自动控制原理第4章根轨迹法(史小平主讲课件)

1
得：
k
s p1 s p2 s p3 s p4 s z1
反过来说， 当参数 k 取该值时，闭环极点就是上述
s 点。
9
绘制根轨迹的主要步骤
1 把系统的开环传递函数写成零极点形式；
2 在s平面上画出开环零点和开环极点；
3
在s平面上找出满足幅角条件的点，再把这些点 连接成根轨迹；
特征方程写为：
开环零点 开环极点
k (s z1 )(s z2 ) ( s zm ) 1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
5
根轨迹的幅值条件（模条件）：
G( s) H ( s)
k s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
分布于第II、第III象限的共轭虚数极点：
共轭虚数闭环极点：
(k 1) j 6k k 1 s1,2 2
2
以第II象限的闭环极点
s1 为例：
2
(k 1) j 6k k 1 s1 2
27
(k 1) j 6k k 1 s1 2
2
k 1 x Re s1 2
Im
0
Re
虚数开环零点的入射角示意图
34
p
s
Im
1
p1
p
1
p1 的出射角
闭环极点 s 位于 p1 的邻域内
zi
i 1, 2,, m
pj
0
Re
j 2,3,, n
开环虚数极点出射角求取示意图
绘制根轨迹的基本规则（续）
7 始于开环虚数极点的根轨迹的出射角为
m n
p (2l 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
规定逆时 针幅角为 正，反之 为负。 Re
z1
3 p3
p10
G(s)H (s) 1 1 2 3 4 2l 1
则说明点 s 在根轨迹上。
8
然后根据根轨迹的幅值条件求取相应的参数 k 值：
由：
G( s ) H ( s )
k s z1 s p1 s p2 s p3 s p4
k ( s 2) G(s) H (s) s( s 1)
23
Im
-0.59 -3.41
z1
B
-3
p2
-1 A
p1
0 Re
-2
24
思考题
例4-2中根轨迹的中间部分是否是一个圆？为什么？ 解答
k ( s 2) G(s) H (s) s( s 1)
D(s) s(s 1) k (s 2) 0
伊凡思（W.R.Evans）提出根轨迹法， 以方便系统设计和调试。
2
4.2 根轨迹的基本概念
根轨迹
系统中某个参数由0变化到 时，
闭环极点在s平面内画出的轨迹。
本章首先研究 开环放大倍数从0
时，闭环极点的轨迹，
3
称为一般根轨迹。
R( s)
G (s)
-
Y ( s)
H ( s)
Y ( s) G( s) 闭环传递函数： ( s) R( s) 1 G ( s ) H ( s)
n
其中，闭环系统的特征方程为
D(s) s an1s
n
n1
a1s a0 0
46
[例4-7]
在例4-1中，给定负反馈系统的开环
传递函数为
k G(s) H (s) s( s 1)( s 2)
当根轨迹与虚轴相交时， 已知两个闭环极点为
s1,2 j 2 ， 试确定这种情况下的第三个
6k k 1 y Im s1 2
2
28
k 1 x 2 2 y 6k k 1 2
由式（2）可得：
由式（1）可得：
（1）
（2）
2
4 y 6k k 1
2
（3） （4）
k 2 x 1
式（4）代入式（3），并整理可得：
4
对于根轨迹上的一些必要的点，利用幅值条件
求出它们所对应的 k 值， 还可以进一步求出对应
的开环放大倍数 K 的值。
10
4.3 绘制根轨迹的基本规则
1 根轨迹的分支数等于开环零点数目与开环极点数目 中的较大者。 2 根轨迹是连续的，并且是关于实轴对称的。
3 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
11
1
i 1
j 2
终止于开环虚数零点的根轨迹的入射角为
z (2l 1) ( z1 p j ) ( z1 zi )
1
n
m
j 1
i 2
l 0, 1, 2,
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注意 以上两式只给出了 p1 和 z1 的出射角和入射角， 若计算其他开环虚数零、极点处的入射、出射角， 只要将该点的编号改为1即可。
特征方程：
1 G( s ) H ( s ) 0 G(s) H (s) 1
此方程的根即为闭环极点。
4
开环传递函数：
k ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn )
z1 , z2 ,, zm p1 , p2 ,, pn
1
根轨迹的相角条件（幅角条件） ：
G(s)H (s) s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn 2l 1
l 0, 1, 2,
6
举例
给定开环传递函数
39
[例4-6]
参数
求例4-1中根轨迹与虚轴交点的坐标及相应的 的值。
k
k G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
40
Im
2

3 rad
k 6
p3
-2
p2
-1 A 0
p1
1
Re
2 k 6
41
开环放大倍数的求取
根轨迹上某一点
s
满足模条件：
k s z1 s z2 s zm G (s) H (s) 1 s p1 s p2 s pn
p1
1
z1
-2.12 -2
p2
-1
0 -1
Re
38
根轨迹与虚轴的交点坐标
8
根轨迹与虚轴的交点坐标 及对应的参数
k 的值， 由代数方程组
Re 1 G j H j 0 Im 1 G j H j 0
所确定。
K i s 1
i 1 r
m
s v T j s 1 Tl 2 s 2 2 lTl s 1
j 1 l 1
q
v q 2r n
43
不考虑积分环节
k s zi
j v 1 m
G ( s) H ( s)
s p
绘制根轨迹的大致图形。
18
Im
z1
B
-3
p2
-1 A
p1
0 Re
-2
19
6
根轨迹的汇合分离点坐标 是方程
M (s) N (s) M (s) N (s) 0
的根， 其中开环传递函数为
kM ( s ) G ( s) H ( s) N ( s)
20
附加规则
l 条根轨迹进入并离开汇合分离点时，
第四章
4.1 引言
根轨迹法
系统的稳定性
系统的闭环极点 系统的动态性能 系统闭环特征方程的根 高阶方程情形 下求解很困难
系统参数（如开环放大倍数）的变化会引起其 变化，针对每个不同参数值都求解一遍根很麻 烦。
1
系统参数的值 一一 对应 关系
闭环极点在复 平面内的位置
如开环放 大倍数 参数连续变化
闭环极点在复平面 内画出相应的轨迹
x 4 x y 2
2 2
29
x 4 x y 2
2 2
x 4x 4 y 2
2 2
x 2
由于
2
y 2
2
（5）
s1 位于第II象限， 因此：x 0 ，y 0
2 为半径，
30
式（5）表示一个以 (2, 0) 为圆心，
且位于第II象限的半圆。
D(s) s (k 1)s 2k 0
2
25
D(s) s (k 1)s 2k 0
2
(k 1) (k 1) 8k s 2
2
(k 1) k 6k 1 2
2
当 k2
6k 1 0 时， 闭环系统存在一对
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j 1 j i 1
n
m
i
nm
13
5 实轴右方开环零点和开环极点数目之和为奇数的 线段是根轨迹；
实轴右方开环零点和开环极点数目之和为偶数的 线段不是根轨迹。
Im
0
Re
实轴上的根轨迹分布示意图
14
Im
p2
p5
z1
0
s
p4
z2
p1
Re
p3 0 G ( s) H ( s) s z1 s z2 s p1 s p2 s p3 s p4 s p5 0 2l 1
2i 1 ，i 0, 1, 2, 相邻两条根轨迹间的夹角为 l
若 l 2 ，则相邻两条根轨迹间的夹角为 。 2