5简单复合函数的求导 法则 教案(詹)
最新整理高二数学教案高二数学2.5简单复合函数的求导法则教案.docx
最新整理高二数学教案高二数学2.5简单复合函数的求导法则教案2.5简单复合函数的求导法则教学过程：（一）复习引入1.几种常见函数的导数公式(C)¢＝0(C为常数)．(xn)¢＝nxn－1(nÎQ)．(sinx)¢＝cosx．(cosx)¢＝－sinx．2．和（或差）的导数(u±v)¢＝u¢±v¢．3．积的导数(uv)¢＝u¢v＋uv¢．(Cu)¢＝Cu¢．4．商的导数（二）讲授新课1．复合函数：如y＝(3x－2)2由二次函数y＝u2和一次函数u＝3x－2“复合”而成的．y ＝u2＝(3x－2)2．像y＝(3x－2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．练习：指出下列函数是怎样复合而成的．复合函数的导数一般地，设函数u＝j(x)在点x处有导数ux＝j(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数yu＝f(u)，则复合函数y＝f(j(x))在点x处也有导数，且yx ＝yu•ux．或写作fx(j(x))＝f(u)j(x)．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例1求y＝(3x－2)2的导数．解：y＝[(3x－2)2]＝(9x2－12x＋4)＝18x－12．法1函数y＝(3x－2)2又可以看成由y＝u2，u＝3x－2复合而成，其中u称为中间变量．由于yu＝2u，ux＝3，因而yx＝yu•ux＝2u•3＝2u•3＝2(3x－2)•3＝18x－12．法2yx＝yu•ux例2求y＝(2x＋1)5的导数．解：设y＝u5，u＝2x＋1，则yx＝yu•ux＝(u5)u•(2x＋1)x＝5u4•2＝5(2x＋1)4•2＝10(2x＋1)4．练习1.求函数的导数.例4.解：设y＝u－4，u＝1－3x，则yx＝yu•ux＝(u－4)u•(1－3x)x＝－4u－5•(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝例5.例6．求的导数．解：例7．求的导数．解法1：解法2：（三）课堂小结复合函数的导数：（四）课后作业。
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 §5 简单复合函数的求导法则
∴yx'=f'(u)φ'(x)=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
2
(2)∵函数 y=ln(6x+4)可看作是由函数 f(u)=ln u 和 u=φ(x)=6x+4 > - 3 复合
6
√10
f'(40)=
2√40
=
1
(mm/min).
4
答案:D
4.若f(x)=ecos x,则f'(x)=
答案:-sin x·ecos x
.
5.求曲线 y=f(x)=
1
2 -3
1
在点 4, 处的切线方程.
2
3
1 2
解:由复合函数的求导法则,可得 f'(x)=- (x -3x) 2 ·(2x-3),
综上,[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
3.一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到
了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数
y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y= f(φ(x)) ,其中u为中间变量.
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为yx'=[f(φ(x))]'= f'(u)φ'(x) ,其中u=φ(x).
e
-2t
9
9
(2)y=5(x+32)=5(16e-2t+36),
9×16 -2t
288 -2t
y'= 5 e ×(-2)=- 5 e .
高中数学第二章导数及其应用5简单复合函数的求导法则学案北师大版选择性
§5简单复合函数的求导法则最新课程标准学科核心素养能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算)3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)[教材要点]要点一复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成____________，称这个函数为函数y＝f (u)和u ＝φ(x )的____________，记作____________，其中u为中间变量．要点二复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y x′＝____________．即y对x的导数是__________________．状元随笔(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．( )(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.( )(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.( )(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x．( )2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( )A．y＝ln (x－2) B．y＝ln x＋x－2C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x3．若函数f(x)＝3cos (2x＋)，则f′()等于( )A．－3 B．3C．－6 D．64．曲线y＝e－x在点(0，1)的切线方程为________．题型一求复合函数的导数例1 求下列函数的导数(1)y＝；(2)y＝cos (2 021x＋8)；(3)y＝e1－3x；(4)y＝ln (2x－6)．方法归纳复合函数求导的步骤跟踪训练1 (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；(3)y＝sin (－2x＋)；(4)y＝102x＋3.题型二复合函数的导数与曲线的切线问题例2 (1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为__________．方法归纳准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．跟踪训练2 (1)设曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，则切线l的方程为________；若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，则实数u的取值范围为________________________________________________________________________．题型三复合函数的导数在实际问题中的应用例 3 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin (t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．方法归纳将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．跟踪训练3 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克易错辨析对复合函数求导不完全致错例4 函数y＝x e1－2x的导数y′＝________．解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋x e1－2x·(1－2x)′＝e1－2x＋x e1－2x(－2)＝(1－2x)e1－2x.答案：(1－2x)e1－2x【易错警示】出错原因纠错心得对e1－2x 的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错．复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导．[课堂十分钟]1．y＝5的导数是( )A．54B．5C．104D．542．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( )A．2x －y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．e x－y －2e ＋1＝0D．e x＋y ＋2e－1＝03．(多选题)下列导数运算正确的有( )A．′＝B ．′＝(x＋1)e xC．′＝2e2xD．′＝4．已知f(x)＝sin ，则f′＝____________．5．设函数f(x)＝a e x ln x＋.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．§5简单复合函数的求导法则新知初探·课前预习要点一x的函数复合函数y＝f(φ(x))要点二y u′·u x′y对u的导数与u对x的导数的乘积[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：函数y＝ln (x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.答案：AD3．解析：由题意得f′(x)＝－6sin (2x＋)，∴f′()＝－6sin＝6sin＝6×＝3.答案：B4．解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴y′|x＝0＝－1，∴切线方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝0题型探究·课堂解透题型一例1 解析：(1)设u＝φ(x)＝3－4x，则y＝f(u)＝＝u－4，∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(3－4x)′＝(－4u－5)·(－4)＝＝.(2)设u＝φ(x)＝2 021x＋8，则y＝f(u)＝cos u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(cos u)′·(2 021x＋8)′＝(－sin u)·2 021＝－2 021sin (2 021x＋8)．(3)设u＝φ(x)＝1－3x，则y＝f(u)＝e u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(e u)′·(1－3x)′＝e u·(－3)＝－3e1－3x.(4)设u＝φ(x)＝2x－6，则y＝f(u)＝ln u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(ln u)′·(2x－6)′＝×2＝＝.跟踪训练1 解析：(1)设u＝φ(x)＝2x－1，则y＝f(u)＝u4，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)设u＝φ(x)＝1－2x，则y＝f(u)＝＝，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝)′·(1－2x)′＝)·(－2)＝＝.(3)设u＝φ(x)＝－2x＋，则y＝f(u)＝sin u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(sin u)′·(－2x＋)′＝cos u·(－2)＝－2cos (－2x＋)．(4)设u＝φ(x)＝2x＋3，则y＝f(u)＝10u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(10u)′·(2x＋3)′＝(10u·ln 10)×2＝(2ln 10)102x＋3.题型二例2 解析：(1)设x>0，则－x<0，因为x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝e x－1＋x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即：2x－y＝0.(2)因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.答案：(1)2x－y＝0 (2)跟踪训练2 解析：(1)令y＝f(x)，则曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(x)＝(e ax)′＝a e ax.所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.(2)f′(x)＝2ax＋(x<2)，∴f′(1)＝2a－2 又f(1)＝a，∴切线l的方程为：y－a＝(2a－2)(x－1)，即2(a－1)x－y＋2－a＝0.若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，则圆心到直线l的距离d＝<.解得a>，即实数a的取值范围为(，＋∞)．答案：(1)2 (2)2(a－1)x－y＋2－a＝0 (，＋∞)题型三例3 解析：设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋.由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos x·＝cos .将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos ＝(m/h)．它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.跟踪训练3 解析：M′(t)＝，由M′(30)＝＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝，所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝＝600×＝150(太贝克)．故选D.答案：D[课堂十分钟]1．解析：令u＝3x2＋2x，则y＝u5，∴u′x＝6x＋2，y′u＝5u4，∴y′x＝y′u·u′x＝5.故选A.答案：A2．解析：∵y＝e2x－4，求导得y′＝2e2x－4，则当x＝2时，y′＝2e0＝2，所以切线的斜率为2.又当x＝2时，y＝e2x－4＝e0＝1，所以切点为(2，1)．所以切线方程为2x－y－3＝0.故选A.答案：A3．解析：对于A，′＝′＝－x－2＝－，故错误；对于B, ′＝x′e x＋x′＝(x＋1)e x，故正确；对于C, ′＝′e2x＝2e2x，故正确；对于D, ′＝′＝，故错误．故选BC.答案：BC4．解析：由f(x)＝sin ，可得f′(x)＝cos ·′＝，故f′＝＝－.答案：－5．解析：(1)由f(x)＝a e x ln x＋，得f′(x)＝(a e x ln x)′＋′＝a e x ln x＋.(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2.将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝a e＝e，∴a＝1.。
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
高二数学复合函数的求导法则教案
高二数学复合函数的求导法则教案教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则 导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e =()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 xcos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
简单复合函数的导数(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：简单复合函数的导数.内容解析：要正确地对复合函数求导，首先要分析清楚复合函数的结构，教学中应将重点放在引导学生理解简单复合函数地复合过程中，即因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程，并明确复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么.二、目标和目标解析目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数. 目标解析：通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备求出简单的形如复合函数的导数的能力.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心.三、教学问题诊断分析教学问题：学生已经掌握了函数的求导以及一些基本初等函数的求导公式对于复合函数的导数,学生的认知困难主要在两个方面:（1）什么是复合函数？学生对新概念的理解和接受是比较困难的；（2）如何对复合函数进行求导？要求学生掌握方法并运用.因此,应该重视培养学生独立思考和计算的能力，重视学生参与知识的发现过程、重视课堂问题的设计,引导学生解决问题.基于以上分析，本节课的教学重点定为：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程；教学难点定为：记忆复合函数求导法则的公式结构.四、教学策略分析教材主要研究形如()()y f g x =()ln 21y x =-，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的，教材中通过细致研究sin 2y x =的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则.对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于()f ax b +的形式即可.。
5.简单复合函数的求导法则导学案
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：§5简单复合函数的求导法则【学习目标】1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则；2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。
【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。
【使用说明与学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】1.复合函数对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量.2.复合函数的导数如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='xy 【合作探究】求下列函数的导数（1）82)21(x y += （2）33x x y +=（3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y1、 )ln 1(2x xey x += （6）x x y -+=11ln2、曲线x ey x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。
3、已知函数2()(2)2x f x ln x a=--，a 为常数。
(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线()y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。
【巩固提高】1、求下列函数的导数（1）y =2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x（3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y +=2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f '3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限（1）求点0P 的坐标（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。
第2章 §5 简单复合函数的求导法则
§5简单复合函数的求导法则学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点一复合函数的概念已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？答案函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？答案设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．梳理一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．知识点二复合函数的求导法则(1)复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．(2)复合函数求导的步骤①适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝φ(x)．②分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求f′(u)，再求φ′(x)．③计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代入原变量的函数．1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(×)2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(×)3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成．(√)类型一 复合函数的概念 例1 指出下列函数的复合关系． (1)y ＝(a ＋bx )x ；(2)y ＝ln 3e x ＋2； (3)y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)；(4)y ＝sin 3⎝⎛⎭⎫x ＋1x . 考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 解 函数的复合关系分别是： (1)y ＝u x ，u ＝a ＋bx .(2)y ＝ln u ，u ＝3v ，v ＝e x ＋2. (3)y ＝3log 2u ，u ＝x 2－2x ＋3. (4)y ＝u 3，u ＝sin v ，v ＝x ＋1x.反思与感悟 要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数．跟踪训练1 下列函数不可以看成是复合函数的是( ) A ．y ＝x cos x B ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 答案 A解析 B 中函数y ＝1ln x 是由函数f (u )＝1u和函数u ＝φ(x )＝ln x 复合而成的，其中u 是中间变量；C 中函数y ＝(2x ＋3)4是由函数f (u )＝u 4和函数u ＝φ(x )＝2x ＋3复合而成的，其中u 是中间变量；D 中函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是由函数f (u )＝sin u 和函数u ＝φ(x )＝π2－x 复合而成的，其中u 是中间变量．故选A. 类型二 复合函数的求导例2 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数解 (1)y ′＝2×(3x －2)·(3x －2)′＝6×(3x －2) ＝18x －12.(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1. (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 .(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .类型三 复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由y ＝e sin x ，得y ′＝(e sin x )′＝cos x e sin x ， 即当x ＝0时，y ′＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数答案 B解析 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.2．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln 2B ．－ln 2 C.ln 22 D ．－ln 22考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 f ′(x )＝e x －a ·e －x ， 由f ′(x )为奇函数可得a ＝1， 故f (x )＝e x ＋e －x ，f ′(x )＝e x －e －x . 设点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为32，则0e x－0ex －＝32，解得x 0＝ln 2. 3．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．a >0 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 由题意得f ′(x )＝12·(ax 2－1)12-·2ax ＝ax ax 2－1，所以f ′(1)＝a a －1＝2，所以a ＝2.故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝________. 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 3 3解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 e 2解析 y ′＝122e x，切线的斜率k ＝12e 2，则切线方程为y －e 2＝e 22(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2， ∴切线与坐标轴围成三角形的面积为 12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键．一、选择题1．函数y ＝2sin 3x 的导数y ′等于( ) A ．2cos 3x B ．－2cos 3x C ．6sin 3xD ．6cos 3x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 D解析 y ′＝2(cos 3x )·(3x )′＝6cos 3x .2．已知函数f (x )＝24x －3，则f ′⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A.14 B.14ln 2 C ．ln 2D ．1考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 ∵f ′(x )＝24x －3·ln 2·(4x －3)′＝24x －1·ln 2，∴f ′⎝⎛⎭⎫14＝ln 2.3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 y ′＝a －1x ＋1，由题意得当x ＝0时，y ′＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 4．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 ∵当x ＝0时，y ′＝－2e －2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得x ＝y ＝23，∴A ⎝⎛⎭⎫23，23，则围成的三角形的面积为12×23×1＝13.5．若f (x )＝e 2x ln 2x ，则f ′(x )等于( ) A ．e 2xln 2x ＋e 2x2xB ．e 2xln 2x ＋e 2xxC ．2e 2xln 2x ＋e 2xxD ．2e 2x ·1x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 f ′(x )＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x (ln 2x )′＝2e 2x ln 2x ＋1xe 2x .6．已知函数f (x )＝e ax ＋3x (x ∈R )，a 为实数，若f ′(x )＝0有大于零的解，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13 D ．a <－13考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 ∵f ′(x )＝a e ax ＋3， 由a e ax ＋3＝0，得e ax ＝－3a (a <0)．又f ′(x )＝0有大于零的解， ∴0<－3a<1，∴a <－3.7．要得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B ．向左平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C ．向右平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)D ．向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3， ∴将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f ′(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3的图像． 二、填空题8．函数y ＝cos(π－3x )的导数y ′＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 3sin 3x解析 ∵y ＝－cos 3x ，∴y ′＝－(－sin 3x )·(3x )′＝3sin 3x . 9．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1， 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e 1－1＝2.10．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 1解析 令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.11．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，0e x －)，当x ＝x 0时，y ′＝－0ex －＝－2，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2)． 12．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧ 1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.三、解答题13．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y ′＝(e 2x cos 3x )′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x )＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，得当x ＝0时，y ′＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5，得c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图像(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，即P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.。
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计
一、教学背景
1.1 教材依据：本次教学是基于中学数学课本的“复合函数求导法则”章节。
1.2 教学目的与要求：通过本次教学，使学生掌握复合函数求导法则，
达到理解复合函数求导法则的意义及熟练掌握对应的技能，可以更深
入地了解复合函数，以及更多地探索其他更复杂的复合函数求导问题。
二、教学内容
2.1 学习目标：
①了解复合函数求导法则中各个概念的定义和含义；
②熟练掌握各类复合函数求导法则；
③熟练运用复合函数求导法则解决具体问题。
2.2 教学重点：
1.掌握以下知识点：
①复合函数的概念；
②链式法则的定义、意义及其特点；
③背景知识：一阶和高阶导数的概念；
④运用复合函数求导法则解决具体问题。
2.教学步骤：
（1）让学生围绕复合函数在理论上进行讨论，学会建立函数和复合函
数之间的逻辑关系，从而让学生对复合函数有一个深入的了解和理解。
（2）让学生在重点知识点上举一反三，运用复合函数求导法则，学会联系复合函数的概念，积极发展活跃的思维，不断提高函数概念的把握水平，以及熟练掌握对应的技能。
（3）提供一些复杂的复合函数求导问题，让学生应用复合函数求导法则来解决，可以从多个角度进行不同的尝试，解决问题的过程将巩固学习知识并锻炼学生的技能。
三、教学方法
本次教学采用归纳法、演示法、解释法及讨论法，在每一重点知识点前用归纳法让学生对相关概念有一个大体的认识，在每一重点知识点中利用演示法让学生理解规律，在每一重点知识点的讲解过程中利用解释法，帮助学生进一步理解知识，同时使用讨论法让学生在团体中交换想法，达到彼此学习的目的。
高中数学同步学案 简单复合函数的求导法则
§5 简单复合函数的求导法则学 习 目 标核 心 素 养1．了解复合函数的概念．(难点) 2．掌握复合函数的求导法则．(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点)1．通过对复合函数的求导法则的理解,提升了学生的逻辑推理的核心素养.2．通过运用复合函数求导法则进行求导的学习,培养了学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地,对于两个函数y ＝f(u)和u ＝φ(x)＝ax ＋b,给定x 的一个值,就得到了u 的值,进而确定了y 的值,这样y 可以表示成x 的函数,我们称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝φ(x)的复合函数,记作y ＝f(φ(x)),其中u 为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f(φ(x))的导数和函数y ＝f(u),u ＝φ(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数是y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4A [A 中的函数是一个多项式函数,B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4,y ＝cos u 的复合函数,C 中的函数可看作函数u ＝ln x,y ＝1u的复合函数,D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3,y ＝u 4的复合函数,故选A.]2．(ln 2x)′等于( ) A.12x B.1x C.1xln 2 D.ln 2xB [(ln 2x)′＝12x (2x)′＝1x.]3．已知f(x)＝ln(3x －1),则f′(1)＝________. 32 [f′(x)＝13x －1·(3x－1)′＝33x －1,∴f′(1)＝32.]复合函数的定义【例1】 指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y ＝(3＋5x)2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x.思路探究：分析函数的复合过程主要是设出中间变量u,分别找出y 和u 的函数关系,u 和x 的函数关系．[解] (1)y ＝(3＋5x)2是由函数y ＝u 2,u ＝3＋5x 复合而成的． (2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u,u ＝x 2－2x ＋5复合而成的． (3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u,u ＝3x 复合而成的．判断复合函数的方法判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析,里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次运算而得到的函数．1．指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y ＝ln x ；(2)y ＝esin x；(3)y ＝cos(3x ＋1)．[解] (1)y ＝ln u,u ＝x. (2)y ＝e u,u ＝sin x. (3)y ＝cos u,u ＝3x ＋1．求复合函数的导数(1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝1(2x －1)3；(3)y ＝5log 2(1－x)；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x.思路探究：先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导． [解] (1)函数y ＝e2x ＋1可看作函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数,∴y′x ＝y′u ·u x ′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1．(2)函数y ＝1(2x －1)3可看作函数y ＝u－3和u ＝2x －1的复合函数,∴y′x ＝y′u ·u x ′＝(u －3)′(2x－1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4.(3)函数y ＝5log 2(1－x)可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数, ∴y′x ＝y′u ·u′x ＝(5log 2u)′·(1－x)′ ＝－5uln 2＝5(x －1)ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数,函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y′x ＝(u 3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u 2·cos x＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(4)y ＝102x ＋3.[解] (1)原函数可看作y ＝u 4,u ＝2x －1的复合函数,则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x－1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x)－12可看作y ＝u－12,u ＝1－2x 的复合函数,则y x ′＝y u ′·u x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12u －32·(－2)＝(1－2x)－32＝1(1－2x )1－2x .(3)原函数可看作y ＝sin u, u ＝－2x ＋π3的复合函数,则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u·(－2) ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (4)原函数可看作y ＝10u,u ＝2x ＋3的复合函数, 则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(2ln 10)102x ＋3.复合函数导数的应用1．求曲线y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在x ＝π6处切线的斜率．[提示] ∵y′＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,∴切线的斜率k ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝－2． 2．求曲线y ＝f(x)＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程． [提示] ∵f′(x)＝e2x ＋1·(2x＋1)′＝2e 2x ＋1,∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2, ∴曲线y ＝e2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12, 即2x －y ＋2＝0.【例3】 已知函数f(x)＝ax 2＋2ln(2－x)(a∈R),设曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切,求实数a 的值．思路探究：求出导数f′(1),写出切线方程,由直线l 与圆C 相切,建立方程求解． [解] 因为f(1)＝a,f′(x)＝2ax ＋2x －2(x<2),所以f′(1)＝2a －2,所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切,所以圆心到直线l 的距离等于半径,即d ＝|2－a|4(a －1)2＋1＝12,解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程；若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标．总之,在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．3．曲线y ＝f(x)＝esin x在(0,1)处的切线与直线l 平行,且与l 的距离为2,求直线l 的方程．[解] 设u ＝sin x,则f′(x)＝(e sin x)′＝(e u)′(sin x)′＝cos xe sin x.f′(0)＝1．则切线方程为y －1＝x －0, 即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1．故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．判断复合函数的复合关系的一般规律是：从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系．这样一层一层分析,最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．2．求复合函数导数的几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3.( )(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝13x 2. ( ) (3)(e 2x)′＝e 2x.( ) (4)(cos 2x)′＝－sin 2x. ( ) (5)(ln 5x)′＝1x.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________.2 [令y ＝f(x),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f′(0)＝2．因为f(x)＝e ax,所以f′(x)＝(e ax)′＝(e ax)·(ax)′＝ae ax,所以f′(0)＝ae 0＝a,故a ＝2．]3．已知f(x)＝e 2x－2x,则f′(x )e x －1＝________.2(e x＋1) [f′(x)＝2e 2x－2,∴f′(x )e x －1＝2e 2x－2e x －1＝2(e x＋1)(e x－1)e x－1＝2(e x＋1)．] 4．求下列函数的导数．(1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y ＝(2x －1)3； (3)y ＝e－2x ＋1．[解] (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看做函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数, 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u)′·(x＋3)′ ＝－sin u·1＝－sin u ＝－sin(x ＋3)．(2)函数y ＝(2x －1)3可以看做函数y ＝u 3和u ＝2x －1的复合函数, 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 3)′·(2x－1)′ ＝3u 2·2＝6u 2＝6(2x －1)2．(3)函数y ＝e－2x ＋1可以看作函数y ＝e u和u ＝－2x ＋1的复合函数,由复合函数的求导法则可得y′＝y′u ·u′x ＝(e u)′·(－2x ＋1)′＝e u·(－2)＝－2e u＝－2e －2x ＋1．。
复合函数的求导法则教案
复合函数的求导法则教案教学背景分析（一）本课时教学内容的功能和地位能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.（二）教学重、难点及分析重点：理解简单复合函数的复合过程，简单复合函数的求导法则的应用.难点：复合函数结构的分析，简单复合函数的求导法则的应用.教学三维目标（一）知识与技能（1）了解简单复合函数的求导法则；（2）会运用上述法则，求简单复合函数的导数.（二）过程与方法培养学生感悟由特殊到一般的直观归纳的研究方法，培养学生的归纳总结能力与主动观察和探究发现的能力.（三）情感态度与价值观1.通过提问使学生展现自己.2.让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.一、复习回顾基本初等函数的导数公式公式1.0)(,)(='=x f c x f 则若公式2.1)(,)(-⋅='=n n x n x f x x f 则若公式3.x x f x x f cos )(,sin )(='=则若公式4.x x f x x f sin )(,cos )(-='=则若公式5.)0(ln )(,)(>='=a a a x f a x f x x 则若公式6.x x e x f e x f ='=)(,)(则若公式7.)10(ln 1)(,log )(≠>='=a a a x x f x x f a 且则若 公式8.xx f x x f 1)(,ln )(='=则若 导数的运算法则法则1：两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即[])()()()(x g x f x g x f '±'='±法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：[])()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'='⋅法则3：两个函数的商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方.即[]0)(,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 法则2推论：[])()()()(x f c x f c x f c x f c '='+'='⋅二、探究引入思考：如何求函数)23ln(+=x y 的导数呢？我们无法用现有的方法求函数)23ln(+=x y 的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设23+=x u ，则u y ln =.即)23ln(+=x y 可以看成是由u y ln =和23+=x u 经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数.如果把y 与u 的关系记作)(u f y =，u 和x 的关系记作)(x g u =，“复合”过程可以表示为 )23ln())(()(+===x x g f u f y .如函数2)32(+=x y ，是由2u y =和32+=x u “复合”而成的. 三、新课讲解复合函数的概念：一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的复合函数.记作))((x g f y =.实战演练例：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成.x x y +=22)1()sin(log )2(2x e y =注意：法则可推广到两个以上的中间变量.解：x x u y u +==2,2)1(x v e v u u y ===,log ,sin )2(2复合函数求导法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为：x u x u y y '⋅'='即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.推广：)(u f y =，)(v g u =，)(x h v = x v u x v u y y '⋅'⋅'='无论是几层函数复合都可以按照复合函数求导法则，外导乘内导例 求)23ln(+=x y 的导数解：第一步：u y ln =，23+=x u 第二步：uy u1='，3='x u 第三步：23331+=⋅='x u y x（学生总结复合函数求导步骤）复合函数求导三部曲：第一步：分层（从外向内分解成基本函数用到中间变量）.第二步：层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）.第三步：相乘还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原）.例 求下列函数的导数（以老师计算、演示为主，说明根据复合函数求导公式求导数的具体操作过程.）（1）2)32(+=x y解：方法一()91243222++=+=x x x y 128+='x y思维点拨：括号直接展开求导；本题还有另外的解法，学生思考分析.方法二函数2)32(+=x y 可以看作函数2u y =和32+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有 ()()'+⋅'='⋅'='322x u u y y x u x ()12832422+=+=⋅=x x u（2）105.0+-=x e y 解：函数105.0+-=x e y 可以看作函数ue y =和105.0+-=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+-⋅'='⋅'='105.0x e u y y u x u x ()05.0-⋅=ue 105.005.0+--=x e（3）()ϕπ+=x y sin （其中ϕπ,均为常数）解：函数()ϕπ+=x y sin 可以看作函数u y sin =和ϕπ+=x u 的复合函数.根据复合函数求导法则有()()'+⋅'='⋅'='ϕπx u u y y x u x sinu cos π=()ϕππ+=x cos（4）32-=x y解：函数()2132-=x y 可以看作函数21u y =和32-=x u 的复合函数，根据复合函数求导法则有 ()'-⋅'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅'='3221x u u y y x u x 2121221--=⋅=u u ()3213221-=-=-x x 通过例题，使学生掌握复合函数求导的方法和步骤.四、当堂检测1.若函数x y 2sin =，则y '等于（ ） A .x 2sin B .x sin 2 C .x x cos sin D .x 2cos2.函数()223-=x y 的导数为（ ） A .()232-x B .x 6 C .()236-x x D .()236-x3.求下列函数的导数.（1）xe y 3=（2）3cos x y =解：（1）x e y 33='（2）3sin 31x y -=' 总结：复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.能力提升1.求函数x e y x ππsin =的导数.解：x e x e y x x ππππππcos sin +='2.求函数()52sin 2+=x x y 的导数.解：()()52cos 452sin 2+++='x x x y3.求函数21x xy +=的导数.解：()()()2222111x x x x x y +'+-+'=' 222121211x xxx x +⋅+-+= 2222111x x x x ++-+= ()()2222111x x x x ++-+= ()22111x x ++=简单复合函数导数的应用1. 求曲线12)(+=x ex f 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处的切线方程. 解：122)(+='x e x f 22)21(0==-'=e f k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2121x y 即022=+-y x ∴切线方程为022=+-y x五、课堂小结1. 复合函数求导的一般步骤为“分层→求导→相乘回代”.2.（1）分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键（2）对复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外向内逐层求导.六、课后作业（拓展延伸）（1）()()x y sin sin sin = （2）()()x y ln ln ln =。
高中数学 第二章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则教案(含解析)2数学教案
5简单复合函数的求导法则已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2如何复合的．提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，则y ＝u 2，u ＝3x ＋2，y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2. 问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系． 提示：y ′＝[f (g (x ))]′＝f ′(u )·g ′(x )． 1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作y ＝f (φ(x ))，其中u 为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (φ(x ))的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )． 利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤： (1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数．(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数．简单的复合函数求导[例1] (1)y ＝sin 3x ；(2)y ＝11－2x2；(3)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)； (4)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[思路点拨] 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·(3x )′＝cos u ·3＝3cos 3x .(2)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －12)′·(1－2x 2)′＝－12u －32·(－4x )＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(3)设y ＝lg u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(lg u )′·(2x 2＋3x ＋1)′ ＝1u ln 10·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1ln 10. (4)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3.则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝2sin v ·cos v ·2＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. [一点通]1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 1．函数y ＝13x －12的导数是( )A.63x －13B.63x －12C ．－63x －13 D ．－63x －12解析：选C ∵y ＝13x －12＝(3x －1)－2，∴y ′＝－2(3x －1)－3·(3x －1)′ ＝－6(3x －1)－3＝－63x －132．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________．解析：f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4， ∴f ′(0)＝10. 答案：103．求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e2x ＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x .解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12； (2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2；(3)y ′＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e2x ＋1；(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1.(5)y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4′＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.(6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .复合函数导数的综合问题[例2] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．[精解详析] 设f (x )＝3sin x ，x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6.由复合函数求导法则得s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋5π6.将t ＝18代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18 h 时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.[一点通] 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．4．f (x )＝ax －1，且f ′(1)＝1，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝12ax －1·(ax －1)′＝a2ax －1，∴f ′(1)＝a2a －1＝1.解得a ＝2. 答案：25．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ′＝a ·e ax，且y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，∴k ＝2＝f ′(0)＝a ，即a ＝2.答案：26．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x (单位：℃)随时间t (单位：h)的变化满足关系：x ＝4＋16e －2t .(1)求汽水温度x 在t ＝1处的导数；(2)已知摄氏温度x 与华氏温度y 之间具有如下函数关系x ＝59y －32.写出y 关于t 的函数解析式，并求y 关于t 的函数的导数．解：x ′＝－32e－2t.(1)当t ＝1时，x ′＝－32e 2.(2)y ＝95(x ＋32)＝95(16e －2t＋36)，y ′＝9×165e －2t ×(－2)＝－2885e －2t. 求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数． 1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4解析：选A A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝(2 018－8x )8的导数为( ) A ．y ′＝8(2 018－8x )7 B ．y ′＝－64xC ．y ′＝64(8x －2 018)7D ．y ′＝64(2 018－8x )7解析：选C y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14mm/min 解析：选D f ′(t )＝1210t ·10＝510t ，∴f ′(40)＝5400＝14. 5．函数f (x )＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：函数的导数为f ′(x )＝e x －1＋x ex －1＝(1＋x )ex －1，当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2.答案：26．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )， 所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )．① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1.② ②代入①可得x 0＝－1， 所以a ＝2. 答案：27．设曲线f (x )＝ax －ln(x ＋1)在点(1，f (1))处的切线与y ＝12x 平行，则a ＝________.解析：f ′(x )＝a －1x ＋1， 由题意得f ′(1)＝12，即a －12＝12，所以a ＝1. 答案：18．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2－x ＋1)4； (2)y ＝x 1＋x 2； (3)y ＝x ln(1－x )．解：(1)y ′＝4(2x 2－x ＋1)3(2x 2－x ＋1)′ ＝4(2x 2－x ＋1)3·(4x －1)．(2) (2)y ′＝ 1＋x 2＋x [(1＋x 2)12]′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2)-12 (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2)-12·2x＝1＋x 2＋x 21＋x2＝1＋2x21＋x2..(3)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′＝ln(1－x)＋x·－11－x＝ln(1－x)－x1－x.。
5。5简单复合函数的求导法则
5.5简单复合函数的求导法则主备人：王秀花审核人：王福臣编制日期：2012-2-2负责人签字：__________ 班级_高_二________【学习目标】：1. 理解复合函数概念；了解简单复合函数的求导法则。
2. 会用简单复合函数f(ax+b)的求导法则，求出一些简单复合函数的导数。
【学习重点】；复合函数的求导法则。
【学习难点】：将一个复合函数分解为两个（或多个）简单函数。
认真阅读课本P64-65，思考并回答下列问题：一、【自主学习】1.复合函数对于两个函数y=f(u)和u=，如果通过变量u,y表示成___________的函数，我们称这个函数为函数的复合函数，记住___________，其中u为___________变量。
2.复合函数的导数如果函数f(u),u(x)有导数，那么二、【合作交流】1.函数f(x)=(3-2x)，则等于（）A 3(3-2x) B6(3-2x) C-6(3-2x) D-2(3-2x)2.已知函数f(x)=log ,则y =_______.3.求函数f(x)=log的导数。
4.求下列函数的导数：（1）y=x (2)y=5.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀为5%，物价P（单位：元）与时间T有如下函数关系P(T)=P0(1+5%),其中P0为T=0时的物价。
假定某种商品的P0=1.那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01%）？6.求函数y= 的导数。
7. 求过曲线y=cosx上的点(且与过这点的切线垂直的直线方程。
三、【深化提高】8.求曲线和y=x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积。
9.已知函数，求函数图像在x=处切线方程。
四、【我的学习总结】。
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §5 简单复合函数的求导法则
选定中间变量.
(2)尽可能地先将函数化简,再求导.
(3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用.
(4)复合函数的求导过程可简记为分解—求导—回代,熟练以后,可
以省略中间过程.
-4-
§5 简单复合函数的求导法则
知识梳理
首页
自主预习
自主预习
解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)'
=2n(2x+1)n-1.
(2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3).
(3)y'=(xcos 2x)'=x'·cos 2x+(cos 2x)'·x
=cos 2x-2xsin 2x.
∴切线方程为 y-ln( 2-1)=- 2 (x-1),
即 x+ 2y-1- 2ln( 2-1)=0.
-13-
§5 简单复合函数的求导法则
探究一
探究二
首页
自主预习
探究学习
探究学习
当堂检测
思维辨析
反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何一
个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数;
(6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可以
直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导.
-9-
§5 简单复合函数的求导法则
探究一
探究二
第5课时 简单复合函数的求导法则(导学案)
课堂导学
课上固学
课后思学
第一章
第第5一课章时
第 20 页
返回目录
【变式设问】求曲线 f(x)=e2x+1 过点 - 1 ,0 的切线方程.
2
提示:设切点为(x0,e2������0+1),则切线 l 的斜率为 k=2e2������0+1,故切线方程为 y-
e2 ������0 +1 =2e2 ������0 +1 (x-x0),将点
3 则,并结合导数公式和法则求 习题熟练掌握复合函数求 养数学运算的素养
一些简单复合函数的导数 导法则的应用
3
课前预学
课堂导学
课上固学
课后思学
第一章
第第5一课章时
第4 页
返回目录
重点:能够利用复合函数的求导法则,对形如 f(ax+b)的复合函数求导. 难点:简单复合函数的求导法则的应用.
4
课前预学
2020
导学案课堂同步用书
选修2-2
第一章 导数及其应用 第5课时1 简单复合函数的求导法则
金太阳教育研究院
1
1 课前预学
目
2 课堂导学
录
3 课上固学
4 课后思学
第一章 第5课时
第2 页
课前预学
课堂导学
课上固学
课后思学
第一章
第第5一课章时
第3 页
返回目录
序号
知识目标
学法建议
能力素养
阅读教材,合作探究,初步
2
3
23
(3)函数 y=lg(3-2x)是由函数 y=lg u 和 u=3-2x 复合而成.
7
课前预学
课堂导学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5简单复合函数的求导法则
【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.
【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.
(15%)p +5p =，个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？个年头，这种商品的价格上涨的速度，1.05t
⨯关于的导数呢？我们需要用到
'()]g x f =''()]f x g =．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数。
）3
y x =-
'x u .
求下列函数的导数：2
(23)x =+sin(x π=+32(32)31812x x =-=-，x u u y ''⋅
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同。
（学生自主完成（2）、（3））。