2012年广东省深圳市高三年级第二次调研考试试题(理数,全word)

2012年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科） 2012.4

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．集合{m

i ｜*

n N }（其中i 是虚数单位）中元素的个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．无穷多个 2．设随机变量

，若

，则c 等于

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．已知命题p ：“存在正实数a,b ，使得;lg （a ＋b ）＝lga ＋lgb ”；命题q ：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 A ．p ，q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题 C ．p ，q 都是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题

4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这 六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种 5．设,,，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式

恒成立的是

6．设函数若f （x ）的值域为R ，则常数a 的取值范围是

7．如图1，直线l 和圆c ，当l 从0 开始在平面上绕点O 按逆时针

方向匀速转动（转动角度不超过900

）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是

8．如果函数y ＝｜x ｜－1的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的

取值范围是

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．

9．在实数范围内，方程｜x ｜＋｜x ＋1｜＝1的解集是 ． 10．某机器零件的俯视图是直径为24 mm 的圆（包括圆心），主 视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积

是______mm 3

（结果保留 ）．

11．已知平面向量a ，b 满足条件a ＋b ＝（0,1），a －b ＝（－1,2），则ab ＝＿＿＿＿＿＿＿

12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入m=5533，n=2012，则输出

d ＝＿＿＿＿＿

（注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）

13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程

．

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线

把曲线

所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a

的值是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径， 弦AD 和BC 相交于点P ，连接CD ．若∠APB ＝120°， 则CD

AB

等于 ．

三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求f（x）的最大值；

（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B＝2A，且，

求角C的大小．

17．（本小题满分12分）

深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；

（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

18．（本小题满分14分）

如图5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，

其中A与A '重合，且BB'＜DD'＜CC'．

（1）证明AD'//平面BB'C'C，并指出四边形AB'C'D’的形状；

（2）如果四边形中AB'C'D’中，，正方形的边长为，

求平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知数列满足：，且

a

（1）求通项公式

n

（2）设的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得

若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

如图6，已知动圆M过定点F（1,0）且与x轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F'，

动点F’的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C

相交于另外两点P 、Q．

①证明：直线PQ的斜率为定值；

②记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的

距离最大，求点B的坐标．

21．（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝x－xlnx ，，其中表示函数f（x）在

x＝a处的导数，a为正常数．

（1）求g（x）的单调区间；

（2）对任意的正实数，且，证明：

（3）对任意的

2012年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．

9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）

2

1

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数)6

cos(sin )(π

-+=x x x f ，R ∈x ．

（1）求)(x f 的最大值；

（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6

(2π

-=A f a b ，求角C 的

大小．

解：（1）)6

cos(sin )(π

-

+=x x x f x x x sin 2

1

cos 23sin ++

= ……………………2分 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=x x cos 21

sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） …4分

所以)(x f 的最大值为3． …………………………………………………………6分

（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）

（2）因为)6

(2π

-

=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．………………7分

又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2

sin 3cos sin =， ………………9分

而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，3

3

tan =

A ， ………………11分