 6. 2)当直线l 的斜率存在时，由(1)知： x 1＋x 22＝－3k2m .y 1＋y 22＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m .|OM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2.|PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2)(2＋3k 2)2＝2(2m 2＋1)m 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2. 所以|OM |2·|PQ |2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m2＋2＋1m 222＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m 2，即m ＝±2时，等号成立．综合1)2)得|OM |·|PQ |的最大值为52. 解法二：因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)－(y 21＋y 22)]＝10.所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102＝5. 即|OM |·|PQ |≤52，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此|OM |·|PQ |的最大值为52.(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，O (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG＝S △OEG ＝62，由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，解得：u2＝x 21＝x 22＝32，v 2＝y 21＝y 22＝1. 因此，u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取，因此D 、E 、G 只能在⎝ ⎛⎭⎪⎫±62，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点． 与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾．所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G . 22．(本小题满分14分)(2012·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，已知点(1，e )和⎝⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(i)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ii)求证：PF 1＋PF 2是定值． 解(1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca . 由点(1，e )在椭圆上， 得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1， 于是c 2＝a 2－1，又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2. 因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2， 故AF 1＝(x 1＋1)2＋(y 1－0)2＝(my 1)2＋y 21＝2(m 2＋1)＋m m 2＋1m 2＋2.① 同理，BF 2＝2(m 2＋1)－m m 2＋1m 2＋2.② (i)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m >0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ii)因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22， 从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)． 同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)． 因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2. 又由①②知AF 1＋BF 2＝22(m 2＋1)m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2. 所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．。