直线平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质1．(2019·厦门期末)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D 选项A中，m与α的关系是m∥α或m⊂α，故A不正确；选项B中，n 与α之间的关系是n⊥α或n与α相交但不垂直或n∥α，故B不正确；选项C中，α与β的关系是α∥β或α与β相交，故C不正确；选项D中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.2．(2019·广西五市联考)若α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β解析：选D 对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．故选D.3．(2019·南昌调研)如图，四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：选B 对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P­ABCD中，△PAB 与△PBC是正三角形，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD ⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.4．(2019·唐山一模)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n解析：选B 由m⊥l1，m⊥l2及已知条件可得m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有m⊥l1，m⊥l2，故“m⊥l1，m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.5．(2018·泉州二模)在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMN Q G垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意．故选D.6．(2019·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部解析：选B 如图，连接AC1.∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选B.7．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：12 8．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABCF .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图①所示，过点K 作KM ⊥AF 于点M ，连接DM ，易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比，可知折前的图形中D ，M ，K 三点共线且DK ⊥AF (如图②所示)，于是△DAK ∽△FDA ，所以AK AD ＝AD DF ，即t 1＝1DF ，所以t ＝1DF ，又DF ∈(1,2)，故t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 9．(2019·唐山五校摸底)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若PC ＝2，求三棱锥C ­PAB 的高．解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC .因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC .又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2＝1. 由(1)知，AC 为三棱锥A ­PBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2，于是S △PAB ＝12×22sin 60°＝ 3. 设三棱锥C ­PAB 的高为h ，则13S △PAB ·h ＝13S △PBC ·AC ，13×3h ＝13×1×2， 解得h ＝63，故三棱锥C ­PAB 的高等于63. 10．(2019·南京模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB .(1)求证：CD ⊥AP ；(2)若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB .证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP .又AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD .因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP .(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD .又AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .②由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB .11．(2019·长郡中学选拔考试)如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上．(1)若AN NC＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值；(2)在(1)的条件下，求三棱锥B ­DMN 的体积．解：(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD ＝60°，所以DO ⊥BC ，因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，又DN ⊥AC ，且DN ∩DO ＝D ，所以AC ⊥平面DON ，因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ，由O 为BC 的中点，AB ＝BC ，可得NC ＝14AC ，所以AN NC＝3，即λ＝3. (2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ，由AB ＝2，ANNC＝3，可得点N到平面BCDE 的距离h ＝14AB ＝12，由∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ，且DM ＝DE 2－EM 2＝22－12＝3，所以△BDM 的面积S ＝12×DM ×BM ＝32，所以三棱锥B ­DMN 的体积V B ­DMN ＝V N ­BDM ＝13Sh ＝13×32×12＝312.。