第三章 点、直线、平面的投影
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第三章点、直线及平面的投影详解
第三章 点、直线及平面投影
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
第3章--点、直线和平面的投影
第六节 平面上的直线和点
一. 平面上的直线 判定定理： 1）若一直线通过平面上的两点， 2）若一直线通过平面上的一点，
且与平面内的一直线平行
则该直线在 该平面内
二. 平面上的点
判定定理： 若点通过平面内一直线，则该点在该平面内。
〖例3—5〗已知△ABC的两面投影及△ABC内K点的 水平投影k，作其正面投影k’。
空间两直线的相对位置有： 平行、相交、交叉、垂直（垂直相交或垂直交叉）
1. 两直线平行
判定定理： 三对同面投影均平行，且符合定比性，则二直线平行.
对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行， 则二直线平行。
判断图中两条直线是否平行？
答案：平行
对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平
行，空间直线不一定平行。
1）在它所垂直的投影面上的投影积 聚成一条斜线，反映该平面对其它两投 影面的夹角实形；
2）其它两面投影为面积缩小的类似 平面图形。
4. 一般位置平面
空间平面与三个投影面都倾斜。
投影特性：三个投影均不反映实形，均为类似形。
一框两直线，定是平行面，框在哪 个面，平行哪个面。
两框一斜线，定是垂直面，斜线哪 个面，垂直哪个面。
〖例3—15〗求 作平面△ABC与四 边形DEFG的交线MN 的两面投影，并表 明可见性。
作图步骤：
1）经试求选定求 作ED、FG与△ABC平 面的交点。四. 两点Βιβλιοθήκη 相对位置1. 两点的相对位置
指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
投 影 面 方 位 图
2. 重影点及其可见性
当空间两点位于同一投影线上时，此两点在该投 影面上的投影重合为一点，该点称为重影点。
请做 本题 练习
第三章 点、直线、平面的投影 ——电信版
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
正垂面 投影面垂直面 侧垂面 铅垂面
正平面 投影面平行面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
A、投影面垂直面
b
Z
b c c
O
类似性
X
类似性
a
YW
a
β
积聚性
a
γ
c
YH
b
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
●
Z
d
e
f Z e(f)
●
O
b
YW
X
X
O
O
d c
YH
YW
a(b)
e
YH
f
YH
投影特性: 1. 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b B a
β
Z
b
W
O
b a
X
Z
b a
X
γ
O
A a H
a
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
⑴ 投影面平行线
水平线
V a′
A
X
β
Z
投影特性：
a″
b′
γ
o B
a
β
b″ W
γ
①在其平行的那个投影 面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影 面倾角的真实大小。
Y
H
b Z a ″ b″
a′
b′
正垂面 投影面垂直面 侧垂面 铅垂面
正平面 投影面平行面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
A、投影面垂直面
b
Z
b c c
O
类似性
X
类似性
a
YW
a
β
积聚性
a
γ
c
YH
b
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
●
Z
d
e
f Z e(f)
●
O
b
YW
X
X
O
O
d c
YH
YW
a(b)
e
YH
f
YH
投影特性: 1. 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b B a
β
Z
b
W
O
b a
X
Z
b a
X
γ
O
A a H
a
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
⑴ 投影面平行线
水平线
V a′
A
X
β
Z
投影特性：
a″
b′
γ
o B
a
β
b″ W
γ
①在其平行的那个投影 面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影 面倾角的真实大小。
Y
H
b Z a ″ b″
a′
b′
第三章 点、直线、平面的投影
C b
O
|YA-YB| X
a b
ab
AB
a
|YA-YB|
|YA-YB|
ab
3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b b Z a
B
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直线实长
直线实长
直线实长
△Z
△Y
△X
α
水平投影长
β
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影
第三章 点、直线、平面的投影
3-1 点的投影
一、点的三面投影
二、点的投影与直角坐标的关系
三、点的投影规律
四、空间点的相对位置
一、点的三面投影
为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等； 水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用 相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相 应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。
b
d d c
b
a
d
A
b
a
例：判断图中两条直线是否平行。
①
a
a c c c d c b d a b a b b d c b d a c b d
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
②
a
d
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
a
X A a O bo b
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图
一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
e f
a(b)
c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
工程图学基础/机械设计制图
3） 一般位置直线
V
b B
a
β
b b
W X
Z
b a
a
O
γ
A
a H
a b a
Y
b
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
解法二： （应用定比定理）
a
●
k b
●
●
b
b k● a
k● a
工程制图第三章-点、直线、平面投影
从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
土木工程制图第三章点直线和平面的投影
则其各同面投影必相互平行；各同名投影的长度之比相等； 各同名投影的指向相同。
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
第三章 点、直线、平面的投影
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两 影 一 况 即个 ， 直 下 可点 只 线 仍 由 。的 需 ， 为 于 投作故直直 影出要线线 ，已获，的 再知得且投 将直直两影 它线线点一 们上的决般 相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线 特殊位置直线
直 线
投影面平行线 一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下： （1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″ 解: 作图步骤如下
工程制图第3章点线面投影
14:10
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长； a”b”与OYW夹角反映α实际大小， a”b”与OZ夹角反映β实际大小。
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 倾斜) 正平线(‖V面，对H、W面 倾斜) 侧平线(‖W面，对H、V 面倾斜)
投 影 图
投 影 特 性
二、三视图的投影规律及方位对应关系
主、俯视图——共同反映物体的长度方向的尺寸，简称“长对正”； 主、左视图——共同反映物体的高度方向的尺寸，简称“高平齐”； 俯、左视图——共同反映物体的宽度方向的尺寸，简称“宽相等”。
14:10
3.2 点的投影
一、点的三面投影
空间点用大写拉丁字母 如A、B、C…表示； 水平投影用相应小写字母 a表示； 正面投影用相应小写字母 加一撇a’表示；
侧面投影用相应小写字母 加二撇a”表示。
14:10
二、点的三面投影规律
aa’⊥OX，a’az=aayh=XA （A到W面的距离）
a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA （A到H面的距离） 点的三投影展开 .swf 14:10
aax=a”az=YA （A到V面的距离）
点的投影
作图时，为了表示aax=a”az的关系，常
用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧
14:10
把点的H面与W面投影关系联系起来。
例3-1 已知点A的两面投影，求点A的第三面投影。
解题步骤：
(1) 过原点O作45°辅助线； (2) 过a作平行OX轴的直线与 45°辅助线相交一点；
(3) 过交点作⊥OYW的直线；
(4) 该直线与过a’且平行OX轴 的直线相交于一点即为a” 。
1.侧面投影a”b”=AB； 2.水平投影ab‖ OYH，正 面投影a’b’ ‖OZ，都不反 映实长； 3.a”b”与OYW夹角反映α实 际大小，a”b”与OZ夹角反 映β实际大小。
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长； a”b”与OYW夹角反映α实际大小， a”b”与OZ夹角反映β实际大小。
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 倾斜) 正平线(‖V面，对H、W面 倾斜) 侧平线(‖W面，对H、V 面倾斜)
投 影 图
投 影 特 性
二、三视图的投影规律及方位对应关系
主、俯视图——共同反映物体的长度方向的尺寸，简称“长对正”； 主、左视图——共同反映物体的高度方向的尺寸，简称“高平齐”； 俯、左视图——共同反映物体的宽度方向的尺寸，简称“宽相等”。
14:10
3.2 点的投影
一、点的三面投影
空间点用大写拉丁字母 如A、B、C…表示； 水平投影用相应小写字母 a表示； 正面投影用相应小写字母 加一撇a’表示；
侧面投影用相应小写字母 加二撇a”表示。
14:10
二、点的三面投影规律
aa’⊥OX，a’az=aayh=XA （A到W面的距离）
a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA （A到H面的距离） 点的三投影展开 .swf 14:10
aax=a”az=YA （A到V面的距离）
点的投影
作图时，为了表示aax=a”az的关系，常
用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧
14:10
把点的H面与W面投影关系联系起来。
例3-1 已知点A的两面投影，求点A的第三面投影。
解题步骤：
(1) 过原点O作45°辅助线； (2) 过a作平行OX轴的直线与 45°辅助线相交一点；
(3) 过交点作⊥OYW的直线；
(4) 该直线与过a’且平行OX轴 的直线相交于一点即为a” 。
1.侧面投影a”b”=AB； 2.水平投影ab‖ OYH，正 面投影a’b’ ‖OZ，都不反 映实长； 3.a”b”与OYW夹角反映α实 际大小，a”b”与OZ夹角反 映β实际大小。
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
点直线与平面的投影
02
点、直线与平面的关系
点与平面的关系
点的投影
点在平面上的投影是该点与平面 交点的位置。
点的位置关系
点在平面内、点在平面外、点在平 面上的不同位置关系会影响其投影。
点的投影特性
点的投影具有真实性、类似性和积 聚性。
直线与平面的关系
直线的投影
直线在平面上的投影是该直线与平面交线的位置。
直线与平面的位置关系
点、直线与平面的投影
• 点、直线与平面的基本概念 • 点、直线与平面的关系 • 点、直线与平面的应用 • 点、直线与平面的投影性质 • 点、直线与平面的投影作图
01
点、直线与平面的基本概念
点的投影
01
02
03
点的投影
将一个点按照一定的投影 规则投影到一个平面上， 得到该点的投影点。
点的投影性质
分割平面
02
直线可以将平面分成不同的区域，用于几何图形的分割和划分。
确定角度
03
通过两条直线的交点可以确定平面上的角度，如直角、锐角、
钝角等。
平面在平面上的应用
形成立体图形
平面可以与其他平面相交，形成立体的几何图形，如圆柱、圆锥 等。
支撑物体
平面可以作为支撑面，用于支撑物体，保持其稳定。
划分空间
平面可以将空间分成不同的区域，用于建筑、室内设计等领域中 的空间划分和布局。
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
直线投影特性
直线的投影具有真实性、类似性和积聚性，同时还有垂直性和倾斜 性。
平面与平面的关系
平面的投影
两个平面在空间中的相对位置关 系可以通过其投影来表现。
平面的位置关系
平行、相交、垂直等不同位置关 系会影响其投影。
点、直线、平面的投影
提示：已知两个视图，要补画其他视图 时，首先应根据已知视图中对应线框的投影 想象其立体图，然后再根据立体图，并结合 投影关系补画其他视图。在想象立体图时， 可从反映该特征最明显的视图入手，忽略图 中的虚线和部分线条想象其基础形体，然后 再考虑其他图线产生的原由。
补画某个视图时，为了防止出现错误，一 定要按该物体的形成过程绘制，切记不要看 到棱边就画，想画哪就画哪。
机械制图
1 点的投影
无论点在空间处于什 么位置，其三面投影仍然 遵守“长对正、高平齐、 宽相等”的投影规律。
1
空间点对于由V、H和W平面组成的投影体系有以下三种位置关系：
当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内，如图下中A点的投影。
当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上。
水平线
正平线
侧平线
若将投影面平 行线与V、H、W面 的夹角定义为α、β 和γ，则该直线和与 其平行的投影面的 夹角为0°，和其他两 个投影面的夹角在 其平行的投影面上 反映真实大小。
3．一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影均与
2 投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也
不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如下图所示。
3 平面的投影
空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。
3
1．投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
若空间平面平行于一个投影面， 则必垂直于其他两个投影面，这样 的平面称为投影面平行面。平行于 V、H、W投影面的平面分别称为 正平面、水平面和侧平面。投影面 平行面在与其平行的投影面上的投 影反映实形，在其他两个投影面上 的投影积聚成一条直线，且平行于 相应的投影轴，如右表所示。
画法几何及机械制图课件第三章点直线平面的投影
1.一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个 投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位 置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有类似形。
2.投影面垂直面
只垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面
根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面——垂直于H面； 2)正垂面——垂直于V面； 3)侧垂面——垂直于W面。
在右图中，虽然ab∩cｄ ＝k，a′b′∩c′ｄ′＝k′， 且k′k⊥OX，但因AB是侧平线， 察看侧面投影，a″b″和c″ ｄ″虽然相交，但该交点与 k′的连线与Z轴不垂直，故此 两直线不相交。
若只凭V、H两投影来判断，则需看简单比(abk)与 (a′b′k′)是否相等，若相等则相交，不相等则不相交。
3.交叉两直线
若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线
同面投影可能相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。 交点是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两 直线的空间位置。
两种特殊情况
1.当两直线有两个投 影均互相平行，且又 同时平行于第三个投 影面时，一般应观察 该两直线所平行的那 个投影面上的投影来 判断两直线是否平行。
（1）X坐标大，在左面, XA<XB,,A在右，B在左；
（2）Y坐标大，在前面， YA>YB,,A在前，B在后；
（3）Z坐标大，在上面， ZA<ZB,,A在上，B在下。
2. 重影点和可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在 该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点
点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重 合，称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。
二、平面对投影面的相对位置及其投影特性
机械制图电子教案 第三章 点、直线、平面的投影
k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB在CD的前方。同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。
（a） （b）
课后练习
复习思考题；3-2题、3-3题
第3讲
课题
面的投影
课型
理 论
教学
目的
掌握各种位置平面的投影规律
（一）投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
投影面平行线的立体图、投影图及投影特征
名称
正平线（//V）
2．一直线和直线外一点
3．相交两直线4．平行两来自线5．任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等
在投影图上判定两直线是否平行；若两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定；但当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。
（3）面投影e′f′∥OX轴，侧面投
影e″f″∥OYW，且都小于实长。
（1）侧面投影i//j//反映实长。
（2）侧面投影i″j″与OZ轴和OYW轴的夹角β和α分别为EF对V面和H面的倾角。
（3）正面投影i′j′∥OZ轴，水平投影ij∥OYH，且都小于实长。
（a） （b）
课后练习
复习思考题；3-2题、3-3题
第3讲
课题
面的投影
课型
理 论
教学
目的
掌握各种位置平面的投影规律
（一）投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
投影面平行线的立体图、投影图及投影特征
名称
正平线（//V）
2．一直线和直线外一点
3．相交两直线4．平行两来自线5．任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等
在投影图上判定两直线是否平行；若两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定；但当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。
（3）面投影e′f′∥OX轴，侧面投
影e″f″∥OYW，且都小于实长。
（1）侧面投影i//j//反映实长。
（2）侧面投影i″j″与OZ轴和OYW轴的夹角β和α分别为EF对V面和H面的倾角。
（3）正面投影i′j′∥OZ轴，水平投影ij∥OYH，且都小于实长。
第三章点、直线、平面的投影
两个点的相对位置
点A在点B的左、前、下方，反过来说，就是点B 在点A的右、后、上方。
五、重影点 [Coincident Points]
共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上 具有重合的投影。这两个点被称为对该投影面的一对重影 点。 重影点的可见性需根据两点不重影的投影的坐标大小来判 断。即： 当两点在V面的投影重合时，需比较其y坐标，y坐标大者 可见； 当两点在H面的投影重合时，需比较其z坐标，z坐标大者 可见； 当两点在W面的投影重合时，需比较其x坐标，x坐标大者 可见。
由上图可知，A点的三个直角坐标xA、yA、zA即为 A点到三个坐标面的距离，它们与A点的投影a、a、 a的关系如下： xA = aza = ayHa =点A与W面的距离aA yA = axa = az a =点A与V面的距离aA
zA = axa = ayWa =点A与H面的距离Aa
三、点的三面投影的投影规律 [The Rules for a Point
图中，a、b重合，从水平和侧面投影可知，A 在前，B在后，即：yA＞yB，所以对V面来说，A可见， B不可见。在投影图中，对不可见的点，需用括号表 示，因此，对不可见点B的V面投影，加括号表示为 (b)。
第二节 直线的投影
Projection of Straight Lines
一、直线投影的基本特性 [General Characteristics of Line Projection]
Projected in The Three-Projection Planes System]
根据以上分析可以得出点的投影规律如下：
（1）aa⊥OX，aza = ayHa = xA。 （2）aa⊥OZ，axa = ayWa = zA。 （3）axa = aza = yA。
第三章_点、直线与平面的投影
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表3－2
投影面垂直线的投影特性
投
影
面
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投 影 特 性
（1）水平投影a(b)成一 （１）正面投影ｃ’ 点，有积聚性 （ｄ’）成一点，有积 （2）ａ’ｂ’＝ａ”ｂ” 聚性 ＝ＡＢ，且ａ’ｂ’⊥ （２）ｃｄ＝ｃ”ｄ” ＯＸ，ａ”ｂ”⊥ＯＹＷ ＝ＣＤ，且ｃｄ⊥ＯＸ， ｃ”ｄ”⊥ＯＺ
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①不在同一直线上的三个点； ②一直线和直线外一点； ③相交两直线； ④平行两直线； ⑤任意平面图形。
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（二） 用迹线表示平面
在三投影面体系中，空间平面与投影面的交线，称为平面的 迹线。如图4-15所示， 平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线， 用表示；平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线，用表示；平面 P与W面的交线称为平面P的侧面迹线，用表示。平面P与投影轴的 交点，亦即相邻两迹线的交点，称为迹线集合点，分别用PX、PY、 PZ表示。 如图4-15b所示，在投影图上，通常只标记迹线本身，而不标 出与投影轴重合的另两投影。 特殊位置平面中有积聚性的迹线两 端用短粗实线表示，中间用细实线相连，并标出迹线符号，图415c所示即为用迹线表示的水平面。
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(b)
图3－8直线上点的投影
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例3－3 如图3－9，已知直线AB的两面投影，N点在直线AB上且 分AB为AN∶NB=2∶5，求N点的两面投影。
图3－9
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直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
二、 直线在三个投影面中的投影特性 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线
第三章 点、直线、 平面的投影
侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线 投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 垂直于某一投影面
3.1.2投影法的分类
第三章 点、直线、 平面的投影
一、中心投影法
投射线都从透 射中心出发的投影 称为中心投影。
中心投影法
投射中心 投射线 物体 投影 投影面
第三章 点、直线、 平面的投影
物体位置改变，投 影大小也改变
二、平行投影法
第三章 点、直线、 平面的投影
投射线相互平行的投影法，也称为平行投影法。 平行投影法又分为：
ay
Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
a●
X
Z
az
O
●
a
V
第三章 点、直线、 平面的投影
Z
a
●
az
●
ax
ay
Y
X
ax
A O
●
a
W
a
●
Y
ay
a
●
ay
H
3.2.2.点的投影规律:
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
Y
② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
第三章 点、直线、 平面的投影
Z
o
W
Y
三个投影面 互相垂直
2 .三视图的形成
俯视
Z
第三章 点、直线、 平面的投影
规定 : V面保持不动，H面向下向后 绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ 轴旋转900。
z
V x
X O
0
y
左视 y
Y
主视
第三章 点、直线、 平面的投影
用正投影法在一个投影面上绘制的物体的 图形只能反映物体的一个方向的形状因此，常用 三视图来表达。
铅垂线 a b 正垂线
第三章 点、直线、 平面的投影
侧垂线
a
b
c(d)
●
d c
e
f
e(f)
●
d c
a(b)
投影特性:
●
e
f
① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
第三章 点、直线、 平面的投影
正垂线投影特性动画演示
第三章 点、直线、 平面的投影
b
●
●
b YW
X
a
●
b
●
YH
B点在A点之前、 之右、之下。
例 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫 米，之右8毫米，求A点的投影。 Z a 9
第三章 点、直线、 平面的投影
a
b X 8 b 5 a
b
O
YW
YH
第三章 点、直线、 平面的投影
小结两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对于投影 面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐 标值大的点在左； Y 坐标值大的点在前； Z 坐 标值大的点在上。
铅垂线投影特性动画演示
侧垂线投影特性动画演示
第三章 点、直线、 平面的投影
总结：投 影面垂直 线的投影 特性
第三章 点、直线、 平面的投影
在所垂直的投影面上积 聚为一点； 其它两投影垂直于相应的
投影轴。
第三章 点、直线、 平面的投影
当物体在互相垂直的两个或多个投影面得到正投 影后将这些投影面旋转展开到同一图面上，使该 物体的各正投影图有规则地配置，并相互之间形 成对应关系。
第三章 点、直线、 平面的投影
3.1.3 三视图的形成
1、 三面投影体系 V 1.投影面 正面投影面（简称正面或V面） 水平投影面（简称水平面或H面） 侧面投影面（简称侧面或W面） 2.投影轴 OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线 H X
2）积聚性
垂直于投影面
的直线或平面图形， 在投影面上积聚成 一点或一直线，即 积聚性。
3）类似性 直线或平面图形 倾斜于投影面，它 们在投影面上的投 影长度缩短或是一 个比是实形小、但 形状相似，边数相
第三章 点、直线、 平面的投影
等的图形，即类似
性。
多面正投影
物体在互相垂直的两个或多
第三章 点、直线、 平面的投影
1.两投影面体系的引入
如图, 设立两个相互 垂直的的正投影面 V面和水平投影平 面H面，组成了两 投影面体系。 V 面 和H面的交线称X轴。 两投影面将空间划 分为四个分角。这 里只介绍第一分角 中的投影。
第三章 点、直线、 平面的投影
2.点在两投影面体系中的投影 规律：
点的正面投影与水平投影的连线垂直于 OX 轴。 点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面 的距离；点的水平投影到 OX 轴的距离，反映 该点到V 面的距离。 点的水平投影在 OX 轴下方（上方），表示空 间该点在V面的前方（或后方）。点的正面投 影在 OX 轴的上方（或下方），表示空间该点 在H面的上方或（下方）。
第三章 点、直线、 平面的投影
第三章 点、线、面的投影
3.1 3.2
3.3
投影法及三视图的形成 点的投影
线的投影
3.4 平面的投影
第三章 点、直线、 平面的投影
第三章 点、直线、 平面的投影
3.1
投影法及三视图的形成
概述
3.1.1
投影法:就是投射线通过物体，向选定的面透射，并 在该面上得到图形的方法。 透射中心就是所有透射线的起源点。 投射线就是发自透射中心且通过被表示物体上各点的 直线。 投影面就是投影法中得到投影的面。 投影（投影图）就是根据投影所得到的图形。
过空间任一点A向三个 投影面做垂线，求得点A 三个投影面上的投影。 利用三个投影面上投影， 可以唯一确定点A在空间 的位置。
第三章 点、直线、 平面的投影
点的三面投影动画演示
第三章 点、直线、 平面的投影
３.２.２ 点的三面投影 和坐标的关系为： 水平投影 a 反映A点X和 Y的坐标； 正面投影 a'反映A点X和 Z的坐标； 侧面投影a"反映A点Y和 Z的坐标。
根据一个点相对于另一点上下、左右、 前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作 出其三面投影。
8.重影点及投影可见性：
空间两点在某一投影面上的投影 重合为一点时，则称此两点为该投影 面的重影点。
第三章 点、直线、 平面的投影
A、C为H 面的重影点 a
● ●
a c
c●
●
a (c )
被挡住的 投影加( )
第三章 点、直线、 平面的投影
两点的正面投影反映两点的上下、左右位置关系： 两点的水平投影反映两点的左右、前后位置关系。 两点的侧面投影反映两点的上下、前后位置关系。 空间两点的相对位置，由它们的坐标差所确定。
3.2.4
两点相对位置的判别：
a
●
第三章 点、直线、 平面的投影
Z a
●
两点的相对位置指两点在空间的上 下、前后、左右位置关系。 判断方法： x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上
例：已知点的两个投影，求第三投影。 解法一: a● ax az a
第三章 点、直线、 平面的投影
●
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二: a● az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
ax
a●
例：已知点的两投影，求其第三投影
第三章 点、直线、 平面的投影
z
d’ f’ d’’ f’’ e’’
第三章 点、直线、 平面的投影
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行
正投影法
且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行 斜投影法
平行投影法
正投影的基本特性
1）真实性 平行于投影面的直 线或平面图形，在该投 影面上的投影反映线段 的实长或平面图形的真 形，即真实性。
第三章 点、直线、 平面的投影
第三章 点、直线、 平面的投影
个投影面所得到的正投影
称为多面正投影. 当投影面和投影方向确定 时,空间点A在投影面上只 有唯一的投影 a, 但只凭点B的一个投影b,不 能确定点B的空间位置.
第三章 点、直线、 平面的投影
物体的一个投影往往不能维 一地确定物体的形状。
第三章 点、直线、 平面的投影
因此，通常将物体向两个或两个以上互相垂直 的投影面进行正投影，如下图所示。
2.三视图之间的方位对应关系
第三章 点、直线、 平面的投影
V
上 左 右 下 后 上
Z
上 后 右 前 下
X
O
后 下
左
左
前
前 右
Y
三视图的投影规律
上 左
第三章 点、直线、 平面的投影
上
高右后ຫໍສະໝຸດ 前下 下 “主、俯视图长对正” 长 宽 后 即长度相等,并互相对正; 左 右 ”主、左视图高平齐” 即高度相等并相互平齐; 前 “俯、左视图宽相等’’ “宽相等”表现为俯视图的竖直方向与左视图的水平方 向相对应,即“竖对横”。 “长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是 画图和读图的重要依据.
宽
3.2
3.2.1
点、线、面的投影
第三章 点、直线、 平面的投影
点的三面投影 A
●
P