江苏省扬州中学2011-2012学年高二下学期期中考试 数学理
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江苏省扬州中学2011—2012学年第二学期期中考试
高二(理科)数学试卷 2012.4
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.) 1. 已知i 是虚数单位,复数522i (1i)+-= ▲ .
2.平行六面体1111D C B A ABCD —中,若1AC =1xAB yBC zC C ++
,则=++z y x
▲ .
3.已知事件A 与B 互斥,且3.0)(=A P ,6.0)(=B P ,则=)|(B A P ▲ . 4.已知随机变量ξ~),(p n B ,且12)(=ξE ,8)(=ξV ,则=p ▲ ,=n ▲ . 5.220(1)x -的展开式中,若第4r 项与 第r+2项的二项式系数相等,则r= ▲ . 6.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是面BCC 1B 1和面CDD 1C 1的中心,则异面直线A 1E 和B 1F 所成角的余弦值为__________. 7.若数列}{n a 是等差数列,则数列n
a a a
b n
n +++=
21也为等差数列,类比上述性质,
相应地:若数列}{n C 是等比数列,且n C >0,则有=n d ▲ 也是等比数列. 8.()()44320123421,,,0,1,2,3,4i z i x z a x a x a x a x a a C i a =++=++++∈==若且则 ▲ .
9.用数学归纳法证明“1
2131211-++++n <n *
(N n ∈,n >1)”时,由k n =k (>1)不
等式成立,推证1+=k n 时,左边应增加的项数是 ▲ .
10.已知:()()()()8
2
8
01282111x a a x a x a x +=+++++++ 其中()0,1,28i a i = 为实常数,则1278278a a a a ++++= ▲ .
11.将数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k 恰好出现在第k 个位置上,则称之为一个巧合,则巧合个数ξ的数学期望是 ▲ .
12.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗,如:“云边月影沙边雁,水外天
光山外树”,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境和韵味读来真是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”,读起来还真有趣!
二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9个;
三位的回文数有101,111,121,131,…,969,979,989,999,共90个; 四位的回文数有1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共90个; 由此推测:10位的回文数总共有__▲ 个.
13.甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数为___▲ .
14.已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.若0p q >>,经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-(,m n 为正整数),则m n +的值为 ▲ . 二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.已知虚数z 满足44z z i -=-,且141
z z z -+-为实数,求z .
16. 已知二项式n x
x )1(+的展开式中各项系数和为64.
⑴求n ; ⑵求展开式中的常数项.
17.已知数列}{n a 满足11=a ,且)(924*11N n a a a a n n n n ∈=+-++. ⑴求4321,,,a a a a 的值; ⑵猜想}{n a 的通项公式,请证明你的猜想.
18.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,已知4AB =,3AD =,12AA =,E ,F 分别是棱AB ,BC 上的点,且1EB FB ==.
(1)求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值;
(2)试在面1111A B C D 上确定一点G ,使DG ⊥平面EF D 1.
19.某学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从6道备选题中一次性抽取3道题,规定至少正确完成其中2道题便可通过,已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成,2道不能完成;考生乙正确完成每道题的概率都是3
2,且每题正确完成与否互不影响.
⑴求甲正确完成的题数ξ的分布列及期望;求乙正确完成的题数η的分布列及期望; ⑵请用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平.
20.某班级共派出1+n 个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式,其中男生甲为领队.入场时,领队男生甲必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队入场,共有n E 种排法;入场后,又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务,共有n F 种选法.
(1)试求n E 和n F ; (2)判断n E ln 和n F 的大小(+∈N n ),并用数学归纳法证明.
A
D E
C B
D 1
1 C 1
B 1
A 1
1 F G
(第18题图)
高二(理科)数学期中试卷参考答案 2012.4
一 填空题
1.0 ; 2.1; 3.
43; 4.36,31; 5.4; 6.6
1
;
7.n n C C C 21 8.12i ; 9.应增加的项数为k
2;10.1024 ,
11.解:ξ的所有可能值为0,1,2,4,且249
9)0(44===A P ξ,)1(=ξP 3124
41
4=⨯=A C ,41)2(4424===A C P ξ,24
1
)4(444
4=
==A C P ξ,所以124144123112490)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE , 所以巧合数的期望为1.12.90000 13.336 14.21
二 解答题
15.3322z i z i =+=--或
16.解:⑴令1=x ,则展开式中各项系数和为n 2,∴642=n
解得6=n
⑵该二项展开式中的第1+r 项为2
36666
1)1()(r r r r
r r x C x
x C T --+⋅=⋅=,
令
02
36=-r ,则2=r ,此时,常数项为152
63==C T . 17.解:⑴由92411=+-++n n n n a a a a 得4
124291--=--=+n n n n a a a a ,求得719,513,37432===a a a .
⑵ 猜想1
25
6--=
n n a n 证明:①当1=n 时,猜想成立。
②设当k n =时)(+∈N k 时,猜想成立,即1
25
6--=k k a k ,则当1+=k n 时, 有1
)1(25)1(61
21641
2561
24
121
-+-+=
++=----
=--
=+k k k k k k a a
k k ,所以当1+=k n 时猜想也成立,③综合①②,猜想对任何+∈N n 都成立.
18.解:(1)以D 为原点,DA ,DC
,1DD
分别为x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有(0,0,0)D ,1(0,0,2)D ,1(0,4,2)C ,(3,3,0)E ,(2,4,0)F ,
于是1(3,1,2)EC =- ,1(2,4,2)FD =--
.
设1EC 与1FD 所成角为α,则