第2章_控制系统的动态数学模型_2.6系统信号流图及梅逊公式

三条前向通道：
abcdef abdef abcf P 1 G1G2G3G4G5 P2 G1G6G4G5 P3 G1G2G7
四个回路：
de bcf L1 G 4 H1 L2 G2G7 H 2
bdef L3 G6G4G5 H 2 bcdef L4 G2G3G4G5 H 2
课后练习：P.75：2-26
Ui(s)
Uo(s)
对比：传递方块图的信号线与信号流图的信号节点 的对应关系
2.6.3 梅逊公式
从输入信号到输出信号的系统传递函数可以 采用梅逊公式来计算得到。 梅逊公式的数学理论基础是求解线性联立代 数方程组的克莱姆法则。
梅逊（增益）公式：
从输入端到输出端的 前向通路总数
k
( s)
P
L1 R1 C1s 1 1 L2 R2 C2 s 1 1 L3 R2 C1s
信号流图的特征式为：
1 ( L1 L2 L3 ) L1 L2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R1 C1s R2 C2 s R2 C1s R1C1s R2C2 s
支路
混合节点
输入节点（源点）：只有输出的节点，表示系统的 输入变量。 输出节点（阱点、汇点） :只有输入的节点，表示 系统的输出变量。 混合节点：既有输入又有输出的节点，表示系统的 中间变量。如果从混合节点引出一条具有单位增益 的支路，则可以将混合节点变为输出节点，即成为 系统的输出变量。
支路
混合节点
通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 前向通路：传递信号时，从输入节点到输出节点的 通路上，通过任何节点不多于一次的通路，称为前向 通路。前向通路上各支路增益的乘积，称为前向通路 总增益，一般用 Pk 表示。
回路：起点与终点重合，而且通过任何节点不多于 一次的闭合通路，称为回路。回路中所有支路增益的 乘积称为回路增益，一般用 La 表示。
信号流图 的特征式 系统的闭环传递 函数（也称为系 统总增益）
信号流图的特征式Δ的计算公式： 1 La Lb Lc Ld Le L f L 其中： a b ,c d ,e , f
a a
L 为所有不同回路的传递函数（增益）之和。
b c
L L 为每两个互不接触回路的传递函数（增益）
【例2】基于系统的信号流图，采用梅逊公式计算上例 系统的传递函数。
系统输入信号Ui(s)与输出信号Uo(s)之间只有一条 前向通路P1，即k=1，而且其传递函数（增益）为：
1 1 1 1 P 1 R1 C1s R2 C2 s
系统内部有三个不同的回路，其传递函数（增益） 分别为： 1 1
பைடு நூலகம்
信号流图起源于梅逊（S. J. Mason）利用图 示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点 和支路组成的一种信号传递网络。 节点：表示信号或变量，其值等于所有进入该节点 的信号之和。节点用小圆圈“ο”表示。 支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益（即 传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支 路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。
不接触回路：回路之间没有任何公共节点时，彼此 称为不接触回路。
2.6.2 信号流图的绘制
信号流图的绘制方法：
由系统微分方程绘制信号流图 根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方块 图的步骤类似。 由系统方块图绘制信号流图
【例1】根据微分方程绘制信号流图
i1 (t )
1 R1
[ui (t ) u A (t )]
1 u A (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1
1 i2 (t ) [u A (t ) uo (t )] R2
uo (t) 1 C2
i (t )dt
2
取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s) 作为信号流图 的节点，其中Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点。
k 1 k
N

从输入端到输出端的 第 k 条前向通路的串 联传递函数之积（也 称为第 k 条前向通路 增益） 第 k条前向通路特征式的余因子 （也称为余子式），即在信号 流图的特征式Δ中，去掉与第 k 条前向通路相接触的所有回路 的传递函数（也称为增益）， 即将其设为零，特征式Δ余下 的部分就是余因子Δk。
b ,c
乘积之和。
f
d ,e , f
L L L 为每三个互不接触回路的传递函数（增益） 乘积之和。
d e
以此类推，一直计算到没有互不接触的回路为止。
第 k条前向通路特征式的余因子 Δk 的计算：在上述信号 流图的特征式Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路 传递函数（增益）代以零值，余下的Δ即为Δk。
《控制工程基础》
第2章 控制系统的动态数学模型 2.6 系统信号流图及梅逊公式
2.6.1 信号流图及其术语
信号流图是表示控制系统的另外一种图形， 与传递函数方块图有类似之处。 可以将系统的传递函数方块图转化为系统的 信号流图，并采用梅逊（Mason）公式计算系统的 传递函数。
将传递函数方块图转化为信号流图：
前向通路P1的特征式的余因子为： 1 1 将上述结果代入梅逊公式，计算该系统的传递 函数，化简后为：
1 1 P Pk k P 1 k k 1 = R1 R2C2C2 s 2 ( R1C 1 R2C2 R1C 2 ) s 1
【例3】用梅逊公式求系统传递函数 （说明：与教材P.45例2-21比较，去掉了G8、G9和-H3 等三个环节。）
I1 ( s ) 1 R1 [U i ( s ) U A ( s )]
U A ( s)
1 [ I1 ( s ) I 2 ( s )] C1S
1 I 2 ( s ) [U A ( s ) U o ( s )] R2
U o (s) 1 C2 s I 2 (s)
按上述方程绘制出各部分的信号流图，再综合后 即得到系统的信号流图。
A）I ( s )
1
1 R1
[U i ( s ) U A ( s )]
1 B） U A ( s) [ I1 ( s ) I 2 ( s )] C1S
1 C）I 2 ( s) R [U A ( s) U o ( s)] 2
D） U o (s)
1 C2 s
I 2 (s)
对比： 传递方块图与信号流图
特征式及余因子为：
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L1L2 1 1 2 1 3 1 L1
P 1 1 P (P 1 P2 2 P33 ) 1 k k k G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1) 1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4 H1G2G7 H 2