第三章 3.1.3 空间向量的数量积运算
高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )
3.1.3 空间向量的数量积运算
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律
λ( a · b) (λa)· b＝______
b· a a· b＝____
a· b＋a· c a· (b＋c)＝________
分配律
知识点2：空间向量数量积的性质 a· b＝0 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔______ |a|· |b| ；若反向，则a· －|a|· |b| . ②若 a 与 b 同向，则 a · b ＝ b ＝ 两个向量 2 | a | 特别地，a· a＝ 或|a|＝ a· a 数量积的 a· b 性质 |a||b| ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____
(1)空间向量的夹角
→ → ①定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝ b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉. π ②范围：〈a，b〉∈ [0，π] .特别地：当〈a，b〉＝ 2 时，a⊥b.
知识点1：空间向量数量积的概念 (2)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a· b. (3)数量积的运算律
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
→ ∴|EF|＝ 2，∴EF 的长为 2.
1
2
3
4
5
课堂小结
空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向
量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离
相关的问题：
①求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的
问题；
②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角
的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；
(原创)3.1.3空间向量的数量积
三平面、向空量间数向量积量的数运量算积律：的运算律：
(1)( a) b (a b)
(2)a b b a (交换律) (3)a (b c) a b a c (分配律)
思考：
(1)由a b a c，能得到b c 吗？
(2)对于向量 a, b, c ，（a b)c a(b c) 成立吗？
如果和这个平面的一条斜
线的射影垂直,那么它也
和这条斜线垂直.
αO
l l A
三垂逆线命定题理成的立逆定吗理? ：
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一
条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射
影垂直.
看课本 P92—P94：
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课本 P92 练习1——3题 P94 练习 第3题
a b a b cos a, b 0 a,b
注意: ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
二、空间两个向量的数量积的性质
（向量的夹角）
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完 全相同的性质. (2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5) 是用来求两个向量的夹角．
作业布置： P98：第3、4、5题
例 2．已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、
斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且
l OA，求证： l PA
P
D
变式：
αO
l A
若AD// l,OA=1,AD=2,PO=3,
(1)求 OD 和 AP 夹角的余弦值.
(2)求P, D间的距离；
斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且
§3.1.3空间向量的数量积运算
§3.1.3空间向量的数量积运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____【预习·基础知识】学习目标1、掌握空间向量的数量积概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律。
2、能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直。
自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理） 1、空间向量的夹角（1）文字叙述：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作==,则______叫做向量,a b 的夹角，记作______ ①范围:______________.,a b 〈〉 =0时,a b与________;,a b 〈〉 =π时,a b与_________.②,,a b b a 〈〉〈〉＝，那么_________.（2 ）如果2,π=〉〈b a ,则称a 与b _______,记作：___________；2、两个向量的数量积(1)定义：已知空间两个非零向量、a b,则______叫做、a b的数量积。
(2)记法：a b ∙. 即__________a b ∙= .3、空间两个向量的数量积性质（1）a e ⋅=____________（2）______a b ⊥⇔（3）2a a a =⋅4、空间向量的数量积满足的运算律思考1.⑵是显然成立的,你能证明(1)和(3)吗？思考2.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量 a , b , c ,由∙=∙a b a c 能得到=b c 吗？如果不能，请举出反例.思考3.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则c a =b .(或cb =a )对于向量 a ,b ,若∙= a b k 能否写成= k a b ( 或=k b a )？也就是说向量有除法吗？思考 4.对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc)对于向量 a , b , c ,()()=a b c a b c成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a b b a ⋅=⋅(交换律) ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)【突破·核心知识】典型例题（合作.探究.展示） 题型一：空间向量的数量积的基本运算 例1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求下列数量积： （1）_________11=∙C B （2）_________1=∙BA （3）_________11=∙B A （4）_________1=∙BC【典例训练】判断真假:1)若0,a b ⋅= 则0,0a b ==( )222222)()()()3)()()4)()a b c a b c p q p q p q p q p q ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅-=- 题型二：利用向量的数量积证明垂直问题例 2. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.【典例训练】在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？例3．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．（写出已知求证）题型三：利用数量积求距离（即线段长度）例4、如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值【归纳∙知识方法】【知识梳理】lm nm ng gl【随堂∙自我测评】1、下列式子中，正确的是（）A、2B、222)(∙=∙C、)()(∙∙=∙∙ D2、已知向量,,两两夹角都是060，其模都是1，+-（）A、5B、5C、6D、63、空间四边形OABC中，OB=OC,,3π=∠=∠AOCAOB则=〉〈BCOA,cosA、21B、22C、21- D、04、在正三棱柱111CBAABC-中，若,21BBAB=则BCAB11与所成角的大小为（）A、060 B、090 C、0105 D、0755、已知,1=++，则_________=∙+∙+∙6、在平行六面体1111DCBAABCD-中，,90,5,3,401=∠===BADAAADAB1160=∠=∠DAABAA,求1AC的长。
3.1.3空间向量的数量积运算
在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC． 中 在四面体 ⊥ ， ⊥ ，求证： ⊥ ．
3.1.3空间向量的数量积运算 空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角， 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是 围是(0° ° 而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是[0° ° 围是 °,90°],而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是 °,180°]
(1)三垂线定理及其逆定理中都出 三垂线定理及其逆定理中都出 现了四条线AB， ， ， ， 现了四条线 ，AC，BC，l， 定理中所描述的是AC(斜线 、 斜线)、 定理中所描述的是 斜线 BC(射影 、l(面内的直线 之间的 射影)、 面内的直线 面内的直线)之间的 射影 关系． 关系． 在三垂线定理及其逆定理中， 在三垂线定理及其逆定理中， 涉及上面四条线， 涉及上面四条线，三个垂直 关系 垂线AB和平面 垂直； 和平面α ①垂线 和平面α垂直； 射影BC和直线 垂直； 和直线l垂直 ②射影 和直线 垂直； 斜线AC和直线 垂直， 和直线l垂直 ③斜线 和直线 垂直， 所以定理称为“ 所以定理称为“三垂线定 理”． (2)两个定理的区别 两个定理的区别 ①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“ 线与斜线垂直” 逆定理相反． 推出 线与斜线垂直”，逆定理相反． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“ ②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直 异面直线垂直” 逆定理相反． 推出 异面直线垂直”，逆定理相反．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
3.1.3 空间向量的数量积运算
AB1 . BC1 (BB1 BA).(BB1 BC)
A
C
2
BB1 BA. BC 1
2
2.COS 60。
B
AB1 C1B
4、如图，在平行六面体ABCD A' B'C' D'中，AB 4,
AD 3, AA' 5,BAD 90，BAA' DAA' 60，
求AC '的 长.
D'
当a b 0 a，b夹角为钝角( )
四.空间向量数量积在立体几何中的应用:
【例1】已知：PO, PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影，l , 且l OA.
求证：l PA
证明：取直线l的方向向量a
P
l OA,a OA 0
PO ,且l ,
PO l PO a 0
三、课堂练习
1、已知| a | 2 2 , | b | 2 , a b 2，则a , b所夹的 2
角 为__1_3_5_0___.
2、判断真假：
(1)若a b 0,则a 0,b 0 ( )
(2) (a b) c a (b c)
()
(3)
2
p
2
q
(
p q)2
()
(4) 当a b 0 a，b 夹角为锐角，
2
2)空间向量的数量积
已知两个非零向量a、b，则 | a || b | cos a, b 叫做
向量a, b的数量积, 记作：a b，即 a b | a || b | cos a, b
注: ①两个向量的数量积是数量,可以正,负或0，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积为0.
思考: 类比平面向量，你能说出a b的几何意义吗？
2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算素养课件新人教A
您好，谢谢观看！
4．如果 e1，e2 是两个夹角为 60°的单位向量，则 a＝e1＋e2 与 b＝e1－2e2 的夹角为________．
【答案】120° 【解析】由已知，e1·e2＝21，所以(e1＋e2)·(e1－2e2)＝－32， |e1＋e2|＝ 3，|e1－2e2|＝ 3. 所以 a 与 b 的夹角的余弦值为 cos 〈a，b〉＝|ee11＋＋ee22||ee11－－22ee22|＝－12.所以 a 与 b 的夹角为 120°.
4 ． 已 知 空 间 四 边 形 OABC ， OB ＝ OC ， ∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为 ________．
【答案】垂直 【解析】O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B＝|O→A
→ |·|OC|cos
θ－|O→A|·|O→B|cos
【解题探究】求|MN|即为求向量|ND|的模长.
求两点间的距离或线段的长度时，先将此线段用向量表 示，然后用其他已知夹角和模的向量表示该向量，再利用|a|=
，计算出|a|，即得所求距离.
找向量的夹角易出错 【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB， BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝ a，求AC长．
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··|B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
对于空间向量 a，b，有 cos〈a, b〉＝|aa|·|bb|，利用这一结论， 可以较方便地求解异面直线所成角的问题．由于向量夹角的取 值范围为[0，π]，而异面直线所成角的取值范围为0，π2，故当 〈a，b〉∈0，π2时，它们相等；而当〈a，b〉∈π2，π时，它 们互补．
3.1.3 空间向量的数量积运算
=13
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������ .
∴������������·(������������ + ������������ + ������������)=
1 3
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������
思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求 解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)������������ ·������������=|������������||������������|cos <������������, ������������>
例 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求向量������������1与������������的夹角 的大小.
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一
个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向
量的数量积定义a·b=|a||b|cos
<a,b>,求出cos
因 所为 以△向D量1A������C������1为与等���������边���的三夹角角形为,所π3.以∠D1AC=π3,即<������������1, ������������>=π3. (方法 2)设正方体的棱长为 1,
则������������1 ·������������=(������������ + ������������1)·(������������ + ������������)
3.1.3 空间向量的数量积运算
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第三章
空间向量与立体几何
想一想 1.〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉相等 吗？
提示：相等；不相等．
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第三章
空间向量与立体几何
2．空间向量的数量积 (1)定义：
|a||b|cos〈a，b〉 已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的 数量积，记作a· b. |a||b|cos〈a，b〉 即a· b＝_________________．
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第三章
空间向量与立体几何
→ → 又∵|BC1 |＝ 2，|AC|＝ 2， → → BC1 · AC 1 1 → → ∴cos〈BC1 ，AC〉＝ ＝ ＝ . → → 2× 2 2 |BC1||AC| → → ∵〈BC1 ，AC〉∈[0° ，180° ]， → → ∴〈BC1 ，AC〉＝60° . → → ∴BC1 与AC夹角的大小为 60° .
答案：1
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ __________． 2 2 ，a· b＝－ ，则 a 与 b 的夹角为 2 2
答案：135°
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第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳题型探究来自题型一 空间向量数量积的运算 例1 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2， AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点． 求下列向量的数量积． → → (1)BC· 1； ED → → (2)BF· 1 . AB
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第三章
空间向量与立体几何
→ 1 (2)由(1)知MN＝ (q＋r－p)， 2 → 2 1 ∴|MN| ＝ (q＋r－p)2 4 1 ＝ [q2＋r2＋p2＋2(q· r－p· q－r· p)] 4 a2 a2 a2 1 2 ＝ [a ＋a2＋a2＋2 2 － 2 － 2 ] 4 1 a2 ＝ ×2a2＝ . 4 2 2 2 → ∴|MN|＝ a，∴MN 的长为 a. 2 2
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。
(完整版)空间向量的数量积运算
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A ＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
答案： A
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A ||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A ，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A ·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
四面体筋混凝土构件，已知它的质量
为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到
大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
件？
工具
第三章 空间向量与立体几何
高中数学选修2-1第三章 3.1 3.1.3 空间向量的数量积运算
＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵ A1O ＝ A1 A＋ AO
＝ A1 A＋12( AB＋ AD)＝c＋12a＋12b，
BD＝ AD－ AB＝b－a，
OG＝OC ＋CG＝12( AB＋ AD)＋12CC1 ＝12a＋12b－12c.
3．1．3 空间向量的数量积运算
预习课本 P90～91，思考并完成以下问题 1．空间向量的数量积的定义是什么？
结束
2．空间向量的数量积满足哪些运算律？
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[新知初探]
结束
1．空间向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA
＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉．
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3，
∴cos〈 BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 BA1
·AC || AC
＝－1＝－ |6
66，
则异面直线
BA1 与
AC
所成角的余弦值为
6 6.
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结束
利用空间向量的数量积证明垂直
[典例] 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， 求证：AD⊥BC.
[解] 不妨设正方体的棱长为 1， 则 BC1 ·AC ＝(BC ＋CC1 )·( AB＋ BC ) ＝( AD＋ AA1 )·( AB＋ AD) ＝ AD·AB＋ AD2＋ AA1 ·AB＋ AA1 ·AD
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又 θ∈[0，π]，∴θ＝60° .
答案：C
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4．已知空间四边形 OABC 各边及对角线长相等，E,F 分别 为 AB,OC 的中点，求 OE 与 BF 所成角的余弦值．
解：如图，设 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1， π 易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ， 3 1 则 a· b＝b· c＝c·a＝ . 2
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AC ＝ － 2 AB · AC ＝ － 2a2cos 60° 解 析 ： 2 BA · ＝ － a2 ， 2 2, CA ＝ AC · CA ＝ 2 AD · ＝a 2 FG · BD ＝2 DA· DB ＝2a cos 60° 1 2 CB ＝ BD · CB ＝－ BD · BC ＝－ a . －a 2 EF · 2
则异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值为 6 . 6
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[一点通] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：
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3．已知 a，b 是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC ⊥b，BD⊥b，且 AB＝2，CD＝1，则 a 与 b 所成的角是 ( A．30° C．60° B．45° D．90° )
＝1＋1＋1＋2(cos 60° ＋cos 60° ＋cos 60° )＝6. ∴| AC1 |＝ 6，即对角线 AC1 的长为 6. 2 2 2 同理，| BD1 | ＝ BD1 ＝( AD ＋ AA1 － AB ) 2 2 2 ＝ AD ＋ AA1 ＋ AB ＋2( AD · AA1 － AB · AA1 － AD · AB ) ＝1＋1＋1＋2(cos 60° －cos 60° －cos 60° )＝2. ∴| BD1 |＝ 2，即对角线 BD1 的长为 2.
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[例 1]
如图所示，已知正四面体
OABC 的棱长为 1，点 E,F 分别是 OA, OC 的中点．求下列向量的数量积： OB ； (1) OA · BC ； (2) EF · (3)( OA ＋ OB )· ( CA ＋ CB )．
2,
答案：B
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2． 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝AA1＝2， AD＝4， E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点．求下列向 量的数量积： (1) BC · ED1 ；
AB 1 . (2) BF · 解：如图所示，设 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，则|a|＝|c|＝2，
CD 〉 CD ＝( AC ＋ CD ＋ DB )· CD 解析： 设 〈 AB ， ＝θ， ∵ AB · 2 CD · 1 AB ＝| CD | ＝1，∴cos θ＝ ＝ . | AB || CD | 2
OC )
＝( OA ＋ OB )· ( OA ＋ OB －2OC ) 2 2 OB －2OA · OC ＋ OB · OA ＋ OB －2OB · OC ＝ OA ＋ OA ·
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(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或
应用 两直线所成角 (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直
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1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共
线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为 零． 3．数量积a· b的几何意义是：a· b等于a的长度|a|与b在 a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
分配律
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定义
已知两个非零向量a，b，则|a|· |b|· cos〈a，b〉叫做a， b的数量积，记作a· b.
b＝0 (1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔ a· 两个 |b| (2)若a与b同向，则a· b＝ |a|· 向量 |b| 若反向，则a· b＝ －|a|· 数量 a 特别地：a· a＝|a|2或 |a|＝ a· a· b 积的 |a|· |b| (3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 性质 (4)|a· b| ≤|a|· |b|
1 ＝| OA || OB |cos∠AOB＝1×1×cos 60° ＝ . 2
(2)因为 E，F 分别是 OA，OC 的中点，
1 BC ＝| EF || BC |cos BC 〉 所以 EF 綊 AC， 于是 EF · 〈 EF ， 2
1 因为 OE ＝ (a＋b), 2
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1 3 BF ＝2c－b，| OE |＝| BF |＝ 2 , 1 1 ∴ OE · ( c－b) BF ＝2(a＋b)· 2
1 1 1 1 2 1 ＝ a· c＋ b· c－ a· b－ |b| ＝－ . 4 4 2 2 2 OE · 2 BF ∴cos〈 OE ， BF 〉＝ ＝－ . 3 | OE |· | BF | ∵异面直线所成的角为直角或锐角， 2 ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 . 3
|b|＝4，a·b＝b· c＝c·a＝0.
1 (1) BC · ED1 ＝ BC · ( EA1 ＋ A1 D1 )＝b·[2(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16. (2) BF · AB1 ＝( BA1 ＋ A1 F )·( AB ＋ AA1 ) 1 ＝(c－a＋2b)· (a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
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[例3]
如图所示，平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出
发的三条棱的长都等于1，且彼此的 夹角都是60°，求对角线AC1和BD1 的长． [思路点拨] 把向量 AC1 和 BD1 用已知向量 AB , AD , AA1
问题1：向量F1和－F2夹角为多少？
提示：120°.
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问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？
提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|， ∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3) ＝(F1＋F2＋F3)2 ＝6|F0|2, ∴|F|＝ 6|F0|, 5 000 6 2 500 6 25 000 6 ∴|F0|＝ ×10＝ ×10＝ (N)． 6 3 3
[思路点拨]
根据数量积的定义进行计算，求出
每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分
结合正四面体的特征．
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[精解详析]
(1)正四面体的棱长为 1，则|OA |＝| OB |
＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB＝60° ，于是： OB ＝| OA || OB |cos〈 OA ， OB 〉 OA ·
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1.空间向量的夹角
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2．空间向量的数量积 定 已知两个非零向量a，b，则|a|· |b|· cos〈a，b〉叫 b 义 做a，b的数量积，记作 a· 运 算 律 数乘向量与向量 数量积的结合律 b) (λa)· b＝ λ(a· a a· b＝ b· b＋a· c a· (b＋c)＝ a·
交换律
1 ＝ | CA |· | BC |cos〈 AC ， BC 〉 2 1 ＝ ×1×1×cos〈 CA ， CB 〉 2
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1 ＝ ×1×1×cos〈 CA ， CB 〉 2
1 1 ＝ ×1×1×cos 60° ＝ . 2 4 (3)( OA ＋ OB )· ( CA ＋ CB )＝( OA ＋ OB )· ( OA － OC ＋ OB －
1 1 1 1 ＝1＋ －2× ＋ ＋1－2× ＝1. 2 2 2 2
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[一点通]
在几何体中进行向量的数量积运算，要充
分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向 量表示后再进行运算．
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1.如图，已知空间四边形每条边和对角 线长都等于 a，点 E、F,G 分别是 AB, AD,DC 的中点，则下列向量的数量积 等于 a2 的是 AC A．2 BA · B．2 AD · BD CA C．2 FG · CB D．2 EF · ( )
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[例 2]
如图，在直三棱柱 ABC－
A1B1C1 中，∠ABC＝90° ，AB＝BC＝1， AA1＝ 2，求异面直线 BA1 与 AC 所成 角的余弦值．
[ 思 路点 拨 ] 〈 BA1 ， AC 〉 ，并由此确定异面直线 BA1 与 AC 所成角的 余弦值．
AC ，再由 夹角 公式 求 cos 先 求 BA1 ·
理解教材新知
考点一
3.1
第 三 章
3.1. 3
把握热点考向
考点二 考点三 考点四
应用创新演练
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3.1.3 空间向量的数量积运算
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2008年5月12日，四川汶川发生特大地震.为了帮助地震
灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角 形面的钢筋混凝土构件.已知它的质量为5 000 kg，在它的顶 点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹 角都是60°(其中g＝10 N/kg)．