第二章1(对偶)

* * * x1 2 x* 2 x3 3x4 20
(1)
* * * * 2 x1 x2 3x3 2 x4 20
此时达到最优解X*=(4,2)T, Max Z=14。
对偶问题的最优解为Y*=(3/2 ,1/8 ,0)T
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5.互补松弛定理：在最优情况下，原问题的第i个决策变量 与其对偶问题第i个约束中的松弛变量的乘积恒为零。
设X(0),Y(0)分别为(L),(D)的可行解，则X(0),Y(0)分别为(L),(D) 的最优解的必要条件为 ,有 (1)若xl(0) >0，则∑ail yl(0) = Cl
2 x1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0
3 x2 0 0 1 0
x3 1 -4 0 -2
0 x3
x4 x5 0 -1/2 1 [2] 0 1/4 0 1/4
0 x4 0 x5 0 1 0 0
CB 2 0 3
XB x1 x5 x2
b 4 4 2 -14
0 1/4 -2 1/2 1/2 -1/8 -3/2 -1/8

15
cj CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 b 8 16 12 0
2 x1 1 4 0 2
3 x2 2 0 [4] 3
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0
以[4]为主元素进行旋 转运算，x2为进基变量， x5为出基变量
cj
2
3
0
0
0
CB
0 0
XB
第二章 线性规划的对偶理论及其应用
本章主要内容：
线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析
1
第一节
一、引例
材料
产品
对偶问题的提出
甲
乙
丙
丁
每台 收益
A B C
限额
3 4 2
600
2 1 2 y2
1 3 3 y3
1 2 4
200
2000 x1 4000 x2 3000 x3
由于X(0) =(1,1,1,1)T, Y(0)=(1,1)T分别为 (L),(D)的可行解， 故Z≤40,W≥10
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3.最优性准则:当极大化问题目标函数值与其对偶问题目 标函数值相等时，各自的可行解即为最优解。
若X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的可行解,且CX(0) ＝bTY(0) ， 则X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的最优解。


对偶关系：一个问题第i个变量的约束情况决定另一问题 第i个约束不等式的方向，反之亦然。具体对应规则见书 (P57)。 正常的对正常的，不正常的对不正常的。
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例3 直接写出LP问题的对偶问题 MaxZ x1 2 x2 x3
2 x1 x2 x3 x x x 1 1 2 3 ST : 2 2 x1 x2 x3 x1 0, x2 0, x3无约束
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标准化
Max Z = CX+0Xs s.t. AX+IXs =b X, Xs ≥0
例5
求下列问题对偶问题的最优解
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8 4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0

解：化为标准型
Max Z =2x1+3x2+0x3+0x4+0x5 s.t. x1+ 2x2+x3 =8 4x1 +x4 =16 4x2 +x5=12 x1 ,x2 , x3, x4, x5≥0
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由于X(0)=(0,0,4,4)T, Y(0)=(6/5,1/5)T是(L)，(D)的可行解且 CX(0)=bTY(0)=28，所以X(0),Y(0)分别为(L)，(D)的最优解。
4.强对偶定理: 若原问题有最优解，则对偶问题也有最 优解，且目标函数值相等。
Max Z = CX s.t. AX≤b X≥0 推论： 在用单纯形法求解LP问题(L)的最优单纯形表中松弛变量 的检验数的相反数就是其对偶问题(D)的最优解。 证明：因为σsT=0-CBB-1I= -CBB-1 y*T=CBB-1 所以 y*= -σs
例5
Max Z = x1+2x2+3x3 +4x4 x1+2x2+2x3+3x4 ≤20 s.t. 2x1+ x2+3x3+2x4 ≤20 x1,x2,x3,x4 ≥0
( D)
Min W = 20y1+20y2
y1+2y2 ≥ 1 2y1+ y2 ≥ 2 s.t. 2y1+3y2 ≥ 3 3y1+2y2 ≥ 4 y1,y2≥0
i=1
m
(2)若∑ail yl(0) > Cl ，则xl(0) = 0
i=1
m
(3)若yk
n
(0)
>0，则∑akj xj(0) = bk
j=1
n
(4)若∑akj xj(0) < bk ，则yk(0) =0
j=1
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例6 考虑下面问题
( L)
Max Z = x1+2x2+3x3 +3x4 x1+2x2+2x3+3x4 ≤20 s.t. 2x1+ x2+3x3+2x4 ≤20 x1,x2,x3,x4 ≥0
5
上述LP问题的对偶问题为：
Min W =2y1+y2 -y3-2y4 y1+y2 -y3-2y4 ≥ 1 -y1+y2 -y3 +y4 ≥-2 s.t. -y1+y2 -y3 -y4 ≥ 1 y1 -y2+y3 +y4 ≥-1 y1, y2, y3, y4 ≥0

令 u1= y1 u2=y2 -y3 u3=-y4

Min W =600y1+400y2+300y3+200y4 s.t. 3y1+2y2+ y3+ y4≥2000 4y1+ y2+3y3+2y4≥4000 2y1+2y2+3y3+4y4≥3000 y1, y2, y3, y4≥0

比较上述模型，可以得出两者之间的一些关系：
1.两个问题中，一个是极大化，另一个是极小化； 2.一个问题的变量数等于另一问题的约束条件数，反之亦然； 3.一个问题的价值向量是另一个问题的资源向量，反之亦然； 4.两个问题约束条件的系数矩阵互为转置； 5.一个问题第几个变量的约束情况决定另一问题第几个约束不 等式方向，反之亦然。

对偶
Min W =8y1+16y2+12y3 s.t. y1+4y2 ≥2 2y1 +4y3 ≥3 y1 ,y2,y3 ≥0
4
（2）非对称LP问题的对偶问题
例2：写出下列LP问题的对偶问题
Max Z = x1+2x2+x3 x1+x2-x3 ≤2 s.t. x1 -x2+x3 = 1 2x1+x2+x3 ≥2 x1≥0, x2≤0 ,x3无约束
x3 x4
b
2 16
x1
[1] 4
x2
0 0
x3
1 0
x4
0 1
x5
-1/2 0
以[1]为主元素进行 旋转运算，x1为进基 变量， x3为出基变量
16
3
x2
3 -9
0 2
1 0
0 0
0 0
1/4 -3/4
cj
2
3
0
0
0
CB 2 0 3
XB x1 x4 x2
cj
b
2 8 3 -13
x1 1 0 0 0
11
例4 考虑下面一对LP问题
Max Z = x1+2x2+3x3 +4x4 x1+2x2+2x3+3x4 ≤20 s.t. 2x1+ x2+3x3+2x4 ≤20 x1,x2,x3,x4 ≥0 其对偶问题为：
Min W = 20y1+20y2
y1+2y2 ≥ 1 2y1+ y2 ≥ 2 s.t. 2y1+3y2 ≥ 3 3y1+2y2 ≥ 4 y1,y2≥0
Min W = 20y1+20y2
( D)
y1+2y2 ≥ 1 2y1+ y2 ≥ 2 s.t. 2y1+3y2 ≥ 3 3y1+2y2 ≥ 4 y1,y2≥0
已知(D)的最优解为 Y*=(6/5,1/5)T 用互补松弛 定理求出(L)的最优解。
19
解：由于y1*> 0, y2*> 0,由互补松弛性知
3
二、对偶问题
（1）对称形式的LP问题
第一类对称形式 第二类对称形式 对偶
Max Z=CX ( L) s.t. AX≤b X≥0
Min W=bTY ( D) s.t. ATY≥CT Y≥0
例1 写出下列LP问题的对偶问题
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8 4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
Min W =600y1+400y2+300y3+200y4 s.t. 3y1+2y2+ y3+ y4≥2000 4y1+ y2+3y3+2y4≥4000 2y1+2y2+3y3+4y4≥3000 y1, y2, y3, y4≥0