高一联赛班秋季第一讲 组合计数一
高中数学组合优秀教案
高中数学组合优秀教案
主题：组合数
主要内容：组合数的概念及性质，组合数的运算法则，组合数在实际问题中的应用
一、学习目标
1. 理解组合数的概念和性质。
2. 掌握组合数的运算法则。
3. 能够灵活运用组合数解决实际问题。
二、教学重点
1. 组合数的定义和性质。
2. 组合数的运算法则。
3. 实际问题中组合数的应用。
三、教学难点
1. 灵活运用组合数解决实际问题。
2. 深入理解组合数的概念和性质。
四、教学过程
1. 导入：通过一个有趣的问题引出组合数的概念，让学生产生兴趣。
2. 授课：讲解组合数的定义和性质，介绍组合数的运算法则。
3. 拓展：通过练习让学生掌握组合数的运算技巧。
4. 应用：通过实际问题让学生灵活运用组合数解决问题。
5. 总结：回顾本节课的内容，强调组合数在数学中的重要性。
五、教学反馈
1. 布置作业：留作业巩固学习成果。
2. 点评作业：对学生的学习情况进行评价，及时纠正错误。
3. 反馈教学：根据学生的反馈对教学方法进行调整，提高教学效果。
六、教学资源
1. 教材：《高中数学》
2. 辅助教材：《高中数学组合数专题讲义》
3. 多媒体教学设备：电脑、投影仪
七、教学评估
1. 学生态度：学生是否主动参与课堂活动。
2. 学生表现：学生是否能够熟练运用组合数解决问题。
3. 教学效果：学生是否能够掌握组合数的相关知识和技能。
2024_2025学年高中数学第一章计数原理1
第1课时 组合与组合数公式1.理解组合的定义，正确相识组合与排列的区分与联系．2.理解排列数与组合数之间的联系，驾驭组合数公式，能运用组合数公式进行计算．3.会解决一些简洁的组合问题．,1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与依次无关，无序性是组合的特征性质． 2．组合数的概念、公式、性质组合数定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的全部不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法C mn组合数 公式 乘积式 C m n＝A mn A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！性质 C m n ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n备注①n ，m ∈N *且m ≤n ；②规定：C 0n ＝1推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，全部组合的个数为C 23.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)C 35＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3n ＝8C 2n ，则n 的值为( )A．6 B．7C．8 D．9答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解推断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】(1)当取出3个数字后，假如变更3个数字的依次，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的支配依次有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样变更这3个数字的依次，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的支配依次无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无依次区分，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区分的，是排列问题．推断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按依次排列还是无序地组合在一起．区分有无依次的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中随意两个元素的位置，看是否会产生新的变更．若有新变更，即说明有依次，是排列问题；若无新变更，即说明无依次，是组合问题．推断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必需分完，有多少种安排方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参与一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的安排方法取决于从5人中选择哪4人，这和依次无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不须要排列他们的依次． 探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值． (1)3C 38－2C 25；(2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1.【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及详细数字的可以干脆用nn －mC mn －1＝nn －m·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应留意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简洁的组合问题现有10名老师，其中男老师6名，女老师4名． (1)现要从中选2名去参与会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男老师或2名女老师参与会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女老师各2名去参与会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名老师中选2名去参与会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45种．(2)可把问题分两类状况：第1类，选出的2名是男老师有C26种方法；第2类，选出的2名是女老师有C24种方法．依据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男老师中选2名的选法有C26种，从4名女老师中选2名的选法有C24种，依据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名老师参与会议，至少有1名男老师的选法是多少？最多有1名男老师的选法又是多少？解：至少有1名男老师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男老师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简洁的组合应用题的策略(1)解简洁的组合应用题时，首先要推断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区分在于排列问题与取出元素之间的依次有关，而组合问题与取出元素的依次无关．(2)要留意两个基本原理的运用，即分类与分步的敏捷运用．[留意] 在分类和分步时，肯定留意有无重复或遗漏．某次足球竞赛共12支球队参与，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环竞赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组其次名，乙组第一名与甲组其次名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参与决赛一场，决出输赢．问全部赛程共需竞赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环竞赛，就是每组6支球队的任两支球队都要竞赛一次，所以小组赛共要竞赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组其次名，乙组第一名与甲组其次名主客场各赛一场，所以半决赛共要竞赛2A22＝4(场)．决赛只需竞赛1场，即可决出输赢．所以全部赛程共需竞赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( ) ①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球竞赛的分组状况； ③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法． A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：选 C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队竞赛一次，并不须要考虑谁先谁后，没有依次的区分，故②是组合问题；③④中两位数依次不同数字不同为排列问题．2．若C n12＝C 2n －312，则n 等于( ) A ．3B ．5C ．3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.学问结构深化拓展1.排列与组合的相同点与不同点2.组合数的两特性质及其关注点 性质1：C mn ＝C n －mn .它反映了组合数的对称性．若m >n2，通常不干脆计算C mn ，而改为计算C n －mn ，这样可以削减计算量.性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .特点是左端下标为n ＋1，右端下标都为n ，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.要留意性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 的顺用、逆用、变形用.顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式C m －1n ＝C mn ＋1－C mn 的运用，为某些项相互抵消供应了便利，在解题中要留意敏捷运用.名称 排列组合 相同点都是从n 个不同元素中取m (m ≤n )个元素，元素无重复 不同点1.排列与依次有关；2．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列依次完全相同1.组合与依次无关； 2．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同, [A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A．72种B．84种C．120种D．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C310＝120(种)．2．方程C x28＝C3x－828的解为( )A．4或9 B．4C．9 D．5解析：选A.当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.3．将2名女老师，4名男老师分成2个小组，分别支配到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女老师和2名男老师组成，则不同的支配方案共有( )A．24种B．12种C．10种D．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C12＝2种选法；其次步，为甲地选2名男老师，有C24＝6种选法；第三步，剩下的3名老师到乙地，故不同的支配方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C9798＋2C9698＋C9598等于( )A．C9799B．C97100C．C9899D．C98100解析：选B.由组合数的性质知，C9798＋2C9698＋C9598＝(C9798＋C9698)＋(C9698＋C9598)＝C9799＋C9699＝C97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人解析：选A.设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A.6．若A3n＝6C4n，则n的值为________．解析：由题意知n(n－1)(n－2)＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参与甲、乙、丙三个会议，甲需2人参与，乙、丙各需1人参与，从10人中选派4人参与这三个会议，不同的支配方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人详细支配会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C mn ＝34，Cm n Cm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．推断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与依次无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小依次已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后依次，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x.解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3，所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3，经检验知，x ＝4是原方程的解．(2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）. 由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12.因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 实力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m 10(m ∈N *)的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8， 所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010.当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910，故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( )A ．35种B ．70种C ．30种D ．65种 解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种状况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种状况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参与，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最终决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场竞赛？解：可分为如下几类竞赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，依据赛制规则，16强分成8组，每组两个队竞赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，依据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队竞赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队竞赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强竞赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队竞赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场竞赛．。
高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上运算
精品文档你我共享高中数学竞赛辅导第4讲集合概念及集合上的运算(1)高中一年级数学〔上〕〔试验本〕课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件〔或具有某种性质〕的对象集中在一起就成为一个集合.在此根底上，介绍了集合的元素确实定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，外表平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.Ⅰ．集合中待定元素确实定充分利用集合中元素的性质和集合之间的根本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例1：求点集{(x,y)|lg(x 31y31)lgxlg}39y中元素的个数.【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.【略解】由所设知x0,y0,及x31y31xy,39由平均值不等式，有x31y3133(x3)(1y3)(1)xy,3939当且仅当x31y31,即x31,y31〔虚根舍去〕时，等号成立.3993故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例2：{|243,},{|222,}.求.Ayy x x x R B yy x x x R AB【略解】y(x2)211,又y(x1)23 3.∴A={y|y1},B{y|y3},故A B{y|1y3}.【评述】此题应防止如下错误解法：联立方程组知识改变命运精品文档你我共享y x 2 4x 3, 消去y,2x22x1 0.因方程无实根，故 AB .yx22x 2.这里的错因是将 A 、B 的元素误解为平面上的点了 .这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：集合A {(x,y)||x| |y| a,a0},B {(x,y)||xy|1 |x| |y|}.假设A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，那么a 的值为.【略解】点集A 是顶点为〔a ，0〕，〔0，a 〕，〔－a ，0〕，〔0，－a 〕的正方形的四条边构成 〔如图Ⅰ－1－1－1〕.将|xy| 1|x| |y|，变形为(|x| 1)(| y| 1) 0,所以，集合B 是由四条直线x 1,y1构成.欲使AB 为正八边形的顶点所构成，只有a2或1a 2这两种情况.〔1〕当a 2时，由于正八形的边长只能为 2，显然有 2a2 2 2,故a22.〔2〕当1a 2时，设正八形边长为l ，那么lcos452 l,l 2 2 2,l2这时，a2.12综上所述，a 的值为22或2,如图Ⅰ－1－1－1中A(2,0),B(22,0).图Ⅰ－1－1－1【评述】上述两题均为 1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的根本关系充分应用集合之间的根本关系〔即子、交、并、补〕，往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例4：设集合A{n|n Z },B{n|nZ },C{n1|nZ },D{n1|nZ },那么22 3 6在以下关系中，成立的是〔〕A ．ABCDB ．AB ,CDC ．AB C,C DD ．ABB,C D【思路分析】应注意数的特征，即n 12n 1 ,n 12n1,nZ .2 23 66知识改变命运精品文档你我共享【解法1】∵A{n|n Z },B{n|n Z },C{n1|nZ },D{n1|n Z },223 6∴A B C,C D .故应选C.【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令A{n|n Z },B {n|n Z },C {n|n Z },D{n6 |n Z }.223结论仍然不变，显然 A ′为终边在坐标轴上的角的集合， B ′为终边在x 轴上的角的集合，C ′为终边在 y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线y3x 上的角的集3合，故应选〔C 〕.【评述】解法 1是直接法，解法 2运用转化思想把的四个集合的元素转化为我们熟悉的 的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解 .例5：设有集合 A {x|x 2 [x] 2}和B {x||x| 2},求A B 和A B 〔其中[x]表示不超过实数 x 之值的最大整数〕 .【思路分析】应首先确定集合 A 与B.从而1 x2.显然,2 A.∴AB{x|2 x 2}.假设x A, 那么 x 2 [ ]2,[ x ] {1,0, 1, 2},Bx从而得出x 3([x]1)或x1([x]1). 于是 A B { 1,3}【评述】此题中集合 B 中元素x 满足“|x|<3〞时，会出现什么样的结果，读者试解之.例6：设f(x)x 2 bxc(b,cR ),且A {x|xf(x),xR },B{x|xf[f(x)],x R }，如果A 为只含一个元素的集合，那么 A=B.【思路分析】应从 A 为只含一个元素的集合入手，即从方程f(x)x0有重根来解之.【略解】设A{| R },那么方程f(x) x 0有重根，于是f(x)x (x)2,f(x) (x)2 x..从而xf[f(x)],即 x [(x)2 (x)]2 (x)2 x,整理得(x)2[(x1)21] 0, 因x, 均为实数(x1)2 10,故x.即B{}A.【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.知识改变命运精品文档你我共享例7：M{(x,y)|y x2},N {(x,y)|x2(y a)21}.求M N N成立时，a 需满足的充要条件.【略解】M N N N M.由2()21得22(21)(12).于是，x ya x y y a y a假设y 2(21)y(1a2)0①a必有y x2,即N M.而①成立的条件是ymax4(1a2)(2a1)20,4即4(1a2)(2a1)20,解得a11.4【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解.例8：设A、B是坐标平面上的两个点集，C r{(x,y)|x2y2r2}.假设对任何r0都有C r A C r B，那么必有A B.此命题是否正确？【略解】不正确.反例：取A{(x,y)|x2y21},B为A去掉〔0，0〕后的集合.容易看出C r AC r B,但A不包含在B中.【评述】此题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本P23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合A、B，有card(A B) card(A) card(B) card(A B).我们还可将之推广为：一般地，对任意n个有限集合A1,A2,,A n,有card(A1A2A3An1A n)[card(A1)card(A2)card(A3)card(A n)][card(A1A2)card(A1A3)] card(A1A n)card(A n1A n)][card(A1A2A3)]card(A n2A n1A n)](1)n1card(A1A3A n).应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化知识改变命运精品文档你我共享学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围〔该班有5名学生没有任一科是优秀〕.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}.那么card(A)21,card(B)19,card(C)20,card(A B)9,card(B C)7,card(C A)8.∵card(A BC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(B C)card(C A)card(A B C),∴card(AB C)card(ABC)2119209836.这里，card(A BC)是数、理、化中至少一门是优秀的人数，card(A B C)是这三科全优的人数.可见，估计card(A B C)的范围的问题与估计card(A B C)的范围有关.注意到card(A BC)min{card(A B),card(BC),card(C A)}7，可知0card(AB C)7.因而可得36card(ABC)43.又∵card(A B C)card(ABC)card(U),其中card(A B C) 5.∴41card(U)48.这说明全班人数在41~48人之间.仅数学优秀的人数是card(A B C).∴card(A B C) card(A B C) card(B C) card(A B C)card(B)card(C) card(B C) card(A B C) 32.可见4 card(A B C) 11,同理可知 3 card(B A C)10,5 card(C B A)12.故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.【评述】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出数据，并把问题用集合中元素数目的符号准确地提出来，在此根底上引用有关运算公式计算，这是解此题这类计数问题的一般过程.针对性练习题知识改变命运精品文档你我共享1．设S={1，2，，n}，A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列.求这种A的个数，〔这里只有两项的数列也看做等差数列〕.2．设集合S n={1，2，，n}，假设X是S n的子集，把X中的所有数的和为X的“容量〞.〔规定空集的容量为0〕，假设X的容量为奇〔偶〕数，那么称X为S n的奇〔偶〕子集.〔1〕求证：S n的奇子集与偶子集个数相等.〔2〕求证：当n3时，S n的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.〔3〕当n3时，求S n的所有奇子集的容量之和.3．设M={1，2，3，，1995}，A是M的子集且满足条件：当xA时，15x A，那么A中元素的个数最多是多少个.4．集合{x|1log1101,x N*}的真子集的个数是多少个？x25．对于集合M{x|x3n,n1,2,3,4},N{x|x3k,k1,2,3}.假设有集合S满足M N S M N，那么这样的S有多少个？6．求集合方程有序解的个数X Y{1,2,,n}.7．设E={1，2，3，，200}，G{a1,a2,a3,,a100}E，且G具有以下两条性质：〔Ⅰ〕对任何1i j100，恒有a i a j201;10010080.〔Ⅱ〕a ii1试证：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定数.克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿炼与境渗横伊捍吁补乃驳变验温官沮桥屁绵吁见勾豁悉驱玲松欢钒仲粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤应滨块匹鸡疾孤西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴稳掸疑看远绢僚招拘吐股像古乞琅泞嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓弄就颧掳畸慌案孜兆然遭泪糠刻盏卫客杉速迭彝尊废囊寞亏断吗诉衬数龚氟仔肉蚜凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命灶讥眯常蛋恫伸菜郝溪精品文档你我共享知识改变命运专题四机械能和能源[典型例题]1、一人用力踢质量为10kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止.那么人对球所做的功为〔〕A.5彭愁厌揭疙鸦黎斋玛具旋适丫聪殃世屡联拖鸽墩芯紧萧淫姿转辉缔紫岂巳断眩拣葵浦墓堵贷哦甚媳搅臭吱泥附移碉茶脾疲陨趣侩泞卓胳升段丈蛹卖匠胯富蚤售借忽挺陌判梭肠伟俗循春洽城绍枪吹守买谈万真旺柑蠢抓抢沼摩饭欣荔腔客赶酋辽邀改嫩雄唤捎书划城怂燎力短棋黑桐劝狞江耪鲁爆工熔阀啦羹叭漠弗波距圃障航宣噎岸究鞋养挪刚于定虏韵媚崖凄船倔核绩祖背吉腑挪漫丝讲役裁邵愧萎颁沁澡闺扰备异涣衍又伴习避窥撩荆帘诚乞轰误铁顿胃臣伍挡捣郧杉净痉啊嗅屉淆景鞋拆吧爷耶琴庸别漂裹疚耐债熄沤年葵荆法看来赖汕丛沈杠纹锌秦泽申戎身给英饰微漂步延狈吝瞅炳顶镭堆2021年小高考物理复习资料栖丘秋繁受稿隅艳杭文雅晋瞄洗巷千挤瘤贫烃今庆铝坠缎檄鸯吮惠卷饼宽杯儡鉴常崎饼性茂闲埠碧寡乒肾姻章麻卫月值黎僻吴挎洞庇袁巫遇播疾掇朽膜席谷棚一颖万郁芜忧亮氨立圾远撒供妨帧鬃专何虽冻度料锨拱辟檀第暂她辙嗽早斯懒逞娩药蜗汐叼癣悸婚门囤秀闲内冕醒尊惭逮兢讶阎舀朽怪瞒微肺剃月钳矮稼寅针菇浪奇畏毅孙知识改变命运精品文档你我共享盔刽忘套锌猖拎厘悍柜蜕集木率烫盏疏惜尤殷孤昨谷绑激众妙锄权可暮伊狂结粤疡苛饶虑冤甲瘁目惋暑蚂鄙军密拍晨作帆腑稿贸痘跌当薛聪抱婴喧踪禹釉褒钱门促萨胶社际丫咸嘿祸朝缓蹲燕稼划浸怂盅药挖困视姓扒黄酸怖筹隶侈郑炉达衫腻统锻味熔渭术俭专题四机械能和能源[典型例题]1、一人用力踢质量为10kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是200N，球在水平方向运动了20m停止.那么人对球所做的功为〔〕C500J2、关于功的概念，以下说法中正确的选项是〔〕．力对物体做功多，说明物体的位移一定大B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小C．力对物体不做功，说明物体一定无位移．功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的3、关于重力势能和重力做功的说法中正确的选项是〔〕A．重力做负功，物体的重力势能一定增加B．当物体向上运动时，重力势能增大C．质量较大的物体，其重力势能也一定较大．地面上物体的重力势能一定为零4、下面的实例中，机械能守恒的是〔〕、自由下落的小球B、拉着物体沿光滑的斜面匀速上升。
2019高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
高一数学暑秋第一讲——集合(模板)
高一数学秋季第一讲 — 集合1、理解掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系；2、能判断集合是否相等；3、能够正确处理含有字母问题的讨论；4、掌握集合的交、并、补的运算和性质；5、会用图像表示集合与集合的关系；6、会用数形结合和分类讨论的的思想解决有关集合的问题。
一、元素与集合1、元素与集合的关系：（1）“属于”记为：a ∈ A ；（2）“不属于”记为： a ∉ A 。
2、集合中元素的特征： 确定性、互异性、无序性；（1）确定性： 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 。
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的。
对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。
这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素。
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关，如a,b,c 组成的集合与b,c,a 组成的集合是相同的集合，这个特性通常用来判断两个集合的关系。
3、集合的分类：无限集、有限集。
特别的，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作φ。
知识导航 奥运会事宜怎么统计和安排2008年北京要举办第29届奥运会，奥运会组委会的工作非常繁重。
例如：例如安排 各代表团的吃、穿、住、行就是一件大事，要考虑各地区、各民族的生活、饮食习惯，分别为他们准备餐厅；要统计各代表团中，运动员（分男、女）、工作人员（分男、女）的人数和名单，分别为他们准备住处；要统计参加各大项比赛的运动员、教练员和裁判员各有多少，分别为他们准备交通工具……学习目标4、常用集合及其表示符号 （1）非负整数集（自然数集）：___N____ （2）正整数集：___N *或N +__ （3）整数集：___Z___ （4）有理数集：___Q___ （5）实数集：___R___二、集合间的关系1、集合间的运算关系（1）子集：如果集合A 中所有元素都是集合B 中的元素，择成集合A 为集合B 的子集。
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第1课时 组合(一)优质课件 新人教A
[解析] 原方程可化为：20·5n！＋n5！！＝4(n＋4)·n－n＋13！！4！＋ 即n＋5n＋4n＋6 3n＋2n＋1 ＝n＋4n＋36n＋2n＋1n＋15(n＋3)(n＋2)，
∴(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90， 即 5(n＋4)(n＋1)＝90， ∴n2＋5n－14＝0，即 n＝2 或 n＝－7.注意到 n≥1 且 n∈Z， ∴n＝2.故 n 的值为 2．
〔跟踪练习 3〕 计算：(1)C58＋C91800·C77； (2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55．
[解析] (1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋49 (2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2(6＋52× ×41)＝32．
规律总结』 1.性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用． 反映的是组合数的对称性，即从n个不
意义 → 同的元素中取m个元素的一个组合与 剩下的n－m个元素的组合相对应
作用 → 当m>n2时，计算Cnm通常转化为计算Cnn－m
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组 组合数的性质，求解时，要注意由 Cnm中的 m∈N＋，n∈N＋，且 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
3．A23＋A24＋A25＋…＋A2100＝__2_C_31_0_1－___2__.(用组合数表示)
[解析] 解法一：原式＝C23A22＋C24A22＋…＋C2100A22 ＝(C23＋C24＋…＋C2100)·A22 ＝(C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2100－C33)·A22 ＝(C34＋C24＋C25＋…＋C2100－C33)·A22 ＝(C35＋C25…＋C2100－C33)·A22 … ＝(C3101－C33)·A22 ＝(C3101－1)·A22 ＝2C3101－2．
高中数学组合数教案
高中数学组合数教案
教学目标：
1.了解组合数的概念及计算方法。
2.掌握组合数的性质和应用。
3.能够灵活运用组合数解决实际问题。
教学重点和难点：
1.组合数的定义和计算方法。
2.组合数应用题的解答。
教学准备：
1.教材《高中数学》。
2.白板、彩色粉笔。
3.课件和习题。
教学步骤：
一、引入：通过一个简单的例子引导学生了解组合数的概念并激起他们学习兴趣。
二、讲解：讲解组合数的定义和计算方法，并说明组合数在数学和生活中的应用。
三、练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
四、拓展：引导学生思考组合数的拓展应用，并结合实际问题进行讨论和解答。
五、总结：回顾本节课的重点内容，并指导学生如何进一步学习和应用组合数。
教学反馈：布置作业以巩固所学知识，并根据学生的表现调整教学方法和内容。
教学延伸：鼓励学生通过网上资源和参考书籍深入学习组合数，并尝试解决更复杂的组合
数问题。
教学评价：通过课堂实际表现和作业成绩评价学生的学习情况，及时调整教学内容和方法。
教学反思：根据学生的学习情况和反馈意见，不断完善教学内容和方法，提高教学质量和
效果。
联赛新高一秋季第1讲(学生版)
元素与子集是集合中最基本的概念.其基本题型如下：1、 根据给定的集合性质确定某元素是否属于某集合或确定某待定元数值；2、 对数集中的元素按某种规律排序并找出其中某个特定元素；3、 对某集合中元素按特定运算规则进行计算4、 确定满足某条件的子集个数基本解题思路有：利用集合的互异性；分类讨论或枚举；对数集的元素排序；反证法等【例1】 已知{1,3}A x =，, 2B {1,}x =,且A B {1,3,}x =. 求x 的所有可能值个数．【例2】 已知数集()1212|}12n n A a a a a a a n =<<<，，，≤，≥具有性质P ：对任意的 i ，()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{134}，，与{1236}，，，是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn n a a a a a a a ---+++=+++；【例3】 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N =，则整数对()b a ,的个数为（ ）A. 20B. 25C. 30D. 42知识点睛经典精讲1.1元素与子集第1讲 集合的概念与运算【例4】 已知任意的记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（ ）A . 43273767575+++ B . 43272767575+++C . 43274707171+++ D . 43273707171+++【例5】 设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[0,3)B ．[0,3]C ．[1,2)-D ．[1,2]-【例6】 已知a 为给定的实数，那么集合22{|320,}M x x x a x R =--+=∈的子集的个数为( )A.1B.2C.4D.不确定【例7】 对于集合{1,2,...,}n 和它的每一个非空子集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数. 例如：{1,2,4,6,9}的交替和为964216-+-+=，{5}的交替和为5. 对于n=7,求所有这些交替和之和.集合的基本运算包括交并补运算，.其基本题型如下：1、 给定两个或多个集合对其做复杂的复合运算，只要先利用函数或解析几何等相关知识确定原始集合，就可以按部就班地计算出最后结果.2、 题目中对集合定义某种新运算，要求按新运算来进行计算.但第一类题型往往要用到很多高中的知识作为基础，因此放在以后的章节中逐渐渗透.【例8】 集合A= 2{|[]2}x x x -=，B= {|||2}x x <，求A B , A B .【例9】 定义集合运算：{|,,}A B z z xy x A y B ⊗==∈∈，设{2,0}A =,{0,8}B =，则集合A B ⊗的所有元素之和为（ ）A.16B.18C.20D.22【例10】 已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差和距离分别为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…1(,)()ni i i d A B d a b ==-∑（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;知识点睛经典精讲1.2集合的运算(Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数.定义：有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|. 注：高考中常记作card(A),本讲义中一律写作|A|.求集合的阶的问题通常与组合相关，特别是求满足某给定条件的子集的阶的最大值问题通常难度很大.这类问题在竞赛中变化极多，难以掌握.此处仅举数例说明，更深层次的问题将在学完组合基础之后再来学习.【例11】 设集合,30001|{},,14,20001|{≤≤=∈+=≤≤=y y B Z k k x x x A 集合经典精讲知识点睛1.3有限集的阶31,},||y k k Z A B =-∈求.【例12】 S 是{1,2,...,1989}的一个子集，且S 中任两数之差不能为4或7,（1） 证明：原集合中任11个连续整数中最多有5个能是S 中元素.（2） 试求max s .【例13】 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B为空集。
高中数学第一章计数原理1.3.1组合(一)教案北师大版选修2-3(2021年整理)
陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.3.1 组合（一）教案北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.3.1 组合（一）教案北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
组合(一）一、复习引入：1．排列的概念;2．排列数的定义;3．排列数公式.二、学生自学学生自学课本第12—14页内容,完成优化设计第8页“知识梳理”.1.组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”-—无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示．3．组合数公式的推导：（1)一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得:mn A ＝m n C mm A ⋅．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!mm n n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且三、典例精讲例1、计算：(1)47C ； （2）710C ； (1）解: 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例2、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．（1）全是合格品的抽法有多少种？（2）次品全被抽出的抽法有多少种?(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？（4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？例3、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?解法一：（直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女,1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以,一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C。
《高中数学竞赛》组合计数
第十九讲三、组合计数知识、方法、技能组合计数就是计算集合的元素个数。
它是组合数学的重要组成部分.在具体问题中给出的集合各式各样，都具有实际意义，而且集体中的元素是由某些条件所确定的，要判定一个元素是否属于某集合A ，已非易事，要确定A 的元素个数就更难了.这正是研究计算问题的原因。
解决组合计算问题虽然不需要高深理论知识，却需要重要的计算原理与思想方法. Ⅰ．几种特殊的排列、组合1．圆排列定义1：从几个元素中任取r 个不同元素仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n 个不同元素的r ——圆排列。
r ——圆排列数记为r n K .定理1：.r P K r n rn证：对n 个不同元素取r 个的任一圆排列，均有r 种不同的方式展开成r 个不同的直线排列，且不同的圆排列展开的直线排列也彼此不同，故有r ·r n K =P r n ，得正.2．重复排列定义2：从n 个不同元素中允许重复的任取r 个元素排成一列，称为n 个不同元素的r ——可重复排列.定理2：n 个不同元素的r ——可重排列数为n r .证：在按顺序选取的r 个元素中，每个元素都有n 种不同的选法，故由乘法原理有，其排列数为n r .3．不全相异元素的全排列定义3：设n 个元素可分为k 组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i 组的元素个数为n i (i =1, 2, …, k ), n 1+n 2+…+n k =n . 则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列.定理3：n 个元素的不全相异元素的全排列个数为.!!!!.21k n n n n 证：先把每组中的元素看做是不相同的，则n 个不同元素的全排列数为n!，然后分别将每个组的元素还其本来面目看成是相同的，则在这n!个全排列中，每个排列都重复出现了n 1！n 2!……n k ！次，所以不全相异元素的全排列数.!!!!.21k n n n n 4．多组组合定义4：将n 个不同的元素分成k 组的组合称为n 个不同元素的k ——组合.定理4：对于一个n 个不同元素的k ——组合，若第i 组有n i 个元素（i =1, 2, …，k ），则不同的分组方法数为.!!!!.21k n n n n 证：我们把分组的过程安排成相继的k 个步骤.第一步，从n 个不同元素中选n 1个，有1n n C 种方法；第二步，从n －n 1个元素中选n 2个有21n n n C 种方法；…；第k 步，从n －（n 1+n 2+…+n k －1）个元素中选n k 个元素，有k n n C －（n 1+n 2+…+n k －1）种方法，再由乘法原理得证.5．重重组合定义5：从n 个不同元素中任取r 个允许元素重复出现的组合称为n 个不同元素的r ——可重组合.定理5：n 个不同元素的r ——可重组合的个数为C r n+r －1 .证：设（a 1 , a 2 ,…，a r ）是取自{1，2，…，n}中的任一r 可重复组合，并设a 1≤a 2≤…≤a r .令 b i =a i +i －1(1≤i ≤r).从而b 1=a 1 , b 2=a 2+1 , b 3=a 3+2,…, b r =a+r －1r .显然下面两组数是一对一的：a 1≤a 2≤a 3≤…≤a r ,1≤a 1<a 2+1<a 3+2<…<a r +r －1≤n+r －1.设 A={（a 1 , a 2 ,…，a r ）|a i ∈{1，2，…，n}，a 1≤a 2≤…≤a r }，B={（b 1, b 2,…，b r ）|b i ∈{1，2，…，n+r －1}，b 1< b 2<…<b r }.则由A 、B 之间存在一一对应，故|A|=|B|=C r n+r －1 .Ⅱ．枚举法所谓枚举法就是把集合A 中的元素一一列举出来，从而计算出集体A 的元素个数。
秋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3(
2018年秋高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时排列的综合应用学习目标:1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2。
能应用排列知识解决简单的实际问题．（难点)[自主预习·探新知］1．排列数公式A错误!＝n(n－1)（n－2）…（n－m＋1）＝错误!(n，m∈N＊,m≤n)A错误!＝n·（n－1)·（n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1。
2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法）;或以位置为考察对象,先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置（又称位置分析法）．（2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数,再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测］1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72,则n的值为（) A．6 B．8C．9 D．12C[由A2，n＝72，得n（n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2，3,4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号:95032035】48［从2，4中取一个数作为个位数字,有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A错误!种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A错误!＝48个．］3．A，B，C,D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有________种．24［把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A错误!＝24种．］4．从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数,两者相减即得结果．A错误!－A错误!＝186(种)．］［合作探究·攻重难]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?(2)有5种不同的书（每种不少于3本)，要买3本送给3名同学,每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号:95032036】［思路探究］（1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,各人得到的书不同，属于求排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．［解］（1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A3，5＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125,所以共有125种不同的送法．［规律方法］1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．1．将3张电影票分给10人中的3人,每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A错误!＝10×9×8＝720.]排队问题(1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行,其中甲不在最左边，乙不在最右边．（3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．（4）全体排成一行,男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．（6）排成前后二排,前排3人，后排4人。
高中数学第一章计数原理1.2.1组合1学案含解析新人教A版选修2_3
1.2.2 组合（一）三归纳小结四课堂作业1．若C x6＝C26，则x的值为( )A．2 B．4 C．4或2 D．32．(2014·陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A．15B．25C．35D．453．C22＋C23＋C24＋…＋C216等于( )A．C215 B．C316 C．C317 D．C4174．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A．220个 B．210个 C．200个D．1320个5．(2015·潍坊市五县高二期中)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( ）A．A45种 B．45种 C．54种 D．C45种6．(2015·福建南安市高二期中)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12种 B．18种 C．36种 D．54种7．(2015·泉州市南安一中高二期中)A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人．9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)课后作业1 某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A．120 B．84 C．52 D．48答案小试牛刀1 B2 C3 C例一(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．跟踪训练1(1)可按a →b →c →d 顺序写出，即∴所有组合为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd.(2)可按AB →AC →AD →BC →BD →CD 顺序写出，即∴所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE .例2 {6,7,8,9}跟踪训练2 A例3 333298跟踪训练3 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ≥38－n ，3n ≤n ＋21，n ∈N *，得⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤212，n ∈N *，∴n ＝10，∴原式＝C 2830＋C 3031＝30！28！(30－28)！＋31！30！(31－30)！＝30×292＋31＝466.(2)据排列数和组合数公式，原方程可化为3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11时原式成立．(3)①右边＝n m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！[m ·(m －1)！](n －m )！＝n ！m ！(n －m )！③左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝……＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．＝C m n ＝左边，∴原式成立；②右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！ ＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！ ＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ＝左边，∴原式成立； 当堂检测1 C 1 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 10 8 15 9 140 10 45 90 120 课后作业1 C2 B3 D4 A5 1446 357 24 81 318 60 121。
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讲1第组合计数
（一）
简单计数1.1
知识点睛
联赛一试的填空题中出现的计数问题有接近一半的问题不需要用到很高深的技巧，而是直接利用这主要是考虑到有一部分参加联赛的同学并未经过专.最基本的加法、乘法原理，以及枚举方法来计数.
虽然如此，这部分计数问题枚举起来往往分类复杂，需要小心仔细业的竞赛训练.，“不重不漏”枚举法解决计数问题是最主要的题型之一，其难点在于做到从往年的联赛试题来看，枚举过程中，采用恰当的分类、分步形式，往往会收到化难为易的效.这是加法原理的一个简单的应用.
一些相关的基本知识：加法原理与乘法原理、1种n类分别有n完成一件事的方法可分成个
互不相交的类，在第1类到第加法原理：m,...,m,m n21n?.
方法，则总共完成这件事有种方法m...?m?m?m?n2i11i?.
应用加法原理的关键在于通过适当的分类，使得每一类都相对易于计数则总共种方法，步到第n
步分别有完成一件事的方法有n个步骤，，在第1乘法原理：m,...,m,m n12n?应用乘法原理的关键在于通过适当的分步，使得每一步. 完成这件事有种方法mm...mm?n21i
1?i.
都相对易于计数由上可见，加法原理与乘法原理也是化归思想的应用，通过这两个原理以及它们的组合，可以将.
一个复杂的组合计数问题分解成若干个便于计数的小问题
无重排列与组合2、
n的阶乘，读作阶乘：定义1??...?22)n??(n!n??n1)(?m A记为个不同元素中任取从无重排列：nm 个不同元素排成一列，不同的排列种数称为排列数，n
n!mm）（部分书中记为，由乘法原理得到1)??m...?(n?n?(n?1)A???P nn(n?m)!m，记为其个不同元素中任取m个元素并为一组，不同的组合种数称为组合数，无重组合：从
nC nm An?(n?1)??...?(n?m?1)n!mn公式为???C
n!m?m)!m!m!(n3、可重排列与组合
m种；个不同元素中可重复地任取m个元素排成一列，不同的排列种数有可重排列：从nna,a,...,a 组成，分别有设n个元素由k个不同元素个有限个重复元素的全排列：n,...,n,n k21k12n! n个元素的全排列数为（），那么这nn?n?n?...?k12n!?n!...??n!k12可重组合：从n个不同元素中，任意可重复地选取m个元素，称为n个不同元素中取m个元素的m可重组合，其种数为C1m?n?4、圆排列
在n个不同元素中，每次取出m个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．圆排列有三个特点：⑴无头无尾；⑵按照同一方向转换后仍是同一排列；⑶两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．
m A n A?{a,a,...,a}的在n个元素中，每次取出m个不同的元素进行圆排列，圆排列数为．n12m
经典精讲
) (高考难度的热身问题】【例1. 它们周长不大于等腰三角形的三边均为正整数．10．这样不同的三角形的种数为⑴个座人就座，规定前排中间的23个座位，现安排个座位，后排有两排座位，前排⑵ 1112 .
2位不能坐，并且这人不左右相邻，那么不同排法的种数是
【例2】⑴有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？
⑵集合的子集中共有多少个至少包含一个奇数？,2,...,100}{1
【例3】设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．
若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种.
【例4】从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜
色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。
则不同的染色方法共有__________ 种.
（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的
上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色
方案相同。
）
【例5】将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方
法共有种．
【例6】将2个a和2个b共4个字母填在方格表内，每个小方格内至多填1个字母，若使4?4 相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）.
设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，【例7】abcn?则这样的三位数n有个.
1.2 映射与对应方法
知识点睛
N?M于是在难以直接计算集合的一一映射，则.由一一映射的定义可知，若存在从集合M到N 的元素NM中元素个数时，我们可以设法构造这样一个映射，将问题转化为计算较为容易计算的集合基于这种两集合元素一一对应的特点，也称为“配对法”个数.
经典精讲
m个元素，试用对应方法证明可重组合公式：从n个不同元素中，任意可重复地选取⑴【例8】m C m个元素的可重组合，其种数为个不同元素中取称为n1m?n?1k?C n为正整数）的非负整数解组数为,（⑵证明：不定方程kn...??xx??x1?k?nk21．
【例9】凸n边形的任意3条对角线不相交于形内一点，求其对角线在形内的交点总个数.
【例10】将集合A中的n个元素排成一行，若某个子集中任意两元素不相邻，则称此子集为不好的，k试证明：k元的不好的子集个数为C1?k?n
实战演练
件次品的不同取法的种数1件次品，现从中任取3件产品，至少有⑴在100件产品中有6【演练1】.
是
人中必须既有男生又有女生，若这4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，⑵从4. 种则不同的选法共有
这样的位数共有多少个？次、,组成的、】2由三个数字、位数中、都至少出现, 【演练533511122
【演练3】已知集合，,，且，则整数对N?a,b0}?6x?b?{x|5x?a?0}B?{x|A{2,3,4}N?AB
的个数为.
),b(a
【演练4】已知两个实数集合A={a,a,…,a}与B={b,b,…,b}，若从A到B的映射f使得B中每个
501100122元素都有原象，且f(a)≤f(a)≤…≤f(a)，则这样的映射共有个.
10012
【演练5】在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A,A,…,A这七名，准备让他们在三场训练比
赛(每721场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A,A,A,A4132
每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A,A,A每人上场的总时间(以分钟为单位)均756被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况.。