高中数学专题训练——古典概型与几何概型

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古典概型与几何概型专题训练(答案版)

古典轮廓与几何轮廓专题训练1.在集合{}04M x x =<≤中随机选取一个元素，2log y x =函数大于1的概率为( ) A. 1 湾。

14 C 。

12 D. 34答案与分析： 1. C2. 考虑一元二次方程20x mx n ++=，其,m n 值等于掷骰子两次后连续出现的点数，则方程有实根的概率为 ( ) 一个。

3619 湾。

187 C 。

94 D.3617 答案与分析： 2. A3.如图，大正方形的面积为34，四个全等直角三角形组成一个小正方形，直角三角形短边的长度3是一朵小花落在一个小方块上的概率是A .117 B .217 C .317 D .417答案与分析： 3 B .因为大正方形的面积343落在5小3正方形4上2的概率是423417P ==。

所以选择B 。

【解题与探索】本题考查几何概率的计算。

求解几何概率问题的关键是求两个区间的长度（面积或体积），然后用几何概率的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解。

所以在这道题中求小花落在小方块上的概率，关键是求小方块的面积和大方块的面积。

4 、如图所示，在3个地方有一只迷失方向的小青蛙。

每次跳跃都可以进入任意相邻格子（如果跳跃5个地方只能进入3个地方，3个可以等待一次跳跃后进入1、2、4、5的机会），然后在第三跳，第一次进5的概率是( ) A.316B. 14C 。

16D.12答案与分析： 4. A一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。

取两次，每次取一个，每次取后不要放回去。

知道第一个是好晶体管，第二个也是好晶体管的概率是 ( ) 一个。

13 湾。

512 C 。

59 D.925答案与分析：（1） C一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。

服用任意两次，每次服用一次，每次服用拿走不放回去后，第一次和第二次都是好晶体管的概率是 ( ) 一个。

13 湾。

1.3古典概型与几何概型

注：其中的 “白球,黑球”可换作“甲物,乙物”或“合格品 ,
次品”
概率统计（ZYH）
例3 袋内有a个白球与 b个黑球 , 每次从袋中任取一个球, 取出的球不再放回去, 接连取 k (k≤a+b) 个球, 求第k次
取得的是白球的概率.
k 解这时取球是有顺序的, 样本点总数为 Pa b , 第 k 个球
取自a个白球, 有 a 种取法, 其余 k-1个球取自其它 a+b-1个
1 球, 其取法种数为 Pakb 1
故所求概率为
aP p P
k 1 a b 1 k ab

Pakb11
1
a (抽签原理) ab
Pakb
2 · · ·k
a
概率统计（ZYH）
(2) 随机取数问题例4 从1,2,· · · ,10共10个数字中任取7个（可以重复），求下列各事件的概率： A：取出的7个数字全不相同；
1.3 古典概型与几何概型
一、古典概型二、几何概型
概率统计（ZYH）
一、古典概型
回忆1.1节的试验，E1,E3,E4 有共同特性： ①（有限性）试验的样本空间Ω中仅含有限个样本点：
{1 , 2 ,, n }
②（等可能性）每个基本事件{ωi}发生的可能性相同:
P({1 }) P({2 }) P({n })
抓格填数 10 7
1
2
· · · 7
概率统计（ZYH）
(3) 分房问题例5 有n个人,每个人都以同样的概率1/N被分配在N(n≤N) 间房中的每一间, 求下列各事件的概率： A：某指定n间房中各有1人；
B：恰有n间房, 其中各有1人；
C：某指定房间中恰有m(m≤n)人.

高考数学一轮复习专题训练—古典概型与几何概型

古典概型与几何概型考纲要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型 (1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(3)古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.2．几何概型 (1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)概率为0的事件一定是不可能事件．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B ．415C ．35D ．非以上答案答案 A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p ＝615＝25. 3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________．答案 0.6解析由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S4≈30200，∴S ≈0.6.4．(2020·全国Ⅰ卷)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B ．25C ．12D ．45答案 A解析从O ，A ，B ，C ，D 这5个点中任取3点，取法有{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种，其中取到的3点共线的只有{O ，A ，C }，{O ，B ，D }这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.5．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12答案 D解析设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.6. (2021·郑州模拟)公元前5世纪下半叶，希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为4，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是________．答案π＋68π＋4解析上方阴影部分的面积等于△AOB 的面积，S △AOB ＝12×2×2＝2，下方阴影部分面积等于14×π×22－⎣⎡⎦⎤14×π×22－12×2×2＝π2＋1，所以根据几何概型概率公式得所求概率P ＝2＋π2＋14π＋2＝π＋68π＋4.考点一古典概型的简单计算1．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B ．35C ．25D ．15答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.2．(2021·安徽江南十校质量检测)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( ) A.15 B ．13C ．35D ．23答案 A解析 6拆成两个正整数的和的所有基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的为(3,3)，所以所求概率为15，故选A.3．(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．答案 19解析列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112点数的和共有点数和为5的概率P ＝436＝19.感悟升华古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．考点二古典概型与其他知识的简单交汇【例1】 (1)(2020·郑州一模)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取k ∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________(结果用数值表示)．(2)(2021·河北七校联考)若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________．答案 (1)14 (2)12解析 (1)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任意k ∈A 的基本事件总数为8，当k ＝±2时，幂函数f (x )＝x k 为偶函数，从而幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数为2，∴幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率p ＝14.(2)∵m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p＝36＝12. 感悟升华求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解．【训练1】设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18 B ．14C ．13D ．12答案 A解析有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.考点三古典概型与统计的综合应用【例2】某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x ＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5，且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)．抽样方法为分层抽样，在[240,260)，[260,280)，[280,300]中的用户比为3∶2∶1，所以在[240,260)，[260,280)，[280,300]中分别抽取3户、2户和1户．设参加节目的2户来自不同组为事件A ，将来自[240,260)的用户记为a 1，a 2，a 3，来自[260,280)的用户记为b 1，b 2，来自[280,300]的用户记为c 1，在6户中随机抽取2户有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝1115.感悟升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．【训练2】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝1 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.考点四几何概型角度1 与长度(角度)有关的几何概型【例3】 (1)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215B ．715C ．35D ．1115(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案 (1)D (2)34解析 (1)因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率p ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115. (2)过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC ，又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为p ＝67.5°90°＝34.感悟升华 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．角度2 与面积有关的几何概型【例4】在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B ．1625C ．1725D ．1825答案 C解析设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.感悟升华几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．角度3 与体积有关的几何概型【例5】有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析由题意得该圆柱的体积V ＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P 到点O 的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V 1＝12×43π×13＝23π，所以所求概率p ＝V －V 1V ＝23.感悟升华对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【训练3】 (1)(2021·西安一模)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) A.12B ．13C ．24D ．23(2) (2020·新疆一模)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．剪纸艺术通过一把剪刀、一张纸就可以表达生活中的各种喜怒哀乐．如图是一边长为1的正方形剪纸图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为( )A.π64B ．π32C ．π16D ．π8答案 (1)C (2)D解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x ＋3)的距离为|3k |k 2＋1，要使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则|3k |k 2＋1<1，解得－24<k <24. ∴在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为24－⎝⎛⎭⎫－242＝24. (2)设黑色小圆的半径为r .由题意得2r ＋2r ＋2×2r ＝1，解得r ＝18，所以白色区域的面积为π·⎝⎛⎭⎫122－4×π·⎝⎛⎭⎫182－π·⎝⎛⎭⎫142＝π8.所以在正方形图案上随机取一点，该点取自白色区域的概率为π81×1＝π8.故选D. 基础巩固一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B ．14C ．34D ．0答案 A解析列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.故选A.2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B ．16C ．29D ．518答案 C解析由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29.故选C.3. (2021·河北六校联考)《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a (0<a <r )，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A.a 21－p r 2B ．a 21＋p r 2C.a1－p rD ．a1＋p r答案 A解析由几何概型的概率计算公式，得πr 2－a 2πr 2＝p ，化简得π＝a 21－p r 2.故选A.4．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( ) A.12 B ．13C ．34D ．25答案 B解析点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.5．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15—8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )A.23 B ．58C ．13D ．38答案 D解析该职工在7：50至8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率p ＝1540＝38.故选D.6．(2021·合肥质检)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC的概率为( ) A.13 B ．49C ．827D ．1927答案 D解析作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC， ∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率p ＝1－827＝1927.二、填空题7．(2020·太原模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次随机走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________．答案 13解析 2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的基本事件有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的基本事件有2种．故第2位走出的是女同学的概率是p ＝26＝13.8．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.9．(2021·郑州质量预测改编)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案 16解析从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故p ＝212＝16.三、解答题10．(2020·成都诊断)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝715.11．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以事件M发生的概率P(M)＝1115.能力提升12．(2021·长春质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为()A.35 B ．12C ．25D ．13答案 B解析 (列举法)依题意，三种物质间相生相克关系如下表，金木水金木火金木土金水火金水土金火土木水火木水土木火土水火土 × √√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p ＝510＝12，故选B.13．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型【知识要点】一、古典概型1、基本事件（1）基本事件的定义一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件我们称为基本事件. （2）基本事件的特点①任意两个基本事件都是互斥的.②任何事件都可以表示成基本事件的和.2、古典概型（1）古典概型的定义我们将具有上述这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的特征古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有以下两个：①有限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，或者说在一次试验中，只有有限个不同的基本事件.②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的.【注】古典概型必须满足两个条件：①有限性；②等可能性，只有这两个条件都满足时才是古典概型.3、基本事件数的探求方法（1）列举法：此法适合于较简单的试验.（2）树状图法：此法是一种常用方法，适合于较复杂问题中基本事件的探求. 4、有放回的抽样与无放回的抽样在古典概型的概率计算中，将涉及两种不同的抽样方法，下面举例来说明. 设一个口袋内有n 个不同的球，现从袋内依次摸球，且每次只摸一只，则有如下两种摸球的方法：（1）有放回的抽样每次摸出一只后，放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样. 显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复出现，且摸球可以无限次地进行下去. （2）无放回的抽样每次摸出一只后，不放回袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次.5、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件A 的概率的计算公式如下：()A mP A n=事件所包含的基本事件的个数试验的基本事件的总数.【注1】()mP A n=既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法. 求()P A 时，要首先判断是否是古典概型，具体计算步骤如下： Step 1：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； Step 2：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；Step 3：分别求出“试验的基本事件的总数n”与“事件A所包含的基本事件的个数m”；Step 4：利用公式()mP An=，求出事件A的概率.【注2】在公式()()()P A B P A P B⋃=+中，事件A与事件B是互斥事件；而在公式()()()()P A B P A P B P A B⋃=+-⋂中，事件A与事件B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件. 因此，在使用这两个公式时，首先要根据题意判断事件A与事件B是否为互斥事件，然后选择正确的公式进行计算.二、几何概型1、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的面积（体积或长度）成比例，则我们把这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型.2、几何概型的特征几何概型是另一种特殊的概率模型，其特征有以下两个：①无限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果有无限多个，或者说在一次试验中，有无限多个不同的基本事件.②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的.【注】由古典概型与几何概型的特征可见，用几何概型求解概率问题的思路与古典概型是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形面积（体积或长度）”与“基本事件所占的总面积（体积或长度）”之比来表示.3、几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：()AA S P A =Ω构成事件的区域的面积（体积或长度）试验的全部结果所构成的区域的面积（体积或长度）.4、古典概型与几何概型的异同（1）相同点古典概型与几何概型中，每个基本事件发生的可能性都是相等的. （2）不同点古典概型要求：试验的基本事件只有有限个；而几何概型要求：试验的基本事件有无限多个.【例题选讲】题型一、求古典概型的概率例1、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. 13B. 12C. 23D. 34【解析】甲、乙两位同学参加3个兴趣小组的所有可能有33=9⨯（种）甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的情况有3（种）则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率31=93P =故选A例2、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期. 现从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________.（结果用最简分数表示）【解析】设所取2瓶饮料都未过保质期为事件A则2272302726272611721()3029302914521CP AC⨯⨯⨯====⨯⨯⨯故至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为11728 1()1145145 P A-=-=例3、考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于__________.【解析】如图所示，设点A，B，C，D，E，F分别是正方体下底面、上底面、左侧面、右侧面、前侧面、后侧面的中心甲从这6个点中任选两个点连成直线，有2615C=种不同的取法乙从这6个点中任选两个点连成直线，也有2615C=种不同的取法于是甲、乙从这6个点中任选两个点连成直线，共有22661515225C C⋅=⨯=种不同的取法又∵所得的两条直线相互平行但不重合的有AC DB，AD CB，AE BF，AF BE，CE DF，CF DE∴甲、乙连得的两条直线相互平行但不重合的，有12种不同的取法故所得的两条直线相互平行但不重合的概率12422575 P==题型二、求几何概型的概率例4、如图所示，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于（）A.14 B. 13 C. 12 D. 23【解析】设点Q 取自ABE ∆内部为事件A则点Q 取自ABE ∆内部的概率为112()2ABE ABCDAB ADS P A S AB AD ∆⋅===⋅矩形故选C例5、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为__________. 【解析】要使10cos22xπ≤≤，[1,1]x ∀∈- 由余弦函数的图像可知，223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤⇒ 213x -≤≤-或213x ≤≤于是满足题意的x 的区间长度为23而区间[1,1]-的总长度为2故对于区间[1,1]-上的数x ，使cos 2x π的值介于0到12之间的概率为21323P ==ABD例6、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则周末去打篮球；否则，在家看书. 则小波周末不在家看书的概率为__________.【解析】“周末不在家看书”包括“周末去看电影”和“周末去打篮球”两种情况，且这两种情况是互斥事件设小波周末去看电影为事件A，周末去打篮球为事件B则222131()324()14P Aπππππ⨯-⨯===⨯，2211()1164()116P Bππππ⨯===⨯故小波周末不在家看书的概率为3113 ()()41616 P P A P B=+=+=。

高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题（含答案解析）1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品，其余为合格品.现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中，得到的数不能被5和2整除的概率为（）A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<V SABC的概率是()A. B.C. D.4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点，则点在圆内的概率为.10．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．11．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．15.（2015菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．16．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2．【答案】B【解析】总的事件数为，得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3，有，故所求概率为0.4.3．【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，4．【答案】A【解析】5．【答案】A【解析】∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴6．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是7．【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种，点落在圆内的有，，，共4种，故所求的概率为.10．【答案】【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11．【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.12．【答案】【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14．【答案】解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．16．【解析】(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班，乘客甲随机的到达车站，则甲等待的事件不超过3分钟的概率为（）A. B. C. D.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M，以AM为半径作圆，则该圆的面积在和之间的概率为（）A. B. C. D.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b，则使得函数有零点的概率为.12．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．13.（2015河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．14.（14分）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从1，2，3，4，5四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间[1,5]任取的一个数，是从区间[1,4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即，又a,b的取法共种，其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3．【答案】D【解析】在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为.4．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准，概率为.6．【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝7．【答案】D【解析】由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9．【答案】A【解析】依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于10．【答案】B【解析】因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0,4)，B(4,4),C(4,0),O为坐标原点，若函数有零点，则解之得，满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12．【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，又当m∈(0,3)时，，∴··<，解得0<m<2，∴P＝三、解答题13.【解析】（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝，1红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况，所以概率为．14.【解析】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共20个：事件中包含个基本事件，所以事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为，∴,构成事件的区域为，∴,所以所求的概率为．15．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝＝.∴所求事件的概率为。

古典概型和几何概型

一、古典概型1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件.２)基本事件得特点:①任何两个基本事件就是互斥得;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与.３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是:①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。

②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型.４)基本事件得探索方法:①列举法:此法适用于较简单得实验.②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。

5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法:①有放回得抽样每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去.②无放回得抽样每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.二、古典概型计算公式１)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是;2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率.３)事件与事件就是互斥事件4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。

古典概型注意:①列举法:适合于较简单得试验。

②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、三、几何概型事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型.四、几何概型得计算１)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。

2)两种类型线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型一、基础知识1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝mn，求出事件A的概率.(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.(3)计算公式： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).几何概型应用中的关注点(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.考点一古典概型[典例精析](1)(优质试题·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112 B.114 C.115D.118(2)(优质试题·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A.736B.12C.1936D.518[解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P ＝345＝115.(2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *，所以a和b的组合有36种.若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝19 36.[答案](1)C(2)C[题组训练]1.(优质试题·益阳、湘潭调研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)e x＋b为减函数的概率是()A.310 B.35C.25 D.15解析：选C若函数f(x)＝(a2－2)e x＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)e x＋b为减函数的概率是2×25×2＝25.2.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518 B.49C.59 D.79解析：选C由题意得，所求概率P＝5×4×29×8＝59.3.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是()A.12B.14C.16D.18解析：选B A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法.当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率P ＝4＋224＝14. 考点二几何概型类型(一) 与长度有关的几何概型[例1] (优质试题·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A.215 B.715 C.35D.1115[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－(－6)]＋(9－0)9－(－6)＝1115，故选D.[答案] D类型(二) 与面积有关的几何概型[例2] (1)(优质试题·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )A.14 B.13 C.23D.34(2)(优质试题·洛阳联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2 B.4π3 C.2π2D.2π3[解析] (1)设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos 120°，得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin 120°＝12×33×33×32＝312，因为S 六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝12×1×1×sin 60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P ＝1－6S△BCGS 六边形ABCDEF＝23.(2)由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2∫π0 sin x d x ＝－2cos x |π0 ＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3.[答案] (1)C (2)B类型(三) 与体积有关的几何概型[例3] 已知在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率为________.[解析] 当四棱锥O -ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P -ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，所以PH P A ＝34，又四棱锥P -ABCD 与四棱锥P -EFGH 相似，所以四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH P A 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764.[答案] 2764类型(四) 与角度有关的几何概型[例4] 如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.[解析] 连接AC ，如图，因为tan ∠CAB ＝BC AB ＝33，所以∠CAB ＝π6，满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内，且AP 与AC 相交时，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝∠CAB ∠DAB＝π6π2＝13. [答案] 13[题组训练]1.(优质试题·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )A.34 B.23 C.13D.12解析：选D 由题图可知V F -AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率P ＝14a 312a 3＝12.2.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥22”发生的概率为________.解析：由题意可得⎩⎨⎧sin x ＋cos x ≥22，0≤x ≤π，即⎩⎨⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥12，0≤x ≤π，解得0≤x ≤7π12，故所求的概率为7π12π＝712. 答案：7123.(优质试题·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________.解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝16－34π.答案：16－34π[课时跟踪检测]A 级1.(优质试题·衡水联考)优质试题年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A.363π10 mm 2 B.363π5 mm 2 C.726π5 mm 2D.363π20 mm 2解析：选A 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π10(mm 2).2.(优质试题·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A.15B.13C.14D.16解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是13.3.(优质试题·郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为()A.110 B.15C.310 D.25解析：选C将5张奖票不放回地依次取出共有A55＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有C23C12A33＝36(种)取法，所以P＝36120＝310.4.(优质试题·长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()A.π8 B.π16C.1－π8 D.1－π16解析：选C正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝82－8π82＝1－π8.5.(优质试题·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A.12 B.2－22C.3－33 D.2－32解析：选C圆C：x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，半径r＝1，圆心到直线l：y＝k(x＋2)的距离d＝|0×k－0＋2k|k2＋(－1)2＝2|k|k2＋1，直线l与圆C相离时d＞r，即2|k|k2＋1＞1，解得k＜－33或k＞33，故所求的概率P＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－331－(－1)＝3－33.6.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________.解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C79＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P＝436＝19.答案：1 97.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134)，若a，b，c ∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________.解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A34＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1,2,3或1,3,4，所以共组成2A33＝12个“好数”，故所求概率P＝1224＝12.答案：1 28.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin π6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sin π6x的最小正周期T，又T＝2ππ6＝。

高中数学题库——古典概型与几何概型

15．（2017·江西新余一中、宜春一中高三联考）把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为___41π-___．6.（2017·江西新余一中高三调研一）已知圆22:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ,则点P 的横坐标小于1的概率为（） A ．14 B ．12 C ．2πD ．以上都不对 6.B 【解析】将2220x y x +-=配方得22(1)1x y -+=,故C(1,0)，所以在圆内且横坐标小于1的点的集合恰为一个半圆面，所以所求的概率为12.8.（2017·江西吉安一中高三月考一）已知函数()cos6xf x π=，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =，现在从M 中任取两个不同的元素,m n ，则()()0f m f n =的概率为（ A ） A ．512 B ．712 C ．718 D ．794.（2017·江西赣中南五校高三测试一）墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ A ）A. B. C. D.与a 的取值有关（2017·江西高三调研一）10（2017·吉林吉化一中高三检测）．在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上随机取一个数x ，使得0＜tan x ＜1成立的概率是( )A ． 18B ． 13C ． 12D ．2π3.（2017·湖南师大附中高三月考一）有一长、宽分别为50,30m m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 152m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域) 的概率是（ B ） A ．34B ．38C ．316πD ．12332π+（2017·湖南长沙长郡中学高三周测）4.（2017·湖南长沙长郡中学高三入学考试）分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ A ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25（2017·湖南长沙长郡中学高三周测）A9.（2017·湖南长沙长郡中学高三入学考试）若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ A ）A ．114B ．10C ．150D ．507.（2017·湖南双峰一中高三月考一）在区间上随机取两个实数y x ,，得82≤+y x 的概率为（） A ．41 B ．163 C ．169 D ．43【答案】D12.（2017·湖南衡阳八中、永州四中高三联考一）[文科]在不等式组，所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为（） A ． B ． C ． D ．【答案】B18．（2017·江西九江一中高三测试）（本小题满分12分）已知函数a bx ax x f +-=2)(2（,a b R ∈ ）（Ⅰ）若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程()0f x =有．实根的概率；（Ⅱ）若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程()0f x =没．有．实根的概率．解：（1） b a ,取值情况是：)3,3(),2,3(),1,3(),0,3)(3,3(),2,2(),1,2(),0,2()3,1(),2,1(),1,1(),0,1)(3,0(),2,0(),1,0(),0,0(其中第一数表示a 的取值，第二数表示b 的取值．即基本事件总数为16．………2分设“方程()0f x =恰有两个不相等实根”为事件A ，当0,0≥≥b a 时，“方程()0f x =恰有两个不相等实根”即为“a b ≥或0=a ” 于是此时b a ,取值情况：)3,3(),2,2(),1,1(),3,2(),3,1(),2,1(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0(即A 包含的基本事件数为10．……4分∴“方程()0f x =恰有两个不相等实根”的概率851610)(==A P ．………………6分（2） b 从区间]2,0[中任取一个数，a 从区间]3,0[中任取一个数，则试验的全部结果构成区域{}20,30),(≤≤≤≤b a b a这是一个长方形区域，其面积632=⨯=ΩS ………………………8分设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为{}b a b a b a >≤≤≤≤,20,30),(其面积422216=⨯⨯-=MS． (10)分由几何概型的概率计算公式可得：“方程()0f x =没有实根”的概率3264)(==B P ．………………………12分8．(2017·湖北枣阳阳光中学高三质检)在区间[01]，上随机取两个数x y ，，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则A ．1212p p <<B ．2112p p << C ．2112p p << D ．1212p p << 8．D 【解析】试题分析：试题分析：因为[01]x y ∈，，，对事件“12x y +≤”，如图（1）阴影部分1S ，对为事件“12xy ≤”，如图（2）阴影部分2S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是1212S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得1212p p <<．故选D ．考点：几何概型．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题，解题关键是确定平面区域及其面积．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(2017·湖北枣阳鹿头中学高三月考)从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______． 14．3136．(2017·湖北枣阳鹿头中学高三月考)在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x,y)满足y kx ≥的概率为34，则实数k ＝( ) (A) 4 (B)2 (C)23 (D)126．D 【解析】试题分析：在平面直角坐标系上画出不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域，区域的面积为4，过原点作直线y kx ≥，可以从选择之中选取一个k 值，在正方形内使直线上方的面积为S ，且3443=⨯=S ，恰好选择D . 17．(2017·湖北枣阳高级中学高三月考)（本题12分）掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．17．点数之和为6”的概率为P=536．【解析】以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536． 9．(2017·湖北枣阳期中高三开学测试)在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，sin x 的值介于12-与12之间的概率为（） (A)13 (B)2π (C)12 (D)23【解析】试题分析：在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，试验结果构成的长度为π，当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值介于12-与12之间，长度为3π，有几何概型的概率计算公式当133P ππ==.考点：几何概型的概率计算公式.6．(2017·湖北利川一中高三月考)如图，矩形长为6,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为A ． 3.84 B. 4.84 C. 8.16 D. 9.16 C5.(2017·湖北重点中学高三起点考试)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（ ). A. 121 B.61 C. 41 D.31C(2017·河南中原名校高三质检一)13.(2017·河北石家庄高三摸底)E 为正方形ABCD 内一点，则AEB ∠为钝角的概率是。

古典概型和几何概型(一轮复习数学)

（2）先后掷两枚相同的骰子，则向上的点数之和为5的概率为
1 A. 18 1 B. 9 1 C. 6 1 D. 12
（3）某种饮料每箱装 6听，其中2听不合格，质检人员从中随机抽取 2听，检测出都是合格产品的概率为
1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5
类型二：古典概型的求法
类型三：几何概型的求法（与面积有关问题）例1. 一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上空飞过，
其中AD 2，DC 2，BC 1，它可能随机落在草原上任何一处（点）。若落在扇形区域ADE以外丹顶鹤能生还，该丹顶鹤生还的概率是 10 10
例2. 如图，圆C内切于扇形AOB，AOB
1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5
例4.如图所示，边长为 2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域。在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率 2 为，则阴影区域的面积为 3
4 A. 3
8 B. 3
2 C. 3
D.无法计算
类型二：几何概型的求法（与长度、角度有关问题）例1. 如图所示，在直角坐标系内，射线 OT落在30角的终边上，
3 C. 10 2 D. 5
（2）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1,2 3；蓝色卡片两张，标号分别为 1,2. .从以上五张卡片中任取 2两张，求这两张卡片不同且标号
之和小于4的概率. .向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中
任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
类型一：古典概型基本概念例1（ . 1 ）判断正误：
“在适宜条件下种下一粒种子观察它是否发芽 ”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”

高中数学古典概型与几何概型讲义及练习

要求层次重难点古典概型古典概型B（1）古典概型① 理解古典概型及其概率计算公式．② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．（2）随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．② 了解几何概型的意义．几何概型几何概型 B（一）知识内容1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义：随机事件A 的概率定义为()P AA 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数．（二）典例分析【例1】从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为______．知识框架例题精讲高考要求板块一：古典概型概率：古典概型与几何概型【例2】（2007年全国II 卷文）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为_________．【例3】从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497．5g~501．5g 之间的概率约为__________．【例4】将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？【变式】将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？【例5】口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，⑴写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？ ⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少？ ⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？【例6】已知ABC ∆的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，求ABC ∆是锐角三角形的概率．【例7】在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于________．【例8】先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是121110，，的概率依次是123P P P ，，，则（） A ．123P P P =< B ．123P P P << C ．123P P P <= D ．123P P P >=【例9】（08江苏）若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为．【例10】今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？【例11】为了了解《道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5678910，，，，，．把这6名学生的得分看成一个总体．⑴求该总体的平均数；⑵用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．【例12】任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．【例13】有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为．7⑴请完成上面的列联表；⑵根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．⑶若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．【例14】（08广东）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：0.19． ⑴求x 的值；⑵现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ ⑶已知245245y z ≥，≥，求初三年级中女生比男生多的概率．【例15】先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为X Y ，，则满足2log 1X Y =的概率是（）A ．16B ．536C ．112D ．12【例16】某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．【例17】某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆． ⑴共有多少个基本事件？⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？【例18】某中学高一年级有12个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班．有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？并说明理由．【例19】（05广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数123456，，，，，），骰子朝上的面的点数分别为X Y ，，则2log 1X Y =的概率为（）A ．16B ．536C ．112D ．12【例20】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．⑴求1A 被选中的概率；⑵求1B 和1C 全被选中的概率．【例21】李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开，⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？ ⑵李明三次内打开房门的概率是多大？【例22】考虑一元二次方程20x mx n ++=，其中m n ，的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率．【例23】张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫蛀棒子），他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相邻的两个（比如出现老虎与虫子），则算平局，求⑴出现平局的概率；⑵张三赢的概率．【例24】（2009浙江17）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，1k +，其中0,1,2,,19k =．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A ，则()P A =_____________．【例25】（2009江西10）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【例26】甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．16【例27】某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于2次；⑶恰好停车2次．【例28】某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：⑴恰有一名参赛学生是男生的概率； ⑵至少有一名参赛学生是男生的概率； ⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．基本事件的种数为26C 15 种【例29】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率．【例30】甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（）A ．16B ． 14C ．13D ．12【例31】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（）A ．115B ．215C ．1315D ．1415【例32】采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a 前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为____________________．【例33】盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．【例34】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．⑴在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例35】6女，4男中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率为0.8，每位男同学能通过测验的概率为0.6．试求：⑴选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．【例36】任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（）A．1027B．13C．16D．754【例37】用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（）A．12B．13C．14D．15【例38】（08辽宁）4张卡片上分别写有数字1234，，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．13B．12C．23D．34【例39】从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．19125B．18125C．16125D．13125【例40】（2006年北京卷理）在12345，，，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【例41】（2007年上海卷文）在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．【例42】4张卡片上分别写有数字1234，，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．13B．12C．23D．34【例43】从02468，，，，这五个数字中任取2个偶数，从13579，，，，这五个数字中任取1个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率．【例44】（04全国）从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．13125B．16125C．18125D．19125【例45】电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．1180B．1288C．1360D．1480【例46】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1218，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）A．151B．168C．1306D．1408【例47】某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是______．【例48】一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例49】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支．求：⑴A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；⑵A组中至少有两支弱队的概率．【例50】一个袋子中装有m个红球和n个白球（4m n>≥），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球．⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m必为奇数；⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足20m n+≤的所有数组()m n，．【例51】（2009上海文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）．【例52】从长度分别为2345，，，的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【例53】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．【例54】（2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．175B．275C．375D．475【例55】某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）【例56】摇奖器摇出的一组中奖号码为825371，，，，，，对奖票上的六个数字是从0129，，，，这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（）A．17B．130C．435D．542【例57】现有10张奖票，只有1张可中奖，每个人从中随机抽取一张（不放回），则第一人与第十人抽中奖的概率分别为（）A．110，12B．12，110C．110，110D．110，910【例58】某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从000001到999999，购买时揭号对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．【例59】在900张奖券（奖券号是100999）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？【例60】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．【例61】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a p ，的值分别为（）（A ）510521a p ==，（B ）410521a p ==，（C ）521021a p ==，（D ）421021a p ==，【例62】（2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081【例63】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例64】（2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A ．891B ．2591C ．4891D ．6091【例65】（2008四川延8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（）A ．15B ．12C ．23D ．45【例66】停车场有10个排成一排的车位，当有7辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______；【例67】 6个人坐到9个座位的一排位置上，则3个空位互不相邻的概率为．【例68】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率是．【例69】（2009江西文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【例70】有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？【例71】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球． ⑴ 若3n =，求取到的4个球全是红球的概率；⑵ 若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n ．【例72】袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全是红球的概率，⑵3只颜色全相同的概率，⑶3只颜色不全相同的概率，⑷3只颜色全不相同的概率．【例73】甲乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3．两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的概率．【例74】（07湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则(0]2θ∈π，的概率是（）A ．512B ．12C ．712D ．56【例75】（07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（）（A ）112 （B ）760 （C ）625（D ）516【例76】有十张卡片，分别写有A 、B 、C 、D 、E 和a 、b 、c 、d 、e ，⑴从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是A 或a 的概率； ⑵若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率；【例77】右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）A ．445B ．136C ．415D ．815【例78】已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为（）A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【例79】（08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总{}12m ，，，和{}12m m n ++，，，（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij Pi j n <≤≤的和等于．【例80】同时抛掷两枚骰子，⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率；⑵求点数之和为8的概率；⑶求至少出现一个5点或6点的概率．【例81】袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码，设号码为n的球的重量为244433 nn-+（克）．这些球以等可能性（不受重量，号码的影响）从袋里取出．⑴如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率．⑵如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；⑶如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率．【例82】在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）A．35B．23C．59D．13【例83】（2009山东卷文）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：辆，其中有A类轿车10辆．⑴求z的值；⑵用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；⑶用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．【例84】（2008广东19）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：⑴求x的值；⑵现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？⑶已知245z≥，求初三年级中女生比男生多的概率．y≥，245【例85】（2009山东）一汽车厂生产A B C，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：类轿车10辆．⑴求z的值．⑵用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．⑶用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．【例86】（2009天津文）为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从，，A B C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知，，，，个工厂．A B C区中分别有182718⑴求从，，A B C区中应分别抽取的工厂个数；⑵若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．（一）知识内容几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．几何概型中，事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．（二）主要方法（三）典例分析【例1】已知集合{}420135A =--，，，，，，在平面直角坐标系中，点()M x y ，的坐标x A ∈，y A ∈．计算：⑴ 点M 正好在第二象限的概率； ⑵ 点M 不在x 轴上的概率；⑶ 点M 正好落在区域8000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率．【例2】在区间[010]，中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______．【例3】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及内部面积为πS ab =，12A A ，是长轴的两个顶点，12B B ，是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，则12PA A ∆为钝角三角形的概率为_____，12PB B ∆为钝角三角形的概率为______，12PB B ∆为锐角三角形的概率为________，12PB B ∆为直角三角形的概率为_____．【例4】把一根长度为6的铁丝截成3段．⑴若三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率； ⑵若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．板块二：几何概型【例5】如图，6025AOB OA OB∠===，，，在线段OB上任取一点C，试求：⑴AOC∆为钝角三角形的概率；⑵AOC∆为锐角三角形的概率．【例6】如右下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线()sin0πy x x=≤≤与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A．1πB．2πC．3πD．π4【例7】（2009福建文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧︵AB的长度小于1的概率为．B【例8】在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．【例9】（08江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是．【例10】如图，在边长为25的正方形中挖去边长为23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？【例11】向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则随机事件“PBC ∆的面积小于3S”的概率为多少？【例12】设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结，【例13】如图，60AOB ∠=°，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：CE DBO A⑴AOC ∆为钝角三角形的概率；⑵AOC ∆为锐角三角形的概率．【例14】设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点．①设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ；②设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ．【例15】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．【例16】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去，求两人能会面的概率．【例17】取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率（）A ．2π B ．π2π- C ．π D ．π4【例18】在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12C ．13D ．16【例19】两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．23【例20】在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交弧AB ︵于P ，则同时满足：45AOP ∠≥°且75BOP ∠≥°的概率为．。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型一、古典概型 1、定义（1）样本空间的元素只有有限个；（2）每个基本事件发生的可能性相同。

比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。

称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。

2、古典概型中事件概率的计算设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1}{n i n P i ==ω若事件A 包含m 个样本点，即{}ωωωi i i A m,,,21 =，则有：中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数发生的基本事件数使A =n m= 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.752．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A ．310B ．15C ．110D ．1123.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .4．（2009·安徽文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。

17.2 古典概型与几何概型

17、概率17．2 古典概型与几何概型[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）A ．49B ．29 C ．23D ．13（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为（）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12C ．13D ．16（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为．[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。

[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． [例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．方案1：总点数是几就送礼券几十元．方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．【课内练习】1．某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是（）A．15B．524C．1081D．5122．盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P1，第8个人摸出红球的概率是P8，则（）A．P8=18P1 B．P8=45P1 C．P8=P1 D．P8=03．如图，A、B、C、D、E、F是圆O的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（）A．12B．13C．23D．144．两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）A．12B．13C．14D．235．一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为．6．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．第3题图7．在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为．8．某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，倍的概率．A组1．取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（）A．2πB．2ππ-CD．4π2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）A．12B．13C．14D．165．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．其中“恰有两枚正面向上”的事件包含个等可能基本事件．7．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．B组1．在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为（）A．12B。

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古典概型与几何概型1．【 2018 年理新课标 I 卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为IIABC的斜边，其余部分记为BC，直角边AB， AC．△ ABCIII．在整个图形中随机取一点，此点取自I ， II， III的概率分别记为p1， p2， p3，则A. p 1=p2B. p1=p3C. p 2=p3D. p1=p2+p3【答案】 A【解析】分析：首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2， p3的关系，从而求得结果 .详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选 A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果 .2．【 2018 年理新课标 I卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】 A详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选 A.3．【 2018 年理数全国卷II 】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30 的素数，再确定两个不同的数的和等于30 的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30 的素数有2，3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29，共10 个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为，选 C.4.【2017 课标 1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1π A ．B ．48 C ．1π D ．24【答案】 B【解析】【考点】几何概型5. 【 2017 山东，理8】从分别标有 1， 2 ，， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取 1 张．则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）5（ B ）4（C ）5（D ）18997 9【答案】 C【考点】古典概型6.【2017 江， 7】函数 f ( x)6 x x2的定域 D .在区[ 4,5]上随机取一个数x ,x D 的概率是▲.【答案】59【考点】几何概型概率7.（ 2016 年全国 I 高考）某公司的班在7:30， 8:00， 8:30 ，小明在7:50至 8:30 之到达站乘坐班，且到达站的刻是随机的，他等不超10 分的概率是（ A ）1123 3（B）2（ C）3（ D）4【答案】 B8、（ 2016 年全国 II 高考）从区0,1随机抽取2n 个数x1,x2，⋯，x n，y1，y2，⋯，y n，构成 n 个数x1 , y1， x2 , y2，⋯， x n , y n，其中两数的平方和小于 1 的数共有m个，用随机模的方法得到的周率的近似（ A）4n（ B）2n（C）4m（ D）2m m m n n【答案】 C9.（ 2016 年山高考）在[－1,1]上随机的取一个数k，事件“直y = kx 与( x－5)2 + y2 = 9 相交” 生的概率3【答案】．410.【2015 高考广东，理 4】袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5个红球。

古典概型、几何概型知识点和练习

知识点一：变量间的相关系数1.两变量之间的关系(1)相关关系——非确定性关系(2)函数关系——确定性关系2.回归直线方程：∧∧∧+=axby⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑xbyax nxy x nyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)())((1221121例题分析例1：某种产品的广告费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y和x具有线性相关关系：x（百万元） 2 4 5 6 8y（百万元）30 40 60 50 70（1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。

针对练习1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（）（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（1）（2）（3）（4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（）A. 6y x =+B. 42y x =+C. 260y x =-+D. 378y x =-+知识点二：概率一、随机事件概率：事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。

确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0）（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nmA P ≈说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值二、概率的基本性质：基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用 ③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和（概率加法公式）互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为：A互斥事件和对立事件的区别：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+⑦一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧()()A P A P -=1三、概率的概型：古典概型：① 所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型。

专题28古典概型与几何概型(原卷版)

专题28古典概型与几何概型（原卷版）易错点1：混淆古典概型与几何概型;易错点2：混淆几何概型中的测度（长度、面积、体积）;易错点3：科学设计变量，数形结合解决问题.题组一1．（2013新课标1）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．12B．13C．14D．162．（2014新课标2）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.3．（2014新课标）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____．4．（2011新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．13B．12C．23D．345．（2013新课标）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______．6.（2019全国I理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．516B．1132C．2132D．11167．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．112B．114C．115D．1188．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．18B．38C．58D．781 42 49．(2016年全国II)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2mn题组二15．(2018全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．∆ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12=p pB ．13=p pC ．23=p pD ．123=+p p p16．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π 17．(2016年全国I)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34题组三10．（2019全国I理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．12．（2019全国II理18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.13．(2016年全国II)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．14．（2012新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。

【新高考数学】第15讲古典概型与几何概型-2021届高考数学(理)专题提升训练(原卷版+解析版)

第15讲古典概型与几何概型A 组一、选择题1、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数是0的概率为（）A ．94B ．13 C ．92 D ．912、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（） A ．891 B ．2591C ．4891 D ．60913、如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－π2 B.12－π1 C.π2D.π1 4、（2016重庆二诊理5）在区间[1，4]上任取两个数，则所取两个数的和大于3的概率为（） A.181 B.329 C.3223 D.1817二、填空题5、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数则这七个数的中位数是6的概率为___________。

6、投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)(n －mi)为实数的概率为。

7、已知正方体1111D C B A ABCD -内有一个内切球O ，则在正方体内任取点M ，点M 在球O 内的概率是。

8、若区域{}2),(≤+=y x y x M ，在区域M 内的点的坐标为),(y x ，则022≥-y x 的概率是________。

三、解答题9、某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校。

求这三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的概率。

10、某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.B组一、选择题1、某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）A．110B．120C．140D．11202、10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（） A.310 B.112 C.12 D.11123、已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为21，则AD AB=（）A.12B.144、（2016全国卷12）从区间[]10，随机抽取n 2个数,2121,...,,,,...,,n n y y y x x x 构成n 个数对()()),(,...,,,,,2221n n y x y x x x 其中两数的平方和小于1的数共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（） A.m n 4 B.m n 2 C.n m 4 D.nm 2二、填空题5、某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为。

2021高考数学复习专题古典概型与几何概型 (文精讲)

专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】知识点一基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.知识点三古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______．【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12【变式探究】(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．【举一反三】(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．ⅰ试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ⅰ设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．高频考点二综合考查古典概型与其他知识【例2】（2020·河南省焦作模拟）从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16B.13C.14D.12【变式探究】（2020·黑龙江省大庆模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为．【举一反三】（2020·江苏省宿迁模拟）已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝⎝⎛⎭⎫122，从这四个数中任取一个数m ，使函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )A.14B.12C.34D ．1高频考点三与长度、角度有关的几何概型【例3】（2020·浙江省舟山模拟）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )A.16 B.13 C.23D.45【方法技巧】长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．【变式探究】（2020·安徽省芜湖模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在ⅰDAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为．高频考点四与体积有关的几何概型【例4】（2020·江西省南昌模拟）在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π 【方法技巧】与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．【变式探究】（2020·广东省江门模拟）在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为．高频考点五与面积有关的几何概型【例5】（2020·山东省淄博模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.14B.18C.38D.316【变式探究】（2020·山东省滨州模拟）已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0表示的平面区域为M ，在区域M 内随机取一点N (x 0，y 0)，则3x 0－y 0－2≤0的概率为( )A.56B.34C.35D.13【举一反三】（2020·陕西省宝鸡模拟）在区间(0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥0，x －a ≤0的点(x ，y )构成区域的面积大于1的概率是( )A.18B.14C.12D.34专题11.2 古典概型与几何概型【考情分析】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义. 【重点知识梳理】知识点一基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.知识点三古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.知识点四几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.知识点五几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 知识点六几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.【典型题分析】高频考点一古典概型的概率计算【例1】【2020·浙江卷】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______．【答案】13，1 【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.【变式探究】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅰ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6ⅰ9ⅰ10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅰ)由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.【方法规律】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键【变式探究】(1)(2019·全国卷ⅰ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15(2)(2019·全国卷ⅰ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12【答案】(1)B (2)D【解析】(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D 。

高中数学专题训练——古典概型与几何概型

古典概型与几何概型专题训练(答案版)

1.3古典概型与几何概型

高考数学一轮复习专题训练—古典概型与几何概型

古典概型与几何概型

高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)

古典概型和几何概型

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高中数学题库——古典概型与几何概型

古典概型和几何概型(一轮复习数学)

高中数学古典概型与几何概型讲义及练习

古典概型与几何概型

17.2 古典概型与几何概型

(完整版)古典概念与几何概型(带答案).docx

古典概型、几何概型知识点和练习

专题28古典概型与几何概型(原卷版)

【新高考数学】第15讲 古典概型与几何概型-2021届高考数学(理)专题提升训练(原卷版+解析版)

2021高考数学复习专题 古典概型与几何概型 (文 精讲)

【新高考数学】第15讲古典概型与几何概型-2021届高考数学(理)专题提升训练(原卷版+解析版)

2021高考数学复习专题古典概型与几何概型 (文精讲)