积分敛散性的判断

目录摘要........................................................................................... (2)引言........................................................................................... . (3)1无穷积分........................................................................................... .. (5)1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5)1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5)1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6)1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7)2瑕积分........................................................................................... .. (8)2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9)2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10)2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10)2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12)3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13)总结........................................................................................... ......... .. (13)参考文献........................................................................................... ... .. (14)判断反常积分敛散性的方法谢鹏数学与计算机科学学院摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法.关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法On Convergence of The Method of JudgingAbnormal IntegralName of student, School: XiePeng，School of Mathematics & ComputerScienceAbstract : The convergence of improper integrals is one of the difficulties inmathematical analysis.This article describes the definition of convergence and divergence of improper integrals, examples of some important improper integrals convergence and divergence. What's more, it also describes the concept of absolute convergence and conditional convergence, etc., which allows the reader to use the improper integrals of Cauchy convergence of the improper integral of the principle of non-negative function-comparison T ests, the law of Cauchy distinguish the improper integrals, and general function, Dirichlet, Abel Discriminant discriminant method to distinguish the basic improper integral convergence and divergence, in order to grasp of the improper integrals convergence of the first judgment better .Key words : Infinite ；Integral ；Convergence discriminant ；Method of flawintegral1 引言定积分⎰ba dx )x (f 有两个明显的缺陷：其一,积分区间]b ,a [必须是有限区间；其二,若]b ,a [R f ∈,则0M >∃,使得对于任意的]b ,a [x ∈,M )x (f ≤（即有界是可积的必要条件）.这两个缺陷限制了定积分的应用,因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形.也就是在许多和实际中往往不能满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题.而将这两个约束条件取消.便得到定积分的两种形式推广；将函数的积分从积分区间有界扩展到无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到无界函数的瑕积分.这两种积分就是通常所说的反常积分.反常积分是伴随者数学的发展而发展起来的近代数学.作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决许多计算上的难题，也为其他学科的发展起了促进作用，并且在其它学科及科学领域中也有十分广泛的应用.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题.由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛散性的判断就显得十分必要了.反常积分的概述：例1（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度0v 至少多大？解 设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g ，按万有引力定律，在距地心x 处火箭受到的引力为22x mgR )x (F =于是火箭上升到距地心()R r r >处需作的功为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰r R mgR dx x mgR rR 11222. 当+∞→r 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功mgR dx xmgR dx x mgR r R r R==⎰⎰+∞→∞+2222lim 再由能量守恒定律，可求得初速度0v 至少应使mgR mv =2021 ⇒ ()s km gR v /2.1120≈=. 例2 圆柱形桶的内壁高为h ,内半径为R ,桶底有一半径为r 的小孔.试问从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为x h -时，水从小孔里流出的速度为)(2x h g v -= ,其中g 为重力加速度.设在很短一段时间dt ，桶里水面降低的高度为dx ，则有下面关系：dt r v dx R 22ππ=由此得],0[,)(222h x dx x h g rR dt ∈-=所以流完一桶水所需的时间在形式上亦可写成“积分”：⎰-=hf dx x hg rR t 022)(2.但是，被积函数在),0[h 上是无界函数，所以它的确切含义应该是⎰-=-→uhu f dx x h g rR t 022)(2lim()222222lim rR g h u h h r R g hu =--=-→. 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分.1 无穷积分1.1 无穷积分的概念设函数)x (f 在),a [+∞上有定义 .a A ,R A >∈∀ 且 ])A ,a ([R )x (f ∈ ,记, d )(limd )( ⎰⎰+∞→∞+=AaA ax x f x x f称之为)x (f 在),a [+∞上的无穷积分若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积分发散 .类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim)(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注1 无穷积分⎰∞+∞-dx x f )(的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2 由于无穷积分⎰∞+∞-dx x f )(是由⎰∞+adx x f )(,⎰∞-adx x f )(来定义的,因此,)(x f 在任何有限区间),(],[+∞-∞⊂u v 上,首先必须是可积的.注3dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 1.2 柯西准则 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质； 性质1若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f ka⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f .利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质2指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．1.3比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰ua dx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理1(比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足),,[),()(+∞∈≤a x x g x f 则当⎰+∞a dx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx xx⎰+∞+021sin 的收敛性． 解 由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx x x ⎰+∞+021sin 为绝对收敛．当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)．推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛;(ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论 2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f x p x ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(收敛;(ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞a dx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞a dx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.1.4狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法．定理(狄利克雷判别法) 若⎰=ua dx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理(阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．例4 讨论dx x x p ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx x xp的收敛性．解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当p >1时dx x xp ⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1px dx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx xxp ⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x xp ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2cos 1cos sin 1≤-=⎰u xdx u ，而px 1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的．另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x xx x x xx p， 其中-dt t tdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12x dx 是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．例5 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证 前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例4知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例5中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍 有可能收敛．2 瑕积分2.1 瑕积分的定义定义 设函数)(x f 定义在区间],(b a 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间],(],[b a b u ⊂上有界且可积.如果存在极限 J dx x f bu au =⎰+→)(lim则称此极限J 为无界函数)(x f 在区间],(b a 上的反常积分，记作 ⎰=ba dx x f J )(.并称反常积分⎰b adx x f )(收敛. 如果极限⎰+→buau dx x f )(lim 不存在,这时亦称反常积分⎰badx x f )(发散.在上述定义中，被积函数)(x f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为)(x f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba dx x f )(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分.⎰badx x f )(⎰-→=uabu dx x f )(lim .其中函数)(x f 定义在区间),[b a 上，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何内闭区间),[],[b a u a ⊂上有界且可积.若函数)(x f 的瑕点),(b a c ∈,则定义瑕积分⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰-→=uacu dx x f )(lim ⎰+→+bvcv dx x f )(lim .其中函数)(x f 定义在区间],(),[b c c a 上，在点c 的任一邻域内无界，但在任何内闭区间),[],[c a u a ⊂和],(],[b c b v ⊂上都有界且可积. 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若b a ,两点都是)(x f 的瑕点,而)(x f 在任何),(],[b a v u ⊂有界且可积,这时定义瑕积分⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰+→=cuau dx x f )(lim ⎰-→+vcbv dx x f )(lim ,其中c 为),(b a 内任一实数.同样地, 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的. ② 瑕积分的收敛判别 2.2比较判别法定理2 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则1）如⎰badx x g )(收敛，则⎰badx a f )(也收敛.2）如⎰badx x f )(发散，则⎰ba dx x g )(也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰badx x f )(与⎰ba dxx g )(如果f (x ), g (x )是非负函数，且,)()(lim l x g x f b x =-→ 则（1）当+∞<≤l 0, 且⎰ba dx x g )(收敛时，则⎰ba dx x f )(也收敛．（2）当+∞≤<l0，且⎰ba dx x g )(发散时，则⎰badx x f )(也发散．2.3 柯西判断法 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么 （1）如0≤f (x )≤pa x c )(- (c>0), p<1, 则⎰b a dx x f )(收敛． （2）如f (x )≥pa x c )(- (c>0), p ≥1, 则⎰b adx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理3 设k)x (f )a x (lim p a x =-+→如0≤k <∞, 1p <, 则⎰ba dx )x (f 收敛如0<k ≤∞, 1p ≥, 那么⎰ba dx )x (f 发散．例6 判别下列瑕积分的敛散性.(1) ⎰--10222)x k 1)(x 1(dx )1k (2< (2) ⎰π20qpx cos x sin dx)0q ,p (> 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 -→1limx )x k 1)(x 1(dx)x 1(22221--- =+∞<-)k 1(212由21p =知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先讨论,cos sin 40⎰πxx dx q p由+→0lim x 1x cos x sin 1x q p p=知: 当p<1时, 瑕积分⎰π40q pxcos x sin dx 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰π4q p xcos x sin dx发散． 再讨论 ⎰ππ24qp xcos x sin dx 因-→2lim πx 1xcos x sin 1)x 2(q p p =-π 所以当 q <1时, 瑕积分⎰ππ24qp xcos x sin dx 收敛， 当q ≥1时，瑕积分⎰ππ24q p xcos x sin dx发散．综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分⎰π20qp xcos x sin dx收敛; 其他情况发散． 定理4若下列两个条件之一满足，则⎰b a dx x g x f )()(收敛：（b 为唯一瑕点）2.4 （1）（Abel 判别法）⎰ba dx )x (f 收敛, )x (g 在)b ,a [上单调有界(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰η-b adx)x (f 在[a ,b )上有界, g (x ) 在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx .例7 讨论广义积分⎰+∞1dx xxcos 的敛散性， 解 令f (x )=x1, g (x )=cos x则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零，F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin A sin -在[a ,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛， 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+ 因⎰∞+121dx x 发散，⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx 发散由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散， 所以⎰∞+1cos dx xx条件收敛 例8 讨论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx 的敛散性．解 由上一题知，广义积分⎰∞+1cos dx xx 收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx 收敛.另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有|arctan cos |x x x ≥|cos |xx前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx xx x 条件收敛.当然判断反常积分是否收敛的方法还有很多在此就不一一例举了. 3 瑕积分与无穷积分的关系设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 若 令xb t -=1,则 t b x 1-=, dt tdx 21=,a b t a x -=⇔=1，+∞=⇔=t b x 从而有dt t t b f dx x f ab b a2111)(⎰⎰∞+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=这样瑕积分就化成了无穷积分； 设0>a , 若令xt 1=,则 t x 1=, dt tdx 21-=,总结本文根据对反常积分的定义及其性质的分析，总结了反常积分敛散性判别的多种方法与技巧，并且辅以例题使其直观.经过本文的讨论，反常积分敛散性判别法主要有定义，柯西收敛准则，绝对收敛判别，比较法则及其极限形式，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.适当而准确的运用这些方法，我们可以方便快捷的判别一个具体的反常积分的敛散性，更好的解决我们在反常积分的计算上的问题，帮助我们对微积分有一个更好的认识.然而数学的世界是探索不尽的，反常积分的敛散性的判别方法与技巧也是丰富多彩的，不止这几种，我们还应该加强学习，不断努力，继续深入的探究这些方法，融入到美好的数学世界中去参考文献；[1]数学分析（华东师大编）第三版上册,2005,266-267.[2]数学分析理论方法与技巧（华中科技版）,2008,28(9):143-144.[3]边亚明【12】广义积分的一种敛散性的判断,2000,18(3):95-96.[4]何忆捷《高等数学研究》,2005,18(3):95-96.[5]李立清武汉科技大学学报（自然科学版）》,2002,9(2):10-14.[6]黄慧陈辉《高等数学研究》,2009,11(4):3-7.。