3.1_两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件3

2. 差角余弦：符号不同积同名
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
谐音记忆为: 烤烤晒晒符号反
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应用
例1.利用差角余弦公式求cos15°的值.
分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？
解法1:
cos15 cos(45 30)
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
猜想： cos(
- ) = ?
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5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单 位圆的交点为 P ， cos 等于角 与单位圆交点的横坐 1 标，也可以用角 的余弦线来表示． 大家思考：怎样构造角 和 它们的正弦线、余弦线联系起来.） y
A
67 45° α
视发射塔的高度.
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C 30 B
3
设电视发射塔高ＣＤ＝x米， ∠CAB＝
30 30 30 即AB 则 sin 67 , tan AB tan
在直角三角形ABD中，
D
x
C 30 B
x 30 67 45 ° tan(45 ) tan α 30 A 30 tan(45 ) 30 于是， 解方程 得 x tan
思考? 你还会求哪些非特殊角的余弦呢?
cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。
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应用
公式的逆用
cosα cosβ+sinα sinβ=cos(α -β)
变式2：(1).求 cos27 ° 的值. cos12° +sin27 ° sin12°
(2).求cosxcos(x+15° ) +sinx sin(x+15° )的值. 3 (3).求 1 cos15 的值. ° ° sin 15 2 2
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若有，请作出补充。 结合向量的数量积的定义和向量的工具性，
y
αβ
O
B
x
当α-β为任意角时，由诱导公式，总可以找 到一个角∈[0,2),使cos=cos(α -β) ①若∈[0,], 则OA· OB=cos=cos(α -β) ②若∈(,2）, 则2-∈(0,） 则OA· OB=cos(2-)=cos=cos(α-β)


角？（注意：要与 P1
α
O
M
x
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6
尝试探索： 作角
∠POP1=β， ∠P1Ox=α ，
y
P1 β

O
P
x
则∠POx =α -β
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7
尝试探索：
∠POP1=β， 作角 ∠P1Ox=α ， 则 ∠POx =α -β 找线
cos(α -β) =Cosα cosβ+sinα sinβ
6 2 4
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2 2
15
4 5 例2. 已知sinα＝ ,α∈( , ),cosβ= , β是 2 5 13 第三象限角，求cos(α-β)的值。 分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β), 还应求什么？ 4 解:由sinα＝ 5 , α∈( , 2),得
3 4 cos 1 sin 2 1 5 5
y
A
αβ
O
y
B
α
x
A
β
O
B
2-
x
于是，对于任意角α ，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称为差角的余弦公式。 简记为C(α -β)
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cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
观察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
变式3:以知
分析 : (1) (2) 构造出cos( ).
2 2
注:公式能够正用,逆用,变形用.
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小 结
a.这节课我学到了什么知识？ b.在公式应用过程中应该注意什么问题？ c.这节课我学到了哪些数学思想方法？
差角的余弦公式, 简记为C(α-β)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
第三章
3.1.1
三角恒等变换
两角差的余弦公式
数学组
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1
D
x
C 45° 67
α
A
30 B
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2
章头图给出的问题
某城市的电视发射塔建在市郊 的一座小山上.如图所示,小山高
D
BC约为30米,在地平面上有一
点A,测得A、C两点间距离约为
67米,从A观测电视发射塔的视
角(∠CAD)约为45°.求这座电

因此,求发射塔的高度只需求
tan(45 )的值。

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来自百度文库
3.1.1 两角差的余弦公式 探 如何用任意角α,β的正弦、余弦值 究 １ 来表示cos(α-β)呢？ cos(α－β)究竟可 探究 第一步：探求表示结果 以表示成什么样子？ 过程 第二步：对结果的正确性加以证明
问题1: 你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗?
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34 3 . 10
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1 变式2：已知cosα= ，cos（α－β）= 3
0< β < α <
,求cosβ的值。 2
4 ， 5
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
3 4 cos cos sin sin ,求cos - 的值. 5, 5
解：
3 3 cos = ， ，2 5 2 4 3 sin 1 cos 1 5 5
2 2
巩固练习:
cos(

3
) cos cos

3
sin sin

3
3 1 4 3 5 2 5 2
2 3 2 1 2 2 2 2
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6 4
2
13
（2 ） cos 15 cos （60 -45 ） 解法 2 = cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 1 2 3 2 2 2 2 2 6 2 . 4
变式1: 求sin75°的值.
作 业
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作业本Ａ
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思 考 题 ？ 你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
cos( ) = ?
tan( ) ...... ?
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sin( ) = ?
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22
3 设 、 ，则cos cos( ) cos 3 6 3 6 6 2 1 3 而2: cos cos α cos cos α . α sinβ成立吗? 问题 你认为 cos( -β)=cos cosβ+sin 3 6 2 2
2 2
应用
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
12 5 sin 1 cos2 1 13 13
5 又由cosβ= 13 ，β是第三象限的角，得
33 3 5 4 12 65 2015-5-25 5 13 5 13
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探究2 以上推导是否有不严谨之处？ 对任意α,β，如何证明它的正确性？
看能否用向量的知识进行证明？ ①结合图形，思考应选用哪几个向量？ A OA=(cosα,sinα), OB=(cosβ,sinβ) ②怎样用向量数量积的运算 和定义得到结果？ 于是 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
16
4 例2. 已知sinα＝ ,α∈( , ),cosβ= 2 5 第三象限角，求cos(α-β)的值。
5 , β是 13
变式1:如果去掉条件 ( , )，对结果和求 2
解过程会有什么影响？
要求正确使用分类讨论的思想方法， 在表述上也有了更高的要求
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3 3 2、已知cos = ， ，2 ，求cos( ). 5 3 2
y A P1
C

β
P x
O B M
OM
AB⊥x轴
Cosα
OA + sinα AP
PA⊥OP1
PM⊥OX
OB
+
PC
∠PAB=∠P1Ox=α PC⊥AB
8
OB+BM
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BM
即:
cos(α -β)=cosα cosβ+sinα sinβ
y
思 考 ？
O
P1
A

β
C
P
B
M
x
以上结果为α 、β、α -β均为 锐角，且α >β的情况下得到的， 此式是否对任意角都成立呢？