高中数学第一讲1不等式的基本性质课件新人教A版选修4-5

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结
为判断它们的 差与0的大小 ．
பைடு நூலகம்
实数大小的比较
[例1] 已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，试
比较m和n的大小．
[思路点拨]
两式作差
变形 ――――→
转化为因式 乘积形式
――与―0比―较―→
判断正负，得出大小
比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤 是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是 关键，常用的方法是分解因式、配方等．
利用不等式的性质求范围 [例3] (1)已知－π2≤α≤β≤π2，求α－β的取值范围． (2)已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围． [思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． [解] (1)∵－π2≤α≤β≤π2， ∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β. ∴－π≤α－β≤π且α－β≤0. ∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为[－π，0]．
∴mm＋ －nn＝ ＝2－，1 ⇒mn＝＝3212.， 又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，
∴12－≤312≤α32＋αβ－≤β2≤，－32
⇒－52≤2α－β≤12.
∴2α－β的取值范围为－52，12.
一
不_等_式
1．不等式的基本性质
1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置 关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 大 ．
(2)如果 a－b＞0，则a＞b；如果 a－b＝0，则 a＝b ；如果 a－b ＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差与0的大小；
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟 不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得 到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的 性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
3．已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y. 证明：左边－右边＝(y－y2)x2＋(y2－1)x－y＋1 ＝(1－y)[yx2－(1＋y)x＋1] ＝(1－y)(xy－1)(x－1)． 因为x≥1，y≥1，所以1－y≤0，xy－1≥0，x－1≥0. 所以x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.
不等式的证明 [例2] 已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：a－e c>b－e d. [思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．
[证明] 法一：a－e c－b－e d＝eab－－cd－ba－＋dc＝eab－－ca＋bc－－dd， ∵a>b>0，c<d<0，∴b－a<0，c－d<0. ∴b－a＋c－d<0.
1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2) ＝(a－b)2a＋b22＋34b2≥0. 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a4＋b4≥a3b＋ab3.
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方 面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答 此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个 变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化 为同向不等式后作和．
5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值
范围． 解：设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，