数学模型投掷标枪

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数学建模课程设计报告

标枪投掷模型

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2014年7月16日

1 绪论

课题的背景

标枪是的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。

建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为ν，出手高度为h，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与ν，h，α的关系式，计算在确定的ν，h下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。

预备知识

上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。

2 计算机工具简介

MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。

3 模型的假设

模型假设

(1)标枪运行的过程中没有任何阻力；

(2)可以将标枪看作一个质点；

(3)投射角度α与投射初速度ν是两个相互独立的量；

(4)设当地的重力加速度为g，且取值为s，并在投掷的任意点都相等；

(5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。

(6)不考虑标枪的旋转。

符号说明

ν：标枪初速度；

v：ν在水平方向上的分量；

x

v：ν在竖直方向上的分量；

y

g：重力加速度；

h：投射高度；

α：出手角度；

t ：标枪运行的时间；

x ：标枪在水平方向的位移（即为投掷距离）；

y ：标枪在竖直方向的位移。

4 模型的建立与求解

一、 在确定的ν，h 下计算最佳出手角度α

由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度ν和出手高度h 一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动，加速度为g 。所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图1所示。

图 标枪投掷轨迹图

出手时的速度ν可以分解为：

水平方向：αννcos =x

垂直方向：αννsin =y

则有水平位移和竖直位移分别为：

消去t ，有

令方程中的y 为0，有：

舍去负根，有：

取h =, ν=10m/s ，利用MATLAB 作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。 a = [0::]

x = (25.*sin(2*a))./ + sqrt(((25.*sin(2*a))./.*((25.*sin(2*a))./ +

(360.*(cos(a)).*(cos(a)))./

plot(a, x)

title('标枪投掷距离与出手角度的关系')

xlabel('出手角度')

ylabel('投掷距离')

grid

结果如图所示：

图 标枪投掷距离与出手角度的关系图

由图可知，最大值的坐标为（, ）。

二、 研究不同的出手速度ν下最佳的出手角度α

当v 和h 一定时，研究v 的变化对出手角度α的影响。x 便为关于α的函数，即：

则x 对α求一阶导数为：

令()0x α'=，有：

解得： 所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，2

1=arccos 2gh gh v α+为最佳出手角度。 将上式代入

中，得：

Matlab 命令：

1.在给定出手速度v 下要达到最大射程时对应的角度

函数文件：

function f=fun_sv(v)

f=*acos**+v*v))/pi*180;

绘出图像：

fplot('fun_sv',[0,100]);

xlabel('速度V m/s');

ylabel('角度');

title('v 不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线 ');

axis([0 50 0 60]);

结果如图所示：

图 出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线

5 模型结果

模型的评价

标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到，在运动员身体条件大致相当的

情况下，该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得到结果与理论基本相符。但是由于条件限制，本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下，而实