2018版高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例学案 新人教A版必修1

3.2.2 函数模型的应用实例

学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．

预习教材P102－P106，完成下面问题： 知识点1 常见的函数模型

y ＝⎩⎪⎨

⎪⎧

ax ＋b x

x ≥m

一个矩形的周长是40，矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为( ) A ．y ＝20－x (0

D ．y ＝40－2x (0

解析 由题意可知2y ＋2x ＝40，即y ＝20－x ，又20－x >x ，所以0

知识点2 解决函数应用问题的步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：

【预习评价】

某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2

，则总利润L (Q )的最大值是

________万元．

解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120

(Q －300)2

＋2 500，

当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．

答案 2 500

题型一 一次函数、二次函数模型

【例1】 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：

(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

解 (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，

则x ∈(100,300]，n ＝kx ＋b (k <0)，∵0＝300k ＋b ，即b ＝－300k ，∴n ＝k (x －300)． ∴利润y ＝(x －100)k (x －300)＝k (x －200)2

－10 000k (x ∈(100,300]) ∵k <0，∴x ＝200时，y max ＝－10 000k ，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%，

x 2－400x ＋37 500＝0，解得x ＝250或x ＝150，

所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元． 规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．

【训练1】 某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．

解 设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24)．

设u ＝t ，则u ∈[0,26]，y ＝60u 2

－1006u ＋400＝60⎝

⎛⎭⎪⎫u －5662＋150，

∴当u ＝566即t ＝25

6时，蓄水池中的存水量最少．

题型二 指数型函数、对数型函数模型

【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ

100

，单位是m/s ，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍． 解 (1)由v ＝12log 3θ

100

可知，

当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝1

2

log 39＝1(m/s)．

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.

(2)由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1100＝1，得θ2

θ1

＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9

倍．

规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法

(1)指数型函数模型：y ＝ma x

(a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．

(2)对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．

(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．

【训练2】 一片森林原来面积为a ，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一

年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的1

4

.已知

到今年为止，森林面积为

2

2

a . (1)求p %的值；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 解 (1)由题意得a (1－p %)10

＝a

2， 即(1－p %)10

＝12，解得p %＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12110 .

(2)设经过m 年森林面积为

22

a ， 则a (1－p %)m

＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 ，得m 10＝12，解得m ＝5.

故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，n 年后森林面积为

2

2

a ·(1－p %)n ，