_最短路径问题课件1

· C′ C
·
l
B′ ·
问题二(造桥选址问题) 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上 建一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥 要与河垂直） AM+NB 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小
a A M b N B
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N， 点A移动到点A′，则AM=A′N, AM+NB=A′N+NB 当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短。因此，线 段A′B与直线b的交点N的位置即为所求。
A′B <A′N′+ N′B,
即AM+NB< AM′+N′B
又 ∵MN=M′N′
∴ AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、 借助什么解决问题的？
轴对称解决同侧最短路径问题， 平移解决架桥点最短路径问题。
l
·B′
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴AC +BC＜AC′+C′B． 即AC +BC 最短 A· ·B
作法：
·B A· · C （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； l （2）连接AB′，与直 线l 相交于点C． ·B′ 则点C 即为所求．
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 在直线上另外任取一点C′ ，连接AC′，BC′，B′C′， 证明AC +BC＜AC′+C′B ·B A·
·
C′
· C
a
A
M
′
N B
b
你能验证点N的位置就是所求的架桥点吗？ 在直线 b 上另外任取一点 N′ ， 过点 N′ 作 N′M′ 垂直 于 a ， 垂 足 为 M′, 连 接 AM′ ， A′N′, N′B, 证 明 AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B
A A′ N M′ M a b
N′
B
证明：
由平移的性质，得AM=A′N,MN=M′N′ ∴ AM+NB=A′N+NB=A′B AM′+N′B=A′N′+N′B 在△A′N′B中，
饮马，可使所走的路径最短？
B A
l
这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地看成是两个点，将河l 看成是一条直 线，如何在l上找到一点，使得这个点到点A，点B
的距离的和最短？
·B A·
·
lБайду номын сангаас
设C为l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小？
·B
A·
· C
l
如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等呢？
13.4 课题学习 最短路径问题
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中， 线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它 们为最短路径问题。我们通过讨论下面两个问题， 可以体会如何运用所学知识选择最短路径。
问题1
如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的
河边l 饮马，然后到B 地。牧马人到河边什么地方