控制理论基础第5章 频率响应法
第5章频率响应法
第 5 章频率响应法频率响应法是控制理论的重要组成部分，是分析和综合控制系统的一种工程实用方法。
它不仅适用于单变量系统，而且也可以推广至多变量系统。
它的特点是：不必求解系统的高阶微分方程，可直接根据频率特性曲线的形状及其特征量来研究系统的性能。
其突出的优点是：物理意义明确，可用实验的方法求出系统的频率特性和传递函数；而且计算量小，方法形象和直观，因而广为工程界所采用。
根据它在系统分析和综合中的应用，将频率响应法分为两部分：频率响应分析法和频率响应综合法，并分别在第 5 章和第6 章讨论。
在这一章里主要介绍：频率响应法的基本概念和控制系统频率特性曲线的绘制方法，以及它在系统分析与综合中的应用，重点在于其基本概念和应用。
5.1 频率特性频率响应法起源于通讯学科。
它的基本思想是：将控制系统的变量也看作是信号；这些信号通过傅里叶(Fourier) 分析，对于周期信号可展开为傅氏级数，对于非周期信号可进行傅氏变换，它们均可视为由不同频率成分的正弦信号所合成的；线性定常系统各个变量的运动，就是系统对各个不同频率信号响应叠加的结果。
频率响应法的优点：第一，这种方法具有鲜明的物理意义。
第二，可以用实验方法测出系统的频率特性，并获得其传递函数以及其它形式的数学模型。
第三，它是一种图解法，形象直观、计算量小。
频率响应法也存在一定的局限性：首先它只适用于线性定常系统。
其次，频率响应法的筒便和实用性是以它的工程近似性为代价的。
5.1.1 频率特性的基本概念首先考察图 5.1 一阶RC 电路图图 5.1 所示的简单系统。
该系统为一阶RC 电路。
该电路的微分方程为：（5.1）系统的传递函数为：（5.2）图 5.1 一阶 RC 电路图若外施正弦输入电压，则可得系统的输出响应为：式中等号右边的第一项为输出响应的暂态分量，第二项为输出响应的稳态分量。
当t趋于无穷大时第一项的暂态分量将趋于零，故系统的稳态输出响应为：可以看到：在正弦输入电压作用下系统的稳态输出，是与输入同频率的正弦电压，其幅值为输入幅值的倍，相角比输入的迟后arctgωT。
控制理论第五章频率响应法_学生
20 lg1 +
jωT
= −20lg 1+
1
jωT
∠(1+ jωT ) = −∠( 1 ) 1+ jωT
0
高频渐近线
30
精确曲线 -10
20
-20 10
-30
-1
0
1
10
10
10
0
0
10-1
100
101
90
-30 60
-60 30
-90
-1
0
1
10
10
10
0
-1
0
1
10
10
10
(3)积分和微分环节
特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。
Im
一、典型环节的奈奎斯特曲线
(1)比例环节K G( jω ) = K + j0 = Ke j0
(2)积分和微分环节
Im
0
K
Re
Im
G( jω) =
1
1 − jπ = e2
jω ω
0
Re
ω
ω
ω=0 0
Re
π
ω=0
G( jω ) = jω = ωe j2
(3)一阶环节
当ω = ω 时,G( jω) = 1 ,相角为− 90°
n
j2ξ
其奈氏图如P125页图5-8所示，要求掌握谐振频率的概念。
谐振频率:奈氏曲线上距原点最远的点所对应的频率就是振荡环节
的谐振频率,
ω r
其谐振峰值用 G(
jω r
)
与
G( j0)
之比来表示
二阶微分环节
G( jω) = 1+ j2ξ ω + ( j ω )2 =
自动控制原理(第三版)第五章频率响应法
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
自动控制原理第五章_频率响应法4
( x ) G j x H j x 1800
h 20lgG( j x ) dB
dB 0
0 h 0dB
0
dB
00 h 0dB
h
c
负幅值裕度 正幅值裕度
＋
90
h
0
c
90 180 270
x
2
1 1 a 4 0.84 c 2
10 0.1 例题 G(s) s s 2 s 100 s 0.1s2 0.01s 1 确定幅值裕量与相角裕量 0.1 G (j ) 2 j 0.1j 0.01 j 1
1 0.01
20lg G j x H j x (dB )
系统临界稳定，见右图：
G(j )曲线过(-1,j0)点时
j
G(j) =1 ∠ G(j) = -180o
同时成立！
G(j)
-1
1 =0
0
此时，截止频率等于穿越频率
=0+
K G( j ) j( jT1 1)( jT2 1)
( x ) 900 arctan x arctan 0.1 x
h 20lg 20
180
0
x 3.16 rad s
20
2
x 1 x
2
1 0.01 x
2
20lg
x 0 x
20 20lg 6.02dB 2 3.16
3 2
2(dB)
as 1 例题 G s 2 试确定相角裕量为450时参数a的值 s 2 a 1 ja 1 1 0 G ( j ) exp j ( t g a 180 ) 2 2 j Im
自动控制原理05第五章 频率响应法c2
Nyquist Diagram
-2
起点
-3
ω → 0＋ ∞ ～
1 j ω (1 + j ω T )
G( j0+) =∞e
终点
j( 90°)
-4
-5
G( j∞) = 0 e j (180° )
幅相曲线图
-2 -1 0 1 2
-6 -3
53
Real Axis
K 例题2： 的幅相曲线。 例题 ：绘制 G(S) = (T S +1)(T S +1) 的幅相曲线 1 2
j ( τω 57.3° arctgTω )
A1
ω =∞
ω =0
(ω) = 1800 ωx A1(ωx )
A2
13
已知
） K（τ S + 1 G(S ) H (S ) = 2 , T ,τ , K > 0 S (TS + 1)
试分析并绘制τ 和 情况下的幅相曲线。 试分析并绘制τ>T和τ<T情况下的幅相曲线 o K (τωj + 1) 起点: G( j 0+ ) = ∞∠ 180 起点 解: G( jω ) = ( jω )2 (Tωj + 1) G( j∞) = 0∠180o 终点: 终点 求交点： 求交点：
S ωn
20dBdec 20dBdec
1 TS
1
S2 2 ωn
+ 2ζ
二阶环节 (1>ζ≥ ζ≥0) ζ≥ (ωn>0) ω
3 终点: 曲线收敛于原点，且曲线与坐标轴相切。 终点 曲线收敛于原点，且曲线与坐标轴相切。ω＝∞
ω=∞ ω = 0
Re
2）与实轴的交点 ）
自动控制原理05第五章 频率响应法c3
17
5.6.2 在对数坐标图上应用奈奎斯特稳定性
L( ) 20 lg GH
40
C B
Im
dB
G ( j ) H ( j ) 1
G ( j ) H ( j ) 1
-1
c
A
0
Re
20
c
0.1 0.4 1 2 4 10 20 40 100 200 400 1000
N
N 2
N 2
N N N 2 2 0
幅相曲线在负实轴(-.-1) 区间的正负穿越如图所示
- + - + -1 0
Re
9
R 2N
稳定性分析举例 (1)开环传递函数不含积分环节（0型系统） 直接采用Z=P-2N的稳定性判 例1 据 给出来三个开环传递函数不含有积分环节的
K Ga ( S ) S (TS 1)
0
奈氏曲线图
12
例2.2 给出含有两个积分环节的开环系统
幅相曲线，试判断系统的稳定性。
(b)由于ν ＝2，从 0 点逆时针 补画半径为无穷大的半园。
Im -1
P=0, N=0，Z=0，
所以，闭环系统稳定。
0
0
0
Re
(6) P=0 (7) P=0 (8) P=1 (9) P=1 (10) P=1
Z=P-2N=2 Z=P-2N=0 Z=P-2N=2 N N 110 Z=P-2N=0 N NN 1 10 Z=P-2N=0 N 1 1 NN N 0 Z=P-2N=0 2 2 NN 00 Z=P-2N=1 N 0 1 N N N 0 1 2 2 Z=P-2N=2
自动控制原理(第二版)第五章频率响应法
发展多变量频率响应法
针对多输入多输出系统，需要发展多变量频率响 应法，以便更好地处理复杂系统的分析问题。
深入研究非最小相位系统
针对非最小相位系统的稳定性判断问题，需要深 入研究其频率响应特性，并寻求有效的解决方法 。
06
CATALOGUE
结论
总结频率响应法的要点与重点
01 02 03 04
频率响应法是一种通过分析线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应 来评价系统性能的方法。
频率响应法的优势与局限性
优势
频率响应法能够提供系统在整个频率范围内的动态性能信息，有助于全面了解 系统的性能特点；通过分析频率特性，可以更容易地识别系统的稳定性和潜在 的谐振问题。
局限性
频率响应法主要适用于线性定常系统，对于非线性或时变系统，其应用可能受 到限制；此外，频率响应法无法提供系统的时域信息，如瞬态响应和稳定性。
05
CATALOGUE
频率响应法的局限性与改进方法
频率响应法的局限性
01
频率响应法主要适用于线性时不 变系统，对于非线性或时变系统 ，频率响应法可能不适用。
02
频率响应法只能给出系统在正弦 输入下的稳态输出，无法反映系
统的动态行为。
频率响应法无法处理多输入多输 出系统，对于复杂的多变量系统 ，需要采用其他方法进行分析。
02
CATALOGUE
频率响应的基本概念
频率特性的定义
频率特性
系统对正弦输入信号的稳态输出与输入之比，用复数表示的频率 函数。
频率特性与传递函数
传递函数是系统在零初始条件下，频率特性的解析表达式。
频率特性与系统性能
频率特性直接反映系统在不同频率的正弦输入信号下的响应特性 ，与系统的动态和稳态性能密切相关。
自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
N(s)
例： R(s)
C(s)
- G(s)
(1).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态输出Css(t)。 先求闭环传递函数
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s) 然后列特征方程：1＋G(s)=0，劳斯判据判稳。 如果系统稳定，则稳态输出Css(t)为：
Css (t) A0 ( jw) sin(wt 0 ( jw))
(2).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态误差ess1(t)。
必须判稳，只有稳定的系统才有稳态误差。
这时，求R(s)输入下的误差传递函数 er (s) ，
E(s)=希望输出－实际输出
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
1
e jarctgTw
T 2w2 1
幅频特性: A(w) 1
T 2w2 1
将惯性环节的频率特性 G( jw)分解成实部ReG( jw)
和虚部 ImG( jw) ，并整理得：
Re G(
jw)
12 2
ImG(
jw)2
(1)2 2
Nyquist曲线:以(0.5,j0)为圆心,以0.5为半径的
频率响应法自动控制原理
控制系统概述
控制系统定义
控制系统是由控制器、受控对象和反馈回路组成的闭环系统，用 于实现特定的控制目标。
控制系统分类
根据控制方式、控制参数和控制目标的不同，控制系统可分为多 种类型。
控制系统组成
一个典型的控制系统包括输入信号、控制器、受控对象、反馈回 路和输出信号等部分。
控制系统中的频率响应分析
案例一：电机控制系统中的频率响应分析
电机控制系统在工业自动化中具有广泛应用，如数控机床、自动化生产线等。频 率响应法可以对电机控制系统的动态性能进行分析，包括系统的稳定性、响应速 度和超调量等。
通过频率响应分析，可以优化电机控制系统的参数，提高系统的动态性能，从而 提升生产效率和产品质量。
案例二：机器人控制系统中的频率响应分析
频率响应是指系统对不同频 率输入信号的输出响应，通 常用复数形式的传递函数表
示。
频率响应法通过分析系统的频 率响应特性，可以得到系统的 稳定性、动态性能和噪声抑制
能力等方面的信息。
频率响应法的应用场景
航空航天领域
在航空航天领域，频率响应法常用于分析飞行控制系统、 推进系统等关键子系统的动态性能，以确保系统在各种工 作条件下都能稳定、可靠地运行。
控制系统中的稳定性分析
1 2
稳定性定义
稳定性是指系统在受到扰动后能否恢复到原始状 态的能力，是控制系统的重要性能指标。
稳定性分析方法
稳定性分析主要通过分析系统的极点和零点分布、 计算系统的传递函数等手段进行。
3
稳定性分析应用
稳定性分析在控制系统设计、分析和优化中具有 重要作用，是保证系统性能稳定的关键步骤。
在机器人控制系统中，频率响应法可以用于分析机器人的运 动性能和稳定性。通过对机器人的关节运动系统进行频率响 应分析，可以了解机器人的动态特性，优化机器人的运动轨 迹和速度。
第五章 控制系统的频率响应法概要
第五章 控制系统的频率响应法例5－1 已知某单位负反馈开环频率特性如图5－1所示，试： （1） 写出开环传递函数； （2） 确定ω1，ω2及ω3数值； （3） 求出闭环系统ζ和ωn 值。
（a ） (b) 图5－1 例5－1图 解：由图5－1（b ）可写出开环传递函数为)1()11()(21+=+=Ts s Ks s s G ωω可知，。
时当022135)(-=∠=ωωωj G 由图5－1（a ）知，5.0212===T T，故此时ω 。
，即，故又40401021==-=-ωK KT )s .s(s G 15040)(+=∴ ,140)(23333==/ωωωj ωG ，＝时又ωω 解出：ω3=8.94。
22229489481110294.8405.040)(1)()s (s .s ..s s s s G s G +⨯⨯+=++=+=Φ 其中ωn =8.94，ζ=0.111。
例5-2 已知单位负反馈系统开环传递函数为)14)(1(10)(2++=s s s s G 试分析其稳定性。
解：该系统由放大环节、积分环节、惯性环节和ζ=0的二阶振荡环节串联而成。
2221110)(⎪⎭⎫⎝⎛-+=ωωωωA2021a r c t a n a r c t a n 90)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ζωζωωωϕ图5－2 例5－2图;)0(A 0∞→=++时，当ω 随ω增加A (ω)减小；当ω→2时，幅值又增加；当ω=2时A (2) →∞; 之后ω→∞，A (∞)→0。
0000360)(,333)2(,153)2(,90)0(-=∞-=-=-=+-ϕϕϕϕ其频率特性如图5－2所示，在L (ω)>0区间内，有一次负穿越，0=p ，故 Z =0-2(-1)=2,系统不稳定。
例5－3 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(5)(2()(1-++=s s s K s G试画出系统的极坐标频率特性曲线并确定系统稳定性条件。
第五章频率响应法
第五章频率响应法5.1 频率特性的基本概念5.1.1 频率特性的定义5.1.2 频率特性和传递函数的关系5.1.3 频率特性的图形表示方法5.2 幅相频率特性（Nyquist图）5.2.1 典型环节的幅相特性曲线5.2.2 开环系统的幅相特性曲线5.3 对数频率特性（Bode图）5.3.1 典型环节的Bode图5.3.2 开环系统的Bode图5.3.3 最小相角系统和非最小相角系统5.4 频域稳定判据5.4.1 奈奎斯特稳定判据5.4.2 奈奎斯特稳定判据的应用5.4.3 对数稳定判据5.5 稳定裕度5.5.1 稳定裕度的定义5.5.2 稳定裕度的计算5.6 利用开环频率特性分析系统的性能L低频渐近线与系统稳态误差的关系5.6.1 )(ωL中频段特性与系统动态性能的关系5.6.2 )(ωL高频段对系统性能的影响5.6.3 )(ω5.7 闭环频率特性曲线的绘制5.7.1 用向量法求闭环频率特性5.7.2 尼柯尔斯图线5.8 利用闭环频率特性分析系统的性能5.8.1 闭环频率特性的几个特征量5.8.2 闭环频域指标与时域指标的关系5.9 频率法串联校正引言频率响应法的特点1）由开环频率特性→闭环系统稳定性及性能2）二阶系统频率特性↔时域性能指标高阶系统频率特性↔时域性能指标3）物理意义明确许多元部件此特性都可用实验法确定工程上广泛应用4）在校正方法中，频率法校正最为方便§5.1频率特性 1.定义1: 2. 3.ss r t A t c t r t G s s j G j c t r t ωωω=⎧⎪=⎨⎪⎩时，与的幅值比，相角差构成的复数中，令得出为频率特性的富氏变换与的富氏变换之比一、 地位：三大分析方法之一二、 特点：1)2)()3)⎧⎪→⎨⎪⎩图解法，简单不直接解闭环根，从开环闭环特征特别适用于校正，设计近似法，不完全精确以右图R －C 网络为例：r cc r c cu iR u i Cu q u Cu R u =+↓===+ ()(1)r c U s CRs U =+⋅()1()()1T CR c r U s G s U s Ts ===+ 设()sin r u t A t ω= 求()c u t22()1t Tc A Tu t e t t T ωωωω-⎡⎤∴=+-⎥+⎦ 2222)11tTA T e t arctg t T T ωωωωω-=+-++瞬态响应稳态响应网络频率特性()()()()()ss ss c r c t G j G j r t G j arctgT ωωωϕϕω⎧⎪⎪===⎨⎪⎪∠=-=-⎩幅频特性：相频特性频率特性定义一：——频率特性物理意义：频率特性()G jω是当输入为正弦信号时，系统稳态输出（也是一个与输入同频率的正弦信号）与输入信号的幅值比，相角差。
自动控制原理 第五章 频率响应法c3
15
练习P185 5.7 （a）（b） （c）（d） （f） （i）
16
2 100 40 dB dec
-20
Ks
G(s)
(1 1
s
1)
(
S
2 2
2
2
S 2
1)
Ga (s) Ks
3.
La (1) 20 lg K 1 12 , 1 4
4.
K 100
L(100) 20lg
100 1002
1
2 2
0,
2 50
6
绘制
L()dB
G(s)H (s)
s2 (s
10(
1 2
s
1)((
S 20
)
2
-1)
1 2
S 20
1)
的L()曲线
60
-40
40
La (0c )
20 lg
K 2
0
20
0C K 10 3.16
0
[-60]
0.1 0.2
12
10 20 100
-20
-40
低频段：10 0.1 60dB
S 2
1)
Ga (s) Ks
1. 谐振峰值
20lg Mr 20lg
2
1 8
1 2
0.335
2.
La (1) 20 lg K 1 0, K 1
谐振频率r ? 14
L() dB
20 12
0 0.1
-10
20 dB dec 1
0 dB dec
05第五章 频率响应法1
A( )
( )
0
90
Re
1 0
0
图5.5 积分环节
图5.4 积分环节 幅相特性曲线
A( ) ( ) 特性曲线
16
3 微分环节
微分环节的传递函数和幅相频率特性为
G( s) s
幅频特性和相频特性为
G( j ) j e
2
j
2
A( )
Im
C (t ) Ae
j t
幅频特性
相频特性
Ae
j t
A( )e
j ( ) j t
e
Ar A j ( ) j t Ar A( )e e 2j 2j
A( ) Ar sin(t ( ))
说明 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，
其输出与输入的幅值比为
输出与输入的相位差
A( ) G( j )
( ) G( j )
7
相关概念（系统的频率特性）
幅频特性
为稳态输出与输入的振幅比
Ac A( ) G( j ) Ar
相频特性
稳态输出与输入正弦信号的相位差
幅相频率特性 幅相频率特性又称为奈奎斯特曲线或极坐标图 把频率特性用模值和幅角的形式表示成复合函数
K S S j j Tj 1
K
r (t ) sin 1 t
K
T
2
1
e tg
1
T j
T 1
1
2
1
12 12
T 1 K 24 6
tg T 1
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频率响应法
时域响应法：分析线性系统的过渡过程，以时间t为 独立变量，通过阶跃输入作用下系统的瞬态时间响 应来研究系统的性能； 依据的数学模型为G(s) 频率响应法：以频率ω为独立变量，通过分析不同 谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能； 依据的数学模型为G(jω) 频域响应法的基本思想：把系统输入看成由许多不 同频率的正弦信号组成，输出是系统对不同频率信 号响应的总和。
将G(s)中 的s换成 jω，得到频率特性G(jω)。 【例2】 求例1的频率特性和频率响应。 系统的频率特性为 因此
G( j ) G( s) s j K K e j arctanT 1 jT 1 T 2 2
K A ( ) G ( j ) 1 T 2 2 ( ) G( j ) arctanT
是将传递函数W (s)中的s用j取代后的结果。
由于W ( j )是一个复变函数，故可写成实部和虚部之和， 即W ( j ) Re W ( j ) Im W ( j ) u ( ) jv( ) 式中u ( )是频率特性的实部，称为实频特性 v( )是频率特性的虚部，称为虚频特性
X 0 (4 ) G( j4 ) 1 幅频特性 A(4 ) Xi 即X 0 (4 ) X i
5 4
输入频率ω 4的谐波信号时，输出谐波幅值被衰减。 且随着ω 的增大，输出幅值衰减越来越大， 当ω →∞时， G( j) 0, X 0 () 0, 这一特性称为系统的高频衰减特性。
【例】图示机械系统，已知 k=10N/m, c= 10N s/m， 分别求 f (t ) sin t 和 f (t ) sin 100t 时位移 x (t ) 的频率响应。
解:系统的动力学方程为
dx c kx f dt
X ( s) 1 1 0.1 G( s) F ( s) cs k 10s 10 s 1
t
Xo 0.1 Xo 0.1 A( ) 1 A() 100 0.001 1 1 2 1002 1 () 1 arctan 1 45
lim x(t )
t
0.1 2
sin(t 45 )
() 100 arctan 100 89.4
22
② 对数相频特性图：表示相频特性 横坐标：与对数幅频特性图的横坐标相同 纵坐标：相角位移 ∠G(j)，单位“度” 采用普通比例尺。
23
对数坐标图（Bode图）的特点
（1）求幅频特性时，可以将各环节幅值相乘转 化为幅值相加，大大简化绘制频率特性的工作。 将开环传递函数表示成n个典型环节的串联：
15
分析奈奎斯特图
（1）ω=ω3，Nyquist曲线与单位圆相交 X 0 (3 ) 幅频特性 A(3 ) G ( j3 ) 1
Xi 即X 0 (3 ) X i
5 4
输入频率ω 3的谐波信号时，输出谐波幅值等于输入 谐波幅值。 相频特性 () (3 ) G( j3 ) 0 表示输出信号滞后于输入信号，其相位之差为 (3 )
XiK 1 T
2 2
sin(t arctanT )
Xo( ) K A ( ) Xi 1 T 2 2 ( ) arctanT
K 1 T 2 2
e j arctanT
7
(2)传递函数→频率特性 G ( j ) G ( s ) s j
幅频特性是频率特性幅值 G(j ) 随 的变化规律； 相频特性是频率特性相角 G(j ) 随 的变化规律。
12
5.2.2 幅相频率特性曲线
又称奈奎斯特（Nyquist）曲线（简称幅相特性 或奈氏曲线），在复平面上以极坐标的形式表示。
对于某个特定频率ω下的频率特性W(jω)
可以用复平面上的向量表示。
( ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( )
对数幅频特性=典型环节的对数幅频特性的和。 对数相频特性=典型环节的对数相频特性的和。
对由几个典型环节串联组成的系统，可分别绘出各 环节的对数幅频特性，然后进行加减，得到系统的 对数频率特性。
25
（2）在研究频率范围很宽的频率特性时缩小了 比例尺，在一张图上，既画出了频率特性的中、
10倍频程dec
21
纵坐标 L(ω)=20lgA(ω) (dB) A(ω)称为增益。每变化10倍，L(ω)变化20dB。 A(ω) =G(j) L(ω)= 20lgG(j)（简写为20lgG） 纵坐标可用普通比例尺标注。
特别： 当幅值分贝=0dB，G(j)=1，输出幅值=输入幅值 幅值分贝>0，G(j)>1，输出幅值>输入幅值(放大） 幅值分贝<0，G(j)<1，输出幅值<输入幅值(衰减）
1
5.1 频率响应的概念
频率响应（frequency response ）
线性定常系统对谐波输入信号 xi(t)=Xisint
的稳态响应。
2
K 传递函数G (s) , Ts 1 输入谐波信号 x i (t) Xisin t ，求频率响应。 Xi K Xi 解：Xi ( s) 2 Xo( s) G ( s) Xi ( s) 2 2 s Ts 1 s 2
0.1 G ( j ) j 1
A() G( j) 0.1
2 1
() G( j) arctan
10
(1) f (t ) sin t
lim x(t ) X o sin( t )
t
(2) f (t ) sin 100t
lim x(t ) X o sin( 100 t )
高频段，又清楚地画出了低频段。
（3）采用渐近线的方法，用直线段画出近似的
对数幅频特性曲线。
（4）对于最小相位系统，可以由对数幅频特性 曲线得到系统的传递函数。
将对数幅频特性绘在以10为底的半对数坐标中。
（半对数坐标系一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另 一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。） 频率特性幅值的对数值用分贝（dB）表示。 其关系式为 L(ω)=20lgA(ω) (dB)
20
① 对数幅频特性图：表示幅频特性 横坐标：角频率ω，采用对数比例尺（对数标度）。 lgω 角频率每变化10倍，横坐标就增加1个单位长度。 这个单位长度代表10倍频程的距离，故称之为“10 倍频”或“10倍频程”用“dec”表示。 刻度值不标lgω值，而是标真值ω值。
进行laplace逆变换，整理得
XiKT t / T XiK xo(t ) e sin(t arctanT ) 2 2 1 T 1 T 2 2
频率响应（稳态输出）
xo(t ) X i K 1 T
2 2
sin(t arctan T )
与输入信号的幅值成正比
18
（4）当ω=ω5时，
Nyquist曲线与负实轴相交 幅频特性
ImG( j5 ) 0 A(5 ) G( j5 ) ReG( j5 )
5 4
相频特性 () (5 ) 1800
19
5.2.3 对数频率特性曲线 (Bode图)
对数频率特性曲线将频率特性表示在对数坐标中。 也叫对数坐标图（Bode图） 由对数幅频特性图和对数相频特性图组成。
14
当=0 ∞变化时，向量W(j)的端点在复平面
上描绘出来的轨迹就是幅相频率特性曲线。
Nyquist图-乃奎斯特图 通常把作为参考量标在曲线响应点的旁边，并 用箭头表示增大时特性曲线的走向。 极坐标图中极坐标与直角坐标重合， 极坐标的顶点在坐标原点。 极坐标图不仅表示任一频率下的幅频特 性和相频特性，也表示实频特性和虚频 特性。
与输入同频率，相位不同
3
输入 xi(t)=Xisinωt 稳态输出（频率响应）xo(t)= Xi A() sin[ωt+ (ω)]
同频率 幅值比 A() 相位差 ()
ω的非线性函数 (揭示了系统的频率响应特性)
4
频率特性(frequency characteristic)： 对系统频率响应特性的描述。
Xo 幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比 A( ) Xi
描述系统对于不同频率的输入信号在稳态情况 下的衰减或放大特性。
相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差 () 描述系统的稳态输出对于不同频率的正弦输入信 号的相位滞后（ <0）或超前（ >0）的特性。
5
幅频特性A( )和相频特性 ( )总称为系统的频率特性W (j ) W (j )是一个复数，用模 W (j ) =A( )和幅角 =W (j )来表示 W (j ) W (j ) e j ( ) A( )e j ( ) A( ) ( ) Im W (j ) W (j ) arctan Re W (j ) X o (j ) W (j ) A( )e j ( )就是系统的频率特性。 X i (j )
13
频率特性G(j)：的复变函数
给定，G(j)可以用向量或端点表示
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
幅值(向量的长度)： A()=G(j)
相角(与正实轴的夹角）：()=∠G(j)
()的符号：从正实轴开始，逆时针为正，顺时针为负
实部（在实轴上的投影）: U()=A()cos() 虚部（在虚轴上的投影）：V()=A()sin()
幅频特性=典型环节的幅频特性相乘。 相频特性=典型环节的相频特性相加。
24
A( ) A1 ( ) A2 ( )... An ( )
( ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( )
20lg A( ) 20lg A1 20lg A2 ... 20lg An
6
频率特性的求法 (1)频率响应→频率特性