D2-5微分

∆y = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) = ?
如何能使计算既简单又有一定的精确度？ 如何能使计算既简单又有一定的精确度？ 精确度
6
一、微分的概念 1.引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影 响, 其 引例: 引例 边长由 x0变到x0 + ∆ x , 问此薄片面积改变了多少 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A = x2 , 当 x 在 x0取得 增 ∆x时 面积的增量为 量 ， ∆x x0∆x (∆x)2
dy = f ′( x0 )∆x = tanα ⋅ ∆ x
dy
y
y = f (x)
M
∆y :是曲线的纵坐标增量 是曲线的纵坐标增量 标增量.
∆y
dy : 是切线纵坐标对应的增量 是切线纵坐标对应的增量 线纵坐标对应的增量.
在点M的附近 的附近, 在点 的附近 这说明：当 ∆x 很小时， 切线段MP可近似地代替曲线段 MN. 可近似地代替曲线段 切线段
dy dy 想一想符号 的优点: dx 1)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量 表示导数时能显示谁是函数谁是自变量, 表示导数时能显示谁是函数谁是自变量
dy 1 = 2)表示微分时有商的含义 故 表示微分时有商的含义,故 表示微分时有商的含义 d x dx dy 3)隐含着微分形式的不变性 隐含着微分形式的不变性. 隐含着微分形式的不变性
⇒ y = f ( x)在点x0可微且dy = f ′( x0 )∆ x.
9
3.可微的条件 可微的条件 定理 : 函数y = f ( x)在点x0可微 ⇔y = f ( x)在点x0可导，
dy = f ′( x0 )∆x
说明1: 说明 1.可微，可导，连续的关系 可微， 可微 可导，
y = f ( x)在点x0可微 ⇔y = f ( x)在点x0可导，
y cos x + sin( x − y) dy = sin( x − y) − sin x dx
x
. 解出 y′ 即可
“怕就怕认真二字” 怕就怕认真二字” 怕就怕认真二字
4
复习： 复习： 1. 隐函数求导法则
2. 对数求导法 : 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 按隐函数的求导法则求导 对方程两边取对数 按隐函数的求导法则求导 适用于幂指函数及某些用连乘 连除表示的函数 幂指函数及某些用连乘,连除 适用于幂指函数及某些用连乘 连除表示的函数
3
1+ y ⇒ y′ = − y2
2
P112 T4(4) 解: 方程两边对数 方程两边对数: 1 1 ln y = [ln x + lnsin x + ln(1− ex )] 2 2 求导: 方程两边对 x 求导
1 1 1 cos x 1 −e y′ = [ + ] + ⋅ x y 2 x sin x 2 1− e
dy = f ′( x)∆x
它 依 赖 于 ∆ x和 x
说明： 说明： ∆ 当y = x 时， y = ∆x dx 称∆x 为自变量的微分， dy 则有 dy = f ′( x)dx 从而 = f ′( x) dx dy dy = f ′( x)dx = f ′( x) dx 与自变量的微分dx之商等于该 即y函数的微分 ) ⋅ ∆x d 函数的微分dy与自变量的微分 之商等于该函数的 = f ′( x0 与自变量的微分 之商等于该函数的 x = x0 导数， 因而， 也叫“ 导数， 因而， 也叫“微 导数也叫 导数 13 商”.
如：y = sin x, 求dy x =π .
∆x = 0.1
o
α
x0
x0 + ∆x
x
以直代曲
Q y′(π ) = cos π = −1
y o y=sinx x π 2π
12
则 dy x =π = (−1) × 0.1 = − 0.1
∆x = 0.1
5.函数的微分 函数的微分 定义： 定义： 函数y = f ( x)在某区间内每一点都可微 则称函数 若 在某区间内每一点都可微,则称函数 每一点都可微 y = f ( x)是该区间上的可微函数 函数在区间内点x的 是该区间上的可微函数 函数在区间内点 的 可微函数, 微分称为函数的微分 称为函数的微分. 微分称为函数的微分 记作: dy或df ( x ). 即
= A∆ x + o(∆x)
( A 为不依赖于△x 的常数 为不依赖于△ 的常数)
而 则称函数 y = f ( x)在点x0可微， A∆ x称为f ( x) 在点x0
的微分, 记作 dy或d f , 即dy = A∆x 的微分 由定义知: 由定义知 能 ∆y = A∆x + o( ∆x ) 1）可微 ） 2）微分：dy = A∆ x 其中 是与 ∆x无关的常数 ）微分： 其中A是与 无关的常数. 3）实质： ∆x 很小且A ≠ 0时 ∆y ≈ dy (线性主部 ）实质： 当 线性主部). 线性主部 这样就可以近似计算较复杂函数的改变量. 这样就可以近似计算较复杂函数的改变量
2
14
2. 微分法则
dy = f ′( x)dx
(C 为常数 为常数)
(1)微分的四则法则：设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 微分的四则法则： 微分的四则法则
证明： 证明： du = u′dx Q
dv = v ′dx
Q ( uv )′ = uv ′ + u′v
∴ d(uv ) = ( uv )′ dx = uv ′dx + u′vdx
2
d(sec x) = secx tan xdx d(a x ) = axlnadx 1 d(loga x) = dx x ln a 1 d(arcsin x) = dx 2 1− x
1 dx d(arctan x) = 2 1+ x
d(cot x) = −csc xdx d(csc x) = −csc xcotxdx d(ex ) = exdx 1 d(ln x) = dx x 1 d(arccos x) = − dx 1− x2 1 d(arc cot x) = − dx 2 1+ x
5
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用
第二章
f ( x0 +∆x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim = lim x→x0 ∆x→0 ∆x x − x0 对 于 函 数 y = f ( x ), 若 x由 x 0到 x 0 + ∆ x则
dy = f ′( u) ⇔ dy = f ′(u)du du
16
例2. 解：
d(1 + e )
x2
e d( x )
x2
2
说明：求微分的三个方法： 说明：求微分的三个方法： 1.直接用定义； 2.用微分法则； 3.用不变性 直接用定义； 用微分法则 用微分法则； 用不变性 用不变性. 直接用定义 例3. 解: 利用一阶微分运算法则 , 有 这是隐函数求 导的微分法. 导的微分法
二、 微分运算公式与法则
dy = f ′( x)dx
1.基本初等函数的微分公式（在116页） 基本初等函数的微分公式（ 基本初等函数的微分公式 页 d( xµ ) = µxµ−1dx d(C) = 0 d(cosx) = −sin xdx d(sin x) = cosxdx
d(tan x) = sec xdx
⇒ y = f ( x)在点x0连续，
⇒ y = f ( x)在点x0处的极限一定存在,即lim f ( x)存在. x→x
0
即 可微
可导
连续
有极限 有定义
10
线性主部 说明2: 说明 dy 是△y 线性主部. 若y = f ( x)在点x0可微,则∆y = f ′( x0 )∆x + o(∆ x), dy = f ′( x0 )∆x 则 1 ∆y ∆y ∆y lim = 1 = = lim lim 当f ′( x0 ) ≠ 0时，→0 ∆x dy ∆x→0 f ′( x0 )∆x f ′( x0 ) ∆x→0 ∆x 所以 ∆y
∆x = 0.02
= (2 + 0.02)3 − 23 = 0.242408
∆x = 0.02
∆x = 0.02
= 3 x2 ⋅ ∆x x =2
= 0.24
以上例子,验证了 以上例子 验证了: ∆y ≈ dy .∆x较小时,近似程度较高. 验证了
11
4.微分的几何意义 微分的几何意义
切线纵坐标的增量
Baidu Nhomakorabea
x0 A = x
关于△ 关于△x 的 为 ∆x 的 线性主部 高阶无穷小 ( ∆ x )2 2 ∴ Q lim = 0， (∆x ) ∆x → 0 ∆x
2
0
x0∆x
故
= ο (∆x ).
称为函数在 x0 的微分
7
问题： 问题：对一般的 2.定义 若函数 定义: 定义
∆y = A∆ x + o( ∆x )? A = ?
直接对方程两边求导, 直接对方程两边求导 把含有y的项看成是 的复合函数. 的项看成是x的复合函数 把含有 的项看成是 的复合函数
实质上是利用复合函数求导法则; 3. 参数方程求导法 实质上是利用复合函数求导法则 x = ϕ (t ) 由参 数方 程 所确定的函数y = y( x ), y = ψ (t ) dy yt′ d2 y dy′ dy′ dt = = = ⋅ 2 dx dx dt dx dx xt′ 提问：反方向背求导公式 提问：反方向背求导公式.
= udv + vdu
故
= vdu + udv
15
(2) 复合函数的微分法则： 复合函数的微分法则：
du ⇒ dy = f ′(u)du
结论： 结论： 无论u是自变量还是中间变量 函 是自变量还是中间变量， 无论 是自变量还是中间变量， 数y = f ( x )的微分 形式总是 形式总是 dy = f ′(u)du 称为一阶微分形式的不变性 称为一阶微分形式的不变性.
纠正作业 P103 T3(2)
dy 1 = ⋅ f ′( x ) 解: dx f ( x )
1 d2 y ⋅ f ′( x )]′ =[ 2 dx f ( x) 1 1 =[ ]′ ⋅ f ′( x ) + ⋅ [ f ′( x )]′ f ( x) f ( x)
1 − f ′( x ) ⋅ f ′′( x ) = 2 ⋅ f ′( x ) + f ( x) f ( x)
1
P103 T1(12)
dy 1 2 解: = ⋅ ( x + 1 + x )′ dx x + 1 + x 2 1 2x 1 )= . = ⋅ (1 + 2 2 2 x + 1+ x 2 1+ x 1+ x
d2 y 1 −( 1 + x 2 )′ )′ = =( 2 dx 1 + x2 1 + x2
8
3.可微的条件 可微的条件 定理 : 函数y = f ( x)在点x0可微 ⇔y = f ( x)在点x0可导， dy = f ′( x0 )∆x 必要性” 证: “必要性” y = f ( x)在点x0可微 必要性
⇒ y = f ( x)在点x0可导,且A = f ′( x0 ) . ∆y = f ′( x0 ) “充分性”y = f ( x)在点x0可导⇒ lim 充分性” 充分性 ∆x→0 ∆x ∆y ⇒ = f ′( x0 ) + α ( limα = 0) ∆x→0 ∆x ⇒ ∆ y = f ′( x0 )∆ x +α∆ x = f ′( x0 )∆x + o(∆x)
2x −1 −x = ⋅ . = 2 3 2 1+ x 2 1+ x (1 + x 2 ) 2
2
P112 T3(3) 解: 方程两边对 x 求导 求导:
sec 2 ( x + y ) ′ = sec2 ( x + y) ⋅ (1 + y′)⇒ y′ = y 2 1 − sec ( x + y )
1 ⇒ y′ = − 2 − 1 1 y 2 y( − 2 − 1) 2 d y 1 2 yy′ y ⇒ = ( − 2 − 1)′x = 4 = 2 dx y y4 y 2 + 2 y2 =− 5 y
dy( ∆x → 0)， ∆y = dy + ο ( dy ) 则
结论： 结论： ∆ x 1时，有近似公式∆ y ≈ dy.误差为 ο (dy ) . 当 这是微分的实质与目的. 这是微分的实质与目的 的改变量和微分. y = x3在x = 2, ∆x = 0.02时的改变量和微分 例1. 求函数 改变量为： y x =2 改变量为： 解： ∆ 微分为： 微分为： d y x=2