第2讲质数与完全平方数教师讲义

八年级数学竞赛第二讲 质数和完全平方数一．质数与合数一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数（素数），如果能被1和本身 以外的自然数整除，就叫做合数.特别注意1即不是质数也不是合数，叫做单位数.有时候质数的相反数也叫质数，合数的相反数也叫合数，不过，在本讲中，如没有特别说明，都是指正的质数和正的合数.例1. 求出符合以下条件的所有质数：这样的质数既是两个质数的和，又是两个质数的差. 分析：设所求质数为p ，因为p 是两个质数的和，所以p 必是奇数，于是必有s p +=2，s 是奇质数；又因为p 是两个质数的差，所以必有2-=q p ，q 是奇质 数，由此看来，2,,2+-p p p 是三个差为2的连续奇（质）数，其中必有一个是3 的倍数，而3是最小的奇质数，故5=p .例2. （1996年希望杯初二赛题）三个质数c b a ,,的乘积等于这三个质数和的5倍，则_____222=++c b a .分析：()c b a abc ++=5，所以有一个质数是5，不妨设5=a ，于是有25555++=c b bc ，得出()()611=--c b ，又61326⨯=⨯=，不妨设⎩⎨⎧=-=-3121c b ① 或⎩⎨⎧=-=-6111c b ② .由①得4,3==c b ，不合题意.由②得 7,2==c b ，符合题意.故所求的三个质数是5，2，7.于是78222=++c b a .例3. 质数中无最大数，也就是说，不存在最大的质数.试证之.分析：可以用反证法.若有最大的质数，设为p ，观察从2到p 的所有质数乘积 加1的和式1532+⨯⨯⨯⨯=p n ，因为质数2，3，5，…，p 中没有一个是 n 的因数，若n 是一个合数，它肯定有质因数，但不在2，3，5，…，p 中，故 n 的质因数比p 还要大，与假设矛盾；若n 是一个质数，易知n 大于p ，也与假设矛盾.例4. 求证：若正整数p 使得12-p 是一个质数，则p 一定是质数.分析：利用公式()()122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a二．质因数的分解我们经常把一个大于1的整数分解为若干个质数的连乘积形式，这就是所谓的分解质因 数，乘积中的每一个质数，都叫做这个整数的质因数.关于质因数分解有以下定理：算数基本定理 任意一个大于1的整数N 都可以分解为质因数的乘积.如果不考 虑这些质因数的次序，那么这种分解是唯一的.通常可以表示成以下形式：在上式中，n p p p ,,,21 都是质数且互不相同，n ααα,,,21 都是正整数.这种分解式称为 正整数N 的标准分解式.例如540的标准分解式是53254022⨯⨯=.推论1 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 共有 正约数()()()11121+++n ααα 个，这些约数包括1和N 本身.推论2 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 是一 个完全平方数的充要条件是n ααα,,,21 都是偶数，即N 的正约数个数是奇数.质数有如下整除性质：（1）p 是质数，b a ,都是整数，如果ab p ，则a p 或b p ，特别地2a p 时，a p ；（2）n p p p ,,,21 是不同的质数，a 是整数，如果a p 1，a p 2，a p n , ，则a p p p n 21.例5. 不大于200的正整数中，有哪些数恰好有15个不同的正约数（包括1和本身）. 分析：由推论1，考虑这个约数个数是怎么算来的.5315115⨯=⨯=,因此有两种形式：14p N =或42q p N =，q p ,均为质数且q p ≠.对于第一个知不成立，第二个取,2=q 则p 可取3，取,3=q 则p 取任何质数都将超过200.例6. 求473360⨯和361172⨯这两个积的最大公约数和最小公倍数.分析：先对两个数进行质因数分解.例7. 证明在无限整数序列 ,0011000100010,100010001,10001中没有质数. 分析：要证明一个数为合数，即证明它有除了1和本身以外的因数，只需证明它能表示成两个大于1的整数的乘积即可，以前的专题曾经涉及到一些特别的数，比如：.7313710001⨯=序列 ,0011000100010,100010001,10001可以改写成 ,10101,101844+++根据例题4所用的公式知其通项为 n npp p N ααα 2121=()*11011044--=n n a ， ,3,2=n 2=n 时即10001已经不需再证，因此只需证明3≥n 的情况.当n 为偶数时，令k n 2=， ,3,2=k ，则1101101101101101104888482--•--=--=k k ka ，根 据公式是两个大于1的整数相乘，故为合数.当n 为奇数时，令12+=k n ， ,2,1=k 则 ()()()11011011011011011021222122412412++•--=--=++++k k k k a .同样地根据公式知是两个整数的乘积. 例8. 求所有的质数p ，使得142+p 和162+p 也都是质数.分析：对此无从下手，可以先从最小的质数验算，寻找灵感.经验算，5是满足条件的一个质数.因此估计只有5是所求，从而可以将整数按照 模5来分类：当k p 5=时，要使其为质数，只能1=k ，而5=p 满足条件；当15+=k p 时，()1452+p ；当25+=k p 时，()1652+p ；当35+=k p 时，()1652+p ；当45+=k p 时，()1452+p ；故本题只有一解5=p .例9. 在100到200之间有3个连续的自然数，其中最小的数是3的倍数，中间的数是5的倍数，最大的数是7的倍数.试求这三个数中的最大数.分析：在100到200之间能被7整除的数依次是：105，112，119，126，133，140，147，154，161，168，175，182，189，196.其中只有1601161=-能被5整除，而 159也能被3整除，故所求的三个数是159，160，161，最大的是161.三．完全平方数如果N 是整数，且M N =2，则称整数M 为完全平方数（简称平方数），平方数M 有 以下常用性质：（1） 若M 是整数，则平方数2M 与()21+M 之间不存在其他平方数，即两个连续平方数之间任何一个数都不是平方数；（2） 平方数M 的末尾数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8；（3） 偶数的平方必是4的倍数，而奇数的平方必是8的倍数加1；（4） 平方数的末尾数是奇数时，其十位数必为偶数，平方数的末尾是6时，其十位数必为奇数；（5） 两个平方数的乘积还是平方数，一个平方数与一个非平方数的乘积肯定不是平方数；（6） 任何平方数除以3，余数不可能是2；除以4，余数不可能是2，3；除以5，余数不可能是2，3；除以8，余数不可能是2，3，5，6，7；除以9,余数不可能是2，3，5，6，8.例10. 证明：4个连续正整数之积不可能是完全平方数.分析： ()()()()()N N N N N N N N S 323321222+++=+++=. 则 ()()2222133++<<+N N S N N ，两个连续的完全平方数之间不存在第三个平方数.例11. 将七个连续奇数1，3，5，7，11，13，17任意排成一列，得到一个十位数.试问在这些自然数里有平方数吗？若有，请找出一个.若没有，请说明理由.分析：任意一个数都是3的倍数，但不是9的倍数，故没有.例12. [1985年上海市初三数学竞赛题]已知直角ABC ∆的两条直角边的长b a ,均为整数，且a 是质数，若斜边长也是整数，求证：()12++b a 是完全平方数.证明：设斜边长为c ，()()b c b c b c a -+=-=222 ，a 是质数，b c b c ->+， 所以⎩⎨⎧=-=+12b c a b c ，消去c 可得122-=a b ，于是有()()()22211221222212+=++=+-+=++=++a a a a a b a b a . 由此命题得证.习题（二）1． 在不大于50的正整数中，求出恰有5个正约数的自然数.分析略.2． 在三个连续的正整数中，其中最小的数能被3整除，中间的数能被5整除，最大的数能被7整除，求出符合以上条件的最小的三个连续的自然数.试问：有这样三个最大的连续自然数吗？分析：如例题9，只需再到不大于100的正整数中去找即可，54，55，56为所求.又[]1057,5,3=，所以56105,55105,54105+++k k k 都满足前面的要求，但k 可以取 任意的正整数，故没有最大的.3． [原苏联竞赛题]分别很久的两位老朋友相遇了，其中第一个人说，他有3个孩子，他们的年龄乘积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在的房子的窗户数，第二个人说，他还是不能确定这些孩子的年龄，于是第一个人又补充说，他的岁数最大的孩子是黑色头发，之后第二个人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄是多少岁？分析：先把36分解成3个正整数的乘积，按照从小到大找，43363292266194112311821361136⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=已知有8种情况，每一种情况都对应一个和，由于屋子里的窗户数是他们知道的，但是第二个人还不能确定孩子的年龄，那么肯定是因为这时年龄的和有一样的（窗户数是13时），即 2，2，9；1，6，6.最后由于知道了有最大的孩子，那么1，6，6可以排除，剩下2，2，9.4．[1992年上海市初中数学竞赛题]已知正整数n m ,满足2222222991n m =++++，则 ._________=n分析：()()167=+-m n m n ，再把167分解成两个正整数的乘积，结果发现167是质数.5．[1990年湖北黄冈地区初中数学竞赛题]已知n m ,都是质数，方程02=+-n mx x 有两个正整数根t k ,，求k l m n t k n m +++的值.分析：由韦达定理知n kt =，由于n 是质数，不妨设n t k ==,1，于是m n t k =+=+1， 可见1,+=n m n 是两个连续的质数，所以3,2==m n . 6．[35届美国中学生数学竞赛题]满足方程组⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数组()c b a ,,的组数___. 分析：()23=+b a c ，知23,1=+=b a c ，于是方程组化为()()⎩⎨⎧=++=+241441b a b a ，解之⎩⎨⎧==+2221b a 或⎩⎨⎧==+2221b a ，于是方程共两组解：（1，22，1）和（21，2，1）. 7．证明：如果2,+p p 都是大于3的素数，那么6是1+p 的因数.分析：把p 按照模6分类即可.8．已知513-n 是一个质数，求正整数n 的值. 分析：()()5115123++-=-n n n n 是一个整数，故有k n 51=-或k n n 512=++， 当k n 51=-时，()()()151151223++=++-=-n n k n n n n ，要使其为质数，只能取1=k ，从而6=n ，这时43513=-n 为质数.同样分析另一种情况知不合题意. 9．[2004年全国初中数学联赛题]已知q p ,均为质数，且满足59352=+q p ，则以3+p ， q p +-1，42-+q p 为边长的三角形是 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案是直角三角形，分析略10．[2001年全国初中数学竞赛题]一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数，则这个正整数为___________.分析：填156.设这个数为x ，则22168,100n x m x =+=+.其中n m x ,,皆为正整数.两式相减得6822=-m n ，即()()1722⨯⨯=+-m n m n .因为m n m n +<-，且二 者奇偶性相同，故必有34,2=+=-m n m n .11．[1998年湖南省高中理科实验班招生题]已知正整数y x ,都是质数，并且y x +7与11+xy 也都是质数，试求()()y x x y y x u ++=22的值.解：由11+xy 是质数知，11+xy 必为奇数，故y x ,至少有一个数是2.若2==y x ，则1511=+xy 不是质数,从而y x ,又且只有一个等于2；若2=x ，即y +14，112+y 均为质数，此时如果y 被3除余1，则y +14被3整除，如果y 被3除余2，则112+y 被3整除，这与y +14与112+y都是质数不符，于是3=y ，经检验，2=x ，3=y 符合要求.若2=y ，即27+x ，112+x 均为质数，此时如果x 被3除余1，则27+x被3整除，如果x 被3除余2，则112+x 被3整除，这与27+x 与112+x都是质数不符，于是3=x ，经检验，3=x ，2=y 符合要求.综上，不论2=x ，3=y 还是3=x ，2=y 都有221=u .全国中学生数学冬令营简介全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。