选修4-5-1不等式选讲

1＋ 5 5＋ 21 . 综上，a 的取值范围是 ， 2 2
1.证明绝对值不等式主要的三种方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． 2.对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点 (1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时． (2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|，它们经 常用于含绝对值的不等式的推证． (3)当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|；当 b(a＋b)≤0 时，|a|－|b| ＝|a＋b|；当 b(a－b)≥0 时，|a|－|b|＝|a－b|.
2a－1 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， 3
2 △ABC 的面积为 (a＋1)2. 3 2 由题设得3(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
绝对值不等式的常见题型及求解策略 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c 可转化为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 可转化为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤ －c，然后根据 a，b 的取值求解即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c 根据几何意义可得解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R. (3)c＝0，则|ax＋b|≤0 可转化为 ax＋b＝0，然后根据 a，b 的取值求解即可；|ax＋b|≥0 的解集为 R.
|a＋1|－|2a－1| ∴由不等式 f(x)≥ 对任意实数 a≠0 恒成立，可得|x－1|＋|x＋1|≥3， |a| 3 3 解此不等式，得 x≤－ 或 x≥ . 2 2
1 1 则 M＝－2，2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以3a＋6b≤3|a|＋6|b|<3×2＋6×2＝4.
(2)比较|1－4ab|与 2|a－b|的大小，并说明理由．
解 1 1 (2)由(1)得 a2< ，b2< . 4 4
因为|1－4ab|2－4|a－b|2 ＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2) ＝(4a2－1)(4b2－1)>0， 所以|1－4ab|2>4|a－b|2， 故|1－4ab|>2|a－b|.
所以 f(x)≥2.
(2)若 f(3)<5，求 a 的取值范围．
1 解 (2)f(3)＝3＋a ＋|3－a|.
1 当 a>3 时，f(3)＝a＋ ， a 5＋ 21 由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1 当 0<a≤3 时，f(3)＝6－a＋ ， a 1＋ 5 由 f(3)<5 得 2 <a≤3.
【跟踪训练】 2．[2015· 河北唐山三模]设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0 的解集为 M，a，b∈M.
1 1 1 (1)证明：3a＋6b<4；
3，x≤－2， 解 (1)证明：记 f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝－2x－1，－2<x<1， －3，x≥1. 1 1 由－2<－2x－1<0，解得－2<x<2，
a－1＝1， 2 所以 a＋1＝2， 2
于是 a＝3.
考点多维探究
考点 2 绝对值不等式的证明
1 [2014· 课标全国卷Ⅱ]设函数 f(x)＝ x＋a ＋|x－a|(a>0)．
典例2
(1)证明：f(x)≥2；
解
1 1 1 (1)证明： 由 a>0， 得 f(x)＝x＋a ＋|x－a|≥x＋a－x－a＝a ＋a≥2(当且仅当 a＝1 时取“＝”)．
2．绝对值不等式的解法 (1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． (2)①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集． 不等式 |x|<a |x|>a {x| a>0 a＝0 } ∅ {x|x≠0} a<0 ∅ R
－a<x<a
{x| x>a 或 x<－a }
－2≤a≤4 ． 4．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值范围是____________
解析 利用数轴及不等式的几何意义可得 x 到 a 与到 1 的距离和小于 3， 所以 a 的取值范围为－2≤a≤4.
考点多维探究
考点 1 绝对值不等式的解法 典例1 [2015· 课标全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
|a＋1|－|2a－1| (2)若不等式 f(x)≥ 对任意实数 a≠0 恒成立，求 x 的取值范围． |a|
|a＋1|－|2a－1| (2)∵ |a|
解

1 1 1 1 ＝1＋a －2－a ≤1＋ a＋2－a ＝3， 1 1 当且仅当1＋ 2－ ≤0时，上式取等号 a a
绝对值不等式的常见题型及求解策略
2．含有两个绝对值的不等式的解法 (1)用“零点分段法”解|x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的一般步骤为： ①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区 间； ③由解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x－a1|± |x－a2|的几何意义 利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点 x 到两个定点 a1，a2 的距离之和(差)． [提醒] 在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上
解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．
【跟踪训练】 1．[2013· 辽宁高考]已知函数 f(x)＝|x－a|，其中 a>1. (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≥4－|x－4|的解集；
－2x＋6，x≤2， 解 (1)当 a＝2 时，f(x)＋|x－4|＝2，2<x<4， 2x－6，x≥4. 当 x≤2 时，由 f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4， 解得 x≤1； 当 2<x<4 时，f(x)≥4－|x－4|无解； 当 x≥4 时，由 f(x)≥4－|x－4|得 2x－6≥4， 解得 x≥5. 所以 f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}．
)
a 解析 (1)当－1≤－2，即 a≤2 时， －3x－a－1，x≤－1， －x－a＋1，－1<x<－a， 2 f(x)＝ a 3 x ＋ a ＋ 1 ， x ≥ － 2. a a 易知函数 f(x)在 x＝－2处取最小值，即 1－2＝3.所以 a＝－4.
a (2)当－1>－2，即 a>2 时， a －3x－a－1，x≤－2， a f(x)＝ x＋a－1，－2<x<－1， 3x＋a＋1，x≥－1. a a 易知函数 f(x)在 x＝－ 处取最小值，即 －1＝3，故 a＝8.综上 a＝－4 或 8. 2 2
选修4－5
不等式选讲
第 1讲
绝对值不等式
考纲展示
三年高考总结
1. 理解绝对值三角不等式的代数证明和几 从近三年高考情况来看，不等式的性质、绝对值不 何意义，能利用绝对值三角不等式证明一 等式的解法为考查的重点，题型以填空题和解答题 些简单的绝对值不等式． －b|≤c 型不等式的解法. 为主， 其中以解含有两个绝对值不等式的题型为主， 题策略. 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x 解题时注意绝对值性质的应用及零点分区间法的解
2 所以 f(x)>1 的解集为 x3<x<2 .
(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围．
解 (2)由题设可得， x－1－2a，x<－1 f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a －x＋1＋2a，x>a.
②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 |ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c (c>0)， |ax＋b|≥c⇔ ax＋b≤－c 或 ax＋b≥c (c>0)．
3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)不等式的解法 (1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a)，[a，b]，(b，＋∞)(此 处设 a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并 集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点 x1＝a 和 x2＝b 的距离之和大于 c 的点的 集合． (3)图象法：作出函数 y1＝|x－a|＋|x－b|和 y2＝c 的图象，结合图象求解．
考点多维探究
考点 3 绝对值不等式的综合应用 典例3 设 f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
(1)求 f(x)≤x＋2 的解集；
x＋2≥0 解 (1)由 f(x)≤x＋2，得x≤－1 1－x－x－1≤x＋2 x＋2≥0 x＋2≥0 或－1<x<1 或x≥1 1－x＋x＋1≤x＋2 x－1＋x＋1≤x＋2， 解得 0≤x≤2， ∴f(x)≤x＋2 的解集为{x|0≤x≤2}．
小题快做 1.思考辨析 (1)不等式|x|<a 的解集为{x|－a<x<a}．( × ) (2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的距离之和．( √ ) (3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是 ab≤0.(√ )