推荐高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构第2课时圆柱圆锥圆台球的结构特征简单组合体的结构特征优
高中数学 第一章 空间几何体 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征教案数学教案
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征教学目标1.掌握柱、锥、台、球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想.教学重、难点教学重点：柱、锥、台、球的结构特征.教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征.教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评价.引出课题：柱、锥、台、球的结构特征.二、讲授新课：提出问题1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？图12.你能给出多面体和旋转体的定义吗？活动：让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的学生，教师予以提示.1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类.2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体.讨论结果：1.通过观察，可以发现，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同样的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面体；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体称为旋转体.2.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.按围成多面体的面数分为：四面体、五面体、六面体、……，一个多面体最少有4个面，四面体是三棱锥.棱柱、棱锥、棱台均是多面体.旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体.提出问题1.与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？2.请给出棱柱的定义？3.与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特征？应用示例例1 下列几何体是棱柱的有（）图2A.5个B.4个C.3个D.2个活动：判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意.棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.答案：D点评：本题主要考查棱柱的结构特征.本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述. 变式训练1.下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.。
最新人教版高中数学必修二第一章空间几何体第一节第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.圆柱的结构特征(1)在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？提示：圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．(2)在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？提示：圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面圆的直径与圆柱的母线．2．圆锥的结构特征在圆锥中，过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？提示：圆锥的轴截面是等腰三角形，轴截面中含有圆锥的底面圆的直径与圆锥的母线．3．圆台的结构特征经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？提示：因为圆台的任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过任意两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．4．球的结构特征球体与球面的区别和联系是什么？提示：区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体，包括球面及其所围成的空间部分5．简单组合体定义由简单几何体组合而成的几何体构成的基本形式由简单几何体拼接而成由简单几何体截去或挖去一部分而成1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线．( ×)提示：圆柱的母线与轴是平行的．(2)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点. ( √)提示：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由此可知此说法正确．(3) 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( ×)提示：用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台．(4) 用任意一个平面去截球，得到的是一个圆面．( √)提示：因为球是一个几何体，包括表面及其内部，所以用一个平面去截球，得到的是一个圆面．2．如图所示的图形中有( )A.圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球【解析】选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台．3．(教材习题改编)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的母线长为________．【解析】如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC ＝34AB2，所以 3 ＝34AB2，所以AB＝2.答案：2类型一圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(直观想象)1.下列说法中错误的是( )A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．经过圆锥任意两条侧面的母线的截面是等腰三角形D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径2．下列说法中正确的是( )①用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球面上任意三点可能在一条直线上；③球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．A．①B．①②C．①③D．②③3．下列几种说法：①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧面的母线；③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．【解析】1.选A.A错误．如图(1)所示旋转轴是直角三角形的斜边所在直线时，得到的旋转体不是圆锥；B正确．由圆锥的定义可知此说法正确；C正确．如图(2)，由圆锥侧面的母线相等可知，所得截面是等腰三角形；D正确．圆锥侧面的母线和底面圆的直径构成等腰三角形，当圆锥侧面母线和底面的直径所成的夹角大于60°时，圆锥侧面的母线长大于圆锥底面圆的直径．2．选C.由球的结构特征可知①③正确．3．由圆锥的定义及母线的性质知①②正确，圆柱的轴截面过上下底的直径，所以是过母线的截面中最大的一个．④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②③1．判断旋转体形状的步骤(1)明确旋转轴l.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系．(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状．2．与简单旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面．(2) 圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．【补偿训练】下列说法正确的是________．(填序号)①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③到定点的距离等于定长的点的集合是球．【解析】①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．②正确．③错，应为球面．答案：②类型二简单组合体的结构特征(直观想象)【典例】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？【思路导引】依据简单旋转体的结构特征从上到下逐一分析．【解析】旋转后的图形如图所示．其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图(2)是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．由旋转体组成的简单几何体的确定(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_______．【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．类型三旋转体中的计算问题(直观想象、数学运算)角度1 有关圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题【典例】(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 2 C．4 D．4 2【解析】选B.设母线长为l，则底面周长为2 2 π，其侧面展开图半周长为πl，故πl＝2 2 π，所以l＝2 2 .角度2 旋转体表面的两点间的距离最大(小)值【典例】如图，圆台侧面的母线AB的长为20 cm，上、下底面的半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．【思路导引】转化为在圆台的侧面展开图中，求两个点距离最小值的问题．【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由Rt△OPA与Rt△OQB相似，得OAOA＋AB＝PAQB，即OAOA＋20＝510，解得OA ＝20，所以OB ＝40.设∠BOB ′＝α，由弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等， 得2×10×π＝π·OB ·α180°， 解得α＝90°.所以在Rt △B ′OM 中， B ′M 2＝OB ′2＋OM 2＝402＋302＝502，所以B ′M ＝50.即所求绳长的最小值为50 cm.1．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 2．与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．1．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6【解析】选D.圆台的母线长l 、高h 和上、下两底面圆的半径r ，R 满足关系式l 2＝h 2＋(R －r)2，求得h ＝2 6 ，即两底面之间的距离为2 6 .2．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M. (1)若OA ＝1，求圆M 的面积；(2)若圆M 的面积为3π，求OA. 【解析】(1)若OA ＝1，则OM ＝12 ，故圆M 的半径r ＝OA 2－OM 2 ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32 ，所以圆M 的面积S ＝πr 2＝34π.(2)因为圆M 的面积为3π，所以圆M 的半径r ＝ 3 ， 则OA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 2 2＋3，所以34 OA 2＝3，所以OA 2＝4，所以OA ＝2.。
必修二专题知识点
第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征1 直棱柱正棱锥正棱台2 圆柱圆锥圆台【旋转形成】性质：（1）截面均为圆，且侧面是矩形，等腰三角形，等腰梯形3 球：（1）球面与球的概念【圆旋转形成】半圆，球心（2）球的截面性质：d＝R2－r2.1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：①常见题型：根据三视图判断空间立体图形例1 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()．主视图左视图俯视图(第1题)A．棱台B．棱锥C．棱柱D．正八面体例2 如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．例3(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为()例4(2010·广东深圳)利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是 ( )A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④例5 （2009福建卷文）如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。
则该几何体的俯视图可以是：1.3 ★★空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=（弧长公式：180n r π，n 为圆心角） 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=②常见题型：求空间几何体的表面积例1、(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+ D. 2343π+解析：空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面 边长为2，高为3，所以体积为()21232333⨯⨯=所以该几何体的体积为2323π+.例2、（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D ．12π（二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底31222rrl S ππ+= 22侧(左)视图222 正(主)视图俯视图3台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=③常见题型：求空间几何体的体积例1 (2010·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示．则此几何体的体积是________cm 3.例2一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图与侧(左)视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形及一条对角线．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1？如何组拼？例3 （2009天津卷理）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则=a _______（三）球与多面体 1．长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R . (2)棱长为a 的正方体的体对角线等于外接球的直径，即3a ＝2R . 2．棱长为a 的正四面体与球：(1)斜高为32a .(2)高为63a .(3)对棱中点连线长为22a . (4)外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a .(5)正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3. 例1(2010·课标全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa2例2（2009全国卷Ⅰ文）已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（各种符号的表示）a1123正视图侧视图俯视图2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
高中数学第一章空间几何体1-1空间几何体的结构1-1-2圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征教案新人教A版必修2
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单几何体的结构特征整体设计教学分析立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础.简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征.三维目标1.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
2、会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
3、掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.4、能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想.重点难点让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
描述简单组合体的结构特征.课时安排1课时教学过程导入新课1、圆柱的结构特征：（1）实物模型演示，投影图片——如何得到圆柱？（2）根据圆柱的概念、相关概念及圆柱的表示。
2、圆锥、圆台、球的结构特征：（1）实物模型演示，投影图片——如何得到圆锥、圆台、球？（2）以类似的方法，根据圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示。
3、柱体、锥体、台体的概念及关系：探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥、圆台呢？思路1.在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单几何体的结构特征.思路2.现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单几何体的结构特征.推进新课新知探究提出问题①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.图1②观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系？活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示.①略.②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.。
高中数学第一章空间几何体1.1..1.2柱、锥、台、球的结构特征简单组合体的结构特征
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6.简单(jiǎndān)组合体的结构特征
(1)简单组合体:由
简单(jiǎndā组n)合几而何成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成有体两种基本形式:
①由简单几何体
②由简单几何体
拼接而(p成īn; jiē) 截去或挖去 一部分而成.
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图形
表示法
用表示各顶点的字
母表示,如上、下底
面分别是四边形
A′B′C′D′ 、 四 边 形
ABCD的四棱柱,可记
为棱柱
A′B′C′D′
AB.CD.
圆柱
以 矩形(jǔxíng)的所一在边直线为旋转
轴,其余三边旋转形成的面所围成
的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆
柱的
;轴 垂直于的轴边旋
棱台
A.BCD-
A′B′C′D′
.
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圆台
用 平行(píngxíng)于圆锥的平面 去截底圆面锥,底面与 截面 之 间圆的柱部和分圆叫锥做一样圆(,y圆u台án()台jtiáéim也ià,有与n
)
轴、底面、侧面、母线.棱
台与圆台统称为台体.
圆台用表示它的 轴的字母表示, 左图中圆台表示 为 圆台OO′ .
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探究2:如图所示,将一个直角三角形绕其一边旋转,得到的几何体是什么?
答案:如图所示.
绕任一直角边旋转,都将得到一个圆锥,但是(dànshì)底面半径不同,分别是BC,AB,母线长 都是斜边AC. 绕其斜边AC旋转,得到的是一个组合体,由两个同底面的圆锥组成.
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3．给出下列命题： ①圆柱的底面是圆面； ②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形； ③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的 母线； ④圆柱的任意两条母线互相平行． 其中正确命题的序号为________．
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4．简单组合体
(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单 组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、 球等几何结构特征的物体组成的．
(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一 种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
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[变式训练] 关于如图所示的组合体的结构特征有
以下几种说法： (1)由一个长方体割去一个四棱柱构成； (2)由一个长方体与两个四棱柱组合而成； (3)由一个长方体挖去一个四棱台构成； (4)由一个长方体与两个四棱台组合而成． 其中正确说法的序号是________．
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类型 1 旋转体的结构特点(自主研析)
[典例 1] (1)下列说法不正确的是( ) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的面围成 的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面
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归纳升华 1．判断简单旋转体的关键是准确掌握圆柱、圆锥、 圆台和球的生成过程及其特征性质． 2．解题时要注意两个明确：(1)明确由哪个平面图形 旋转而成；(2)明确旋转轴是哪条直线．
高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单几何体的结构特征整体设计教学分析立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础.简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征.三维目标1.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
2、会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
3、掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.4、能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想.重点难点让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
描述简单组合体的结构特征.课时安排1课时教学过程导入新课1、圆柱的结构特征：（1）实物模型演示，投影图片——如何得到圆柱？（2）根据圆柱的概念、相关概念及圆柱的表示。
2、圆锥、圆台、球的结构特征：（1）实物模型演示，投影图片——如何得到圆锥、圆台、球？（2）以类似的方法，根据圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示。
3、柱体、锥体、台体的概念及关系：探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥、圆台呢？思路1.在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单几何体的结构特征.思路2.现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单几何体的结构特征.推进新课新知探究提出问题①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.图1②观察图1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系？活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示.①略.②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示.讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图1（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图1（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1（3）是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体.②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图1（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1（2）所示的组合体.③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的对角线是球的直径；2°一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径.应用示例思路1例1 请描述如图2所示的组合体的结构特征.图2活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断.解：图2（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；图2（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；图2（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.变式训练如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征.图3答案：一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.例2 连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图4(1)，再作出判断.(1) (2)图4解：如图4(1)，正方体ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心.由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱.该多面体的图形如图4（2）所示.点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱.由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线.变式训练连接上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？答案：六面体（正方体）.思路2例1 已知如图5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.图5 图6活动：让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直，以此确定所得几何体的结构特征.解：如图6所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.变式训练如图7所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.图7 图8答案：如图8所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体. 例2 如图9（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？图9活动：让学生分组讨论和思考，教师及时点拨和评价学生.解：图9（1）所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体；而图9（2）所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体.点评：考查空间想象能力和组合体的概念.变式训练如图10，说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？图10答案：图10（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成；图10（2）中的螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体.知能训练1.（2005湖南数学竞赛，9）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）A.64B.66C.68D.70分析：由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数.答案：B2.图11是一个奖杯，可以近似地看作由哪几种几何体组成？图11答案：奖杯的底座是一个正棱台，底座的上面是一个正四棱柱，奖杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放着一个球.拓展提升1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面.用运动的观点看几何问题的形成，容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的.明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的.对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状.探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案：（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形.（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形.（3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行.（4）截面不能是直角梯形.（5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形.（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等.（7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形.截面图形如图12中各图所示：图12课堂小结本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.作业习题1.1 A组第3题；B组第2题.。
高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.
§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征学习目标1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；4. 能描述一些简单组合体的结构.学习过程一、课前准备（预习教材P5~ P7，找出疑惑之处）复习：①______________________________叫多面体,______________________________________叫旋转体.②棱柱的几何性质：_______是对应边平行的全等多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平行于底面的截面是与_____全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与底面_____，其相似比等于____________.引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.二、新课导学※探索新知探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO .圆柱和棱柱统称为柱体.探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.※典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体______________________________.※动手试试练. 如图，长方体被截去一部分，其中EH‖A D'',剩下的几何体是什么?截去的几何体是什么?三、总结提升※学习小结1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；2. 简单组合体的结构特征.※知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. Rt ABC∆三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.A.是底面半径3的圆锥B.是底面半径为4的圆锥C.是底面半径5的圆锥D.是母线长为5的圆锥2. 下列命题中正确的是（）.A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（）.52A.522554. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.5. 圆锥母线长为R，则高等于__________.1.如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴旋转0180后形成一个组合体，下面说法不正确的是___________A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点,则球心到截面的距离为多少？2. 用一个平面截半径为25cm的球,截面面积是249cm。
高中数学第一章空间几何体1.1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征aa高一数学
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利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关 问题的关键.
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[变式训练 3] 径．
解：
已知正方体的棱长为 a，求它的外接球的半
正方体的外接球与正方体相连接的点为正方体的各个顶点，
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知识点一
圆柱
[填一填] 以____矩__形_的__一__边__所__在__直__线___为旋转轴，其余三边旋转形成的
面所围成的___旋__转__体____叫做圆柱．
旋转轴叫做圆柱的____轴_______；垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做圆柱的____底__面_____；平行于轴的边旋转而成的曲面叫
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命题视角 2：球的截面问题 [例 3] 已知半径为 10 的球的两个平行截面的周长分别是 12π 和 16π，求这两个截面间的距离． [分析] 画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面 所在的平面，构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注 意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解．
第一章
空间 几何体 (kōngjiān)
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1.1 空间(kōngjiān)几何体的结构 1．1.1 柱、锥、台、球的结构特征
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第2课时 圆柱、圆锥(yuánzhuī)、圆台和球的结构特征
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高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征课件新人教A版必修2
思考：棱柱、棱锥(léngzhuī)、棱台的结构之间有什么 关系呢？
几何画板演示从左到右拖动相互转化按 钮演示由棱锥---棱台---棱柱(léngzhù) 的转化，也可以拖动边数控制按钮再多
次观察
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典例展示 (z例hǎ3n.s如hì图) ，截面BCEF将长方体分割成两部分(bù fen)，这两
字母表示(AbBiǎCDoshAì1B)1C，1D1 第十二页，共38页。
问题3： 棱柱的分类(fēn lèi)：棱柱的底面可以是三角形、四边形 、五边形、 …… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四 棱柱、五棱柱、……
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典例展示 (zh例ǎ1.n下sh列ì多面) 体都是棱柱吗？如何(rúhé)在名称上区分这些棱柱？
部分(bù fen)是否为棱柱？
D1
E
C1
A1
F
B1
C D
A B
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练习3.下列(xiàliè)几何体是不是棱柱？是不是棱 台？为什么?
(4)
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(5)
例4. 一个三棱柱(léngzhù)可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
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有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么(shén me)名称？
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观察下列几何体，找出它们的共同(gòngtóng) 特点:
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问题4：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多
边形，相邻两个多边形的公共边，以及(yǐjí)这些公共边
高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球课件2苏教版必修2
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自我挑战
则 DE＝x，AB＝x，CD＝3x，AD ＝ 2x，4 分
于是轴截面的面积为： 12·x·(3x＋x)＝392，解得 x＝14， 则圆台的高等于 14 cm，母线长为 14 2 cm， 两底面半径分别为 7 cm 和 21 cm.8 分
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【答案】 1 【点评】 对于此类辨析问题， 除了依据概念判断以外，还会经 常用到线面的位置关系，要注意 立体几何知识(zhī shi)的前后连 贯．
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跟踪训练
1．下列结论正确的是________． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两 边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该 棱锥可能是正六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点(yī diǎn)的 连线都是母线
考点一
空间几何体的结构特征
本部分内容在高考中可以以新定义形式 的题目考查棱柱、棱锥(léngzhuī)的分类及 其结构特征．在理解柱、锥、台、球的概 念的基础上，掌握其结构特征；熟记有关 的性质；能够把棱柱、棱锥(léngzhuī)、棱 台的有关元素放在对角面、侧面等平面中 研究，突出化归转化的数学思想方法．
3．(2009年高考辽宁卷改编) 如果把地球看成(kàn chénɡ)一个 球体，则地球上北纬30°纬线长 和赤道线长的比值为答案__(d_á3_àn_)：___．
2
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三基能力 (nénglì)强化
4．用任意一个平面截一个几何 体，各个(gègè)截面都是圆，则这 个几何体一定是________．
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第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥
解析：如图所示：
答案：D
2．下列说法错误的是( )
A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成
B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成
C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成
D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成
解析：用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A的说法正确．
答案：C
3．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C. 答案：C
4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( ) A．4πB．8π
C．2πD．π
解析：边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π. 答案：C
5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( ) A ．一个圆锥 B ．一个圆锥和一个圆柱 C ．两个圆锥 D ．一个圆锥和一个圆台
答案：C
6.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组成的．
解析：一个半球，一个圆柱和一个圆台组合而成． 答案：一个半球，一个圆柱和一个圆台
7．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于52，则底面半径等于________． 解析：设底面半径为r ，母线长为 l ，则l 2
＝r 2
＋h 2
＝2r 2
，代入可得r ＝5. 答案：5
8．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm ，则圆台的母线长为________ cm.
解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm ，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm ， 根据三角形相似的性质，得
33＋x ＝r
4r
，解得x ＝9.
答案：9
9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，它绕AB 边所在直线旋转一周后形成的几何体
结构如何？
解析：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥． 10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm 2
，母线与
轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解析：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延
长AA 1交OO 1的延长线于S .在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SA 1O 1＝∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x .又1
2
(6x ＋2x )·2x
＝441，
解得x ＝2124，所以圆台的高OO 1＝2122(cm)，母线长l ＝2OO 1＝21(cm)，两底面半径分别为212
4。